Не знаю как проще, но я решал так: Показываем что исходный треугольник равнобедренный, и соответственно AC=BC Строим треугольник равный исходному так, что его основанием будет DC (вершиной K вверх). угол BCK = 80-20 = 60, а так как BC=KC, то треугольник BCK равносторонний. Рисуем окружность радиусом R= BC=CK=BK=DK c центром в точке К. Отсюда искомый угол, являющийся смежным к BDC, который в свою очередь опирается на хорду BC будет равен половине центрального (BKC) угла , т.е. 60/2 =30 градусов.
эта задача встречалась год назад у Прэша (MIndYourDecisions, но там все на английском), смотрю его канал с удовольствием. А Валере спасибо что знакомит русскоговорящую аудиторию с такими интересными вопросами
Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ ruclips.net/video/UJHQ0CRmqT4/видео.html Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео ruclips.net/video/UJHQ0CRmqT4/видео.html со всеми своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия. Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
Если не знаешь, что делать, не следует "впопыхах" строить равнобедренного треугольника и "пытаться" далее, следует тщательно продумать условия задачи и пытаться выяснить ее природу. (см. мой комментарий) )
Не советую никогда ничего строить. Лучше просто применить теорему синусов sinx/sin(x-20) = sin80/sin20. И сразу очевидно решение x=30, т.к. оно обращает уравнение в тождество: sin30*sin20=sin10*sin80. Ведь если учесть, что sin80=cos10 и sin30=1/2, то получается простая формула двойного угла: sin20=2*sin10*cos10. Автор просто не по-детски отжигал, когда решал это уравнение.
Не знаю, как остальным, но мне больше понравился первый способ, почему-то тригонометрический способ, который в этом случае не потребовал дополнительных построений, мне оказался понятнее. Но и остальные тоже оказались интересными.
При начале изучения тригонометрии, я два месяца пролежал в больнице (3 операции) после так и не смог догнать и разобраться в косинусах и синусах, а вот второй способ для меня самый понятный из всех, хотя сам бы не догадался, уже 30 лет как окончил школу.
Спасибо, очень интересные способы. Первый позволит школьникам закрепить тригонометрические формулы, теорему синусов. Второй и третий развивает воображение при построении и учит смотреть на два шага вперёд. Тому, чего не хватает нашим управленцам: как имея нечто, получить то, что надо, обладая имеющимися ресурсами :)
третий способ самый красивый и простой, а первый уж очень заумный. И хотя в школе по геометрии была пятерка все-равно все эти формулы с синусами-косинусами двойного-тройного угла не любил.
еще есть 4 способ. 0. ABC равнобедренный углы при основании равны 1. отложить BK так чтоб BK = AB, и K принадлежит стороне AC, получим равнобедренный треугольник c углами 80, 80, 20 2. отложим KM = AM и M принадлежит стороне BC. легко посчитать что это равнобедренный треугольник (по постороению) с углом 60 при основании т.е. равнобедренный 3. отложим MX = AB и X принадлежит AС. угол XMC высчитывается как 20 град, т.е. получился равнобедренный треугольник а значит точки D и X - это одна и та же точка 4. треугольник BMD равнобедренный по построению, угол при вершине 160, при основании 10 5.1. угол ABD получается 80 - 10 = 70 5.2. угол MDC = 140 град (180 - 20 -20), значит угол BDC = 150град 6. хоть по 5.1 хоть по 5.2 получаем искомый угол = 30град
Все три способа понравились. Слушала и жалела, что пока не умею замедлять скорость изложения. На слух не успеваю следить за буквами называемых углов. Большое спасибо за видео!
Все отлично! Предлагаю: угол Х = С+ДВС.Пересечение биссектрисы С с ВД - точка О. От т.С отложим СК=ОД, через т.К проведем || ВД отрезок ЕК(т.Е на ВС).∆ОДС=∆ЕКС.Угол ОСД=углуДЕС и= 1/2ВСД и = углуДВС,т.е. угол Х= ВСД+1/2ВСД=30°.Спасибо за тренировку!
Геометрические способы больше понравились! Как-то нагляднее, красивее и проще! Но... До таких построений ещё додуматься нужно. Вывод - решать больше задач на построение и набираться опыта.
Отлично, спасибо! Именно эту задачу предложили моему внуку в Оксфорде, в школе. По второму методу решения я предлагаю подредактировать. Уж больно вычурно выглядит привлечение равностороннего треугольника, как бы ниоткуда, додуматься до этого непонятно как. Лучше начать дополнительное построение с равнобедренного треугольника ВСЕ, где сразу видно, что угол АСЕ равен 60 градусам. Это наводит на мысль достроить равносторонний треугольник и дальше так как у вас.
Можно немного проще. Внутри треугольника АВD поставить точку Е так, чтобы получить равнобедренную трапецию BCDE. Сразу получаем один правильный треугольник АВЕ и два равнобедренных треугольника АЕD и ВDE. Далее искомый угол равен 20+10=30 градусов. Как говорится, не прошло и пяти лет, как я смекнул - просто случайно увидел сегодня.
Докажем, что BD с условием AB=CD проходит через центр описанной окружности ∆ABC. Опустим высоту CK на AB. Точка О - центр окружности лежит на CK. Проведем через О отрезок BD на CA и докажем, что CD=AB. Угол BOK = 20 град. Как половина центрального угла BOA = 40град. В ∆OCD угол COD=20 град. Как вертикальный углу BOK. Угол OCD= 10 град., угол ODC=150 град. OC=R. Тогда CD/sin20 =R/sin150=2R. Но в ∆ABC AB/sin20=2R, т.е. AB=CD. Угол BDA=180-150=30 град.
Когда то я думала что ещё не родился тот кто опередит меня по геометрии,тригонометрии и планиметрии, а теперь когда уже мне 74 года,так я уже думаю что родились уже очень много стратегов которые-то опередив меня идут дальше!
Во втором методе когда узнаем , что треугольник BCD=BDE, сразу узнаем углы BDC и BDE (360-60)/2=150, а дальше находим искомый угол BDA 180-150=30. Интересная задачка!!!)
Есть еще через теорему косинусов, там нужно ее применить 3 раза: 1 раз для треугольника АВС и дважды для треугольника АВD. Именно так я сразу и начал решать. Правда одна проблема, там очень большие формулы будут, если не вычислять приблизительно косинусы углов, то ужас, что будет в конце. Если приблизительно, то мы получим как раз примерно 0.866 косинус искомого угла, но в принципе догадаться можно сразу. Конечно в классической геометрии так делать нежелательно
Проведём из вершины B зеркальный равнобедренный треугольник B A1 C равный равнобедренному A B C , вершина нового треугольника точка B. На противоположной стороне мы получим равносторонний треугольник. С D A1 . это видно по двум одинаковым сторонам и углу 60. Точка D вершина равностороннего , следовательно BD биссектриса и медиана зеркального равнобедренного треугольника. Следовательно становятся известны все углы. Если С B A1 = 20 , то биссектриса делит его пополам. СBD 10 ⇒ ABD 70 ⇒ находим искомый угол 180- (70+80)=30 Правильно?
есть еще один способ без дополнительных построений-находим по теореме синусов значения АС из треугольника АВС и АД, как разность АС и АД выраженные через АД,по теореме косинусов находим ВД , из треугольника АВД ,и из того же треугольника,находим искомый угол ,теорема косинусов.
@@Владимир-з5ъ6з Я не спорю, они не сложные, если иметь с ними дело постоянно, но так навскидку и не вспомнишь ничего, тем более их насколько я знаю давольно много
Вот таких как вы я заставляла на 1 курсе выучить тригонометрические формулы, иначе не смогли бы потом интегрировать тригонометрические функции.Стонали, плакали, но выучили. Зачет не ставила пока не выучат. А зачет не получишь, к сессии не допустят. На 2 курсе даже гордились, что они эти формулы знают, а на других потоках не знают, все формулы в интернете ищут. В университете придется и более сложные формулы выучить.
Ничего не понимаю в ходе ваших мыслей,но восхищаюсь,что есть такие мыслители. Отдыхаю на вашем канале от злободневных тем. Это как "песенный хит" на полузнакомом языке. Хотя учась в школе любила " пошевелить мозгами" над задачами. Спасибо ,всё интересно !
Все-таки предлагаю следующую задачу: Дан четырехугольник АВСД. Угол С= 120 градусов. Диагональ АС лелит угол С пополам. Угол ВАД=30 градусов. Длина диагонали АС=2010. Найти периметр треугольника ВСД. Решить только с помощью геометрии!
Вероятно это розыгрыш: первый треугольник ( большой)все углы известны и одна сторона, по теореме синусов вычисляются все стороны. После этого в малом треугольнике имеем две стороны и угол между ними известны, находим по теореме косинусов третью сторону, три стороны и угол более чем достаточно для решения задачки.
Вы сначала реализуйте это всё сказанное вами карандашом на бумаге, доведите всю эту тригонометрию до конца, а потом, если терпения хватит доделать, уже и глумитесь. То, что вы сказали, есть не более чем "данных достаточно, чтобы решить."
4 способ был предложен ниже в комментариях, поэтому мой способ 5-ый. построим равный треугольнику ABC треугольник DCK на стороне DC. ∆BCK равносторонний, потому что BC=CK, а угол BCK= угол ACК - угол АСВ. угол ВСК= 60°. рассмотрим треугольник BKD, он равнобедренный, потому что BK=KD, угол KBD= угол KDB=70°. угол CBD=70-60=10. угол DBC + угол DCB = 20°+10°=30°=х. Ответ: х=30°
a = 80 * (PI/180) b = 20 * (PI/180) x = atan (sin(a)*sin(b)/(-sin(b)+sin(a)*cos(b))) * (180/PI) Ответ : x = 30 deg формула справедлива для любых углов, в отличие от ролика, где решение только для частного случая Если интересно, могу рассказать как решать такие задачки
Спасибо за лёгкое объяснение! Кстати. Не могли бы Вы решить такое уравнение: х³ - х = х! ? Я точно не знаю, можно ли решить это уравнение не методом подбора. Спасибо.
4 способ: 1) построим равнобедр ABE (AB=BE и E на стороне AC), угол ABE=20, а угол AEB=80. 2) построим равнобедр BEF (F на стороне BC и BE=EF) при этом угол EBF 60, поэтому EBF равностор. И AB=BE=EF=BF, углы BFE=BEF=60. 3) построим равнобедр EFG (EF=FG, G на стороне АС) . Тут угол FEC=40, тогда углы EFG=100 и EGF=40, поэтому угол GFC=20. Тогда треугольник GFC тоже равнобедр и BG=FG... =AB, тогда точки D и G совпадают. В этом случае треугольник BFG тоже равнобедр и угол BFG=160 и угол BGF=10. Тогда угол BGA или BDA=40-10=30 ОТВЕТ. 30
Щтурман, место! (имелось ввиду место самолета) Кричал командир по интеркому. Штурман: - Ща. И на полях появишись странные геометрические построения от лазера
Еще одно решение, возможно неизвестное. Не видел задачу раньше, но вообще-то их множество, и у всех один девиз: ищи равносторонний треугольник. В данном случае я его не искал, он нашелся сам. Вот как это было. Пусть AB=CD=a, F - точка на стороне BC, такая что DF=DC=a. Тогда △CDF равнобедренный и ∠CFD=20°. Через точку B проводим прямую, параллельную DF и откладываем на ней внутри треугольника отрезок BH=a. Тогда ∠CBH=∠CFD=20°, поэтому ∠ABH = ∠ABC-∠CBH = 80°-20°=60°. Далее имеем BH=DF=a и BH ∥ DF, поэтому BFDH - параллелограмм. Отсюда DH ∥ BC, поэтому ∠HDA = ∠ACB = 20°. Кульминация событий: △ABH - равнобедренный (AB=BH=a) и угол между равными сторонами ABH равен 60°. Таким образом △ABH - ..., откуда AH=a, кроме того ∠HAB= 60°. Поэтому ∠HAD = ∠BAC-∠HAB=80°-60°=20°=∠HDA, следовательно △ADH - равнобедренный и DH=AH=a. Выходит, что BFDH - это на самом деле ромб, и его диагональ BD является бисектриссой угла ромба CBH. Таким образом ∠DBC=½∠CBH=10°. Наконец, ∠ADB=∠DBC+∠ACB=30°. А тригонометрически - это круто. У меня бы терпения не хватило бы и обязательно допустил бы ошибку.
@@ВасилийТеркин-ь8к Действительно есть некоторая взаимосвязь между всеми тремя способами (не считая тригонометрического). Но в остальных случаях равносторонний треугольник как-то навязчиво строится, а здесь возникает сам по себе. Мне этим и нравится.
@@think_logically_ Взаимосвязь только в том, что во всех случаях строится правильный треугольник. Ваш способ - вариация одного из них. Вы считаете, что построение тр-ка не очень естественно. При этом делаете не очень естесственное построение тр-ка CDF. Мне кажется более естесственно было-бы провести BH=a под углом 20° к BC - тем самым построив равнобочную трапецию BCDH с диагональю BD. Это вариация на ту же тему.
Как любил говорить мой учитель математики, Пиастро Иосиф Исаакович, "решить одну задачу десятью способами -- это тренировка, а десять задач одним способом -- это дрессировка".
не кидайтесь тряпками, но я решал так, и ответ получился 50 гр.: С помощью параллельного переноса копирую сторону АВ в точку D и получаю параллелограмм (пусть будет ABDE). Тогда сторона BD будет диагональю для параллелограмма. Из теоремы, что биссектриса параллелограмма пересекает его диагональ под прямым углом, строю биссектрису. Получаю треугольник (пусть AOD). Тогда половина угла А будет 40 гр из за биссектрисы, угол О 90 градусов, остается только угол D, равный 50 гр
Все три способа классные! Признаться, я сам решил только первым способом. До дополнительных построений 2-го и 3-го способов сам никогда бы не додумался. Интересно, много ли у нас гениев от геометрии?
У вас два треугольника с общей стороной, а соотношение других известно и равно 1. По теореме синусов сразу видно, что должно выполняться sinx/sin(x-20) = sin80/sin20. Решение очевидно: x=30. Это очевидно, если внимательно взглянуть на то, что тут написано: sin30*sin20=sin10*sin80. Ведь если учесть, что sin80=cos10 и sin30=1/2, то это простая формула двойного угла: sin20=2*sin10*cos10.
Если уж на то пошло, то тут на много больше решений, чем показанные 3. Я, например, придумал три с половиной других решения. В двух из них я тоже строил равносторонний треугольник, но на базе стороны АВ.
Ну если знать одну теорему, что в равнобедренном треугольнике отрезок делящий сторону так, что одна часть равняется основанию этого треугольника, то этот отрезок является биссектрисой, соответственно получается 80/2, дальше уже рассматриваем внутренний треугольник , где два угла известно и находим третий
Еще один способ - если в чертеже второго способа продлить отрезок BD, линия будет биссектрисой не только угла BCE, но и угла CDE, попутно получаем вертикальный угол в 30 градусов к искомому. А мы знаем, что вертикальные углы равны.
Второй треугольник где угол С=20 то A и B равны 80 градусам.Теперь чтобы легче было нужно дорисовать треугольник и выйдет 90 градусов,а этот треугольник который мы нарисовали угол B равен 10 градусам.теперь во втором треугольнике 180-x=180-10+20 где 180-x=150 значит x=30 P.S я учусь в 7 классе и синусов и косинусов я не знаю
На основе этого геометрического построения уже несколько задач есть. Дорисуйте девятисторонний равносторонний с равными углами многоугольник, и сразу удивитесь простоте решения. На канале GetAClass было… 🙂
В тригонометрическом решении, с момента 4:02 уже ничего такого не надо было делать, а просто сказать, что если косинусы равны, то и аргументы равны с точностью до +/- (ибо косинус - чётная функция). И далее написать: Х-50 = +/- (Х-10). Со знаком "+" имеем нонсенс, а со знаком "-" имеем разумную вещь: Х-50 = - Х+10 Х = 30
Нормальные методы, осталось только красивые решения с координатной сеткой продумать (необязательно прямоугольные координаты). Дикцию только чётче, особенно в моменты размышлений - синуш, кошинус )))
я видел такую задачу на одном англоязычном канале, но там в условии говорилось что надо решить не используя какие-либо тригонометрические формулы и тождества.
Есть ещё один способ. Построить равносторонний треугольник на стороне АВ внутри искомого треугольника. Все стороны равны АВ. Далее из вершины равностороннего треугольника достроить до точки D. Получаем несколько равносторонних треугольников. Из них можно найти искомый угол.
Было бы любопытнее убрать из Дано BAD = 80. Интереснее сначала доказать что треугольник BAD равнобедренный и после посчитать эти углы))) А так любопытная задачка. Самое то под кофе с утра.
@@wladislawortlieb8992 все говорят, что надо читать книжки, чтобы держать мозг в тонусе, а я ненавижу читать)) Была лучше в школе по математике, поэтому мой путь - математика. Мыслить я не разучилась, работа требует мозгов, но знание математики открывает доступ к решению кучи интересных задач
Я решил своим способом, он похоже четвертый. АВ пополам принять за единицу. Далее через синус 10 градусов находим ВС. Далее находим АD. Далее по теореме косинусов ВD. Далее опять же по теореме косинусов искомый угол АDB
![BLACK BAG - Official Trailer [HD] - Only in Theaters March 14](http://i.ytimg.com/vi/Du0Xp8WX_7I/mqdefault.jpg)
Не знаю как проще, но я решал так:
Показываем что исходный треугольник равнобедренный, и соответственно AC=BC
Строим треугольник равный исходному так, что его основанием будет DC (вершиной K вверх).
угол BCK = 80-20 = 60, а так как BC=KC, то треугольник BCK равносторонний. Рисуем окружность радиусом R= BC=CK=BK=DK c центром в точке К. Отсюда искомый угол, являющийся смежным к BDC, который в свою очередь опирается на хорду BC будет равен половине центрального (BKC) угла , т.е. 60/2 =30 градусов.
Блестящее решение. Пояснение. Угол (тупой), опирающийся на хорду BC = (360 - 60)/2 = 150. Отсюда находим искомых угол (дополнительный к тому углу): x = 180 - 150 = 130 (гр.).
эта задача встречалась год назад у Прэша (MIndYourDecisions, но там все на английском), смотрю его канал с удовольствием. А Валере спасибо что знакомит русскоговорящую аудиторию с такими интересными вопросами
Ооо это тоже жиза)))
Вариант 2,5 ! Если CBD=10 гр (из варианта 2), то угол BDC=150, тогда угол BDA= 30. Самый простой способ. Мне лайк!
это если бы был дан угол СВD, так получается слишком просто, как задачка для 7 класса
@@newwt77 CBD = 10 (180-80-80)/2
Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ ruclips.net/video/UJHQ0CRmqT4/видео.html
Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео ruclips.net/video/UJHQ0CRmqT4/видео.html со всеми
своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия.
Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
сумма двух внешних углов равна 150 или внешний уголь =150 ; Сколько будет внутренний угол? вот и ваш ответ.
Одиозный дед ещё учил, что в подобных задачах, если не знаешь, что делать, строй равносторонний треугольник.
Если не знаешь, что делать, не следует "впопыхах" строить равнобедренного треугольника и "пытаться" далее, следует тщательно продумать условия задачи и пытаться выяснить ее природу. (см. мой комментарий) )
@@Progressor1027 де
Не советую никогда ничего строить. Лучше просто применить теорему синусов sinx/sin(x-20) = sin80/sin20. И сразу очевидно решение x=30, т.к. оно обращает уравнение в тождество: sin30*sin20=sin10*sin80. Ведь если учесть, что sin80=cos10 и sin30=1/2, то получается простая формула двойного угла: sin20=2*sin10*cos10. Автор просто не по-детски отжигал, когда решал это уравнение.
Не знаешь хода - ходи с бубей!
Не знаю, как остальным, но мне больше понравился первый способ, почему-то тригонометрический способ, который в этом случае не потребовал дополнительных построений, мне оказался понятнее. Но и остальные тоже оказались интересными.
При начале изучения тригонометрии, я два месяца пролежал в больнице (3 операции) после так и не смог догнать и разобраться в косинусах и синусах, а вот второй способ для меня самый понятный из всех, хотя сам бы не догадался, уже 30 лет как окончил школу.
Конечно второй способ лучший, он же, почти третий. Задача решается без знания тригонометрических формул.
Спасибо, очень интересные способы. Первый позволит школьникам закрепить тригонометрические формулы, теорему синусов. Второй и третий развивает воображение при построении и учит смотреть на два шага вперёд. Тому, чего не хватает нашим управленцам: как имея нечто, получить то, что надо, обладая имеющимися ресурсами :)
Спасибо за три разных способа решения.
Отличное видео!!!
Осилила 3 вариант . Ура! Хотя в школе геометрию обожала, была твёрдая "5". Прошло больше 30 лет после школы, пришлось напрягаться
Второй способ - просто сказка👍👍👍🤩
5:40 - x не может быть больше 180 градусов, x=30. в радианы переводить не имеет смысла, только для формализма
третий способ самый красивый и простой, а первый уж очень заумный. И хотя в школе по геометрии была пятерка все-равно все эти формулы с синусами-косинусами двойного-тройного угла не любил.
Синусы двойного угла и им подобные мы проходим по алгебре
@@riko__1337 в каком классе будет этот ужас?
@@Neukend 10
Первый самый универсальный способ
@@Neukend все, в 10 не пойдёшь? 😅
7:40 можно ещё быстрее и проще - с вершины В опустить полную высоту треугольника BCE и сразу получить искомый угол 30 градусов (это половина 60-ти)
Решил через построения прямоугольных треугольников и тригонометрию: arccot( (0.5*cot(10)-cos(10)) / (0.5 + sin(10)) ) + 10 = 30
еще есть 4 способ.
0. ABC равнобедренный углы при основании равны
1. отложить BK так чтоб BK = AB, и K принадлежит стороне AC, получим равнобедренный треугольник c углами 80, 80, 20
2. отложим KM = AM и M принадлежит стороне BC. легко посчитать что это равнобедренный треугольник (по постороению) с углом 60 при основании т.е. равнобедренный
3. отложим MX = AB и X принадлежит AС. угол XMC высчитывается как 20 град, т.е. получился равнобедренный треугольник а значит точки D и X - это одна и та же точка
4. треугольник BMD равнобедренный по построению, угол при вершине 160, при основании 10
5.1. угол ABD получается 80 - 10 = 70
5.2. угол MDC = 140 град (180 - 20 -20), значит угол BDC = 150град
6. хоть по 5.1 хоть по 5.2 получаем искомый угол = 30град
Спасибо Вам и одиозному деду! Всегда есть чему поучиться.
Классные ответы !
Все три способа понравились. Слушала и жалела, что пока не умею замедлять скорость изложения. На слух не успеваю следить за буквами называемых углов. Большое спасибо за видео!
Нажмите в правом верхнем углу три точки и там выберите из меню скорость воспроизведения.
Все отлично! Предлагаю: угол Х = С+ДВС.Пересечение биссектрисы С с
ВД - точка О. От т.С отложим СК=ОД, через т.К проведем || ВД отрезок ЕК(т.Е на ВС).∆ОДС=∆ЕКС.Угол ОСД=углуДЕС и= 1/2ВСД и = углуДВС,т.е. угол Х= ВСД+1/2ВСД=30°.Спасибо за тренировку!
Геометрические способы больше понравились! Как-то нагляднее, красивее и проще! Но... До таких построений ещё додуматься нужно. Вывод - решать больше задач на построение и набираться опыта.
Отлично, спасибо! Именно эту задачу предложили моему внуку в Оксфорде, в школе. По второму методу решения я предлагаю подредактировать. Уж больно вычурно выглядит привлечение равностороннего треугольника, как бы ниоткуда, додуматься до этого непонятно как. Лучше начать дополнительное построение с равнобедренного треугольника ВСЕ, где сразу видно, что угол АСЕ равен 60 градусам. Это наводит на мысль достроить равносторонний треугольник и дальше так как у вас.
Задача была в журнале "Математика в школе" где-то в конце 80-х годов)
М-да. Надо же, какая длительная история у этой фабрикации! )))
Люблю тригонометрию. Всегда любила. В школе вечером хорошо изучала условие задач, утром просто записывала решение. Оно как то само приходило ночью.
Спасибо! Второй способ очень понравился!
Супер, спасибо!
Второй и третий - наглядные способы, поэтому и понравились больше, спасибо.
Можно немного проще. Внутри треугольника АВD поставить точку Е так, чтобы получить равнобедренную трапецию BCDE. Сразу получаем один правильный треугольник АВЕ и два равнобедренных треугольника АЕD и ВDE. Далее искомый угол равен 20+10=30 градусов. Как говорится, не прошло и пяти лет, как я смекнул - просто случайно увидел сегодня.
На этой задаче очевидны преимущества тригонометрии.
Красиво, а я утонул в т. косинусов)))
Докажем, что BD с условием AB=CD проходит через центр описанной окружности ∆ABC. Опустим высоту CK на AB. Точка О - центр окружности лежит на CK. Проведем через О отрезок BD на CA и докажем, что CD=AB. Угол BOK = 20 град. Как половина центрального угла BOA = 40град. В ∆OCD угол COD=20 град. Как вертикальный углу BOK. Угол OCD= 10 град., угол ODC=150 град. OC=R. Тогда CD/sin20 =R/sin150=2R. Но в ∆ABC AB/sin20=2R, т.е. AB=CD. Угол BDA=180-150=30 град.
Когда то я думала что ещё не родился тот кто опередит меня по геометрии,тригонометрии и планиметрии, а теперь когда уже мне 74 года,так я уже думаю что родились уже очень много стратегов которые-то опередив меня идут дальше!
Геометрия - отличная тренировка для мозга
Ну, да, если иметь ее в виду в качестве приложения к логике. )
Так говорите, как будто это какое-то хобби
@@НикитаМарсаков-ю7з почему бы и нет?
@@zadacha-kz9954 ну это как минимум обязательный предмет в школе
@@НикитаМарсаков-ю7з и далеко не лишний!
Толково!
Задача по своему характеру не вирусная, а тригонометрическая.
И они хотят чтобы эту задачку школьники решали...
Спасибо!
Мне больше понравились 2- й и 3- способы, - геометрические.Всё просто и понятно!
Во втором методе когда узнаем , что треугольник BCD=BDE, сразу узнаем углы BDC и BDE (360-60)/2=150, а дальше находим искомый угол BDA 180-150=30. Интересная задачка!!!)
Есть еще через теорему косинусов, там нужно ее применить 3 раза: 1 раз для треугольника АВС и дважды для треугольника АВD. Именно так я сразу и начал решать. Правда одна проблема, там очень большие формулы будут, если не вычислять приблизительно косинусы углов, то ужас, что будет в конце. Если приблизительно, то мы получим как раз примерно 0.866 косинус искомого угла, но в принципе догадаться можно сразу. Конечно в классической геометрии так делать нежелательно
Проведём из вершины B зеркальный равнобедренный треугольник B A1 C равный равнобедренному A B C , вершина нового треугольника точка B. На противоположной стороне мы получим равносторонний треугольник. С D A1 . это видно по двум одинаковым сторонам и углу 60. Точка D вершина равностороннего , следовательно BD биссектриса и медиана зеркального равнобедренного треугольника. Следовательно становятся известны все углы. Если С B A1 = 20 , то биссектриса делит его пополам.
СBD 10 ⇒ ABD 70 ⇒ находим искомый угол 180- (70+80)=30 Правильно?
есть еще один способ без дополнительных построений-находим по теореме синусов значения АС из треугольника АВС и АД, как разность АС и АД выраженные через АД,по теореме косинусов находим ВД , из треугольника АВД ,и из того же треугольника,находим искомый угол ,теорема косинусов.
1 способ какой-то адской сложности, ну не понимаю я эту тригонометрию, а остальные 2 и 3 способы давольно понятны и легки, спасибо за объяснение)
Формулы синусов и косинусов несложные
@@Владимир-з5ъ6з Я не спорю, они не сложные, если иметь с ними дело постоянно, но так навскидку и не вспомнишь ничего, тем более их насколько я знаю давольно много
Да какой же адски сложный способ?! Всего лишь тригонометрия! Освойте её, и вам многие задачи покажутся простыми. Очень советую.
Вот таких как вы я заставляла на 1 курсе выучить тригонометрические формулы, иначе не смогли бы потом интегрировать тригонометрические функции.Стонали, плакали, но выучили. Зачет не ставила пока не выучат. А зачет не получишь, к сессии не допустят. На 2 курсе даже гордились, что они эти формулы знают, а на других потоках не знают, все формулы в интернете ищут. В университете придется и более сложные формулы выучить.
@@irinavolkova3544
Как меня? Вы меня с кем-то перепутали. Я - ваша коллега, тоже первый и второй курс математика. В техникуме.
Ничего не понимаю в ходе ваших мыслей,но восхищаюсь,что есть такие мыслители. Отдыхаю на вашем канале от злободневных тем. Это как "песенный хит" на полузнакомом языке. Хотя учась в школе любила " пошевелить мозгами" над задачами. Спасибо ,всё интересно !
Все правильно, всё классно.
Только мозг взорвался....
Геометрия....
Все-таки предлагаю следующую задачу: Дан четырехугольник АВСД. Угол С= 120 градусов. Диагональ АС лелит угол С пополам. Угол ВАД=30 градусов. Длина диагонали АС=2010. Найти периметр треугольника ВСД. Решить только с помощью геометрии!
Вероятно это розыгрыш: первый треугольник ( большой)все углы известны и одна сторона, по теореме синусов вычисляются все стороны. После этого в малом треугольнике имеем две стороны и угол между ними известны, находим по теореме косинусов третью сторону, три стороны и угол более чем достаточно для решения задачки.
Вы сначала реализуйте это всё сказанное вами карандашом на бумаге, доведите всю эту тригонометрию до конца, а потом, если терпения хватит доделать, уже и глумитесь. То, что вы сказали, есть не более чем "данных достаточно, чтобы решить."
Не известна сторона. Известно лишь, что ав=дс
4 способ был предложен ниже в комментариях, поэтому мой способ 5-ый.
построим равный треугольнику ABC треугольник DCK на стороне DC. ∆BCK равносторонний, потому что BC=CK, а угол BCK= угол ACК - угол АСВ. угол ВСК= 60°.
рассмотрим треугольник BKD, он равнобедренный, потому что BK=KD, угол KBD= угол KDB=70°. угол CBD=70-60=10. угол DBC + угол DCB = 20°+10°=30°=х.
Ответ: х=30°
a = 80 * (PI/180)
b = 20 * (PI/180)
x = atan (sin(a)*sin(b)/(-sin(b)+sin(a)*cos(b))) * (180/PI)
Ответ : x = 30 deg
формула справедлива для любых углов, в отличие от ролика, где решение только для частного случая
Если интересно, могу рассказать как решать такие задачки
Спасибо за лёгкое объяснение! Кстати. Не могли бы Вы решить такое уравнение: х³ - х = х! ? Я точно не знаю, можно ли решить это уравнение не методом подбора. Спасибо.
x! или просто x ?
@@nikitas3729, в ответе там х! (икс факториал)
@@goodman8044, там ответ х = 5
X^3/X - 1 = (x-1)! ( X-1)(x+1)=(x-1)! X+1=(x-2)! Очевидно 3 делится на х-2. из этого следует что х = 5.
@@s0bakev1ch тогда обе части делим на x(x-1) => x+1=(x-2)! И здесь уже можно находить подбором. В первом комменте я допустил ошибку
спасибо. Второй способ лучший. и запомнить его легко!
4 способ:
1) построим равнобедр ABE (AB=BE и E на стороне AC), угол ABE=20, а угол AEB=80.
2) построим равнобедр BEF (F на стороне BC и BE=EF) при этом угол EBF 60, поэтому EBF равностор. И AB=BE=EF=BF, углы BFE=BEF=60.
3) построим равнобедр EFG (EF=FG, G на стороне АС) . Тут угол FEC=40, тогда углы EFG=100 и EGF=40, поэтому угол GFC=20.
Тогда треугольник GFC тоже равнобедр и BG=FG... =AB, тогда точки D и G совпадают.
В этом случае треугольник BFG тоже равнобедр и угол BFG=160 и угол BGF=10.
Тогда угол BGA или BDA=40-10=30
ОТВЕТ. 30
Потрясающе!!!)
Щтурман, место! (имелось ввиду место самолета) Кричал командир по интеркому.
Штурман:
- Ща.
И на полях появишись странные геометрические построения от лазера
Одно точно, задачка попсовая 👍
Еще одно решение, возможно неизвестное. Не видел задачу раньше, но вообще-то их множество, и у всех один девиз: ищи равносторонний треугольник. В данном случае я его не искал, он нашелся сам. Вот как это было.
Пусть AB=CD=a, F - точка на стороне BC, такая что DF=DC=a. Тогда △CDF равнобедренный и ∠CFD=20°. Через точку B проводим прямую, параллельную DF и откладываем на ней внутри треугольника отрезок BH=a. Тогда ∠CBH=∠CFD=20°, поэтому ∠ABH = ∠ABC-∠CBH = 80°-20°=60°. Далее имеем BH=DF=a и BH ∥ DF, поэтому BFDH - параллелограмм. Отсюда DH ∥ BC, поэтому ∠HDA = ∠ACB = 20°. Кульминация событий: △ABH - равнобедренный (AB=BH=a) и угол между равными сторонами ABH равен 60°. Таким образом △ABH - ..., откуда AH=a, кроме того ∠HAB= 60°. Поэтому ∠HAD = ∠BAC-∠HAB=80°-60°=20°=∠HDA, следовательно △ADH - равнобедренный и DH=AH=a. Выходит, что BFDH - это на самом деле ромб, и его диагональ BD является бисектриссой угла ромба CBH. Таким образом ∠DBC=½∠CBH=10°. Наконец, ∠ADB=∠DBC+∠ACB=30°.
А тригонометрически - это круто. У меня бы терпения не хватило бы и обязательно допустил бы ошибку.
Ошибка сразу: DF > DC=a.
@@ВасилийТеркин-ь8к На моем чертеже вершины были обозначены по-другому. Сейчас исправил. Спасибо, что обратили на это внимание.
@@think_logically_ Это более заковыристый выриант способа, при котором на AB строиться равносторонний теугольник ( ABH в ваших обозначениях).
@@ВасилийТеркин-ь8к Действительно есть некоторая взаимосвязь между всеми тремя способами (не считая тригонометрического). Но в остальных случаях равносторонний треугольник как-то навязчиво строится, а здесь возникает сам по себе. Мне этим и нравится.
@@think_logically_ Взаимосвязь только в том, что во всех случаях строится правильный треугольник. Ваш способ - вариация одного из них.
Вы считаете, что построение тр-ка не очень естественно. При этом делаете не очень естесственное построение тр-ка CDF. Мне кажется более естесственно было-бы провести BH=a под углом 20° к BC - тем самым построив равнобочную трапецию BCDH с диагональю BD. Это вариация на ту же тему.
Спасибо большое за решение
third one was the easiest !!! tretii sposob bil leg4e vsego !!! like odnozna4no !!!!
Как любил говорить мой учитель математики, Пиастро Иосиф Исаакович, "решить одну задачу десятью способами -- это тренировка, а десять задач одним способом -- это дрессировка".
Очень интересно, что в комментариях есть ещё пару способов решения. Спасибо всем.
не кидайтесь тряпками, но я решал так, и ответ получился 50 гр.: С помощью параллельного переноса копирую сторону АВ в точку D и получаю параллелограмм (пусть будет ABDE). Тогда сторона BD будет диагональю для параллелограмма. Из теоремы, что биссектриса параллелограмма пересекает его диагональ под прямым углом, строю биссектрису. Получаю треугольник (пусть AOD). Тогда половина угла А будет 40 гр из за биссектрисы, угол О 90 градусов, остается только угол D, равный 50 гр
Все три способа классные! Признаться, я сам решил только первым способом. До дополнительных построений 2-го и 3-го способов сам никогда бы не додумался. Интересно, много ли у нас гениев от геометрии?
У вас два треугольника с общей стороной, а соотношение других известно и равно 1. По теореме синусов сразу видно, что должно выполняться sinx/sin(x-20) = sin80/sin20. Решение очевидно: x=30. Это очевидно, если внимательно взглянуть на то, что тут написано: sin30*sin20=sin10*sin80. Ведь если учесть, что sin80=cos10 и sin30=1/2, то это простая формула двойного угла: sin20=2*sin10*cos10.
Спасибо вам. Я знаю вас больше 6 лет 👍🏻
И Вам спасибо, что смотрите!
Если уж на то пошло, то тут на много больше решений, чем показанные 3. Я, например, придумал три с половиной других решения. В двух из них я тоже строил равносторонний треугольник, но на базе стороны АВ.
Самый лучший способ третий, спасибо
В своё время существовала такая олимпиада Кенгуру. Вот там такие задачки были.
Ну если знать одну теорему, что в равнобедренном треугольнике отрезок делящий сторону так, что одна часть равняется основанию этого треугольника, то этот отрезок является биссектрисой, соответственно получается 80/2, дальше уже рассматриваем внутренний треугольник , где два угла известно и находим третий
Не получается.
@@viktorviktor5820 все получается. с углами внимательнее
По решению
Спасибо...Третий проще, но первый интереснее
Еще один способ - если в чертеже второго способа продлить отрезок BD, линия будет биссектрисой не только угла BCE, но и угла CDE, попутно получаем вертикальный угол в 30 градусов к искомому. А мы знаем, что вертикальные углы равны.
В последнем решении для нахождения угла нет необходимости считать сумму углов - там есть сторона АС - прямая - т.е. 180 градусов...
Второй треугольник где угол С=20 то A и B равны 80 градусам.Теперь чтобы легче было нужно дорисовать треугольник и выйдет 90 градусов,а этот треугольник который мы нарисовали угол B равен 10 градусам.теперь во втором треугольнике 180-x=180-10+20 где 180-x=150 значит x=30
P.S я учусь в 7 классе и синусов и косинусов я не знаю
На основе этого геометрического построения уже несколько задач есть. Дорисуйте девятисторонний равносторонний с равными углами многоугольник, и сразу удивитесь простоте решения. На канале GetAClass было… 🙂
В тригонометрическом решении, с момента 4:02 уже ничего такого не надо было делать, а просто сказать, что если косинусы равны, то и аргументы равны с точностью до +/- (ибо косинус - чётная функция). И далее написать: Х-50 = +/- (Х-10). Со знаком "+" имеем нонсенс, а со знаком "-" имеем разумную вещь:
Х-50 = - Х+10
Х = 30
С нижайшим поклоном к уровню ваших знаний, не проще ли угол ДВС, отнятый у угла АВС, прибавить к АДВ- ведь увеличился он, и всё!
Сказочные способы. Спасибо
Почему CBD = x-20? На каком основании вы пришли к такому выводу/? CBD = 360-20-(180-x) Как вы решили сходу , что у вас CBD сразу стало равно x-20?
Тригонометрическое решение не особо понял
А последние 2 понятные что и зачем делаем
07:00 - BCE = 80 = BEC - > CBD = 10 (180-80-80)/2 ; -> BDC = 150; BDA = 180-150 = 30
Нормальные методы, осталось только красивые решения с координатной сеткой продумать (необязательно прямоугольные координаты).
Дикцию только чётче, особенно в моменты размышлений - синуш, кошинус )))
я видел такую задачу на одном англоязычном канале, но там в условии говорилось что надо решить не используя какие-либо тригонометрические формулы и тождества.
Есть ещё один способ. Построить равносторонний треугольник на стороне АВ внутри искомого треугольника. Все стороны равны АВ.
Далее из вершины равностороннего треугольника достроить до точки D.
Получаем несколько равносторонних треугольников. Из них можно найти искомый угол.
Всю голову себе сломал когда то. Но решил.
Было бы любопытнее убрать из Дано BAD = 80. Интереснее сначала доказать что треугольник BAD равнобедренный и после посчитать эти углы))) А так любопытная задачка. Самое то под кофе с утра.
не, не просто)
Валерий, здравствуйте. А как быть, если углы при основании равны, скажем, [65; 79] & [81;89]?!🤔
Теорему синусов никто не отменял. И кстати пригождалась в практике, может и не поверят многие.
Я через систему решал.
Бегать искать углы дбс....? Это новый вид шизы🤣🎩
Если б такой контент был, когда я оканчивала школу, то я бы сейчас не пыталась скобки в синусах сократить))
И сейчас вам изучать математику не поздно. Это ведь океан знаний для детей и взрослых.
@@wladislawortlieb8992 все говорят, что надо читать книжки, чтобы держать мозг в тонусе, а я ненавижу читать))
Была лучше в школе по математике, поэтому мой путь - математика. Мыслить я не разучилась, работа требует мозгов, но знание математики открывает доступ к решению кучи интересных задач
Если не догадаться построить треугольники, то нет самого простого способа😁. Ну а так, второй вроде
Есть еще проще, у Вас понравились 2 последних способа, очень доступных для понимания, например, как для меня- не математика, а просто любителя.
Почему угол DBC равен х-20?
Потому, что внешний угол треугольника, который равен x, равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
@@ValeryVolkov Спасибо, я понял!
Я решила 2-м способом. Всички са интересни!
Я решил своим способом, он похоже четвертый. АВ пополам принять за единицу. Далее через синус 10 градусов находим ВС. Далее находим АD. Далее по теореме косинусов ВD. Далее опять же по теореме косинусов искомый угол АDB
Мне больше приглянулся второй способ. Без тригонометрических формул, которые уже не помню))) .
Первое - сложно, но второе и третье - нужно догадаться для таких построений. (Я в 7 классе)
Во втором способе ещё проще. ЕСВ тож равнобедренный. Острый угол равен 180-80-80=20. Тогда искомый 180-(180-10-20)=30
Второй и третий.способы наилучшие.