Was ist eine Metrik? | Math Intuition
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- Опубликовано: 15 сен 2024
- Hier erkläre ich dir intuitiv, was eine Metrik ist.
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#Metrik
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Großartig!!!! Ich gewinne langsam den Spaß an Mathe wieder, vornehmlich durch deine Videos. Es regt einfach die eigene Vorstellung an, was bei mir in der Uni leider viel zu selten vorkommt!Danke dafür =)
+MrHansooHansoo Ein größeres Kompliment kannst du mir kaum machen. Vielen Dank dafür! :)
Super Video, wie immer. Du hilfst mir sehr damit. :)
Vllt. noch eine Videoidee: Es gibt da ja noch hyperreelle, hyperkomplexe oder surreale Zahlen, wäre interessant so zu erfahren, was es jenseits von reellen und komplexen Zahlen noch so gibt und wie man die intuitiv interpretieren kann.
Hey +ostihpem , da kenne ich mich leider auch nicht gut aus.
du bist der gamemaster
Super Video! Vielen Dank für die guten Erklärungen auf deinem Kanal. Kannst du ein Video über Masstheorie, insbesondere über das Borel-Mass und das Lebesgue-Mass, machen? In diesen Bereichen habe ich so meine Mühe...
Liebe Grüsse ein Mathe-Student :)
Auch nicht gerade meine Lieblings-Themen ;) Aber irgendwann kommt auch was von mir zu höherer Analysis.
Hätte ich die Metrik bei diesem Beispiel auch anders definieren können? Es geht ja nur darum VxV auf R zu schicken. Also zum Beispiel llv+wll anstatt llv-wll ? Das ein "-" hier mehr Sinn macht ist mir bewusst, aber geht das bei einer Metrik generell?
Nicht jede Abbildung von VxV nach R ist automatisch eine Metrik! Sondern es müssen noch die 3 Eigenschaften einer Metrik nachgewiesen werden (bspw. muss die Dreiecksungleichung gelten), damit die Abbildung auch wirklich eine Metrik ist.
Ahhhh stimmt danke :)
ziemlich kompliziert aber sehr Gut erklärt.
Naja ein Vektorraum setzt sich eher durch eine Vektoraddition und Skalarmultiplikation zusammen.
Die Vektorsubtraktion ist durch die Existenz von inversen Elementen in der Vektoraddition enthalten!
Deshalb wird ein Vektorraum öfter mit den dreier Tupel (V,+,*) definiert.
Hey +Olphyon, völlig korrekt. Dieses Detail predige ich auch in anderen Videos schon genug ;) Hier nur die Idee dahinter.
Wenn man in der Stochastik einer Ereignismenge A eine reelle Zahl zuordnet und damit die Wahrscheinlichkeit von A beschreibt, ist das dann auch eine Norm und/oder Metrik?
Hey +ostihpem, nicht jede Abbildung von Menge zu reellen Zahlen ist eine Norm. Eine Norm muss ganz bestimmten Bedingungen entsprechen. Zum Beispiel muss die Dreiecksungleichung gelten etc. (siehe Defintion einer Norm). Im Video gehe ich nur auf den Teil ein, wie die Abbildung formal aussehen muss, jedoch ohne über die in der Definition noch darüber hinaus geforderten Eigenschaften dieser Abbildung zu sprechen.
+ostihpem Die Abbildung ist in jedem Fall ein Maß, sogar ein besonderes beschränktes Maß mit maximalem Wert 1. Aber sie ist keine Metrik, da du nur "einen Input" besitzt.
Ob dies oder generell eine Abbildung auf einer sigma-Algebra eine Norm beschreiben kann, ist auch erst einmal ein Fragezeichen. Man müsste erst einmal einen Vektorraum konstruieren. Da man auf einer sigma-Algebra einen Ring konstruieren kann mit symmetrischer Differenz und Schnitten, könnte da sogar eine Möglichkeit bestehen; über die Potenzmenge kriegt man auch Vektorräume konstruiert auf dem Körper Z/2Z. Falls man darauf wirklich dann eine Norm definieren kann, kann man daraus natürlich eine Metrik definieren als die Norm von vom Differenz (Durchschnitt in diesem Fall) von zwei Mengen. Ob das dann aber ein Maß sein kann, bezweifle ich, aber vielleicht ist es möglich.
was ist gemeint mit f: M ---> M
Eine abbildung / funktion von der menge M auf die Menge M
warum ist jeder normierte raum ein metrischer raum? Wieso sind metriken allgemeiner?
Weil du mit Hilfe einer Norm sofort eine Metrik definieren kannst:
Wenn du eine Norm || x || gegeben hast, die einem Vektor eine Länge zuordnet, dann kannst du damit folgende Metrik definieren (die 2 Vektoren bekommt, um deren "Abstand" zu messen):
d(x,y,) := || x- y ||
Jetzt klarer?
dann ist der euklidische abstand auch eine metrik
Ganz genau!