【集合論#18】選択公理

チャンネル登録や高評価いただけると大変励みになります！
■ファンレターやプレゼントの宛先はこちら
〒153-0042
東京都目黒区青葉台3-6-28 住友不動産青葉台タワー2F
株式会社Kiii　AKITO宛
※冷蔵・冷凍が必要な、なま物の受付はできません。
■お仕事のご依頼等
[e-mail]
チャンネル登録をお願いします。
/ @akito2922
暇つぶしチャンネルもやっております。
/ @akito634
Twitter(@Akito_ut)のフォローもお願いします。
/ akito_ut

[@kakemika5973]

数学が好きだからこその言い争いがコメント欄で展開されてて、日本の未来は明るいと思いました。

[@yokojkato]

こんなに分かり易い選択公理の説明は今までありませんでした。有難うございます。

[@blackcamellia9894]

さて、投稿日に動画の冒頭を見て日和って、ここまで先延ばしにした上で漸く拝見させて頂きました
抽象的な議論は本当に頭がこんがらがります
何回も停止して戻って再生し直して、やっと何が言われてるのかが掴めてきました
結局Λが有限じゃない場合に
各集合から元を取り出すのに「無限個の操作」が必要になる
からこの公理が議論の対象になるんですね
無限って本当に厄介な概念です...

[@akiyoshi_skymonkey]

なんとかついてきてたのに、ここにきてさっぱりだ

[@jeuxjeux11]

自明なことを言ってるようにしか聞こえないんですが、選択公理を仮定する必要性はどこにあるんでしょうか。数学者たちは何が問題で公理として採用しているんですか？

[@EEquals2718281828]

1年前のコメントに対して今更なんですが、「自明に聞こえるのに証明できない」から公理として採用するんですよ。

[@mathenglab144]

選択公理を説明する際、なぜ選択公理が必要なのかを具体例で示してあげないと、学習者はその必要性が理解できないと思います。
写像 s や pλ の存在を示しても、それらの必要性を説明してあげないと、初学者には(だから何なのよ、という感じで)選択公理の必要性が理解できないと思います。

[@Mokkon]

添え字集合が正体不明なトコロがこの手の公理を謎めいた物にするんだろうなと思ったりしました。
結局、選択公理が通用すると決めておいて色々議論し、最後に添え字集合が選択公理が通用する範囲で利用されるのだというだけのように思えています。

[@jalmar40298]

選択公理好き　選択公理警察嫌い

[@folium5391]

選択公理ッポ

[@jalmar40298]

@@folium5391 すき

[@mkt2116]

一個の球から同じ大きさの無限この球が作れる定理は何でしょう

[@user-qk1hb9rr1l]

Banach-Tarski

[@岡山修-y7n]

冒頭で、選択公理を採用するか否かは「流儀」の違い、みたいな軽いノリで言っていますが、それは違いますよ。
選択公理が成り立たないとどうなるか？
実数が構成できない。従って微分や積分も定義できなくなる。17世紀あたり以降の数学は、捨て去らなければならない。
おそらく、捨て去らなければならないのは、アルキメデス以降2000年以上積み上げてきたものになる。これは、現代の我々にとっての「数学」が、ほぼ崩壊するに等しい。
人類は、選択公理を、採用せざるを得ないので採用しているのです。

[@マルフォイ-g3x]

ZFCなら選択公理がなくても無限の公理さえあれば構成できるくね？

[@岡山修-y7n]

実数の連続性を証明するには選択公理が必要です。弱い形のもので良いですが。

[@saundersN]

@@岡山修-y7n 実数の連続性あたりでは選択公理は（弱い形の可算選択公理ですら）必要ありません．
古典的な解析学で選択公理が本質的に現れるのは「関数の連続性」あたりからです．
おそらく基本的なのは，「(1）ε-δ論法による関数の連続性の定義」⇔「(2）収束点列による関数の連続性の定義」を示すときでしょう．
(1)から(2)は選択公理は必要なく，(2)から(1)には選択公理が必要になります．
しかし，(2)から(1)を使わなくてもかなりの部分の古典的な解析は展開できますから，
>実数が構成できない。従って微分や積分も定義できなくなる。17世紀あたり以降の数学は、捨て去らなければならない。
は言いすぎです．
ZFCをZFに弱めても，実数は定義できますし実数の連続性(連結性）あたりなら問題ありません．そもそも「ε-δ論法による関数の連続性」にも選択公理は必要ありませんから，それでなんとかなる範囲なら基本的な解析学はZFの範囲で展開できることもわかるでしょう．
選択公理の次ぐらいに強い置換公理ですら，古典的な解析学では出番が殆どありません．ZFと二階算術以上の論理による言語は基本的な解析を展開するにおいて十分すぎるほどに強いのです．
関数解析ならハーン・バナッハの定理がありますから「選択公理なし」だとその足場から危うくなりますが．

[@岡山修-y7n]

@@saundersN 実数の連続性の公理には、同値なものがいくつかありますが、どれも選択公理を前提にしていますよ。
「実数ｒに収束する数列A_n」と言った場合、「どんな実数ｒに対しても、ｒに収束する数列が存在する」ことが仮定されています。これは、ｒの(可算な、基本)近傍系の上の選択関数が存在する、ということです。
なので、選択公理なしでは、(2)の「収束点列による関数の連続性」は定義できません。

[@saundersN]

@@岡山修-y7n それは置換公理の範囲で証明できるものです．素朴集合論+選択公理ではなくZFCをきちんと勉強しましょう．
選択公理は置換公理よりも強い公理なので，置換公理で証明可能な定理はすべて選択公理によって証明されてしまいます．
「選択公理を使わなければ証明されない」ということを示すためには，選択公理を使って証明するだけでは不十分なのですよ．

[@LoveScarletDevil]

射影の全射性ですが、
そもそも全てのAラムダ（ですよね。複数ありますが）の成分を一つずつ取り出してくるので、取り出さないような成分ってのはないです。
成分一つでも順序列（順序組）というらしいですが、とにかくこんなもの証明より理解した方が早いです。

[@Mido-R]

11:03 のことですね。
あなたの主張は「選択公理を使わなくとも全射性は成り立つ」ということだと思いますが、それは間違いです。
動画の証明は正しいですし、そのようにしないと証明できません。

[@uuumjdgx]

@LoveScarletDevilってひとたくさんコメントしてるけど、自分の馬鹿さを披露してるだけで笑う

[@LoveScarletDevil]

ちょっと待って、紐付けている、じゃない。
「紐付けられている」
だわ。怒りのあまり間違えた。

[@母-m6x]

自分が理解できないから相手が間違えてるはずだ。ってのはちょっと傲慢すぎないか。

[@LoveScarletDevil]

なにか黒丸の入力を入れたらなにかxという適当な値が返ってくるってのは、入力（大阪）が出力でAラムダ（東京の23区全部）をきちんと網羅する（全射である）ってのと全然違う。
大阪をきちんと出発（直積を写像関数に入れること）したのに、鹿児島、ハワイ、ブラジル（の首都はブラジリア）みたいに全ての定義域が何らかのAラムダと全く関係ない場所に紐付けてるだけ。
分かってないのに分かるふりせずに、
「何の証明にもなっていないですよ」
と言えばいい。

[@Mido-R]

12:35 前後のことですね。
ここで示そうとしていることは、「任意の x に対して、ある・が存在して、p_λ(•)=x となる」という主張で、これは p_λ が全射であるということです。
したがって動画の証明は正しいです。

[@LoveScarletDevil]

右側の5行目のPから始まる左辺、わざと間違っとるな。（）bラムダの添字はラムダダッシュじゃなくてラムダだろ。

[@Mido-R]

15:19 のことですね。
λ では不適切で、λ´ で正しいですよ。
（12:22で λ を一つ固定しています。そこで、集合 Λ 全体を動く元として新しく λ´ を使っています。）

[@LoveScarletDevil]

そもそもムチャクチャな内容で証明になっていないので、この回は飛ばそう。ふざけんなよマジで。

[@Mido-R]

私はムチャクチャではないと思いました。

[@ねむ-e9c]

何がムチャクチャなんだ……論理に従って考えれば、理解できるというのに。