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【✅数学アプリ作りました！】『数学図鑑』高校数学や大学数学をビジュアルで楽しむアプリです!apps.apple.com/jp/app/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9B%B3%E9%91%91-%E3%83%93%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%81%A7%E7%90%86%E8%A7%A3%E3%81%99%E3%82%8B%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%AA/id6499109813『素数マージ』スイカゲームの素数バージョンです!apps.apple.com/jp/app/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%B8/id6503350877【✅動画内で言及した動画】【ゆっくり解説】2と5は実は素数ではない…!? ～美しいガウス素数の世界～ruclips.net/video/Fd_c0oQDLDQ/видео.html【✅この動画に関連するおススメの書籍】ハミルトンが書いた「四元数」の書籍↓（ただし偽物っぽいので購入は推奨しません...）amzn.to/3Z0jlTc
7:40 のとこのwell-defined性の証明ちょっと正確じゃないですよ。分かってたらすいません！
実数を一元数、複素数を二元数、などとテキトーと書いてみて、拡張が１→２→４→８だから、もぅいっちょやろうとすると・・・、出来なくはないんだろうけど、すごいことになりそうなのでやめた方がいいな (;^_^A ｱﾂｶｴﾙﾆﾝｹﾞﾝｶﾞｲﾙﾄﾊｵﾓｴﾅｲｼところで、この四元数って、元々どんな問題を解決するために必要だったの？、という疑問が残ります
3次元の物体の姿勢を数で表す場合、人間にとって割と直観的なのは「ロール・ピッチ・ヨー」の3つの角度で表すことですね。あと3×3行列を使う方法もあって、これは「物体を基準通りに置いた場合のX・Y・Zそれぞれの軸」の長さ1のベクトルを、どのようなベクトルに変更するのかで表します。3次元のベクトル3つなので9要素。…ただ、行列やロールピッチヨーだと「2つの姿勢の間の姿勢を60分割で計算して」…とかが難しい。全く出来なくはないんですが大きな差のある姿勢同士の間を求めると不正確になります。じゃあ、と正確さを求めるために中間を計算して補正してまた中間を…みたいにもできますが計算に時間が掛かります。3Dグラフィックスだとそれは「中割りの計算が難しい」事になるので、四元数がよく使われます。四元数で姿勢を表現すると、この「2つの姿勢の間のたくさんの姿勢」が正確かつ比較的高速に計算出来ます。「球面線形補間」とか「slerp」とか呼ばれています。欠点として、人間が読み書きするには非常に分かりにくいです。数値を見てどんな姿勢か想像しづらいのです。また、ほとんどのコンピュータも3Dグラフィックスを行列で扱っているので、行列への変換は必須と言えます。姿勢を表す四元数を、姿勢を表す行列に変換する式があるので、常時変換されます。また姿勢の行列を四元数に直すのも、一意には定まらないものの一応あるので、必要に応じて行列を四元数にします。
四元数の直感的に良い点は、直交座標と極座標を融合した複素数のように、オイラー角表示(固定3軸回転)と任意軸回転(1軸回転)を相互切り替えられる点と、オイラー角やロール-ピッチ-ヨーよりも冗長なためジンバルロックが生じない点ですね。もちろん、アニメーションのように動かす場合、回転途中の状態を簡単に計算できるというのは四元数の唯一無二の利点です。そして、計算の仕方は回転行列とそれほど変わらないのに、パラメーターが少ないために計算速度が早いのと、連続積で計算誤差が出た場合に行列を正規化して回転行列にするのが難しいのに対して、四元数はノルムで除算するだけで正規化して回転行列に戻しやすい点ですかね…(回転行列はアフィン変換の一部のため、誤差が出て正規化できないと歪みが出やすいです…自力で実装した場合)
あと姿勢を四元数で表す利点として、計算機で生じる掛け算の誤差を補正するのが簡単ってところですねポリゴンで表されたモデルの姿勢を回転行列で表した場合、回転を2回したときの姿勢は回転行列×回転行列で表されますが、これが計算機（というか浮動小数点表示）特有の計算誤差によって回転行列ではなくなることがありますこれを回転行列に戻すのには結構な計算コストがかかってしまいますし、1回2回の掛け算では目に見えるほどの問題が出てこないのですが、これをずっと放置してるとどんどん計算誤差が溜まっていって、ついにはモデルが歪むなどの変形が発生してしまいますこれに対して、姿勢を四元数で表しておくと四元数同士の掛け算で生じた誤差は計算結果の四元数の長さを1にすることで自然に補正できるからかなり便利なんですよねGPUに渡すときには行列にしなくちゃいけないというハード側の制約があるので行列も重要なんですが、そこ以外では四元数で姿勢データを保持しておくのが一般的ですね
動画内で霊夢が疑問を呈してくれるタイミングが、私が感じる疑問とバッチリ嚙み合ってとても気持ちよかったです。
4元数は実用性ないなあと思って見ていたけど、３Dグラフィクスの利用に役に立つの面白いです。
√(-1)=iは作れるのにn/0=jは作れない理由の恐ろしいほど分かりやすい説明を見た気がした
数値制御旋盤で加工時のプログラムで、円弧や回転方向のプログラムにIJKを使う理由はこれだったのか
最後の終わり方が好き
ガウスやケーリーほどの偉大な数学者の名前が、高校数学の範囲まではそれぞれ「ガウス記号」と「ケーリー-ハミルトンの定理」ぐらいでしか出てこないのは嘆かわしい、と高校時代の数学教師が言っていたのを思い出しました
しかも今の高校数学ではケーリーハミルトンの定理が出てこないんですよね。
今は亡き数C行列
ユーグリットの互除法
高校レベルの初歩の数学では説明するのが困難な程度には偉大なんでしょう
別にそれは良いんじゃないか？どこが嘆かわしいのか意味がわからん。
小学校の掛け算は非可換ですよ。四角形の面積を横×縦で書くと✗をもらいます
回答用紙に証明をかいてたら○が貰えるんだよ、きっと
無能教師に対する皮肉好き
小学校の算数は上官の理不尽に耐える軍隊教育だからね。上官の言ったこと以外のことをしたらもちろん懲罰。
自分の時は確か可換性を習った後に小テストやったから掛け算の順番での✗はなかったわ
四角形の回転も禁止しないとね(笑)
新高2ですが文系で数学だけ苦手で、自分の中の数学への抵抗感をなくしたいな～と思って暇な時間に色んな数学の動画を見漁ったりしているんですが、とても面白かったです！私はまだこの動画の霊夢のようにその場で疑問が出るほど定着できておらず、霊夢が発言して初めて「たしかに！！なんでだ！？」となるレベルなんですが、それでもわかりやすくて完全には理解できなくても面白いな～と思える動画でした。もっともっと数学の知見を広げてより数学の楽しさを理解したいと思います！良い動画をありがとうございます！
がんばれ高校生！🎉
ユークリッド空間で、実時間は、対称性Cに対応する＝熱力学的な時間の矢（エントロピー増大）。虚数軸は、対称性Pに対応する＝心理学的な時間の矢（過去と未来の区別）。スピンは、対称性Tに対応する＝宇宙論的な時間の矢（宇宙は膨張する）。
非ユーグリッド空間じゃないですか🤔❓
四元数を聞いてて掛け算の順番を入れ替えたら結果が変わるで思ったのが料理とかさしすせそとかみたいに同じ材料を使っても砂糖や塩なんかの順番が変わるだけで味が変わるみたいなのを感じた割と実生活だと順番を重視する事は他にもありそう化学とか特に
右を向いてから下を向く場合と下を向いてから右を向く場合で最終的な向きが変わるとかどうですかね？
パズルゲームで言うところの新しいギミックを続編やアプデで入れることで全然違う問題が楽しめる様になる感じなのかな
アプデ一つでゲームバランスがちょっと揺らぐみたいなね
3D空間の回転は、xyz軸それぞれの回転で表した方が人間にとっては直観的で分かりやすいんですけど、例えばx軸をy軸の周りで90°回すとz軸と重なってしまい、x軸とz軸の回転が見た目上区別がつかなくなり、圧倒的に不便になります。（ジンバルロック）四元数（クォータニオン）はこれを解決できる上に、回転の最小距離も簡単に求められるので重宝するんですね。
数学の頭おかしいすごいところは普通は「ルール通りにやると矛盾するなら、定義は間違ってる」と考える、「理論通りにならないなら実験方法が悪い」と考えるでも数学者は「定義してるのだからルールのほうが間違ってる」って考える、だから新しい発見が行われる
@@panaffyp 極めて一般的に考えるからこそ様々な分野、というか様々な学問の基盤として使われるわけですもんね
天才ハミルトンもＪＫは愛なんだなあ。
これを一般化した「2^n 元数」に拡張したくなりますね。実数(一元数)はn=0、複素数(二元数)はn=1、四元数はn=2、８元数はn=3 ...
次元が上がると数字自体の関連性が低くなっていくのか...一番上の次元までいくと全ての数字が独立してそう
ちゃんと最後にアフィン変換しててわろた。
掛け算の順序にこだわる小学校教諭は、将来四元数の勉強で困らないようにしてくれてるのかもしれない。
ゲームで三次元座標の計算しようと思ったときに二次元での虚数を3次元に拡張するための似た存在作れないかなと思って自作で実装したあとに四元数知ってちょっと悲しかった
車輪の再発明だったとわかってもすごいですよ
しかも2iを 2"j"って 誤字してる
@denta_RTA再発明ほど難しいものはﾅｲ!
@@ニュース番組て政府の感想電気工学では虚数をjとしてるのでコメ主が電気工学を使っているならせめられん
クォータニオン懐かしいです！その昔僕がジオメトリー系のプログラム書いてた時にお世話になってた奴ですね。詳細に解説頂きまして有難う御座います。理解が深まりました！
4元数は量子力学でめっちゃ使うね。よく電子とかのスピンがただの角運動量とは違う(普通の回転行列では表せられない)と言っても無学者にはピンとこないけど、4元数で表現される回転って説明すると割と理解されやすい。あと量子コンピュータの量子ビットの状態は4元数が使われてる。
そうか、ベクトル解析では𝕚, 𝕝, 𝕜で3次元ベクトルを扱うけど、ベクトルの係数である実数を加えて四元数なんだ。ということは四元数は3次元空間に実数の軸を加えたと考えた方がしっくりくるなぁ
湯川秀樹が素領域を解説してるときに四元数を使っててそこでお手上げになってたんです。ありがとうございます❣️
素粒子がそれ以上分割できない粒子の最小単位であるように、素領域は空間の最小単位。空間は素領域の集まり。
四元数は人工衛星（宇宙船）の姿勢制御には欠かせませんネ。
ハルミトンは ベクトル表現、行列表現 も作り出して 現代数学の礎の一つを構築しました。
ハミルトン 石橋に書いた 四元数 ベクトル表現 行列表現
天気予報のアルゴリズムを思い出した。座標がxyz、運動量は3次元ベクトルでijkだな。
四元数のゼータ関数がどんな値を取るのか興味があります。
かける数を前後させたり順番変えたりすると答え変わるって、なんか行列っぽいね。四元数が三次元空間の回転を表してるってことは、実数部を時間軸とおいて残り3つの虚数部で空間のx, y, z軸を表してるってことなのかな？
i,j,kの実数部を回転軸の向き（三次元ベクトル）、スカラー部は回転角と見做して使います。あと、行列の代替物として使う場合、確か正規化（ノルムが１）しないとダメなはずです。
四元数というのは初めて聞きましたが、かけ算の非可換性と空間における回転のイメージはできました。i,j,k軸のみの３次元空間で数をベクトルとして考えたとき、kを(後ろから)掛けること＝k軸を軸にして90°回転すると考えるということですね。これだと、掛ける順が逆になるとプラスマイナスが反転してしまいます。
ロドリゲスの回転公式とクォータニオンが合わさると回転を表現できるようになる。ちなみに位置もまとめて扱えるダブルクォータニオンというのもある
次元が増えるごとに、マルチバースへの夢が広がります。
でもみんなが想像するマルチバースとは違いそう。何か幾何学模様見たいな感じになりそう
複素数が二次元を表すから二元数とすると二元数→四元数→八元数と来てるから次に出てくるのは十六元数になるのかな？
２のｎ乗 元数はすべて存在するらしいけど 法則がどんどん壊れていくらしいです
僕もその認識てす。可換性や結合性が八元数を考える時点で犠牲になつているのて、それ以上大きな数を考えていくことはあまり数学的には有用でなかったような記憶があります(そんなことないぜ！ってのがあれはぜひ教えてください)
@@HaluNo9 １６元になると AB＝０であっても どっちも０でないパターンもあるみたい ３２元に関しては記憶が正しくない可能性もあるが 足し算の可換性も消えるだとか...
@@Ayaka.Enanan 加法の可換性や結合性はどこまで拡張しても消えません。加法はそのまま足すだけ(線形)なので、文字式と同じ要領で計算できます。
このビデオはとても興味深かったです。数学の世界が奥深く描かれており、新たな数、特に虚数や複素数についての説明は明快で分かりやすかったです。また、天才数学者の思考プロセスを追体験できる点も素晴らしかったです。
回転できる関節構造を持つ3次元の生き物は、じつは四元数の計算法則に矛盾しない方向に進化してきていた、ということかな…
四元数は最近のレーダーの解析に使われてますね。多元行列式でも解けるけど、もっと単純化できるので、計算量が減るんじゃなかったかな?
2乗したら-1になる数を求める式のところ、めんどくさくていいから途中の計算式ぱぱっと見せて欲しかった目で追うから
二乗すると-1になる数は無限にあるとのことですが、その内のどれをiだと思って複素数の体系を作っても良いということなんですかね?
３次元空間中の点で回転する物体の運動を表す数学と考えると、わかりやすいんではないかな。xyz系か極座標系で変数３つ、回転軸別に３つ+で計６つ変数の...あれっ？
大きさの倍率と回転軸3つの計4つの変数でいけそうですか？四元数をこの動画で初めて学んだので合ってるかは分からないです
行列の掛け算の順序を変えると結果が変わるのは、これと関係あるのかな。
複素数での計算の結果が複素数の範囲から出てしまうことはありますか？自然数だけの場合は負の数や分数が必要になって、負の数を導入すると虚数も必要になりますが、虚数を導入したことによって新しい数が必要になることはありますか？
ありません。自然数、整数、有理数までの拡張は代数的な拡張であり、これらは計算によって定義されて拡張されていますが、複素数は実数の二重化によって拡張されているので、計算によって複素数の範囲を超えて拡張されるとことはありません。
一つの次元だと考えてください。三次元の私たちは三次元はもちろん、二次元や一次元は観測できるけど四次元は観測できません。要するに格が同列以下なら扱えるけど、それより上になることはないし、計算に出ることもないです。自然数の話も自然数
コメ主の発想もその下の解答も面白いな
複素数はそれで閉じてる
1/0は複素数上では定義されていないけど、リーマン球面や拡張複素数という複素数に無限遠点を加えた集合上ては定義されているらしいので、飛び出すことはあります！
プレステもPCゲームも、全ての3Dゲームは四元数使ってるから、誰もが知らないうちに四元数の恩恵に預かってる。
Jk=愛を説いた天才……
JK＝私（アイ）説
でもiは虚なんですよね....(失恋直後並感)
つまりjkは存在しない…？
jk×jk=i×iで-1(百合は実在する！)になるっていうのを考えたんだけど順序がアウトなのか
このコメント欄すき
虚数を何気なくjで書いてるけど、iとjで別のものを表す場合もあるのか
昔3Dプログラミングを触ったことがあるのですが、回転させる順番によって結果が変わりました。それが非可換性のことでしょうか。位置を決める４つの配列変数にi, j, kとタグをつけていると考えれば何となく理解できるような気がします
物理では、i を x軸、j を y 軸、k を z 軸にあてるのが慣例ですね。ややこしか。
非可換を理解したいのなら、行列を勉強するのがいいと思う。計算不能な行列同士の乗法のケースが存在するから。
行列式と同じか
「Cayley-Hamiltonの定理 」として習いますねそう、動画にも出てきた２人です(^^)
数学の凄さがよくわかりました！
三元数の0=-b+ac+(a+bc)i+(c2+1)jは0=1-1+2-2みたいに相殺でできないんですかね?
虚数単位の拡張よりも前に…実数の範囲内の反復性がプラス方向の歪みを持つ現代数学は…自ずから限界がある…マイナス反復性の導入の方が優先順位が高い…(±)反復性はゼロ反復性に帰結する事くらい…中学生でも予想可能である…掛け算と割り算の不変量シフトは…無数に定義可能である…デカルト座標の正方形を縦長長方形と横長長方形の十字形変形に変換することも可能である…不変量設定(±3)と(±(1/3))はセットで十字架型座標になる…#(3-(1/3))×#(3-(1/3))=#((3-(1/3))÷#((3-(1/3))=±3and(±(1/3))……………………#(3-(1/3))=+(3-(1/3))−(3-(1/3))………変則的な伸縮サイクルになるが………特殊相対論的な伸縮サイクルと何やら関連するかも知れない…縦横比(3:1)の長方形と縦横比(1:3)の長方形が十字架型に直交して無限遠まで伸びていく座標である…
非可換性の話の時、そういえばUnityにも掛け算なのに入れ替えると値が変わる何かがあったなと思ったら…四元数ってクォータニオンの日本語名やんけ！
可換性、結合性の有無とか。あまり覚えてないけど、ベクトルとか数列みたいだね。i.j.kって要素が増えたり掛け算の順番とかの話が出てきたらなんとなくその辺りがぼや〜んと思い出されました。
なんとなく素人ながらに「3D空間には回転軸が3つあるから四元数で扱うと都合がいいんだな」と理解しました。……あってます？
わたしもあなたと同じように直観して、解の無限個性もわかった気がしたけど、3次元の空間の単位ベクトルi,j,kがi^2＝j^2＝k^2＝-1(単位ベクトルの大きさが-1)に気づいたらまたわからなくなりました。
@@tsuyoshiyanagi7919 i^2=j^2=k^2=-1 と ij=k jk=i ki=j は四次元座表面の回転を表す概念じゃ無いでしょうか。知らんけどww
@@namwons33 ちょっとわからんけど、複素平面だと、iは90度の回転に相当し、i^2＝-1は180度、i^4＝1は360度に相当ですね。ここから類推^^すると、i,j,kは３つに複合した複素空間？4次元？での回転を表しそうですね。あなたの考え、正しいかもよ。だれかわかるひと教えてください！
だから空間ベクトルの基底ってi,j,kで表すんか
名前だけは知っていたので、解説されて面白かったです。3次元回転を表現できるとは面白い。
複素数 a+bi (a≠0,b≠0で示す)
i、jとkの関係が、2つの直行する単位ベクトルとその外積の関係の様に見えるのですが、どちらかの存在が他方を生み出したのでしょうか？
どうも、四元数の存在が、ベクトル演算を発展に導いたようですね。ハミルトンの発明、恐るべし。
交換法則が成り立たないといえば、行列を思い出す
見つけたのか、造りだしたのか。
三元数が無く四元数がある事と、この世が純粋な三次元空間ではなく時間を加えた四次元時空である事に関連性はありますかね？
時間軸は他の三次元の空間軸と等価ではなく、空間軸との回転とかに制限があるので、四元数で拡張するときにも制限がありそうですねー。直感ですが
通常0で割ることは禁止されているが、1/0=1z,4/0=4z みたいな新たな数字を定義したらどうなるだろうか。・・・まぁ数学的に矛盾し破綻するんでしょうね。
z=4zだね
定義を元に新しい数論ができると思う
次元を行列で表すとすれば、確かに非可換と言える
n番目の元数？は2^nで表せるかは、まだわかってないのかな？もし合ってたら、十六元数とか三十二元数とかで宇宙の解明とかにつながるかもってこと？
どうしても頭の中でピンとこないけれども、画面の傾きに連動する3Dモデルとかは四次元を想定した方が再現出来るのかなと何となく思う
四元数掛け算の非可性って、実数の行列演算との関係性はあるんですかねえ？両方とも掛ける順番で答えが違うけど。
真 逆 裏 対偶 みたいなイメージ やっぱりこの世界重なってるんじゃね
昔の学者が発見した法則やアイデアに感動してるだけじゃ、生み出す側には回れないんだよ。
四元数は「複素[複素数]」なんですね。複素数 x+yi の xとy に、異なる虚数単位 j の複素数 a+bj と c+dj を代入すると (a+bj)+(c+dj)i となり、複素[複素数]を表すには実部＋i虚部＋j虚部＋ji虚部の４項が必要になるのは必然ですね。この虚[虚数]単位 ji（便宜的に i、j と置いただけなので、この時点では ij でも構いません）を虚数単位 k と表し、４次元行列変換が矛盾なく適用されるために乗法の交換法則を犠牲にしたと考えると分かりやすいと思います。
てことは、八元数は４次元での回転を表現できるって事か...すごいな
四元数では4次元での回転を表現できるそうですよ八元数なら8次元までの回転を表現できそうですね
@@おかしいお菓子 なるほど、動画では「３次元での回転→四元数で表現できる」と書いてありますが四元数は４次元までの回転を表現できるので、実用的な３次元での回転に主に使われている。という事なんですね。となると、８次元世界までは実在する可能性があるという事になるのか...やはりすごいな
@@高円寺まどか 16元数もあるらしいもう訳が分からん
直感的には2^n元数なら作れそうではある
次元は無限にある可能性がある...ってコト！？我々の住む宇宙がこんなにもちっぽけな存在だったなんて、彼はまだ知る由もないのであった。
四次元数だと表記順で結果が変わるのではなく、表記ルールが四次元数に対応していないのではないか
っす、すまん既に前半で理解を超えた･･･
魔理沙が「そういうことだ」っていうたびに東大医学部のアイツを思い出す
霊夢「なるほど、要するに～～」魔理沙「そういうことだ」ーーー数十秒後ーーー霊夢「なるほど、要するに～～」魔理沙「そういうことだ」自分「…」ｽｩｰｰ､ｶﾁｯ（ブラウザバック）
お前「ｽｩ--､ｶﾁｯwﾌﾞﾗｳｻﾞﾊﾞｯｸwww」(ｺﾒﾝﾄﾎﾟﾁﾎﾟﾁ😤
@@アリス-b6k よくわかったな…
「ハミルトン」という名前を見て「なんか聞き覚えあるな」と思い「ケーリー」の名前が出てきて「あぁ、ケーリー・ハミルトンの定理の人たちか」と納得した。この2人は師弟関係(というかファンと推し?)だったと高校数学の授業で聞いたことがあったので...懐かしくなった。
アンサイクロペディアでは、1=2が証明されてるのに😮
8:06 の等式はどこから得られたものなんですか？なぜijがa+bi+cjと同値である必要があるのか分からないのですが…
正確には等式ではないぞ。等式であると仮定した状態だからな。まず、三元数の範囲においてすべての数は一般にa+bi+cjと表現できると定義する。だからijは必ずa+bi+cjの形で表せると仮定できる。そしたらjの項において係数に矛盾が生じたから-1の平方根となる新たな数kを定義した。そうすると三元数自体は矛盾が生じるから存在できないけど四元数においてa+bi+cjの形で表せる数は存在できるから数学という学問の範囲で矛盾が発生することはなくなったのだよ。
@@atuy_esaman 等式ではなく「(0+1i+0j)×(0+0i+1j)＝(a+bi+cj) を満たす実数a,b,cを求めよ」って方程式と考える…でいいのかな？とはいえ(a+bi+cj)ってそもそも「任意の三元数」だから、三元数が系として成立するなら解が求められなければならないが、あっさり矛盾すると。
あー、ijが三元数であるならば一般的な形であるa+…で表される必要があるから、って意味でしたか…合点がいきました。ありがとうございます。
素数概念は掛け算と割り算の不変量シフトでどんどん変化する…ゼロ反復性に準拠する単位球を無限遠まで拡大すると…全ての素数が消滅するのである…これ以外の不変量設定で素数の増減はいくらでも見いだせると予想される…
要するに3次元空間は4次元の中に存在し4次元から見たら3次元は無限個存在するという意味ですか？
数学やってると掛け算の順序を変える方が許せなくなってくる
え？やっちゃっていいんですか？って戸惑うことがあるw
なんか1ijkをxyztに対応づけたらtの対称性と不可逆性に絡んできそうな気がしたけどたぶん気のせい
空を飛ぶドローンの制御に使われていそうな数ですね！
二乗すると虚数になる数とかありそうだよね
ないなら作ればいい！その性質を考えてみよう！数学ってのは自分で作れるのが醍醐味ですよ！
こういうことですかね(1+i)/√2
クォータニオンを見て見ぬふりしながらオイラー角に縋りついてたけどちゃんと勉強しなきゃだなぁ…
なんか四元数を使って時間の不可逆性とか示せそう
四元数ってなんか外積みたいだな
そういえば、電子工学での虚数はjなんだけど(iは電子工学では電流を表すため)、四元数のjを使っているという妄想をしています。あと、次元を増やすって考えなら、ラグランジュの未定定数とか使うと次元をどんどん増やせていけますよね。
文系だから良くわからないんですが複素数って2次元なんですか？
掛け算が非可換ってなんかベクトル外積みたいやな
全く用途がない気がするけど、絶対値がマイナスになる数があっても良いと思うんだ
どんな数を足しても0になるxは、両辺からxを引いて消してはいけないっていう法則がありそう。3x=4xは両辺からxを割って消してはいけないようにね
3x=4xの場合は両辺からxを割って消してはいけないって特殊ルールがあるわけじゃなくて、ただ0で割ってはいけないってルールなだけだと思う。
四元数はijkの三次元空間を表せそうですね。かけ算をすると法線方向を向きますね。そうすると順番を変えると+-が逆になるのも納得ですね。
ハミルトンと云えばハミルトニアン、ハミルトン方程式が量子力学の基礎教科書では1冊に数十回登場するお方だ。
新しい数、n^2=1 且つ n≠1とか、n^2=0 且つ n≠0とか作れますねi^2=j^2=-1, i≠j, k^2=1, k≠1 ってやると、実数が2つ、虚数が2つでバランスいいですね
行列のシンドい計算を思い出した…
数よりも概念を見つけたほうがおもろいと思う
i…x方向の単位ベクトルj…y方向の単位ベクトルk…z方向の単位ベクトル俺、大学の物理学でこう習ったけど四元数に通じるのかな？
142857についての動画も見てみたいっす
1,2,4,8と来たら次は16なのかな
モーザ数列で検索
7:33 てことは無限は数学的に価値がないってこと？
解は無限個の部分、もう少し具体的に欲しかった……具体例数個とかでもいいからイメージできるようにこの手の動画を見に来る人にとっては理屈無しはよろしくない
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【✅この動画に関連するおススメの書籍】
ハミルトンが書いた「四元数」の書籍↓（ただし偽物っぽいので購入は推奨しません...）
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7:40 のとこのwell-defined性の証明ちょっと正確じゃないですよ。分かってたらすいません！
実数を一元数、複素数を二元数、などとテキトーと書いてみて、拡張が１→２→４→８だから、もぅいっちょやろうとすると・・・、
出来なくはないんだろうけど、すごいことになりそうなのでやめた方がいいな (;^_^A ｱﾂｶｴﾙﾆﾝｹﾞﾝｶﾞｲﾙﾄﾊｵﾓｴﾅｲｼ
ところで、この四元数って、元々どんな問題を解決するために必要だったの？、という疑問が残ります
3次元の物体の姿勢を数で表す場合、人間にとって割と直観的なのは「ロール・ピッチ・ヨー」の3つの角度で表すことですね。
あと3×3行列を使う方法もあって、これは「物体を基準通りに置いた場合のX・Y・Zそれぞれの軸」の長さ1のベクトルを、どのようなベクトルに変更するのかで表します。3次元のベクトル3つなので9要素。
…ただ、行列やロールピッチヨーだと「2つの姿勢の間の姿勢を60分割で計算して」…とかが難しい。
全く出来なくはないんですが大きな差のある姿勢同士の間を求めると不正確になります。
じゃあ、と正確さを求めるために中間を計算して補正してまた中間を…みたいにもできますが計算に時間が掛かります。
3Dグラフィックスだとそれは「中割りの計算が難しい」事になるので、四元数がよく使われます。
四元数で姿勢を表現すると、この「2つの姿勢の間のたくさんの姿勢」が正確かつ比較的高速に計算出来ます。
「球面線形補間」とか「slerp」とか呼ばれています。
欠点として、人間が読み書きするには非常に分かりにくいです。数値を見てどんな姿勢か想像しづらいのです。
また、ほとんどのコンピュータも3Dグラフィックスを行列で扱っているので、行列への変換は必須と言えます。
姿勢を表す四元数を、姿勢を表す行列に変換する式があるので、常時変換されます。
また姿勢の行列を四元数に直すのも、一意には定まらないものの一応あるので、必要に応じて行列を四元数にします。
四元数の直感的に良い点は、直交座標と極座標を融合した複素数のように、オイラー角表示(固定3軸回転)と任意軸回転(1軸回転)を相互切り替えられる点と、オイラー角やロール-ピッチ-ヨーよりも冗長なためジンバルロックが生じない点ですね。
もちろん、アニメーションのように動かす場合、回転途中の状態を簡単に計算できるというのは四元数の唯一無二の利点です。
そして、計算の仕方は回転行列とそれほど変わらないのに、パラメーターが少ないために計算速度が早いのと、連続積で計算誤差が出た場合に行列を正規化して回転行列にするのが難しいのに対して、四元数はノルムで除算するだけで正規化して回転行列に戻しやすい点ですかね…
(回転行列はアフィン変換の一部のため、誤差が出て正規化できないと歪みが出やすいです…自力で実装した場合)
あと姿勢を四元数で表す利点として、計算機で生じる掛け算の誤差を補正するのが簡単ってところですね
ポリゴンで表されたモデルの姿勢を回転行列で表した場合、回転を2回したときの姿勢は回転行列×回転行列で表されますが、これが計算機（というか浮動小数点表示）特有の計算誤差によって回転行列ではなくなることがあります
これを回転行列に戻すのには結構な計算コストがかかってしまいますし、1回2回の掛け算では目に見えるほどの問題が出てこないのですが、これをずっと放置してるとどんどん計算誤差が溜まっていって、ついにはモデルが歪むなどの変形が発生してしまいます
これに対して、姿勢を四元数で表しておくと四元数同士の掛け算で生じた誤差は計算結果の四元数の長さを1にすることで自然に補正できるからかなり便利なんですよね
GPUに渡すときには行列にしなくちゃいけないというハード側の制約があるので行列も重要なんですが、そこ以外では四元数で姿勢データを保持しておくのが一般的ですね
動画内で霊夢が疑問を呈してくれるタイミングが、私が感じる疑問とバッチリ嚙み合ってとても気持ちよかったです。
4元数は実用性ないなあと思って見ていたけど、３Dグラフィクスの利用に役に立つの面白いです。
√(-1)=iは作れるのにn/0=jは作れない理由の恐ろしいほど分かりやすい説明を見た気がした
数値制御旋盤で加工時のプログラムで、円弧や回転方向のプログラムにIJKを使う理由はこれだったのか
最後の終わり方が好き
ガウスやケーリーほどの偉大な数学者の名前が、高校数学の範囲まではそれぞれ「ガウス記号」と「ケーリー-ハミルトンの定理」ぐらいでしか出てこないのは嘆かわしい、
と高校時代の数学教師が言っていたのを思い出しました
しかも今の高校数学ではケーリーハミルトンの定理が出てこないんですよね。
今は亡き数C行列
ユーグリットの互除法
高校レベルの初歩の数学では説明するのが困難な程度には偉大なんでしょう
別にそれは良いんじゃないか？
どこが嘆かわしいのか意味がわからん。
小学校の掛け算は非可換ですよ。
四角形の面積を横×縦で書くと✗をもらいます
回答用紙に証明をかいてたら
○が貰えるんだよ、きっと
無能教師に対する皮肉好き
小学校の算数は上官の理不尽に耐える軍隊教育だからね。
上官の言ったこと以外のことをしたらもちろん懲罰。
自分の時は確か可換性を習った後に小テストやったから掛け算の順番での✗はなかったわ
四角形の回転も禁止しないとね(笑)
新高2ですが文系で数学だけ苦手で、自分の中の数学への抵抗感をなくしたいな～と思って暇な時間に色んな数学の動画を見漁ったりしているんですが、とても面白かったです！私はまだこの動画の霊夢のようにその場で疑問が出るほど定着できておらず、霊夢が発言して初めて「たしかに！！なんでだ！？」となるレベルなんですが、それでもわかりやすくて完全には理解できなくても面白いな～と思える動画でした。もっともっと数学の知見を広げてより数学の楽しさを理解したいと思います！良い動画をありがとうございます！
がんばれ高校生！🎉
ユークリッド空間で、実時間は、対称性Cに対応する＝熱力学的な時間の矢（エントロピー増大）。虚数軸は、対称性Pに対応する＝心理学的な時間の矢（過去と未来の区別）。スピンは、対称性Tに対応する＝宇宙論的な時間の矢（宇宙は膨張する）。
非ユーグリッド空間じゃないですか🤔❓
四元数を聞いてて掛け算の順番を入れ替えたら結果が変わるで思ったのが
料理とかさしすせそとかみたいに同じ材料を使っても砂糖や塩なんかの順番が変わるだけで味が変わるみたいなのを感じた
割と実生活だと順番を重視する事は他にもありそう
化学とか特に
右を向いてから下を向く場合と
下を向いてから右を向く場合で
最終的な向きが変わる
とかどうですかね？
パズルゲームで言うところの新しいギミックを続編やアプデで入れることで全然違う問題が楽しめる様になる感じなのかな
アプデ一つでゲームバランスがちょっと揺らぐみたいなね
3D空間の回転は、xyz軸それぞれの回転で表した方が人間にとっては直観的で分かりやすいんですけど、
例えばx軸をy軸の周りで90°回すとz軸と重なってしまい、x軸とz軸の回転が見た目上区別がつかなくなり、圧倒的に不便になります。（ジンバルロック）
四元数（クォータニオン）はこれを解決できる上に、回転の最小距離も簡単に求められるので重宝するんですね。
数学の頭おかしいすごいところは
普通は「ルール通りにやると矛盾するなら、定義は間違ってる」と考える、「理論通りにならないなら実験方法が悪い」と考える
でも数学者は「定義してるのだからルールのほうが間違ってる」って考える、だから新しい発見が行われる
@@panaffyp 極めて一般的に考えるからこそ様々な分野、というか様々な学問の基盤として使われるわけですもんね
天才ハミルトンもＪＫは愛なんだなあ。
これを一般化した「2^n 元数」に拡張したくなりますね。実数(一元数)はn=0、複素数(二元数)はn=1、四元数はn=2、８元数はn=3 ...
次元が上がると数字自体の関連性が低くなっていくのか...一番上の次元までいくと全ての数字が独立してそう
ちゃんと最後にアフィン変換しててわろた。
掛け算の順序にこだわる小学校教諭は、将来四元数の勉強で困らないようにしてくれてるのかもしれない。
ゲームで三次元座標の計算しようと思ったときに二次元での虚数を3次元に拡張するための似た存在作れないかなと思って自作で実装したあとに四元数知ってちょっと悲しかった
車輪の再発明だったとわかってもすごいですよ
しかも2iを 2"j"って 誤字してる
@denta_RTA
再発明ほど難しいものはﾅｲ!
@@ニュース番組て政府の感想電気工学では虚数をjとしてるのでコメ主が電気工学を使っているならせめられん
クォータニオン懐かしいです！その昔僕がジオメトリー系のプログラム書いてた時にお世話になってた奴ですね。詳細に解説頂きまして有難う御座います。理解が深まりました！
4元数は量子力学でめっちゃ使うね。
よく電子とかのスピンがただの角運動量とは違う(普通の回転行列では表せられない)と言っても無学者にはピンとこないけど、4元数で表現される回転って説明すると割と理解されやすい。
あと量子コンピュータの量子ビットの状態は4元数が使われてる。
そうか、ベクトル解析では𝕚, 𝕝, 𝕜で3次元ベクトルを扱うけど、ベクトルの係数である実数を加えて四元数なんだ。
ということは四元数は3次元空間に実数の軸を加えたと考えた方がしっくりくるなぁ
湯川秀樹が素領域を解説してるときに四元数を使っててそこでお手上げになってたんです。ありがとうございます❣️
素粒子がそれ以上分割できない粒子の最小単位であるように、素領域は空間の最小単位。空間は素領域の集まり。
四元数は人工衛星（宇宙船）の姿勢制御には欠かせませんネ。
ハルミトンは
ベクトル表現、行列表現 も作り出して
現代数学の礎の一つを構築しました。
ハミルトン
石橋に書いた
四元数
ベクトル表現
行列表現
天気予報のアルゴリズムを思い出した。
座標がxyz、運動量は3次元ベクトルでijkだな。
四元数のゼータ関数がどんな値を取るのか興味があります。
かける数を前後させたり順番変えたりすると答え変わるって、なんか行列っぽいね。
四元数が三次元空間の回転を表してるってことは、実数部を時間軸とおいて残り3つの虚数部で空間のx, y, z軸を表してるってことなのかな？
i,j,kの実数部を回転軸の向き（三次元ベクトル）、スカラー部は回転角と見做して使います。あと、行列の代替物として使う場合、確か正規化（ノルムが１）しないとダメなはずです。
四元数というのは初めて聞きましたが、かけ算の非可換性と空間における回転のイメージはできました。
i,j,k軸のみの３次元空間で数をベクトルとして考えたとき、
kを(後ろから)掛けること＝k軸を軸にして90°回転する
と考えるということですね。
これだと、掛ける順が逆になるとプラスマイナスが反転してしまいます。
ロドリゲスの回転公式とクォータニオンが合わさると回転を表現できるようになる。ちなみに位置もまとめて扱えるダブルクォータニオンというのもある
次元が増えるごとに、マルチバースへの夢が広がります。
でもみんなが想像するマルチバース
とは違いそう。何か幾何学模様見たいな感じになりそう
複素数が二次元を表すから二元数とすると
二元数→四元数→八元数と来てるから次に出てくるのは十六元数になるのかな？
２のｎ乗 元数はすべて存在するらしいけど 法則がどんどん壊れていくらしいです
僕もその認識てす。
可換性や結合性が八元数を考える時点で犠牲になつているのて、それ以上大きな数を考えていくことはあまり数学的には有用でなかったような記憶があります(そんなことないぜ！ってのがあれはぜひ教えてください)
@@HaluNo9 １６元になると AB＝０であっても どっちも０でないパターンもあるみたい ３２元に関しては記憶が正しくない可能性もあるが 足し算の可換性も消えるだとか...
@@Ayaka.Enanan
加法の可換性や結合性はどこまで拡張しても消えません。
加法はそのまま足すだけ(線形)なので、文字式と同じ要領で計算できます。
このビデオはとても興味深かったです。数学の世界が奥深く描かれており、新たな数、特に虚数や複素数についての説明は明快で分かりやすかったです。また、天才数学者の思考プロセスを追体験できる点も素晴らしかったです。
回転できる関節構造を持つ3次元の生き物は、じつは四元数の計算法則に矛盾しない方向に進化してきていた、ということかな…
四元数は最近のレーダーの解析に使われてますね。
多元行列式でも解けるけど、もっと単純化できるので、計算量が減るんじゃなかったかな?
2乗したら-1になる数を求める式のところ、めんどくさくていいから途中の計算式ぱぱっと見せて欲しかった
目で追うから
二乗すると-1になる数は無限にあるとのことですが、その内のどれをiだと思って複素数の体系を作っても良いということなんですかね?
３次元空間中の点で回転する物体の運動を表す数学と考えると、わかりやすいんではないかな。xyz系か極座標系で変数３つ、回転軸別に３つ+で計６つ変数の...あれっ？
大きさの倍率と回転軸3つの計4つの変数でいけそうですか？
四元数をこの動画で初めて学んだので合ってるかは分からないです
行列の掛け算の順序を変えると結果が変わるのは、これと関係あるのかな。
複素数での計算の結果が複素数の範囲から出てしまうことはありますか？
自然数だけの場合は負の数や分数が必要になって、負の数を導入すると虚数も必要になりますが、虚数を導入したことによって新しい数が必要になることはありますか？
ありません。
自然数、整数、有理数までの拡張は代数的な拡張であり、これらは計算によって定義されて拡張されていますが、複素数は実数の二重化によって拡張されているので、計算によって複素数の範囲を超えて拡張されるとことはありません。
一つの次元だと考えてください。三次元の私たちは三次元はもちろん、二次元や一次元は観測できるけど四次元は観測できません。要するに格が同列以下なら扱えるけど、それより上になることはないし、計算に出ることもないです。
自然数の話も
自然数
コメ主の発想もその下の解答も面白いな
複素数はそれで閉じてる
1/0は複素数上では定義されていないけど、リーマン球面や拡張複素数という複素数に無限遠点を加えた集合上ては定義されているらしいので、飛び出すことはあります！
プレステもPCゲームも、全ての3Dゲームは四元数使ってるから、誰もが知らないうちに四元数の恩恵に預かってる。
Jk=愛を説いた天才……
JK＝私（アイ）説
でもiは虚なんですよね....(失恋直後並感)
つまりjkは存在しない…？
jk×jk=i×iで-1(百合は実在する！)になるっていうのを考えたんだけど順序がアウトなのか
このコメント欄すき
虚数を何気なくjで書いてるけど、iとjで別のものを表す場合もあるのか
昔3Dプログラミングを触ったことがあるのですが、回転させる順番によって結果が変わりました。それが非可換性のことでしょうか。位置を決める４つの配列変数にi, j, kとタグをつけていると考えれば何となく理解できるような気がします
物理では、i を x軸、j を y 軸、k を z 軸にあてるのが慣例ですね。ややこしか。
非可換を理解したいのなら、行列を勉強するのがいいと思う。計算不能な行列同士の乗法のケースが存在するから。
行列式と同じか
「Cayley-Hamiltonの定理 」として習いますね
そう、動画にも出てきた２人です(^^)
数学の凄さがよくわかりました！
三元数の
0=-b+ac+(a+bc)i+(c2+1)j
は
0=1-1+2-2
みたいに相殺でできないんですかね?
虚数単位の拡張よりも前に…実数の範囲内の反復性がプラス方向の歪みを持つ現代数学は…自ずから限界がある…マイナス反復性の導入の方が優先順位が高い…(±)反復性はゼロ反復性に帰結する事くらい…中学生でも予想可能である…掛け算と割り算の不変量シフトは…無数に定義可能である…デカルト座標の正方形を縦長長方形と横長長方形の十字形変形に変換することも可能である…不変量設定(±3)と(±(1/3))はセットで十字架型座標になる…#(3-(1/3))×#(3-(1/3))=#((3-(1/3))÷#((3-(1/3))=±3and(±(1/3))……………………#(3-(1/3))=+(3-(1/3))−(3-(1/3))………変則的な伸縮サイクルになるが………特殊相対論的な伸縮サイクルと何やら関連するかも知れない…縦横比(3:1)の長方形と縦横比(1:3)の長方形が十字架型に直交して無限遠まで伸びていく座標である…
非可換性の話の時、そういえばUnityにも掛け算なのに入れ替えると値が変わる何かがあったなと思ったら…四元数ってクォータニオンの日本語名やんけ！
可換性、結合性の有無とか。
あまり覚えてないけど、ベクトルとか数列みたいだね。
i.j.kって要素が増えたり掛け算の順番とかの話が出てきたらなんとなくその辺りがぼや〜んと思い出されました。
なんとなく素人ながらに
「3D空間には回転軸が3つあるから四元数で扱うと都合がいいんだな」
と理解しました。
……あってます？
わたしもあなたと同じように直観して、解の無限個性もわかった気がしたけど、3次元の空間の単位ベクトルi,j,kがi^2＝j^2＝k^2＝-1(単位ベクトルの大きさが-1)に気づいたらまたわからなくなりました。
@@tsuyoshiyanagi7919
i^2=j^2=k^2=-1 と ij=k jk=i ki=j は四次元座表面の回転を表す概念じゃ無いでしょうか。知らんけどww
@@namwons33 ちょっとわからんけど、複素平面だと、iは90度の回転に相当し、i^2＝-1は180度、i^4＝1は360度に相当ですね。ここから類推^^すると、i,j,kは３つに複合した複素空間？4次元？での回転を表しそうですね。あなたの考え、正しいかもよ。だれかわかるひと教えてください！
だから空間ベクトルの基底ってi,j,kで表すんか
名前だけは知っていたので、解説されて面白かったです。3次元回転を表現できるとは面白い。
複素数 a+bi (a≠0,b≠0で示す)
i、jとkの関係が、2つの直行する単位ベクトルとその外積の関係の様に見えるのですが、
どちらかの存在が他方を生み出したのでしょうか？
どうも、四元数の存在が、ベクトル演算を発展に導いたようですね。
ハミルトンの発明、恐るべし。
交換法則が成り立たないといえば、行列を思い出す
見つけたのか、造りだしたのか。
三元数が無く四元数がある事と、この世が純粋な三次元空間ではなく時間を加えた
四次元時空である事に関連性はありますかね？
時間軸は他の三次元の空間軸と等価ではなく、空間軸との回転とかに制限があるので、四元数で拡張するときにも制限がありそうですねー。直感ですが
通常0で割ることは禁止されているが、1/0=1z,4/0=4z みたいな新たな数字を定義したらどうなるだろうか。
・・・まぁ数学的に矛盾し破綻するんでしょうね。
z=4zだね
定義を元に新しい数論ができると思う
次元を行列で表すとすれば、確かに非可換と言える
n番目の元数？は2^nで表せるかは、まだわかってないのかな？もし合ってたら、十六元数とか三十二元数とかで宇宙の解明とかにつながるかもってこと？
どうしても頭の中でピンとこないけれども、画面の傾きに連動する3Dモデルとかは四次元を想定した方が再現出来るのかなと何となく思う
四元数掛け算の非可性って、実数の行列演算との関係性はあるんですかねえ？両方とも掛ける順番で答えが違うけど。
真 逆 裏 対偶 みたいなイメージ やっぱりこの世界重なってるんじゃね
昔の学者が発見した法則やアイデアに感動してるだけじゃ、生み出す側には回れないんだよ。
四元数は「複素[複素数]」なんですね。複素数 x+yi の xとy に、異なる虚数単位 j の複素数 a+bj と c+dj を代入すると (a+bj)+(c+dj)i となり、複素[複素数]を表すには実部＋i虚部＋j虚部＋ji虚部の４項が必要になるのは必然ですね。この虚[虚数]単位 ji（便宜的に i、j と置いただけなので、この時点では ij でも構いません）を虚数単位 k と表し、４次元行列変換が矛盾なく適用されるために乗法の交換法則を犠牲にしたと考えると分かりやすいと思います。
てことは、八元数は４次元での回転を表現できるって事か...すごいな
四元数では4次元での回転を表現できるそうですよ
八元数なら8次元までの回転を表現できそうですね
@@おかしいお菓子 なるほど、動画では「３次元での回転→四元数で表現できる」と書いてありますが
四元数は４次元までの回転を表現できるので、実用的な３次元での回転に主に使われている。という事なんですね。
となると、８次元世界までは実在する可能性があるという事になるのか...やはりすごいな
@@高円寺まどか 16元数もあるらしいもう訳が分からん
直感的には2^n元数なら作れそうではある
次元は無限にある可能性がある...ってコト！？
我々の住む宇宙がこんなにもちっぽけな存在だったなんて、彼はまだ知る由もないのであった。
四次元数だと表記順で結果が変わるのではなく、表記ルールが四次元数に対応していないのではないか
っす、すまん
既に前半で理解を超えた･･･
魔理沙が「そういうことだ」っていうたびに東大医学部のアイツを思い出す
霊夢「なるほど、要するに～～」
魔理沙「そういうことだ」
ーーー数十秒後ーーー
霊夢「なるほど、要するに～～」
魔理沙「そういうことだ」
自分「…」ｽｩｰｰ､ｶﾁｯ（ブラウザバック）
お前「ｽｩ--､ｶﾁｯwﾌﾞﾗｳｻﾞﾊﾞｯｸwww」(ｺﾒﾝﾄﾎﾟﾁﾎﾟﾁ😤
@@アリス-b6k よくわかったな…
「ハミルトン」という名前を見て「なんか聞き覚えあるな」と思い
「ケーリー」の名前が出てきて「あぁ、ケーリー・ハミルトンの定理の人たちか」と納得した。
この2人は師弟関係(というかファンと推し?)だったと高校数学の授業で聞いたことがあったので...懐かしくなった。
アンサイクロペディアでは、
1=2が証明されてるのに😮
8:06 の等式はどこから得られたものなんですか？
なぜijがa+bi+cjと同値である必要があるのか分からないのですが…
正確には等式ではないぞ。
等式であると仮定した状態だからな。
まず、三元数の範囲においてすべての数は一般にa+bi+cjと表現できると定義する。
だからijは必ずa+bi+cjの形で表せると仮定できる。
そしたらjの項において係数に矛盾が生じたから-1の平方根となる新たな数kを定義した。
そうすると三元数自体は矛盾が生じるから存在できないけど四元数においてa+bi+cjの形で表せる数は存在できるから数学という学問の範囲で矛盾が発生することはなくなったのだよ。
@@atuy_esaman
等式ではなく「(0+1i+0j)×(0+0i+1j)＝(a+bi+cj) を満たす実数a,b,cを求めよ」って方程式と考える
…でいいのかな？
とはいえ(a+bi+cj)ってそもそも「任意の三元数」だから、三元数が系として成立するなら解が求められなければならないが、あっさり矛盾すると。
あー、ijが三元数であるならば一般的な形であるa+…で表される必要があるから、って意味でしたか…
合点がいきました。ありがとうございます。
素数概念は掛け算と割り算の不変量シフトでどんどん変化する…ゼロ反復性に準拠する単位球を無限遠まで拡大すると…全ての素数が消滅するのである…これ以外の不変量設定で素数の増減はいくらでも見いだせると予想される…
要するに3次元空間は4次元の中に存在し4次元から見たら3次元は無限個存在するという意味ですか？
数学やってると掛け算の順序を変える方が許せなくなってくる
え？やっちゃっていいんですか？って戸惑うことがあるw
なんか1ijkをxyztに対応づけたらtの対称性と不可逆性に絡んできそうな気がしたけどたぶん気のせい
空を飛ぶドローンの制御に使われていそうな数ですね！
二乗すると虚数になる数とかありそうだよね
ないなら作ればいい！
その性質を考えてみよう！
数学ってのは自分で作れるのが醍醐味ですよ！
こういうことですかね
(1+i)/√2
クォータニオンを見て見ぬふりしながらオイラー角に縋りついてたけどちゃんと勉強しなきゃだなぁ…
なんか四元数を使って時間の不可逆性とか示せそう
四元数ってなんか外積みたいだな
そういえば、電子工学での虚数はjなんだけど(iは電子工学では電流を表すため)、四元数のjを使っているという妄想をしています。あと、次元を増やすって考えなら、ラグランジュの未定定数とか使うと次元をどんどん増やせていけますよね。
文系だから良くわからないんですが複素数って2次元なんですか？
掛け算が非可換ってなんかベクトル外積みたいやな
全く用途がない気がするけど、絶対値がマイナスになる数があっても良いと思うんだ
どんな数を足しても0になるxは、両辺からxを引いて消してはいけないっていう法則がありそう。
3x=4xは両辺からxを割って消してはいけないようにね
3x=4xの場合は両辺からxを割って消してはいけないって特殊ルールがあるわけじゃなくて、ただ0で割ってはいけないってルールなだけだと思う。
四元数はijkの三次元空間を表せそうですね。
かけ算をすると法線方向を向きますね。
そうすると順番を変えると+-が逆になるのも納得ですね。
ハミルトンと云えばハミルトニアン、ハミルトン方程式が量子力学の基礎教科書では1冊に数十回登場するお方だ。
新しい数、n^2=1 且つ n≠1とか、n^2=0 且つ n≠0とか作れますね
i^2=j^2=-1, i≠j, k^2=1, k≠1 ってやると、実数が2つ、虚数が2つでバランスいいですね
行列のシンドい計算を思い出した…
数よりも概念を見つけたほうがおもろいと思う
i…x方向の単位ベクトル
j…y方向の単位ベクトル
k…z方向の単位ベクトル
俺、大学の物理学でこう習ったけど四元数に通じるのかな？
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1,2,4,8と来たら次は16なのかな
モーザ数列で検索
7:33 てことは無限は数学的に価値がないってこと？
解は無限個の部分、もう少し具体的に欲しかった……具体例数個とかでもいいからイメージできるように
この手の動画を見に来る人にとっては理屈無しはよろしくない