【数学】選択公理について！！！【VOICEROID解説】

[@ぷりにー-x4x]

自分メモ
有限なら一つずつ取っていけば最後が必ずある。ということはもし仮に空集合を含んでいればゴールまでの過程で空集合から取り出すという操作が含まれるから、取り出せないという結果が生じる。
しかし無限の場合、一つずつ取り出してもずーっと先の方に空集合があればそこまで取り出すという操作を続けられるかは自明ではない。でも多分有限の時と同じことが起こりそうだから公理にするっていう感じかな。

[@udon_math]

コメントありがとうございます。
ご名答。その通りです！

[@volatilerye]

解説ありがとうございます！ループ再生して理解していきます

[@udon_math]

コメントありがとうございます。
結構飛ばしちゃったところもあるので、なにか疑問があれば何でもコメントください！

[@proper_tajiri8175]

既に理解されている内容かもしれませんが、一応……他の人の参考のためにも。
6:34 実際のところは、可算個であっても取り出すという操作は自明ではなく、難なく取り出せるような気がしてはいけません。可算個の選択を認める公理は可算選択公理と言います。
有限個の集合からそれぞれ取り出して列を作る操作は、それらの集合に全くルールが定められていなくとも有限の長さの（論理式で表現可能な）手続きで元を一つ一つ取り出すことで達成できます。なので、選択公理が無くとも、空でない集合の有限直積は空ではないのです。
有限でない直積では、各集合に特別な構造が無いなどで要素を選択するルールが定められない場合、上記のような手続きを真似しようとも有限の長さの論理式で表現できませんので、直積が空でないことが主張できません。
逆に、莫大な個数の集合からそれぞれ取り出す場合であっても、例えばそれらがすべて自然数集合 N であれば、値が全て2の定数関数などの存在は認められるので、選択公理に頼らずに直積が空でないことが言えます。

[@udon_math]

補足ありがとうございます！

[@mountain95555]

ものすごいわかりやすいです‼︎

[@udon_math]

コメントありがとうございます。
とても光栄です！これからもよろしくお願い致します！

[@santa_tonakai]

7:09
よくわかんないんですけど
選択公理が主張してる内容って、（我々人類がまだわかってないだけで）実際は正しいか間違ってるか決まってるんですよね？

[@udon_math]

コメントありがとうございます。
選択公理関連についてはそこまで深入りしたことないのでわからないですが、証明できないことは示されているんじゃないんでしょうかね...。
正しいか正しくないかわからないなら、リーマン予想のように未解決問題として挙がっている気がします。

[@santa_tonakai]

@@udon_math
ありがとうございます
「証明できるかどうか」と「正しいかどうか」って完全に一致してるんですか？

[@udon_math]

@@santa_tonakai そこら辺の話は数学基礎論という分野になりそうで、私は全くわからないですが、一致はしてないと思います。

[@merdekaataumati1949]

「正しいとしても、公理系として矛盾しない」し、「正しくないとしても、公理系として矛盾しない」ことは、証明されているとおもいます。
つまり、選択公理を認める世界も矛盾しないし、
選択公理を認めない世界も矛盾しない。

[@アルト-b7w]

f:R→R
全体からなる集合{f}は無限個の直積になってるってこと？
選択公理を認めないってことはそんなfは存在しないってことなのかな？

[@udon_math]

コメントありがとうございます。
実数など特別な集合の場合は選択公理は必要ありません。
選択公理は選択関数が取れるという公理ですが、例えば実数の場合はf(x)≡0という関数が普通にとってこれるので選択公理は不要です。

[@odango-i1g]

動画投稿お疲れ様です. 非常に素晴らしい動画だと感じたのですが, 2 点程気になった箇所がありましたので, 少しコメントさせていただきます.
まず 1 点めに, [注意 4] で, Λ={1,…,n} とすれば, 定義 1 と定義 3 の直積は一致するとありましたが, 正確には一致しないんですね. あくまで, 定義 1 の意味での A_1×…×A_n は順序対の (中でも a_i∈A_i, 1≦∀i≦n という条件を満たすものの) 集まりであり, 定義 3 の意味での Π_{i=1}^{n} A_i は, 写像 a:{1,…,n}→∪_{i=1}^{n} A_i で a_i:=a(i)∈A_i, 1≦∀i≦n を満たすもの全体ですから, 片方は順序対, もう片方は写像なんですね. 両者は違う数学的対象ですが, 順序対 (a_1,…,a_n) と写像 (a_i)_{i=1,…,n} を同一視すれば, 定義 1 の意味での直積 A_1×…×A_n と定義 3 の意味での直積 Π_{i=1}^{n} A_i は等しいと見なすことができます. 正確にはこのような “同一視” をすることによって, 定義 3 を定義 1 の一般化したものだと考えます.
2 点目に, 動画内で集合系 (A_λ)_{λ∈Λ} という言葉がありましたが, 正確には集合族という言葉が正しいです. 集合系というのは, 元を集合とするような集合のことです. 一方, 集合族とは集合に値をとる写像のことを言います. 集合系と集合族は似て非なるものです. 例えば, A, B を相異なる集合として
X_1:=A, X_2:=B,
Y_1:=B, Y_2:=A
によって 2 つの集合族 (X_i)_{i=1,2}, (Y_i)_{i=1,2} を定めたとします. このとき, {X_1,X_2}, {Y_1,Y_2} をそれぞれ集合系と見たとき (このような表現を使うのは, 便宜上, {X_1,X_2}, {Y_1,Y_2} のとこも集合族ということがあるからです), 勿論 {X_1,X_2}={Y_1,Y_2} です. しかし, 集合族としては (X_i)_{i=1,2}≠(Y_i)_{i=1,2} です (X_1≠Y_1 ですからね).

[@udon_math]

コメントありがとうございます。
前半に関して、
確かに同一視を暗にしていましたね。なにも考えてなかったです。
後半に関して、
集合系と集合族ってそのような違いがあったのですね...。驚きです！私は基本集合族という単語しか使わなかったのですが、参考にした内田先生の御本が集合系で統一されてたのでそちらをなにも考えずに使用してしまった次第です。
ご丁寧な指摘、ありがとうございます！！

[@odango-i1g]

@@udon_math ご返信ありがとうございます. より正確にいいますと, 集合族 (A_λ)_{λ∈Λ} (丸い括弧を使う) 場合は, 対応として考えますが, 集合族 {A_λ}_{λ∈Λ} と使う場合は集合系の意味で使うことが殆どです. 多くの数学の専門書では, 集合族 {A_λ}_{λ∈Λ} と使うことが殆どですから, そういった意味では集合族と集合系を使い分けることはあまりないんですよね.
追伸. 自分のコメントに “元を集合とするような集合”, “集合族とは集合に値をとる写像” と書いてありましたが, 正確には “元を集合とするような集まり”, “集合族とは集合に値をとる対応” でした. 偉そうなことを書いておきながら, 間違えたことを書いておりました. 申し訳ありません.

[@udon_math]

@@odango-i1g 返信ありがとうございます。
ちょっとお酒が入ってるので頓珍漢なこと質問していたら申し訳ありません。
訂正の件ですが、"集合全体のあつまりは集合ではない"ということも加味したってことですよね。
集合族自体は集合になる。集合系自体は集合にならない可能性がある。という感じでしょうか。

[@udon_math]

@@odango-i1g 追加で返信失礼致します。
訂正で"集合族とは集合の値をとる写像ではなく対応"と仰られていましたが、
"対応"というのは写像とはちがって沢山行く先があるモノという認識だと思うんですが、集合族って添字からの写像じゃないんですか...？
対応ということは、１つの添字から何個もその添字をもつ集合があるということですよね...。

[@odango-i1g]

@@udon_math 集合系は集合でなくなる可能性はあります.
集合族は, 申し訳ないのですが, 分からないですね.
集合族に対し “対応” という表現を用いたのは, 集合族は終域を気にしないからです. 写像というのは, 始域, あるいは定義域と呼ばれる集合と, 終域, あるいは target と呼ばれる “2 つの集合” が指定され, 初めて定義されます. 一方, 集合族は添え字集合と呼ばれる集合 Λ が指定され, 各 λ∈Λ に対し集合 A_λ が定められていればよいわけです. この意味で, 集合族は終域を気にしない写像ということもできなくはないですが, 一般の写像のように “2 つの集合” が指定されていないので, “写像” という言葉を避け, “対応” という言葉を使いました.