Offene und abgeschlossene Menge (Intuition) | Math Intuition
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- Опубликовано: 6 авг 2015
- Idee und Vorstellung zu den Begriffen offene und abgeschlossene Menge, innerer Punkt, Randpunkt und offene Umgebung.
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#offen #abgeschlossen #Randpunkt #innerer Punkt #Umgebung
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Klasse, dass es wieder neue Math Intuition Videos gibt!
Danke dir. Ich habe lange über dieses Thema Info gesucht. Einfach perfekt
Super erklärt. Ich versuche mich langsam an das Thema Topologie ran zu arbeiten und dieses Video hat mir geholfen die Grundbegriffe offene und abgeschlossene Menge wirklich klar zu haben. Viele Grüsse aus Katalonien!
Genial erklärt!! Danke!
Super, vielen Dank, Markus!
Super erklärt. Vielen Dank 🙏
Wirklich sehr sehr sehr gute erklärt,vielen lieben Dank 😊
Toll erklärt!☺
sehr gut erklärt
danke
Vallah, erste Minute, ich merke schon du fühlst
Fantastisches Video!
Super gemacht :)
Danke!
Dankeeeee
Hallo Markus, ich fände es schön, wenn du in einem Video erklären bzw. beweisen würdest, warum die leere Menge und ihr Komplement sowohl offen als auch abgeschlossen sind ...
Paolo Martinoni hallo paolo. Die leere menge hat per definition jede x-beliebige eigenschaft. Demnach ist sie offen und abgeschlossen. Aus der abgeschlossenheit der leeren menge folgt per definition die offenheit des komplements, also des ganzen raums. Und abgeschlossen ist der gesamte raum deshalb, weil es eben „nicht mehr“ gibt und demnach die definition von abgeschlossenheit schnell folgt (kannst du nachrechnen).
@@mathintuition Vielen Dank!
Hey tolles video .
Kann ich Abstände nur in R^n angeben?
riri jo natürlich nicht! Überall wo man eine Normabbildung definiert, kann man abstände messen. Also in jedem normierten Vektorraum.
Math Intuition vielen dank für did Antwort :)
Einer der wenigen kanäle wo man noch Videos für das mathestudium findet
Tolles Video! Aber wie ist das im Max Problem? Dann kann eine offene Menge doch nie eine Lösung sein, also kein Maximum sein ,richtig?
Fast richtig: Bei einer offenen Menge gibt es keinen Rand und daher kann kein Maximum auf dem "Rand" (da nicht vorhanden) liegen. Natürlich kann jedoch eine Funktion auch auf einer offenen Menge ein Maximum haben. Beispiel: Die Funktion f(x)=-x^2 auf dem offenen Intervall (-1,1) hat das Maximum Null an der Stelle x=0.
Math Intuition Ich fand auch, especially wurde alles gut erklärt. Allerdings ist es aber im Vierdimensionalen so, dass es dort keine Kugelform geben kann, was man auch beweisen kann. Es kann also keine vierdimensionale Kugel geben, wenn auch andere vierdimensionale Formen theoretisch möglich sind.
WIeso hat die Skizze der offenen Menge einen Randpunkt?
Hey Sarah, der braune Punkt? Den hatte ich nur eingezeichnet als ich gemeint habe es gibt 3 Fälle: innerer Punkt, Randpunkt oder äußerer Punkt. Eine offene Menge darf natürlich keine Randpunkte enthalten.
Arigato
*ich währenddessen in Ana 1 😐
Super Video. Nur eine Frage beschäftigt mich: wie kann man sich eine Menge vorstellen, zugleich offen und abgeschlossen ist?
Schurik Hey Schurik, danke für das Feedback und deine Frage :) In der Tat, wie Hans Wurst schon geschrieben hat, sind immer die beiden Extremfälle "leere Menge" als auch "der gesamte Raum" (letzteres ist in unserem Fall also ein R^n) sowohl offen als auch abgeschlossen.
Das hat dann weniger etwas mit Vorstellung zutun als vielmehr mit der Definition. Irgendwann hilft ja auch keine Vorstellung mehr ;)
In der Topologie gibt es noch viel verrücktere Sachen, die dann oft im ersten Moment sehr ungewohnt / komisch rüberkommen. Auch hier liegt vieles dann an der Definition der Begriffe und den vielen Spezial / Sonderfällen.
Deshalb gibt es dann auch noch andere Mengen als die beiden Extremfälle, die offen und abgeschlossen sind. In meinem Video kam sowas aber erstmal noch nicht vor.
+Hans Wurst Wieso ist der gesamte Raum IR^n offen und abgeschlossen? Der ist doch mE nur offen, denn egal welchen Punkt du nimmst, er hat immer eine Epsilon-Umgebung größer 0, die dann natürlich auch in IR^n liegt. Kannst du das näher erklären? Bei der leeren Menge verstehe ich es. Da die überhaupt keine Punkte hat, sind die Antecedense sowohl bei der offenen als auch geschlossenen Mengendefinition falsch und damit die Definitionen (in ihrer letztlichen wenn-dann-Form) bei der leeren Mengen wahr/erfüllt.
+ostihpem Der ganze R^n ist tatsächlich sowohl offen als auch abgeschlossen. Wie du schon schreibst, macht die Intuition von "offen" beim R^n Sinn. Jedoch macht auch "abgeschlossen" Sinn, denn der R^n hat KEINEN Rand. Und demzufolge trifft die Definition zu, dass "Die Menge selbst alle Ihre Randpunkte [davon gibt es ja keine] enthält".
Die im Video gezeichnete offene Menge hingegen hat Randpunkte, die außerhalb der Menge liegen. Der R^n umfasst ja schon die maximale Menge unseres Betrachungsrahmens, daher muss ja ihr Rand enthalten sein (auch wenn es keine Randpunkte gibt).
Jedoch eine wichtige Ergänzung: Offen und abgeschlossen sind Begriffe aus der Topologie. Und dort stimmt SEHR oft intuitiv mit formalität nicht überein. Da gibt es echt crazy Dinge.
Intuition ist immer nur eine Stütze, aber leider sehr oft nicht ausreichend, da nicht exakt.
Ahh, stimmt. Super, danke. Da muss ich immer aufpassen. Offenheit und Abgeschlossenheit werden ja letztlich beide durch eine Implikation (wenn-dann) definiert und wenn dort der Antecedens falsch ist (weil es nix gibt, was die wenn-Bedingung erfüllt), dann ist sie wahr. Das ist der Grund, warum leere Menge und IR^n sowohl offen als auch ausgeschlossen sind, weil sie keine inneren Punkte bzw. keine Randpunkte haben (und damit die wenn-Bedingungen der Definitionen nicht erfüllen). So reime ich mir das als Laie jedenfalls zusammen^^.
Übrigens ostihpem , wenn du übrigens immer frisch auf dem Laufenden bleiben willst (neue Videos oder Artikel und Kurse von meiner Website), dann empfehle ich dir meinen Newsletter! Darüber kannst du mir auch immer direkt ne Mail bei Fragen schreiben und ein Mini-eBook gibts auch dazu ;) Findest du alles auf www.math-intuition.de . Würde mich freuen persönlich von dir zu hören :)
also kann ich die Frage doch eigentlich nur bei Räumen klären.
Mengen ohne jede "Ordnung" geben ja gar keine Auskunft über die "Umgebung" der Punkte.
Genau. Man braucht für "Umgebungen" von Punkten ein Maß für "Abstand" oder "länge". Meist ist das dadurch gegeben, dass man eine Norm im betrachteten Raum gegeben hat.
@@mathintuition
Danke. Tolle Videos, by the way. Extrem informatives Material. Danke also auch generell dafür.