Спасибо за задачу. Развивает логическое мышление 2 способом 7 класса. Решил также примерно, но часа 2 думал, не хотелось тригонометрией. Как увидел поворот труегольника в квадрате, решение по тихоньку сложилось. Давайте, пожалуйста, побольше таких задач. Интересно 😊
Поворот треугольника ABM по часовой на 90 гр. А - ось, В в D, M в новую точку P. Четырехугольник AMKP - дельтоид с противоположными углами 90 и 120, 75 и 75, АК - биссектриса и диагональ, угол альфа = 90/2 = 45.
Похоже, что продолжаем не МК, а АК до пересечения с продолжением ВС. Точку пересечения обозначаем Е. То, что получится равнобедренный треугодьник еще надо доказать. Только после этого доказательства можно узнать, что развернутый угол равен 120 градусам. Дальше не смотрел.
Заметим, что угол AMK равен равен 75°. Значит, MA - биссектриса угла BMK. CA - биссектриса угла MCK. Следовательно, A - центр вневписанной окружности треугольника CMK, касающейся стороны MK. Остаётся посчитать углы при вершине K, понять, что угол AKM равен 60°, и из теоремы о сумме углов треугольника для треугольника AMK, заключить, что искомый угол равен 45°.
Хорошее решение, но в каких школах вообще ученикам хотя бы рассказывают про вневписанные окружности? В программах обычной школы этого нет и не было в советских школах. Даже выпускники физматшкол и интернатов, с которыми я общался, их не проходили! Про них знали только те, кому на каком нибудь факультативе рассказал учитель по секрету😊
Простая, устная красивая задача. После просмотра оказалось что решение как у автора. Опускаем перпендикуляр из А на КМ - тО. Две пары равных треугольников АВМ = АМО, и АОК=АКД. Откуда угол равен 45 градусов.
Через т. синусов 1. Пристроить к AD п\у тр-к ADL, равный ABM 2. Теор. синусов для AMK и ALK: AM\sin(AKM)=AK\sin75°=AL\sin(AKL), sin(AKM)=sin(AKL), след. AKM=AKL=60°, MAK=45°.
Забавная задача. Думаю здесь масса решений. Например такое: продлеваем AD и MK до пересечения в т. G. Углы AMG=MAG=75°. Сл-но ∆AMG равнобедренный. Откуда AG=MG. Обозначим сторону квадрата a, CK=x. Тогда MK=2x, а KG= 2(a-x), т.к углы KMC=DGK=30°. Складываем и получаем, что AG=MG=2a. Так как AD=a, то видим, что ∆AKG равнобедренный. Сл-но угол KAD=KGD=30°. Отсюда угол MAK=75°-30°=45°. Долго писать, но легко видеть.
Тоже такой вариант решения рассматривал в уме и уже предполагал что АКG будет равнобедренным и ответ 45, но так и не довел до конца потому что увидел вариант похожий на вариант Андрея, а потом и забыл про этот да и двух хватило.👍
Я уже приводил этот прием в похожей конструкции. Можно провести окружность с центром в точке A и радиусом AB = AD. На самом деле это то же самое, но получается очень наглядно. Эта окружность касается KM в точке F. Я повторяю, по сути это то же решение, но окружность как бы высвечивает скрытую симметрию точек F и D относительно AK.
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен, но геометрическое решение красивее. А экзамены мои состоялись уже очень давно, в далёкой юности. А Вам, большое спасибо.
Не просто старой, а самой рейтинговой. Вы можету ту старую найти в конце моей ленты. У нее до сих пор (вы не поверите!) ... 148 просморов на сейчас! А было на момент рейстайлинга тогда - 65!!!! Рестайлинг - сила!
Решил как 2-й способ, но финальные расчёты делал не через угол BAM, а через угол MKC (забавно, если читать кириллицей)))) Угол AMK = 180-30-75=75 градусов. Значит, углы AMB и AMK равны. Пусть AH - высота треугольника AMK. Тогда прямоугольные треугольники ABM и AHM равны по (общей) гипотенузе и острому углу. Значит, AH = AB. Значит, AH = AD. Значит, прямоугольные треугольники AHK и ADK равны по катету и (общей) гипотенузе. Значит, равны углы AKM и AKD. Угол MKC = 90-30=60 градусов. Угол AKM = (180-60)/2=60 градусов. Угол альфа = 180-75-60=45 градусов. Ответ: 45 градусов.
И ненадо ничего чертить. Вот как решыл ученик знающий иолько то что все углы трёхуголника равны 180 градусов. Угол ( красный ) А = 75 - ( 90 - ( 120 - ( 105 - А ))) А = 45
Ещё проще: Из М проводим перпендикуляр F на АК...откуда угол FМК будет равен углу КМС , который равен 30°. Угол АМF будет 45° как и соответственно угол МАF или естественно искомый МАК...😂
Спасибо. Читайте комменты. Так просто не получится. Напртмер с чего вы взяли, что " ...откуда угол FМК будет равен углу КМС"? Почему треугольники равны? У них только общая гипотенуза.
Можно ничего не достраивать. Достаточно знать, что сумма углов треугольника 180. Обозначив 4 неизвестных угла (2 в центральном тр-ке и 2 в нижнем) переменными, можно получить для них систему из 4-х уравнений. Последовательно выражая одни неизвестные через другие несложно получить ответ 45 град.
При заданных углах есть довольно простое решение: Продолжим МК до пересечения с продолжением АД. Обозначим точку пересечения Р. МР= АР т.к равны углы при основании. А угол АРМ равен 30 гр. Отсюда КР=2КД, а МК-2СК.Т.е МР= АР=2СК+2КД=2СД. Т.к. СД=АД, а АД+ДР=2СД то ДР=АД. Следовательно КД и высота и медиана. Значит треугольник АКР равнобедренный. Угол РАК=30 гр, угол КАМ 75-30 =45гр.
1) угол AMK = 180-(75+30)=75 2) угол MKC = 180-(30+90)=60 3) провести высоту с точки M и доказать что угол MKA = 60 4) угол MAK = 180-(75+60)=45 Самый короткий и понятный способ
Во втором решении второе действие лишнее. В треугольнике AFM известны два угла и третий угол находится сразу - без необходимости доказывать равенство треугольников.
Интересная задача! Решил задачу в уме, сразу напишу решение пока не посмотрел видео потому что думаю что скорее всего будет такое же по-моему самое простое решение. Проводим диагональ АС и обозначим как Т точку пересечения ее с МК. < АМК = 180 - 75 - 30 = 75. < МАТ = 45 - (90 - 75) = 30. < МТА = 180 - 75 - 30 = 75. < МТА = < АМТ = 75 - треугольник АМТ равнобедренный и АМ = АТ. Обозначим как точку Е на отрезке КD так что < ЕАD = 15. Тогда треугольники АКЕ и АКТ равны по общей стороне АК, стороны АЕ и АТ равны п.ч. обе равны АМ и < АЕК =
🖐Посмотрел видео, почти как предполагал решение похоже на решение Андрея, но все же другое) а у Кати сошлось один в один только я немного перемудрил с описанием - в начале ВМ конечно просто через tg 15, а в конце АК не нужно искать потому что AD уже известно и можно просто по синусу 30 найти а не по отношению к гипотенузе - все потому что как увидел в уме сразу так и написал), если бы решал на бумаге и не спешил написал бы как Катя.
Из трьох теорем равенства треугольников, не следует что два треугольника равны по гипотенузе и катету. Ведь теорему Пифагора изучають позже, не так ли?
Продолжим МК до основания А D. Получим равнобедреный треугольникАКК1. Треугольник АК1 D подобен треугольнику МКС, то есть угол КК1D равен 30 гр. Значит КАD так же 30 гр. Дальше все понятно. На много проще
Идея правильная и самая наглядная. Но в одно действие не получится - нужно будет еще кучу чего доказать, и получится даже несколько сложнее, чем в решении семикласника
ПРОЩЕ ОПУСТИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР ИЗ ТОЧКИ М НА СТОРОНУ АК, И ПОЛУЧИМ ДВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ, ОДИН РАВЕН МСК, ВТОРОЙ БУДЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ РАВНОБЕДРЕННЫМ, ТАК КАК УГЛЫ ПО 45,
Спасибо. К сожалению мы не знаем как высота разобьет угол AMK в 75 градусов. Поэтому не можем уверждать о равенстве указанных вами треугольгников. Задача сложная олимипиадная и так просто не решается. Почитайте другие комменты. Но старайтесь всегда разобраться.
@@GeometriaValeriyKazakov смех смехом, а моих родителей в школе заставляли учить эти таблицы. А ещё в те времена были в ходу логарифмические линейки, по которым тоже можно было узнать значения тригонометрических функций, но были эти линейки далеко не у всех
Судя по всему нет никакой разницы, какие углы у точки М, лишь бы AMB=AMF. То есть вместо 30 можно 40, тогда вместо 75 - 70. И тригонометрия уже отдыхает
пока не посмотрел решение: 1) вычисляем угол АМК, который равен 180-75-30=75; 2) из А перпендикуляр на МК чем делим МК на МН и НК; получаем два равных треугольника АВМ и АНМ по общей гипотенузе и равным прилежащим углам АМВ и АМН, из чего следует равность углов ВАМ и НАМ, которые равны 180-90-75=15, а так же равность катетов АВ и АН, а тк АВ - это сторона квадрата, АН равен и другим сторонам квадрата, а именно АН=АD; 3) угол НАD равен 90-15-15=60 (ВАD-ВАМ-НАМ=НАD); 4) Треугольник АКН равен треугольнику АКD по общей гипотенузе и катетам АН=АD (см действие 2), а значит угол НАК равен углу DАК и равен половине угла НАD, т.е. 60/2=30; 5) угол НАК+ угол НАМ = угол МАК, т.е. 30+15=45 ОТВЕТ: 45
@@GeometriaValeriyKazakov самая евклидовая. Через противоположные углы секущих параллельные прямые. Если все отрезки представить прямыми, то сразу понятно, что треугольники МСК и АКД подобные. А значит угол АКД равен 60 градусов. Тогда угол МКА тоже 60 градусов. АМК 75 градусов. Ну и так далее.
Катеты AFи AD ведь равны изх предыдущего, значит соотвественные, и два других покороче соотвественные тогда. А против равных сторон в равных тр-ках лежат равные углы.
перпендикуляр к стороне МК и есть ключ к решению. просто логично угол МКС равен 60 грд и равен углу МКD так как угол АКD равен 30 грд. отсюда AKF равен 60 грд.то есть прямая АК делит угол FRD пополам и также FAD,
Прочитать все комментарии нет желания. Задача устная. Продолжить две гипотенузы за пределы квадрата. Тогда углы в нижнем треугольнике - 60, 90 , 30. Искомый угол- 90-15-30=45.
1) Проведем через точку К прямую, параллельную АМ. Продлим вправо сторону ВС. Точку пересечения с AD назовём Р, с прямой, являющейся продолжением ВС, -- N. Точку М соединим с точкой Р. Их пересечением является точка О. 2) Рассмотрим углы: ^MKN=75°, т.к. ^ВМА=75° и АМ || РN ^PKM=180°-^MKN=180°-75°=105° ^AMK=180°-(^BMA+^NMK)=180°-(75°+30°)=75° ^MAD=90°-^BAM=90°-(180°-(ABM+BMA))= 90°-(180°-(90°+75°))=75° ^APK=360°-(^PKM+^AMK+^^MAD)= 360°-(105°+75°+75°)=105° ➡️ Четырехугольник АМКР -- равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом (НЕ ВЕРЬ ГЛАЗАМ СВОИМ, это не соответствует действительности, как мне подсказали комментаторы). Кроме того, в силу симметрии АОМ -равнобедренный треугольник ➡️ ^МАО=^АМО=(180°-^АОМ)/2= (180°-90)=45° Таким образом, искомый угол ^МАК=45° ☑️☑️ (произошло чудо)
Соглашусь, тут я немного погорячилась и зашла не с того конца, ибо все наоборот: "Если диагонали трапеции перпендикулярны, то она является равнобедренной".🤣 А как славно всё шло...
Внесла поправку в текст решения: "НЕ ВЕРЬ ГЛАЗАМ СВОИМ!" Позаимствовано у Козьмы Пруткова из шутливого афоризма: "Если на клетке слона прочтешь надпись: «буйвол», - не верь глазам своим".
Да, по ночам приходят странные идеи.🤣 Но угол-то, действительно, должен быть 90°, если это равнобедренная трапеция и искомый угол оказался равным 45°. Осталось дело за малым: нужно убедиться, что в нашем случае диагонали пересекаются под прямым углом. 🤪🌷
Та не надо ничего дополнитнльно строить и зря пачкать рисунок .Катет МС перпеддикулярен продолжению катета КД. Катет АД перпендукулярен продолжению СК. Значит треуг.МСК и треуг АДК--подобны и углы у них одинаковы. Дальше уже всё ясно.
Интересно, конечно, но решение с тригонометрией в этой легкой задаче совершенно глупо.Тут же квадрат. И можно вычислить в уме все углы. И такие простые подходы, как прямая, проходящая через параллельные прямые и угля между ними. Как диагонали квадрата и прочее… это всё через тригонометрию? Правда? Это должно быт. В головах, как аксиомы. Как знание, что в четырех угольнике все угла в сумме равны… Господи, да как так-то? Куда с таким подходом к образованию? Где логика? Где понимание, что простое более совершенно, чем любые сложности? Эх, угробят с ЕР среднюю школу - основу образования всего населения… кому угодно повышают зарплаты, а педагогам средней школы… Как сказала Надежда о результатах труда учителя в к/ф «С Легким Паром», когда они обсуждали зарплаты учителей и врачей в СССР… ничего не изменилось. Разве что врачам повысили. А учителям средней школы… только в Москве, где учителей и не осталось, а только презентующие, дабы после презентаций заняться репетиторством у других презентующих - такой репетиторский обмен безответственностью в Москве на высоких зарплатах, а учителей и там нет. Учителя вымирают в средней школе. Причем, реально… Зато тригонометрия в примитивной задачке… эх… Может ещё через интеграл, как площадь криволинейной трапеции?😂😂😂😂😂😂
![FORTNITE CLASSICS IS BACK! Fortnite Item Shop [November 15th, 2024] (Fortnite Chapter 5)](http://i.ytimg.com/vi/RbQURbeFwqs/mqdefault.jpg)
Решение семиклассника безусловно интереснее и более простое, без заморочек
Андрей невероятно крут!
Да, такой пацан. Смотрите последний ролик с ним. @@sergeyzabotin314
ruclips.net/video/3ld-CHcti6Y/видео.htmlsi=TMisSUH1Yfm_tQOi@@sergeyzabotin314
Спасибо за задачу. Развивает логическое мышление 2 способом 7 класса. Решил также примерно, но часа 2 думал, не хотелось тригонометрией. Как увидел поворот труегольника в квадрате, решение по тихоньку сложилось. Давайте, пожалуйста, побольше таких задач. Интересно 😊
Спасибо.
Решила набором знаний 7-классника, но кучу доп.построений нагородила))). Спасибо за этот канал.
И вам!
@@GeometriaValeriyKazakovкстати задача в уме решается за 30 секунд
Поворот треугольника ABM по часовой на 90 гр. А - ось, В в D, M в новую точку P. Четырехугольник AMKP - дельтоид с противоположными углами 90 и 120, 75 и 75, АК - биссектриса и диагональ, угол альфа = 90/2 = 45.
Ещё проще: продлить МК до пересечения с AD, получаем два равных треугольника с углами 90, 60, 30 градусов. Угол KAD 30 градусов. 90-15-30=45 градусов
Продолжаем MK,получаем развернутый угол MKE, угол MKC 60°, следовательно CKE =120°, сумма AMK и MAK=CKE, угол AMK=75° и получаем MAK+75=120°, MAK=120-75
MAK=45°
" сумма AMK и MAK=CKE" ПОЧЕМУ?
Похоже, что продолжаем не МК, а АК до пересечения с продолжением ВС. Точку пересечения обозначаем Е. То, что получится равнобедренный треугодьник еще надо доказать. Только после этого доказательства можно узнать, что развернутый угол равен 120 градусам. Дальше не смотрел.
@@Tanechka555 Внешний угол тр-ка АМК🙂
Заметим, что угол AMK равен равен 75°. Значит, MA - биссектриса угла BMK. CA - биссектриса угла MCK. Следовательно, A - центр вневписанной окружности треугольника CMK, касающейся стороны MK. Остаётся посчитать углы при вершине K, понять, что угол AKM равен 60°, и из теоремы о сумме углов треугольника для треугольника AMK, заключить, что искомый угол равен 45°.
Да, да, две бисссетрисы! Отлично!
Хорошее решение, но в каких школах вообще ученикам хотя бы рассказывают про вневписанные окружности? В программах обычной школы этого нет и не было в советских школах. Даже выпускники физматшкол и интернатов, с которыми я общался, их не проходили! Про них знали только те, кому на каком нибудь факультативе рассказал учитель по секрету😊
@@АндрейАнтонов-й5нжесть
Повторение- мать учения, вот с удовольствием и повторила, СПАСИБО!😊
Ну, и правильно.
Второе решение намного проще. Большое спасибо за два способа.
Очень красивая задача и великолепные оба решения. Спасибо большое за ваше мастерство!
Спасибо за высокую оценку нашего труда.
Большое спасибо! Замечательное видео!
Простая, устная красивая задача.
После просмотра оказалось что решение как у автора. Опускаем перпендикуляр из А на КМ - тО. Две пары равных треугольников АВМ = АМО, и АОК=АКД. Откуда угол равен 45 градусов.
Да, для 7 класса - само то!
Всегда надо использоваль наипростейшее решения, но помнить о сложном
Спасибо. Согласен.
Из точки М, опустим перпендикуляр к АК, который построит треугольник, равный треугольнику МСК, то есть, поделит угол АМК на два, 45° и 30°. Всё!
Через т. синусов
1. Пристроить к AD п\у тр-к ADL, равный ABM
2. Теор. синусов для AMK и ALK: AM\sin(AKM)=AK\sin75°=AL\sin(AKL), sin(AKM)=sin(AKL), след. AKM=AKL=60°, MAK=45°.
Отлично!
Зеркалим треугольник МСК вправо, получаем берем новый треугольник АВХ; его углы 90, 30(зеркальный угол КМС) и 60; следовательно нужный угол равен 180-90-30-15 =45
Спасибо.
мне кажется, для того, что бы считать, что КХ лежит на одной прямой с АК надо знать, что угол АКD=60 градусам. А мы этого пока не знаем.
благодарю за видео, Валерий.
успеха :)
И вам!
Забавная задача. Думаю здесь масса решений. Например такое: продлеваем AD и MK до пересечения в т. G. Углы AMG=MAG=75°. Сл-но ∆AMG равнобедренный. Откуда AG=MG. Обозначим сторону квадрата a, CK=x. Тогда MK=2x, а KG= 2(a-x), т.к углы KMC=DGK=30°. Складываем и получаем, что AG=MG=2a. Так как AD=a, то видим, что ∆AKG равнобедренный. Сл-но угол KAD=KGD=30°. Отсюда угол MAK=75°-30°=45°.
Долго писать, но легко видеть.
Да, супер!
Тоже такой вариант решения рассматривал в уме и уже предполагал что АКG будет равнобедренным и ответ 45, но так и не довел до конца потому что увидел вариант похожий на вариант Андрея, а потом и забыл про этот да и двух хватило.👍
Круто
Спасибо!@@ИльяГарбузов-в1т
Обратите внимание, что велина углов может быть другой, типа 80 и 20, или 60 и 60, а ответ будет 45, то есть не зависит, так как алгоритм сохраняется.
Да, может. Но взял красивые, чтобы были еще варианты тригонометрические.
Я уже приводил этот прием в похожей конструкции. Можно провести окружность с центром в точке A и радиусом AB = AD. На самом деле это то же самое, но получается очень наглядно. Эта окружность касается KM в точке F. Я повторяю, по сути это то же решение, но окружность как бы высвечивает скрытую симметрию точек F и D относительно AK.
Спасибо.
Первый способ, что называется: "Из пушки по воробьям", но полезно освежить в памяти формулу тригонометрии и поупражняться в алгебре.
Спасибо. А как решать будете без этой пушки на экзамене? Ну, просто интересно! Ждать "Эврики" возможно придется очень долго.
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен, но геометрическое решение красивее. А экзамены мои состоялись уже очень давно, в далёкой юности. А Вам, большое спасибо.
А если там не воробьи а вам только показалось, тогда засада.
Катя тоже умница.
Андрей молодец. лаконично и точно
Да, он такой!
Я рада, что есть еще такие умные ребята, как Андрей, а то иногда становится ну очень грустно.
@@ИраДжи
ruclips.net/video/3ld-CHcti6Y/видео.htmlsi=TMisSUH1Yfm_tQOi
Красивая и простая - перпендикуляр из А к МК и получаем две красивых пары равных прямоугольных... 45°
Можно даже оригами сложить по линиям АМ и АК :)
Можно!
Решение прям одинаковыми словами описываем! Мысли сходятся!
Пора в казино вместе сходить. Может фортанет?@@viktorviktor5820
@@GeometriaValeriyKazakov точно. Партнёры в преф..
@@viktorviktor5820
Вообще ролик не смотрел и в комменты только сейчас залез :)
Задача настолько прозрачная что нужно думать чтобы решить иначе.
Нормальный рестайлинг старой задачи (тогда "никто не решил", а сейчас один таки решил!)Быстро решил тем же "своим" способом. Тренируем память.
Не просто старой, а самой рейтинговой. Вы можету ту старую найти в конце моей ленты. У нее до сих пор (вы не поверите!) ... 148 просморов на сейчас! А было на момент рейстайлинга тогда - 65!!!! Рестайлинг - сила!
Воистину воскрес!@@GeometriaValeriyKazakov
@@adept7474
@@GeometriaValeriyKazakovзачем вы ответили на данный комментарий? Секрет успешной коммерции нужно держать при себе!
Да, ладно. У меня нет коммерции. Я так прикалываюсь. Начнется коммерция - 50 на 50! @@ЛюбовьКаюмова-м1х
Решил как 2-й способ, но финальные расчёты делал не через угол BAM, а через угол MKC (забавно, если читать кириллицей))))
Угол AMK = 180-30-75=75 градусов.
Значит, углы AMB и AMK равны.
Пусть AH - высота треугольника AMK.
Тогда прямоугольные треугольники ABM и AHM равны по (общей) гипотенузе и острому углу.
Значит, AH = AB. Значит, AH = AD.
Значит, прямоугольные треугольники AHK и ADK равны по катету и (общей) гипотенузе.
Значит, равны углы AKM и AKD.
Угол MKC = 90-30=60 градусов.
Угол AKM = (180-60)/2=60 градусов.
Угол альфа = 180-75-60=45 градусов.
Ответ: 45 градусов.
Отлично.
Да ну. И так и так длинно. Нужны только квадрат и транспортир. 😊
Да, ТРАНСПОРТИР - ЭТО ТО ЧТО НУЖНО!
Молодец парень. Задачу по геометрии решил геометрическими методами а не тригонометрическими.
Мы стараемся, "чувак"!
@@GeometriaValeriyKazakov Я так понимаю, "чувак", это не семикласник а ты постарался?!
Я-Я. Яволь!@@romankalashnikov6130
Супер 👍
Благодарю
И вам спасибо!
Спасибо! Очень красивое решение.
Решение ещё не смотрел но в лоб 4 уравнения с 4 неизвестными. У семиклассника решение хорошее.
Спасибо.
И ненадо ничего чертить.
Вот как решыл ученик знающий иолько то что все углы трёхуголника равны 180 градусов.
Угол ( красный ) А = 75 - ( 90 - ( 120 - ( 105 - А )))
А = 45
Я использовал теорему синусов для треугольника AMK и пришел к удивительно простому уравнению: sin(105°-a)=sin(a+15°). Конечно a=45°.
Да, это 10 класс, и можно за счет монотонности найти корень.
Добрый день.
Андрей решил лучше, чем Катя
Лучше, я его в кино отпустил с занятий.
Вторым способом решил. Если это можно гордо именовать решением: ответ очевиден из построения (если дорисовать высоту в АМК) :)
Да, Эйнштейн тоже самое писал про e=mc^2
Молодец Андрей!
Спасибо.
Смотрите последний ролик с ним.
ruclips.net/video/3ld-CHcti6Y/видео.htmlsi=TMisSUH1Yfm_tQOi
Ещё проще: Из М проводим перпендикуляр F на АК...откуда угол FМК будет равен углу КМС , который равен 30°. Угол АМF будет 45° как и соответственно угол МАF или естественно искомый МАК...😂
Спасибо. Читайте комменты. Так просто не получится. Напртмер с чего вы взяли, что " ...откуда угол FМК будет равен углу КМС"? Почему треугольники равны? У них только общая гипотенуза.
Умничка какой Андрей
)
Да, тут нужно догадаться!
Можно ничего не достраивать. Достаточно знать, что сумма углов треугольника 180.
Обозначив 4 неизвестных угла (2 в центральном тр-ке и 2 в нижнем) переменными, можно получить для них систему из 4-х уравнений. Последовательно выражая одни неизвестные через другие несложно получить ответ 45 град.
Спасибо. Точно не достаточно. Это олимпиадная. на нее отводится 1,5 часа лучшим олимипиадникам. И вы думаете она усно решится?
При заданных углах есть довольно простое решение: Продолжим МК до пересечения с продолжением АД. Обозначим точку пересечения Р. МР= АР т.к равны углы при основании. А угол АРМ равен 30 гр. Отсюда КР=2КД, а МК-2СК.Т.е МР= АР=2СК+2КД=2СД. Т.к. СД=АД, а АД+ДР=2СД то ДР=АД. Следовательно КД и высота и медиана. Значит треугольник АКР равнобедренный. Угол РАК=30 гр, угол КАМ 75-30 =45гр.
Спасибо.
Андрей, Красавчик!
Согласен.
ruclips.net/video/3ld-CHcti6Y/видео.htmlsi=TMisSUH1Yfm_tQOi
я через вневписанную окружность треугольника MCK решил, как 3 способ решения)
Отлично!
Решение Андрея лучше! За 7-ой класс можно ставить годовую оценку "5".
45 градусов. 10 минут, теорема синусов, косинусов, инженерный калькулятор. По другому не умею.
Спасибо. Ну, как умеем.
Наипростейшейшее решение от недоучки: продолжите линии MK и AD до их пересечения. Образующийся угол будет 30°, верно? Ну, дальше как-то сами.. ;)
Норм. Справимся!
1) угол AMK = 180-(75+30)=75
2) угол MKC = 180-(30+90)=60
3) провести высоту с точки M и доказать что угол MKA = 60
4) угол MAK = 180-(75+60)=45
Самый короткий и понятный способ
Супер!
Благодарю
Спасибо.
Андрей супер👍👍
Согласен.
Во втором решении второе действие лишнее. В треугольнике AFM известны два угла и третий угол находится сразу - без необходимости доказывать равенство треугольников.
Спасибо. Мне кажется вы слегка заблуждаетесь. Наиишите, если нетрудно, какие такие два угла известны в тр. AFM после 1-го действия.
@@GeometriaValeriyKazakov Сразу известен угол AFM = 90 (по построению) и угол AMF = 75 (180-75-30)
Понял, что вы хотели сказать. Равенстов треугольников необходимо для AF=AB, откуда AF=AD! @@КириллМихайлов-ж3х
Андрюха красава !!!
Андрей решил гениально
Согласен.
Уже выдали. МЕМО (серебро) @@MrDill100
Висит в соседней комнате! @@MrDill100
Замечательно, я о решении семиклассника.
Андрей красавчег!
Согласен.
ruclips.net/video/3ld-CHcti6Y/видео.htmlsi=TMisSUH1Yfm_tQOi
a=180°-75°-60°=45°. Просто посчитал углы!
Sposibo Andtey, Umnitsa
ruclips.net/video/3ld-CHcti6Y/видео.htmlsi=TMisSUH1Yfm_tQOi
Второй вариант намного проще ❤
Только он сильно зависит от значения углов. Требуется чтобы треугольники были равны в решении. Иначе засада
@@alexl6671
Это можно решить по основному свойству треугольника о том, что сумма углов = 180.
Отлично.
Интересная задача! Решил задачу в уме, сразу напишу решение пока не посмотрел видео потому что думаю что скорее всего будет такое же по-моему самое простое решение.
Проводим диагональ АС и обозначим как Т точку пересечения ее с МК. < АМК = 180 - 75 - 30 = 75. < МАТ = 45 - (90 - 75) = 30. < МТА = 180 - 75 - 30 = 75. < МТА = < АМТ = 75 - треугольник АМТ равнобедренный и АМ = АТ. Обозначим как точку Е на отрезке КD так что < ЕАD = 15. Тогда треугольники АКЕ и АКТ равны по общей стороне АК, стороны АЕ и АТ равны п.ч. обе равны АМ и < АЕК =
🖐Посмотрел видео, почти как предполагал решение похоже на решение Андрея, но все же другое) а у Кати сошлось один в один только я немного перемудрил с описанием - в начале ВМ конечно просто через tg 15, а в конце АК не нужно искать потому что AD уже известно и можно просто по синусу 30 найти а не по отношению к гипотенузе - все потому что как увидел в уме сразу так и написал), если бы решал на бумаге и не спешил написал бы как Катя.
Откуда вы треугольник АКЕ взяли, если там нет буквы Е
Спасибо, что интересуетесь нашим каналом.
Я думаю так большинство поступило бы старшеклассников. @@kulikovsergey3522
Что за треугольник АКЕ?
АВM по часовой к AD, AK бессектриса угла 90 гр.
Спасибо.
Скорее против часовой, но это нюансы. Да это самый простой вариант:)
Наконец освободился, посмотрел ролик.
Последний кадр меняйте иногда, веселее будет.
Спасибо, попробую! Уолту Диснею тоже позвоню, чтобы убрал дурацкого мышонка в конце. Надоело.
Из трьох теорем равенства треугольников, не следует что два треугольника равны по гипотенузе и катету. Ведь теорему Пифагора изучають позже, не так ли?
Два, она доказываетс непросто (это 5-й признак подобия прямоугольных). Нужно приложить треугольник равными катетами, получите большой равнобедренный.
Но это 7 класс.
Продолжим МК до основания А D. Получим равнобедреный треугольникАКК1. Треугольник АК1 D подобен треугольнику МКС, то есть угол КК1D равен 30 гр. Значит КАD так же 30 гр. Дальше все понятно. На много проще
Отлично.
Решение в одно действие : опустите перпендикулярно с точкиМ на АК и 45градусов сами появятся
Спасибо. Идея неплохая, но 45 не появятся. Появится прямоугольный с углом 75, подобный левому.
@@GeometriaValeriyKazakov Появляется треугольник МОК равный правому МСК, с углом 30 градусов .МОА треугольник 45.45.90
Идея правильная и самая наглядная. Но в одно действие не получится - нужно будет еще кучу чего доказать, и получится даже несколько сложнее, чем в решении семикласника
@@lukomorje
мне всегда тригонометрией решать проще, чем путем дополнительных построений. Эта задача - не исключение. Почему так?
Потому, что она из 7 класса. Но тригонометрией, если владеешь, отлично все решается.
ПРОЩЕ ОПУСТИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР ИЗ ТОЧКИ М НА СТОРОНУ АК, И ПОЛУЧИМ ДВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ, ОДИН РАВЕН МСК, ВТОРОЙ БУДЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ РАВНОБЕДРЕННЫМ, ТАК КАК УГЛЫ ПО 45,
Спасибо. К сожалению мы не знаем как высота разобьет угол AMK в 75 градусов. Поэтому не можем уверждать о равенстве указанных вами треугольгников. Задача сложная олимипиадная и так просто не решается. Почитайте другие комменты. Но старайтесь всегда разобраться.
Если МА биссектриса угла ВМК,, то угол МАК всегда равен 45 градусам
Да, есть такое дело!
М.б. стоит рассказать школьникам о таблицах Брадиса? )))
да, пусть наизусть учат эти таблицы
@@RenatRkrkaft
@@GeometriaValeriyKazakov смех смехом, а моих родителей в школе заставляли учить эти таблицы. А ещё в те времена были в ходу логарифмические линейки, по которым тоже можно было узнать значения тригонометрических функций, но были эти линейки далеко не у всех
@@Олег-ч1б5е скорее всего там рутина с множеством простых проходов, которую человек будет производить в тысячи раз медленнее калькулятора
Да. было дело. Но сейчас есть калькулятор. @@RenatRkrkaft
Судя по всему нет никакой разницы, какие углы у точки М, лишь бы AMB=AMF. То есть вместо 30 можно 40, тогда вместо 75 - 70. И тригонометрия уже отдыхает
Да, вы правы, это известное св-во угла в 45 в квадрате.
Вот как решыл ученик знающий иолько то что все углы трёхуголника равны 180 градусов.
Угол ( красный ) А = 75 - ( 90 - ( 120 - ( 105 - А )))
А = 45
Спасибо.
пока не посмотрел решение:
1) вычисляем угол АМК, который равен 180-75-30=75;
2) из А перпендикуляр на МК чем делим МК на МН и НК; получаем два равных треугольника АВМ и АНМ по общей гипотенузе и равным прилежащим углам АМВ и АМН, из чего следует равность углов ВАМ и НАМ, которые равны 180-90-75=15, а так же равность катетов АВ и АН, а тк АВ - это сторона квадрата, АН равен и другим сторонам квадрата, а именно АН=АD;
3) угол НАD равен 90-15-15=60 (ВАD-ВАМ-НАМ=НАD);
4) Треугольник АКН равен треугольнику АКD по общей гипотенузе и катетам АН=АD (см действие 2), а значит угол НАК равен углу DАК и равен половине угла НАD, т.е. 60/2=30;
5) угол НАК+ угол НАМ = угол МАК, т.е. 30+15=45
ОТВЕТ: 45
Спасибо. Лучше просмотреть.
@@GeometriaValeriyKazakov посмотрел, моё решение, как у семиклассника))) спасибо
Очень рад за вас!@@SteinRoma
ПродлеваемАВ,и к нему продлеваемКМ. Все сразу решилось.
А может прослушал. А нельзя принять АВ и СД как параллельные прямые у кототорых секущие это МК и ВС? Тогда вся задача решается без рук.
Типа по неевклидовой?
@@GeometriaValeriyKazakov самая евклидовая. Через противоположные углы секущих параллельные прямые. Если все отрезки представить прямыми, то сразу понятно, что треугольники МСК и АКД подобные. А значит угол АКД равен 60 градусов. Тогда угол МКА тоже 60 градусов. АМК 75 градусов. Ну и так далее.
Как доказать, что углы FAK и KAD соответствуют друг другу в равных треугольниках FAK и KAD?
Катеты AFи AD ведь равны изх предыдущего, значит соотвественные, и два других покороче соотвественные тогда. А против равных сторон в равных тр-ках лежат равные углы.
про що можна розмовляти 10 хвилин? це 10 секунд і арифметика.
Перифразуючи Мюллера "якщо це не розуміє у 7-му класі, то не зрозуміє ніколи".
Спасибо.
перпендикуляр к стороне МК и есть ключ к решению. просто логично угол МКС равен 60 грд и равен углу МКD так как угол АКD равен 30 грд. отсюда AKF равен 60 грд.то есть прямая АК делит угол FRD пополам и также FAD,
Не пишите чушь. Угол MKC никак не равен углу MKD.
Уголд AKD также не равен 30 градусам.
Печаль... Мне 42, а решил как 7ми классник 😢
Отлично.
А разве нельзя по углам вычислить?
Получается - нельзя. Иначе было бы не интересно. Олимпиадная классика.
@@GeometriaValeriyKazakov высший пилотаж,признаю!
@@costablanca4727
Прочитать все комментарии нет желания. Задача устная. Продолжить две гипотенузы за пределы квадрата. Тогда углы в нижнем треугольнике - 60, 90 , 30. Искомый угол- 90-15-30=45.
А вы где то преподаëте математику?
В данный момент я в торческом отпуске. Написал учебники по геометрии для школы, еще 15 пособий и наслаждаюсь жизнью!
Завтра с утра иду в 7 класс и решу
Правильно!
простецкая задачка, нечему покорять
Если вы 7-классник, и для вас это просто, то на канале много олимипиданых задач в том числе и междунароного уровня.
Сведения про угол в 30°, прлучается, лишние :)
Не лишние, угол АМК без угла СМК не найти
@@Extremal917 Да, вы правы🤦♂ . Что интересно, сейчас уже даже не могу вспомнить логику, по которой мне померещилось, что сведения об угле лишние. 🤦♂
Зачем эти заморочки с тангенсами, гораздо проще можно решить, если учесть, что там прямоугольные треугольники и дорисовать равнобедренный.
Спасибо. Очень просто не получится - олимпиадка. Предложенное решение - самое простое.
Красиво семиклассник решил...
Да, согласен. Эвристическое решение.
Но все же угол ВАМ нашли при помощи тригонометрии. 7 класс этого не знает. Как быть с этим?
Смотреть второй способ (Андрея)!
7 класс не знает чему равна сумма углов треугольника?
@@viktorviktor5820по программе Атанасяна знает
Задача покорила интернет?! Чей, марсианский?! )))
Все-таки лучше обсуждать задачи, а не автора.
Класс! Уходит средним классам.
Спасибо, что смотрите нас.
Я третьим способом решил.
Отлично.
1) Проведем через точку К прямую, параллельную АМ. Продлим вправо сторону ВС. Точку пересечения с AD назовём Р, с прямой, являющейся продолжением ВС, -- N.
Точку М соединим с точкой Р. Их пересечением является точка О.
2) Рассмотрим углы:
^MKN=75°, т.к. ^ВМА=75° и АМ || РN
^PKM=180°-^MKN=180°-75°=105°
^AMK=180°-(^BMA+^NMK)=180°-(75°+30°)=75°
^MAD=90°-^BAM=90°-(180°-(ABM+BMA))=
90°-(180°-(90°+75°))=75°
^APK=360°-(^PKM+^AMK+^^MAD)=
360°-(105°+75°+75°)=105° ➡️
Четырехугольник АМКР -- равнобедренная трапеция.
В равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом (НЕ ВЕРЬ ГЛАЗАМ СВОИМ, это не соответствует действительности, как мне подсказали комментаторы).
Кроме того, в силу симметрии АОМ -равнобедренный треугольник ➡️
^МАО=^АМО=(180°-^АОМ)/2=
(180°-90)=45°
Таким образом, искомый угол ^МАК=45° ☑️☑️ (произошло чудо)
Спасибо за коммент.
Соглашусь, тут я немного погорячилась и зашла не с того конца, ибо все наоборот: "Если диагонали трапеции перпендикулярны, то она является равнобедренной".🤣
А как славно всё шло...
Внесла поправку в текст решения:
"НЕ ВЕРЬ ГЛАЗАМ СВОИМ!"
Позаимствовано у Козьмы Пруткова из шутливого афоризма:
"Если на клетке слона прочтешь надпись: «буйвол», - не верь глазам своим".
Офигеть!!!! Пути простые не про нас!
Да, по ночам приходят странные идеи.🤣 Но угол-то, действительно, должен быть 90°, если это равнобедренная трапеция и искомый угол оказался равным 45°. Осталось дело за малым: нужно убедиться, что в нашем случае диагонали пересекаются под прямым углом. 🤪🌷
Обязательно порешаю с внуком. 7 класс
Да, и зайдите в плейлист для 7 класса.
А я нашел третий вариант
Отлично! Никому не говорите!
Могу с вами поделиться
Делитесь!@@alexanxerrosenfeld3793
Куда вам отправить решение
все пишут в комментариях. @@alexanxerrosenfeld3793
Решение 11 класса- лобовой садистский способ😂😂😂
Да, огни звери просто!
Та не надо ничего дополнитнльно строить и зря пачкать рисунок .Катет МС перпеддикулярен продолжению катета КД. Катет АД перпендукулярен продолжению СК. Значит треуг.МСК и треуг АДК--подобны и углы у них одинаковы. Дальше уже всё ясно.
Интересно, конечно, но решение с тригонометрией в этой легкой задаче совершенно глупо.Тут же квадрат. И можно вычислить в уме все углы. И такие простые подходы, как прямая, проходящая через параллельные прямые и угля между ними. Как диагонали квадрата и прочее… это всё через тригонометрию? Правда?
Это должно быт. В головах, как аксиомы. Как знание, что в четырех угольнике все угла в сумме равны…
Господи, да как так-то?
Куда с таким подходом к образованию? Где логика? Где понимание, что простое более совершенно, чем любые сложности?
Эх, угробят с ЕР среднюю школу - основу образования всего населения… кому угодно повышают зарплаты, а педагогам средней школы…
Как сказала Надежда о результатах труда учителя в к/ф «С Легким Паром», когда они обсуждали зарплаты учителей и врачей в СССР… ничего не изменилось. Разве что врачам повысили. А учителям средней школы… только в Москве, где учителей и не осталось, а только презентующие, дабы после презентаций заняться репетиторством у других презентующих - такой репетиторский обмен безответственностью в Москве на высоких зарплатах, а учителей и там нет.
Учителя вымирают в средней школе. Причем, реально…
Зато тригонометрия в примитивной задачке… эх…
Может ещё через интеграл, как площадь криволинейной трапеции?😂😂😂😂😂😂
Спасибо.
Транспортир приложить и всё
Правильно.
1 секундная задача , что за дичь тут происходит !!
Вот такая дикая дичь предлагается 7-кассникам. Сам в ужасе!