Также можно дважды применить теорему о пересекающихся хордах, получим два ур-я: (9/2)^2=x(2r-x) (21/2)^2=(x+8)(2r-x-8) Решая совместно, получим, что r=85/8
Я не строил никакой окружности,а продлил боковые стороны до пересечения в точке F. Провел среднюю линию трапеции KL.Из точек K и L восставил перпенды к боковым сторонам до пересечения в точке O(центр описанной окружности).Высота тр--ка AFD AM. Тр--ки OLF DMF подобны с коэффом 25/28. Дальше проще пареной брюквы. Нахожу OL=75/8 и по теореме Пифа OD(радиус)=85/8. Я не пишу,как определить боковые стороны и элементы тр--ка AFD,это слишком просто. Задача понравилась. И возник интересный вопрос. Пусть нам дана равнобочная трапеция.Заданы основы и боки. Около нее всегда можно описать окружность. Так вот интересно,как по сторонам трапеции определить,будет ли ее большее основание ниже центра,проходить через центр или быть выше.
План Б - это хороший способ избежать применения аналитической геометрии, которая мгновенно дает решения без проведения каких-либо линий. О(0, 0), ОF = m. Уравнение окружности: x² + y² = R². Точки С(9/2, m + 8) и D(21/2, m) лежат на окружности, их координаты удовлетворяют её уравнению. Получим в точности то же уравнение, что и в ролике. Фактически, это один и тот же способ решения.
Решал аналитически, через свойство пересекающихся хорд. Суть: проводим вертикальный диаметр. его огрызок выше ВС примем за х. Тогда х*(2*R-x)=9^2/2^2 и (x+8)*(2*R-x-8)=21^2/2^2. Всё сводится к квадратному уравнению отн. х. 4*х^2+77*х-81=0 х=1, а R=(81/(4*х)+х)/2=81/8+1/2=85/8 Ответ:85/8 ... странно не то, что решил, а то, что в цыфирках не запутался
@@МладшийЛейтенант-в8и 1. Где у меня АД? 2. Я бы мог обойтись без кв. уравнения. Я себе такую задачу не ставил. 3. 13/8 -- это расстояние от от О до АД
Введем неизвестную х- расстояние от центра до нижней прямой. До второй прямой расстояние х+8. Вторые катеты тоже известны- 10.5 и 4.5, соответственно. Дважды применяем теорему Пифагора, откуда очень быстро находим сперва х, а потом и радиус. И что в этом интересного?
*По просьбе "Младшего Лейтенанта" привожу общее решение задачи Шаталова: большее основание равно а, меньшее - b, высота - h.* *R = √[(4∙a∙h) ² + (a² - b² - 4∙h²)²]/(8∙h).* *Причем решение справедливо для любого положения центра окружности, как внутри, так и снаружи трапеции.* Никаких квадратных уравнений нет. Та же схема: окружность и две точки, лежащие на ней.
Ничо не понятно. И размерность в ответе R=((4ah)²+...)½= a*h Линейная=Квадратная. Тут что-то не так. При решении через произведение хорд, без учёта ориентации АД, получается квадратное уравнение. Один корень получается стрёмный.
@@МладшийЛейтенант-в8и А зачем Вы решаете таким образом? Получили квадратное, никому не нужное уравнение. Приведенная мной формула получается простым путем: вычисляем x, а затем R² . Никаких "стрёмных" корней нет и быть не может.
@SB-7423 Да, признаться, я совсем не вычислял. Просто задался вопросом, почему такой рисунок? А без учёта расположения АД вычисления по хордам дают квадратное уравнение с одним корнем меньше нуля. Я и хочу это осмыслить. Не очень получается.
После нахождения диагонали BD, не обязательно знать площадь через радиус, можно провести высоту CH перпендикулярно AD и там будет египетский треугольник, затем проводим AO которое равно OC как радиусы, угол CDA в два раза меньше угла AOC тк они опираются на одну дугу но один угол выходит из центра окружности а второй из самой окружности, находим AC по пифагору проводим высоту, из точки O к AC она и медиана и биссектриса ну и там дальше по подобию легко найти радиус
Я все эти прекрасные формулы забыл, поэтому просто составил уравнения прямых с центром координат в точке А, благо все числа у нас для этого есть. Далее составил уравнения прямых, проходящих через центры боковых сторон трапеции. Они же хорды, их перечечение - центр окружности. Дальше только посчитать.
Стратегия нахождения х через степень точки : достроим трапкцию до паралелограма с вершиной Р тогда РС*РВ=РD*(PD+2х) , 6*15=8(8+х) , 16х=26, х=13/8 , дальше Пифагор!
ВНИМАНИЮ УВАЖАЕМОГО ВЕДУЩЕГО ВАЛЕРИЯ КАЗАКОВА Я предложил в своем комментарии задачу. Пусть дана равнобочная трапеция.Известны основания и боковые стороны. Нужно определить,будет ли центр описанной окружности находиться выше нижнего основания,принадлежать ему,или быть ниже. Ответ такой: Мы проводим диагональ(для определенности из правого нижнего угла).В полученном нижнем тр--ке проводим высоту к основанию. Все эти элементы легко находятся. Теперь сравниваем квадрат высоты и произведение отрезков,на которые высота разбивает основание. Если квадрат РАВЕН произведению,то центр окружности на основании. Если квадрат БОЛЬШЕ,то центр находится выше основания.Если МЕНЬШЕ,то ниже. Доказательство элементарное.
Дана вписаннся трапеция с основаниями А=21 и В=9; и с высотой h=8. Вправе ли мы нарисовать данный рисунок и решать задачу при АД над центром окружности О ?
Только сейчас увидел этот Ваш комментарий. Неугомонный Вы человек и крайне любознательный! Вы спросили : "Вправе ли мы нарисовать данный рисунок и решать задачу при АД над центром окружности О ?" Так она так и решена! Вы, вероятно, имели ввиду , *что центр окружности НАД АД?* Вправе, конечно! Вы получите те же R = 85/8, но х будет равно -13/8, что говорит о том, что центр находится ниже нижнего основания. Где Вы поместите центр при решении не имеет значения. Поэтому и формула, которую я привел, работает в любом случае.
Пусть A=A(0,0), тогда B=B(6,8), O=O(21/2, yₒ) M=½[AB]=M(3,4), Серединный перпендикуляр к [AB]: 3(x-3)+4(y-4)=0, 3x+4y=25 Тогда при xₒ=21/2, yₒ=(50-3•21)/8=-13/8 R=|OA|=√[(21/2)²+(13/8)²]=√[21²•4²+13²]/8=85/8
Я тоже таким методом решил в уме. Но ответ 85/8 меня усомнил. Поэтому удивился когда увидел что это правильный ответ. Некачественная задача. Обычно там красивые ответы
Ребятушки, прямо вспоминаю себя в школьные годы, глядя на вашу реакцию! Спасибо за этот экскурс в прошлое! Как было бы хорошо, если в реальной жизни встречались только задачи с красивыми ответами! Все было бы гораздо проще. К великому сожалению, решение "некачественных", задач и составляет рутину любого конструктора и инженера. Их не нужно бояться и считать некачественными, тем более делать выводы о верности решений. А сделать проверку - это важно!!!
@@alexslater506 Надеюсь, не заставил Вас испытать неловкость или чувствовать себя обиженным, оскорбленным. Дело в том, что обращаюсь так и к детям,, и к коллегам, которым тоже уже за 40. Если Вам такое обращение неприятно, прошу простить меня.
![Seungmin "그렇게, 천천히, 우리(As we are)" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/kAzmhLHePqU/mqdefault.jpg)
Видео Шаталов: ruclips.net/video/kBaHGkrVQEY/видео.htmlsi=nck1i1pb0nghhSw_
Также можно дважды применить теорему о пересекающихся хордах, получим два ур-я:
(9/2)^2=x(2r-x)
(21/2)^2=(x+8)(2r-x-8)
Решая совместно, получим, что r=85/8
Эту геометрическую задачу, по второму способу, вынужден решать почти каждый фрезеровщик, которому приходится круглую заготовку сгонять в прямоугольную
Очень интересно.
Я не строил никакой окружности,а продлил боковые
стороны до пересечения в точке F.
Провел среднюю линию трапеции KL.Из точек K и L восставил перпенды к боковым
сторонам до пересечения в точке O(центр описанной окружности).Высота тр--ка AFD AM.
Тр--ки OLF DMF подобны с коэффом 25/28.
Дальше проще пареной брюквы.
Нахожу OL=75/8 и по теореме Пифа OD(радиус)=85/8.
Я не пишу,как определить боковые стороны и элементы
тр--ка AFD,это слишком просто.
Задача понравилась.
И возник интересный вопрос.
Пусть нам дана равнобочная трапеция.Заданы основы и боки.
Около нее всегда можно описать окружность.
Так вот интересно,как по сторонам трапеции определить,будет ли ее большее основание ниже центра,проходить через центр или быть выше.
Спасибо. Да, интересно
План Б - это хороший способ избежать применения аналитической геометрии, которая мгновенно дает решения без проведения каких-либо линий. О(0, 0), ОF = m. Уравнение окружности: x² + y² = R². Точки С(9/2, m + 8) и D(21/2, m) лежат на окружности, их координаты удовлетворяют её уравнению. Получим в точности то же уравнение,
что и в ролике. Фактически, это один и тот же способ решения.
Почему АД выше центра О ?
Основания А и В,
высота h.
Общее решение?
Два решения квадратного уравнения?
Решал аналитически, через свойство пересекающихся хорд.
Суть: проводим вертикальный диаметр. его огрызок выше ВС примем за х. Тогда х*(2*R-x)=9^2/2^2 и (x+8)*(2*R-x-8)=21^2/2^2.
Всё сводится к квадратному уравнению отн. х. 4*х^2+77*х-81=0
х=1, а R=(81/(4*х)+х)/2=81/8+1/2=85/8
Ответ:85/8
... странно не то, что решил, а то, что в цыфирках не запутался
@МладшийЛейтенант-в8и
У нас разные иксы. У меня -- над верхнем основанием, а у тебя -- под нижним, до центра окр.
@@МладшийЛейтенант-в8и
1. Где у меня АД?
2. Я бы мог обойтись без кв. уравнения. Я себе такую задачу не ставил.
3. 13/8 -- это расстояние от от О до АД
Благодарю. Интересно.
Введем неизвестную х- расстояние от центра до нижней прямой. До второй прямой расстояние х+8. Вторые катеты тоже известны- 10.5 и 4.5, соответственно. Дважды применяем теорему Пифагора, откуда очень быстро находим сперва х, а потом и радиус. И что в этом интересного?
Я тоже так решил
Решила устно. Данная окружность описана вокруг треугольника АСD. Легко
находим его площадь и стороны. Далее находим R по общеизвестной формуле.
Спасибо. Да, это наша версия Сп1.
@@GeometriaValeriyKazakov Сейчас вижу. Решала , не просматривая предварительно ролик.
*По просьбе "Младшего Лейтенанта" привожу общее решение задачи Шаталова: большее основание равно а, меньшее - b, высота - h.*
*R = √[(4∙a∙h) ² + (a² - b² - 4∙h²)²]/(8∙h).* *Причем решение справедливо для любого положения центра окружности, как внутри, так и снаружи трапеции.* Никаких
квадратных уравнений нет. Та же схема: окружность и две точки, лежащие на ней.
Ничо не понятно.
И размерность в ответе
R=((4ah)²+...)½= a*h
Линейная=Квадратная.
Тут что-то не так.
При решении через произведение хорд, без учёта ориентации АД, получается квадратное уравнение. Один корень получается стрёмный.
@@МладшийЛейтенант-в8и Я забыл поставить квадрат у скобки под корнем! Всё получается. Исправил.
@@МладшийЛейтенант-в8и А зачем Вы решаете таким образом? Получили квадратное, никому не нужное уравнение. Приведенная мной формула получается
простым путем: вычисляем x, а затем R² . Никаких "стрёмных" корней нет и быть не может.
@SB-7423 Да, признаться, я совсем не вычислял. Просто задался вопросом, почему такой рисунок?
А без учёта расположения АД вычисления по хордам дают квадратное уравнение с одним корнем меньше нуля. Я и хочу это осмыслить.
Не очень получается.
@@МладшийЛейтенант-в8и Я же привел решение БЕЗ УЧЕТА расположения АД.
На то оно и общее.
∆OCD равнобедренный. Основание вычислить из прямоугольного ∆, где катеты высота и полуразность оснований
После нахождения диагонали BD, не обязательно знать площадь через радиус, можно провести высоту CH перпендикулярно AD и там будет египетский треугольник, затем проводим AO которое равно OC как радиусы, угол CDA в два раза меньше угла AOC тк они опираются на одну дугу но один угол выходит из центра окружности а второй из самой окружности, находим AC по пифагору проводим высоту, из точки O к AC она и медиана и биссектриса ну и там дальше по подобию легко найти радиус
Я все эти прекрасные формулы забыл, поэтому просто составил уравнения прямых с центром координат в точке А, благо все числа у нас для этого есть. Далее составил уравнения прямых, проходящих через центры боковых сторон трапеции. Они же хорды, их перечечение - центр окружности. Дальше только посчитать.
понравился геометрический подход.
Стратегия нахождения х через степень точки : достроим трапкцию до паралелограма с вершиной Р тогда РС*РВ=РD*(PD+2х) , 6*15=8(8+х) , 16х=26, х=13/8 , дальше Пифагор!
Сверка по 1): опустим высоту CH на AD, AH = ½(21+9) = 15, DH = ½(21−9) = 6.
AC² = AH²+CH² = 225+64 = 289 = 17², CD = 10 из египетского △CDH.
sin∠CAD = CH/AC = 8⁄17, R = ½(CD/sin∠CAD) = ½(10·17⁄8) = 85⁄8. Всё ровно.
Спасибо. Шаталова по ссылке посмотрели?
@@GeometriaValeriyKazakov Я Виктора Фёдоровича в конце 80-х видел вживую - за успехи в учёбе командировали в Донецк для участия в открытом уроке. 😉
Да, я этот треугольник и нашёл. А дальше - формула радиуса окружности через стороны треугольника.
ВНИМАНИЮ УВАЖАЕМОГО ВЕДУЩЕГО ВАЛЕРИЯ КАЗАКОВА
Я предложил в своем комментарии задачу.
Пусть дана равнобочная трапеция.Известны основания
и боковые стороны.
Нужно определить,будет ли центр
описанной окружности находиться выше нижнего основания,принадлежать ему,или быть ниже.
Ответ такой:
Мы проводим диагональ(для определенности из правого нижнего угла).В полученном нижнем тр--ке проводим высоту к основанию.
Все эти элементы легко находятся.
Теперь сравниваем квадрат высоты и произведение отрезков,на которые высота разбивает основание.
Если квадрат РАВЕН произведению,то центр окружности на основании.
Если квадрат БОЛЬШЕ,то центр находится выше основания.Если МЕНЬШЕ,то ниже.
Доказательство элементарное.
Спасибо. Оченрь интересное наблюдение. Жлаь, что такие задачи трудно формулировать в видеоролике.
От шаталовской задачи ожидал решение без формул, с каким-нибудь закрашиванием углов/сторон разными цветами.
Да, классические типовые школьные решения. Это не олимпиады. Ребятам поступать нужно.
Дана вписаннся трапеция с основаниями А=21 и В=9; и с высотой h=8.
Вправе ли мы нарисовать данный рисунок и решать задачу при АД над центром окружности О ?
Только сейчас увидел этот Ваш комментарий. Неугомонный Вы человек и крайне любознательный! Вы спросили : "Вправе ли мы нарисовать данный рисунок и решать задачу при АД над центром окружности О ?" Так она так и решена! Вы, вероятно, имели ввиду , *что центр окружности НАД АД?* Вправе, конечно! Вы получите
те же R = 85/8, но х будет равно -13/8, что говорит о том, что центр находится ниже нижнего основания. Где Вы поместите центр при решении не имеет значения.
Поэтому и формула, которую я привел, работает в любом случае.
Пусть A=A(0,0), тогда B=B(6,8), O=O(21/2, yₒ)
M=½[AB]=M(3,4),
Серединный перпендикуляр к [AB]:
3(x-3)+4(y-4)=0, 3x+4y=25
Тогда при xₒ=21/2, yₒ=(50-3•21)/8=-13/8
R=|OA|=√[(21/2)²+(13/8)²]=√[21²•4²+13²]/8=85/8
Почему АД выше центра О ?
Угол при основании?
потому что такое условие задачи
@@MiroSlave1
У кого, у Шаталова или у Казакова?
@МладшийЛейтенант-в8и не знаю
@@МладшийЛейтенант-в8и ну кстати да, в условиях не дано
Для 8 класса выбора нет: только Б.
Для остальных - только т. синусов (устно в 2 действия.
Не только
Лайчище N205
Я тоже таким методом решил в уме. Но ответ 85/8 меня усомнил. Поэтому удивился когда увидел что это правильный ответ. Некачественная задача. Обычно там красивые ответы
Ты не один)
Обоим: ruclips.net/video/kBaHGkrVQEY/видео.htmlsi=nck1i1pb0nghhSw_
Ребятушки, прямо вспоминаю себя в школьные годы, глядя на вашу реакцию! Спасибо за этот экскурс в прошлое! Как было бы хорошо, если в реальной жизни встречались только задачи с красивыми ответами! Все было бы гораздо проще. К великому сожалению, решение "некачественных", задач и составляет рутину любого конструктора и инженера. Их не нужно бояться и считать некачественными, тем более делать выводы о верности решений. А сделать проверку - это важно!!!
@ мне 46 я не ребят ушка я главный бухгалтер
@@alexslater506 Надеюсь, не заставил Вас испытать неловкость или чувствовать себя обиженным, оскорбленным. Дело в том, что обращаюсь так и к детям,, и к коллегам, которым тоже уже за 40.
Если Вам такое обращение неприятно, прошу простить меня.