마지막 경우가 가능하다는 댓글들이 재미있네요. 저도 20년 전에 처음 배울 때는 그렇게 생각했거든요. 처음 보시는 개념이면, 영상은 재미로 보시고요. 영상만 가지고 오류니 뭐니 하면 나중에 흑역사가 될 가능성이 있지 않을까 걱정됩니다. 제대로 알려면 전문가 분에게 엄밀하게 한 스텝 한 스텝 배우시는 게 나을 거 같네요. 심지어 칸토어도 저거 주장했다가 당대의 크로네커에게 심하게 씹히고 원하는 대학에도 교수로 못갔지요.
A와B를 1과 0으로 바꾸어 생각하면 이진수가 되겠지만 1:1 대응이 안되는 것 처럼 보이는데... 어느 부분에 오류가 있는 걸까요? 그리고 1과 0사이의 무리수 같은 경우도 앞의 0을 제외한다면 무한한 자연수가 되는 데 이와 같이 풀이할 경우 1:1 대응이 되지 않는다고 증명할 수 있을 것 같습니다 앞의 두가지 경우를 말로 설명한다면 무한한 크기의 자연수가 무한히 있는 집합은 셀수 없는 무한한 집합이 된다?? 자연수 집합 안에서도 무한한 크기의 자연수가 무한히 있을텐데요.. 제가 한 생각이 어떤 부분에서 잘못된 건 지 알려주시면 감사하겠습니다..
1. 이진수로 바꾸어 생각하면 일대일대응이 안된다: 맞습니다. 가령 0.0111...과 0.1000...은 같은 수(=1/2)를 나타내니 두 집합을 저렇게 대응시키면 일대일대응이라 볼 수 없지요. 다만 확인할 수 있는 것은 그러한 쌍이 아무리 많아도 실수가 자연수보다 터무니없이 많다는 사실을 바꾸지는 못할 만큼만, (2^자연수의 개수)개의 집합과 일대일대응이 가능할 만큼만 많을 것이라는 겁니다. 그런 순서쌍을 적당히 일반화하여 표시하면 0.nnn...nnn0111...과 0.nnn...nnn1000...으로 나타낼 수 있습니다(각 n은 다른 숫자일 수 있습니다). 그럼 이 하나하나가 0.nnn...에 대응되는, 즉 실수(+a)에 대응되는 것으로 볼 수 있을까요? 아니오. 이것들은 대응되지 않습니다. 위의 순서쌍은 0.nnn...nnn에 대응되지, 0.nnn...에 대응되지 않거든요. 즉, 이들은 기껏해야 유리수보다 좁은 무언가에 대응되지, 실수보다 좀 더 넓은 무언가에 대응되지 않습니다. 숫자로 보면 엄밀하지 못할지언정 그 자그만 차이가 더 확대되어 드러납니다. 0.nnn...nnn의 식으로 나타낼 수 있는 수는 1+2+2^2+2^3+...이고, 후자는 2^inf(엄밀히 말해 2^(자연수집합의 크기))입니다. 적당히 뭉개면 차이는 극한표기 하나인데(어거지로 축약하면 lim(n->inf)(2^n-1)?) 전자는 기껏해야 자연수에 일대일대응이 되고(유리수보다 좁으니까) 후자는 영상의 계단논법에 따라 자연수와 절대로 대응이 안되니 신기하죠. 2. 이런 시각에서 바라보면 님이 혼동하신 부분이 어디인지 잘 알 수 있습니다. 무리수는 무한한 크기의 자연수에 대응되는가?->대응되지 않습니다. 자연수 각각은 근본적으로 유한한 자릿수를 가지고 있습니다. 자연수집합의 크기가 무한할지는 몰라도, 자연수가 무한개(엄밀히 자연수개)의 자리수를 갖는다면 애시당초 자연수가 아닙니다. 이것은 자연수가 그저 '딱 떨어지는 무언가'가 아니라 순서를 매기어 셀 수 있는 체계로 만들어졌기 때문입니다. 여기까지 비전문가의 설명이었기에 더욱 자세하고 정확한 설명을 위해서는 학자나 관련 전공자에게 문의하는 걸 권합니다.
이것은 칸토어의 대각선 논법을 간략화해서 무한의 개념에서 "일대일 대응"을 할 수 있는지의 여부를 논설한 것입니다. 결론적으로 얘기했을때 자연수 전체집합(무한개)와 정수전체, 혹은 짝수, 혹은 유리수까지도 모두 남김없이 짝지어 일대일 대응할 수 있다는 것입니다. 이러한 무한을 셀 수 있는 무한이라 부르며, 가산무한이라고도 합니다. 그러나 이를 실수 범위로 확장시키게 되면 얘기가 달라지는데 영상에서 보았듯 대각선으로 이루어진 일대일대응을 시킬 수 없는 경우가 존재하는데, 이러한 무한을 비가산무한이라고 부릅니다. 유리수는 가산무한집합이고 무리수, 실수 범주부터는 비가산 무한집합에 속합니다 놀랍게도, 자연수 전체의 무한과 불과 0과 1사이의 실수조차도 대응하지못하고 실수 쪽이 더 많습니다. 이것은 실수의 연속성, 또는 실수의 조밀한 "농도"의 무한 등 철학적으로 표현되기도 합니다.
문제1: 모든 정수를 자연수에 대응시킬 수 있는가? 답: 가능 0 -> 1, 1-> 2, -1 -> 3, 2 -> 4, -2 -> 5, ... 와 같은 식으로 모두 대응이 가능. 그 어떤 정수 Z를 가져와도 대응하는 자연수가 존재함. 여기서 중요한 것은 정수도, 자연수도 무한함. 문제2: 모든 실수를 자연수에 대응시킬 수 있는가? 답: 불가능 0.1111... -> 1 0.2111... -> 2 ... 처럼 임의로 어떤 실수를 특정 자연수에 대응시키더라도 그 어떤 자연수에도 대응되지 않는 실수 R이 항상 존재함(영상에서 예로 들었던 것과 똑같은 방법으로 보일 수 있음) 따라서 모든 실수를 자연수에 대응시키는 것은 불가능함. (문제1에서 그 어떤 정수를 가져와도 대응하는 자연수가 있었던 것과 상반됨) 똑같은 원리로, 이름이 무한한 A와 B로 이루어진 사람들 중, 각 방의 번호에 대응되지 않는 사람이 존재함. 때문에 이 사람이 카운터에 입장했을 때, 대응하는 방이 없기 때문에 모든 손님을 받을 수 없음.
지나가던 예체대생인데 궁금한게 있어서 댓글 남겨요 마지막 ABAB.. 문제 보다가 생각 난 건데 손님수는 결국 2^(무한) 명이 들어오는 것 같은데 그러면 투숙객들에게 2^(n+1)번방으로 모두 이동하라고 얘기하면 결국 온 손님 수 만큼의 빈 방이 생겨서 빈방에 순서대로 배정하면 해결되지 않나요..? 수학을 깊게 공부하지 않아서 무한대의 크기에 대한 얘기는 이해가 안되지만 이 방식이 적용이 안될 이유가 있으면 누가 해결해주시면 감사할 것 같습니당
모든 투숙객이 그 방법대로 이동했을 때, 빈 방의 갯수를 계산해봅시다. 수열 a_n=2^(n+1)를 나열해보면, 4, 8, 16, 32, 64, ... 이렇게 나옵니다. 이 정수들의 사이에 몇개의 정수가 있는지 나열해보면(4 이전의 1,2,3도 포함), 3, 3, 7, 15, 31, 63, ... 이런 새로운 수열이 나옵니다. 일반항을 구해보면, b_n=3 (n=1) b_n=2^n -1 (n≥2) 이렇게 나옵니다. 이 수열의 합을 구해보면, S_n=2^(n+1)-n 입니다. 즉 S_n은 모든 투숙객이 이동한 후 각 투숙객 사이의 빈 방의 갯수의 합입니다. 새로운 손님의 수를 c_n=2^(n+1)이라고 생각한다면(n은 무한대로 보내질 것이니 이렇게 해도 괜찮지 않을까..하는 억측을 해봤습니다.), S_n < c_n 입니다. 새로 온 손님이 항상 빈 방보다 많습니다. 저는 이런 문제를 접근한 적이 없기에, 높은 확률로 틀렸을 것이라고 생각됩니다! 틀렸다면.. 유감이네요..
2^n 명이 아니고 셀수 없는 사람이 들어오는 경우입니다. 무한히 어떻게 들어오든 셀 수 있으면 방을 배정할수 있는데 셀수 없는 경우 방 배정이 안되요. 셀수 없다는 의미는 실수에서 0 .5 바로 다음 수를 찾아보라는 의미입니다. 0.5000000000000000000000001? 아니죠. 끝없이 내려가아 하는데 그 끝없음에 셀수있는 그 다음수를 못 찾습니다. 이에비해 정수는 무한의 n 다음수는 바로 n+1이라고 지정할수 있죠
1. 다시 버스에 태운다 이건 좌석번호가 있는 버스에 태운다는 의미로 이해하겠습니다. 좌석번호가 있는 버스에 태울 수 있다면 처음부터 호텔에 수용할 수 있습니다. 좌석번호로 지정할 수 있다는 의미니까요. 2. 3을 곱해 홀수 방으로 배정한다 이는 오타같지만 만약 앞서 2를 곱해 홀수방에 배정했기에 이번엔 3을 곱한다고 생각하신다면, 그 방법은 틀렸습니다. 3번 객실에서 3을 곱해 9번 객실로 이동한 손님이 홀수 방에 남아있는 셈이니까요. 이 경우에는 3이 아니라 2를 곱하면 됩니다.
이것은 칸토어의 대각선 논법을 간략화해서 무한의 개념에서 "일대일 대응"을 할 수 있는지의 여부를 논설한 것입니다. 결론적으로 얘기했을때 자연수 전체집합(무한개)와 정수전체, 혹은 짝수, 혹은 유리수까지도 모두 남김없이 짝지어 일대일 대응할 수 있다는 것입니다. 이러한 무한을 셀 수 있는 무한이라 부르며, 가산무한이라고도 합니다. 그러나 이를 실수 범위로 확장시키게 되면 얘기가 달라지는데 영상에서 보았듯 대각선으로 이루어진 일대일대응을 시킬 수 없는 경우가 존재하는데, 이러한 무한을 비가산무한이라고 부릅니다. 유리수는 가산무한집합이고 무리수, 실수 범주부터는 비가산 무한집합에 속합니다 놀랍게도, 자연수 전체의 무한과 불과 0과 1사이의 실수조차도 대응하지못하고 실수 쪽이 더 많습니다. 이것은 실수의 연속성, 또는 실수의 조밀한 "농도"의 무한 등 철학적으로 표현되기도 합니다.
이해가 안됩니다 무한대의 방에 무한한 사람이 계속해서 들어올수있다는 전제가 어떻게 성립할수있을수 있나요? 무한대 = 무한대 만약 무한대의 인원을 수용할수 있는 무한대라면 무한대 제곱의 개념을 도입해야 하지않을까요? 2차원 배열에 무한대의 방에는 무한대의 인원이 계속 수용가능하지만 1차원의 무한대에선 무한대의 한가지의 무한대가 들어갈것같습니다
0과 1 사이에는 무한한 실수가 있죠? 그리고 정수도 무한하므로, 실수의 개수가 님이 말씀하시는 ‘무한대x무한대’의 한 예가 될 수 있겠습니다. 하지만 실수의 개수는 그냥 무한대죠. 새로운 개념이 도입된게 아니라요. 정확한 개념은 아니지만 무한대라는게 크기를 가진 수가 아니라는걸 이해하셔야 할 것 같습니다.
수학!=완벽
ruclips.net/video/oippSXvxUlw/видео.html
수학!=수학 팩토리얼=수로 표현 가능한 모든 학문=거의 모든 것=완벽
수학!=수학 팩토리얼=수로 표현 가능한 모든 학문=거의 모든 것=완벽
코딩공부중이라 !가 부정으로 보인다ㅋㅋㅋㅋㅋ
이거 옛날에 코믹메이플스토리에서 뿔버섯이 낸 문제 아님?
아....수학은 완벽하지 않다는 참거짓 놀리인데. 쩝
잠들만하면 자꾸 다른 방으로 옮기라고 해서 그냥 다른 호텔에서 묵겠습니다
ㅋㅋㅋ
😂
다른 호텔이 다 차서 다시 돌아오시겠군요 ㅋ
@@김정민-e8s5d 동시에 옮기는데 무한대의 시간이 왜드냐
@@아이패드-n6o 방번호 5000의 두배는 10000이니까 방문이 2미터당 한개 있어도 10키로미터를 가야됨 걸어가면 2시간 넘음
0:55 그리고 무한대의 손님들이 방을 옮기라는 지시에 화가나 숙박을 포기하고 무한대의 별점1점과 악플을 남겨 무한대의 손해를 입어 파산하였습니다.
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이것도 재밌네요 ㅋㅋ
이미 무한대의 수익을 누린 호텔이 무한대의 시간동안 무한대의 손해를 입으면 파산될까요? 무한대의 수익을 이미 누렸는데... 무한에 대해서 정확히 공부 안해서 정확히는 모르겠는데 이 내용으로 영상 만들어도 나름 재밌을것같은데 ㅋㅋㅋㅋㅋ
@@avocatdogg5262 무한대의 수익을 그대로 환불해줘야죠 불만이 나왓으니
무한대의 손해를 무한의 많은 시간동안 무한대로 쪼개서 주면 됩니다.
@@KT-qv5co 하지만 그사이 무한한 수의 회사에 무한히 투자해서 무한의 수입을 또 벌었다면
손님들의 인내심도 무한대라는 가정이 필수겠네요
ㅋㅋ 그래서 언제나 어떤말을 하든지간에 앞에 "이론상으론"이란 단어를 포함해야함
손님의 발걸음 속도는 광속이 되어야 할듯
@@JDrake0805 광속이 되어도 광속은 상수니 무한대번째 방까지 갈려면 무한대 시간이 필요함
손님들의 인내심이 무한이면 그냥 천사가 될 듯
@@이창복-q5o 광속으로 가면 멈춰있는 사람 시점에서 시간이 멈추기 때문에 괜찮습니다.
실수버전의 대각선 논법은 이게 되나? 하고 이해가 되지 않았지만, AB로 이루어진 무한한 문자열의 대각선 논법을 보니 바로 이해가 되네요. 감사합니다!!
유리수 무리수 아님?
@@Anachronist-j3w맞음
옛날에 코믹메이플 수학도둑에서 봤던내용인데 오랜만에 보니 새롭네요
저도 그생각했는데 ㅋㅋ
ㄹㅇ
판수대에서 본건데 ㅋㅋ
와 이거 모의고사 지문에 나왔던거임
ㅋㅋㅋㅋ초3때 봣던건데 흑 ㅠㅠㅠㅠㅠ
어음...? 잠깐만 아바 방 달라고 할 때 이상한 소리를 들었는데ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
역시 베리타시움은 대단한 채널입니다 영상 내용도 굉장히 흥미롭고 재밌네요
심영물은 위대하다
뭐요? 이보시오! 호텔양반!
3:53 의사양반 4:00 심영ㅋㅋㅋ
이 채널 진짜 보물이네요... 수능 이 후 세월이 지나며 수학을 만질일이 없었지요.. 이렇게 보니 수학 참 재미있네요. 저는 수학이 진리를 담았다고 생각합니다.
3:54 예상치 못한 심영물이군요
내가 고자라니!!!
어렸을 때 판수대에서 봤던걸 이렇게 다시보게 될 줄 몰랐네요 좋네요
판타지 수학대전 개추억이네
ㄹㅇ ㅋㅋㅋㅋ
너무... 매력적인 채널이야...
힐베르트 호텔 설명방법이 다른 채널보다 훨씬 알기쉽게 설명되었네요. ^^
곰돌이 쉐키 넘 귀여워요♥
너가더..! ❤
이거 올해 수특 독서에 나옴 ㅋㅋㅋㅋㅋ
수특 예언 ㄷㄷ
그거보고 찾아옴 ㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇ ㅋㅋㅋㅋㅋ 맞췄지
ㄹㅇㅋㅋ 영상 보기도 전에 이거 독서 지문인데? 생각함
대각선 논법ㅋㅋ
무인기기를 설치 해두면 되는 문제인데.. 너무 고급 인력을 프론트에 앉혀놨네요.. 조선식 운영이 문제였습니다.
집합론 수업 때 배운 내용을 오랜만에 다시 보내요 좋은 영상 감사합니다
와 매이플스토리 수학 도둑에서 봤던건데 이렇게 보니까 반갑네
아루루 도둑질 + ㅈ트롤 한거 사과할려고 갔다가 퀴즈 풀면 용서 해준다고 해서 풀었단 문제 아님? ㅌㅋㅋㅋㅋㅋ
전 수학대전에서봄
그 군만두ㅋㅋㅋㅋ
03:53 수학과 과학의 위대한 발견과 발전에 있어서도 '심영물 소스'는 항상 빠지지 않는다. 따라서 심영물이야말로 가장 위대하지 않을 수 없다!
가질수가 읎습니다
뭐요? 이 호텔을 폭파시켜주시오
그 일 내가 합시다
ㅋㅋㅋㅋ 듣고 순간 귀를 의심했자너..
무한대의 방이 가득 찼다고? 말도 안 된다고호호허호호홓
@@zxcv225 무한한 방을 가진 무한한 크기의 호텔을 폭파시키기 위한 무한한 폭탄을 무한한 트럭이..
진짜 잘 만든 영상
잠들면서 보기 제일 좋은 채널ㅋㅋ
말투가 너무 귀여워요
우와 수특 지문에 나왔던거다 이걸 이렇게 재밌게 설명할 수 있는거구나!
컴공 이론수업에서 지나가듯이 배웠던 내용이네요. 매번 볼때마다 새롭고 짜릿한 사고실험.
저런 생각을 어쩌다 하게 되었는지 참 신기하지만 덕분에 제가 누리는 거라니 감사합니다. ㅋㅋ
대단하다. 있지도 않은 것을 상상하는 능력이 인간의 최고 능력!
3:53 훅 들어오네 진짴ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
상당히 불친절한 호텔… 흥미롭군요 무한 일이 될 때까지 이곳에 묵어보도록 하겠습니다 무한X무한은 무한 제곱이 될까요
아니요. 자연수집합 크기의 제곱은 또다시 자연수 집합의 크기입니다.
한국 채널이 생겨 넘 쪼아요
와 자연수랑 유리수랑 왜 일대일대응이되나 전단사함슈를 어케만드나 궁금했는데 이 영상 ㄹㅇ 개꿀이네요
마지막 경우가 가능하다는 댓글들이 재미있네요.
저도 20년 전에 처음 배울 때는 그렇게 생각했거든요.
처음 보시는 개념이면, 영상은 재미로 보시고요.
영상만 가지고 오류니 뭐니 하면 나중에 흑역사가 될 가능성이 있지 않을까 걱정됩니다.
제대로 알려면 전문가 분에게 엄밀하게 한 스텝 한 스텝 배우시는 게 나을 거 같네요.
심지어 칸토어도 저거 주장했다가 당대의 크로네커에게 심하게 씹히고 원하는 대학에도 교수로 못갔지요.
원래 논증이란 심하게 씹히면서 발전하죠. 멋지신 말입니다.
A와B를 1과 0으로 바꾸어 생각하면 이진수가 되겠지만 1:1 대응이 안되는 것 처럼 보이는데... 어느 부분에 오류가 있는 걸까요?
그리고 1과 0사이의 무리수 같은 경우도 앞의 0을 제외한다면 무한한 자연수가 되는 데 이와 같이 풀이할 경우 1:1 대응이 되지 않는다고 증명할 수 있을 것 같습니다
앞의 두가지 경우를 말로 설명한다면 무한한 크기의 자연수가 무한히 있는 집합은 셀수 없는 무한한 집합이 된다??
자연수 집합 안에서도 무한한 크기의 자연수가 무한히 있을텐데요..
제가 한 생각이 어떤 부분에서 잘못된 건 지 알려주시면 감사하겠습니다..
1. 이진수로 바꾸어 생각하면 일대일대응이 안된다: 맞습니다. 가령 0.0111...과 0.1000...은 같은 수(=1/2)를 나타내니 두 집합을 저렇게 대응시키면 일대일대응이라 볼 수 없지요. 다만 확인할 수 있는 것은 그러한 쌍이 아무리 많아도 실수가 자연수보다 터무니없이 많다는 사실을 바꾸지는 못할 만큼만, (2^자연수의 개수)개의 집합과 일대일대응이 가능할 만큼만 많을 것이라는 겁니다.
그런 순서쌍을 적당히 일반화하여 표시하면 0.nnn...nnn0111...과 0.nnn...nnn1000...으로 나타낼 수 있습니다(각 n은 다른 숫자일 수 있습니다). 그럼 이 하나하나가 0.nnn...에 대응되는, 즉 실수(+a)에 대응되는 것으로 볼 수 있을까요?
아니오. 이것들은 대응되지 않습니다. 위의 순서쌍은 0.nnn...nnn에 대응되지, 0.nnn...에 대응되지 않거든요. 즉, 이들은 기껏해야 유리수보다 좁은 무언가에 대응되지, 실수보다 좀 더 넓은 무언가에 대응되지 않습니다.
숫자로 보면 엄밀하지 못할지언정 그 자그만 차이가 더 확대되어 드러납니다. 0.nnn...nnn의 식으로 나타낼 수 있는 수는 1+2+2^2+2^3+...이고, 후자는 2^inf(엄밀히 말해 2^(자연수집합의 크기))입니다. 적당히 뭉개면 차이는 극한표기 하나인데(어거지로 축약하면 lim(n->inf)(2^n-1)?) 전자는 기껏해야 자연수에 일대일대응이 되고(유리수보다 좁으니까) 후자는 영상의 계단논법에 따라 자연수와 절대로 대응이 안되니 신기하죠.
2. 이런 시각에서 바라보면 님이 혼동하신 부분이 어디인지 잘 알 수 있습니다.
무리수는 무한한 크기의 자연수에 대응되는가?->대응되지 않습니다. 자연수 각각은 근본적으로 유한한 자릿수를 가지고 있습니다. 자연수집합의 크기가 무한할지는 몰라도, 자연수가 무한개(엄밀히 자연수개)의 자리수를 갖는다면 애시당초 자연수가 아닙니다. 이것은 자연수가 그저 '딱 떨어지는 무언가'가 아니라 순서를 매기어 셀 수 있는 체계로 만들어졌기 때문입니다.
여기까지 비전문가의 설명이었기에 더욱 자세하고 정확한 설명을 위해서는 학자나 관련 전공자에게 문의하는 걸 권합니다.
이것은 칸토어의 대각선 논법을 간략화해서 무한의 개념에서 "일대일 대응"을 할 수 있는지의 여부를 논설한 것입니다. 결론적으로 얘기했을때 자연수 전체집합(무한개)와 정수전체, 혹은 짝수, 혹은 유리수까지도 모두 남김없이 짝지어 일대일 대응할 수 있다는 것입니다. 이러한 무한을 셀 수 있는 무한이라 부르며, 가산무한이라고도 합니다. 그러나 이를 실수 범위로 확장시키게 되면 얘기가 달라지는데 영상에서 보았듯 대각선으로 이루어진 일대일대응을 시킬 수 없는 경우가 존재하는데, 이러한 무한을 비가산무한이라고 부릅니다. 유리수는 가산무한집합이고 무리수, 실수 범주부터는 비가산 무한집합에 속합니다
놀랍게도, 자연수 전체의 무한과 불과 0과 1사이의 실수조차도 대응하지못하고 실수 쪽이 더 많습니다. 이것은 실수의 연속성, 또는 실수의 조밀한 "농도"의 무한 등 철학적으로 표현되기도 합니다.
아 머리 꽉묶은거 마냥 어지럽네
캬 무한호텔.. 어릴때 판타지수학대전에서 처음 접했었는데
리고스였나? 크툴루 닮은 보스 나올때 봤죠ㅋㅋ
그거 진짜 재밌었는데 그림체도 이쁘고ㅠ
어릴때 정말 좋아하던 책이었는데..
그치만... 자기 번호 두배의 방으로 가면 숫자가 클수록 이동시간이 길어지는걸...
그 숫자가 커질수록 이동시간도 "무한히" 늘어나겠군요 ㅋㅋㅋ
처음엔 그냥 역설 내용인줄 알았는데 실무한 가무한까지 나오다니..리스펙
저 호텔에는 취직하지 않겠습니다
3:53
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
뜬금없긴한대 무한대만큼의 사람과 그무한대만큼의 버스가 있는 행성은 얼마나 큰건가요?? 우주도 끝이있다고 하던대.....
무한히 큽니다
@@KT-qv5co 간단명로하네ㅋㅋㅋㅋㅋ
무한에 위계가 있다는 사실은 텍스트로는 많이 접해봤지만 이런식의 직관적 경험은 처음 해보네요. 짱 신기방기합니당.
오우 정말 유용하네여❤
목소리 좋고, 듣기 편한 스크립트..
수능특강 보고온 TEAM06 정시러들은 개추 ㅋㅋ
수학도둑에서 한번 보고 수특에서 다시 한번 본 사람 개추
이 채널 재밌네ㅋㅋ
배정해줄수있음
무한대번째 투숙객은 배정불가능한 무한번째 방에 배정해줘서 그냥 걷게하면됨.
그럼 반나절동안 무한번째방으로 걷다가 다시 반대로 반나절동안 걸어서 카운터에 도착하면
짜잔 하루체크인해서 호텔에서 하루동안 투숙함
????
????
ㅋㅋ이것은 투숙인가 노숙인가
그냥 산책할듯 ㅋㅋ
개꿀인데
올해 수특 과학지문에서 보고 반가워서 다시옴ㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇㅋㅋ
문제1: 모든 정수를 자연수에 대응시킬 수 있는가?
답: 가능
0 -> 1, 1-> 2, -1 -> 3, 2 -> 4, -2 -> 5, ... 와 같은 식으로 모두 대응이 가능. 그 어떤 정수 Z를 가져와도 대응하는 자연수가 존재함. 여기서 중요한 것은 정수도, 자연수도 무한함.
문제2: 모든 실수를 자연수에 대응시킬 수 있는가?
답: 불가능
0.1111... -> 1
0.2111... -> 2
...
처럼 임의로 어떤 실수를 특정 자연수에 대응시키더라도
그 어떤 자연수에도 대응되지 않는 실수 R이 항상 존재함(영상에서 예로 들었던 것과 똑같은 방법으로 보일 수 있음)
따라서 모든 실수를 자연수에 대응시키는 것은 불가능함. (문제1에서 그 어떤 정수를 가져와도 대응하는 자연수가 있었던 것과 상반됨)
똑같은 원리로, 이름이 무한한 A와 B로 이루어진 사람들 중, 각 방의 번호에 대응되지 않는 사람이 존재함. 때문에 이 사람이 카운터에 입장했을 때, 대응하는 방이 없기 때문에 모든 손님을 받을 수 없음.
3:06 결국 무한대의 버스를 타고온 손님들은 이 방법으로 미리 버스 하나에 다 타고올수 있었는데 괜히 버스 무한대를 낭비했군요..
이렇게까지 하는데도 손님이 많은걸 보니까 엄청 좋은 호텔인가보다
손님 한 명 때문에 모든 투숙객들이 방을 옮겨야 하는것에 화가 나는군요 \ _ /
오 이영상 한국어로 듣고싶었는데 감사합니다!
무한대는 관념 속에서만 존재하는데
이걸 실생활과 연결하면 역설이
발생하죠.
실생활과 연결해서 역설이 발생한게 아니고
실생활을 예시로 들어 이해하기 쉽도록 한것이란다
같은 무한대라도 서로 크기가 다르다는걸 확인할 수 있는 방법이고 전혀 역설이 아니야
@@오월-m7c 이런거 말고 제논의 역설같은 무한에 대한 오개념을 기저에 둔 역설들 말이죠
어..... 그니까 이해 하면 머리아픈 영상이군요!
칸토어의 대각선논법 ㄷㄷ
복습하고 갑니다
갑자기 이런게 알고리즘에ㅎㅎ 재밌네
3:53 뭔데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 의사양반 뭔데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
무한로 기다려요...
지나가던 예체대생인데 궁금한게 있어서 댓글 남겨요
마지막 ABAB.. 문제 보다가 생각 난 건데
손님수는 결국 2^(무한) 명이 들어오는 것 같은데
그러면 투숙객들에게 2^(n+1)번방으로 모두 이동하라고 얘기하면 결국 온 손님 수 만큼의 빈 방이 생겨서 빈방에 순서대로 배정하면 해결되지 않나요..?
수학을 깊게 공부하지 않아서 무한대의 크기에 대한 얘기는 이해가 안되지만 이 방식이 적용이 안될 이유가 있으면 누가 해결해주시면 감사할 것 같습니당
모든 투숙객이 그 방법대로 이동했을 때, 빈 방의 갯수를 계산해봅시다.
수열 a_n=2^(n+1)를 나열해보면,
4, 8, 16, 32, 64, ... 이렇게 나옵니다.
이 정수들의 사이에 몇개의 정수가 있는지 나열해보면(4 이전의 1,2,3도 포함),
3, 3, 7, 15, 31, 63, ... 이런 새로운 수열이 나옵니다.
일반항을 구해보면,
b_n=3 (n=1)
b_n=2^n -1 (n≥2) 이렇게 나옵니다.
이 수열의 합을 구해보면,
S_n=2^(n+1)-n 입니다.
즉 S_n은 모든 투숙객이 이동한 후 각 투숙객 사이의 빈 방의 갯수의 합입니다.
새로운 손님의 수를 c_n=2^(n+1)이라고 생각한다면(n은 무한대로 보내질 것이니 이렇게 해도 괜찮지 않을까..하는 억측을 해봤습니다.),
S_n < c_n 입니다.
새로 온 손님이 항상 빈 방보다 많습니다.
저는 이런 문제를 접근한 적이 없기에, 높은 확률로 틀렸을 것이라고 생각됩니다!
틀렸다면.. 유감이네요..
빈방 개념이 아니고 순서를 못정하고 지정을 못해서 생기는 문제입니다. 더 자세하게 알고싶다면 답변주세요!
@@HeuiWae 네 틀렸습니다 수열의 극한과 관련없어요
2^n 명이 아니고 셀수 없는 사람이 들어오는 경우입니다. 무한히 어떻게 들어오든 셀 수 있으면 방을 배정할수 있는데 셀수 없는 경우 방 배정이 안되요. 셀수 없다는 의미는 실수에서 0 .5 바로 다음 수를 찾아보라는 의미입니다.
0.5000000000000000000000001? 아니죠. 끝없이 내려가아 하는데 그 끝없음에 셀수있는 그 다음수를 못 찾습니다. 이에비해 정수는 무한의 n 다음수는 바로 n+1이라고 지정할수 있죠
그러한 방식으로 방을 만들어도 결국에는 방에 들어가지 않은 사람을 만들 수 있으므로 모두를 태울 수 없습니다
결론 : 무한대들 끼리도 크고 작고가 있다.
그렇구나~ 완벽하게 이해 가네요 정말로요 발^^
이 논리는 매번 볼때마다 또 설명까지 보게 되네 ㅋㅋㅋㅋ
사실 무한은 없는 개념이다 숫자든 무한이든 그 어떤 개념들이든 모두 인간이 규정하고 만들어낸 개념들이기 때문에 유한한 삶을 사는 인간이 무한을 논하는 것은 미지의 영역을 논하는 것일 뿐이다
이 내용 2025수특 과학-기술 2번째 지문에 그대로 나와용 심지어 문제까지도 똑같음
개 천재들 진짜. TV에서는 볼 수 없는 진짜 천재들. 같은 종족인데 갭이 이렇게 차이나도 되는거냐
방을 배정받지 못한 손님들을 모두 다시 버스에 태우면 그 버스에는 무한한 승객이 생길것이고 전에 썼던 방법으로 객실 번호의 3을 곱한 수로 방을 이동해달라고 한다면 무한대의 홀수방이 생기니 그 방에 버스 인원을 채우면 되지않을까요?
1. 다시 버스에 태운다
이건 좌석번호가 있는 버스에 태운다는 의미로 이해하겠습니다. 좌석번호가 있는 버스에 태울 수 있다면 처음부터 호텔에 수용할 수 있습니다. 좌석번호로 지정할 수 있다는 의미니까요.
2. 3을 곱해 홀수 방으로 배정한다
이는 오타같지만 만약 앞서 2를 곱해 홀수방에 배정했기에 이번엔 3을 곱한다고 생각하신다면, 그 방법은 틀렸습니다.
3번 객실에서 3을 곱해 9번 객실로 이동한 손님이 홀수 방에 남아있는 셈이니까요. 이 경우에는 3이 아니라 2를 곱하면 됩니다.
다시 버스에 태운 손님들도 방에 모두 대응되지 않습니다. 그냥 처음과 똑같은 상황이에요. 대각선 논법에 의해 방에 대응시킬 수 없는 손님이 항상 존재합니다
3:54 가질 수가 없습니다.
4:00 뭐요?
아무렇지도않게 당연하게ㅡ넘어갔었는데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
5:03 abba가 배정받은 방을 A라고 가정한다면, 무한히 많은 투숙객을 다음 방으로 옮기고, 아직 배정받지못한 한명의 사람을 첫 방에 넣으면 되지않을까요? 이름이 겹치지 않는 단 한사람만 더 넣으면 되니깐요.
그럼 또 배정받지 못한 사람이 생기겠죠? 이런 일이 무한히 반복될 것입니다
해결법 : 체크인 할때 스티커를 나누어주고 체크아웃 하기 전까지 문에 스티커를 붙혀놓게 한다 이후 사람이 얼마가 오던 "스티커가 안붙어있는 방에 들어가세요" 하면끝
천재 ㄷㄷ
결국 우리는 이러한 무한 집합의 크기를 알레프 라는 것을 통해 표현하게
되죠 더 무한의 크기에 대해 더 궁금하시다면 알레프에 대해 찾아보시는걸 추천합니다
이것은 칸토어의 대각선 논법을 간략화해서 무한의 개념에서 "일대일 대응"을 할 수 있는지의 여부를 논설한 것입니다. 결론적으로 얘기했을때 자연수 전체집합(무한개)와 정수전체, 혹은 짝수, 혹은 유리수까지도 모두 남김없이 짝지어 일대일 대응할 수 있다는 것입니다. 이러한 무한을 셀 수 있는 무한이라 부르며, 가산무한이라고도 합니다. 그러나 이를 실수 범위로 확장시키게 되면 얘기가 달라지는데 영상에서 보았듯 대각선으로 이루어진 일대일대응을 시킬 수 없는 경우가 존재하는데, 이러한 무한을 비가산무한이라고 부릅니다. 유리수는 가산무한집합이고 무리수, 실수 범주부터는 비가산 무한집합에 속합니다
놀랍게도, 자연수 전체의 무한과 불과 0과 1사이의 실수조차도 대응하지못하고 실수 쪽이 더 많습니다. 이것은 실수의 연속성, 또는 실수의 조밀한 "농도"의 무한 등 철학적으로 표현되기도 합니다.
이번 편 그래픽 너무 귀엽네 ㅋㅋ
아름답다
ㅋㅋㅋ아오 잠좀 자자!! 뭘 자꾸 옮겨싸!!
어릴 때 TV에서 봤던 이론이네요
옛날 수학도둑 책에서 본 기억이...
나레이션 자꾸 웃참하시는거 왤케 웃겨요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이거 어릴때 만화책에서 봤었지...
무한이라는 조건은 그대로 걸려있으니깐...
거기서도 저렇게 해결했었고...
진짜 추억인데 크...
2년전쯤에 봤을땐 이해가 안됐는데 이젠 맥락은 이해가 되네
기계발명 영상 어딧나요?
와 3분만에 잠든 영상은 처음이네 ㄷㄷ
승객이 너무 귀여워요
애초에 무한이란 개념이 숫자로 정의할 수가 없어서 애매함
그러니까 분명 무한 명의 손님들을 전부 방에 투숙 시켰는데, 또 무한 명이 생겨있더라라는 거죠?
네.
이 채널 영상의 당신이 수학을 모르는 이유 이 영상을 보시면 더 좋을 것 같아요!
그 영상도 대각선 논법에 대한 내용이 나옵니다. 힐베르트 호텔의 주인 힐베르트 수학자에 대한 내용도 있고요.
이해가 안됩니다 무한대의 방에 무한한 사람이 계속해서 들어올수있다는 전제가 어떻게 성립할수있을수 있나요?
무한대 = 무한대 만약 무한대의 인원을 수용할수 있는 무한대라면 무한대 제곱의 개념을 도입해야 하지않을까요?
2차원 배열에 무한대의 방에는 무한대의 인원이 계속 수용가능하지만 1차원의 무한대에선 무한대의 한가지의 무한대가 들어갈것같습니다
무한대×무한대=무한대입니다 왜 안될거라 생각하신지는 모르겠지만 무한의 세계는 유한과는 달리 직관적이지 않습니다 수학 전공이시면 증명을 해드려도 되겠습니다만... 아니면 영상에서 나온대로 힐베르트의 비유를 듣고 그냥 받아들이시죠 애초에 영상 그 자체가 증명이기도 하지만요
무한대는 수가 아님
이걸 이해하는게 가장 중요함
0과 1 사이에는 무한한 실수가 있죠? 그리고 정수도 무한하므로, 실수의 개수가 님이 말씀하시는 ‘무한대x무한대’의 한 예가 될 수 있겠습니다. 하지만 실수의 개수는 그냥 무한대죠. 새로운 개념이 도입된게 아니라요. 정확한 개념은 아니지만 무한대라는게 크기를 가진 수가 아니라는걸 이해하셔야 할 것 같습니다.
1명의 손님이 올때
애초에 유한대와 무한대는 비교가안되기에 수용가능
무한명의 손님들이 올때
홀수의 무한대와 자연수의 무한대는같기에 수용가능
무한명의 손님을 태운 무한명의 손님이 올때
유리수의 무한대와 자연수의 무한대는 같기에 수용가능
무한하며 서로다른이름을 가진사람들이 올때 실수의 집합이 자연수의 집합보다 크기에 수용불가
심영물 뭔뎈ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇㅋㅋ
무한대의 방이 일렬로 있으면 방송도 믤어 질수록 무한대의 시간이 걸리므로 전달이 안돼요
"어떤 무한대는 다른 무한대보다 크다."
우와..
사람이 저렇게 많으니까 제가 다 무안하네요
방의수가 무한하다면 사람이 들어간 방은 문에 표시해놓고 들어오는 사람마다 빈방을 찾아 들어가라 하면 되는거 아닌감. 그럼 무한대의 빈방에 무한대의 손님이 "한명씩"채워지니까
정말 양질의 컨텐츠 좋게 보고있는데 혹시 정해진 업로드 주기가 있나요??
무한대의 방이면 그냥 일단 다 나오게 한 다음에 다시 넣으면 가능할거같은데
무한대나 2 무한대나 무한대잖아
자연수와 실수 집합의 개수가 다르다는 것을 검색해보세요!
@@fblood53 저 고졸 수포자라 그런거 몰라요...
@@user-qr9ld5ue3x 알려고 하던가 그런갑다 하고 넘기던가
어.... 고등학교 수학이랑 크게 관계 없는 내용이긴한데 그런거 모른다고 하시면 뭐라 말씀드릴방법이 없네요.
@@KaitoKurobaa넌 가만히 있던가 그런갑다 하고 갈길가던가~
줄서있는 사람들의 이름을
줄에서 몇번째인지로 바꾸면
(첫번째로 서있다면 1 두번째라면 2 이런식으로)
호텔 투숙객들을 전부 2n실로 보내고
홀수방에 차례대로 넣음으로써
모두 수용할 수 있지 않나요?
그사람들을 모두 수용했음에도 불구하고 수용하지못한 또다른 무한한 승객들이 존재합니다
n번째.......라는 말을 쓰러면 n이 정수여야 하는데 그렇게 하려면 모든 무한한 승객과 각 정수가 매칭이된다는 사실을 보여야 합니다. 근데 그게 불가능하다는 걸 보여주는게 마지막 예시입니다.
이름을 바꿀 수 없는 사람이 있습니다. 결국 똑같은 논리에요
aaaaa... -> 첫 번째 사람
baaaa...-> 두 번째 사람
... 라고 해도
영상에서처럼 대각선 논법을 사용하여 그 어떤 자연수에도 대응되지 않는 사람이 존재합니다. 때문에 불가능한것이죠
판타지 수학대전 다시 읽으러 가야지
2:50 방 넘버도 카운팅이 되는데 엄밀히 따지면 오류 입니다. 승객만 카운팅이 되어야죠.
어떤 오류죠?
@@apqmxixuns4906 저 대각선 논법 자체의 문제가 아니라 손님만이 아니라 방 번호 자체도 카운팅을 해버렸잖아요.
이거 옛날에 메이플스토리-수학도둑에서 봤던건데 ㅋㅋ
너무 추억이다
이거 영어권 수학 채널에서 본건데 거의 내용 유사함
Veritasium의 허가를 받고 번역해서 올리는 한국어 채널임
A B를 대각선으로 세서 나온 이름이 존재하지 않다는 이유를 모르겠네요...
ㄹㅇ… ab로 만들 수 있는 모든 경우의 수가 있다고 했는데 저 대각선의 이름이 어떻게 없을 수가 있지..??
존재하는 모든 사람과 이름이 최소 한 글자씩 다르니까요
@@장블장 대각선으로 센다는 것으로 최소 한 글자씩 다르다는걸 어떤 방법으로 증명할 수 있나요?
@@서지성-y5u n번째줄의 사람과 n번째 글자가 반드시 다르기 때문에 명단에 없는 이름이 됩니다.
@@장블장 아하 정리가 그렇게 되는구나 감사합니다.
와 이거 어렸을적 수학도둑에서 봤던 문제인데..