Мой любимый метод координат: пусть ось Оx смотрит налево, по горизонтальному катету, ось Оy - вверх, по вертикальному катету. Обозначим катет через a, а координаты точки M через x и y и применим формулу расстояния между двумя точками. Имеем несложную систему трёх уравнений с тремя неизвестными: (x - a)² + y² = 4 x² + (y - a)² = 2 x² + y² = 1 Из первого и второго последовательно вычитаем третье, получаем выражения для x и y через a: x = (a² - 3)/(2a); y = (a² - 1)/(2a) Эти выражения подставляем в третье уравнение и получаем уравнение, квадратное относительно a²: a⁴ - 6a² + 5 = 0 По теореме Виета корни: a² = 5 и a² = 1. Так-то оба корня подошли бы, но в условии сказано, что точка взята внутри треугольника. А это возможно только при a² = 5 (координата x при a² = 1 получается отрицательная). Нам нужно найти S = a²/2 = 2,5.
Также делал, только замену на полярные координаты в системе произвёл, получив 6 уравнений, и оттуда: p⁴ - 6p² + 5 = 0 Система: x=cos(a) y=sin(a) x=sqrt(2)cos(b) p-y=sqrt(2)sin(b) p-x=2cos(c) y=2sin(c) Оттуда sin(a)=(p^2-1)/2p; cos(a)=(p^2-3)/2p. И тождество применяем.
Можно решить используя основное триг тождество для угла АСМ. АС=СМ=х. Из треугол АМС находим cosАСМ, а из треуг МСВ cosВСМ=sinАСМ. Получим квадр уравнение относительно x*x. Находим площадь поделив на 2. Такое решение работает для произвольных положений точки М, а в данной задаче удачное подожение точки М позволяет применить поворот и решить быстрее.
Да-да, просто элементарная задача. Из подобия следует ( у одного каждая сторона в корень из двух раз, больше, чем у другого, просто посмотрел комменты, и некоторые спрашивают, откуда подобие) что два центральных угла 135 градусов. Третий равен 90, а гипотенуза (она же катет исходного) корню из 5, 5/2 - площадь
Достроила до квадрата, применила центральную симметрию относительно середины гипотенузы, получила: параллелограм с острыми углами А и В, равными по 45 град и углом С 135 град, по т.косинусов АВ^2=5, S ABC=2,5
Ну, треугольник ABM получается из треугольника BCM, если все стороны умножить на √2. То есть эти треугольники подобны, и суммы их острых углов равны 45°. Следовательно, при точке M три угла - это два по 135° и один 90°. Я так думаю, что дальше любой легко сосчитает площадь. Да, добавлю, что на самом деле считать надо только правый тупоугольный треугольник - у левого площадь в 2 раза больше, а нижний (прямоугольный) треугольник имеет площадь 2*1/2 = 1. Ну, также и 1*√2*sin(135°)/2 = 1/2, ответ получается 2,5.
А можно не поворачивать. В школе не очень-то учат поворачивать. Через т.С проводим перпендикуляр к отрезку СМ, на нём откладывает отрезок СМ-1 = СМ. Треуг СММ-1 прямоугольный и равнобедренный по построению, с катетами равными 1 и гипотенузой ММ-1 = \/2. Пусть < МСВ= а, тогда < АСМ = < ВСМ-1 = (90⁰ - а). Треугольники АСМ и ВСМ-1 равны по 1-ому признаку.. ВМ-1 = АМ = 2. Треугольник ВММ-1 по обратной т. Пифагора тоже прямоугольный и равнобедренный, т.к. его катеты равны \/2, а гипотенуза ВМ-1 = 2. Отсюда
Отразим каждый из внутренних треугольников относительно соответствующей стороны данного. Получим пятиугольный домик, состоящий из квадрата 2х2 и прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами sqrt(2). Его площадь: 2*2+(sqrt(2))^2/2 =5. Это ровно две площади искомого треугольника, S(ABC)=5/2=2.5. Очень легко и просто! Проще не бывает.
Задача носит очень частный характер. Мало того, что треугольник равнобедренный и прямоугольный, так еще и расстояния подобраны так, что находятся подобные треугольники, внутри прямой угол и пр. А если задать расстояния даже в таком треугольнике, но a, b, c ? Это уже гораздо серьезней. Искомая площадь будет в этом случае : S(ABC) = {a^2/2+b^2/2+sqrt[p*(p-m)*(p-n)*(p-k)]}/2, где стороны равны: m=2c, n=a*sqrt(2), k=b*sqrt(2).
@@second3160Сумбур У Вас! Вы даже не разобрались, что я предложил1 Я привел решение в общем виде, когда расстояния a, b, c -произвольные в ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. Конечно, там будет пятиугольник, но в общем случае угол между красным и зеленым отрезком прямым не будет. Это не ответ на вопрос? Подставляйте любые отрезки, и получите площадь! Хотите, подставляйте данные отрезки. И получите те же 2.5.Какие отрезки Вы хотите подставить? Я Вам быстро вычислю площадь. Мне все равно, какой там будет угол между красным и зеленым.
ну если валерий сказал, что супер задача, то дело пахнет керосином... а с песочной фееричностью у меня проблемы. но пришла в голову идея подключить аналитическую геометрию) думаю, не съем - так покусаю) крч, наложил сетку декарта... рисунок сделал направо зеркальный, для удобства... что б координаты были положительные. Итак коорд точки М (х,у), сторона треуг а... выписывая расстояния, получаем три ур-я и три переменных x^2+y^2=1 (а-х)^2 + y^2=4 x^2 + (a-y)^2=2 возводим в квадраты, учитывая первое ур-е, получаем систему: a^2-2ax=3 a^2-2ay=1 выражаем икс и игрек через а, получаем: х=(a^2-3)/2a y=(a^2-1)/2a и теперь все вставляем в первое, заменяя переменную a^2 на t получаем: (t-3)^2 + (t-1)^2=4t тут выходит два корня 5 и 1, выбираем 5 ну и поскольку 5 это произведение катетов, то делим на два уфф... щ гляну Валерия... он точно не так делал... будут достройки по ходу)
Есть решениепроще. Используем теорему косинусов для кажой стороны,и замечаем что косАМБ=косБМС => углы амб и бмс равны После этого угол АМБ = 135⁰(90+90/2).Есть такая теорема,не с муторным докозательством. После этого получается угол АМС = 90⁰, Сторона АС=БС = √5 => площадь ровна 2.5 Даже если бы треугольник не был равнобедренным,это решение подходит,просто надо было бы использовать ещё теорему косинусов для угла 135⁰.
Если подумать, то 2/√2=√2 а √2 это то же самое, что √2/1. Таким образом AMB и CMB подобные, с коэффициентом подобия √2. Тогда углы BAM+BCM=45°. они отрезали у углов BCA и BAC 45°. BCA + BAC =135° птнимем 45 ° и выходит, что MAC+MCA=90° Тогда на AMC останется тоже 90°. Треугольник AMC прямой и AC находится по теореме Пифагора.
Точка M есть пересечение 3 окружностей известных радиусов. При C=C(0,0), длине катета =a, решаю систему из 3 уравнений окружностей с 3 неизвестными (e͞ₓ=k•C͞A) {x²+y²=1² {(x-a)²+y²=2² {x²+(y-a)²=(√2)² 1-2ax+a²=4, x=(a²-3)/2a 1-2ay+a²=2, y=(a²-1)/2a, пусть s=a², из ①: (s²-6s+9)+(s²-2s+1)=4s 2s²-12s+10=0, s²-6s+5=0, s={1,5} S=½a²=s/2 S₁=1/2, S₂=5/2 Оказывается, т.M может совпасть с т.B₁, в условиях этого не оговорено, в правильности расстояний не трудно убедиться простым расчетом длин отрезков🤠
Поворачиваем т МВС по часовой стрелке до соединения BC и АС, точка М переедет в М1. Угол МСМ1 = 90, тогда ММ1 по теореме пифагора корень из двух. В треугольнике АММ1 две стороны равны корень из двух, а вторая 2, значит угол АМ1М - прямой. Значит углы АММ1 и М1МС по 45 градусов, значит угол АМС = 90, дальше тривиально
В общем-то, всё аналогично, только комбинировал я немного по-другому. Треугольник СМВ повернём так, чтобы он соединился с треугольником АМС катетом (СВ приложить к АС), т.е. получится четырёхугольник А(или В)МСМ1 с диагональю-катетом АС. Провести вторую диагональ ММ1. Очевидно, что угол МСМ1= МСВ+МСА=90. Тогда ММ1=sqrt(2), а углы М1МС и ММ1С по 45 градусов. По теореме косинусов и по Пифагору обнаруживается, что равнобедренный АММ1 также прямоугольный, т.е. АМ1М=90 градусов. Тогда угол АМС = АММ1+М1МС=45+45=90. Значит АС гипотенуза треугольника АМС, равная sqrt(1+4)=sqrt(5). И площадь АВС будет sqrt(5)*sqrt(5)*0,5=2,5.
Интересно получается угол АВС=45' он внешний для угла АМС=90' у них общая дуга АС,это значит что АМ=МВ=МС= R, или я запутался? Точка М лежит на АВ Задача шикарная. Метод решения очень понравился.
Примем АС=X . В тр.АМС примем угол М=¥, в тр.АМВ примем угол М=£ , в тр. СМВ угол М=360-(¥+£). По т косинусов в тр .АМС x^=5-4*cos¥ , в тр.АМВ 2X^=6-4корня из 2 * cos£ , X^= 3- 2корня из2*cos£ , из тр.СМВ X^=3-2корня из2 * cos /360-(¥+£)/.В тр. АМВ и СМВ cos углов равны , угол £=углу¥+£ .Рассмотрим тр.АМС и тр.СМВ , 5-4*cos¥=3-2 корня из 2*cos(¥+£) и выполняется только при ¥=90 и ¥*£= 90+ 45 , cos (90+45) = -sin45 = - корень из 2/2, во втором уравнении получим X^=5
Более прямолинейный способ - решать через систему. Взять АС/ВС за х, через него выразить АВ, пишем формулу расчёта площади АВС по полупроизведению катетов, её же - сложением малых треугольников, площадь каждого по трём сторонам (включая х). Берём площадь за S, записываем систему. Избавляемся от х, чтобы не мешал, ищем S.
Проводим с т. М на АС высоту h , угол АСМ=а , Sin a =h/МС =h/1 , Cos а= \/(1-У*2) . АС=ВС=в . Из тр-ка АМС по теореме косинусов Cos a=(МС*2+АС*2-АМ*2)/2МСхАС , \/(1-У"2)=(1+в*2-4)/2в , из тр-ка СМВ - угол ВСМ - Cos(90*-a) , Cos(90*-a)=(MC*2+BC*2-BM*2/|2MCxBC , Cos(90*-a)=Sina=h/1=h , h=(1+b*2-2)/2в . Обе части уравнений возводим в квадрат и слагаем 1-h*2+h*2=(в*2-3)*2/(2в)*2+(в*2-1)*2/(2в)*2 , 4в*2=в*4-6в*2+9+в*4-2в*2+1 , в*4-6в*2+5=0 , в*2=5 ,. S=в*2/2=5/2=2,5 .
В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза x*√2 Если рассмотреть треугольники ABM и BCM - отношение всех их сторон равно x√2/x = √2/1 = 2/√2 . Так что они подобны и их соответствующие углы равны. Сумма острых углов этих треугольников равна 45 градусов (они вместе составляют угол В). Тогда тупые углы будут по 135 градусов. Отсюда легко посчитать что угол AMC = 360 - 135 - 135 = 90. Ну и доказав что треугольник АМС прямоугольный - можно найти длину катета просто по теореме Пифагора √(2^2 + 1^2) = √5, а площадь соответственно 2.5
"Строим вниз" - это паралельный перенос. А мы вот повернули "без всяких параллельных переносов"! Эти преобразования - оба хороши при решении сложных задач.
Другое реш-е: Два треуг-ка BCM и ACB подобны с коэф-том подобия sqr(2). Тогда углы BCM = АВМ, а СВМ = ВАМ, А сумма углов СВМ+АВМ = 45°, но тогда и углы САМ = ВСМ. Значит сумма углов САМ+АСМ = 90° и АМС = 90°. А отсюда по теореме Пифагора АС = sqr(4+1) = sqr(5). S = (sqr(5))^2/2 = 2.5.
2.5. В уме, не без некоторого мыслительного напряга. :) Сейчас сначала изложу, как думал сам, а потом посмотрю видео, чтобы понять, насколько совпало. Заподозрить угол АМС в том, что он прямой можно сразу, но как доказать? А так: АМВ и СМВ - подобные. У них все стороны одинаково относятся друг к другу. Раз АВС - равнобедренный, то угол АВС - 45 градусов, и ВС/АВ = корень из 2 на 2. МВ относится к МА так же, и МС относится к МВ так же (единица на корень из 2 - это то же самое). Значит угол АВМ равен МСВ и равен 45 - МВС. МВС равен ВАМ, и тогда МАС тоже равен 45 - МВС. А угол МСА равен 90-МСВ, или же 90-(45-МВС) = 45+МВС. Ну и что тогда с треугольником АМС? Угол АМС равен 180- (45-МВС)- (45+МВС) = 180-45-45+МВС-МВС=90. Ну дальше осталось дело техники: по теореме пифагора найти АС, которая гипотенуза у АМС и катет у АВС, т.е. корень из 5. Возводим в квадрат, делим на 2, и ... вуаля! ----------------- Мда, несколько не так. :) Но всё равно свелось к доказательству, что АМС - прямоугольный.
Это разные преобразования. Есть симметрия относительно точки, прямой и плоскости. А есть поврот и параллельный перенос. Поврот - поворачиваем, симметрия - отражаем. Все это движения плоскости, то есть они сохраянт расстояния между точками (фигура не меняется).
Очень просто. Нужно задать угол при вершине, например, и подсчитать площадь шестиугольника как сумму трех внешних треугольников и большого внутреннего треугольника, образованного отрезками, соединяющими вершины шестиугольника (через одну). И разделить на два. Выше я изложил построения. Если хотите, могу дать численный пример.
@@second3160 Не будет никакого развернутого. Треугольник просто равнобедренный, но не прямоугольный! Будет шестиугольник! Что, так трудно сосчитать? Подписчик задал вопрос, что, если угол не прямой. Прежде, чем писать, внимательно прочитайте.
@@second3160 Вы читаете внимательно, что пишете? Как это всегда??? Только, если угол С- прямой!!! Во всех остальных случаях будет ШЕСТИУГОЛЬНИК!! Что непонятного? Нарисуйте и увидите!
А теперь полностью в общем виде для ЛЮБОГО треугольника. a, b, c- расстояния от точки М до соответствующих вершин, α, β, γ- углы треугольника. Искомая площадь равна: S = (1/4)∙[a^2∙sin2α+b^2∙sin2β+c^2∙sin2γ+2∙√(p∙(p-A)∙(p-B)∙(p-C))]. В этой формуле : A = 2a∙sinα, B = 2b∙sinβ, C = 2c∙sinγ- стороны вспомогательного треугольника, p = (A+B+C)/2- его полупериметр. Желающие могут подставить данные задачи в этом ролике и убедиться в правильности формулы.
@@GeometriaValeriyKazakov если катет принять за x, то AB = x√2, тогда можно заметить что все стороны AMB в √2 раз больше сторон BMC. значит ∠ABM + ∠BAM = 45° = ∠MBC + ∠BCM, дальше легко находится ∠AMC = 90° и задача решается
Про поворот сам не сообразил.Но потом опередил Вас,Валерий,с решением.Ну,хоть какой то прогресс.Спасибо.Очень круто.
Спасибо.
Доброе утро. Не только лайк, но и уважение и благодарность Вам.
Спасибо.
Спасибо за разбор решения с помощью поворота.
Мой любимый метод координат: пусть ось Оx смотрит налево, по горизонтальному катету, ось Оy - вверх, по вертикальному катету.
Обозначим катет через a, а координаты точки M через x и y и применим формулу расстояния между двумя точками. Имеем несложную систему трёх уравнений с тремя неизвестными:
(x - a)² + y² = 4
x² + (y - a)² = 2
x² + y² = 1
Из первого и второго последовательно вычитаем третье, получаем выражения для x и y через a:
x = (a² - 3)/(2a); y = (a² - 1)/(2a)
Эти выражения подставляем в третье уравнение и получаем уравнение, квадратное относительно a²:
a⁴ - 6a² + 5 = 0
По теореме Виета корни: a² = 5 и a² = 1. Так-то оба корня подошли бы, но в условии сказано, что точка взята внутри треугольника. А это возможно только при a² = 5 (координата x при a² = 1 получается отрицательная). Нам нужно найти S = a²/2 = 2,5.
Да, я тоже так решил.
Также делал, только замену на полярные координаты в системе произвёл, получив 6 уравнений, и оттуда:
p⁴ - 6p² + 5 = 0
Система:
x=cos(a)
y=sin(a)
x=sqrt(2)cos(b)
p-y=sqrt(2)sin(b)
p-x=2cos(c)
y=2sin(c)
Оттуда sin(a)=(p^2-1)/2p; cos(a)=(p^2-3)/2p. И тождество применяем.
метод координат?
@@livebuzz3685 он самый)
глянул, супер... эх... знать бы куда и что поворачивать
Можно решить используя основное триг тождество для угла АСМ. АС=СМ=х. Из треугол АМС находим cosАСМ, а из треуг МСВ cosВСМ=sinАСМ. Получим квадр уравнение относительно x*x. Находим площадь поделив на 2. Такое решение работает для произвольных положений точки М, а в данной задаче удачное подожение точки М позволяет применить поворот и решить быстрее.
Красивое решение!!! Благодарю!!!
Спасибо.
Да-да, просто элементарная задача. Из подобия следует ( у одного каждая сторона в корень из двух раз, больше, чем у другого, просто посмотрел комменты, и некоторые спрашивают, откуда подобие) что два центральных угла 135 градусов. Третий равен 90, а гипотенуза (она же катет исходного) корню из 5, 5/2 - площадь
Прямоугольно-равнлбедренный...
Левый и правый треугольники подобны и в каждом сумма острых углов 45 из чего нижний - прямоугольный. Ответ 2,5
Круто!
Спаасибо. А по какому признаку подобны? Да 2:\/2=\/2:1 и ...
@@GeometriaValeriyKazakov
АВ/ВС
@@GeometriaValeriyKazakov
Все три пары сторон имеют соотношение sqrt(2). (Последняя пара как диагональ квадрата к его стороне)
@@victorkaplansky Отлично, спасибо.
Достроила до квадрата, применила центральную симметрию относительно середины гипотенузы, получила: параллелограм с острыми углами А и В, равными по 45 град и углом С 135 град, по т.косинусов АВ^2=5, S ABC=2,5
ОТлично.
Ну, треугольник ABM получается из треугольника BCM, если все стороны умножить на √2. То есть эти треугольники подобны, и суммы их острых углов равны 45°. Следовательно, при точке M три угла - это два по 135° и один 90°. Я так думаю, что дальше любой легко сосчитает площадь.
Да, добавлю, что на самом деле считать надо только правый тупоугольный треугольник - у левого площадь в 2 раза больше, а нижний (прямоугольный) треугольник имеет площадь 2*1/2 = 1. Ну, также и 1*√2*sin(135°)/2 = 1/2, ответ получается 2,5.
Очень хорошее решение для "умных"! Всегда считал поворот уделом "красивых". Был неправ!)))
А можно не поворачивать. В школе не очень-то учат поворачивать. Через т.С проводим перпендикуляр к отрезку СМ, на нём откладывает отрезок СМ-1 = СМ. Треуг СММ-1 прямоугольный и равнобедренный по построению, с катетами равными 1 и гипотенузой ММ-1 = \/2. Пусть < МСВ= а, тогда < АСМ = < ВСМ-1 = (90⁰ - а). Треугольники АСМ и ВСМ-1 равны по 1-ому признаку.. ВМ-1 = АМ = 2. Треугольник ВММ-1 по обратной т. Пифагора тоже прямоугольный и равнобедренный, т.к. его катеты равны \/2, а гипотенуза ВМ-1 = 2. Отсюда
Отразим каждый из внутренних треугольников относительно соответствующей стороны данного. Получим пятиугольный домик, состоящий
из квадрата 2х2 и прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами sqrt(2). Его площадь: 2*2+(sqrt(2))^2/2 =5. Это ровно две
площади искомого треугольника, S(ABC)=5/2=2.5. Очень легко и просто! Проще не бывает.
КЛАСС!!!
Красивое решение, спасибо!
БРАВО!!!! Красиво!
Спасибо.
Задача носит очень частный характер. Мало того, что треугольник равнобедренный и прямоугольный, так еще и расстояния подобраны так,
что находятся подобные треугольники, внутри прямой угол и пр. А если задать расстояния даже в таком треугольнике, но a, b, c ? Это уже
гораздо серьезней. Искомая площадь будет в этом случае : S(ABC) = {a^2/2+b^2/2+sqrt[p*(p-m)*(p-n)*(p-k)]}/2, где стороны равны: m=2c,
n=a*sqrt(2), k=b*sqrt(2).
Сумбур какой-то
@@second3160Сумбур У Вас! Вы даже не разобрались, что я предложил1 Я привел решение в общем виде, когда расстояния a, b, c -произвольные в ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. Конечно, там будет пятиугольник, но в общем случае угол между красным и зеленым отрезком прямым не будет. Это не ответ на вопрос? Подставляйте любые отрезки, и получите площадь! Хотите, подставляйте данные отрезки. И получите те же 2.5.Какие отрезки Вы хотите подставить? Я Вам быстро вычислю
площадь. Мне все равно, какой там будет угол между красным и зеленым.
@@SB-7423
а, Зелёный = 1
в, Красный=(2)½
с, Фиолетовый=(2)½
Чему равены:
m=?
n=?
k=?
p=?
S=?
@@second3160 S = 1+sqrt(3)/2, m=n=k=2,
p = 3. Угол между красным и зеленым 105 градусов. Проверено, не тратьте время на перепроверку!
@@SB-7423
m,n,k - это чьи стороны,
р - чей полупериметр?
расположил в системе координат и решил систему уравнений 3 на 3. тоже получил 2.5 площадь
ну если валерий сказал, что супер задача, то дело пахнет керосином...
а с песочной фееричностью у меня проблемы. но пришла в голову идея
подключить аналитическую геометрию) думаю, не съем - так покусаю)
крч, наложил сетку декарта... рисунок сделал направо зеркальный, для удобства...
что б координаты были положительные. Итак коорд точки М (х,у), сторона треуг а...
выписывая расстояния, получаем три ур-я и три переменных
x^2+y^2=1
(а-х)^2 + y^2=4
x^2 + (a-y)^2=2
возводим в квадраты, учитывая первое ур-е, получаем систему:
a^2-2ax=3
a^2-2ay=1
выражаем икс и игрек через а, получаем:
х=(a^2-3)/2a
y=(a^2-1)/2a
и теперь все вставляем в первое, заменяя переменную a^2 на t
получаем:
(t-3)^2 + (t-1)^2=4t
тут выходит два корня 5 и 1, выбираем 5
ну и поскольку 5 это произведение катетов, то делим на два
уфф...
щ гляну Валерия... он точно не так делал... будут достройки по ходу)
Есть решениепроще.
Используем теорему косинусов для кажой стороны,и замечаем что косАМБ=косБМС => углы амб и бмс равны
После этого угол АМБ = 135⁰(90+90/2).Есть такая теорема,не с муторным докозательством.
После этого получается угол АМС = 90⁰,
Сторона АС=БС = √5 => площадь ровна 2.5
Даже если бы треугольник не был равнобедренным,это решение подходит,просто надо было бы использовать ещё теорему косинусов для угла 135⁰.
Если подумать, то 2/√2=√2 а √2 это то же самое, что
√2/1. Таким образом AMB и CMB подобные, с коэффициентом подобия √2. Тогда углы BAM+BCM=45°. они отрезали у углов BCA и BAC 45°. BCA + BAC =135° птнимем 45 ° и выходит, что MAC+MCA=90° Тогда на AMC останется тоже 90°. Треугольник AMC прямой и AC находится по теореме Пифагора.
Не только красиво, но и очень технично! Спасибо!
Спасибо за оценку.
Точка M есть пересечение 3 окружностей известных радиусов.
При C=C(0,0), длине катета =a,
решаю систему из 3 уравнений окружностей с 3 неизвестными (e͞ₓ=k•C͞A)
{x²+y²=1²
{(x-a)²+y²=2²
{x²+(y-a)²=(√2)²
1-2ax+a²=4, x=(a²-3)/2a
1-2ay+a²=2, y=(a²-1)/2a, пусть s=a², из ①:
(s²-6s+9)+(s²-2s+1)=4s
2s²-12s+10=0, s²-6s+5=0, s={1,5}
S=½a²=s/2
S₁=1/2, S₂=5/2
Оказывается, т.M может совпасть с т.B₁, в условиях этого не оговорено, в правильности расстояний не трудно убедиться простым расчетом длин отрезков🤠
А, сорри, в условиях оговорено, что М внутри треугольника...
Тогда да, одно решение.
Поворачиваем т МВС по часовой стрелке до соединения BC и АС, точка М переедет в М1. Угол МСМ1 = 90, тогда ММ1 по теореме пифагора корень из двух. В треугольнике АММ1 две стороны равны корень из двух, а вторая 2, значит угол АМ1М - прямой. Значит углы АММ1 и М1МС по 45 градусов, значит угол АМС = 90, дальше тривиально
Спасибо. Вы процитировали наше решение. Рад, что совпало 100%
Благодарю. Я тоже решил поворотом, только по часовой стрелке.
Скажу вам по секрету, что у автора поворот тоже по часовой стрелке 😅
@@OlegVlCh точно 🙂. Я зарешался - забыл куда стрелки крутятся. Значит, у меня против.
В общем-то, всё аналогично, только комбинировал я немного по-другому. Треугольник СМВ повернём так, чтобы он соединился с треугольником АМС катетом (СВ приложить к АС), т.е. получится четырёхугольник А(или В)МСМ1 с диагональю-катетом АС. Провести вторую диагональ ММ1. Очевидно, что угол МСМ1= МСВ+МСА=90. Тогда ММ1=sqrt(2), а углы М1МС и ММ1С по 45 градусов. По теореме косинусов и по Пифагору обнаруживается, что равнобедренный АММ1 также прямоугольный, т.е. АМ1М=90 градусов. Тогда угол АМС = АММ1+М1МС=45+45=90. Значит АС гипотенуза треугольника АМС, равная sqrt(1+4)=sqrt(5). И площадь АВС будет sqrt(5)*sqrt(5)*0,5=2,5.
Интересно получается угол АВС=45' он внешний для угла АМС=90' у них общая дуга АС,это значит что АМ=МВ=МС= R, или я запутался? Точка М лежит на АВ
Задача шикарная. Метод решения очень понравился.
Ты запутался😊
Примем АС=X . В тр.АМС примем угол М=¥, в тр.АМВ примем угол М=£ , в тр. СМВ угол М=360-(¥+£). По т косинусов в тр .АМС x^=5-4*cos¥ , в тр.АМВ 2X^=6-4корня из 2 * cos£ , X^= 3- 2корня из2*cos£ , из тр.СМВ X^=3-2корня из2 * cos /360-(¥+£)/.В тр. АМВ и СМВ cos углов равны , угол £=углу¥+£ .Рассмотрим тр.АМС и тр.СМВ , 5-4*cos¥=3-2 корня из 2*cos(¥+£) и выполняется только при ¥=90 и ¥*£= 90+ 45 , cos (90+45) = -sin45 = - корень из 2/2, во втором уравнении получим X^=5
Более прямолинейный способ - решать через систему. Взять АС/ВС за х, через него выразить АВ, пишем формулу расчёта площади АВС по полупроизведению катетов, её же - сложением малых треугольников, площадь каждого по трём сторонам (включая х). Берём площадь за S, записываем систему. Избавляемся от х, чтобы не мешал, ищем S.
Отлично.
@@GeometriaValeriyKazakov собственно, этот способ можно считать расово верным, когда не знаешь о рояле в кустах в виде прямого угла. )
Проводим с т. М на АС высоту h , угол АСМ=а , Sin a =h/МС =h/1 , Cos а= \/(1-У*2) . АС=ВС=в . Из тр-ка АМС по теореме косинусов Cos a=(МС*2+АС*2-АМ*2)/2МСхАС , \/(1-У"2)=(1+в*2-4)/2в , из тр-ка СМВ - угол ВСМ - Cos(90*-a) , Cos(90*-a)=(MC*2+BC*2-BM*2/|2MCxBC , Cos(90*-a)=Sina=h/1=h , h=(1+b*2-2)/2в . Обе части уравнений возводим в квадрат и слагаем 1-h*2+h*2=(в*2-3)*2/(2в)*2+(в*2-1)*2/(2в)*2 , 4в*2=в*4-6в*2+9+в*4-2в*2+1 , в*4-6в*2+5=0 , в*2=5 ,.
S=в*2/2=5/2=2,5 .
Отлично.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза x*√2
Если рассмотреть треугольники ABM и BCM - отношение всех их сторон равно x√2/x = √2/1 = 2/√2 . Так что они подобны и их соответствующие углы равны. Сумма острых углов этих треугольников равна 45 градусов (они вместе составляют угол В). Тогда тупые углы будут по 135 градусов. Отсюда легко посчитать что угол AMC = 360 - 135 - 135 = 90. Ну и доказав что треугольник АМС прямоугольный - можно найти длину катета просто по теореме Пифагора √(2^2 + 1^2) = √5, а площадь соответственно 2.5
Без всяких поворотов: на стороне АС вниз строим треугольник, равный СМВ, получаем тоже самое...
"Строим вниз" - это паралельный перенос. А мы вот повернули "без всяких параллельных переносов"! Эти преобразования - оба хороши при решении сложных задач.
Треугольники АВМ и СМВ подобны по соотношению сторон (1:√2)
Супер!
Другое реш-е:
Два треуг-ка BCM и ACB подобны с коэф-том подобия sqr(2). Тогда углы BCM = АВМ, а СВМ = ВАМ,
А сумма углов
СВМ+АВМ = 45°, но тогда и углы САМ = ВСМ.
Значит сумма углов
САМ+АСМ = 90° и
АМС = 90°.
А отсюда по теореме Пифагора
АС = sqr(4+1) = sqr(5).
S = (sqr(5))^2/2 = 2.5.
Спасибо.
В принципе не обязательно было поворачивать треугольник - достаточно было просто от точки С провести перпендикуляр к отрезку МС равный ему.
Да, конечно, но как догадаться его провести?
Точки М, М1 и В1 лежат на прямой, а треугольник ВМВ1 является прямоугольным. :)
Спасибо. А как это доказать?
@@GeometriaValeriyKazakov По построению В1М1 перпендикулярно ВМ, а М1М тоже. Через точку проходит единственный перпендикуляр. Некуда идти.
2.5. В уме, не без некоторого мыслительного напряга. :) Сейчас сначала изложу, как думал сам, а потом посмотрю видео, чтобы понять, насколько совпало.
Заподозрить угол АМС в том, что он прямой можно сразу, но как доказать? А так: АМВ и СМВ - подобные. У них все стороны одинаково относятся друг к другу. Раз АВС - равнобедренный, то угол АВС - 45 градусов, и ВС/АВ = корень из 2 на 2. МВ относится к МА так же, и МС относится к МВ так же (единица на корень из 2 - это то же самое).
Значит угол АВМ равен МСВ и равен 45 - МВС. МВС равен ВАМ, и тогда МАС тоже равен 45 - МВС. А угол МСА равен 90-МСВ, или же 90-(45-МВС) = 45+МВС. Ну и что тогда с треугольником АМС? Угол АМС равен 180- (45-МВС)- (45+МВС) = 180-45-45+МВС-МВС=90. Ну дальше осталось дело техники: по теореме пифагора найти АС, которая гипотенуза у АМС и катет у АВС, т.е. корень из 5. Возводим в квадрат, делим на 2, и ... вуаля!
-----------------
Мда, несколько не так. :) Но всё равно свелось к доказательству, что АМС - прямоугольный.
Отлично.
Респект преподавателю!
в чем разница между поворотом и симметричным построением?
При повороте на 90 все углы становятся по 90, а при симметрии - просто удваиваются.
Это разные преобразования. Есть симметрия относительно точки, прямой и плоскости. А есть поврот и параллельный перенос. Поврот - поворачиваем, симметрия - отражаем. Все это движения плоскости, то есть они сохраянт расстояния между точками (фигура не меняется).
Конечная цель - доказать, что угол АМС прямой. Симметричным построением это сделать сложнее.
Можно решить с помошью координатной системой.
да, но слишком много аналитики.
Ну хорошо, а если угол между красным и зеленым отрезком не был бы равен 90 градусам, как бы решалась задача?
Очень просто. Нужно задать угол при вершине, например, и подсчитать площадь шестиугольника как сумму трех внешних
треугольников и большого внутреннего треугольника, образованного отрезками, соединяющими вершины шестиугольника
(через одну). И разделить на два. Выше я изложил построения. Если хотите, могу дать численный пример.
@@SB-7423
Ну, например,
Зелёный=1
Красный=(2)½
Фиолетовый=(2)½
И где 6-ой угол, если он всегда развёрнутый и равен 90*2=180°?
@@second3160 Не будет никакого развернутого. Треугольник просто равнобедренный, но не прямоугольный! Будет шестиугольник! Что, так трудно сосчитать? Подписчик задал вопрос, что, если угол не прямой. Прежде, чем писать, внимательно прочитайте.
Я и говорю, что всегда будет 5-ти угольник.
И угол между З и К не будет прямой, если
З=1
К=(2)½
Ф=(2)½
@@second3160 Вы читаете внимательно, что пишете? Как это всегда??? Только, если угол С- прямой!!! Во всех остальных случаях будет ШЕСТИУГОЛЬНИК!! Что непонятного? Нарисуйте и увидите!
А теперь полностью в общем виде для ЛЮБОГО треугольника. a, b, c- расстояния от точки М до соответствующих вершин, α, β, γ- углы треугольника. Искомая площадь равна: S = (1/4)∙[a^2∙sin2α+b^2∙sin2β+c^2∙sin2γ+2∙√(p∙(p-A)∙(p-B)∙(p-C))]. В этой формуле :
A = 2a∙sinα, B = 2b∙sinβ, C = 2c∙sinγ- стороны вспомогательного треугольника, p = (A+B+C)/2- его полупериметр. Желающие могут подставить
данные задачи в этом ролике и убедиться в правильности формулы.
Супер! Большая работа.
Прямой угол АМС доказал без поворота через подобие АМВ и СМВ. Кому интересно - поясню, пока некогда подробнее.
"Обоснуй" подобие, мне интересно!
@@GeometriaValeriyKazakov если катет принять за x, то AB = x√2, тогда можно заметить что все стороны AMB в √2 раз больше сторон BMC. значит ∠ABM + ∠BAM = 45° = ∠MBC + ∠BCM, дальше легко находится ∠AMC = 90° и задача решается
@@ridex9611 Спасибо от зрителей.
@@GeometriaValeriyKazakov К сожалению, не успел .Только сейчас освободился, смотрю - а уже обосновано! За молодёжью не поспеть🥲.
Возможно через теорему косинусов можно, но пока не решал.
блин без авторучки не хочет решаться
хотя я догадываюсь, что ответ 5/2
Гений предвиденья!
Bloqadaryu!
senkyu!
Вот!!! новый по-во-рот!!!
Что он нам несёт?? )))
Пропасть!
@@GeometriaValeriyKazakov над пропастью во Лжи.)