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我原本的做法: ruclips.net/video/9CkMvH-CIp0/видео.htmlsi=EkXaHq1oCHYgD6Aq
好漂亮的解法 比用sin性質去解還要有趣
我覺得這個題目真的設計的很巧妙，可以考驗到不同的解題方法大家都會，可是解完之後發現答案的表達方式也有優劣才是高明之處！1. 三角函數表示2. 勾股解未知數3. 全等三角形我用的是第2.的方法，解出來(3-√3)/(√3-1)結果忘了世界上還有有理化這個東西，所以可以等於√3
如果出這個題目的老師是出給學過幾何但還沒學過三角函數的學生的話 那這老師真的很厲害而且學生反而不會像大人想太多那個數字給的是2真的覺得是一個這樣的老師出的
這方法太巧妙了 有點國中資優題的感覺，不過上高中後更喜歡正弦定理幹下去
（不用三角函數、不用奇怪角度的解）左下角的三角形可以拆成一個等腰直角+30,60,90直角三角形，可以算出底長為1+sqrt(3)再設六邊形邊長為x，斜線右上點垂直接到正下方形成等腰直角三角形底=高1+sqrt(3)+x=2•(sqrt(3)/2)•xx=2+sqrt(3)題目求長=x-2=sqrt(3)
那不是奇怪的解，那只是國中生能用的方法之一ASA。當然你的方法國中生在學精一點也能理解。
這也是我一開始用的方法，從標數字2上面的頂點話一條垂直的輔助線往下，再從標45度角那個頂點畫一條垂直的輔助線往下，設六角形的邊長是x，就可以解出來了。
方法1用三角函数应当也可以吧 一条边知道 三个角也知道 用三角函数后 再泰勒展开 带入直接计算这个想法不知道是否可行方法2 把这个二维图像带入平面直角坐标系 这个二维图像的诸多信息会在平面直角坐标系上暴露无疑 比如在平面直角坐标系中这个二维图像总共有8个坐标点其中6个点坐标是正六边形其余两个不是 其余2个点坐标也能标出来 就看你吧这边直角坐标系的原点放在这8个点中的哪个点上，两点确定一条直线，这条直线就是个简单的一次函数 其中6边行6条线两两平行 3组两两斜虑相等 其中两条线的交点 就是这两条直线的解集相等 嗯嗯 不知道这种思路是否可行
45°那条线简直不要太简单其中一个点知道斜虑知道(为1) 一次函数确定与45°直线相交的直线交点设为p，左下角这条直线的两个点知道 这个一次函数也确定，两条直线的交点p就是这两个一次函数的解集，又因为六边形的6个坐标点知道 交点p知道，平面上任意两点的距离√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) 嗯嗯 不知道思路对不对
以前國中學相似形的時候考過一堆這種題目
左上角補出一個正三角形，用上下兩個相似形邊比2：1，這題就秒殺了
算出紅色小角15°的時候也可以用內分比算出來
其實就是(內)角平分線定理喔~
是啊，很簡單了，但我不明白為什麼就知道是等六邊形？不能光看圖感覺像就是啊，真奇怪。😢
@@zoeliu6072 圖的右下角有特別標註
@@joe40173 我就懶得去查那個單字，嘿😂，好吧我去查唉唉。
3:41這時可以用正弦。射邊長x2／sin15度=2x／sin105度這樣就有邊長，再減2就好
可以是可以，但sin15°跟sin105°不是特別好算，所以曹老師才說自己一開始就是用law of sines算但是選擇拿觀眾的方法展示
其實一開始就可以在左下三角形頂點啜垂直線下來，這樣就可以少畫一個三角形，然後對應上面共用邊，直接求出同角度75度，就可以求出邊長了
左上角補一個等邊三角形，聯接右上角和右下角就可以等比解方程
設未知長度為x這樣我們有一個沙漏型
通過45度和右下角的90度我們可以得到一個大的等腰直角三角形，所以可以求的直角邊是根3（2+x）
最後得x為根3
也可以用左下角那個三角形利用正弦定理來解
很少看到曹老師解微積分以外的，一樣解得好神！想都沒想到！
謝謝！
看著這樣一步步解題真的很有趣
數學不好的我 只能說 ....天才
此題是否能求出 x ?1.若我將已知的45度做出變化(例:變成50度)，長度2不變可以發現 x 與 2 的比例發生變化，也就是 x 改變了2.若我將已知的長度 2 填入不同數字(例如:3)可以發現 x 與 長度(2 or 3) 的比例發生變化，也就是 x 改變了可以得出結果:目前的資訊已經足夠限定 x 為唯一解因此 x 可求
我都用尺量
Blackpenredpenbluepengreenpen
when you’re Asian
我算的時候 發現當把紅色和綠色三角形拼起來的時候 會出現一個1-根號3-2的三角形（30-60-90） 那因為這樣 可以用角平分線定理去直接推出根號3：2 = ？：2
坐標法也可以解
向上延長所求邊長之線再把最高水平線向左延長，剛好可以用國中解法
利用正弦定理可以求出最下面延长出来的那段长
我想請問一下 是我哪邊計算有誤嗎 跟大家的答案不同我在左下角把圖片連起來發現他是個正三角形三邊相等，以此為基礎從題目已知條件下可獲得左下三角形分成 30 60 90 其中斜邊已知為2 得三角形高為 (根號3) 和 45 90 45 在獲得邊長為(根號3) 並將他們另一邊的邊長相加 所得底邊為 1+(根號3) 2+x=1+(根號3) x=(根號3) -1
左下角連起來不會是正三角形
能想到不少解法，但全等三角形真的有趣又簡單
我第一反應，切割
這一題還是三角函數解最快
延長邊長為2的邊，並把角度45度(頂端)的邊連起來，可得60-60-60的正三角形，且這正三角形跟邊長為2的那個三角形有一個比例關係，從這個比例關係配合正六邊形的邊長相等部分也可以得知?的邊為根號3
我想到的方法也是這樣，但還是得用三角函數去推相似邊比例。這樣如果不查表或背75°三角函數的值，就無法得出√3的答案，有點可惜。影片的解法只需要畢氏定理和畫圖就可以直接算出√3，我覺得很厲害！
用45度角對2，75度角對底邊去對上面兩倍六邊形邊長應該可以相似出答案
我的想法和曹老師完全不一樣，這題包含畫圖計算花了三分鐘解出來，兩條輔助線即可解出
我是把未知線段設a，六角形邊長為2+a。把左下三角形畫垂直線分成45.45.90和30.60.90三角形，得出下面線段總長為a+3+√3。再把六邊形右邊兩點連起來做出大的45.45.90三角形，用邊長2+a取兩點連線為√3(2+a)。2、3行取等式即可算出答案為a=√3。
我是將正六邊形左上角補上一個正三角形如此可以得到兩個AA相似的三角形設正六邊形邊長為x則根據相似三角形特性(sqrt(3)-1)x/2 = 2x/2x-2x=sqrt(3)+2因此題目所求為sqrt(3)+2-2=sqrt(3)
我定了座標
如何判斷幾何題題目給的條件是足夠的且圖形與數值是合理的🤔
這個其實可以出在國中會考壓軸題
國中會考其實好像不太會出技巧題，而且這題有學過三角函數和沒學過的人難度差太大了可能會對沒先學的人不太公平。所以感覺還是放在國中競賽數學比較適合XD
@@Kappa-un6nk 感觉这道题画辅助线,倒也不需要三角函数
@@meihuoche562 是的，但是相較三角函數，輔助線更吃天賦一點，我個人覺得以這個考試的相性來講這樣出不太可能（但其實出了也不能說什麼就是了XD）
@@Kappa-un6nk 裡面有1：2：√3 特殊三角形、內角和、全等三角形的觀念，沒有超出課綱（108課綱有教sin cos tan)，如果要解決技巧的問題，可能可以直接把輔助線畫上去
@@tsaoone 這確實是個好方法，直接畫上去的話感覺就會很像會考手寫會出現的題目了，也不會太技巧化
最後一步其實內等分就結束了
好強 這個解法，國中生也能解
极坐标建立坐标系，取点用公式
用內分比性質就可以了(國中就有教)
不得不說在已知某特定角度或邊長的時候三角函數在處理現實生活遇到的問題真的很方便
然而還是有很多人認為三角函數用不到
在 15 度等分角的三角形中使用角等分线的 底边分割线段之比等于对应两侧边之比，则可求得。
如果我國高中數學老師是你QQ
感覺也可以這樣三角形上左右三個角ABC，BC=2/sin45°×sin75°=1+√3，正六邊形對角線剛好2倍邊長(做延長線或分三個三角形就能證明)，這樣就可以算對角線長=1+√3/sin15°×sin45°=4+2√3，邊長=2+√3，要求的線段長就剛好等於√3不過這計算比較麻煩(一直用到cos15°跟sin15°=(√6±√2)/4
我一開始的直覺是用三角函數解，可是為了方便我思考，我把六角形左邊的點和右上的點接起來之後，算了一下角度......75度、105度，差30度，這張圖是六角形......越想越不對勁，然後就突然發現可以純靠幾何解題了，不得不說，這題出的還挺精巧。
X^3+(a+b+c)X^2+(ab+bc+ac)X+abc 要怎麼因式分解 不知道怎麼提出答案 只知道答案 可以教我嗎 我今年才國一
簡單算法：先算出左下角小三角型的另外兩邊長度分別為根號6及根號3+1，就可以得到紅色三角型的長邊和正六邊形邊長的關係，再來就可以用紅色三角型畢氏定理求得？=根號3
最近在臉書看到一個題目：已知x≠0且為實數，若 x^(x) = x⁵，請問x=?一開始看到時，先取了log，解出來x=5和log(x)=1，因為真數要>0，所以另一個是1，但是我又看了一遍題目，發現x=-1其實也可以啊，所以到底是哪裡有問題了呢？
我連接了那個六邊形的左右兩個頂點，然後又連接了右上和右下的兩個頂點，這樣可以構成兩組相似三角形，可以設兩個未知數用兩個相似比解出來。雖然式子看著很嚇人，但畢竟這圖很特殊，結果也肯定很特殊，然後計算過程中雖然有三次項但都能因式分解，並且計算的時候完全不需要去拆括號，最後一步算出來式子是(x+1)(x+2)(√3-1)x=2x(x+2)，兩邊一下子約分完了，感覺特別解壓哈哈哈哈哈
设标角度的点为A，顺时针标正六边形ABCDEF，最左下的点为G，AG交DE于H由AF∥CG得∠AGC=∠GAF=π/4由正六边形内角得∠HDG=π-2π/3=π/3即得∠GHD=π - π/4 - π/3=5π/12sin(5π/12)=sin(π/4 + π/6)=sin(π/4)cos(π/6)+cos(π/4)sin(π/6)=(√6+√2)/4由正弦定理得GD / sin∠GHD = HD / sin∠HGD =2√2解得GD=1+√3设正六边形边长为a，连接A、C，则三角形ACG为等腰直角三角形故AC=CG=a+1+√3又因为三角形ABC是顶角为2π/3的等腰三角形所以AC=√3 BC即a+1+√3=√3a解得a=(√3+1)/(√3-1)=2+√3立得EH=a-2=√3证毕
其實如果解出根號三之後也可以用Angle bisector property來解?那一條邊的長度而不用證明全等三角形
设那个标角度的点为A，设这个正多边形为正六边形ABCDEF(顺时针排列)，图形最左下角的角为G，AG交ED于H。以正六边形的中心为坐标原点，以向量EB方向为x轴正方向，以向量CA方向为y轴正方向。设六边形边长为2a则A(a,(√3)a),E(-2a,0),D(-a,-√3 a)由给定的∠FAG=π/2以及点A可得AG:x-y+(√3-1)a=0由正六边形的几何性质得∠EDC=2π/3 则ED斜率k=tan(2π/3)=-√3再由E点坐标得ED:√3x+y+2√3 a=0联立AG与ED的方程解得H((2√3-5)a,(3√3-6)a)再由两点间距离公式得∣DH∣²=[(2√3-5)a-(-a)]²+[(3√3-6)a-(-√3a)]²=4a²(7-4√3)=4a²[2²+2*2*√3+(√3)²]=16a²(2-√3)²=4解得a=1/(2(2-√3))=(2+√3)/2即∣ED∣=2a=2+√3即得∣EH∣=∣ED∣-∣HD∣=√3证毕
解析几何，不太需要动脑纸
60度直角三角形邊長比即可解 設目標x左下三角形畫高得高sqrt3六邊形邊長(2+x)六邊形上下距離(2+x)*sqrt33+sqrt3+x=sqrt3(2+x)=2sqrt3+xsqrt33-sqrt3=x(1-sqrt3)x=sqrt3
其實是rhs不是asa
「只給這些資訊…？」這資訊超充足的好嗎！--這是我看到這題的第一反應（直覺）不過我想到的方式也是用三角函數解⋯⋯感覺學會的工具越多，越會只記住比較萬用的工具，簡單又優雅的作法反而想不起來這個題目如果丟給國中的我，可能反而比較有機會想得出影片這種解法吧
我也是直接用三角函數算，三角函數太方便
設正六邊型每邊長l,在45度的角作垂線高h,這邊高h與與右邊二個邊長是一個頂角120度的腰三角形,因此h就是根號3x同時h與底邊及延長線會組成一個45度角的等腰直角三形,即左的那個小三角形的底邊就是(根號3-1)x觀察左下的小三角形,最左下剛已求出45度,2與(根號3-1)x是60度(180-120),即剩下的角也是可求出為75(180-45-60)然後有二條邊,一條是2,一條是(根號3-1)x用正弦就能求出x (根號3-1)x/sin75=2/sin45 (sing75)真不會算（不準用計數機就用sin(75)=sin(30+45),sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB）即可求出x(一方程一未知數必有解)然後x-2為解
設問號為x，六邊形邊長x+2六邊形從45°那個角開始順時鐘依序命名為ABCDEF左下小三角形最外面的角命名為G左上再畫一個正三角形∇，最外面的角命名為HAG交六邊形的點命名為I好了前置作業完成，解題開始連結AC讓ΔACG成為等腰直角三角形AC=CG=(x+2)√3DG=CG-CD=(x+2)(√3-1)此時看左上，AH=2(x+2)由於ΔAHI和ΔDGI相似故AH：DG=2：(√3-1)=HI：DI=(2x+2)：2答：x=(2/(√3-1))-1，奇怪哪算錯了?
![Noob To Max With DRAGON REWORK In Blox Fruits [FULL MOVIE]](http://i.ytimg.com/vi/LnBMOinoOvA/mqdefault.jpg)
我原本的做法: ruclips.net/video/9CkMvH-CIp0/видео.htmlsi=EkXaHq1oCHYgD6Aq
好漂亮的解法 比用sin性質去解還要有趣
我覺得這個題目真的設計的很巧妙，可以考驗到不同的解題方法大家都會，可是解完之後發現答案的表達方式也有優劣才是高明之處！
1. 三角函數表示
2. 勾股解未知數
3. 全等三角形
我用的是第2.的方法，解出來
(3-√3)/(√3-1)結果忘了世界上還有有理化這個東西，所以可以等於√3
如果出這個題目的老師是出給學過幾何但還沒學過三角函數的學生的話 那這老師真的很厲害
而且學生反而不會像大人想太多
那個數字給的是2真的覺得是一個這樣的老師出的
這方法太巧妙了 有點國中資優題的感覺，不過上高中後更喜歡正弦定理幹下去
（不用三角函數、不用奇怪角度的解）
左下角的三角形可以拆成一個等腰直角+30,60,90直角三角形，可以算出底長為1+sqrt(3)
再設六邊形邊長為x，斜線右上點垂直接到正下方形成等腰直角三角形
底=高
1+sqrt(3)+x=2•(sqrt(3)/2)•x
x=2+sqrt(3)
題目求長=x-2=sqrt(3)
那不是奇怪的解，那只是國中生能用的方法之一ASA。
當然你的方法國中生在學精一點也能理解。
這也是我一開始用的方法，從標數字2上面的頂點話一條垂直的輔助線往下，再從標45度角那個頂點畫一條垂直的輔助線往下，設六角形的邊長是x，就可以解出來了。
方法1用三角函数应当也可以吧 一条边知道 三个角也知道 用三角函数后 再泰勒展开 带入直接计算这个想法不知道是否可行
方法2 把这个二维图像带入平面直角坐标系 这个二维图像的诸多信息会在平面直角坐标系上暴露无疑 比如在平面直角坐标系中这个二维图像总共有8个坐标点其中6个点坐标是正六边形其余两个不是 其余2个点坐标也能标出来 就看你吧这边直角坐标系的原点放在这8个点中的哪个点上，两点确定一条直线，这条直线就是个简单的一次函数 其中6边行6条线两两平行 3组两两斜虑相等 其中两条线的交点 就是这两条直线的解集相等 嗯嗯 不知道这种思路是否可行
45°那条线简直不要太简单其中一个点知道斜虑知道(为1) 一次函数确定
与45°直线相交的直线交点设为p，左下角这条直线的两个点知道 这个一次函数也确定，两条直线的交点p就是这两个一次函数的解集，又因为六边形的6个坐标点知道 交点p知道，平面上任意两点的距离√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) 嗯嗯 不知道思路对不对
以前國中學相似形的時候考過一堆這種題目
左上角補出一個正三角形，用上下兩個相似形邊比2：1，這題就秒殺了
算出紅色小角15°的時候也可以用內分比算出來
其實就是(內)角平分線定理喔~
是啊，很簡單了，但我不明白為什麼就知道是等六邊形？不能光看圖感覺像就是啊，真奇怪。😢
@@zoeliu6072 圖的右下角有特別標註
@@joe40173 我就懶得去查那個單字，嘿😂，好吧我去查唉唉。
3:41
這時可以用正弦。
射邊長x
2／sin15度=2x／sin105度
這樣就有邊長，再減2就好
可以是可以，但sin15°跟sin105°不是特別好算，所以曹老師才說自己一開始就是用law of sines算但是選擇拿觀眾的方法展示
其實一開始就可以在左下三角形頂點啜垂直線下來，這樣就可以少畫一個三角形，然後對應上面共用邊，直接求出同角度75度，就可以求出邊長了
左上角補一個等邊三角形，聯接右上角和右下角就可以等比解方程
設未知長度為x
這樣我們有一個沙漏型
通過45度和右下角的90度我們可以得到一個大的等腰直角三角形，所以可以求的直角邊是根3（2+x）
最後得x為根3
也可以用左下角那個三角形利用正弦定理來解
很少看到曹老師解微積分以外的，一樣解得好神！想都沒想到！
謝謝！
看著這樣一步步解題真的很有趣
數學不好的我 只能說 ....天才
此題是否能求出 x ?
1.若我將已知的45度做出變化(例:變成50度)，長度2不變
可以發現 x 與 2 的比例發生變化，也就是 x 改變了
2.若我將已知的長度 2 填入不同數字(例如:3)
可以發現 x 與 長度(2 or 3) 的比例發生變化，也就是 x 改變了
可以得出結果:
目前的資訊已經足夠限定 x 為唯一解
因此 x 可求
我都用尺量
Blackpenredpenbluepengreenpen
when you’re Asian
我算的時候 發現當把紅色和綠色三角形拼起來的時候 會出現一個1-根號3-2的三角形（30-60-90） 那因為這樣 可以用角平分線定理去直接推出根號3：2 = ？：2
坐標法也可以解
向上延長所求邊長之線再把最高水平線向左延長，剛好可以用國中解法
利用正弦定理可以求出最下面延长出来的那段长
我想請問一下 是我哪邊計算有誤嗎 跟大家的答案不同
我在左下角把圖片連起來發現他是個正三角形三邊相等，以此為基礎
從題目已知條件下可獲得
左下三角形分成 30 60 90 其中斜邊已知為2 得三角形高為 (根號3)
和
45 90 45 在獲得邊長為(根號3)
並將他們另一邊的邊長相加 所得底邊為 1+(根號3)
2+x=1+(根號3)
x=(根號3) -1
左下角連起來不會是正三角形
能想到不少解法，但全等三角形真的有趣又簡單
我第一反應，切割
這一題還是三角函數解最快
延長邊長為2的邊，並把角度45度(頂端)的邊連起來，可得60-60-60的正三角形，且這正三角形跟邊長為2的那個三角形有一個比例關係，從這個比例關係配合正六邊形的邊長相等部分也可以得知?的邊為根號3
我想到的方法也是這樣，但還是得用三角函數去推相似邊比例。
這樣如果不查表或背75°三角函數的值，就無法得出√3的答案，有點可惜。
影片的解法只需要畢氏定理和畫圖就可以直接算出√3，我覺得很厲害！
用45度角對2，75度角對底邊
去對上面兩倍六邊形邊長
應該可以相似出答案
我的想法和曹老師完全不一樣，這題包含畫圖計算花了三分鐘解出來，兩條輔助線即可解出
我是把未知線段設a，六角形邊長為2+a。
把左下三角形畫垂直線分成45.45.90和30.60.90三角形，得出下面線段總長為a+3+√3。
再把六邊形右邊兩點連起來做出大的45.45.90三角形，用邊長2+a取兩點連線為√3(2+a)。
2、3行取等式即可算出答案為a=√3。
我是將正六邊形左上角補上一個正三角形
如此可以得到兩個AA相似的三角形
設正六邊形邊長為x
則根據相似三角形特性
(sqrt(3)-1)x/2 = 2x/2x-2
x=sqrt(3)+2
因此題目所求為sqrt(3)+2-2=sqrt(3)
我定了座標
如何判斷幾何題題目給的條件是足夠的且圖形與數值是合理的🤔
這個其實可以出在國中會考壓軸題
國中會考其實好像不太會出技巧題，而且這題有學過三角函數和沒學過的人難度差太大了可能會對沒先學的人不太公平。所以感覺還是放在國中競賽數學比較適合XD
@@Kappa-un6nk 感觉这道题画辅助线,倒也不需要三角函数
@@meihuoche562 是的，但是相較三角函數，輔助線更吃天賦一點，我個人覺得以這個考試的相性來講這樣出不太可能（但其實出了也不能說什麼就是了XD）
@@Kappa-un6nk 裡面有1：2：√3 特殊三角形、內角和、全等三角形的觀念，沒有超出課綱（108課綱有教sin cos tan)，如果要解決技巧的問題，可能可以直接把輔助線畫上去
@@tsaoone 這確實是個好方法，直接畫上去的話感覺就會很像會考手寫會出現的題目了，也不會太技巧化
最後一步其實內等分就結束了
好強 這個解法，國中生也能解
极坐标建立坐标系，取点用公式
用內分比性質就可以了(國中就有教)
不得不說在已知某特定角度或邊長的時候三角函數在處理現實生活遇到的問題真的很方便
然而還是有很多人認為三角函數用不到
在 15 度等分角的三角形中使用角等分线的 底边分割线段之比等于对应两侧边之比，则可求得。
如果我國高中數學老師是你QQ
感覺也可以這樣
三角形上左右三個角ABC，BC=2/sin45°×sin75°=1+√3，正六邊形對角線剛好2倍邊長(做延長線或分三個三角形就能證明)，這樣就可以算對角線長=1+√3/sin15°×sin45°=4+2√3，邊長=2+√3，要求的線段長就剛好等於√3
不過這計算比較麻煩(一直用到cos15°跟sin15°=(√6±√2)/4
我一開始的直覺是用三角函數解，
可是為了方便我思考，我把六角形左邊的點和右上的點接起來之後，
算了一下角度......75度、105度，差30度，這張圖是六角形......越想越不對勁，
然後就突然發現可以純靠幾何解題了，
不得不說，這題出的還挺精巧。
X^3+(a+b+c)X^2+(ab+bc+ac)X+abc 要怎麼因式分解 不知道怎麼提出答案 只知道答案 可以教我嗎 我今年才國一
簡單算法：先算出左下角小三角型的另外兩邊長度分別為根號6及根號3+1，就可以得到紅色三角型的長邊和正六邊形邊長的關係，再來就可以用紅色三角型畢氏定理求得？=根號3
最近在臉書看到一個題目：
已知x≠0且為實數，若 x^(x) = x⁵，請問x=?
一開始看到時，先取了log，解出來x=5和log(x)=1，因為真數要>0，所以另一個是1，但是我又看了一遍題目，發現x=-1其實也可以啊，所以到底是哪裡有問題了呢？
我連接了那個六邊形的左右兩個頂點，然後又連接了右上和右下的兩個頂點，這樣可以構成兩組相似三角形，可以設兩個未知數用兩個相似比解出來。雖然式子看著很嚇人，但畢竟這圖很特殊，結果也肯定很特殊，然後計算過程中雖然有三次項但都能因式分解，並且計算的時候完全不需要去拆括號，最後一步算出來式子是(x+1)(x+2)(√3-1)x=2x(x+2)，兩邊一下子約分完了，感覺特別解壓哈哈哈哈哈
设标角度的点为A，顺时针标正六边形ABCDEF，最左下的点为G，AG交DE于H
由AF∥CG
得∠AGC=∠GAF=π/4
由正六边形内角
得∠HDG=π-2π/3=π/3
即得∠GHD=π - π/4 - π/3=5π/12
sin(5π/12)
=sin(π/4 + π/6)
=sin(π/4)cos(π/6)+cos(π/4)sin(π/6)
=(√6+√2)/4
由正弦定理得
GD / sin∠GHD
= HD / sin∠HGD =2√2
解得GD=1+√3
设正六边形边长为a，连接A、C，则三角形ACG为等腰直角三角形
故AC=CG=a+1+√3
又因为三角形ABC是顶角为2π/3的等腰三角形
所以AC=√3 BC
即a+1+√3=√3a
解得a=(√3+1)/(√3-1)=2+√3
立得EH=a-2=√3
证毕
其實如果解出根號三之後也可以用Angle bisector property來解?那一條邊的長度而不用證明全等三角形
设那个标角度的点为A，设这个正多边形为正六边形ABCDEF(顺时针排列)，图形最左下角的角为G，AG交ED于H。以正六边形的中心为坐标原点，以向量EB方向为x轴正方向，以向量CA方向为y轴正方向。
设六边形边长为2a
则A(a,(√3)a),E(-2a,0),D(-a,-√3 a)
由给定的∠FAG=π/2以及点A可得
AG:x-y+(√3-1)a=0
由正六边形的几何性质得
∠EDC=2π/3
则ED斜率k=tan(2π/3)=-√3
再由E点坐标得
ED:√3x+y+2√3 a=0
联立AG与ED的方程解得
H((2√3-5)a,(3√3-6)a)
再由两点间距离公式得
∣DH∣²
=[(2√3-5)a-(-a)]²+[(3√3-6)a-(-√3a)]²
=4a²(7-4√3)
=4a²[2²+2*2*√3+(√3)²]
=16a²(2-√3)²=4
解得a=1/(2(2-√3))=(2+√3)/2
即∣ED∣=2a=2+√3
即得∣EH∣=∣ED∣-∣HD∣=√3
证毕
解析几何，不太需要动脑纸
60度直角三角形邊長比即可解 設目標x
左下三角形畫高得高sqrt3
六邊形邊長(2+x)
六邊形上下距離(2+x)*sqrt3
3+sqrt3+x=sqrt3(2+x)=2sqrt3+xsqrt3
3-sqrt3=x(1-sqrt3)
x=sqrt3
其實是rhs不是asa
「只給這些資訊…？」這資訊超充足的好嗎！
--這是我看到這題的第一反應（直覺）
不過我想到的方式也是用三角函數解⋯⋯
感覺學會的工具越多，越會只記住比較萬用的工具，簡單又優雅的作法反而想不起來
這個題目如果丟給國中的我，可能反而比較有機會想得出影片這種解法吧
我也是直接用三角函數算，三角函數太方便
設正六邊型每邊長l,在45度的角作垂線高h,這邊高h與與右邊二個邊長是一個頂角120度的腰三角形,因此h就是根號3x
同時h與底邊及延長線會組成一個45度角的等腰直角三形,即左的那個小三角形的底邊就是(根號3-1)x
觀察左下的小三角形,最左下剛已求出45度,2與(根號3-1)x是60度(180-120),即剩下的角也是可求出為75(180-45-60)
然後有二條邊,一條是2,一條是(根號3-1)x
用正弦就能求出x (根號3-1)x/sin75=2/sin45 (sing75)真不會算（不準用計數機就用sin(75)=sin(30+45),sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB）
即可求出x(一方程一未知數必有解)
然後x-2為解
設問號為x，六邊形邊長x+2
六邊形從45°那個角開始
順時鐘依序命名為ABCDEF
左下小三角形最外面的角命名為G
左上再畫一個正三角形∇，最外面的角命名為H
AG交六邊形的點命名為I
好了前置作業完成，解題開始
連結AC讓ΔACG成為等腰直角三角形
AC=CG=(x+2)√3
DG=CG-CD=(x+2)(√3-1)
此時看左上，AH=2(x+2)
由於ΔAHI和ΔDGI相似
故AH：DG=2：(√3-1)=HI：DI=(2x+2)：2
答：x=(2/(√3-1))-1，奇怪哪算錯了?