Зачем учиться дальше 7-го класса, если они ( семиклассники) способны решать самые красивые задачи самыми простыми и, следовательно, самыми красивыми методами??? Видимо, недаром в послевоенные годы в СССР было обязательным лишь 7 классов!?!? Ура, товарищи!!! Ведущему Браво, Браво, Браво!!!
Все элементарно: здесь два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой: ABD и BCD. Возводим выражение, данное в условии, в квадрат. Получаем сумму квадратов катетов плюс их удвоенное произведение. И все это равно 144. Делим обе части равенства на 4 и получаем, что площадь одного треугольника плюс площадь другого равно 36.
Пусть АВ=АД=а. Тогда ВД=а√2. Пусть ВС=х, СД=у. Тогда х в квадрате плюс у в квадрате равно два а в квадрате. х+у=12 . Возведем в квадрат обе части этого равенства. Два а в квадрате плюс 2ху равно 144. Разделим обе части полученного равенства на 4. Получим : а в квадрате деленное на 2 плюс ху деленное на 2 равно 36. Первое слагаемое - площадь равнобедренного треугольника. Второе - площадь другого треугольника.
Зоя Шаромет, у вас самое лучшее решение, такое, как необходимо для школьников, Итог вашего решения таков: S(ABCD)=S(∆ABD)+S(∆BCD)=a^2/2+x*y/2=36; Кроме того автор допустил ошибку на 10-ой минуте, площадь треугольника ABD равна BD^2/2 ; тогда, как автор делает ошибку возводя в квадрат два в знаменателе.
@@БадрудинИтоновичМагомадов с чего ради площадь треугольника считается как гипотенуза в квадрате пополам?он сказал,что половина гипотенузы равна высоте,опущенной к ней.нашел половины гипотенузы и умножил на высоту,потому что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно считать как возведение в квадрат этой высоты,соответственно и знаменатель в квадрат возвелся.он мог гипотенузу не делить на 2,а умножить ее на высоту,которая в два раза меньше высоту,а затем поделить произведение на два,получилось бы тоже самое.)
Копируем четырехугольник АВСD, поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки. Совмещаем точки A. Получаем трапецию с высотой (BC+CD), нижним основанием СD и верхним BC. Площадь трапеции: высота (BC+CD) умножить на полусумму оснований ((BC+CD)/2). т.е. 12*6=72. Площадь четырехугольника 72/2=36.
Мне эта фигура напоминает квадрат с немного загнутым уголком С по отношению к плоскости фигуры. Почему квадрат??? Потому. что противоположные углы прямые и стороны АВ и АД равны - - - - по условию. Если плоскость сделать ровной, то сторона квадрата будет равна - - - - 6. S =6*6= 36. Это конечно решение для 1 кл. Просто я так вижу.
Поскольку в условиях не сказано, что углы B и D не прямые, то мысленно вращаем треугольник BCD вокруг точки D с соблюдением условий задачи до тех пор, пока угол D не станет прямым. Исходя опять же из условий задачи о равенстве AB и AD, получаем равенство BC и CD при их сумме 12. Э вуаля: имеем квадрат со стороной 6 и площадью 36.
@@GeometriaValeriyKazakov не обязательно, условия задачи не задают ограничения на эти углы. А значит если от их значения площадь меняется, то условия некорректны и надо было обозначить какие-то ограничения на эти углы. Если же условия корректны, то значит от углов площадь не зависит, а значит она 36
О, нашел такое же решение, совсем не обязательно рассматривать другой вариант потому что если будет другой ответ то значит не верно сформулирована задача, условия не достаточно для решения и может иметь разную площадь. Я описал решение в другом комментарии, там привел второй частный случай где длина одного катета треугольника ВСD стремится к нулю а второго к 12, тогда площадь четырехугольника стремится к площади треугольника ABD c длиной гипотенузы равной 12 и высотой 6, также к 36. Хотя слово стремится в этом случае не верно потому что она всегда будет равна 36.
А Паскаль еще был физиком и в честь него названа физическая единица. Мне очень нравится, как вы привносите небольные зернышки общей культуры (литературу, факты из жизни великих ученых) в решение задачи. Вы настоящий педагог.
@@GeometriaValeriyKazakov но ведь всем не угодишь. Продолжайте в выбранной Вами манере преподнесения информации! Очень интересно, полезно, содержательно!
Здравствуйте. Валерий Владимирович Козаков - автор учебника по геометрии в Беларуси. По-моему, работает и живет в Беларуси. И, мне кажется, наши славянские языки очень похожи, чтобы понимать друг друга. Давайте не будем использовать такой замечательный образовательный канал для выяснения отношений.
@@mishania6678 Классическая точка зрения шизофреника! Который разговаривает с окружающими на "своем языке", который никто, кроме него, больше не понимает. А вместо совести и ума у них - демагогия "про права" и сваливание с больной головы на здоровую.
Валерий, СПАСИБО!!! Я восхищён тем, как Вы подаёте варианты решений (11-й, 10-й, ... ,7-й класс... и даже младше)!!! Мне больше всего именно этого не хватало... И вот я открыл для себя Ваш канал!!... Комментировать буду не всегда, а вот смотреть... -- постараюсь не пропускать! 👍 Ещё раз СПАСИБО!!!
Перевернем четырехугольник на 90 градусов(отложим такой же, D в B ,C в К, B в Е. Так как четырехугольник можно вписать в окружность, ADC+ABC=180, то есть ЕК параллельна CD, после поворота образовалась боковая сторона KC = BC+CD = 12. Средняя от ни я трапеции = EK+CD/2=12/2=6, S=6*12=72, Это площадь двух изначальных фигур, значит искомая = 72/2 = 36
Так как нет дополнительных условий, мы имеем два предельных варианта: 1) это квадрат, и его площадь 36, или 2) точка В совпадает с точкой С и у нас прямоугольный равнобедренный треугольник, с гипотенузой 12, площадь которого тоже 36. все остальные варианты лежат в диапазоне площадей от 36 до 36.
Несмотря на четыре "лайка", это не решение. Ваши предположения вовсе не гарнируют, что в промежуточных вариантах изменение площади невозможно. Рассмотрите другую ситуацию: прямоугольник с суммой длин смежных сторон, равной 12. Например, 1 и 11. Его площадь будет равна 11. 2 и 10 -- площадь 20. И тп.
@@theMerzavets нет, не будет больше. У нас функция с тремя уже определенными точками: 1) вариант когда BC = 0; 2) вариант когда BC = CD; 3) и вариант CD = 0. Везде функция дает одинаковый результат. такая функция не может иметь перегибов, и будет в виде прямой. т.е. и при остальных вариантах соотношения BC/CD она будет давать одинаковый результат.
@@IlyaKiss во-первых, с одинаковым периметром можно построить бесконечное количество именно прямоугольников; во-вторых, я не совсем понял суть вашего возражения. Или это не возражение было?
@@maxb5882 а на каком основании вы считаете эту функцию линейной? Какую кривую опишет угол при изменении её параметра? (Подсказка: хотя бы мысленно рассмотрите множество вписанных в окружность прямоугольных треугольников. Как раз все три ваших условия выполняются -- в крайних точках имеем треугольники, вырожденные в отрезки -- но функция при этом тригонометрическая.)
Проводим В-D. На серидине В-D лежит центр окружности проходящей проходящей через А В С и D. Отсюда АВ+СD = DC + СВ =12. Так как АВ=СD то АВ= 6 . Дальше 6*6=36
@@GeometriaValeriyKazakov только треугольник ВСD МЕНЬШЕ треугольника АВD. так как только равнобедренный треугольник будет иметь максимальную площадь. А все не равнобедренные будут меньше. Отсюда: площадь АВСD меньше 36.
В исходной задаче предполагается, что ответ будет единственным, вне зависимости от величины угла В (и, соответственно, ответного ему D). Т.е. я могу мысленно двигать вершину С произвольно как мне вздумается, искомая площадь при этом не изменится, если А=С=90°. При таком мысленном перемещении я останавливаю вершину С так, чтобы В равнялся 90°. Тогда D будет = 360-A-B-C=90°. Перед нами квадрат со стороной 6, т.е. s=36. Это одно из допустимых решений, а условия задачи предполагают, что оно единственное, т.е. все площади всех возможных четырёхугольников, образованных траекторией мысленного движения С должны быть равны друг другу.
Вы не знаете и не можете знать, ч о предполагается в исходной задаче. Строго говоря. там ничего не предполагается. Есть условие и все. Простые учебники - зло! В них у любой задачи есть ответ, в жизни и в математике это просто не так.
При всём множестве существования такого 4-х угольника ответ будет один 36 кв. ед. Смотрите решение в комментариях выше. Там есть критерий существования таких 4-х угольников через зависимость катетов.
Это неполное решение. Но оно вполне годится в отдельных случаях. А неполное потому, что берем частный случай и решаем его, но при этом не утруждаем себя доказательством того, что решение задачи будет одно и тоже, независимо от того какой случай взять. Т.е. факт того, что площадь будет одной и той же при разных соотношениях ВС и СD, и зависит только от их суммы мы подразумеваем из условия, но не задумываемся о том, что условие может быть неполным или противоречивым.
Два прямоугольных треугольника (один из которых равнобедренный) с общей гипотенузой. Используя теорему Пифагора и формулу суммы квадратов чисел получаем площадь фигуры 36. Легко и просто.
Ответ- 36. Решение: соединим т.В и т. Д. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВД и ВСА. У них общая гипотенуза ВД. Из теоремы Пифагора следует сумма квадратов катетов в данных треугольниках будет одинакова, это возможно, если сумма длин катетов АВ+ АД = ВС+ СД = 12, так как треугольник АВД равнобедренный, то длина его катета равна 6, а площадь всей фигуры- 36.
Примерно так и я делал. Треугольники с общей гипотенузой, значит их площади одинаковы, и равны половине от произведения их катетов. А так как катеты у второго одинаковы, значит 12/2=6 Общий объем 6*6=36
Проведём диагональ ВД. Она делит 4-х угольник на два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза. А далее применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.
Соединяем прямой точку B с точкой С где она является диагональю для двух образованных треугольников АBС и ВСD. Сумма сторон ВС и СD = 12 применяем теорему Пифагора и находим длинну диагонали для двух образованных треугольников. Тогда получаем сумму сторон АB и СD =12, по условиям они равны между собой, 12:2=6, 6×6=36, что является площадью четырёх угольника.
Левую и правые части равенства условия возвести в квадрат .Оставив в левой части сумму квадратов , перенести удвоенное произведение в правую .Левая часть даёт квадрат ВД , что есть 2 АВ квадрат. То есть 4 площади треугольника АВД .В правой части 144 - 4 площади ВСД.Ответ 36
Этот четырёхугольник и ещё три, полученные и него поворотом вокруг A на 90, 180 и 270 градусов, вместе образуют квадрат со стороной 12. Площадь тогда равна 12^2/4=36.
Я делал по-другому: Диагональю BD разделил на два треугольника. BC - y CD - x x+y=12 тогда BC = x-12 У обоих треугольников выразил площади через X. Сложил получившиеся формулы. При упрощении уравнения X везде сократился. Ответ 36
поскольку четырехугольник вписан в окружность - то для него работает правило - BC+AD=CD+AB. И поскольку BD общий диаметр для двух прямоугольных треугольников BCD и ABD, вписанных в окружность, то BC+CD = 12 равно как AD+AB=12. AB=AD=12/2=6. Sabcd=2*6*6/ 2=36
@@АланияКрокодилова пардон - у вписанного четырехугольника работает правило произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. и учитывая что АB = AD и BC+CD=12, а так же исходя из того что треугольники ADB и BCD прямоугольные найдем BC по теореме Пифагора - BC= 6(2-2^1/2) . Из уравнений найдем AB=AD- и AB будет равно 12*(1-(2^1/2)/2)^1/2 , а CD = 6*2^1/2 из этого найдем площадь четырехугольника как площадь двух прямоугольных треугольников. Отсюда и получится 36.
@@mobikost Да, но поскольку в условии ничего не сказано, то в матемтаике это понимают так: мы рассматриваем все случаи, либо самый общий. Такие правила игры.
@@mobikost Обычно на олимпиадах этого не пишут, так как там все профи и всем все понятно. Но вы правы, для любителей можно было дописать, что ABCD - не квадрат!!! Но тогда не было столько комментариев, что тоже плохо для канала! Диалектика!
Искомая площадь: AB^2/2+BCxCD/2. Выразим AB^2 через BC и CD. AB^2/2=BD^2/4, BC^2+CD^2=BD^2. Тогда площадь равна (BC^2+CD^2)4 + BCxCD/2, складываем и получаем (BC^2 + 2BCxCD + CD^2)/4, заметим, что выражение в скобках это квадрат суммы, тогда ((BC+CD)^2)/4 или 114/4=36
4 таких прямоугольника складываются в квадрат со стороной 12, площадь которого будет 144, значит площадь АБСД 144/4=36. Просто поворотом на 90 относительно точки А.
AD = AB = x, ВС =а, CD = b. a+b = 14, квадрат (a+b) = 144, удвоенный квадрат х = cумме квадратов a и b (теорема Пифагора). Следовательно сумма квадрата х и произведения a и b = 72, а следовательно площадь четырёхугольника - 36.
@@silenthunter9239 нет не равна. Квадрат суммы равен сумме квадратов а и b плюс удвоенное прозведение а на b. Но сумму квадратов а и b в этом равенстве можно заменить удвоенным квадратом х. По теореме Пифагора. Два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу BD, а значит, суммы квадратов их катетов равны.
Браво! а я не решил! не нашёл что и куда повернуть, дорисовать, но предположил, что 12 делим на 2 и получаем 36, но это так получилось в следствие паники и стыда
Я нашёл свой собственный, который лучше ваших. )) Раскладываем на плоскости наш четырёхугольник и ещё три его копии, образованные его трёхкратным поворотом на 90 градусов вокруг точки А. И обнаруживаем, что в сумме они составляют квадрат со стороной BC+CD = 12; Его площадь равна 12^2 = 144; А площадь его четвертинки, соответственно = 144 / 4 = 36. Аминь. PS. Само собой нужно немножко доказать, что всё стыкуется именно в квадрат, но это дело несложной техники, я думаю пятиклассник справится без труда. PPS. Вообще, при просмотре видео, я ожидал увидеть это решение в качестве третьего, самого простого и красивого, способа. Но так и не дождался. Мы с Маленьким Принцем немного разочарованы...
Ваше решение тоже восхитительно, хотя оно вытекает из двух решений Валерия. ☝️ Или его решения являются производными от Вашего. 🤔 Можно и так сказать. 👍 Но главная изюминка Вашего решения в том, что оно демонстрирует единство этих трёх решений, что они -- суть одно и тоже! 😏 Кстати, большое спасибо Вам за Ваше решение!! 👍
да, пожалуй, это то самое "решение в одно действие" -- просто гениальное 🙂 Но до него догадаются "не только лишь все". Спасибо вам! Я же увидел диагональ BD, которая является диаметром описанной окружности для двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, и т.д.
Доказательство, что стыкуется в квадрат требует знания из 8 кл о том, что сумма углов четырехугольника 360. Как и решение автора для 1-7 кл. Я, кстати, именно его и нашла в первую очередь.
Проводим диагональ ВД. Треугольник АВД прямоугольный и равнобедренный с основанием ВД. Уколы при основании по 45 градусов. Теперь в треугольнике ВСД угол СДВ равен 90 минус угол СВД. И в то же время угол СДВ равен угол СДА минус угол АДВ, который 45 градусов. Значит СДВ равен 45 градусов Всё. Это квадрат. Задача из пальца высосана, зачем только? Время на канале забивать ?
самый простой алгебраический. площаь квадрата - квадрат диагонали на 2 деленный. значит треугольника BAD - деленый на 4. площадь прямоугольного тр-ка - полупроизведение катетов. возводим условие в кадрат делим на 2 и получаем ответ
Можно не задумываться над трансформацией, а просто 12 представить как сумму 2+10 (или любую другую, 3+9, например). А дальше посчитать BD, как гипотенузу прямоугольных треугольников. Корни квадратные из неудобных чисел самоликвидируются при подсчете площади треугольника ABD.
я повелся на первый кадр и решил устно. BD -- диаметр окружности. точки А и С лежат на окружности и опираются на этот диаметр. Можем двигать точку С на окружности, угол BCD будет оставаться прямым. Подвинем точку С по окружности так, что она перейдет в точку B, треугольник BCD станет вырожденным и диаметр окружности тогда равен 12, радиус 6. В таком случае S_ABCD = S_ABD = R^2 = 36.
В ( 06.17) ошибка: " можно найти катет - он будет 12 делить на корень из 3". Правильно " 6 умноженное на корень из 2 или 12 деленное на корень из 2". Ведь острый угол 45 градусов, а не 60
Диагональ БД делит четырех угольник на два прямоугольных треугольника. Площадь прямоугольника=1/2произведения катетов. Имея сумму катетов меньшего треугольника можно составить формулу в которой диагональ общая с равнобедренным треугольником.
Предположим что при данных условиях площадь не меняется. Возьмём частное значение когда точка С будет расположена на биссектрисе угла. Тогда получая квадрат ( по условию) сторона которого равна 6. Площадь 36. Решается в уме.
Все точки лежат на одной окружности с диаметром BD. У четырехугольника есть два интересных частных случая: 1. ВС=0, и тогда это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, площадь 36 2. ABCD - квадрат со стороной 6, площадь 36
Ну и... в промежутке между 1) и 2) пока ВС принимает значения от 6 до ноля, отрезки АВ и АД будут принимать значения от 6 до 8,48. производя площади бесконечного количества четырехугольников равними 36.
Можно провести диагональ BD. Получим один равнобедренный треугольник, у второго прямоугольного сумма какие-то равна 12. Используем формулу сокращённого умножения суммы в квадрате. Раскрываем и получаем суммы площадей этих треугольникков , умноженных на 4. Ответ 36
А можно пойти дальше, и заметить, что сторона прямоугольного треугольника BCD может меняться от стремящейся к 0 до стремящейся к 12. Тогда BD можно принять равным 12, площадь верхнего треугольника принять за 0, а площадь нижнего прямоугольного, равнобедренного треугольника с гипотенузой 12 будет как и у вас квадрат половины гипотенузы 6х6=36.
Решается очень просто: если площадь не зависит от двух неизвестных углов, то площадь квадрата равна (12/2)²= 36. Или, например, ВС или CD стремится к 0, то получается равнобедренный треугольник с основанием 12 и прямым углом в вершине, высотой 6. Площадь этого треугольника 12×6/2=36!
@@GeometriaValeriyKazakov а если зависит, то задача равносильна вопросу "какое расстояние между двумя планетами солнечной системы" или "сколько весит атом".
Отрезок BD является гипотенузой треугольников ABD и BCD. Имеем тождество: BC + CD = 12. (BC + CD)÷2= 6. (BC÷2 + CD÷2)^2=6^2=36. (BC^2 + CD^2)÷4 + BC×CD÷2 = 36. BC квадрат плюс CD квадрат есть квадрат гипотенузы. Квадрат гипотенузы деленный на 4 равен площади треугольника ABC. BC×CD÷2 - площадь треугольника BCD. Площадь 4-угольника равна сумме площадей 3-угольников. Для проверки подставим в формулу численные значения BC и CD, согласно тождеству: 11 и 1; 10 и 2; 9 и 3; 8 и 4; 7 и 5; 6 и 6. Выясняется, что при всех сочетаниях катетов площадь 4-угольника неизменно равна 36. Фантастика! Этого не может быть! А как это работает? А давайте возьмем другие значения катетов BC и CD, а именно: -- 1 (минус 1) и 13; -- 2 и 14; -- 3 и 15; --88 и 100; --5 и 17 и так далее, тождество нам позволяет. Увы, результат тот же - 36. С той разницей, что здесь площади не складываются, а вычитаются. Окончательная формула - Sabcd = Sabd +/-- Sbcd
Есть еще 1 вариант решения через оценку выражений. Выражаем диагональ BD по теореме Пифагора 2 раза приняв АВ=АD=x и выразив площадь ABCD через нее. В итоге получим BC=6+/-(x2-36) 1/2. и x=6, а площадь АBCD тогда 36.
Загадка: дан четырёхугольник, 2 стороны равны, 2 угла прямые. Тогда, 2 других угла тоже прямые. Но тогда и 2 другие стороны тоже равны 2 предыдущим. Так это ж квадрат! 6*6=36
Меня же эта задачка тем и заманила что решить её можно множеством способов. Меня всегда интересовал самый 'элегантный' - как правило, являющийся также самым 'эффективным' в смысле 'трудозатрат' (крайне актуально в реальной жизни и для не-математиков 😁). А вот тут-то и кроется весь пресловутый дьявол. Как правило, для нахождения элегантных решений, недостаточно знать/понять технические детали, главное - понять суть. Валерий это выразил научным термином 'инвариант'. Как-то так 🙂. P.S.: я вот совсем не педагог, но мне кажется что такого рода задачи ценны именно в 'методологическом' плане - учат школьников пониманию, а не просто и не столько чисто техническому решению задач. Имхо, это был один из сильнейших аспектов 'совкового' средне-школьного образования (по кр.мере, в естеств.науках), мир праху его, к большому сожалению.
Эта задача решается устно, проведем от B линию до D получим равнобедренный треугольник, сумма внутренних углов 180 минус 90 и поделить на два получим , что каждый угол равен 45 градусов . Сумма углов четырёхугольника равна 360 , отсюда легко понять , что это и есть квадрат, тогда легко найти сторону квадрата которая равна 6 а площадь итак понятно 6*6=36 , тут квадрат нарисован по факту не правильно
Я сперва решил алгебраически (через x) (8 класс). Только скобки нигде не раскрывал, поэтому получил в последней дроби в числителе полный квадрат, где у меня x благополучно сократился. А получив квадрат половины от 12, понял, что можно провести перпендикуляры из A на стороны BC и CD, и получить равновеликий четырёхугольнику квадрат со стороной 6 (способ похож на приведённый для 1-7 класса, но рассуждения чуток проще). Правда в первом классе ещё не знают о перпендикулярах. Решения с разрезанием по AC не заметил. Замечание: когда в геометрии говорят о равенстве фигур, то имеется в виду равенство их величин, т.е. площадей, а не конгруэнтность.
Дело в том, что BC и CD мы можем выбрать произвольно не нарушая условие задачи. В этом легко убедиться, вписав 4 -угольник в окружность: BC совпадет с ее диаметром. Например, можем взять BC =CD = 6. Тогда получаем квадрат со стороною 6. Ответ - 6х6=36. Или, если хотим, BC =0, CD =12. Тогда 4-угольник превращается в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой 12 и высотой 6. Площадь , соответственно, та же: 12х6:2=36. Вот и все...
А какое условие задачи я не выполнил? Я думаю, сам автор не осознал суть задачи. Правильное условие звучало бы так: доказать, что площадь 4-угольника не зависит от AB. Сама же площадь вычисляется, как я показал, элементарно. @@GeometriaValeriyKazakov
AB = AD = c BD = d BC = x CD = y Площадь треугольника АBD = c^2/2 Площадь треугольника BCD = xy/2 Выразим с^2/2 от x и y x^2 + y^2 = d^2 2c^2 = d^2 c^2/2 = d^2/4 = (x^2 + y^2)/4 возведём выражение x + y = 12 в квадрат x^2 + 2xy + y^2 = 144 x^2 + y^2 = 144 - 2xy Получается c^2/2 = (144 - 2xy)/4 Общая площадь c^2/2 + xy/2 = (144 - 2xy)/4 + xy/2 = 36 - xy/2 + xy/2 = 36
По чисто математической состоявляющей решения комментом ниже, представленое решение - чуть более элегантное изложение второго подхода из видео. Применяем дважды т-му Пифагора, причём в её простейшем написании (т.е. без квадратных корней), к одной и той же гипотенузе BD. Потом понимаем/просекаем 🙂, что тут площадь ABCD = просто сумма площадей двух прямоугольных треугольников, один из которых равнобедренный. А площадь каждого треугольника = просто половина соответствующего прямоугольника (поэтому в самом конце 72 делится на два). И вуаля 🙂
ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. Просто два угла в 90 градусов и общая гипоненуза ВД говорят о том, что площади двух треугольников равны. Равностороннесть АВ и АД с гипотенузой(диагональю квадрата,который мы представляем мысленно авсд ) говорит о том, что ав+ ад равно 12...можно более развернуто с доказательствами, но вроде это и так видно...как бы тянем угол С (прямой) до построения квадрата. Диагональ на месте, сумма сторон известна
"ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. " Как может быть "она сторона 12/2=6", если видно, что катеты прямоугольного треугольника BCD - Не Равны. Равенство АС = СД (из условия задачи) вовсе не означает, что их сумма равна 12. Их сумма в любом случае будет БОЛЬШЕ, чем ВС+СД.
можно решить много проще. Из условия понятно, что любой 4-хугольник, соответствующий условию имеет одинаковую площадь. Значит можно взять 4-хугольник у которого ВС=СD=6. поскольку у треугольников общая диагональ, а треугольник BCD равнобедренный, с прямым углом, то АВСD - это квадрат со стороной 6 см. Соответственно площадь - 36
Из условия это никак не следует. Это вы додумываете условие. В конце-концов так и получилось. Но математическая задача в том, чтобы это как раз доказать!
ДиагональВД является общей гипотенузой для двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС**2+СД**2=2АВ**2. Отсюда:АВ**2=(ВС**2+СД**2)/2. Площадь фигуры состоит из суммы площадей двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД : S=(АВ**2)/2 + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2)/(2*2) + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2 + 2*ВС*СД) /4 = (ВС+СД)**2/4 = 12**2/4 = 144/4 = 36
Напрашивается возвести в квадрат заданную сумму: 144=(BC+CD)в квадрате. Здесь будут содержаться: 1) площадь треугольника BCD и 2) квадрат диагонали BD, содержащий площадь треугольника BAD.
Тут ещё проще решение. BD это диаметр окружности в который вписана эта трапеция. Поскольку треугольник BCD опирается на диаметр окружности то точка С может лежать на любом ее участке между точками B и D, не противореча условиям задачи. В том числе и совпадать с этими точками в пределе. В этом случае диаметр окружности будет равен 12 см. А площадь трапеции или уже треугольника будет равна четверти от 12 в квадрате т е. 36 см. Задача решается устно без всяких построений.
Возможно я и допускают какую-то логическую ошибку но гипотенуза БД у четырёхугольника общая, следовательно её кводрат так же будет общим и следовательно сумма квадратов катетов каждого из треугольников будет одинаково, при каких значениях катетов это возможно?
А можно вообще очень просто сделать. По формуле Пифагора, так как BD будет общей гипотенузой для ABD и CBD, то AB²+AD²=BC²+CD², а также нам известно что AB=AD, то есть ABD равнобедренный, и если BCD сделать тоже равнобедренным, то получаем квадрат. Соответственно 6*6=36. Предчувствую кучу комментариев что так делать нельзя, отвечу оба треугольника имеют общую гипотенузу, которая в свою очередь является центром окружности, в которую вписаны оба треугольника, и какое ни было бы соотношение сторон ВС и СD, будет меняться радиус окружности но не сумма площадей этих треугольников, и отсюда же AB=AD>=6
Но здесь же на видео представлены 3 способа, а не 4, как сказано в описании. Или я что-то упустил? Ну, не суть. Четырёхугольник ведь можно нарисовать по-разному, главное чтобы сумма BC+CD была равна 12. Тогда пусть BC=CD. Тогда этот 4-угольник будет сразу квадратом со стороной 6. Площадь, следовательно, 36. А ещё можно рассмотреть вырожденный случай, когда BC=0. Тогда CD=12 и мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12. Тоже вариант.
Я очень люблю решать задачи по геометрии и математические примеры, но у меня ничего не получается в итоге, и я смотрю, как это делают другие. Не знаю, почему у меня это вызывает интерес. Наверно, это дано или же не дано от природы - улавливать суть в неочевидном, видеть и просчитывать возможности и ходы. Наверно, это то единственное, чему я завидую в других.
Решал алгеброй. Потратил 30мин. пришлось заново научиться выражать площадь квадрата через его диагональ, и вспомнить сумму квадратов. Костя, 36 годиков.
x+y=12 Area=xy/2 Diagonal=√{xx+yy} Area of left side triangle=aa/2 Total area=xy/2+aa/2 √2a=√{xx+yy} 2aa=xx+yy 2aa+2xy={x+y}^2=12^2=144 Dividing by 4 we get a^2/2+xy/2=144/4=36
А ещё можно заявить, что условия задачи с нефиксированной геометрией! То есть, что при постоянной сумме ВС+СД=12 диаметр описанной окружности Ф=ВД является переменным значением. При этом справедливо решение в вырожденной задаче при слипании точек В и С, когда у треугольника АБД гипотенуза БД=12 Откуда следует, что площадь треугольника равна 36 При любых трансформациях фигуры в четырёхугольник в границах условий и вся фигура будет равна 36
@@АланияКрокодилова , так я и говорю, что здесь нет однозначного решения в графическом виде, но площадь одинакова в широком диапазоне сдвига картинки, включая предельные крайние случаи: Треугольник и квадрат.
@@АланияКрокодилова , а вот тут не совсем верно! Это две разные задачи! 1. доказать, что подвижное неоднозначное геометрическое условие даёт одинаковый результат по площади. 2. посчитать требуемую площадь. Я посчитал предельный случай по 2-му вопросу, а вот 1-й вопрос ЗАЯВИЛИ при постановке задачи сами авторы...))
1. Ни чего не мешает рассмотреть частный случай, когда ВС=0. Получаем треугольник АВD, BD=12. Опускаем высоту на ВD. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами по 6. Sabcd=6*6/2*2=36 2. Другой частный случай BC=CD=6. Т.е. получаем квадрат со стороной 6. Sabcd=6*6=36. Два решения с одинаковыми ответами. Тривиально. А вот доказать, что площадь во всех случаях неизменна - сложнее.
Спасибо. А что позволяет рассмотреть частный случай? Давайте найдем площадь параллелограмма со сторонами 6 и 8. Рассмотрим его частый случай - прямоугольник. Получим 6х8 = 48. Верно, что ли?
@@GeometriaValeriyKazakov , из условия задачи следует, что площадь фигуры неизменна при любых BC и CD с ограничением, что их сумма равна 12. Отсюда решение любого частного случая покажет единственно верный ответ.
ЧТо за бред кликбейт в названии. Ниче что геометрия начинается только в 7 классе? В первом классе проходят сложение простых чисел 2+2. Ни о какой планиметрии дети не слышали. А задача сложная, расчитаная на старшую школу 10-11 класс или даже на курсы вуза. Но точно не на среднюю школу и тем более не на первый класс
Разумеется, все условно. Но в 1-3 классе Спивак (МГУ) обучает довольно сложным олимпиадным вещам. Думаю, вам все-таки стоит посмотреть другие ролики и поддреживать популяризатов математки.
Это вы зря,в начальной школе есть геометрические задачи,даже периметр вводят в 1иклассе,задачи на нахождение площади квадрата и прямоугольника,а в 4 задачи на прямоугольный треугольник и нахождение площадемюй многоугольника.Пусть не по формулам ,но все же.
Если присмотреться внимательнее, то в первом (для 10 класса) и в третьем (для 1-7 классов) случае производится разрезание заданного четырехугольника на две части, одной из которых является треугольник, который в дальнейшем перемещается на другое место на плоскости, образуя с оставшейся частью новую фигуру. В 1-м случае не обязательно это называть поворотом, можно как и в 3-м случае отрезать и просто переложить на новое место, и наоборот, в 3-м можно перемещение треугольника совершить путем поворота, как и в 1-м случае. Таким образом, 1-й и 3-й варианты решения задачи отличаются только полученной вновь фигурой. Далее, площадь квадрата изучается во 2-м классе, а площадь треугольника в 3-м, поэтому не стоит позиционировать данную задачу для 1-2 класса, не смешите людей! И не буду расписывать алгебраическое решение, которое вы позиционируете для 8-9 классов, просто упомяну, что есть гораздо более изящный вариант этого решения, не по сути, но, как минимум, по оформлению, а значит, он будет более нагляден и доходчив другому человеку!
Зачем такие сложности для такой простой задачи в три строки? Провести диагональ ВД. Площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников. Если Обозначить Ав=АД=а, ВС=в, СД=с, тогда S=1/4(в^2+с^2)+1/2в.с, т.к. 2а^2=в^2+с^2, отсюда 4S=(в+с)^2, т.к. 4S=144, S=36. Три строки. А с первого по четвёртый класс справится разные что вундеркинд, слишком заморочено.
Спасибо, Галина. Во-первых, это не такая простая задача для ученика 8 класса. Во-вторых, это же не олимпиада, а учебное видео. Значит нужно рассмотреть разные способы атаки незнакомой задачи. Это просто элемент обучения олимпиадников. Алгебраическое решение, конечно, хорошее. Правда обычный ученик, не олимпиадник, не сможет сделать такие преобразования. Посмотрите еще видео на тему по ссылке и последний наш ролик, где вам предоставляется возможность проявить свое мастерство. ruclips.net/video/fFyPczCfPNg/видео.html
Не думала, что использование теоремы Пифагора и формулы площади прямоугольного треугольника - это алгебраическое решение. А ещё мне трудно представить семиклассника, который не знает теоремы Пифагора, но умеет мысленно резать, крутить и клеить треугольники. Вы в школе то преподавали? Я, слава Богу, и училась и преподавала в Советской школе, а ещё у нас на первом курсе читал лекции лично Погорелов А.В.,если слышали о таком. Ему бы и в голову не пришло заменить знание теории на игру в фантики. Может поэтому Советское образование самое лучшее в мире. А эти манипуляции - ну разве что от « нечего делать». Интересно, как на практике будут вычислять площадь подобного поля? Треугольники резать? Как говорят: « Спасибо за рИформу образования». Теперь геометрия от алгебры дальше чем история от астрономии.
@@ГалинаСеркина-б4х Спасибо. Я понимаю Вашу ностальгию по СССР. Но не разделяю Вашего негативного отношения к всему миру. К слову сказать, теорема Пифагора изучается в 8 классе. Берегите себя.
второй легче для объяснения. я 4м классе. задача найти площадь равнобедренной трапеции. высота и верхняя и нижняя стороны известны. решил за 30 секунд. про среднюю линию ещё не знал. мысленно это прямоугольник и два треугольника = ещё прямоугольник
Диагональ BD даст по Пифагору в BCD 2AB^2=BC^2+CD^2; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2; Возведем в квадрат 144=BC^2+CD^2+2xBCxCD и подставим 144/2=AB^2+BCxCD; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2=144/4=36
Строим BD как общую гипотенузу. Потом возводим в квадрат известную сумму катетов (BC+CD)^2=(BC^2+CD^2+2BC*CD)=144 . Она оказывается равной учетверённой площади малого треугольника (2BC*CD=4Sbcd) и квадрату общей гипотенузы (BC^2+CD^2=BD^2). Но BD^2=AB^2+AD^2=2AD*AB=4Sabd. Таким образом (BC+CD)^2= 4Sbcd+4Sabd=4Sabcd=12^2=144. Осталось разделить 144 на 4 и радоваться.
Как найти площадь? Есть несколько решений этой задачи: 1 - Открыть Google Maps говорят что он знает всё.. 2 - Спросить у прохожих.. 3 - Вызвать такси, он довезёт (но это не точно 😂)
есть ещё четвертый способ, он проще показанных трех. Представьте, что BC=0. тогда вся фигура превращается в равнобедренный прямоугольный треугольник с диагональю = 12. Дальше не хитро, площадь 36 получается.
Самое простое решение без построений и доказательств: если есть такая задача, значит при любом соотношении BC к CD результат будет одинаковый. Поэтому выбираем BC=CD=12/2=6. Имеем квадрат со стороной 6, т.е. площадь - 36!
Да, это гипотеза про инвариант. Но его, к сожалению, нелобходимо доказывать на олимпиаде. Если это тестовая задача без решения, то это великолепное рассуждение!
Мне 67 лет, смотрел с интересом. Треугольник моя любимая фигура со школы, а дальше, став геодезистом, вычислял координаты методом триангуляции. Гениальность в простоте, потому последний вариант самый красивый. Спасибо!
Забавно, что этому условию - ВСД=12 - соответствует бесчисленное множество четырёхугольников. Я даже подумал, что это какая-то ловушка. Но все эти четырёхугольники имеют площадь равную 36-ти. Например, если ВС=0 и СД=12, тогда у нас просто прямоугольный треугольник АВД с катетом 12 и его площадь =36. Если же ВС=СД=6, то у нас получится квадрат со стороной =6 - пртивоположные углы прямые и стороны равны. Уже интересно, что крайние значения дают тот же результат. Можно подставить ВС=4 и СД=8, или ВС=5 и СД=7, всегда получается 36.
Ребята, у меня описка там на экране "Экзюпери" !
У этой задачи нет определённого решения. Представьте, хотя бы, что BC=0, а CD=12 и сосчитайте площадь получившегося треугольника!
@@rogermorrison2968 сосчитали, столько же. Вы на учитываете, что размеры AB и AD при стремлении BC к нулю, тоже увеличаться. Но идея ваша хорошая.
@@GeometriaValeriyKazakov Ну, возможно. Я не пересчитывал. Хотя, такая инвариантность и выглядит странной.
Решение для 7-ого класса просто восхитительно в своей простоте! Кон-гениально! Спасибо.
Конгениально означает "аналогично".
И Вам спасибо!
144
Благодарю за ценнейшие уроки!!! Продолжайте, пожалуйста!!!
Здоровья и процветания каналу!!!
Спасибо, что смотрите наш канал.
Зачем учиться дальше 7-го класса, если они ( семиклассники) способны решать самые красивые задачи самыми простыми и, следовательно, самыми красивыми методами??? Видимо, недаром в послевоенные годы в СССР было обязательным лишь 7 классов!?!? Ура, товарищи!!!
Ведущему Браво, Браво, Браво!!!
Все элементарно: здесь два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой: ABD и BCD.
Возводим выражение, данное в условии, в квадрат. Получаем сумму квадратов катетов плюс их удвоенное произведение. И все это равно 144. Делим обе части равенства на 4 и получаем, что площадь одного треугольника плюс площадь другого равно 36.
Да, согласен. Алгеброй тоже красиво. Имеено делением на 4! Но никак не элементарно для ученика "хорошиста", для которых и канал.
правильное решение
Самый простой... Доступный для нормальных мозгов вариант!
Я тоже решил в Вашим методом, но третий способ красивый, я бы до него не додумался.
Пусть АВ=АД=а. Тогда ВД=а√2. Пусть ВС=х, СД=у. Тогда х в квадрате плюс у в квадрате равно два а в квадрате. х+у=12 . Возведем в квадрат обе части этого равенства. Два а в квадрате плюс 2ху равно 144. Разделим обе части полученного равенства на 4. Получим : а в квадрате деленное на 2 плюс ху деленное на 2 равно 36. Первое слагаемое - площадь равнобедренного треугольника. Второе - площадь другого треугольника.
Зоя Шаромет, у вас самое лучшее решение, такое, как необходимо для школьников, Итог вашего решения таков: S(ABCD)=S(∆ABD)+S(∆BCD)=a^2/2+x*y/2=36; Кроме того автор допустил ошибку на 10-ой минуте, площадь треугольника ABD равна BD^2/2 ; тогда, как автор делает ошибку возводя в квадрат два в знаменателе.
Спасибо. Да, это хороший алгебраический способ. Смотрите последний ролик - "Вишенка на торте".
@@БадрудинИтоновичМагомадов с чего ради площадь треугольника считается как гипотенуза в квадрате пополам?он сказал,что половина гипотенузы равна высоте,опущенной к ней.нашел половины гипотенузы и умножил на высоту,потому что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно считать как возведение в квадрат этой высоты,соответственно и знаменатель в квадрат возвелся.он мог гипотенузу не делить на 2,а умножить ее на высоту,которая в два раза меньше высоту,а затем поделить произведение на два,получилось бы тоже самое.)
Я также
@@mvk508 Спасибо, что подписаны на наш канал.
Спасибо. Красиво, изящно , наглядно.
Спасибо. Очень приятно.
Копируем четырехугольник АВСD, поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки. Совмещаем точки A. Получаем трапецию с высотой (BC+CD), нижним основанием СD и верхним BC. Площадь трапеции: высота (BC+CD) умножить на полусумму оснований ((BC+CD)/2). т.е. 12*6=72. Площадь четырехугольника 72/2=36.
Супер решение!
Мне эта фигура напоминает квадрат с немного загнутым уголком С по отношению к плоскости фигуры. Почему квадрат??? Потому. что противоположные углы прямые и стороны АВ и АД равны - - - - по условию. Если плоскость сделать ровной, то сторона квадрата будет равна - - - - 6. S =6*6= 36. Это конечно решение для 1 кл. Просто я так вижу.
@@snuskega5356 Спасибо. Вы истинный геометр, прирожденный. Так и нужно - видеть!
Самое суперские решение 8-9 Кл.
@@ЛидияНудьга-ц7г Спасибо. Я тоже так думаю. С другой стороны, это как сказать: пирожное с шоколадом - самая вкусная еда. Будем есть все!
Поскольку в условиях не сказано, что углы B и D не прямые, то мысленно вращаем треугольник BCD вокруг точки D с соблюдением условий задачи до тех пор, пока угол D не станет прямым. Исходя опять же из условий задачи о равенстве AB и AD, получаем равенство BC и CD при их сумме 12. Э вуаля: имеем квадрат со стороной 6 и площадью 36.
Да, но при это следует также рассмотртеь случай, когда эти углы не прямые.
я тоже как-то пробовал строить/крутить в автокаде эту задачку - и у меня она вырождалась в квадрат в итоге, других вариантов построить не удавалось :(
@@GeometriaValeriyKazakov не обязательно, условия задачи не задают ограничения на эти углы. А значит если от их значения площадь меняется, то условия некорректны и надо было обозначить какие-то ограничения на эти углы. Если же условия корректны, то значит от углов площадь не зависит, а значит она 36
И я так решила. Ясно, что это "квадрат".
О, нашел такое же решение, совсем не обязательно рассматривать другой вариант потому что если будет другой ответ то значит не верно сформулирована задача, условия не достаточно для решения и может иметь разную площадь. Я описал решение в другом комментарии, там привел второй частный случай где длина одного катета треугольника ВСD стремится к нулю а второго к 12, тогда площадь четырехугольника стремится к площади треугольника ABD c длиной гипотенузы равной 12 и высотой 6, также к 36. Хотя слово стремится в этом случае не верно потому что она всегда будет равна 36.
Все просто, легко и воздушно! Все, как я люблю! Огромное спасибо за отлично поданный материал, прям захотелось ещё порешать. Изящно!
И вам большое спасибо!
А Паскаль еще был физиком и в честь него названа физическая единица. Мне очень нравится, как вы привносите небольные зернышки общей культуры (литературу, факты из жизни великих ученых) в решение задачи. Вы настоящий педагог.
Спасибо, так и былдо задумано. Но некотрым не нравиться, говорят - много воды. Что делать?
@@GeometriaValeriyKazakov но ведь всем не угодишь. Продолжайте в выбранной Вами манере преподнесения информации!
Очень интересно, полезно, содержательно!
@@МишаиГришаиТиона Спасибо за поддержку.
А ещё Паскаль изобрёл суммирующую машину.
Супер, спасибі, дуже цікаві рішення! Із задоволеням слідкую за вами.
@@ТетянаСтаніславівна-ь8р вам не автор канала ответил
Здравствуйте. Валерий Владимирович Козаков - автор учебника по геометрии в Беларуси. По-моему, работает и живет в Беларуси. И, мне кажется, наши славянские языки очень похожи, чтобы понимать друг друга. Давайте не будем использовать такой замечательный образовательный канал для выяснения отношений.
@@mishania6678 Классическая точка зрения шизофреника! Который разговаривает с окружающими на "своем языке", который никто, кроме него, больше не понимает. А вместо совести и ума у них - демагогия "про права" и сваливание с больной головы на здоровую.
@@mishania6678 По-моему очевидно, что "оскорбить всех пытаются" только дикие зомбоукры, потомки быв. великих Людей.
И Вам спасибо. Извините за поздний ответ.
Спасибо за многообразие решения. Мы решили одним способом ( через доп построения). И были безумно горды собой)))
Великолепно!!! И я горд за вас!
Валерий, СПАСИБО!!! Я восхищён тем, как Вы подаёте варианты решений (11-й, 10-й, ... ,7-й класс... и даже младше)!!! Мне больше всего именно этого не хватало... И вот я открыл для себя Ваш канал!!... Комментировать буду не всегда, а вот смотреть... -- постараюсь не пропускать! 👍 Ещё раз СПАСИБО!!!
И вам спасибо, что поняли идею. Ведь смотрит много не профессионалов, и они не понимают просто, зачем это нужно. А вы знаете!
Перевернем четырехугольник на 90 градусов(отложим такой же, D в B ,C в К, B в Е. Так как четырехугольник можно вписать в окружность, ADC+ABC=180, то есть ЕК параллельна CD, после поворота образовалась боковая сторона KC = BC+CD = 12. Средняя от ни я трапеции = EK+CD/2=12/2=6, S=6*12=72, Это площадь двух изначальных фигур, значит искомая = 72/2 = 36
Да. Спасибо.
Так как нет дополнительных условий, мы имеем два предельных варианта: 1) это квадрат, и его площадь 36, или 2) точка В совпадает с точкой С и у нас прямоугольный равнобедренный треугольник, с гипотенузой 12, площадь которого тоже 36. все остальные варианты лежат в диапазоне площадей от 36 до 36.
Несмотря на четыре "лайка", это не решение. Ваши предположения вовсе не гарнируют, что в промежуточных вариантах изменение площади невозможно. Рассмотрите другую ситуацию: прямоугольник с суммой длин смежных сторон, равной 12. Например, 1 и 11. Его площадь будет равна 11. 2 и 10 -- площадь 20. И тп.
@@theMerzavets нет, не будет больше. У нас функция с тремя уже определенными точками: 1) вариант когда BC = 0; 2) вариант когда BC = CD; 3) и вариант CD = 0. Везде функция дает одинаковый результат. такая функция не может иметь перегибов, и будет в виде прямой. т.е. и при остальных вариантах соотношения BC/CD она будет давать одинаковый результат.
@@theMerzavets, так в иных случаях будет и не прямоугольник, а просто четырёхугольник.
@@IlyaKiss во-первых, с одинаковым периметром можно построить бесконечное количество именно прямоугольников; во-вторых, я не совсем понял суть вашего возражения. Или это не возражение было?
@@maxb5882 а на каком основании вы считаете эту функцию линейной? Какую кривую опишет угол при изменении её параметра? (Подсказка: хотя бы мысленно рассмотрите множество вписанных в окружность прямоугольных треугольников. Как раз все три ваших условия выполняются -- в крайних точках имеем треугольники, вырожденные в отрезки -- но функция при этом тригонометрическая.)
Проводим В-D. На серидине В-D лежит центр окружности проходящей проходящей через А В С и D. Отсюда АВ+СD = DC + СВ =12. Так как АВ=СD то АВ= 6 . Дальше 6*6=36
Отлично.
@@GeometriaValeriyKazakov только треугольник ВСD МЕНЬШЕ треугольника АВD. так как только равнобедренный треугольник будет иметь максимальную площадь. А все не равнобедренные будут меньше. Отсюда: площадь АВСD меньше 36.
Согласен.@@СергейМусиенко-м4н
В исходной задаче предполагается, что ответ будет единственным, вне зависимости от величины угла В (и, соответственно, ответного ему D). Т.е. я могу мысленно двигать вершину С произвольно как мне вздумается, искомая площадь при этом не изменится, если А=С=90°. При таком мысленном перемещении я останавливаю вершину С так, чтобы В равнялся 90°. Тогда D будет = 360-A-B-C=90°. Перед нами квадрат со стороной 6, т.е. s=36. Это одно из допустимых решений, а условия задачи предполагают, что оно единственное, т.е. все площади всех возможных четырёхугольников, образованных траекторией мысленного движения С должны быть равны друг другу.
Вы не знаете и не можете знать, ч о предполагается в исходной задаче. Строго говоря. там ничего не предполагается. Есть условие и все. Простые учебники - зло! В них у любой задачи есть ответ, в жизни и в математике это просто не так.
При всём множестве существования такого 4-х угольника ответ будет один 36 кв. ед. Смотрите решение в комментариях выше. Там есть критерий существования таких 4-х угольников через зависимость катетов.
@@ВасилийИльиненко-ц5е детский сад, штаны на лямках.
Это неполное решение. Но оно вполне годится в отдельных случаях. А неполное потому, что берем частный случай и решаем его, но при этом не утруждаем себя доказательством того, что решение задачи будет одно и тоже, независимо от того какой случай взять. Т.е. факт того, что площадь будет одной и той же при разных соотношениях ВС и СD, и зависит только от их суммы мы подразумеваем из условия, но не задумываемся о том, что условие может быть неполным или противоречивым.
Попробуйте построить фигуру которая дана в условии задачи, и вы поймёте что ошибаетесь!
Два прямоугольных треугольника (один из которых равнобедренный) с общей гипотенузой. Используя теорему Пифагора и формулу суммы квадратов чисел получаем площадь фигуры 36. Легко и просто.
Решил устно, ~ 10-15 cек🤣
формулу квадрата суммы чисел, а не суммы квадратов
Спасибо. Елена оговорилась. Да, алгебраический способ эффективен. Спасибо, что смотрите нас.
Ответ- 36. Решение: соединим т.В и т. Д. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВД и ВСА. У них общая гипотенуза ВД. Из теоремы Пифагора следует сумма квадратов катетов в данных треугольниках будет одинакова, это возможно, если сумма длин катетов АВ+ АД = ВС+ СД = 12, так как треугольник АВД равнобедренный, то длина его катета равна 6, а площадь всей фигуры- 36.
Да, это хорошее алгебраическое решение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте". Там я его применяю.
Примерно так и я делал.
Треугольники с общей гипотенузой, значит их площади одинаковы, и равны половине от произведения их катетов. А так как катеты у второго одинаковы, значит 12/2=6
Общий объем 6*6=36
@@SerhiiSoproniuk Спасибо. Если у треугольников общая гипотенуза, то их площади не обязательно равны ).
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен. Ошибка.
@@SerhiiSoproniuk Очень непросто признавать ошибки. Хорошее качество, на мой взгляд. Спасибо.
Проведём диагональ ВД. Она делит 4-х угольник на два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза. А далее применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.
Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Соединяем прямой точку B с точкой С где она является диагональю для двух образованных треугольников АBС и ВСD. Сумма сторон ВС и СD = 12 применяем теорему Пифагора и находим длинну диагонали для двух образованных треугольников. Тогда получаем сумму сторон АB и СD =12, по условиям они равны между собой, 12:2=6, 6×6=36, что является площадью четырёх угольника.
(ВС+СД) в квадрате = 144. С другой стороны, если расписать квадрат суммы, учитывать АВ=АД , то получится (ВС+СД) в квадрате =4S. Отсюда S=144/4=36
Да, можно алгеброй. Спасибо.
Чтобы "отшить" любителей частных случаев можно ввести дополнительное бессмысленное условие.
Назначить углу АВС значение, с минутами и секундами.
Ну, да можно. Только смотреть не будут. ruclips.net/video/c-ujEMxS3i4/видео.html
Спасибо огромное. Для меня эта информация очень важна. Я лично кроме теоремы Пифагора и суммы площадей больше ничего придумать не могла
Спасибо.
Левую и правые части равенства условия возвести в квадрат .Оставив в левой части сумму квадратов , перенести удвоенное произведение в правую .Левая часть даёт квадрат ВД , что есть 2 АВ квадрат. То есть 4 площади треугольника АВД .В правой части 144 - 4 площади ВСД.Ответ 36
я тоже так решила😊
Спасибо. Да, конечно, алгебрический способ хорош.
Супер Всё способы хороши Но особенно понравился 3 способ
Спасибо.
Выражаю признательность автору,за отличный "разбор полётов".
Учитесь все, как нужно писать комментарии! Спасибо, что смотрите нас.
Красивые решения,спасибо!
Спасибо за подробный разбор. Решил 1-7 класс )). Склеил 4 равных четырёхугольника в большой квадрат со стороной ВС+СD=12.
И вам спасибо.
Этот четырёхугольник и ещё три, полученные и него поворотом вокруг A на 90, 180 и 270 градусов, вместе образуют квадрат со стороной 12. Площадь тогда равна 12^2/4=36.
Спасибо за комментарий.
Я делал по-другому:
Диагональю BD разделил на два треугольника.
BC - y
CD - x
x+y=12 тогда BC = x-12
У обоих треугольников выразил площади через X.
Сложил получившиеся формулы. При упрощении уравнения X везде сократился. Ответ 36
Спасибо, что смотрите нас.
поскольку четырехугольник вписан в окружность - то для него работает правило - BC+AD=CD+AB. И поскольку BD общий диаметр для двух прямоугольных треугольников BCD и ABD, вписанных в окружность, то BC+CD = 12 равно как AD+AB=12. AB=AD=12/2=6. Sabcd=2*6*6/ 2=36
Вы ошибаетесь. У вписанных четырехугольников равны суммы противоположных углов, а не сторон.
@@АланияКрокодилова пардон - у вписанного четырехугольника работает правило произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. и учитывая что АB = AD и BC+CD=12, а так же исходя из того что треугольники ADB и BCD прямоугольные найдем BC по теореме Пифагора - BC= 6(2-2^1/2) . Из уравнений найдем AB=AD- и AB будет равно 12*(1-(2^1/2)/2)^1/2 , а CD = 6*2^1/2 из этого найдем площадь четырехугольника как площадь двух прямоугольных треугольников. Отсюда и получится 36.
Спаасибо, что смотрите нас. Все заблуждаются.
Спасибо! Замечательная задача!
Алания, куда Вы пропали?
Самое просто решение. 1. Решение есть и оно однозначно 2. Решение не зависит от углов В и D, т е В и D могут быть любые. 3. В=D=90. X=Y. 6²=36
Спсибо. А кто сказал, что не зависит? Вдруг при других углах - другие ответы?
@@GeometriaValeriyKazakov так тогда бы условие было зависимым от углов :)
@@mobikost Да, но поскольку в условии ничего не сказано, то в матемтаике это понимают так: мы рассматриваем все случаи, либо самый общий. Такие правила игры.
@@mobikost Обычно на олимпиадах этого не пишут, так как там все профи и всем все понятно. Но вы правы, для любителей можно было дописать, что ABCD - не квадрат!!! Но тогда не было столько комментариев, что тоже плохо для канала! Диалектика!
Искомая площадь: AB^2/2+BCxCD/2. Выразим AB^2 через BC и CD. AB^2/2=BD^2/4, BC^2+CD^2=BD^2. Тогда площадь равна (BC^2+CD^2)4 + BCxCD/2, складываем и получаем (BC^2 + 2BCxCD + CD^2)/4, заметим, что выражение в скобках это квадрат суммы, тогда ((BC+CD)^2)/4 или 114/4=36
Думаю, что это самое лучшее алгебраическое решение.
@@GeometriaValeriyKazakov я только что решил точно так.
@@ВасилийСорокин-ю1с Единомыслие!
если во втором решении не вводить х, то станет проще. 12^2 = (BC+CD)^2 = BC^2+CD^2 + 2*BC*CD = BD^2 + 2*BC*CD = AB^2 + AD^2 + 2*BC*CD = 2*AB*AD + 2*BC*CD = 4*S_{ABD} + 4 * S_{BCD} = 4S. Отсюда S = 12^2/4 = (12/2)^2 = 36.
Спасибо.
4 таких прямоугольника складываются в квадрат со стороной 12, площадь которого будет 144, значит площадь АБСД 144/4=36. Просто поворотом на 90 относительно точки А.
Вашу мысль понял. Да, вы правы. Только 4-ка (оговорочка). Это известное рабиение квадрата. В молодец, если сами придумали!
AD = AB = x, ВС =а, CD = b. a+b = 14, квадрат (a+b) = 144, удвоенный квадрат х = cумме квадратов a и b (теорема Пифагора). Следовательно сумма квадрата х и произведения a и b = 72, а следовательно площадь четырёхугольника - 36.
Привет, однофамилька! Извините, что раньше не заметил. Рад вас видеть на канале.
А разве сумма квадратов чисел равна квадрату суммы этих чисел?🤔🤔🤔🤔🤔🤔
@@silenthunter9239 нет не равна. Квадрат суммы равен сумме квадратов а и b плюс удвоенное прозведение а на b. Но сумму квадратов а и b в этом равенстве можно заменить удвоенным квадратом х. По теореме Пифагора. Два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу BD, а значит, суммы квадратов их катетов равны.
@@ТамараКазакова-и1ы Спасибо, Тамара!
Браво! а я не решил! не нашёл что и куда повернуть, дорисовать, но предположил, что 12 делим на 2 и получаем 36, но это так получилось в следствие паники и стыда
Спасибо.
Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника, равна половине гипотенузы., тогда СН=6
Отлично.
Еще проше: (12/2)^2=36. Потому что квадрат со стороной 6 подходит под условие задачи.
Спасибо, что смотрите нас.
ruclips.net/video/ZMNIKokmBDg/видео.html
Я нашёл свой собственный, который лучше ваших. ))
Раскладываем на плоскости наш четырёхугольник и ещё три его копии, образованные его трёхкратным поворотом на 90 градусов вокруг точки А. И обнаруживаем, что в сумме они составляют квадрат со стороной BC+CD = 12; Его площадь равна 12^2 = 144; А площадь его четвертинки, соответственно = 144 / 4 = 36.
Аминь.
PS. Само собой нужно немножко доказать, что всё стыкуется именно в квадрат, но это дело несложной техники, я думаю пятиклассник справится без труда.
PPS. Вообще, при просмотре видео, я ожидал увидеть это решение в качестве третьего, самого простого и красивого, способа. Но так и не дождался. Мы с Маленьким Принцем немного разочарованы...
Ваше решение тоже восхитительно, хотя оно вытекает из двух решений Валерия. ☝️ Или его решения являются производными от Вашего. 🤔 Можно и так сказать. 👍 Но главная изюминка Вашего решения в том, что оно демонстрирует единство этих трёх решений, что они -- суть одно и тоже! 😏 Кстати, большое спасибо Вам за Ваше решение!! 👍
Решение офигенное
да, пожалуй, это то самое "решение в одно действие" -- просто гениальное 🙂 Но до него догадаются "не только лишь все".
Спасибо вам!
Я же увидел диагональ BD, которая является диаметром описанной окружности для двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, и т.д.
Доказательство, что стыкуется в квадрат требует знания из 8 кл о том, что сумма углов четырехугольника 360. Как и решение автора для 1-7 кл. Я, кстати, именно его и нашла в первую очередь.
Проводим диагональ ВД. Треугольник АВД прямоугольный и равнобедренный с основанием ВД. Уколы при основании по 45 градусов. Теперь в треугольнике ВСД угол СДВ равен 90 минус угол СВД. И в то же время угол СДВ равен угол СДА минус угол АДВ, который 45 градусов. Значит СДВ равен 45 градусов Всё. Это квадрат. Задача из пальца высосана, зачем только? Время на канале забивать ?
самый простой алгебраический. площаь квадрата - квадрат диагонали на 2 деленный. значит треугольника BAD - деленый на 4. площадь прямоугольного тр-ка - полупроизведение катетов. возводим условие в кадрат делим на 2 и получаем ответ
Спасибо. Алгебраический способ хорош. И если бы я его дал, то не было бы половины комментариев. Какой я предусмотрительный!
Валерий, спасибо за геометрию, и за Экзюпери.
И Вам спасибо за Экзюпери.
Можно не задумываться над трансформацией, а просто 12 представить как сумму 2+10 (или любую другую, 3+9, например). А дальше посчитать BD, как гипотенузу прямоугольных треугольников. Корни квадратные из неудобных чисел самоликвидируются при подсчете площади треугольника ABD.
Спасибо. все варианты решения понравились, 7 класс всё-таки более красивый.
Спасибо. Нужно все способы. Ведь мы тренируемся решать разные задачи.
я повелся на первый кадр и решил устно. BD -- диаметр окружности. точки А и С лежат на окружности и опираются на этот диаметр. Можем двигать точку С на окружности, угол BCD будет оставаться прямым. Подвинем точку С по окружности так, что она перейдет в точку B, треугольник BCD станет вырожденным и диаметр окружности тогда равен 12, радиус 6. В таком случае S_ABCD = S_ABD = R^2 = 36.
Спасибо. Непонятно, почему сумма BC+CD=12 будет сохраняться.
В ( 06.17) ошибка: " можно найти катет - он будет 12 делить на корень из 3". Правильно " 6 умноженное на корень из 2 или 12 деленное на корень из 2". Ведь острый угол 45 градусов, а не 60
Спасибо.
Диагональ БД делит четырех угольник на два прямоугольных треугольника. Площадь прямоугольника=1/2произведения катетов. Имея сумму катетов меньшего треугольника можно составить формулу в которой диагональ общая с равнобедренным треугольником.
Новый канал ruclips.net/video/KE0J6FzI9Hg/видео.htmlsi=ahDbhp9bkhkHK_Pj
Предположим что при данных условиях площадь не меняется. Возьмём частное значение когда точка С будет расположена на биссектрисе угла. Тогда получая квадрат ( по условию) сторона которого равна 6. Площадь 36.
Решается в уме.
Спасибо. Частное решение не доказывает общий случай. ВСе простые числа задаются формулой x^2+x+41, написал Эйлер и ... ошибся. Не все.
@@GeometriaValeriyKazakovтак никто доказательства и не спрашивал, надо было ответ устно узнать😁
Все точки лежат на одной окружности с диаметром BD. У четырехугольника есть два интересных частных случая:
1. ВС=0, и тогда это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, площадь 36
2. ABCD - квадрат со стороной 6, площадь 36
Спасибо. Интересное рассуждение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте"
я также решил, по моему это самое корректное решение, что ВС может быть в диапазоне от 0 до 6.
@@242ra Спасибо. Да, про диапазон верно. А дальше что?
Ну и... в промежутке между 1) и 2) пока ВС принимает значения от 6 до ноля, отрезки АВ и АД будут принимать значения от 6 до 8,48. производя площади бесконечного количества четырехугольников равними 36.
Можно провести диагональ BD. Получим один равнобедренный треугольник, у второго прямоугольного сумма какие-то равна 12.
Используем формулу сокращённого умножения суммы в квадрате. Раскрываем и получаем суммы площадей этих треугольникков , умноженных на 4. Ответ 36
Да. Это хорошее алгберическое решенние. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте".
А можно пойти дальше, и заметить, что сторона прямоугольного треугольника BCD может меняться от стремящейся к 0 до стремящейся к 12. Тогда BD можно принять равным 12, площадь верхнего треугольника принять за 0, а площадь нижнего прямоугольного, равнобедренного треугольника с гипотенузой 12 будет как и у вас квадрат половины гипотенузы 6х6=36.
Решается очень просто: если площадь не зависит от двух неизвестных углов, то площадь квадрата равна (12/2)²= 36.
Или, например, ВС или CD стремится к 0, то получается равнобедренный треугольник с основанием 12 и прямым углом в вершине, высотой 6. Площадь этого треугольника 12×6/2=36!
Спасибо. А если все-таки зависит?
@@GeometriaValeriyKazakov а если зависит, то задача равносильна вопросу "какое расстояние между двумя планетами солнечной системы" или "сколько весит атом".
Спасибо за три способа решения.
И вам.
Решил без каких либо доп. построений.
Обозначим
BC=y, CD=z, AB=AD=x
Имеем
z+y=12
Решаем
S(ABCD) = S(BCD) + S(ABD)
S(BCD) = zy/2
S(ABD) = x^2/2
BD^2=2*x^2=y^2+z^2
y+z=12 =>
y^2 + z^2 + 2zy = 144
y^2 + z^2 = 144 - 2zy
Так как y^2 + z^2 = 2*x^2, то можем записать
2*x^2 = 144 - 2zy
x^2 = 72 - zy
Так как площадь равна сумме площадей треугольников ABD и BCD, то
y*z/2 + (72 - yz)/2 = (yz + 72 - yz ) / 2 =>
S(ABCD) = 72/2 = 36
Отрезок BD является гипотенузой треугольников ABD и BCD. Имеем тождество: BC + CD = 12. (BC + CD)÷2= 6. (BC÷2 + CD÷2)^2=6^2=36. (BC^2 + CD^2)÷4 + BC×CD÷2 = 36. BC квадрат плюс CD квадрат есть квадрат гипотенузы. Квадрат гипотенузы деленный на 4 равен площади треугольника ABC. BC×CD÷2 - площадь треугольника BCD. Площадь 4-угольника равна сумме площадей 3-угольников. Для проверки подставим в формулу численные значения BC и CD, согласно тождеству: 11 и 1; 10 и 2; 9 и 3; 8 и 4; 7 и 5; 6 и 6. Выясняется, что при всех сочетаниях катетов площадь 4-угольника неизменно равна 36. Фантастика! Этого не может быть! А как это работает? А давайте возьмем другие значения катетов BC и CD, а именно: -- 1 (минус 1) и 13; -- 2 и 14; -- 3 и 15; --88 и 100; --5 и 17 и так далее, тождество нам позволяет. Увы, результат тот же - 36. С той разницей, что здесь площади не складываются, а вычитаются. Окончательная формула - Sabcd = Sabd +/-- Sbcd
Спасибо.
ruclips.net/video/-UgSZnv2F4g/видео.html
Решил вращением ∆ACD вокруг точки А. Хотя мне как-то ближе алгебраический метод, ну, а самый красивый - 3-й способ. *Спасибо!*
Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Есть еще 1 вариант решения через оценку выражений. Выражаем диагональ BD по теореме Пифагора 2 раза приняв АВ=АD=x и выразив площадь ABCD через нее. В итоге получим BC=6+/-(x2-36) 1/2. и x=6, а площадь АBCD тогда 36.
Это и есть то, как решить устно.
Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Загадка: дан четырёхугольник, 2 стороны равны, 2 угла прямые. Тогда, 2 других угла тоже прямые. Но тогда и 2 другие стороны тоже равны 2 предыдущим. Так это ж квадрат! 6*6=36
Спасибо. Не обязательно.
Меня же эта задачка тем и заманила что решить её можно множеством способов.
Меня всегда интересовал самый 'элегантный' - как правило, являющийся также самым 'эффективным' в смысле 'трудозатрат' (крайне актуально в реальной жизни и для не-математиков 😁). А вот тут-то и кроется весь пресловутый дьявол.
Как правило, для нахождения элегантных решений, недостаточно знать/понять технические детали, главное - понять суть. Валерий это выразил научным термином 'инвариант'. Как-то так 🙂.
P.S.: я вот совсем не педагог, но мне кажется что такого рода задачи ценны именно в 'методологическом' плане - учат школьников пониманию, а не просто и не столько чисто техническому решению задач. Имхо, это был один из сильнейших аспектов 'совкового' средне-школьного образования (по кр.мере, в естеств.науках), мир праху его, к большому сожалению.
Эта задача решается устно, проведем от B линию до D получим равнобедренный треугольник, сумма внутренних углов 180 минус 90 и поделить на два получим , что каждый угол равен 45 градусов . Сумма углов четырёхугольника равна 360 , отсюда легко понять , что это и есть квадрат, тогда легко найти сторону квадрата которая равна 6 а площадь итак понятно 6*6=36 , тут квадрат нарисован по факту не правильно
Гениально блогодарю
Спасибо!
ruclips.net/video/kLoF82dCqnk/видео.html
Последнее решение понравилось, спасибо
Я сперва решил алгебраически (через x) (8 класс). Только скобки нигде не раскрывал, поэтому получил в последней дроби в числителе полный квадрат, где у меня x благополучно сократился.
А получив квадрат половины от 12, понял, что можно провести перпендикуляры из A на стороны BC и CD, и получить равновеликий четырёхугольнику квадрат со стороной 6 (способ похож на приведённый для 1-7 класса, но рассуждения чуток проще). Правда в первом классе ещё не знают о перпендикулярах.
Решения с разрезанием по AC не заметил.
Замечание: когда в геометрии говорят о равенстве фигур, то имеется в виду равенство их величин, т.е. площадей, а не конгруэнтность.
Спасибо.
Дело в том, что BC и CD мы можем выбрать произвольно не нарушая условие задачи. В этом легко убедиться, вписав 4 -угольник в окружность: BC совпадет с ее диаметром. Например, можем взять BC =CD = 6. Тогда получаем квадрат со стороною 6. Ответ - 6х6=36. Или, если хотим, BC =0, CD =12. Тогда 4-угольник превращается в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой 12 и высотой 6. Площадь , соответственно, та же: 12х6:2=36. Вот и все...
А кто разрешил выбирать? Нарушение.
Смотрите послений ролик Говорят ответ 8 не настоящий!
А какое условие задачи я не выполнил? Я думаю, сам автор не осознал суть задачи. Правильное условие звучало бы так: доказать, что площадь 4-угольника не зависит от AB. Сама же площадь вычисляется, как я показал, элементарно. @@GeometriaValeriyKazakov
Посмотрите, может поможет ruclips.net/video/Cmv3onThkSU/видео.htmlsi=qb0fw5Zosfnhl_ny@@АлександрСавченко-ы4л
AB = AD = c
BD = d
BC = x
CD = y
Площадь треугольника АBD = c^2/2
Площадь треугольника BCD = xy/2
Выразим с^2/2 от x и y
x^2 + y^2 = d^2
2c^2 = d^2
c^2/2 = d^2/4 = (x^2 + y^2)/4
возведём выражение x + y = 12 в квадрат
x^2 + 2xy + y^2 = 144
x^2 + y^2 = 144 - 2xy
Получается
c^2/2 = (144 - 2xy)/4
Общая площадь
c^2/2 + xy/2 = (144 - 2xy)/4 + xy/2 = 36 - xy/2 + xy/2 = 36
Красиво)
Спасибо за ваш подробный ответ.
По чисто математической состоявляющей решения комментом ниже, представленое решение - чуть более элегантное изложение второго подхода из видео.
Применяем дважды т-му Пифагора, причём в её простейшем написании (т.е. без квадратных корней), к одной и той же гипотенузе BD. Потом понимаем/просекаем 🙂, что тут площадь ABCD = просто сумма площадей двух прямоугольных треугольников, один из которых равнобедренный.
А площадь каждого треугольника = просто половина соответствующего прямоугольника (поэтому в самом конце 72 делится на два). И вуаля 🙂
Да, два Пифагора - стандарт. Но решали 7 классом - обрезание и поворот.Это олимпик. ruclips.net/video/ZMNIKokmBDg/видео.html
ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36.
Просто два угла в 90 градусов и общая гипоненуза ВД говорят о том, что площади двух треугольников равны.
Равностороннесть АВ и АД с гипотенузой(диагональю квадрата,который мы представляем мысленно авсд ) говорит о том, что ав+ ад равно 12...можно более развернуто с доказательствами, но вроде это и так видно...как бы тянем угол С (прямой) до построения квадрата. Диагональ на месте, сумма сторон известна
"ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. "
Как может быть "она сторона 12/2=6", если видно, что катеты прямоугольного треугольника BCD - Не Равны.
Равенство АС = СД (из условия задачи) вовсе не означает, что их сумма равна 12. Их сумма в любом случае будет БОЛЬШЕ, чем ВС+СД.
можно решить много проще. Из условия понятно, что любой 4-хугольник, соответствующий условию имеет одинаковую площадь. Значит можно взять 4-хугольник у которого ВС=СD=6. поскольку у треугольников общая диагональ, а треугольник BCD равнобедренный, с прямым углом, то АВСD - это квадрат со стороной 6 см. Соответственно площадь - 36
Из условия это никак не следует. Это вы додумываете условие. В конце-концов так и получилось. Но математическая задача в том, чтобы это как раз доказать!
ДиагональВД является общей гипотенузой для двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС**2+СД**2=2АВ**2. Отсюда:АВ**2=(ВС**2+СД**2)/2.
Площадь фигуры состоит из суммы площадей двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД :
S=(АВ**2)/2 + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2)/(2*2) + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2 + 2*ВС*СД) /4 = (ВС+СД)**2/4 = 12**2/4 = 144/4 = 36
Спасибо за подрбное алгебраическое решение.
Напрашивается возвести в квадрат заданную сумму: 144=(BC+CD)в квадрате. Здесь будут содержаться: 1) площадь треугольника BCD и 2) квадрат диагонали BD, содержащий площадь треугольника BAD.
Уточняю. 4 площади треугольника BCD=2BC*CD и 4 площади треугольника ABD=(BC*2+CD*2) =BD*2=2AB*2. Ответ 144:4=36.
Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".
Тут ещё проще решение. BD это диаметр окружности в который вписана эта трапеция. Поскольку треугольник BCD опирается на диаметр окружности то точка С может лежать на любом ее участке между точками B и D, не противореча условиям задачи. В том числе и совпадать с этими точками в пределе. В этом случае диаметр окружности будет равен 12 см. А площадь трапеции или уже треугольника будет равна четверти от 12 в квадрате т е. 36 см. Задача решается устно без всяких построений.
Спасибо. Отличная идея.
Возможно я и допускают какую-то логическую ошибку но гипотенуза БД у четырёхугольника общая, следовательно её кводрат так же будет общим и следовательно сумма квадратов катетов каждого из треугольников будет одинаково, при каких значениях катетов это возможно?
3^2+4^2=1^2+(\/24)^2=25
@@GeometriaValeriyKazakov но тут отсутствует длина двух катетов 12 и и длины равнобедренного треугольника.
А можно вообще очень просто сделать. По формуле Пифагора, так как BD будет общей гипотенузой для ABD и CBD, то AB²+AD²=BC²+CD², а также нам известно что AB=AD, то есть ABD равнобедренный, и если BCD сделать тоже равнобедренным, то получаем квадрат. Соответственно 6*6=36. Предчувствую кучу комментариев что так делать нельзя, отвечу оба треугольника имеют общую гипотенузу, которая в свою очередь является центром окружности, в которую вписаны оба треугольника, и какое ни было бы соотношение сторон ВС и СD, будет меняться радиус окружности но не сумма площадей этих треугольников, и отсюда же AB=AD>=6
Спасибо. Это хорошее алгебраическое решение. См. рлик "Вишенка на торте"!
Но здесь же на видео представлены 3 способа, а не 4, как сказано в описании. Или я что-то упустил?
Ну, не суть.
Четырёхугольник ведь можно нарисовать по-разному, главное чтобы сумма BC+CD была равна 12.
Тогда пусть BC=CD. Тогда этот 4-угольник будет сразу квадратом со стороной 6. Площадь, следовательно, 36.
А ещё можно рассмотреть вырожденный случай, когда BC=0. Тогда CD=12 и мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12. Тоже вариант.
Спасибо, что смотрите нас.
Я очень люблю решать задачи по геометрии и математические примеры, но у меня ничего не получается в итоге, и я смотрю, как это делают другие. Не знаю, почему у меня это вызывает интерес. Наверно, это дано или же не дано от природы - улавливать суть в неочевидном, видеть и просчитывать возможности и ходы. Наверно, это то единственное, чему я завидую в других.
Спасибо.
Для себя понял, что застрял 8-9 классе, потому как решил именно таким способом. Спасибо за интересный разбор.
И Вам спасибо!
Решал алгеброй. Потратил 30мин. пришлось заново научиться выражать площадь квадрата через его диагональ, и вспомнить сумму квадратов. Костя, 36 годиков.
Спасибо. Вы молодец, что потратили время. Да, это хороший алгебраический способ.
дошкольник: BC+CD=12. В частном случае BC=CD=6. четырехугольник вырождается в квадрат. S=6x6=36
Спасибо, что смотрите нас.
x+y=12
Area=xy/2
Diagonal=√{xx+yy}
Area of left side triangle=aa/2
Total area=xy/2+aa/2
√2a=√{xx+yy}
2aa=xx+yy
2aa+2xy={x+y}^2=12^2=144
Dividing by 4 we get
a^2/2+xy/2=144/4=36
Super!
Устное решение. Возводим BC+CD=12 в квадрат и получаем 4 площади треугольника BCD и 4 площади треугольника ABD равны 144. Ответ 144:4=36.
???
Спасибо. Не то чтобы устное, там еще то алгебрическое колдовство. Но решение красивое.
А ещё можно заявить, что условия задачи с нефиксированной геометрией!
То есть, что при постоянной сумме ВС+СД=12 диаметр описанной окружности Ф=ВД является переменным значением.
При этом справедливо решение в вырожденной задаче при слипании точек В и С, когда у треугольника АБД гипотенуза БД=12
Откуда следует, что площадь треугольника равна 36
При любых трансформациях фигуры в четырёхугольник в границах условий и вся фигура будет равна 36
ВЫ правы, если точно знаете, что однозначное решение существует. Но, как правило, это не так.
@@АланияКрокодилова , так я и говорю, что здесь нет однозначного решения в графическом виде, но площадь одинакова в широком диапазоне сдвига картинки, включая предельные крайние случаи: Треугольник и квадрат.
@@ИльяМонин-ц9з Но если вы этим пользуетесь, то должны доказать!
@@АланияКрокодилова , а вот тут не совсем верно!
Это две разные задачи!
1. доказать, что подвижное неоднозначное геометрическое условие даёт одинаковый результат по площади.
2. посчитать требуемую площадь.
Я посчитал предельный случай по 2-му вопросу, а вот 1-й вопрос ЗАЯВИЛИ при постановке задачи сами авторы...))
@@ИльяМонин-ц9з Вы та-акой доверчивый!
1. Ни чего не мешает рассмотреть частный случай, когда ВС=0. Получаем треугольник АВD, BD=12. Опускаем высоту на ВD. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами по 6. Sabcd=6*6/2*2=36
2. Другой частный случай BC=CD=6. Т.е. получаем квадрат со стороной 6. Sabcd=6*6=36.
Два решения с одинаковыми ответами. Тривиально. А вот доказать, что площадь во всех случаях неизменна - сложнее.
Спасибо. А что позволяет рассмотреть частный случай? Давайте найдем площадь параллелограмма со сторонами 6 и 8. Рассмотрим его частый случай - прямоугольник. Получим 6х8 = 48. Верно, что ли?
@@GeometriaValeriyKazakov , из условия задачи следует, что площадь фигуры неизменна при любых BC и CD с ограничением, что их сумма равна 12. Отсюда решение любого частного случая покажет единственно верный ответ.
ЧТо за бред кликбейт в названии. Ниче что геометрия начинается только в 7 классе? В первом классе проходят сложение простых чисел 2+2. Ни о какой планиметрии дети не слышали. А задача сложная, расчитаная на старшую школу 10-11 класс или даже на курсы вуза. Но точно не на среднюю школу и тем более не на первый класс
Разумеется, все условно. Но в 1-3 классе Спивак (МГУ) обучает довольно сложным олимпиадным вещам. Думаю, вам все-таки стоит посмотреть другие ролики и поддреживать популяризатов математки.
Это вы зря,в начальной школе есть геометрические задачи,даже периметр вводят в 1иклассе,задачи на нахождение площади квадрата и прямоугольника,а в 4 задачи на прямоугольный треугольник и нахождение площадемюй многоугольника.Пусть не по формулам ,но все же.
Если присмотреться внимательнее, то в первом (для 10 класса) и в третьем (для 1-7 классов) случае производится разрезание заданного четырехугольника на две части, одной из которых является треугольник, который в дальнейшем перемещается на другое место на плоскости, образуя с оставшейся частью новую фигуру.
В 1-м случае не обязательно это называть поворотом, можно как и в 3-м случае отрезать и просто переложить на новое место, и наоборот, в 3-м можно перемещение треугольника совершить путем поворота, как и в 1-м случае. Таким образом, 1-й и 3-й варианты решения задачи отличаются только полученной вновь фигурой.
Далее, площадь квадрата изучается во 2-м классе, а площадь треугольника в 3-м, поэтому не стоит позиционировать данную задачу для 1-2 класса, не смешите людей!
И не буду расписывать алгебраическое решение, которое вы позиционируете для 8-9 классов, просто упомяну, что есть гораздо более изящный вариант этого решения, не по сути, но, как минимум, по оформлению, а значит, он будет более нагляден и доходчив другому человеку!
Спасибо огромное за столь подробный комментарий. Он всем будет полезен!
Ещё проще,сумма длин вс и сд делим на 2, получаем 6,значит и другие стороны тоже 6 ,т.е. квадрат ,шестью шесть равно 36, усе...
Спасибо.
обожаю красивые задачи по геометрии
Спасибо. И я тоже обожаю.
Зачем такие сложности для такой простой задачи в три строки? Провести диагональ ВД. Площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников. Если Обозначить Ав=АД=а, ВС=в, СД=с, тогда S=1/4(в^2+с^2)+1/2в.с, т.к. 2а^2=в^2+с^2, отсюда 4S=(в+с)^2, т.к. 4S=144, S=36. Три строки. А с первого по четвёртый класс справится разные что вундеркинд, слишком заморочено.
Спасибо, Галина. Во-первых, это не такая простая задача для ученика 8 класса. Во-вторых, это же не олимпиада, а учебное видео. Значит нужно рассмотреть разные способы атаки незнакомой задачи. Это просто элемент обучения олимпиадников. Алгебраическое решение, конечно, хорошее. Правда обычный ученик, не олимпиадник, не сможет сделать такие преобразования. Посмотрите еще видео на тему по ссылке и последний наш ролик, где вам предоставляется возможность проявить свое мастерство. ruclips.net/video/fFyPczCfPNg/видео.html
Не думала, что использование теоремы Пифагора и формулы площади прямоугольного треугольника - это алгебраическое решение. А ещё мне трудно представить семиклассника, который не знает теоремы Пифагора, но умеет мысленно резать, крутить и клеить треугольники. Вы в школе то преподавали? Я, слава Богу, и училась и преподавала в Советской школе, а ещё у нас на первом курсе читал лекции лично Погорелов А.В.,если слышали о таком. Ему бы и в голову не пришло заменить знание теории на игру в фантики. Может поэтому Советское образование самое лучшее в мире. А эти манипуляции - ну разве что от « нечего делать». Интересно, как на практике будут вычислять площадь подобного поля? Треугольники резать? Как говорят: « Спасибо за рИформу образования». Теперь геометрия от алгебры дальше чем история от астрономии.
@@ГалинаСеркина-б4х Спасибо. Я понимаю Вашу ностальгию по СССР. Но не разделяю Вашего негативного отношения к всему миру. К слову сказать, теорема Пифагора изучается в 8 классе. Берегите себя.
второй легче для объяснения. я 4м классе. задача найти площадь равнобедренной трапеции. высота и верхняя и нижняя стороны известны. решил за 30 секунд. про среднюю линию ещё не знал. мысленно это прямоугольник и два треугольника = ещё прямоугольник
Спасибо.
Диагональ BD даст по Пифагору в BCD 2AB^2=BC^2+CD^2; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2; Возведем в квадрат 144=BC^2+CD^2+2xBCxCD и подставим 144/2=AB^2+BCxCD; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2=144/4=36
ruclips.net/video/-UgSZnv2F4g/видео.html
Строим BD как общую гипотенузу. Потом возводим в квадрат известную сумму катетов (BC+CD)^2=(BC^2+CD^2+2BC*CD)=144 . Она оказывается равной учетверённой площади малого треугольника (2BC*CD=4Sbcd) и квадрату общей гипотенузы (BC^2+CD^2=BD^2). Но BD^2=AB^2+AD^2=2AD*AB=4Sabd. Таким образом (BC+CD)^2= 4Sbcd+4Sabd=4Sabcd=12^2=144. Осталось разделить 144 на 4 и радоваться.
Да, это карсивый алгебраический способ решения. См. похожий последний мой ролик, там я его применил.
Как найти площадь?
Есть несколько решений этой задачи:
1 - Открыть Google Maps говорят что он знает всё..
2 - Спросить у прохожих..
3 - Вызвать такси, он довезёт (но это не точно 😂)
ОТл. Дневник на стол
есть ещё четвертый способ, он проще показанных трех. Представьте, что BC=0. тогда вся фигура превращается в равнобедренный прямоугольный треугольник с диагональю = 12. Дальше не хитро, площадь 36 получается.
Отлично.
Самое простое решение без построений и доказательств: если есть такая задача, значит при любом соотношении BC к CD результат будет одинаковый. Поэтому выбираем BC=CD=12/2=6. Имеем квадрат со стороной 6, т.е. площадь - 36!
Да, это гипотеза про инвариант. Но его, к сожалению, нелобходимо доказывать на олимпиаде. Если это тестовая задача без решения, то это великолепное рассуждение!
Сумма двух сторон равна 12. Сумма сторон АВ и AD также равна 12. Периметр равен 24. Это квадрат со стороной 6 и площадью 36.
Спасибо. Это не обязательно квадрат. Посмотрите на рисунок.
Самое интересное. Это поворот. Превращение в равнобедренный ∆ с диагональю 12. И высотой, делящей на два равных ∆ с катетами 6.
Спасибо. Наверное, да
Мне 67 лет, смотрел с интересом. Треугольник моя любимая фигура со школы, а дальше, став геодезистом, вычислял координаты методом триангуляции. Гениальность в простоте, потому последний вариант самый красивый. Спасибо!
Спасибо, что смотрите наш канал.
Пусть S - искомая площадь, S1 - площадь треугольника ABD, а S2 - площадь треугольника BCD.
S1 - площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, поэтому квадрат гипотенузы равен учетверённой площади (AB²+AD²=BD², BD²=2AB²= 4AB×AD/2 = 4S1).
Площадь S2=BC×CD/2. Запишем (BC+CD)²= BC²+CD²+2BC×CD = BD² + 4×S2 =12²=144
4×S2 = 144 - BD²
4S = 4S1+4S2 = BD² + 144 - BD² = 144
S = 144/4=36
Спасибо. Это хорошее алгбераическое решение. См. "Вишенка на торте".
Забавно, что этому условию - ВСД=12 - соответствует бесчисленное множество четырёхугольников. Я даже подумал, что это какая-то ловушка. Но все эти четырёхугольники имеют площадь равную 36-ти. Например, если ВС=0 и СД=12, тогда у нас просто прямоугольный треугольник АВД с катетом 12 и его площадь =36. Если же ВС=СД=6, то у нас получится квадрат со стороной =6 - пртивоположные углы прямые и стороны равны. Уже интересно, что крайние значения дают тот же результат. Можно подставить ВС=4 и СД=8, или ВС=5 и СД=7, всегда получается 36.
Да. Вы абсолютно правы. Хотя окончательно такое утверждение можно сделать после решения.