Проведём ВМ,площади треугольниковАВМи МВС равны.Площади треугольников КВМ и АМК относятся как 1к 2.Обозначим их как х и 2х, составим уравнение 100-х=3х. Х=25 Площадь АВС равна 150
интересная задача... пришлось подумать... предлагаю продлить АВ еще на икс (тчк D)... тогда по фалесу МК параллельна CD... имеем два подобных треуга AKM и АDC... обозначим площадь треуга АКМ S=y... тогда МКС тоже y... и площади КВС и CBD равны и равны (100-y)... S всего ADC=y+100+100-y=200... относится к малому, как 1:4... значит y=50...ответ 150
Поскольку задачка для троешников, то разомнусь. По теореме "о скрытом тангенсе" площади треугольников относятся как произведения сторон, обнимающих общий угол, т е. 1:3. Ответ:150
Чуть иначе решал. Провёл от АВ высоту в С и от АК - к М. Высота АКМ вдвое меньше высоты АВС, основания относятся, как 2 к 3, при этом разность площадей этих треугольников известна.
Красивая задача! Претендую на интересный вариант решения. Строим СК. Видим: СК и МК есть малые отрезки медиан виртуального тр-ка А"Т"С, а АВ--его реальная медиана. Медианы тр-ка делят его на 6 равновеликих тр-ков. Sakm=Smkc=Sbkc=50. Sabc=150
Через векторное произведение векторов. Sabc=1/2|[b|xc|]| Sakm=1/2|[1/2*b| x 2/3*c|]|=1/6|[b|xc|]| Вычитаем: 100=Sabc-Sakm=1/3|[b|xc|]| |[b|xc|]|=300 Откуда: Sabc=150; Sakm=50. Ответ: Sabc=150; Sakm=50. П.С. Вектора в 8 классе, как раз, проходят. П.П.С. Задача хороша на демонстрацию решения геометрических задач векторами. Плюс видно, что площадь четырёхугольника однозначно определяет площади треугольников при известных отношениях секущей. Причём тривиально весьма.
Продлеваем МК и СВ до пересечения в т.Д У треуг АДС ДМ медиана, АК и КВ делятся как 2:1, значит тоже медиана. Задача свелась к устной - все треугольники при делении медианами - равновелики, значит и АВС будет 100/2*3=150
Задача решается на раз устно. В зелёном теугольничке основание равно половине,а высота 2/3.высоты большого То есть его площадь 1/3 общей площади. А вся площадь большого треугольника 150
Если одну сторону угла увеличили в полтора раза, а вторую в два раза - то площадь увеличится в три раза. Тогда 100 это две трети от площади треугольника, и вся площадь будет 150. Но даже не зная этого свойства, можно продлить сторону ВС вверх на такую же длину, и соединить с точкой А. Таким образом чтобы отрезок АВ стал медианой получившегося треугольника. Точка К - будет точкой пересечения медиан этого треугольника и медианы разделят его на 6 равновеликих треугольников. АКМ - это один из этих треугольников, а желтый четырехугольник состоит из двух таких треугольников. Тогда площадь АКМ равна 50, а площадь АВС - 150
Из точки К провести прямую, параллельную АС - будет КК1. Очевидно, что треугольники АВС и КВК1 подобны. Проведём три высоты в трёх треугольниках: h1 в ABC, h2 в AKM, h3 в KBK1. h3 = x*Sin(ВАС), h2 = 2x*Sin(ВАС), h1 = 3x*Sin(ВАС). Значит, высота поделена ровно на 3 части, т.е. h2 = 2/3 * h1. Тогда площадь АВС = АМ * h1 = (1/2 * 2/3 * h1* AM) + 100, откуда 2/3 * (АМ * h1) = 100, и площадь АВС = 150.
О, а я из точек М и К провел параллельные основанию BC отрезки на противоположные стороны и понаделал трапеций, из которых с помощью пропорций вышел на 150.
Опускаем высоты из точек К и В. Высота из К равна 2/3 высоты из В. Значит площадь маленького треугольника в 3 раза меньше площади большого. И равна 50.
Площадь зеленого это две площади кмв, площади АМВ и МВС равны, задача через а, в, с, получается а = 2в, а+в =с, в +с= 100, при решении, а = 50, а+в+с= 100, и какие ещё дополнительные построения?
В учебнике, по которому я учился, была такая теорема: "Площади треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы", и она шла в том же уроке, что и "Площадь треугольника" задолго до тригонометрии, а это типовая задача на эту теорему. Видимо, в современных учебниках такой теоремы нет, И видно, как ребята на превью листают учебник и не могут её найти.
Хорошо что я не математичка :) Дети были бы в шоке от словарного запаса офицера запаса...
2/3 высоты, 1/2 основания - зелёное - треть от всего 150
Проведём ВМ,площади треугольниковАВМи МВС равны.Площади треугольников КВМ и АМК относятся как 1к 2.Обозначим их как х и 2х, составим уравнение 100-х=3х. Х=25 Площадь АВС равна 150
Так же решила
И я решила тем же способом. Но, согласитесь, у Валерия решение красивее ))))
интересная задача... пришлось подумать... предлагаю продлить АВ еще на икс (тчк D)... тогда по фалесу МК параллельна CD... имеем два подобных треуга AKM и АDC... обозначим площадь треуга АКМ S=y... тогда МКС тоже y... и площади КВС и CBD равны и равны (100-y)... S всего ADC=y+100+100-y=200... относится к малому, как 1:4... значит y=50...ответ 150
Решил за 2 минуты, очень любил геометрию в школе
Поскольку задачка для троешников, то разомнусь.
По теореме "о скрытом тангенсе" площади треугольников относятся как произведения сторон, обнимающих общий угол, т е. 1:3.
Ответ:150
Чуть иначе решал. Провёл от АВ высоту в С и от АК - к М. Высота АКМ вдвое меньше высоты АВС, основания относятся, как 2 к 3, при этом разность площадей этих треугольников известна.
Красивая задача! Претендую на интересный вариант решения. Строим СК. Видим: СК и МК есть малые отрезки медиан
виртуального тр-ка А"Т"С, а АВ--его реальная медиана. Медианы тр-ка делят его на 6 равновеликих тр-ков. Sakm=Smkc=Sbkc=50. Sabc=150
Через векторное произведение векторов.
Sabc=1/2|[b|xc|]|
Sakm=1/2|[1/2*b| x 2/3*c|]|=1/6|[b|xc|]|
Вычитаем:
100=Sabc-Sakm=1/3|[b|xc|]|
|[b|xc|]|=300
Откуда:
Sabc=150; Sakm=50.
Ответ: Sabc=150; Sakm=50.
П.С. Вектора в 8 классе, как раз, проходят.
П.П.С. Задача хороша на демонстрацию решения геометрических задач векторами. Плюс видно, что площадь четырёхугольника однозначно определяет площади треугольников при известных отношениях секущей. Причём тривиально весьма.
Продлеваем МК и СВ до пересечения в т.Д У треуг АДС ДМ медиана, АК и КВ делятся как 2:1, значит тоже медиана. Задача свелась к устной - все треугольники при делении медианами - равновелики, значит и АВС будет 100/2*3=150
"Математичка в шоке", а зрители в коматозном параличе вообще!!!🥸😎🤢
Задача решается на раз устно.
В зелёном теугольничке основание равно половине,а высота 2/3.высоты большого
То есть его площадь 1/3 общей площади.
А вся площадь большого треугольника 150
😅 На раз 👎 (0 б). Не доказано, что h'/h=2/3, [AKM]/[ABC]=1/3 и [MKBC]/[ABC]=2/3
Если одну сторону угла увеличили в полтора раза, а вторую в два раза - то площадь увеличится в три раза. Тогда 100 это две трети от площади треугольника, и вся площадь будет 150.
Но даже не зная этого свойства, можно продлить сторону ВС вверх на такую же длину, и соединить с точкой А. Таким образом чтобы отрезок АВ стал медианой получившегося треугольника. Точка К - будет точкой пересечения медиан этого треугольника и медианы разделят его на 6 равновеликих треугольников.
АКМ - это один из этих треугольников, а желтый четырехугольник состоит из двух таких треугольников. Тогда площадь АКМ равна 50, а площадь АВС - 150
Из точки К провести прямую, параллельную АС - будет КК1. Очевидно, что треугольники АВС и КВК1 подобны. Проведём три высоты в трёх треугольниках: h1 в ABC, h2 в AKM, h3 в KBK1. h3 = x*Sin(ВАС), h2 = 2x*Sin(ВАС), h1 = 3x*Sin(ВАС). Значит, высота поделена ровно на 3 части, т.е. h2 = 2/3 * h1. Тогда площадь АВС = АМ * h1 = (1/2 * 2/3 * h1* AM) + 100, откуда 2/3 * (АМ * h1) = 100, и площадь АВС = 150.
О, а я из точек М и К провел параллельные основанию BC отрезки на противоположные стороны и понаделал трапеций, из которых с помощью пропорций вышел на 150.
Опускаем высоты из точек К и В. Высота из К равна 2/3 высоты из В. Значит площадь маленького треугольника в 3 раза меньше площади большого. И равна 50.
Площадь зеленого это две площади кмв, площади АМВ и МВС равны, задача через а, в, с, получается а = 2в, а+в =с, в +с= 100, при решении, а = 50, а+в+с= 100, и какие ещё дополнительные построения?
Мой знакомый мальчик в Минске в учится в 8 классе по вашему учебнику,Валера.Прекрасный учебник для обычной школы.
В учебнике, по которому я учился, была такая теорема: "Площади треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы", и она шла в том же уроке, что и "Площадь треугольника" задолго до тригонометрии, а это типовая задача на эту теорему.
Видимо, в современных учебниках такой теоремы нет, И видно, как ребята на превью листают учебник и не могут её найти.
Площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. S : S+100 = 1:3. Так можно, маэстро?