소수의 개수가 무한개인 이유 증명하기

[@PiVillain]

첫번째 증명은 역시 간단하면서도 아름답군요☆

[@question-mark.i]

크으으 이 증명만을 이용하면
소수가 무한하다는걸
아주 당당히 증명할 수 있다.
어찌 이렇게 아른다운가.
많은 사람들이 알았으면 좋겠다.

[@SHKim-uv4wo]

1번째 증명의 모순은 N에 +1를 하여 소수가 아니라고 단정한 것임. 2+1 = 3은 소수임. 만일 이것을 가정하기 위해서는 소수에 +1한 것이 어느 경우에도 소수가 아님을 먼저 입증해야함. 어느 경우에도 ~~~

[@repair_goddess]

P가 '가장 큰' 소수라고 가정했고, +1을 한 값은 P보다 크니까요.

[@chqhxx]

그 모순을 이용하는게 귀류법의 핵심입니다. +1한게 소수가 아니어야 했는데 소수의 정의와 부합하기 때문에 모순, 따라서 가장 큰 소수는 없다 라고 되지요.
귀류법의 완벽한 예시라고 봐주시면 되겠습니다.

[@미투마투]

이걸 모순이라고 생각하는 건 좀 소름

[@수연-w4d5r]

2:48 N에 2가 곱해져 있으니 N도 2의 배수이므로 지워야하는거 아닌가요? 제가 이해를 잘못한건지 알려주세요~~

[@저녘놀]

N이 소수라는 말은 틀렸습니다.
N이 소수일 수도 있지만, N이 합성수이고 N을 나누어 떨어지게 하는 P보다 큰 새로운 소수가 P와 N 사이에 존재할 수도 있습니다.
일단 2부터 P까지 이외의 새로운 소수가 존재하지 않는다는 (소수가 유한하다는) 전제는 깨졌으므로 증명은 똑같이 참이됩니다. 다만 N이 반드시 소수가 된다는 것은 틀렸으며 증명에서 오류입니다.

[@gihyeokree4149]

P=13일 경우, N= 30,031 = 59*509

[@airem9004]

2번째 증명 방법은 처음 보네요

[@user-mh2gh2feafd]

첫번째 증명과 두번째의 것을 각각 무엇이라고 부르나요?

[@0304ab]

2년전 영상이지만 혹시나 하는 마음에 남겨봅니다. 우선 결론 부터 이야기하자면 영상속 증명은 틀렸습니다. N이 p1,p2,p3,•••,pn 으로 나누어지지 않으므로 N은 새로운 소수다 라는 논리가 틀린것입니다. 이 논리가 타당하려면 소수들의 곱으로 표현되는 자연수는 모두 합성수이다 라는 사실이 있어야지만 N이 합성수가 아니다 라는 점을 주장할수 있죠. 어찌보면 당연한 사실이라고 생각하겠지만 이는 정수론의 기본정리에 어긋납니다. 정수론의 기본정리는 1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 유일하게 표현된다입니다. 즉 굉장히 비논리적인 얘기라는 거죠. 따라서 올바른 증명은
N=p1p2•••pn+1 을 생각하자
N>1이므로 p|N인 소수 p가 존재, p=pi for some i=1,2,•••,n
p|p1p2•••pn
p|N=p1p2•••pn+1
따라서 p|1 이어야 하므로 모순이다.
이것이 올바른 증명이 되겠습니다.
실제로 영상속 증명이 맞다면 같은 방법으로 p1p2•••pn-1도 소수가 되니 쌍둥이 소수가 무한하다는 난제도 굉장히 쉽게 풀리겠죠....
실제로 많은 사람들이 영상속 내용이 올바른 증명이라고 알고 있는데 이는 틀린 증명입니다. 명심하십쇼

[@이주원-d1o4z]

2번째방법이 혹시 에라스토테네스의 체를 응용하신건가요?

[@거미남자_spidy]

∑_{p prime}1/p = divergence 도 다뤄주실수있으신가요?

[@김지훈-n6k]

제가 수학에 문외한이라 잘 모르는 거일 수도 있지만, 두 번째 증명은 잘 이해가 되지 않습니다.
이 정리는 "한 소수를 가지고 그보다 작거나 같은 소수로 나누어 떨어지는 수를 모두 지워나가면 결국 1만 남는다"는 원리를 활용한 것 같은데, 그렇다면 제시해주신 공식은 비단 가장 큰 소수(N)뿐만 아니라 "모든" 소수에 적용될 수 있어야 할 것 같습니다.
하지만 그렇지 않습니다. 적당히 작은 소수 17을 생각해보면, 1부터 17까지의 자연수에서 2로 나누어 떨어지는 수는 8개, 나머지 중 3으로 나누어 떨어지는 수는 3개, 나머지 중 5로 나누어 떨어지는 수는 1개, 7으로 나누어 떨어지는 수 1개, 9로 나누어 떨어지는 1개, 11로 1개, 13으로 1개, 17로 1개입니다. 당장만 봐도 이 개수들은 17 * 1/2, * 2/3, * 4/5, * 6/7, * 10/11, * 12/13, * 16/17의 규칙을 따르고 있지 않습니다. 이들을 억지로 계산해봐도 17 * 92610/510510 = 3.0689... 정도가 나오네요.
이 규칙이 완전히 성립하기 위해서는, x의 배수를 지워나가는 과정에 있어서 남아있는 수들을 x개씩 묶을 때, "마지막 묶음"이 x개로 완전히 나누어 떨어져야 합니다. 하지만 그렇지 않은 경우가 많습니다. 당장 1부터 N까지의 자연수 중 2의 배수들을 지워나갈 때, N이 홀수이므로 (1,2), (3,4), (5,6) ... 으로 묶이다가 (N-2,N-1), N으로 마지막 묶음이 나누어 떨어지지 않습니다. 따라서 1부터 N까지의 자연수 중 2로 나누어 떨어지는 자연수의 개수는 N/2가 아니라 (N/2)-1이 됩니다. 같은 이유로 3의 배수, 5의 배수를 지워나갈 때 그 "마지막 묶음"의 개수에 따라서 계산식이 달라질 것입니다.
이를 소수를 찾는 원리가 아니라 단지 소수의 개념을 정의하기 위한 수치적인 개념으로만 접근해서 한 소수 M에 대해 M * 1/2 * 2/3 * 4/5 ... M-1/M의 값을 계산해보면,
M = 2일 때 2 * 1/2 = 1
M = 3일 때 3 * 1/2 * 2/3 = 1
M = 5일 때 5 * 1/2 * 2/3 * 4/5 = 1.333...
M = 7일 때 7 * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 = 1.6
M = 11일 때 11 * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 * 10/11 = 2.2857..
M = 13일 때 13 * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 * 10/11 * 12/13 = 2.4935...
M = 17일 때 17 * 1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 * 10/11 * 12/13 * 16/17 = 3.0689...
로, 상당히 "불규칙(?)"하게 "발산"하는 형태를 보입니다.
이게 모든 소수에 적용되는지는 확실치 않지만, 만약 그렇다면 가장 큰 소수 N에 대해 N * 1/2 * 2/3 * 4/5 * ... * N-1/N > 1이라는 식은 N이 가장 큰 소수가 아니라는 개념과 전혀 상관이 없어 보입니다. 애초에 모든 소수에 대한 그 값이 1보다 크고, 심지어 소수가 커질수록 계산값 역시 지속적으로 커지니깐요.

[@mathlab8437]

제 생각에는 처음에 17로 예를 드셨는데, N=2×3×5×7×11×13×17=4,594,590으로 매우 큰 숫자이고 모든 소수의 곱으로 되어있어서 모든 소수의 배수가 됩니다.
예를들어 5를 가장 큰 소수라 하면, 2×3×5=30이고, 2,3,5의 배수를 지우면 8개가 남는데 이는 2×3×5×(1/2)×(2/3)×(4/5)=8 과 일치합니다. 이것은 존재하는 모든 소수가 2,3,5이고 5가 가장 큰 소수라고 했기 때문에 생기는 모순입니다. 안지워진 7,11,13,17,19,23,29를 더 지워야하며, 이 안지워진 숫자들은 가정대로라면 합성수가 되어야 하는데 아닙니다. 그러므로 더 큰 소수가 존재해야하고 아는 가정에 모순됩니다.
제 영상에서 숫자를 지워나가는 부분이 오해를 불러일으킬수있겠다는 생각이 듭니다ㅠㅠ
혹시 제가 잘못이해하고있다면 가르쳐주세요^^

[@김지훈-n6k]

@@mathlab8437 지금 보니 어제 새벽이라 그런지 질문을 완전 이상하게 했네요.. ㅋㅋㅋ 가장 큰 소수는 P인데 N을 소수로 생각해버렸나봅니다.. 소수의 곱이라는 것부터 이미 소수가 아닌데 말이죠..
지금은 이해가 됐습니다! 이상한 질문해서 죄송합니다

[@퐈이리화낫다]

아름다워요 랄랄

[@승수노-z3e]

소수1>2배수 3배수 5배수 7배수11배수13배수