天才数学者たちを震え上がらせたヤバすぎる定理【ゆっくり解説】

[@ロムねこの部屋]

ゲーデルの不完全性定理で一番大事なのは、完全性が失われている所があれど、今の公理系が無矛盾性を担保している事で、要するに形式数学全体で見たら｢無矛盾で完全な物｣は作れないが、要点を上手く絞れば、｢無矛盾で完全な物｣がある可能性がある事が証明されている事で、更に言えばもっと大きな特定の状態にとって無矛盾な公理を使って、完全性があるように振る舞う公理も作れる
そういう意味で、形式数学は答えを与えないことはあるけれども、答えがあれば必ず正しいと証明したゲーデルの不完全性定理は凄く偉い

[@ST-gs6ul]

そう、不完全性定理は数学を発展させたものであり、否定するものでは決してない。
爆発律から「体系Pに矛盾が存在する」⇒「Pにおける命題すべてが証明可能」
よって「Pに証明不可能な命題がある」⇒「Pは無矛盾である」
したがって、証明不可能な命題であるゲーデル文を含む数学は無矛盾である。
このように、見方を変えれば「数学の無矛盾性を証明する」ことでもある。
よく「完全なものは存在しない！」みたいによく知らない人がスピリチュアル的に使うのが気に障るところだけど……。定理は定理以上のことを語らない。神の存在に言及することも、数学の品位を貶めることもしない。人間がその定理をさらに数学のために利用するのみ。

[@のな-o5p]

完全性定理と不完全性定理。
精神を病んでいるから証明出来たのか、
証明出来たから精神を病んだのか。

[@山崎洋一-j8c]

そして、別動画で紹介されていた集合の濃度に関する「連続体仮説」が、標準的な集合論の公理システム（ZFC）で証明できない命題であることが後に分かるというドラマ。
しかも「連続体仮説が真である」という公理をZFCに追加しても矛盾は生じず、逆に「偽である」という公理を追加しても矛盾は生じないという驚くべき事態に……

[@sonicck777]

詳しく教えてくださいな

[@山崎洋一-j8c]

@@sonicck777さん 　〈集合〉の定義を「ものの集まり」のように素朴にしていると、「ラッセルのパラドックス」など問題がいろいろ起きる（たとえば「すべての集合の集合」も〈集合〉と認めるとヤバい）ので、ツェルメロやフレンケルが集合論の公理を考案し整備しました。この公理システムは彼らの頭文字でZFと呼ばれ、現在の数学はこのZFを基礎としていることになっています（さらに「選択公理」という、認めてよいかどうか直観的に微妙な公理も加えるのが普通で、それはZFCと呼ばれる）。
ところで、2つの集合に1対1対応があるとき｛濃度が等しい」とみなすと、有理数全体は自然数全体と濃度が等しく、これらは可算集合（「番号付けられる集合」という意味）と呼ばれます。無理数全体や実数全体（これら同士は濃度が等しい）は、可尊集合より濃度が大きいことが証明できます。この2種の濃度の「間」の濃度をもつ集合は無いだろう、という予想が「連続体仮説」です（ヒルベルトが1900年に提唱した「23の問題」の第1番目がこれだったり）。
「不完全性定理」で有名なゲーデルが、その後の1940年に「ZFに連続体仮説を付け加えても矛盾が生じない」ことを（それらをすべて満たす“モデル”の存在を示すことで）証明しました。1963年にはコーエンが逆に「ZFに連続体仮説の否定を付け加えても矛盾が生じない」ことを証明。結局、ZFやZFCからは「連続体仮説」が真とも偽とも証明できないことが判明したわけです。
ZFよりもっと強力な公理システムを使えば（不完全性定理により、それでも何らかの証明不可能な命題は生じるはずですが）、「連続体仮説」の真偽が決定できる可能性はあります。しかし現在までのところ、ZFより優れた集合論のシステムを誰も作れていません。

[@sonicck777]

@@山崎洋一-j8c なんと…連続体仮説は知っていましたが、公理システムに真偽のどちらを付け加えても成り立つのは知りませんでした…

[@zafarb4219]

は@@sonicck777 私が見ているある数学系RUclipsrの有識者が言ったんです……「数学の命題に対しては三つの選択肢がある。命題が正しい、命題が間違っている、または自分で好きに選んで良い」と。だから連続体仮説に関して真か偽のどちらかを選んでいる時点で、各々の数学者はそれぞれ違った数学の世界を構築していると考えられますね。（数学を「発見」するのではなく「構築」するという考え方が僕は好きです）

[@you-ec9ti]

HELLSINGで少佐が、自分の狂気を神が証明するなら神の正気は誰が証明するのか？と言ってたけどこういう事か

[@myasumitsu]

ありがとうございます！

[@777bucky7]

正しいか間違ってるかよく分からない命題ｘがあったとき、「ｘが真か偽かを証明することはできない」ということを示すのもかなり大変らしいですね。

[@天才の証明]

それが一番大変説まである

[@ccxxii7816]

平行線公理の証明問題から非ユークリッド幾何学の存在に気づくとか？

[@自称トップ5]

らしいですねって言われても、普通に直感的にはそれは難しそうに思えるけどね笑

[@azuma8119]

「システム単体でそのシステムに矛盾が無いことを説明できない」という話から思い浮かんだちょっと違った観点の話だが、漢字は漢字だけの文字システムの中ではその発音を記述することが出来ず、発音を表すには別の記号体系が必要となる。それは英語やフランス語でも同じであり、発音を表す音声記号という物が１９世紀頃から使われるようになった。それを考えると「ひらがな」というのは発音記号として非常に早くから使われており、日本語が何故複数の文字システムを使うかの説明となるのでは無いだろうか。

[@final-bento]

動画で「システム」と言っているのは正確には「公理系」と言うべきところですね。なまじ「システム」と言う日常的な用語を用いたために誤解が生じている部分もあるようです。

[@aetos382]

全然関係ないけど、「ゲーデルの不完全性定理」「ハイゼンベルクの不確定性原理」「アロウの不可能性定理」とかを並べるのが好き。

[@user-steroid.]

三段活用やめて～

[@田中炭太郎]

@@user-steroid.5段活用

[@ADATARA_Mountain]

「自然言語はどうしても曖昧さを見逃してしまいがちだものね」って言葉、めっちゃ知性ある感あってすき

[@イキリト-h9e]

導入うま

[@ジョルジフェルナンデ]

岩波文庫から「ゲーデル 不完全性定理（著：林晋）」という本が出ているので不完全性定理に興味が沸いた方は読んでみるといいかと

[@Δαταμινε]

非常に良い本ですよね。定理自体が載っているし、中途半端な入門書を読んでいて混乱していたのが整理できました。

[@SK-sv6fh]

ちょっと書店行ってきます

[@ブラボー-g3m]

興味あるけど文系の自分何言ってるか絶対分からないやつだわ

[@torumatsuoka4609]

「魔理沙は正直でとても良い人だわ」がすらっと言える関係性尊い……ｳｯ(絶命)

[@lol-uz7hl]

溶ける……ああ……ｼｵｼｵ

[@saka32006]

​@@lol-uz7hl 😅😅😅😅😅😅😅😅

[@nakano626]

ﾚｲﾏﾘ…

[@user-river_mountain]

レイマリてぇてぇ…

[@お餅-b5y]

死ぬなああああ

[@prounder8410]

第２定理は身近なもので例えると定規で自分自身を測っても自分自身の目盛りが正しいかどうかの証明にはならない、という話ですな。

[@星雲男子大学]

天才かもしれない

[@けち-s6x]

ゲーデルの不完全性定理は数学の不完全性を証明したとか誤解されやすいが、
そういうことじゃないのです。

[@聡福地]

それ別の動画でやっていたがかなり面白かったよ

[@yaga-95]

不完全って聞くとどこか数学が壊れているように聞こえるけどそんなことはなくて、ある条件化では「完全」って名前のついた性質が成り立たないってだけ
あと、その条件(11:11)にある「再帰的な」を消せば自然数の範囲内でも完全にできるらしい

[@yamero_neko]

プログラミングの学校に行ってた頃
「404(not found)このページは存在しません。って矛盾してるよね〜」
って友達に話したら
「矛盾してない！」ってつっぱねられたことある
今思い出しても悲しい

[@fpkqt2m]

クソリプ失礼します。
「この」が曖昧なのですかね。
404のページは、存在しないページのURLが解決できなくてリダイレクトした先のページなので
「あなたがアクセスしようとしたページは存在しませんでした。」になりそう。

[@星雲男子大学]

「矛盾」ではなくて「嘘」なんだよね。
存在しないURLが要求されたときに、
「存在しないことを示すエラー専用のページ」に「転送」してるのよ。
なので、「そ」のページは存在しません、というのが正しい。
とはいえ、そんな正しさなんかのためにわかりにくくする必要もない。
だから「こ」のページはありません、と嘘をついているのが404ページっす。

[@user-so7rl6md4h]

すまんが、チミがおかしいよな
屁理屈だぞそれ
モテねーだろ

[@sqrte]

ゲーテルの不完全性定理を論理に持ち出すときはある程度の算術を含む無矛盾な形式体系だけにしてください…決して哲学とかに持ち出さないように…
あと一般的な意味の「不完全」と数学的な意味の「不完全」は違いますので…

[@るびぃ-b1g]

嘘つきが一生嘘しか言わないわけではないものなぁ（文系脳的考え）

[@user-ke-ji]

こんな意味わからん命題を数式に置き換えたゲーデルさんすげえな、って思った（不勉強理系的考え

[@聖火台]

この命題を数字に置き換えるやり方は現代では普通にコンピュータとかで使われてますよ
もちろんこんなゲーデル数では無いですが

[@蘇民将来]

ニーチェもそうだけど、ゲーデルの晩年も大変。
人類未踏の思索の山に初登頂成功する偉人は、なぜか平凡な幸せとは相容れない。

[@YAMANOBE0811]

ホフスタッター氏の「ゲーデル、エッシャー、バッハ」という本が興味深いですね。ゲーデル氏も、作中で重要な役割をしていますね。

[@ktakaki]

GEBは、学生時代、僕も読みました。情報工学を専攻していたので、興味深く読み始めたものの、完読できず。
この本のテーマは、自己言及と、そこからくるパラドックスを中心に据えて、多岐な分野に扱っていましたね。
今は仕事が忙しいですが、定年後には、もう一度、今度こそ完読したいです。

[@shimazakichuui]

「長門、なんとなく俺にもわかったような気がするぜ」
「・・・そう・・・」

[@うどんげ視聴専用]

どこかで見た話だと思ったらハルヒの中で出てきたんだ❗️やっぱり長門ちゃんは賢いな。😊

[@kinojun]

4:57 プログラミングしてると、こういうの問題になって、頭を悩ませたりする

[@tm6287]

15:01 巫女さんしっかりして

[@takey0urhands]

数学のいろんな条件ってのは基本的にどれも優先順位がないんだな

[@りゅーせい-s2b]

最上位のシステムの完全性を証明できないという事は、そのシステムが証明しているシステム(つまり全てのシステム)は完全性を証明できないのか、恐ろしいな

[@沙流汰彦]

絶対的権力は絶対的に腐敗する😊

[@nenu-nenu]

ゲーデル「嫁の手料理以外、毒を盛られてる可能性があるから、嫁の手料理以外食べない！！」
愛は信じてた模様。
あと、アインシュタインがアメリカへの亡命を手助けするもアメリカ連邦法に欠陥がある！と叫びだして失敗した模様。

[@zi3ytb]

アインシュタインとお友達だったゲーデルが、一緒に米国に亡命する際、米国憲法を読んだゲーデルが「米国は独裁国家になる可能性がある！」と騒ぎだしたので、アインシュタインが慌ててその場を取り繕ったので、なんとか無事2人とも亡命出来たって話やねん。
ま、毒が怖いからか、嫁のメシしか食わないと言う厳密性を守って餓えタヒしたのは何か泣けるケドね。

[@ウスター-w9r]

15:22　最上位のシステムはそれより上位のシステムが存在しないから「矛盾がないことが証明できない」だけであって、矛盾があるかないかは「わからない」ように見えるけど、そしたら全知全能の神様の存在も否定はできないのでは…？

[@takuoumetsu5510]

神様はこのシステムを作った存在なのだから人間にとって不完全だと思える事柄（ルール）があったとしてもそれは人間にとっての事柄（ルール）であって神様が作ったシステムにとって不完全な事柄（ルール）ではないのではと思いました。
全知全能の神が作ったルールに対して人間がそのルールは間違ってるのではと言っても人間は全知全能ではないのでそのルールが正しいのか間違っているのか判断はつかないみたいな。

[@かるしうむ-o8q]

霊夢の噛み砕き方が神すぎる

[@ねるねるねるね-c2i]

最後の神様のくだり、証明できない⇔存在しないとはならなくないですか

[@星雲男子大学]

存在しないと考えても何も問題ないっていうアレ。
観測可能な宇宙の外の世界とかと同じ。

[@ああ-l4x7f]

全知全能の神に「全知全能を超える神様を作ってください」と頼むとする。
できない→全知全能ではない
できる→全知全能を超えた存在よりも自分は劣る存在になって、全知全能の神とは言えなくなる。
そして「全知全能を超えた全知全能の神」に「あなたを超える存在を作ってください」
の無限ループ。
それでも全知全能が存在するとするなら、それは個の存在ではなく無限にループする過程そのもの。
それはもはや全知全能を作り出す無限の過程であり「存在」ではない。
ゆえに存在しない

[@mk46464]

ゲーデルの不完全定理の前提として、その定理が必要とする公理内部では証明も反証も不可能だという話であって、選択公理を使えば反証が可能です。

[@sanmao398]

ペアノの選択公理を含んだ公理系が無矛盾であると証明できたのですか？

[@Yucky_Lucky]

6:26 以前に同じパラドックスを唱えた数学者は居たかもしれないが
例え話として分かりやすく「全能の神は『決して砕けぬ岩』を作れるか？」と
言ってしまった為、教会から抹殺されてしまったのだろう・・・
物心二元論のデカルトに感謝！

[@neoseek5140]

不完全性定理が数学界に革命をもたらした
って結構みんな使う表現だけど、これはとんでもない誇張で、不完全性定理の社会における誤解が典型的なものであるっていうのがよくわかるなこの投稿者。

[@thunderhawk2301]

楽しめないならブラバ

[@とあるアイマリン好き]

高1の時に命題よく読んだらなんかおかしくね？って問題が定期テストに出てそれを指摘してみんな分かるようになったら面白くないからテスト返ってきてから先生にそれを言ったら次の授業の時に「そもそも命題として成立してない」っていう返答があった
「命題Xは証明できない」っていう命題に真も偽もつけられないなら「そもそも命題ではない」っていうことにはならないんだろうか

[@コウモト-j8y]

大学でペアノシステムの勉強しているからちょうどよかった

[@pieapp]

意味はわからんがとにかくすげえことだ

[@kusa93kusa]

1:53
ここすき！

[@植松京子]

7:20ヒルベルト
9:50不完全性定理

[@kantoheiya]

巫女に神の存在/不在を質問するなｗ

[@彪アヤ]

日本の神は全知全能じゃないからセーフ

[@quelqu_un..]

完全性定理の解説もやってほしい

[@eclipse-dw9yp]

ただの言葉あそびにしか思えないからゲーデルの証明の数式を軽〜くでもいいから見たかった

[@ツオ-s2f]

あれ、この話のあとに『自然数をちゃんと定義しよう』って話にならなかったっけ？

[@ghoti9992]

1+1は2じゃねえ！200だ！10倍だぞ10倍！！！
~テンコジの定理（コヒマの定理）~
この定理が示すことはただ一つ
数学は完全じゃなくてもいい

[@scp-682ver.Bright]

1+1=√2だ！
(ベクトル)

[@kakudaitai]

1+1=0 でもいいじゃないかというと長生きできないらしい

[@沙流汰彦]

そうだそうだ😊

[@kaz-jn7ro]

再帰的(人間が扱えて役に立つ)という制約を外せば完全な理論は作れるので
最初から全ての命題の真偽を知っている全知全能の神は不完全性定理に縛られない。
何を聞いても「知ってるから真」にしかならないので役に立たないけど

[@おくのほそみち-p1k]

2:59の説明、正直者でも間違えることはあると思っちゃったんだけど…

[@milchholstein884]

証明できない命題が存在することを証明したってなんかすごい。

[@gene3196]

よくわからなかったが、現在の自然科学は完璧ではないのは数学が完璧ではないとこにも起因しているのかもね。

[@天才の証明]

「数学」全般の話ではない

[@星雲男子大学]

@@天才の証明 そこに目くじら立てる必要はなくない？
自然科学のほとんどは数学のうちの、特に公理的集合論をベースにしいてるんだし

[@天才の証明]

数学の証明の過程を見て、個人的には一番天才だなと思った人だったな

[@bennoarchimboldi6245]

きっしょ、こいつ数学科でさえなさそう
仮に数学科ならFランそう

[@Hazama-no-Hito]

「矛盾が発生するのは言語が原因じゃね？」
そもそも数学自体が言語の一つであり、記号に言葉と意味を詰め込んだにすぎない。
割り切れないこの世を言葉で割り切ろうとする時点で、そこに矛盾が発生する。
言葉で条件を適切に設定し、世界を切りに切り落とした狭い檻の中でしか唯一解は発生しない。
定義を作れば定義外のものも自然発生する。
この世の全ては語り得ぬのだ。

[@user-ce4rpMOTHgj1ck]

なんだろう、わかってないけどわかった気になってる奴がとりあえずそれらしい理屈こねてみた感が．．．すごいｗ

[@hirokahhh8011]

数式の不完全性を数式で証明とかいうロマン

[@round_rolling_rolls]

数学の話をする霊夢と魔理沙が何故か可愛い

[@邪無]

証明できないと証明することはできるのですかね？

[@zi3ytb]

うん。クルト・ゲーデルさんが、「数学的に証明できない事がある」と言う事を証明したのが不完全性定理だから、既に出来ている。
証明出来ない問題が存在する事を証明してるのだから。

[@あーくん-i8x]

ゲーデルの不完全性定理はまさに数学で証明できない命題がある事を証明してる。例を挙げると連続体仮説

[@邪無]

@@あーくん-i8x あるということはこの動画で理解できたのですが、「この命題は証明できない」などと証明する事は可能なのでしょうかね？それも不完全なのでしょうか

[@VOICEROID-vd4cz]

@@邪無
公理(先に正しいと認めてしまう文)からある命題Pが証明も反証もできないというのは、「公理とPを満たす実例」と「公理を満たすがPを満たさない実例」を見つけることで示せます。
例えば、公理として
「足し算ができる」
「足し算は交換法則が成り立つ」
「足し算は結合法則が成り立つ」
この3つの文を認めましょう。
ここから、命題「足しても変わらない数がある」ことは証明できません。
実例1:整数は公理と命題両方を満たします。
実例2:正整数は、公理を満たしますが命題は満たしません。
命題が成り立つ実例と成り立たない実例を見つけたので、この命題は証明も反証もできません。
今回は公理をかなり緩めに設定しましたが、通常の数学でもおおまかな方針は変わりません。

[@邪無]

@@VOICEROID-vd4cz わかりやすい例で解説して下さり大変ありがとうございます

[@sepa3435]

♪クレタの女は～うそ～つきだあ～って～ クレタから来たあの娘がそういうの～～

[@tannak7572]

嘘つきでも常に嘘をつくわけじゃない。嘘をつくには条件、理由があるはずだ。正直者も常に嘘をつかないわけじゃない。現実世界ではそうだよね。それも含めると、もはや「証明」できないねｗ

[@zi3ytb]

それが普通の大人の考え方だよね。今では「私は嘘つきである」なんて言葉もそう解釈出来る。
でも、中高校生くらいの数学スゲーと思ってた頃、この自己矛盾する文を見た時、頭がおかしくなりそうだった。大人になって数学的な頭が悪くなったのか、それとも色々な解釈が出来る様な精神状態になったのか、わからないけれど、「時と場合によって…だろ」とスグに考える様になった。ツマラナイ大人になったのかなぁ？

[@カランコエ-j4i]

ここで言う「嘘つき」は、別に性格の嘘つきを示しているわけじゃない。「嘘しか言わない人」を嘘つきと称しているだけ

[@星雲男子大学]

@@カランコエ-j4i
いや、もっと正確にいうなら「嘘」そのものを「嘘つき」に例えてる。
「この命題は嘘である」という命題は嘘とも本当とも言えない、というのをわかりやすくするために擬人化して説明してるだけ。
そこを、「人は嘘も本当のこともどっちもいうだろ」なんて突っ込むのは本質を何も理解していない証拠。

[@あろ-q3u]

嘘つきの話とか、否定の否定？みたいなのって矛盾出るなーってのガキの頃思った記憶あるー

[@星雲男子大学]

否定的自己言及

[@チョコバナナ新川]

25でこんなの見つけるとかヤバない？

[@さっつん-l6m]

別に不能じゃなくて不定なだけなんじゃないのか、定義者の裁量でどちらにもなりうるという

[@橋本正弘-v3f]

ラッセルの床屋は女性である、なぜなら髭が生えないから・・・

[@19cm99]

多湖輝先生の本にありましたね。

[@らら-d2q]

NHKで同じ内容の番組やってた

[@piyashirikozo]

現実には　嘘がつけない人は居るかも　だが，嘘つきが必ずしも嘘をつくとは限らないからな。

[@うどんげ視聴専用]

「無矛盾な公理的集合論は自己そのものの無矛盾性を証明できないから」→というセリフが涼宮ハルヒの憂鬱という作品で出てくるのですが、これってゲーデルの話だったんですね。こんなことをさらっと会話の中に出せるってどんだけ知的レベルが高い高校生なんだか…😅。

[@user-tk2gx6u2sj]

ゼロ反復性は…捻じれ反復性と言い換え可能である…ゼロ反復性に準拠する空間内の不変量…#(0)…#(1)…#(e ^x)…で捻じれ連続性が確認できる…エッシャーの騙し絵は…不変量シフトで現実の絵に変質する…エッシャーの騙し絵は…電場磁場の捻じれ現象として観測可能である…

[@crystalhaze]

苫米地英人さんも同じこと言ってたな...

[@rodechang]

今日のオチは冴えてたな

[@clanrevi3131]

全知全能の神はペアノ公理がもとなのか、、、

[@高里要-v5p]

唯一の神がそれを自称すると不完全性定理第二に反してしまうから一神教の神様はもどかしいでしょうね～

[@天才の証明]

そう言うパラドックスもあるけど、
不完全性定理じゃないよ.....

[@5kkkk]

「全知全能の神」を証明できないことしか言ってない。
「神」というシステムより強力なシステムは存在しないから定理から外れてると思う。
さらに君のは神が存在しないから存在しないって言うようなもんで、不完全性定理に反してる

[@ccxxii7816]

いや旧約の序盤だと「われら」とか言ってるから唯一じゃないぞ。

[@菅沼域雄]

まず、嘘つきは、必ず嘘をつく
って命題が誤りなのですよ。
嘘つきは自分自身にとって都合が良い時と、都合が悪い時にもウソをつくのです。
そして、ウソつきにとっては、自分が信用されていないことも大きな武器と成り得ますね。

[@菅沼域雄]

落語で、なんという題名か忘れましたが、
コイツは嘘つきはでは無い!
本当のことはたまにしか言わ無い、
ホントつきだ!
なんてな。

[@user-rz4py6xq9n]

😅

[@フクロット]

仮定したんだろうね

[@fum1y462]

さぁみんな
とりあえず論理学と数学基礎論をやった上でゲーデルの証明と論理哲学論考を読もう

[@minato9830]

霊夢(神主)「神様って何かしら？」

[@黒猫にゃん-i7n]

当たり前に使っている事だけど、故に、〜において、〜より、〜だからを曖昧な日本語表記で証明に使って良いとしているのも数学的には矛盾してそうな気もする

[@野端啓司]

もし仮に、ある前提において解けない問題があっても、その前提が変われば、解けるかもしれない。
現実においてはそうだし、数学においてもそうではないのか。
本当にそうだとすると、この不完全性定理の意味が変わるが。

[@ジェスター-v1n]

最後の全知全能の神様が居ないってどういう結論？

[@NamaikiSBOW]

全知全能おらんから宇宙に意識が生じてるっちゅう結論や

[@gongon505]

宇宙には果てがない、という命題の真偽はいつかわかるのかな？😅

[@ウーロンハイ-u7w]

言語を数式に置き換えるってなんだよ。置換で変わるのって記号の見やすさだけじゃないんか？

[@zi3ytb]

クルト・ゲーデル様の頭脳は神がかっていた。
「数学では証明出来ない事があると言う証明」をしてしまったんだからなぁ。
ひと言で言えば「カッコいい変人」又は「数学界の中二病」。
死の間際に、神の存在を証明したと言う手紙を残して散った孤高の人。カッコいい、何だか憧れてしまう。

[@天才の証明]

「数学」全般の話ではない

[@星雲男子大学]

神の存在というのが何を指すのかわからないけど、
第2定理の対偶を取るだけで近いことは言えそう。
第2定理の対偶は「システムの無矛盾が証明できるなら、その証明はシステム単体によるものではない」になる。
なので「この世が無矛盾」であることを証明できれば、それはもはや「この世単体で為せる技ではない」ので、あの世の存在が確定する。
コンセプトはこんな感じで、これに毛を生やすだけで「神の存在」も確定できます

[@denta_RTA]

動画の内容によれば
どうやら1÷2（1+2）みたいな式で答えが複数出てくるのも不完全性定理で片付けられるっぽいな

[@フクロット]

正確に言うと定理不足

[@フクロット]

定義不足

[@NamaikiSBOW]

想念世界の怪やでぇぇ

[@怖い洗脳]

音声が聞きづらい

[@gosentry9620]

公理、公準が証明不要とされている、神が存在すると同じ。
隣の村の床屋で髭を剃る。

[@英明遠藤-t8m]

自然数、整数、複素数、四元数、八元数、、、

[@ToooouK]

なんかこういうの1人で見ると怖くなっちゃうのなんで

[@焼肉ブリブリ]

つまり「全知全能の神を信じる」と言いはる某宗教の信者は、何も言ってないのと同じだな。
議論するだけ時間と労力の無駄

[@lutesnest1353]

嘘つきのパラドックスは本当に有益だな。

[@envyjunior134]

神様は全知全能だから我々人類にはとうてい理解できない解決方法で自身が全知全能だということをきっと証明してくれるはずさ

[@user-myoooon]

問
全知全能の神は自分より上位の存在を作れるか？
回答
作れる がそれをした時点で全知全能では無くなる
こういう方法が思いついた

[@zi3ytb]

全知全能の神ならば、その神も知らない秘密を作って教えてくれ。
また「人類には理解出来ない解決方法」を理解出来る様に説明して下さい。
今すぐ。全知全能なら出来るハズです。
取りあえず、波動関数の収縮がなぜその値に決まるのか、とか、完全にランダムな数列を発生させる関数とか教えて欲しい。

[@louisneues6262]

全知全能は我々に関わるシステムの外には存在するかもしれない　ただ存在してもしなくても我々に関与することはない　なぜなら現時点で我々自身に全知全能性がないから　我々のシステム内に全知全能が存在するなら我々自身も全知全能である　全能なのだから関わる全てを全能にできていなければおかしい　なので我々に関与できない全能性を検討しても意味はない

[@ccxxii7816]

まず聖書の神は全知でも全能でもないわ。ヤコブと格闘して負けてるし。

[@p-rock5936]

全知全能の神は自分で持ち上げられない大岩を創造できるか？
創造できないなら全能ではないし、創った大岩を持ち上げられなくても全能ではない
よって神はその全能性を失わないために、そのような大岩を創造することはないという
つまり「出来ないのではなくやらないだけ。本気出したら出来る」と言い続けて何もしないお前らは神様だったわけだｗ

[@Dear-o4v]

こういうものこそ場合分けじゃないんか

[@223系新快速-i7g]

最後にしれっと一神教の限界を提示していますねえ

[@ktakaki]

循環論法ですね。イスラム教のクルアーン(コーラン)なんかも、解釈によっては、アラーに関する説明が循環論法っぽかったなあ。

[@一言増量中]

「嘘つき」は必ず「嘘をつく」とは限らないので矛盾してないだろ。また「床屋さん」は「自分で髭を剃らない客」の髭を剃るんだからやはり矛盾してない、なぜなら自分は客じゃないので。

[@ドラえもん大好きな人]

なんもわかってないな

[@mieumieu8417]

絶対に解けない問題がそこにはある。

[@orimupitsuku]

嘘つきのパラドックスはなんか紹介の仕方がおかしい気がする。
嘘つき（？）の最初の言葉が疑問文だとYES・NOでは答えられない。嘘つきでも質問自体には矛盾は含まれない。
ラッセルの床屋のパラドックスも少し違う気がする。その村には村人は自分の髭は自分で剃ってはいけないというルールがあるという形の話はあまり聞かない。
本来もう少しシンプルで、床屋は自分で髭を剃らない人の髭だけ剃るというものだったと思う。

[@アオイ白羽]

文系の人にも数学に興味を持ってもらおうとし解説を挙げていただくのは大変ありがたく、素晴らしいとは思うのですが、数学基礎論を学んでいるものとしていくつか。まず、ゲーデルの不完全性定理を「神」の不可能性と関連付けるのは全くもって可笑しいのでで、それはやめて頂きたいですね。あれは数学的に定義された「証明」という概念に基づく言明です。更には、動画でも仰っていたように自然数としての最低限度の要件(ロビンソンの体系など)を含むようなω無矛盾な(公理的な)数学の理論についての話なので、神の何たらみたいな話とは全く異なります。
また、ゲーデルの不完全性定理は、このように我々にとってある意味で当たり前な自然数に基づく一般な理論に関する命題ですから、普遍性があり、数学的には価値があるものとは思いますが、別にゲーデルの不完全性定理以後で、数学が劇的に変わったみたいなことはないんじゃないかなと思います。ヒルベルトプログラムは一つのアプローチが崩れただけで終わったわけではないし、今でも研究されている学者さんもいます。
因みに貴殿がどのような定義で、無矛盾性を定義しているのかがわからないのでなんとも言えませんが、もし数学的な意味で「無矛盾」と言っているのなら動画では「無矛盾性とω無矛盾性」を同一視していると思われます。実際に両者は別物で、無矛盾かつω矛盾するような命題も存在します。「ゲーデルの不完全性定理」は「ω無矛盾性」についての定理なので、この辺は混同しないようにしないでほしいです。
※なお、ω無矛盾を無矛盾に変えた場合でも不完全性定理が成立することはゲーデルの不完全性定理の発表の後ロッサー氏が正しいことを証明したので動画で言っていることは間違いではありません。
なお、完全な体系というのもめちゃくちゃあります(例えばPresburger arithmeticなど)。
また、不完全性定理の証明をみるとある意味で嘘つきのパラドックスのような手段である対角可能定理が用いられており、狐につままれた印象を持つ人もいると思いますが、実際にはこのような構成法に頼らなくても具体的な不完全な命題も数多くあります。例えば、公理系ZFにおける連続体仮説や選択公理、決定性の公理などがそれに該当します。実際、ある公理系とある命題の関係性を探る分野は今基礎論でも盛んに研究されている分野です。逆にある命題を成り立たせるような公理系を探すような逆数学と呼ばれるアプローチで研究されている学者さんもいらっしゃいます。

[@アオイ白羽]

はっきり言って数学の厳密性とわかりやすさ重視のエンタメの両立は難しいです。ひたすらに論理をまっすぐ追い求めるのが数学という学問なので、泥臭く、とてもエレガントとは呼べない証明も数多くあります。それを要点だけ噛み砕いてわかった気になってしまうことは少しもったいない気がしてしまいます。ですから、動画の視聴者のみなさんも折角ならせまひこの機会に様々な数学を学んでみてほしいです。
ps.動画の制作者様.お互い数学を愛するものとしてこれからも一緒に頑張っていきましょう。

[@HisaoAoyama-u5p]

日本で基礎論やってるんですね。尊敬します。
遥か昔の話ですが、私も学部は数学科で基礎論をやりたいと思っていた時期がありました。しかし、自分の大学には基礎論やっている人はおらず、（多分、輪講の指導教授に）基礎論やりたいと言ったら「基礎論？　筑波にそういう人いたかな。それくらいだと思う」と言われて、院で筑波行きたくないなとか、職業としての数学者と考えた場合に基礎論はまずいんじゃないか、と考えあっさり断念しました。
結局、数学以外の道に進んで、人生の選択としてはそれでよかったようにも思います。しかし、その当時基礎論でどんな研究がどのくらい活発に行われていたか調べたわけでもなく、筑波の先生に連絡をとってみようともせずあきらめた自分が情けなく感じます。

[@gongon505]

神の完全性は、神学者のトマスアクィナスが証明していたような。😅

[@contedete]

日本語は「ゲーデル」でも「ゲーテル」でもいいというシステムなの？
ゲーデルが途中からゲーテルに変わってる。

[@yinyangyen]

そうだ！ヒルベルトの口髭を剃らずにあご髭を剃れば、矛盾がないはずだっ(確信)

[@ほーきん-i7d]

正しいとも間違っているとも言えない命題って命題じゃないって高校の数学の教科書に書いてあるよ。てかそんなのは命題でもなんでもない

[@天才の証明]

真理値関数で一応真偽値は付けられるし、今の基礎論の命題の定義はまたちょっと違うんよな
高校の定義は割と情報古いから仕方ないけど

[@redanntube]

今じゃ、プログラムが正しい事を証明するプログラムも作っているんだぜ😅

[@qvlmowa3451]

全知全能のシステムはもはや公理ってことにすればいいんじゃね？

[@mas_suz]

「全知全能の神はいない」はだいぶ乱暴すぎる言い方かな。「数学で」「言語で」「論理で」とどの表現を使うかは個々人のセンスだけど、「言語で説明できない」が正しい言い方かな。数学と神を愛する者としては、この部分、配慮いただきたいところ。

[@zi3ytb]

普通の日常言語として、「神様でも持ち上げられない石を作って下さい。」と言うのは、自己言及のパラドクスと同じ構造だけれど、この様な構文を使うと幾らでも似た様な事が言えてしまうんだよね。
だから「全知全能」と言う言葉を使う限り、厳密に考えれば「その様な神は存在しない」になってしまうから、「創造主としての神は居る」し、「神は多くの謎と矛盾をも作った！」と考えると、数学と神の存在が両立する丁度良い認識を与えてくれるかな。クルト・ゲーデルは、死の間際「神の存在を証明した」と言う手紙を作ったと言われているし。

[@ccxxii7816]

黙って信仰を棄てろ。あの本が事実だったところで、あまりにも危険すぎるわ。

[@福田英人-v2w]

さっぱ分からんかった。他で調べ直してきます。😒☁️

[@福田英人-v2w]

♥マーク、ありがとうございます♪☺️✨

[@ccxxii7816]

非ユークリッド幾何学みたいなやつの話でしょ？

[@mikeneck]

床屋さん「私は女なので自分の髭を剃りませんわ」

[@22ndCB]

8:30 じっちゃんの名はいつもひとつ～あれるぇ～可笑しいぞ～