[ i (虚数単位)の導入について] 0を基準とすると、たとえば、aという数は、0からaの方向に向かった数量と言えます。 また、-aというのは、0を基準として、aを180度回転させた数量とも言えます。 このことは、aに(-1)を掛け算すると、結果として、180度の回転を行ったことと同じになります。 これを式で表すと、 a x (-1) = -a (このことは、aに対して180度の回転演算となる。) ここで i x i = -1 となるように、i(虚数単位)という記号を導入すると、 a x i x i = -a と、置き換えて表現することができます。 つまり、iを1回掛け算するということは、90度の回転を行ったことと同じであることが言えます。 また、強いてiを数値でいうと、√-1になります。 i、または、√-1を伴う数値とは、 「ある事象を基準して考えた場合、そこから90度ずれた位置の事象について、考えることができる」 という意味になります。 90度ずれた事象を考える代表的な例として、 電気回路があります。 また、物理の放物線の問題を解く際、この解に虚数単位を含む場合があったりしますが、 この場合、虚数を含まない事象の範囲の数値のみを扱うとすれば、 「解がない」 と言われます。 しかし、虚数単位を含む軸まで拡張してあげると、 「解がある」 となります。 X-Y軸で表現されたグラフ上で、虚数を表現するには、X-Y軸に矢を刺したように、新たな軸を設けると それが虚数を表すためのあらたな軸として扱えます。(この新たな軸は、90度ずれていますよね)
@H2O 回転を定義する方法はいろいろありますが、 虚数を使用した例で定義してみます。 回転させたい角度をΘとした場合、 「回転を定義する数」をオイラーの公式で示すと、 回転を定義する数 = (cosΘ) + (i x sinΘ) で定義できます。 例を挙げると、 ・Θ=180度で、(cosΘ) + (i x sinΘ) = -1になります。 ・Θ=90度で、(cosΘ) + (i x sinΘ) = i になります。 上記のようにΘから求められた「回転を定義する数」を 掛け算することで、複素平面上で回転を行えます。 虚数の話とは、別の話になりますが、回転の定義については、 行列(回転行列), 弧度法などなどあります。
MIT OpenCourseWare でMerriam側の意味で使うPDF文章を見つけました。 ”Euler’s formula defines the exponential to a pure imaginary power. ” 引用元：[ocw.mit.edu › courses › mathematics › complex-arithmetic-and-exponentials] "When N^2 < 0 (for ω < ωp) this means N is pure imaginary..." 引用元[ocw.mit.edu › courses › nuclear-engineering › lecture-notes › chap5]
![Seungmin "그렇게, 천천히, 우리(As we are)" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/kAzmhLHePqU/mqdefault.jpg)
電気の分野に入るとiは電流になるんで、虚数はjになる。
そして虚数は本当に実在してるレベルで出てくる。
RLC回路(電気科並感)
jω ← 交流を扱うときに死ぬほど出てくるやつ
物理学科ワイ、電流密度をj、虚数をiで表すｗ
確かに電磁気学で電流密度j出てくる笑
ベクトルだけど。
あ、だから電磁気じゃ基本ベクトルがi ,j,kじゃなくて、 ix,iy,iz ,なのか！
4:32～6:12辺りに表示されているシュレーディンガー方程式ですが、右辺が誤っています。右辺の虚数単位のiは不要で、またℏはℏの２乗にするのが正しい。両辺にiがあったらキャンセルして消えてしまいます。
ほんと。動画概要欄でもいいから、早く訂正すべきだね。
とりあえずUSBメモリを作った奴は天才ってことがわかった
USBメモリは
フラッシュメモリの
形態の一種でしかないので、
正確には
「フラッシュメモリを作った奴は天才」と
言うべきなんだよね
(マジレスすまん)
わ
すげぇと思ったです。
凄いですぅぅ
舛岡 富士雄さんですね
1:11〜
数学「虚数はiで表すことにしよう」
電気「iじゃ交流の電流と被るからjにしよう」
これ、最初に聞いたときなんか受け入れられなかった…
同士が！w
クソわかる
ジュールで被るじゃん
@@つな-l9w ジュールは「J」なんです
2:15 -1℃は272Kやな
274kは1°やな
@@やまさきのりひこ 1°は角度やな
4℃はブランドショップやな
ベイクメイク℃が作るお菓子は美味しいね
sin1°は0.84やな
電気工学では虚数は必要不可欠な存在
もっとも電流の記号「i」と区別する為に「j」を使っているけど
まず「数」というものが概念なんだから
「数」に存在意義を見出そうとすること自体に無理があると思う
便利だから使っているただそれだけのこと
それな。数学ってどう使うのかってのが大切なんだよね。
概念の学問だからね
1という数字を使って何かを計ることはあっても1という数字の存在を認識することはできないからな
観念じゃなくて法則かな
かつては幾何学（＝数学）が神と言われたそうだけど
@@みずみず-k4e
そうです単位として覚えるしか無い。
回転を扱う事に適した数だから電磁気学にも量子力学にも虚数は欠かせない
複素数平面も回転やしな
でも、実際に電流や電圧・インピーダンス等が虚数や複素数になる事は絶対にあり得ないですよね？(回転座標とかで座標出すのは便利でしたが、初めはマジで電圧や電流が虚数や複素数になるのか？と思っていました)
@@focacc 回転座標でも、ベクトル演算子使うと(∇とかグラド等。因みに高卒なので習っていないです)虚数や複素数使わなくても座標出ると聞いた事ありましたが、やはり虚数や複素数使う方が難易度が低くなるからですか？
偏微分とか、目の前の微分だけでなく(高校レベルでやる、グラフの傾き)横から見た微分とかやるらしいので(山とか、汚い話ですがマナー悪い愛犬家が放置した犬のクソを微分するイメージ)単純に計算面倒臭くなりそうですね？
@@小林カムイ 電流・電圧が「実数(or 有理数)になる」っていうのは、線形一次元の量としての構造に対応しているってだけで、よく考えてみると「実数が実在している」根拠にはならない
逆に「物の個数と対応するから自然数が存在する」「物質の量と対応するから有理数が存在する」と考えるなら、同じようにして2次元のある力場と対応する複素数が存在すると直感的に感じないといけない
解析系に複素数を使うのはもちろん記述がきれいになるからだけど、使った方が"自然"だからってのもある。自然の説明は難しい
@@focacc ２次元なら、複素数使うと計算が楽(特に回転座標)というメリットがありますが、３次元座標の場合はその手は使えないと思いますがどうなるのでしょうか？(微分積分でも３次元微分積分。高卒なのでやっていませんが外積とか∇等出てくる厄介そうな計算が非常に面倒臭そう。勾配(乱暴な言い方したら偏微分に似たモノ？初め三角関数で坂道の角度や辺の長さ求めるモノだと思っていました)とか回転(座標の点が回転する概念の関数らしい)発散(３次元座標から入力して、出るモノが多い場合がソレ。因みに逆は吸い込みとか言うモノらしい)という概念だと、複素数レスの方がマシな位計算面倒臭そうです。
習っていないので詳細不明ですが、波がどんだけ経過したら、どの位置に波が存在するのか？というのを計算したり、汚い話ですがオムツがウンコ吸収するのが吸い込み、吸収限度超えて染み出すのが発散みたいですが、あんな面倒臭そうな計算何に使うのでしょうか？
電験の勉強していると、交流のあまりにも計算しつくされた構造にテスラに対する畏怖の念が強くなるよね
交流は三角関数使わないもんな
@@dhmo1529
瞬時式やベクトル図などで使うのでは？
失礼とは存じますけども
三相交流など、
三角関数のオンパレード
ですけども？
@@dhmo1529
交流で出てくる「力率」は、複素平面に描写される以下の成分のベクトル量を見ると解かり易いですよね。
Ｚ＝ｒ+ｊω - ｊ/ω
抵抗成分＝Ｒ
インダクタンス成分＝ｊω
リアクタンス成分＝-ｊ/ω(1/ｊω)
ｊは虚数で、ωは角速度だから、虚数も三角関数もいっぱい出てきますね。便利、便利。
交流理論では三角関数がスタート位置にいますよね。
ひょってして、もっと高いレベルでのはなしでしょうか？フーリエ変換とかラプラス変換とか？
理論の話では無くて、実用的に使うかどうかは確かに話が違ってくるかもですね。
@@GawaineRodry もうやめて！あいつのHPは0よ！
ご丁寧な解説をありがとうございます。虚数は超電導はじめ将来のワープドライブには欠かせないローテーションモジュールに発展させるものです。私はこれを発見しました。
-1キロの減量とかただ太っただけやんけ
「燃費が悪い」みたいなw
言葉のマジックで騙されそうですね
同じ事を考えてる人いた‼︎
たしかに‥‥（騙されている俺って‥‥）
た だ の 増 加
「2回かけるとマイナスになり、さらに2回かけるとプラスになる」っていうのが永遠につづく性質のものを表したいときに
虚数っていうのがあると「i」っていうシンプルな文字ひとつでそれを表せるからすごいね
この動画よりわかりやすい
その点物理ってすげぇよな、最後までラグランジアンたっぷりだもん。
その点芸人ってすげぇよな、最後までラジバンダリたっぷりだもん。
不覚にもワロタ
大学の教授が「虚数は座標を回転させる（大雑把にまとめた）」みたいなことを図解してくれてめちゃくちゃわかりやすかった
二つの別のものを繋ぐ法則を、たった一文字で表現する便利な物という認識です。
数というよりも演算子とかの方がしっくりきます。
USBメモリに量子力学が使われていたとは…！
量子力学なんてまだまだ発展途上の学問で実用的ではないと勝手に思い込んでた…
超弦理論の登場で強化されたから
数学って単体で学ぶより物理とからめて学んだほうがいいよな
たとえば微分積分とかってニュートンが作った古典力学に用いられているし
そっちのほうが分かりやすそう
虚数が発見されつつあった時代では『imaginary』であったというというだけで、実際はゼロや負数と同じ程度には普通に『在る』よね。
いろいろな計算している中でその概念自体は必然的に発見されうるものであるという意味で。
当時名付けた人ですら『虚』だと捉えてたのが今も残ってるのが面白い。
複素数平面を使った方が説明として簡単なのでは？
って思ったけど、
今度はそれの実用性を説明するのが大変だなー。
結局同じ説明になりそうだし。
電磁気学とか量子力学の講義受けてきたけど、方程式とか恒常式ってマジで綺麗すぎる。
虚数、と言う概念を初めて教わった時、何故だか不気味に感じたんだよな。
シュレディンガーは数学者。物理学者が解けない数式に辿り着いた際に数学者の論文を探し、既にシュレディンガーが解いていたので、シュレディンガーの波動方程式と名が付いている。
有理数だけで表せない量を表すために無理数という概念が現れたように、
実数だけで出来ない代数的な議論をするために虚数という概念が現れた。
後世になってから、波動（量子じゃない方）とか量子を扱うのに都合が良いことが発見された。
って感じかな。
素人目には解説の中の式の両辺をihで割ると虚数が消えると思います。
@@仙頭大造 あれ別に単純な掛け算割り算じゃないから、割れないのよ。
∑とか習ったでしょ？あれも｢指定した範囲を全て足しなさい｣って意味でしょ。それ想像すると分かりやすいかも！
@@北南-z9p シュレディンガー方程式は単純な掛け算割り算なので割れますよ。
シンプルに動画のシュレディンガー方程式の右辺が間違ってるだけです。
0:45〜
実はここ間違っていて、
「虚数」というのは数式で表したときにiを一つの項として含む数を虚数と言うんです。（ただしi＝√(－1)）
つまりiを使った四則演算（＋, －, ×, ÷）で表せられる式が虚数、と思ってくれれば良さそうです。
例を挙げると、i, －i, 2i, 7/i, 1＋3i, 4－i。こういうのは虚数と見て間違いないでしょう。
動画での「二乗したら－1になる数」は「虚数単位」と呼びます。これがまさしくiですね。
（元々はイタリックの _i_ で表すのが正しいですが、読みやすさのためそのまま記入しました。）
虚数は虚軸上の数を指すんでないかね
虚軸上にない範囲の数まで挙げて「これらみんな虚数です」と言っちゃうのは
もの凄い違和感あるわ
「実軸上以外は全部イマジナリーなんです」だと
「そうですね」って感じるから
その辺に原因があるのかな
@@tak5603
（はじめに、私は日本語が母国語ではありません。故に、日本語が正しくない所があるかもしれません。身勝手ですがご了承願います。）
それでは、「実数軸の上にも虚数軸の上にもない数」はどうなるのでしょうか。
実数のみ成立する絶対不等式に (実数)²≧0 というものがあります。
上の例を全て当てはめてみると、
i²＝－1＜0, (－i)²＝－1＜0, (2i)²＝－4＜0, (7/i)²＝－49＜0, (1＋3i)²＝－8＋6i (判定不可能), (4－i)²＝15－8i (判定不可能)
この通り、全部 X²≧0 (Xはとある数) を満たしません。
つまり上記した数は全て、実数ではありません。
では、これらを虚数と呼べるのではないのでしょうか？
複素数で実数でも、虚数でもないものはあるのでしょうか？
そもそもですが、「虚数」という数を学ぶとき、
虚数: a＋bi (a, b は実数、b≠0, i＝√(－1))
と虚数が定義されます。
しかし、iが含まれる多項式や、iを含め四則演算された式は（私の考えでは）全て a＋bi の形で表せられます。
さすがにiが指数に入った式は説明できませんが。
今私のコメントを見返してみると、おっしゃった通り「iさえ入っていれば全部虚数」という文章には違和感を覚えます。
なので、「iが四則演算で入る数は虚数だと思ってくれればいい」のように、コメントを直そうと思っています。
そこで、また意見がございましたら、またコメントをお願いします。
（途中で態度を著しく変えるようになってしまい、申し訳ありません。落ち着いて書いたつもりでしたが、やはりこういった文を書くのは苦手みたいです。
拙い日本語でしたが、読んでいただきありがとうございました。）
@@aitetsukun
「虚数」をウィキペディアで読んでみたら
あなたの言う通り
複素平面上の実軸以外の部分全部だったわ
俺の方が勘違いして覚えてた
勉強になりました
ごめんなさい
元のコメント
直すべきところは特になかったと思う
変な労力使わせちゃってごめん・・・
@@tak5603
大丈夫ですよ。
確かに、数学という学問で「全部まるめて」などの言葉は少し抽象的すぎると言いますか、あまり適切ではない気がしますので。
コメント、ありがとうございました。
２次方程式の解の公式を負数を考慮しないで表すと、とんでもなく面倒くさく場合分けをしなきゃならなくなる。気が遠くなるようだ。それよりは負数を認めてあの公式１本暗記すれば良いのはすごく便利。
同様に、３次方程式の解の一般解を表すときには、絶対虚数の存在が必要な場合がある。
存在確率・・・。観測すると位置が確定される・・・。壁をすり抜ける・・・。人間って頭いいんだな。俺はバカだけど。
[ i (虚数単位)の導入について]
0を基準とすると、たとえば、aという数は、0からaの方向に向かった数量と言えます。
また、-aというのは、0を基準として、aを180度回転させた数量とも言えます。
このことは、aに(-1)を掛け算すると、結果として、180度の回転を行ったことと同じになります。
これを式で表すと、
a x (-1) = -a (このことは、aに対して180度の回転演算となる。)
ここで
i x i = -1
となるように、i(虚数単位)という記号を導入すると、
a x i x i = -a
と、置き換えて表現することができます。
つまり、iを1回掛け算するということは、90度の回転を行ったことと同じであることが言えます。
また、強いてiを数値でいうと、√-1になります。
i、または、√-1を伴う数値とは、
「ある事象を基準して考えた場合、そこから90度ずれた位置の事象について、考えることができる」
という意味になります。
90度ずれた事象を考える代表的な例として、
電気回路があります。
また、物理の放物線の問題を解く際、この解に虚数単位を含む場合があったりしますが、
この場合、虚数を含まない事象の範囲の数値のみを扱うとすれば、
「解がない」
と言われます。
しかし、虚数単位を含む軸まで拡張してあげると、
「解がある」
となります。
X-Y軸で表現されたグラフ上で、虚数を表現するには、X-Y軸に矢を刺したように、新たな軸を設けると
それが虚数を表すためのあらたな軸として扱えます。(この新たな軸は、90度ずれていますよね)
@H2O 回転を定義する方法はいろいろありますが、
虚数を使用した例で定義してみます。
回転させたい角度をΘとした場合、
「回転を定義する数」をオイラーの公式で示すと、
回転を定義する数 = (cosΘ) + (i x sinΘ)
で定義できます。
例を挙げると、
・Θ=180度で、(cosΘ) + (i x sinΘ) = -1になります。
・Θ=90度で、(cosΘ) + (i x sinΘ) = i になります。
上記のようにΘから求められた「回転を定義する数」を
掛け算することで、複素平面上で回転を行えます。
虚数の話とは、別の話になりますが、回転の定義については、
行列(回転行列), 弧度法などなどあります。
@H2O
1. 虚数が未定義に関して。
「虚数は目に見える数値としては存在しませんが、
i x i = -1として、虚数単位(i)を定義して導入しておくと、
演算を行う過程でいろいろ便利ではあります。
(つまり、演算の際にだけ、虚数を使用して演算を行い、
虚数を使用した演算結果を、実際の事象の置き換えて使用する際は、
演算結果から得られたことを実際の数値に置き換え、虚数としては使用しない)」と
解釈しています。
が、このことについての確認の質問ということでよろしいでしょうか？
2. 平面として可視化すると積が現実の回転に対応していそうに関して。
はい、その通りです。
確かに。例えば高校物理でのRLC直列回路では位相のズレは暗記事項として処理されるけれど、虚数の概念によって理解を伴って学習できますね。
バカなワイ｢????(・ω、・)｣
@H2O お恥ずかしながら、循環論法しながら説明していました。
ご質問のお答えにはなりませんが、複素数と回転を表現する方法には、
関連性があるとお考えいただければと思います。
解が存在しないものを用いて更に計算を進める事で、
それがただの脳内遊びに終わるわけでもなくて現実を表せるってのが面白いですよね。
-1 kgの減量に成功って言われると1 kg増量しているように聞こえる、聞こえない？
非常に同意
−1㌔のぶんだけ減量 なら増量で
−1㌔という減量 なら減量かな？
日本語難しいね
立式すると-(-1)だもんね
自然数列である筈のフィボナッチ数列の一般項には無理数が出てくるし、トリボナッチ数列の一般項には虚数が出てくるし、固定観念の枠からはみ出なきゃ分からん式って日常のあちこちに転がってるものよね。
表舞台を成り立たせる舞台装置は表舞台にあるものとは違うみたいな感じですね
@@aiueo-m1y
電磁気学の世界では、東京からニューヨークへ移動するのに、一旦彼の世を経由すると便利な事がある
って感覚ですね。
そもそも役に立つ立たないという事実や状況は、ある時間ある場所ある状況に限られた事で、役に立たない概念や物質があるのではなく、役立てられない主体がいるだけ。
exp(０＋ｉπ）＝－１って、すごいよね。究極だ。オイラーってすげえ人だったんだろうな。これで多次元を一次元的な表現の数式で表現できるのだから。
オイラーの等式は個人的にあんますごいと思わないのよね
πを使う弧度法はcosを微分した時にヒトの世界にとって都合がいいから使っているだけであって、代数のi、解析のeの同列で幾何のπと扱っているのはあんまりしっくりこない、ヒトにとって都合がよかっただけで、幾何であるπを絶対的に使う理由が個人的によくわからない、それ以外の意味の記号でもヒトの都合に合わないだけで別に使用しても問題ないわけで。それを世界の普遍性のような公式のように扱っているのはなんか個人的に未だ「？」とは思ってる。
@@pinton123 オイラーの等式って複素数とか三角関数とか微分？とかがたったこれだけの式にまとめられてることがすごいとか誰か言ってた。だから関係ない幾何から持ってきたことに着目するというより、関係ない物がまとめられてる事がすごいのかなと思う。僕は美しいとは思うしすごいのは分かるけど、僕もすごいと感じるほどの才能は持ってない。
自分はオイラーの公式の方が美しく感じるけど、
幾何学によって生まれたπ
解析学によって生まれたe
代数学によって生まれたi
積の単位元1
和の単位元0
が含まれている
e^πi+1=0
っていうことじゃないですかね。
中1でも理解でき、かつ超絶完結に説明しますと、「虚数」なるものの存在を前提としないと説明できない事があるからです。
重箱の隅をつつきますと、02:18「-1kgの減量に成功」は数学的には+1kgです。
この番組好きだな、難しい量子論も虚数も軽く説明簡単にする。
それな
番組じゃなくってチャンネルかもね
交流回路の計算では必須ですね。無線送信機、ケーブル、アンテナの接続で、LCの虚数成分を打ち消して純抵抗にしてマッチングを取らないと、高価な無線機を壊すことになる。
量子力学より身近なのは複素平面で波を位相と振幅を考えることでは無いでしょうか？
交流100Vや電波等の波の性質を虚数を使わないで説明するほうが困難では？
文系では虚数を扱わなくても済むことが多いと聞いたことがあるのは本当？（2次方程式の解は実数だけですますとか）
電気回路に交流が流れる時のコイルやコンデンサ周りの電流とかでは途端に虚数が現実のものになるからなあ。家電とか虚数で動いてるようなもんよｗ
親に同じ質問したら、物理の運動方程式は虚数解が出てくることがあるって言ってました。
運動方程式は2次方程式ですが、解の x=b²±√b²－4ac/2a のルートの中の部分が b²－4ac＜0 となるときがあるみたいですね。（ほかは親の話をあんま理解してない）
実在する物理の運動を表す式に虚数が出てくると、少しだけ虚数との距離が縮まった気がします。
身近な虚数の使い方「南北」
+「東しか測れません…」
-「西を救いに来たで」
±i「南北を救うべ」
四元数「高度や深度も救ってみるか?」
教育的な動画、ありがとうございます。
誤解を恐れずに言えば、数学者は数学を便利かどうかというよりは、論理的かどうか、証明できるかどうか、数学的に展開できるか、にしか興味ない感じです。むしろ、物理学者は自然界を説明するのにその数学を便利に使っている感じですね。（単純に言えば、これが数学と科学である物理の違いです、現状はいろいろ複雑なこともありますが）
虚数と実数の世界である、複素数というのはひじょうに興味深くて、実数の範囲だけでは解析的に解けない無限積分などを複素平面を使うと解けるようになるんです。
（もしよろしければ、動画中のシュレーディンガー方程式の右辺の一部を今一度ご確認を。ありがとうございました）
電気工学、電気回路とかになると虚数単位は必須になりますね。
電流i(t)に対して虚数単位を使えないと三角関数やベクトルを利用する事になるから大変……
「虚数の存在について・・・ 」と哲学的な考察を重ねるより、複素関数論やって電気回路(交流)や制御工学やると最早虚数無しでは生きていけない身体になるよ。
取り敢えず、虚数を含めた複素数の世界では微分方程式を解くのが楽になって涙がちょちょり出ます。まぁ、複素数の世界でも難解な微分方程式があるのは事実だが、スマホで色々出来たり、当たり前のように電燈が点いてエアコンが部屋を快適にしてくれる技術の基礎の基礎では虚数を含む複素数が大活躍してますからね。
学校でテスト対策、受験対策で学ぶのではなく、
こういう実際に使われている分野を趣味で積極的に学べば意味はわかるよね。
電気の「交流」にめちゃめちゃ複素数が出てくるっていうか、複素数で表すとすごくすっきりするというか、とにかく現実の事象を複素数を使って表現することはできるぞ。
量子が確率で存在するんならその時々でURBに書き込めると時と書き込めない時があることになるのでは？と思った文系です
フラッシュメモリってトンネル効果使ってたのかよ…
フーリエ変換利用する音波測定でもバリバリ使うからな、虚数
実用上だけでなく数学上でも代数が複素数の範囲でとりあえず完結する（閉じている）ってのが重要だと思う
数の世界の広がりがきれいにこそで一区切りつく
数学科の人間じゃないので変なこと言ってたらすみません
複素数で表される波動関数も頭の中で想像されたものか、いわゆる収束するという観測の問題も生じない。でも上向き状態と下向き状態の重ねあわせは日常身体レベルでは理解しがたいです。
-1kgの減量は同格的な意味で捉えればそこまでおかしくもない気がする
動画のシュレディンガー方程式の形、間違っとる。iが右辺と左辺にあって、約分できてしまうやないか。
虚数って名前つけちゃったからあれでもっとこう的確な名前つければ良かったような
考案者自身が
あり得ん数考えてみたンゴw
利用価値なんて無いだろうけど一応論文出しとくンゴww
みたいなノリ(これは完全に悪意がありますが)で論文内で命名したらしいので直訳するとそうなっちゃいますよね。
@安determinant
揚げ足取りみたいで申し訳ないですが、正しい切り方は"複素"数ですね。訳が悪いと思いますが、なんか素数と関係があるように見えていかんですね。
量子論とか高級なもの持ってこなくても，電磁気でもよく使うので．
高...級...?
粒子砲いくらすると思う？
@@理系のなかやま微積んにくん expensive って意味じゃないですよ
高度な位(くらい)って意味ですよね。
@@理系のなかやま微積んにくん お前あんまり本読んだことないだろ
公理的なシステムの存在に関しては、具体的な構成による存在の証明は自然な要求でしょう。複素数の行列表現など。直感的な意味に関しては、複素数をもっと多次元の空間の特殊ケースとしてとらえ、そこに、演算を導入したシステムから見ると、その幾何学的な意味が分かるでしょう。Geometric Algebra, Clifford Algebra, Grassmann Algebraなど。その物理との関係も興味深いテーマです。
文系なのでフワッとしか分かりませんでしたが、なんかすげーと言うのは理解出来ました。
虚数は実数で表現できる
例えば２行２列の行列
0 -1
1 0
は2乗すると (-1) x 単位行列となるので，この行列と単位行列の定数倍のみの行列を扱う世界では複素数と同じ演算規則になる
そもそも「虚数 imaginary number」というネーミングがまずかったとか言われていますよね。おかげで変な誤解を人々に与えてしまった。
日本では「虚数」で引っかかる人が多いが、
欧米では「負数」で既に引っかかる人が多く、
そこを超えると「虚数」ではあまり引っかからないという。
存在の概念に宗教を持ち込むキリスト教文化圏と
計算すなわち金勘定と考える中国とその周辺では、
通るとこ引っかかるとこのメンタリティーが違う
ってことなんだろうと思う。
@@荻野憲一-p7o もっといいますと、近代以前だとそもそもゼロで引っかかる人が多かったみたいなんですよね。その一方で現代の日本の算数・数学だともっと高等な知識であるはずの無理数に引っかかる人は昔から割と多くなかったみたいなんですよね。多分ですが簡易に図示できるという意味では無理数の方がゼロよりも抽象度は低いのかもしれませんね。
実数ってのもおかしいよな。数にリアルもくそもあるか。
目の前に転がっている
物差しの目盛がリアルに感じられる
っていう想像力の欠落なんだと思う。
身近の人にも、よくある話。
負数、無理数、虚数。
ぜーんぶネガティブ思考
ハミルトンによる複素数の構成では
i＝(0, 1)
複素数体は座標平面に四則演算を定義した体としてとらえられる
三次方程式の解の公式では実数解も虚数単位iを用いて表されることがある
あと数(概念)と数字(文字)は違う
6:47 のマイナス1℃が274Kっていうの272Kですよね？細かくてすみません。
波だったり回転の概念を扱うときに式が簡略化する
まず中学生までに習ったものが数学の1部しか紹介してなくて、本当の数学には虚数とかがある。現実に存在する数を研究するのが数学じゃないんだな
人類が「０」を完全に理解して、０で割る事が出来る様になった時、何かしらのパラダイムシフトが起きるかもしれません。
0で割るのは無理じゃね
@@Mr-oe6hd それが定義できるようになったらの話です。未来はわかりません
0では割れないことは「証明済み」
「虚数」って名前が実在しないと誤解される原因だと思うけど、実は普通に実在していて、例えば交流回路でコイルやコンデンサが持つ抵抗も虚数の抵抗だったりする。
温度のマイナスみたいに位相を表すための表現方法ではあるだろうけれど、虚数が実在している訳ではないと思う。
@@pcm298
位相を虚数で表現してはいけない
という理由があるのかな?
数理が現実の現象を矛盾なく説明
できたなら、それは実在と言って
差支えないと思うんだが。
数理で現実を説明すればするほど現実が存在しないという説が強くなるというね
1:08 imaginary numberは複素数(1+2i)で、i は imaginary unitと言うようです。
英語だと、imaginary numberは純虚数を指します
複素数はcomplex number
@@hibaryllis Merriam-Webster online dictionaryによると、imaginary numberやpure imaginaryは、どちらもcomplex numberの特殊な場合。
a+bi , b!=0 がimaginary number。
bi , b!=0 がpure imaginary。
@@grecoroman9011 本当ですね…。
ただ、Oxford辞書の定義だとimaginary numberは、純虚数(ないし虚数単位)のことを指すようです。
自分の感覚もこちらでしたが、用語に若干の混乱が起きているのかも。
近年の学術論文だとどちらが一般的なのでしょうね。
@@hibaryllis Encyclopedia Britannica(Merriamの親会社)とNewton別冊『虚数がよくわかる』はOxfordと同じ意味。American Heritage辞書とWikipediaはMerriam側。・・・あとは先生に聞くしか。
MIT OpenCourseWare でMerriam側の意味で使うPDF文章を見つけました。
”Euler’s formula defines the exponential to a pure imaginary power.
” 引用元：[ocw.mit.edu › courses › mathematics › complex-arithmetic-and-exponentials]
"When N^2 < 0 (for ω < ωp) this means N is pure imaginary..." 引用元[ocw.mit.edu › courses › nuclear-engineering › lecture-notes › chap5]
虚数って必要性から生まれたんじゃないんでしょうか。数遊びとしての数学では不要なんだが物理学など現実とリンクするのにどうしても二乗するとマイナスになるという道具がないと表現できないと。演算子もしくは第三の符号って感じじゃないんでしょうか？違いますかねぇ、、、
今まで虚数なんて空想上の産物でしかないと思っていた僕が、
e^iπ+1=0を初めて知って虚数は世界の最小の歯車の一つだと思い知らされたのを思い出した
3DCGを勉強した時に四元数が使われていることを初めて知った時の驚きを思い出したな､､､学校では勉強する意味が無いと思っていたけど、意外と身近に使われていることって沢山あるのかも
よく考えたら「-1kgの減量」って数学的にも現実的にもおかしな文よな。1kg痩せたといえば「減量」に当たる概念になるが「-1kgの減量」は厳密には「1kgの増量」になるんじゃ無いか？
オイラは数学に関してはド素人ですが、こういうネタは実に楽しいですね❗😄
関連の書物に、マックス・テグマーク著「数学的な宇宙」というのがあります。
この本によると、究極の世界では、物体的存在よりも数学の方がリアルだと
いうことになるそうです。最高の愛読書です。
「本当の時間は虚時間であって、実時間は、その陰に過ぎない」なんて、考え
も有りそう（オイラの妄想😋）
素人は色々自由に考えて遊べるから、痛快極まりないです 😃😊😺😎😋
（このチャンネルとは真逆の思想ですね）
妄想は数式を使ってやってほしい
2乗した上でマイナスって何やねん！何やねん！！（魂の叫び）
5:10 「計算上便利だから虚数を使って表している」の回答は、いったん「そうです」で良いと思うなぁ。
こういう理論で納得の仕方は人それぞれだけど
三角関数などを駆使して無理くり表現できるけど、冗長な説明が出てしまうけど、
（オイラーの公式などによって）計算上便利になって簡潔に書けるから虚数があるといわれたほうがしっくり来る。
フィボナッチ数列の一般項に無理数が出てくるけどうまく打ち消し合うみたいに、計算途中で虚数がでても観測範囲には虚数が現れないくらいの説明くらいのほうがしっくり来る。
マイナスとか虚数とかって座標を意味してるものだと思う。
電気でも当たり前に虚数使うよね。
マイナス1kgの減量に成功！＝1kgの増量に成功！
マイナス×マイナスって+なんやな
0Ｋって-273℃
0℃って273Ｋ
274Ｋは-1℃なのか･･･
272だよね？
うp主が足し算と引き算を間違えたんですね
3次方程式の解の公式で実数解を出す際 虚数+虚数 を計算し実数を出す場合がある。
実数+実数 の場合もあるけど必ずそうなるようには作れないのです,3次用となると。
x^3-15x+4=0 を公式導出過程を辿って解くとx=u+vとしu^3+4+v^3+(3uv-15)(u+v)=0。
u^3+4+v^3=0 & 3uv=15 を満たすu+vも解。その1つは u=-2±i,v=-2-(±i)。x=u+v=-4。
係数の-15や4のところをp,qにした x^3+px+q=0 として、
uをp,qを使った式として求めてpに-15,qに4を入れても同じに結果になります。
つまり解の公式(p,q使用)を得てから,pに-15,qに4を入れても同じに結果になります。
それで、uをp,qを使った式で表す際、
pに-15,qに4を入れたらuが虚数になってしまうような式でしか表せないのです。
p,qに入れる値によってはuが実数になってくれますが必ず実数になるようにはできない
(vについても同様)。
そういうわけで、途中経過として、どうしても虚数が必要な場合があるわけです。
最終的には,虚数同士が打ち消しあって実数になってくれるのですが,計算途中は虚数。
[補足]
u=-2+i,v=-2-iの時も u=-2-i,v=-2+iの時も, u+vは共に(-2+i)+(-2-i)だから同じ値。
あと u^3+4+v^3=0 & 3uv=15 を満たすu+v自体が3つある。
(-2+i)+(-2-i) はあくまでその1つでしかない。(-1+(√3)i)/2をωと表すと
残り2つは (-2+i)ω+(-2-i)ω^2 と (-2+i)ω^2+(-2-i)ω で、
計算すると,前者は 2-√3 , 後者は 2+√3 。これらも実数解。
それと、u^3+4+v^3=0 & 3uv=15 を満たすu+vも解ですが、
u^3+4+v^3 と (3uv-15)(u+v) の各々は0でないけど足して0になる物が,
もし有ればそれも解です。しかし、そういう物が無いことがわかっています。
そうわかる理由は、u^3+4+v^3=0 & 3uv=15 を満たす物だけで3個有るから。
3次方程式の解は3個しかないから、u^3+4+v^3=0 & 3uv=15 を満たす物だけで全部です。
u^3+4+v^3=0 & 3uv=15 を満たすu,vの求め方は、
3uv=15 より v=5/u。これを u^3+4+v^3=0 に代入すると u^3+4+125/u^3=0。
両辺に u^3 を掛けると (u^3)^2+4u^3+125=0 ⇔ u^3=2±11i, v^3=2-(±11i)。
(2±i)^3=2±11i だから u=-2±i,v=-2-(±i)。
シュレディンガー方程式、右辺のihはh^2じゃないかな
良かった、同じこと思ってた人がいて。
定義をして公理を認めれば定理が導ける。これだけのこと。
全てのものは概念として出てくるだけやな。
大変勉強になりました。ありがとうございます。
大昔、数学が一番が好きでしたが、入試問題が解けるのが嬉しいだけではないかと思って、数学、理科から離れた学部に進みました。理科の同級生が大学の数学、理科で取り残されたので、私の判断が良かったと思いました。でも、年食って、宗教、哲学、数学、理科の老大家たちの奥義？の話に何か似たものがあるように感じ、般若心経聞いてるみたいで大変おもしろいです。
半導体もそうだが、工学での虚数は「複素平面上の実数じゃない方」ぐらいの認識だから結構頻繁に出てくる印象。Ｘ軸に対してＹ軸とかＺ軸は虚数だし。
数字って本当に人間が創造したのかな？それとも元々存在していて、それを発見したのかな？
人間が創造したにしては何もかもを表せすぎてる気がする
創造と発見の違いってなんだ。
数字というものを創ろうとするとき、そう表すと分かりやすいと発見しているだろうし、数字というものを発見するとき、数字を扱えるように表記方法や活用方法を創造していくのではないか？
さらにいうとまだまだ数学は世界を表しきれていないと思う。
なるほど...
たしかに数学は言語のようなものですからね。
数学が楽しくなる面白い動画だ👍
学校で教えてもいいぐらいだ👍
4:36 いや、シュレーディンガー方程式両辺ihで割れるやんけ
括弧の範囲的なものが違う的なかんじじゃね？(適当)
グラフでも表せない文字でしか扱えないみたいなのが存在しない感に繋がってる感を得た
コイツはアタシの個人的な理解ですが、虚数ってのは『時間』と言う要因を参入した結果必然的に派生した概念じゃないかと。
相対性理論が正しいと仮定した場合、『時間』も変動する要素になります。古典的な数学や物理学では、『時間』は変動しないと考えられていたので概念上は存在していないのと同じ扱いがされていました。しかし概念上変動する要素としての存在が認められたなら、コレを参入しなければ数式や理論が現実に適応しなくなります。この問題の解決に虚数が必要になったんじゃないかなぁと考えて居ます。
複素数解析を勉強しろ、というの抜きで、虚数が在るとして考えることの意味を説明する方法があるとは思いつかなかった。
もっと簡単な例でいうと、振り子が左右に振れて見えるけど前後に振れているかどうかは見えない。この前後の動きが虚数だ。左右を実数の座標、ぜんぐぉ虚数の座標で表すと実に色んな現象を数学的に解きやすくなる部bbルナ数が虚数だ。と誰かが言っていた。
この式美しく無い？とか言う理系の圧力笑笑
分からないけど嫌いじゃない
USBすごいな
意外にも流体力学で虚数がゴリゴリ出てくる
位相のイメージが強いな
回転とか扱うのに重要
-1kgの増量の気が...
もっと身近なところでいうと虚数は角度を表すときに使えるな
角度を数で表すとき、例えば90°を4回足すと360°で一周するわけだけどこれが0°と同じであるということは虚数を使えばi^4=1ってことに他ならないし。
実数だけだとmodを使う必要あるけど虚数ならそんなことする必要ない。
細かいようで申し訳ありません
0:53
虚数の定義で
二乗したら−1になる数
とありますがこれは虚数単位の定義ではないでしょうか。
細かいけど
iは"虚数単位"で、"虚数"は複素数a+bi(b≠0)のこと
虚数が無いと仕事にならんのは事実だけど虚数を理解してベクトル図をスラスラ描けるまで時間がかかった。
高度に発達した科学は魔法と区別がつかない。のSFの定型句をUSBで痛感するとは思わなかった。
というかUSBメモリって、半分生きて半分死んだ猫を実用化してる、みたいな物だったのか……。
ちょっと科学技術に対する恐怖を抱くで……。
トンネル効果自体はそんな物があるよくらいで済む話で、FETがその効果を使ったらこんな事できた！ってだけな感じがする。もちろん厳密に論ずるならこんな物で済ませてはならないのだろうけど。
指数という概念を見つけてしまった以上
対数と虚数も認めてあげないと辻褄が合わなくなるでしょ
何か言ってる様でその実何も言ってない斬新なコメントに目を奪われた。
やはり、錯綜する情報社会の中で、間隙を敢えて作り出すという事が求められているのか。
シュレディンガー偏微分方程式を解くと、その式が電子が薄い金属板をつきぬける確率式を導く話を見たことがあります。量子力学は最初の人には難しいので、高校生の初学者向けには「存在感ありありの虚数」あたりの座標回転のストーリがいいかな、と思います。またはオイラーの公式とか。「博士の愛した数式」とかも。
交流のインピーダンス表現とかは、日常の現実で良く見ている電気現象なので、これも( ・∀・)ｲｲ!!と思います。
座標回転がCG等で身直に使われていますものね。
@@pcm298 さん、なるほど2Dの図形表現に対応させる感じかな。
四元数を合成開口レーダの3D図処理の補正計算に応用する動画案内があったのでご紹介します。
ruclips.net/video/o-WJlwM1fu0/видео.html
-1kgの減量ってよくよく考えたら1キロ増えてるんだよな