*Д.З.* Можно не делать никаких дополнительных построений. Снова точка М-середина отрезка ВС, точка К-на отрезке АМ. Если сторона квадрата 2х, то площадь трапеции АМСД равна 3х². S(CKM) = 3x² - 36. ctg ∢KMC = -1/2. Пусть ∡MCK = α. Вычислим S(CKM) двумя способами: (1/2)∙x∙2x∙sinα = x²/[2∙(ctgα - 1/2)]. Простейшее уравнение, из которого ctgα = 4/3. Тогда: 3x² - 36 = х²/[2∙(4/3 - 1/2)] ⟹ 4∙x² = S(ABCD) = 60.
@@rabotaakk-nw9nm 1) Я не на экзамене, чтобы доказывать очевидные совершенно вещи. Никакие дополнительные построения не нужны , и я их не исползовал. Вы же догадались, что:
*Д.З.* Точка М - середина ВС, точка К - на отрезке АМ. Догадка о перпендикулярности в основной задаче полезна и здесь. Легко показать, что DK⊥AM. Если провести высоту СН , то можно также с легкостью доказать, что все три треугольника: СКН, СНD и АКD равны, их площади равны 12 каждого. ∡ ВАМ = ∡АDК = α. tgα = 1/2. *Поэтому 4∙х²/[2(2 + 1/2)] = 12 ⟹ 4x² = S(ABCD) = 60.*
Уравнение черной секущей y=1-x/2, уравнение для точки пересечения x^2+(1-x/2)^2=1. Его решение x=4/5 в долях стороны квадрата a. Площадь треугольника 1/2*a*(4/5*a)=8, площадь квадрата a^2=20.
Окружность с центром в А. Точки В, К, Д лежат на окружности, значит угол СВМ равен половине угла ВАС как угол между касательной и секущей. АН продляем до пересечения с ВС в точке Е. Треугольники АВЕ и ВСМ равны по катету и острому углу, значит ВЕ половина ВС и половина АВ. Треугольники АВН и ВНЕ подобны. Коэффициент подобия 2, площади относятся 1:4. Площадь ВЕН равна 1. Площадь треугольника АВЕ 5, площадь квадрата 20.
Если из нижнего левого угла, откуда выходит красный отрезок, провести высоту треугольника (и продолжить до стороны квадрата, конечно), то картинка эта уже много раз тут встречалась. Все эти задачи сводятся к вопросу - в каком отношении делятся эти две взаимно перпендикулярные секущие, соединяющие вершину и середину противоположной стороны и переходящие друг в друга при повороте на 90 градусов. Проведенная высота поделит наклонную 2:3, но гораздо важнее, что сама она поделится этой наклонной в пропорции 4:1. Все это многократно уже делалось в аналогичных задачах. Откуда площадь квадрата 20 (не хочу унижать читателя объяснениями, почему, каковые, впрочем, могут быть и неплохим упражнением для устного счета). Для разнообразия, верхний конец красного отрезка тоже делит (но уже) наклонную на чертеже 4:1, и является точкой пересечения наклонной с перпендикуляром к ней из правого верхнего угла квадрата. Для доказательства подходит теорема о касательной и секущей. :)
Проводим высоту Тр-ка ABK. Точка L-основание.AL делит тр-к на два равных тр-ка. Площадь каждого из них 4. Тр-ки ABL и BMC подобны(углы равны)с коэфф.подобия sqrt5/2. Отношение площадей 5/4. Дальнейшее очевидно. Площадь квадрата(площадь четырех тр-ков BCM) (4*5/4)*4=20
Д.З. Из точки пересечения секущих проводим отрезок в угол квадрата, делящий желтую на два треугольника. Нижний треугольник имеет площадь 1/5 от площади квадрата, а верхний ( из предыдущей задачи) -- 2/5. 36 составляет 3/5 от искомого. Ответ:60
В равнобедренном КАВ проведем высоту АН, продлив ее до пересечения с ВС (в т.Е). Тр-ки АВЕ и ВСМ равны по катету и острому углу (дополнение угла МВА до прямого). Сл-но ВЕ=ЕС, а НЕ - средняя линия тр-ка ВКС, т.о. СК - высота прямоугольного ВСМ. Тр-ки ВКС и АНВ равны по катету и острому углу, т.е. S(BKC)=4. Линейные размеры BКС и BНЕ отличаются вдвое, а площади - в 4 раза, значит S(BHE)=4/4=1. Тр-ки ВНЕ и СКМ также равны по гипотенузе и острому углу, значит S(BCМ)= S(BКC) + S(СКМ)=4+1=5. Площадь квадрата S(АBCD)=4*S(BCМ)=4*5=20. Даже без Пифагора обошлись) Заметим, что площадь половины равнобедренного КАВ составляет пятую часть площади квадрата: S(АНВ)=(1/5)* S(АBCD), а площадь четырехугольника АВСК - 3/5 площади квадрата. Это, чтобы меньше описывать ДЗ. ДЗ: соединим правую нижнюю вершину квадрата с точкой пересечения «зеленого» и «красного» отрезков, продлив до пересечения с боковой стороной квадрата. Получим рисунок, полностью совпадающий с рисунком в основном ролике (только вверх ногами). Снова проводим высоту в равнобедренном до пересечения с основанием квадрата и применяем все те же рассуждения. Учитывая, что «желтый» четырехугольник - это фигура АВСК в основном ролике, получаем, что S(АBCD)=5*S(АВСК)/3=5*36/3=60.
Соединим точку С с серединой стороны АД (пересекает отрезок ВМ в точке К'), а потом еще продолжим до пересечения с продолжением стороны АВ. (пусть будет точка A') Сначала нужно доказать что точки К и К' совпадают - это довольно просто, треугольник А'ВК' прямоугольный, А - середина стороны ВА'. АК' - медиана этого треугольника, и длинна равна половине гипотенузы (то есть просто стороне квадрата) Так как длинна отрезков АК и АК' равна - то точки К и К' совпадают. Ну а дальше совсем просто. Медиана АК делит треугольник на два равновеликих, вся площадь A'BK будет 16, плюс еще площадь ВКС которая равна половинке от 8. И того 20. В ДЗ похоже, 36 - можно разделить на три равных треугольника, площади которых составляют 1/5 от площади всего квадрата. Тогда площадь всего квадрата будет 36*5/3=60
Задача заняла 2.8 страниц тетради. Для подготовки к профильному ЕГЭ, на мой взгляд, подойдет. Я только девятиклассник, поэтому не могу сказать наверняка. Может на ЕГЭ будет easy, а может быть и EXTRAHARDCORE. 1) Проводим АМ и перпендикуляр из А на ВК. Пусть будет АН. Сторону квадрата примем за А, тогда половинки сей фигуры СМ и МД равны 0,5А. По СИЛЕ ПИФАГОРОВОЙ ВМ = АМ = А√1,25 2) С одной стороны площадь АВМ равна 0.5А^2, а с другой равна АН*А√1.25/2. Преобразовываем равенство и получаем АН√1,25 = А. 3) Так как АВ = АК, то АВК - р/б, а АН - высота из вершины, значит АН = НК. По СИЛЕ ПИФАГОРОВОЙ ищем эти отрезки. Они равны 0.5АН, тогда АК = АН. 4) С одной стороны площадь АВК равна 8, а с другой равна АН^2/2. Преобразовываем равенство и получаем АН = 4. 5) Сторона квадрата АВСД в √1,25 больше. Тогда площадь сей фигуры равна (4√1,25)^2 = 20 квадратным единицам. P.S УРАААА!!! НАКОНЕЦ - ТО РЕШЕНИЯ ХОТЬ ЧЕМ - ТО ОТЛИЧАЮТСЯ!!!
ПродлеваюBM до пересечения с продлением стороны АД в точке Е.Тогда треугольники АВН и АВЕ подобные и их площади пропорциональны квадратам соответств.сторон,АВ= 2Х,а ВЕ=2 BM= 2 Х корня из 5,и Площадь АВЕ = 4×5=20, а она и равна площади квадрата.
ДЗ. Проведем окружность центром в правой вурхней вершине квадрата и r=сторона квадрата. и выразим короткий зеленый отрезок у по из теоремы о секущей и касательной у= 4хх/2√5 откуда короткий зеленый кусок =2/5 от всего зеленого , задачя решена 36=1/2кв.+2/5*1/4кв.=12/20кв. весь квадрат=60!
ДЗ: Четырёхугольник с площадью 36 состоит из трёх равных треуг-ков с площадью 12, тогда площадь двух треу-ков=24=2/5S×S кв.,2×Sкв.=120, S=60. Такая получилась арифметика...
Д/З Введём обозначения. Квадрат ABCD (слева по часовой). Н - середина ВС. Красный отрезок пересекается с зелёным в точке F. 1. Повернём тр-к АВН на 180° вокруг т. Н по часовой стрелке (точка А перейдёт в точку А') и начертим окружность с центром в точке С и радиусом CD. Тогда сразу ясно, что угол DFA' - прямой, ибо опирается на диаметр, и угол А' равен половине угла FCD как вписанный и центральный. 2. Тр-к AFD равен тр-ку FCM, где М - середина FD, и равен по площади половине площади тр-ка FCD. 3. Четырёхугольник АFCD состоит из трёх равных тр-ков с общей площадью 36, а площадь тр-ка FA'C равна площади FCD (24). Тогда площадь квадрата АВСD равна площади четырёхугольника АFCD и тр-ка FA'C: 36+24=60 кв. ед.
Продляем отрезок ВМ до поресечения с продолжением стороны AD. Получим прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 и подобный треугольнику ABH. А дальше можно и не продолжать, и так все ясно.
Отзеркалим ВСМ относительно ВС. Треугольники МВМ' и АВК подобны с площадным коэффициентом 5:4. Половина квадрата = 10, а вся площадь -- 20 Ответ:20 Сначала я тоже находил АН и ВН, но мне не понравилось
Если девятиклассникам известна формула площади треугольника через синус угла, то 8=1/2*а*а*sinВАК. Далее формулы приведения, синус двойного угла и решение готово.
задача решается намного проще - т.к. треугольники ВСМ и АНВ подобны и площадь АНВ= 4, тогда их площади относятся как квадраты гипотенуз АВ и ВМ (ВМ находится легко) . Дальше можно решить устно.
Проще наверно так. В треугольнике BCK гипотенуза BM по теореме Пифагора равна x√5. Следовательно коэффциент подобия треугольников BMC и ABH равен отношению гипотенуз √5/2. Тогда S(BMC) = 5/4 S(ABH) = 5, а площадь квадрата в 4 раза больше, то есть 20. Во второй задаче, площадь квадрата равна 60. Делим четырехугольник на три равных треугольника площадью 12 каждый и находим, что у каждого из них катеты √12 и √48, а гипотенуза стало быть равна √60.
*Д.З.* Можно не делать никаких дополнительных построений. Снова точка М-середина отрезка ВС, точка К-на отрезке АМ. Если сторона
квадрата 2х, то площадь трапеции АМСД равна 3х². S(CKM) = 3x² - 36. ctg ∢KMC = -1/2. Пусть ∡MCK = α. Вычислим S(CKM) двумя способами:
(1/2)∙x∙2x∙sinα = x²/[2∙(ctgα - 1/2)]. Простейшее уравнение, из которого ctgα = 4/3. Тогда: 3x² - 36 = х²/[2∙(4/3 - 1/2)] ⟹ 4∙x² = S(ABCD) = 60.
ctgα = 2 ⟹ sinα = 1/√5, cosα = 2/√5 ⟹ S(ABK) = (1/2)∙4x²∙sin2α = x²∙2∙2∙1/√5∙2/√5 = 8 ⟹ x² = 5 ⟹ S(ABCD) = 20. *Без дополнительных построений.*
👍 Но... 1. Зачем так сложно, через ctgα, вычислять sinα и cosα?
2. Где доказательство (без доп.построений), что
@@rabotaakk-nw9nm 1) Я не на экзамене, чтобы доказывать очевидные совершенно вещи. Никакие дополнительные построения
не нужны , и я их не исползовал. Вы же догадались, что:
*Д.З.* Точка М - середина ВС, точка К - на отрезке АМ. Догадка о перпендикулярности в основной задаче полезна и здесь. Легко показать, что DK⊥AM.
Если провести высоту СН , то можно также с легкостью доказать, что все три треугольника: СКН, СНD и АКD равны, их площади равны 12 каждого.
∡ ВАМ = ∡АDК = α. tgα = 1/2. *Поэтому 4∙х²/[2(2 + 1/2)] = 12 ⟹ 4x² = S(ABCD) = 60.*
Уравнение черной секущей y=1-x/2, уравнение для точки пересечения x^2+(1-x/2)^2=1. Его решение x=4/5 в долях стороны квадрата a. Площадь треугольника 1/2*a*(4/5*a)=8, площадь квадрата a^2=20.
Отлично.
Окружность с центром в А. Точки В, К, Д лежат на окружности, значит угол СВМ равен половине угла ВАС как угол между касательной и секущей. АН продляем до пересечения с ВС в точке Е. Треугольники АВЕ и ВСМ равны по катету и острому углу, значит ВЕ половина ВС и половина АВ. Треугольники АВН и ВНЕ подобны. Коэффициент подобия 2, площади относятся 1:4. Площадь ВЕН равна 1. Площадь треугольника АВЕ 5, площадь квадрата 20.
Нужно провести из т. А перпендикуляр к BK до стороны BC. Сразу всё ясно становится )))
Если из нижнего левого угла, откуда выходит красный отрезок, провести высоту треугольника (и продолжить до стороны квадрата, конечно), то картинка эта уже много раз тут встречалась. Все эти задачи сводятся к вопросу - в каком отношении делятся эти две взаимно перпендикулярные секущие, соединяющие вершину и середину противоположной стороны и переходящие друг в друга при повороте на 90 градусов. Проведенная высота поделит наклонную 2:3, но гораздо важнее, что сама она поделится этой наклонной в пропорции 4:1. Все это многократно уже делалось в аналогичных задачах.
Откуда площадь квадрата 20 (не хочу унижать читателя объяснениями, почему, каковые, впрочем, могут быть и неплохим упражнением для устного счета).
Для разнообразия, верхний конец красного отрезка тоже делит (но уже) наклонную на чертеже 4:1, и является точкой пересечения наклонной с перпендикуляром к ней из правого верхнего угла квадрата. Для доказательства подходит теорема о касательной и секущей. :)
Проводим высоту Тр-ка ABK.
Точка L-основание.AL делит тр-к на два равных тр-ка.
Площадь каждого из них 4.
Тр-ки ABL и BMC подобны(углы равны)с коэфф.подобия sqrt5/2.
Отношение площадей 5/4.
Дальнейшее очевидно.
Площадь квадрата(площадь четырех тр-ков BCM) (4*5/4)*4=20
Д.З.
Из точки пересечения секущих проводим отрезок в угол квадрата, делящий желтую на два треугольника. Нижний треугольник имеет площадь 1/5 от площади квадрата, а верхний ( из предыдущей задачи) -- 2/5. 36 составляет 3/5 от искомого.
Ответ:60
В равнобедренном КАВ проведем высоту АН, продлив ее до пересечения с ВС (в т.Е). Тр-ки АВЕ и ВСМ равны по катету и острому углу (дополнение угла МВА до прямого). Сл-но ВЕ=ЕС, а НЕ - средняя линия тр-ка ВКС, т.о. СК - высота прямоугольного ВСМ. Тр-ки ВКС и АНВ равны по катету и острому углу, т.е. S(BKC)=4. Линейные размеры BКС и BНЕ отличаются вдвое, а площади - в 4 раза, значит S(BHE)=4/4=1. Тр-ки ВНЕ и СКМ также равны по гипотенузе и острому углу, значит S(BCМ)= S(BКC) + S(СКМ)=4+1=5. Площадь квадрата S(АBCD)=4*S(BCМ)=4*5=20. Даже без Пифагора обошлись)
Заметим, что площадь половины равнобедренного КАВ составляет пятую часть площади квадрата: S(АНВ)=(1/5)* S(АBCD), а площадь четырехугольника АВСК - 3/5 площади квадрата. Это, чтобы меньше описывать ДЗ.
ДЗ: соединим правую нижнюю вершину квадрата с точкой пересечения «зеленого» и «красного» отрезков, продлив до пересечения с боковой стороной квадрата. Получим рисунок, полностью совпадающий с рисунком в основном ролике (только вверх ногами). Снова проводим высоту в равнобедренном до пересечения с основанием квадрата и применяем все те же рассуждения. Учитывая, что «желтый» четырехугольник - это фигура АВСК в основном ролике, получаем, что S(АBCD)=5*S(АВСК)/3=5*36/3=60.
Соединим точку С с серединой стороны АД (пересекает отрезок ВМ в точке К'), а потом еще продолжим до пересечения с продолжением стороны АВ. (пусть будет точка A')
Сначала нужно доказать что точки К и К' совпадают - это довольно просто, треугольник А'ВК' прямоугольный, А - середина стороны ВА'. АК' - медиана этого треугольника, и длинна равна половине гипотенузы (то есть просто стороне квадрата) Так как длинна отрезков АК и АК' равна - то точки К и К' совпадают.
Ну а дальше совсем просто. Медиана АК делит треугольник на два равновеликих, вся площадь A'BK будет 16, плюс еще площадь ВКС которая равна половинке от 8. И того 20.
В ДЗ похоже, 36 - можно разделить на три равных треугольника, площади которых составляют 1/5 от площади всего квадрата. Тогда площадь всего квадрата будет 36*5/3=60
Задача заняла 2.8 страниц тетради. Для подготовки к профильному ЕГЭ, на мой взгляд, подойдет. Я только девятиклассник, поэтому не могу сказать наверняка. Может на ЕГЭ будет easy, а может быть и EXTRAHARDCORE.
1) Проводим АМ и перпендикуляр из А на ВК. Пусть будет АН. Сторону квадрата примем за А, тогда половинки сей фигуры СМ и МД равны 0,5А. По СИЛЕ ПИФАГОРОВОЙ ВМ = АМ = А√1,25
2) С одной стороны площадь АВМ равна 0.5А^2, а с другой равна АН*А√1.25/2.
Преобразовываем равенство и получаем АН√1,25 = А.
3) Так как АВ = АК, то АВК - р/б, а АН - высота из вершины, значит АН = НК.
По СИЛЕ ПИФАГОРОВОЙ ищем эти отрезки. Они равны 0.5АН, тогда АК = АН.
4) С одной стороны площадь АВК равна 8, а с другой равна АН^2/2.
Преобразовываем равенство и получаем АН = 4.
5) Сторона квадрата АВСД в √1,25 больше. Тогда площадь сей фигуры равна (4√1,25)^2 = 20 квадратным единицам.
P.S УРАААА!!! НАКОНЕЦ - ТО РЕШЕНИЯ ХОТЬ ЧЕМ - ТО ОТЛИЧАЮТСЯ!!!
Спасибо. Удачи.
ПродлеваюBM до пересечения с продлением стороны АД в точке Е.Тогда треугольники АВН и АВЕ подобные и их площади пропорциональны квадратам соответств.сторон,АВ= 2Х,а ВЕ=2 BM= 2 Х корня из 5,и Площадь АВЕ = 4×5=20, а она и равна площади квадрата.
ОТлично.
ДЗ. Проведем окружность центром в правой вурхней вершине квадрата и r=сторона квадрата. и выразим короткий зеленый отрезок у по из теоремы о секущей и касательной у= 4хх/2√5 откуда короткий зеленый кусок =2/5 от всего зеленого , задачя решена 36=1/2кв.+2/5*1/4кв.=12/20кв. весь квадрат=60!
ДЗ: Четырёхугольник с площадью 36 состоит из трёх равных треуг-ков с площадью 12, тогда площадь двух треу-ков=24=2/5S×S кв.,2×Sкв.=120, S=60. Такая получилась арифметика...
S (ABK)=(4/5BM)^2÷2=8, 16/25 BM^2=16; BM^2=25=5a^2/4; 5a^2=100, a^2=20. Ответ 20. ДЗ ещё не решала, прочту вечером.
Д/З
Введём обозначения.
Квадрат ABCD (слева по часовой). Н - середина ВС. Красный отрезок пересекается с зелёным в точке F.
1. Повернём тр-к АВН на 180° вокруг т. Н по часовой стрелке (точка А перейдёт в точку А') и начертим окружность с центром в точке С и радиусом CD. Тогда сразу ясно, что угол DFA' - прямой, ибо опирается на диаметр, и угол А' равен половине угла FCD как вписанный и центральный.
2. Тр-к AFD равен тр-ку FCM, где М - середина FD, и равен по площади половине площади тр-ка FCD.
3. Четырёхугольник АFCD состоит из трёх равных тр-ков с общей площадью 36, а площадь тр-ка FA'C равна площади FCD (24). Тогда площадь квадрата АВСD равна площади четырёхугольника АFCD и тр-ка FA'C: 36+24=60 кв. ед.
Отлично.
Из А перпендикуляр до ВМ и дальше до продолжения ДС. Видим два подобных треугольника 2:3. Итого рыжее - 0,4 от всего. Ответ 20
Продляем отрезок ВМ до поресечения с продолжением стороны AD. Получим прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 и подобный треугольнику ABH.
А дальше можно и не продолжать, и так все ясно.
Отзеркалим ВСМ относительно ВС. Треугольники МВМ' и АВК подобны с площадным коэффициентом 5:4. Половина квадрата = 10, а вся площадь -- 20
Ответ:20
Сначала я тоже находил АН и ВН, но мне не понравилось
Если девятиклассникам известна формула площади треугольника через синус угла, то 8=1/2*а*а*sinВАК. Далее формулы приведения, синус двойного угла и решение готово.
Нет, не известна это 10 кл. Но хорошо все равно
Sin M=2\/5/5, cos M=\/5/5, сл-но, sin A=4/5. Sabk=1/2*x^2*4/5. x^2=20
Легко решается координатным методом.
Согласен.
задача решается намного проще - т.к. треугольники ВСМ и АНВ подобны и площадь АНВ= 4, тогда их площади относятся как квадраты гипотенуз АВ и ВМ (ВМ находится легко) . Дальше можно решить устно.
Углы с точкой равны, это скрыто на рис
ДЗ: S = 60. Подробнее позже.
ВN=t AN=2t. S=t^2=4. t=2
Ответ: АB^2=t^2+(2t^2)=20
tgCBM=1/2...tgABM=2=tgBKA... Tg(ABM+BKA)=-4/3...tgBAK=4/3...sinBAK=4/5...S=1/2sinBAK*a^2=8...a^2=20
Проще наверно так. В треугольнике BCK гипотенуза BM по теореме Пифагора равна x√5. Следовательно коэффциент подобия треугольников BMC и ABH равен отношению гипотенуз √5/2. Тогда S(BMC) = 5/4 S(ABH) = 5, а площадь квадрата в 4 раза больше, то есть 20. Во второй задаче, площадь квадрата равна 60. Делим четырехугольник на три равных треугольника площадью 12 каждый и находим, что у каждого из них катеты √12 и √48, а гипотенуза стало быть равна √60.
Да, это с амое короткое.
Ваше подозрение легко доказывается . А(0, 0), В(0, 1), С(1, 1), М(1, 1/2). Теперь легко находится точка К( 4/5, 3/5) ⟹ AB = AK.
Ну, вот, это другое дело.