Ensembles ouverts et ensembles fermés - Définitions et exemples

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Cette vidéo fait partie du cours "Espaces vectoriels normés, espaces métriques": • Distances | Espaces Mé...
Dans un espace métrique ou un espace vectoriel normé, un ensemble ouvert est intuitivement un ensemble qui n’a pas de bord ou de frontière, alors qu’un ensemble est fermé est un ensemble qui contient son bord. On formalise cette notion de la façon suivante: un ensemble A est ouvert si et seulement pour tout élément a de A on peut trouver un nombre réel r strictement positif tel que la boule ouverte B(a,r) de centre a et de rayon r soit incluse dans A. Un ensemble est fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert. J’explique ces notions, puis je passe aux exemples. Je montre d’abord que l’ensemble Z des entiers est un ensemble fermé qui n’est pas ouvert de R, puis que l’ensemble R+ des entiers positifs est fermé non ouvert de R, pareil pour l’ensemble des points du plan au dessous de la première bissectrice. L’espace tout entier est à la fois ouvert et fermé, et c’est pareil pour l’ensemble vide. Dans l’espace métrique Z muni de sa distance usuelle, tout sous ensemble est a la fois ouvert et fermé, car une boule de rayon plus petit que 1 est réduite à un point. De même pour un ensemble muni de la distance discrète.