알파가 필요한 이유가 무엇인가요? J는 x에 대해 적분되어 버리기 때문에 적분한 이후 알파의 함수로 만들기 위한다는 결론적인 것은 알겠는데요. 변분경로에서 알파*에타(x) 함수로 두어야 하는 직관적인 이유를 모르겠습니다. 변분경로를 보면 딱보기에는 에타(x)만 둬도 될거 같은데요. (물론 결국에는 J함수의 stationary point는 구할 수 없는 문제가...ㅠㅠ)
좋은 질문 입니다. 최적 경로를 제외한 모든 경로는 변분 경로인데, 변분 경로가 하나가 아니라 수많은 경로가 존재할 수 있죠. 그래서 "알파"는 변수이고 모든 변분 경로에 대해 다른 값을 가질 수 있습니다. 알파*에타(x) 대신에 그냥 에타(x)로 놓고 풀 수도 있습니다. 이 경우 에타(x)가 알파의 역할 을 해 주면 되는데, 그 강의는 제 동영상 강의 10장-3강에 가시면 [10.4]Lagrange's Eg. of Motion... 부분에 설명을 해 놓았습니다.
이 문제는 y=x일 때, f(y, y')=y'^2 를 적분한 함수(action이라 불러요) J(x)를 최소로 만드는 함수가 정말 y(x)=x (직선)인지를 증명하는 문제입니다. 그래서 y(x)=x가 최소라고 하고 이에 대한 변분 경로, 즉 y(x, a)=x + a sin x(여러 변분 경로 중의 하나)를 택하면, a=0일 때 최소값을 갖는다는 것을 증명하는 문제입니다. 만약 a가 0이 아니면 y(x)=x가 action J(x)을 최소로 만들지 못하는 것이구요. 결국 dJ/da=0(at a=0)를 만족한다는 것은 y(x)=x는 다른 어떤 변분 경로보다 짧다는 의미 입니다.
예시 문제에서 J함수값이 J(a)=2파이+a^2파이 가 나왔는데 그럼 결국 J(a)의 최솟값이 2파이 라는 것은 적분과정에서 x항에 대해서만 구간을 잡아서 두점 (0,0)과 (2파이,0) 사이에 거리인 2파이를 의미하는 것이 맞나요?? (처음에 그래프를 보고 두 점 사이에 거리가 2파이•2^1/2인 것 같았는데 J항이 2파이가 최소로 나왔길래..
![[변분법 기초] 오일러 라그랑주 운동 방정식 이해하기 (Euler-Lagrange equation)](http://i.ytimg.com/vi/OcRB6omfy9c/mqdefault.jpg)
6:45에서 보이듯 f(y'(x);x)는 1+(y')^2에 루트를 씌운 값입니다.
그런데 연습문제(17:40)를 풀 때는 왜 루트가 풀려있나요. 또한 1은 어디 간 것인가요
제가 뭘 놓친건가요?
알파가 필요한 이유가 무엇인가요? J는 x에 대해 적분되어 버리기 때문에 적분한 이후 알파의 함수로 만들기 위한다는 결론적인 것은 알겠는데요. 변분경로에서 알파*에타(x) 함수로 두어야 하는 직관적인 이유를 모르겠습니다. 변분경로를 보면 딱보기에는 에타(x)만 둬도 될거 같은데요. (물론 결국에는 J함수의 stationary point는 구할 수 없는 문제가...ㅠㅠ)
좋은 질문 입니다. 최적 경로를 제외한 모든 경로는 변분 경로인데, 변분 경로가 하나가 아니라 수많은 경로가 존재할 수 있죠. 그래서 "알파"는 변수이고 모든 변분 경로에 대해 다른 값을 가질 수 있습니다. 알파*에타(x) 대신에 그냥 에타(x)로 놓고 풀 수도 있습니다. 이 경우 에타(x)가 알파의 역할 을 해 주면 되는데, 그 강의는 제 동영상 강의 10장-3강에 가시면 [10.4]Lagrange's Eg. of Motion... 부분에 설명을 해 놓았습니다.
무음으로 좀 보았음
과거에도 어렵고 지금도 어렵고
난 일관성이 있는 사람이다
잘 지내지?
예시 문제에서 f=y'^2 인데(두 구간의 거리를 의미하는 함수가 아닌데) 이걸 적분한 것의 최소값이 의미하는 바가 왜 거리의 최소를 의미하는 것인가요?
이 문제는 y=x일 때, f(y, y')=y'^2 를 적분한 함수(action이라 불러요) J(x)를 최소로 만드는 함수가 정말 y(x)=x (직선)인지를 증명하는 문제입니다. 그래서 y(x)=x가 최소라고 하고 이에 대한 변분 경로, 즉 y(x, a)=x + a sin x(여러 변분 경로 중의 하나)를 택하면, a=0일 때 최소값을 갖는다는 것을 증명하는 문제입니다. 만약 a가 0이 아니면 y(x)=x가 action J(x)을 최소로 만들지 못하는 것이구요. 결국 dJ/da=0(at a=0)를 만족한다는 것은 y(x)=x는 다른 어떤 변분 경로보다 짧다는 의미 입니다.
왜 dJ/dα 가0이 되도록 해야하나요?
아 이해했네요. α에 대해 미분한다는건 α항만 남는다는거니 α항이 0이되는게 원하는 상황이라서
강의는 좋은데 광고가 너무 많아요... 3분마다 나와요
안녕하십니까 좋은 강의 감사합니다.
J가 최솟값이 되기 위해서는 J를 a(alpha)로 미분한 값이 0이 되어야 한다고 말씀 하셨는데, 그렇게 된다면 미분한 지점에서 값이 극댓값인지 극솟값인지를 따지지 않아도 괜찮은지 궁금합니다!
극대와 극소의 구분이 필요한 경우에는 당연히 따져야 하겠죠.
예시 문제에서 J함수값이 J(a)=2파이+a^2파이 가 나왔는데 그럼 결국 J(a)의 최솟값이 2파이 라는 것은 적분과정에서 x항에 대해서만 구간을 잡아서 두점 (0,0)과 (2파이,0) 사이에 거리인 2파이를 의미하는 것이 맞나요?? (처음에 그래프를 보고 두 점 사이에 거리가 2파이•2^1/2인 것 같았는데 J항이 2파이가 최소로 나왔길래..
J(0)=2pi 는 두 점 사이의 거리를 구한 것은 아닙니다. J의 값이 최소가 되는 함수가 y(x)=x임을 증명하는 것이예요.
와 고맙습니다
도움 많이 되었습니다 !
J함수에서 f(y(x,a),y'(x,a);x)로 표기해주셨는데 ;x는 어떤 의미인가요??
앞의 y와 y'=dy/dx은 x의 함수이고, 여기서 y, y'을 종속변수, 그리고 x를 독립변수라고 합니다. 그래서 ; x는 x가 독립변수를 나타내는 표현입니다.
@@hmchoiphysics6197 감사합니다!!
15분쯤에 나오는 예시함수에 파란색으로 y(a,x) = x + asinx라고 나와있는데 y(a,x)가 아니라 y(x,a) 아닌가요?? 여기서 a는 알파입니다
네 맞아요.