Объекты категории // Теория категорий 1.1.
HTML-код
- Опубликовано: 19 май 2024
- Что такое объекты категории
Дополнительно почитать:
ncatlab.org/nlab/show/object
донаты:
- boosty.to/molotov_ilya/donate
- сбер 2202 2062 2391 6193
телеграм канал: t.me/molotov_ilya_tg
Ключевые слова:
1. теория категорий
2. объекты
Структура:
00:00 Интро
01:09 Структура
01:37 Примеры
03:00 Замечания
03:52 Практика
04:43 P.S.
Использованные в видео картинки:
1. icons8.com/icon/QPMtNJY6smos/...
2. icons8.com/icon/yIgs898MG4Ai/...
3. icons8.com/icon/118377/chat-m...
дааа давай давай урааааа
Здравствуйте Илья! Думал, что число может стать строкой, да, но вот как строка может стать числом? И вы представляете! Вспомнил, что буквально вчера утром, я хотел поблагодарить одного очень хорошего человека, и так как я изучаю математику, я сделал ей красивую картинку - "Спасибо", в степени бесконечность)
Комментарий в Продвижение. Надо написать восемь слов, поэтому комментарий такой длинный
Краткое изложение Аристотеля, поехали
Домашняя работа:
Рассмотрим категорию стен в квартире. Там содержатся: стены с желтыми обоями, стены с зелёными обоями, стены с плиткой, стены крашеные масляной краской. В качестве отображения рассмотрим такое отображение этих объектов, которое может произвести обычный человек (не мастер ремонта): он может сменить одни обои надругие, содрать обои и покрасить стену (причем обратное не верно. Если стена покрашена, то простой человек ничего с ней сделать не может. Я когда ремонт делал понял, что ее ничем не содрать: ни шпателем, ни болгаркой, ни растворителем) точно также он не может перевести стену с плиткой в другую стену и обратно. Тут надо быть плиточником. И того получаем отображение: стена с обоями любого цвета -> стена с обоями любого цвета или крашенная; крашенная, плиточная отображаются только сами в себя.
Класс) Сам недавно делал ремон)
1). Нога, рука, голова, палец - части тела.
2). Война и мир Толстого, Государство Платона, Приключения Математика Станислава Улама, Все Рушится Чинуа Ачебе - книги.
3). Топор, носок, честь, пустота - несвязанные вещи.
4). Топор, носок, честь, пустота - слова.
5). 1, 2, 3, 4, 5 - какие-то закарючки.
Воооо
Интересно, а есть ли категория всех категорий и будет ли она экстраординарной, т.е. содержать саму себя?
Изначально тут всё сводится к парадоксу Рассела. Когда мы говорим о совокупности объектов Категории - рассматривается класс, а не множество. (Если подходить к рассмотрению через множества). Чтобы не сталкиваться с парадоксами рассматривают только категорию малых категорий. Она не является своим представителем, т.е. малой категорией. Я запишу об этом видео попозже. Спасибо за идею.
@@molotov_ilya, если правильно помню, то как раз переходя к классам, а не рассматривая множества, можно задавать такие "категории категорий" и даже морфизмы можно спокойно определить, как отображения между категориями. Но да, для простоты можно их опускать(наверно)
@@humster- главное не забывать упоминать если с такими штуками работаем. Хотя это почти никогда не случается. Поэтому на время забудем.
То есть, отличие категории от множества заключается в том, что категория даёт нам некую информацию, объединяющую объекты внутри категории(или информацию, задающую эти объекты)? Можно ли задать категорию "хаотичность свойств внутренних объектов между собой" чтобы получить множество случайных объектов и структур? Или взять пустое множество и сопоставить ему категорию "эквивалентность внутренних объектов пустому множеств"?
Во множестве изначально нет внутренней структуры. В категории она предписывается.Это можно назвать информацией о типе структур.
То, что вы придумали о рандоме я не понял, думаю это потребует дополнительных конструкций поверх категории. В принципе, можно придумать какие-то рандомные перестановки на множествах и отображения, но нужно будет проверять свойства о которых позже расскажу .
Про пустое множество - в категории множеств это начальный объект. Позже увидим, что в произвольной категории можно ввести начальные объекты с точностью до изоморфизма.
Подумал и придумал несколько примеров категорий:
- категория графов(ориентированных/неориентированных и других). Не знаю обязательно ли вводить условие, что они должны состоять из одинакового количества вершин, но наверно стоит.
- из категории графов строится категория дискретных автоматов
- категория всех огнестрельных орудий, которые можно получить модернизацией одного. Тут вспоминаются компьютерные игры с кучей возможных модификаторов.
- Ну или просто категория объектов, которые могут получится из исходного последовательностью модернизаций.
- Категория всех возможных 3д(векторных 2д) объектов, построенных в чертежной программе или программе 3д моделирования. Преобразования - соответственно набор(последовательность) преобразований, которые необходимы, чтобы один объект перевести в другой.
Далее приведу некоторые сложные в построении и представлении категории(если таковыми можно считать)
- трансцендентные числа. Не совсем уверен в корректности, но вроде как можно задать категорию почти над любым множеством. Ведь так?
- неизмеримые по Лебегу множества в R^n. Тоже, очень стремный набор. Измеримые вроде являются множеством. Неизмеримые вроде тоже...
- категория всех возможных программ, соответствующих заданной грамматике. Преобразования - дописывание программы в соответствии с грамматикой.(самое реальное из сложных)
Скорее всего в первой части привел более-менее корректные примеры, а в второй просто попытался сделать страшную конструкцию.
С числами всё хорошо, пока есть ассоциативность, тождественный элемент и композиция. Можно ли придумать композиции трансцендентных которые всегда будут оставлять их таковыми , это вопрос.
Спасибо за видео. Если взять например самокат, мотоцикл, автомобиль, самолёт, ракета сказать что это всё разные виды транспорта и попросить между ними прогрессию скорости то можно ли это считать категорией?
Про скорость не совсем понял. Как вариант, можно упорядочить по их скорости. Будет категория порядка как частично упорядоченное множество.