✓ Самое короткое доказательство теоремы Морли о трисектрисах | Ботай со мной
HTML-код
- Опубликовано: 4 фев 2025
- Сегодня поговорим про одно короткое доказательство теоремы Морли о трисектриссах.
Теорема. Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника (то есть лучей, делящих угол на три равных угла) являются вершинами правильного треугольника.
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
USDT (ERC20): 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trus...
Регулярная помощь (RUclips): www.youtube.co...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trus...
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/bori...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/eg...
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/eg... - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fi...
Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lo...
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_tru...
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
RUclips: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
![Идея, решающая 70% геометрических задач [4K]](http://i.ytimg.com/vi/1Jd7ukZir-U/mqdefault.jpg)
4:40 оговорка - через точку цэ-штрих
Борис Трушин как хорошее вино - с возрастом становится только лучше
Дескуфизация Бориса Трушина продолжается
Не важно какая у Бориса на данный момент внешность, важно то, что он остался таким же отличным и добрым преподавателем как и раньше)
Обалдеть, как математика меняет людей👍👍👍
Борис решил стареть по арифметической прогрессии, где d < 0
Харош 😁
@solitude_taster
Нееее , мегахарош:D
Супер мега харош.
Ультра мега хорош
да не, просто сегодня ролик записал А Трушин, а до этого был У Трушин..
ЗЫ Хз читали ли подписчики трушина "понедельник начинается в субботу"...
Я не боюсь человека, который умеет решать 1000 разных задач
Я боюсь человека, который одну задачу умеет решать 1000 разными способами
Коммент глубже, чем кажется
© Цитаты великих Брюсов Ли в тех реальностях, где они математики.
Реально несложное, а главное красивое док-во. Огромный респект Борису, за то, что снова и снова показывает красоту математики.
Спасибо Бенджамину Трушину за интересные видео!
Борис Викторович, огромное Вам спасибо, что выпускаете такую редкую информацию! Чувствуется расширение простора знаний...
как же вы помолодели, Борис Викторович, вам очень идет новый образ!❤
Офигеть он поменялся внешнее респект!
Помню смотрел его пять назад
Борис, вы прекрасно выглядите, прям на глазах молодеете!
С каждым годом все молодее
Ого, Вы так похудели. Выглядите очень здорово.
А доказательство действительно короткое и интересное, хотя ниразу и не слышала о такой теореме)
Читайте, однако, Википедию, там говорится и про другие варианты Теоремы
Очень интересная теорема. 50 лет назад я учился в школе и мы такую теорему не рассмвтривали. Класс поставил
Борис, содержательно ваше видео как всегда на высоте. Но хотел бы заметить, что вы отлично выглядите. Так держать!
Геометрия, как и всегда, бесподобна! А нам лишь остаётся понять почему так происходит. Браво!
В первый раз вижу автора в этом образе, стильно!
Блестящее доказательство! Спасибо. Получил удовольствие.
Не ожидал такого😳 очень классно
Красивое доказательство, от любимого мат. блогера👏
как похудел Борис, Красавчег
Борис с каждым видео молодеет
Борис Викторович, Вам очень идёт новый имидж))) Я ученик 2020 года) класс!
Как всегда, классное видео!
За 2 минуты посмотрели ?
Мне нравится прическа! Очень идет
Даже не задумывсешься, что бывают трисектрисы, пока не натыкаешь на вот такую задачу, очень интересно
Про геометрию очень интересно!
Классный инвариант и классное доказательство.
Напомнило инвариант параллелограмма, у которого точки касания вписанных в полупараллелограммы (треугольники, отрезаемые диагоналями) окружностей с диагоналями параллелограмма всегда образуют прямоугольник. А, как известно, центр вписанной окружности: это точка пересечения бисссектрис.
Интересно, имеют эти две теоремы что-то общее? И если да, можно ли их свести друг к другу?
"Пишите, про что ещё рассказать"... Ну что ж, как раз в тему относительно новых фактов планиметрии: теорема и окружность Ламуна!
Красавчик, Борис! Математики-душки!
Борис постепенно трансформируется из скуфа в альтушку
(Да простят меня все присутствующие за эту шутку :) )
Геометрия это лучшее!
Уже давно учусь в универе на физфаке МГУ, и почти вся школьная математика, конечно, уже кажется слишком простой и скучной, но геометрия исколючение, только её всегда смотрю с удовольствием )
можете сделать видеоурок про матрицы и вызначники, да и в целом про этот раздел, ауенно объясняете, хотелось бы от вас услышать лекцию на эту тему))
Здорово выглядишь, проделал хорошую работу над собой! Спасибо за контент.
красивое доказательство, я бы не догадался.
Добрый день. Спасибо за видео. Весьма поучительно и достаточно интересно. Красоту математики довольно сложно переоценить. А просьба к вам у меня будет следующая. В сборнике задач Демидовича (издания 1997 года, не позднее), есть интересная задача, в которой нужно разложить в ряд Фурье функцию, заданную интегралом с переменным верхним пределом. Пробовал разные способы, в том числе переходил в комплексную область. Пробовал и "в лоб", но в этом случае была идея поменять порядок интегрирования, иначе там хрен проинтегрируешь. А сама функция следующая: у=int(ln(sqrt(abs(ctg(t/2)))),t=0..x) и разложить ее надо на отрезке от -Pi до Pi. Заранее спасибо. Для справки: sqrt() - квадратный корень, abs() - модуль над выражением.
Каковы ограничения на x?
abs это модуль?
int - целая часть?
Int скорее всего интеграл
Какой же он красавчик!
Довольно сложная идея для доказательства
Иногда, конечно, бывает полезно посмотреть на задачу на доказательства сзади чтобы увидеть идею для доказательства
Но именно начинать доказательство с того, что просят доказать и прийти к изначальной формулировке - это не самое простое рассуждение
А само доказательство построено и впрямь просто
Браво, Борис., теперь у нас одинаковые прически-это добрый знак в математике))))))))
Класссное объяснение и доказательство
Воу, неплохо.Надо видео про инверсию.
Боря теперь на 25 лет выглядит, боюсь через ещё 4 года открывать канал
Браво!
Красивое)
Такой получился сегодня математический досуг. Привет Гарднеру.
Как красиво и просто, но в жизни не догадаешься до доп. построений)
Ну, никто и не говорит, что это легко придумать. Это придумали через 120 лет )
@@trushinbv в этом есть свой шарм - придумывать оригинальные доказательства известных фактов :)
Если отсортировать видео Бориса, показав сначала самые старые, то он постареет, а если наоборот показать самые новые, то он помолодеет... Борис обратил ход времени!
Задался таким вопросом - как в игре аналогичной морскому бою за наименьшее количество ходов найти все скрытые объекты (известно количество объектов и размеры каждого из них)
Борис, вы кажется худеете. Хорошеете
Причёска непривычная.
Сорри но надо сказать - внешний вид супер
классно)))
Есть похожая красивая теорема про тридианы:
В произвольном треугольнике из вершин проведены прямые, делящие противоположные стороны на 3 равные части. Тогда 3 точки пересечения образуют правильный треугольник(и более того все 6 точек пересечения образую правильный шестиугольник).
Доказательство:
Афинным преобразованием переведем исходный треугольник в правильный, а для правильного очевидно.
P.S. К сожалению, в теореме Морли такой трюк не прокатит, так как афинное преобразование не сохраняет отношение углов(кажется)
Проверил в GeoGebra вообще не сходится, получается треугольник подобный исходному, но никак не правильный
@@NEKKITIS Вы правы! Дико извиняюсь за дезинформацию, перепутал с другим фактом:
При том же условии выполняется, что диагонали образованного шестиугольника пересекаются в одной точке!😱
Кстати это точка является точкой пересечения медиан исходного треугольника и вершины шестиугольника лежат на медианах
О, у вас новый стайл, так лучше
настоящий математик
комментаторы будто в закрытыми глазами ролик смотрели
Борис решил полность изменить все атрибуты внешности, которые присутствуют на аватарке канала. Кажется, известно, что будет в следующей трансформации, ведь остались только очки 🤓
Я пробовал линзы. Мне не понравилось (
@@trushinbv операцию можно сделать, сейчас они не дорогие)
Сам делал
То есть доказали обратную теорему, после чего заодно оказалось, что верна и "прямая".
Капец помолодел, даже голос помолодел немного, заметили??
Подросток какой-то. Вы реально думаете, что я повелся? Верните Бориса!
на 3:46 не очень понял, почему мы можем обозначить шесть углов таким образом. Понятно, что сумма углов получается корректной, но разве эти углы не накладывают дополнительные условия (такие-то 6 углов должны быть равны 60+альфа , 60+бетта... и т.д.)?
Так мы же сами решили построить такую картинку, и в итоге получили треугольник подобный исходному
Я не понял про предпосылку , что в дорисованных треугольниках углы равны 60+∝ или 60+гамма. С чего такое предположение?
это не предположение, мы с такими углами треугольники сами строим
@@Alpha-ng6oc Значит для такого треугольника теорема верна. И как это доказывает что теорема верна для произвольного треугольника?
@@SamsungUa-yj5ur ну да, для такого - то есть произвольного треугольника с углами альфа бета гамма
с помощью дополнительных построенией можно построить что угодно
Ох уж этот знаменитый метод доказательства, начинающийся со слов, заметим, что, если... )
Ну, это нормально для решения, которое нашли через 120 лет )
Это же не задача из олимпиады с таким авторским решением
Я не знал, что трисектрисы существуют. Или хотя бы, что у них есть какой-то смысл. 😮
Я думаю, что это доказательство теоремы, обратной теореме Морли.
А как вы сформулируете обратную теорему?
@@trushinbv , если к правильному треугольнику пристроить..., то получится треугольник с триссектрисами, которые пересекаются в вершинах правильного.
Прошу извинить, - температурю и не додумывал формулировку.
Возможно я что-то недопонял, но у меня впечатление, что заявленную теорему эта цепь рассуждений не доказывает.
Полегчает, - посмотрю ещё. Интересно. И самому полезно, - я же учитель.
Кстати, у меня в этом году три стобалльника. Два по математике и один по физике. И ОГЭ мои ученики красиво посдавали, все довольны результатами.
Они учатся у меня, я у них и у всех :)
Да, тоже интересует верность обратных рассуждений. Бывает же так, что в одну сторону работает, а в другую - уже нет
@@user-dazaiosamu но здесь мы доказали прямое утверждение. Мы собрали треугольник подобный исходному, в котором теорема верна. Значит она верна и в исходном треугольнике
@@trushinbv да, но почему мы не могли получить такой треугольник, начиная построение с какого-нибудь другого, не правильного треугольника? В ролике доказано то, что от правильного треугольника есть только одна дорожка - к триссектрисам, но не доказано, что к триссектрисам нельзя прийти откуда-нибудь ещë
Красиво, но 60 градусов при "пририсовке" надо вычислить👍
Наконец-то Борис стал выглядить нормально!
Чем то похож на доказательство по Джону Конвею
Да, у Конвея первый шаг такой же
@@trushinbv рад что ответил мне сам Борис Трушин
99% - идея Конвея...а не первый шаг..
Уверяли, что будет радикально черный цвет.
Не, должен был быть фиолетовый )
Хорошая отсылка.
На самом деле, когда мы делаем "обратное построение", то необходимо (на мой взгляд) явно указать, что в исходной задаче решение единственно... иначе, формально, у нас нет оснований утверждать, что мы решили прямую задачу (не соответствующей теоремы)
Ну, то что трисектриссы однозначно определены, вроде бы, очевидно
@@trushinbv да, но точек их пересечений 6, например.
@@iGeen7но теорема именно про «соседние» триссектрисы.
Математика омолаживает)
Я не совсем уверен что док-во полное. По построению углы в дополнительном треугольнике (4:05) γ+60 и β+60, а по теореме не дано что углы именно такие.
Мы собрали треугольник подобный исходному, в котором теорема верна. Значит она верна и в исходном треугольнике
@@trushinbv да, точно. Трисекция единственна.
Считаю это читерством!😅
99% - идея Конвея...а не первый шаг..
Если теорема такая же симпатичная, как причёска, то...
Здравствуйте, Борис. Решаю задачи прошлых лет с олимпиады "Воробьевы горы". Наткнулся на следующую задачу ". Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является
образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по 60◦
. Найдите угол между двумя образующими, по которым
пересекаются эти конусы.". Помогите решить. Думаю, получится хорошее видео
А если допустим угол будет не 60+a, а даже меньше чем а?
Мы же сами именно так построили эти треугольники
@@trushinbv я просто немного не понимаю чем обоснована допустимость этого действия, реально для меня революционный подход к решению.
@@deathnote5924какого именно действия?
@@trushinbv Ну в моем понимании мы можем точно написать, что оставшиеся два угла равны 120+бета+альфа. Но вот когда мы строго их задаем каждый отдельно, то как будто задача решается не в общем виде. То есть мы доказали по сути, но сделали это только для такой системы углов. Как будто область применения сужается. Не знаю как объяснить..
@@deathnote5924 Вы согласны, что таким способом мы нарисовали треугольник с углами три альфа, три бета, три гамма, в котором трисектриссы пересекаясь образуют правильный треугольник?
Вспоминая ваше видео про то, что нельзя использовать тот факт, который мы хотим доказать, при доказательстве его же, я не понимаю, как мы можем использовать правильность этого треугольника... Ведь мы ровно это хотели доказать?
И разве не получается, что мы доказали теорему только в одну сторону, что если он правильный, то это трисектрисы? А почему это работает в другую сторону?🤔
Может быть есть такие треугольники, что трисектрисы не образуют правильный треугольник?
Мы собрали треугольник подобный исходному, в котором теорема верна. Значит она верна и в исходном треугольнике
@@trushinbv все равно кажется, что мы использовали правильность треугольника... мы же как будто все эти углы посчитали исходя из того, что этот треугольник правильный
БВ нас переиграл, он не стал делать видео про инверсию, вместо этого он инверсировал свое старение и показывает на личном примере что такое инверсия
Можете, пожалуйста, рассказать про доказательство теоремы котангенсов?
Есть очень сильное подозрение, что три отрезка, попарно соединяющие вершины большого и малого треугольников - пересекаются в одной точке. Можете доказать?
(заранее предупреждаю, это не точка пересечения биссектрис или медиан)
здравствуйте, вы можете доказать, что число TREE(3) намного больше числа Грэма? или это просто от балды так сказали?
А можно ссылку на статейку? 👉👈
Осталось, что бы на ДВИ в МГУ попалась задача про док-во этой теоремы, и я не полузря смотрел.
Самый последний шаг оставил чувство дискомфорта. Это как с "прямой" и "обратной" теоремами Пифагора: в прямоугольном треугольнике c^2=a^2+b^2 - и: если c^2=a^2+b^2, то треугольник прямоугольный. Второе высказывание - это отдельная теорема, требующая своего доказательства. Здесь ситуация очень такая же: начав с равностороннего треугольника, мы фактически доказали не изначально заявленную теорему, а ей "обратную". И их взаимная эквивалентность прозвучала очень скомкано.
Сдавал ЕГЭ в 23 году.. щас смотрю вас и не узнаю
😅
Фигасе, модный какой.
Боря, поделись рецептом похудения🎉
Писал в твиттере пару недель назад )
я почему вы не разбирали в этом году вариант егэ 2024 основная волна?
Вряд ли тут кто-то увидит уже этот комментарий, но данная задача (д-ть Теорему Морли) дана в учебнике Муштари Д.Х. "Подготовка к математическим олимпиадам" 2000г. издания в разделе доказательств обратным ходом. Я нашел несколько доказательств данной теоремы, и обратный ход подразумевает только данное доказательство. Так что есть ощущение, что не такое уж оно и новое))
Вы уверены, что там ровно это доказательство?
Анекдот в тему. Поспорили физик, математик и священник, что сильнее, вера или знание. Решили проверить на прыжке с 10-метровой вышки в очень узкий, но глубокий бассейн. Священник помолился, прыгнул и разбился. Физик начертил, измерил, прыгнул и попал точно в бассейн. Математик считал, считал, прыгнул и взлетел над бассейном. Вот что значит знак перепутать! Так же и Борис считает в уме сколько ему лет, и забывает в какую сторону ось возраста)
Для полноты надо показать, что если начать не с правильного треугольника, то ничего не получится.
Зачем? )
Осталось доказать, что если внутренний треугольник не является правильном, то вся последующая цепь рассуждений войдет в противоречие.
Зачем? )
Мы показали, что у треугольника, подобного исходному трисектриссы пересекаются как надо. Значит, и у исходного так
Вы сказали, что в подобном треугольнике трисектрисы пересекутся точно так же, как в исходном. По хорошему надо тогда сослаться на какую-то теорему, если она вообще есть. Ну или доказать, что это так. Не уверен, что то, что это очевидно, может считаться доказательством.
Можно сказать «сделаем преобразование подобия, которое переводит один треугольник в другой»
Мне кажется, что для полного формального доказательства нужно ещё добавить, что, поскольку для любых углов альфа, бета, гамма, существует такой равносторонний треугольник, который удовлетворяет условиям трисекции (что и было доказано), другого треугольника (неравностороннего) быть не может. Поскольку на пересечениях трисектрис можно построить только один треугольник. Вроде бы, это банально и очевидно, но, поскольку я не очень умный, мне пришлось минуту подумать, почему обратное доказательство является полным доказательством исходной теоремы)
У меня тоже есть теорема: "То4ки пересечения второй и четвертой гексасектрис смежных углов треугольника являются вершинами правильного треугольника"
Здравствуйте Борис Трушин, по моему для любого n мерного выпуклого многогранника верна формула Эйлера V(0)-V(1)+V(2)-V(3)+...+((-1)^(n-1))×V(n-1)=1-(-1)^n где V(k) это количество k мерных границ этого n мерного многогранника.
Как сравнить скорость роста невычислимых функций?
Так, тут реально настолько хорошие рисунки, что я только что свою стереометрию сломал и вышел из матрицы