L'empilage de racines peut aussi s'écrire 7^(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). La somme d'exposants tend vers 1 et le résultat tend donc vers 7^1 donc 7.
Super vidéo, le raisonnement est beau et simple ! Cela dit, on passe sous le tapis le fait que x est une quantité finie (important pour ne pas aboutir à des absurdités), ce qui n'est pas si évident que ça.
Merci Prof ! Il faut faire super attention avec les sommes, produits et puissances (dont les racines carrées) à l’infini, parfois trop vites simplifiées et conclusions fausses. Tu nous a convaincu. Bien démontré. 😉👏
Résolution d'une exceptionnelle élégance...c'est toute la beauté des mathématiques... Quand je comparais les mathématiques à de la poésie, au lycée, les camarades me regardaient avec des yeux inquiets, me prenant pour un grand malade ! moi, j'aime les deux, la vraie poésie, et les mathématiques. Merci pour cette belle démonstration
La vidéo suggère que le membre de gauche vaut 7, mais ce n'est pas une démonstration !! En effet il faut écrire les racines tout temps... dès qu'on s'arrête d'écrire on n'a pas l'égalité (=7) La vraie démonstration est suivante: 1) C'est une suite récurrente u_(n+1) = f(u_n) avec f(x) = rac(7x) dans ]0, infini[ u_(n+1) = rac(7u_n) u_0 = rac(7) 2) la fonction f est strictement croissante ==> u_n est monotone 3) u_1 > u_0 ==> u_n est croissante 4) u_n < 7 (raisonement par récurrence) ==> u_n est convergente vers l (point fixe de f) 5) l=f(l) ; car f est continue ==> l=7 finalement u_n tend vers 7
Merci encore pour tes vidéos, c'est toujours un plaisir. Tes élèves ont vraiment de la chance d'avoir un prof passionné et passionnant comme toi: bravo ! Je me permets une petite suggestion, une potentielle idée pour une future vidéo. J'ai découvert sur le tard la vérité sur les prêts immobiliers: j'ai longtemps et naïvement cru qu'un taux à 2% sur 100 000€ (par exemple) coûtait en réalité 2 000€ (en plus du remboursement de la somme initiale bien sûr). On aurait fait, comme l'énoncé de la phrase "Je te fais un prêt à 2%" le suggère, 100 000€ x 2% pour calculer la somme totale des intérêts dûs. Or la vérité est bien plus tordue (et surtout coûteuse), puisqu'en réalité le taux est quelque part appliqué à chaque mensualité. Je trouve que faire une vidéo sur le sujet serait instructif et éclairerait peut-être quelques lanternes (dont la mienne 😉). J'espère que cette idée te plait. Dans tous les cas, continue comme ça ! 👏
Tes vidéos sont une très grande source d’inspiration merci 🤩. J’ai essayé avec la méthode du point fixe., c’est tout aussi élégant … Tu peux faire une vidéo avec cette méthode ? ;-)
Bonjour, Il y a de grosses approximations je trouve: Dans la 1ere partie, après avoir élevé au carré, dire que x² = 7x revient à dire que la suite infinie de racines de 7 (donc x) est égale à une suite infinie de racines mais avec une racine de 7 en moins (que tu identifies aussi à x). Dans la 2e partie, tu oublies le x * x sous la racine. même si c'est infini, ça se termine toujours par racine de x * x et pas racine de x. Donc on ne retrouve pas la suite infinie de départ, dans laquelle on ne voit pas le 7 * 7 à la fin. N'hésite pas à argumenter, je ne demande qu'à apprendre, comme tous tes viewers :)
Sa démonstration est jolie pour intéresser aux mathématiques sous-jacentes. Maintenant il ne cherche pas à approfondir la question d'infini, d'où les approximations que tu relèves. C'est toujours le problème de la vulgarisation : cela va éblouir ceux à qui c'est destiné, et c'est cela l'important, donner envie, montrer un aspect ludique. Mais cela frustrera ceux qui s'y intéressent déjà plus. Sa façon de faire est simple sans se soucier de simplifier le concept d'infini, une approche par 7 puissance la limite de la somme des 1/2^n quand n va de 1 à +l'infini évite les questionnements sauvages mais demande de comprendre des principes mathématiques certes simples pour l'averti mais plus compliqués pour le néophyte. J'approuve cette vidéo pour l'enthousiasme et parce qu'elle est destinée à un public plus jeune ou moins averti à mon humble avis.
Attention: - Dans la première preuve il manque la preuve que ce nombre existe (tu n'a fais que la partie analyse d'une preuve par analyse-synthèse si tu veux). Encore dit autrement, il faudrait montrer que la suite Un=sqrt(7.sqrt(7.sqrt(7)...) converge. - Dans la deuxième preuve il manque la justification finale pour le passage à la limite. Ce n'est pas parce qu'une propriété est vraie à chaque fois que l'on ajoute des termes qu'elle est vraie "à la limite". Il faut pour cela un argument de continuité (facile ici, étant donné que l'application sqrt(x) est continue).
Attention cependant à la convergence, ici c'est bon, mais dans d'autres cas assez similaire, avec le même raisonnement, on pourrait démontrer des choses nettement plus suspectes
Ce manque de rigueur chez hedac est certainement ∞ Un étudiant qui m'aurait fait ça en kholle repartait avec un 0 et un coup de pied où je pense.... Même si ces petits exercices sont intéressant, la moindre des chose serait, pour le moins de prévenir sur la rigueur.
2:35 : il faudrait dire que comme racine(7) est supérieur à 1 : multiplier à l'infini donnera plus de 0 - sinon si 0< racine(x) < 1 alors racine(x) multiplié par lui même à l'infini tend vers 0.
C'est très sympa pour le collège et la seconde, mais la principale chose qui me manque est la définition propre de l'énoncé. 😁 Il faudrait introduire une suite récurrente : Pour tout n de N, u(n+1)=sqrt(a*u(n)), et u(0)=sqrt(a) où a>0 (à noter qu'on peut aussi définir cette suite si a=0, et elle est alors constante à 0, sans grande surprise ! 😂). Le nombre cherché est la limite de la suite u. On constate que la fonction f vérifiant que pour tout n de N, u(n+1)=f(u(n)) n'a que 2 points fixes : 0 et a. Il suffit ensuite de montrer que la suite est croissante et majorée par a si a>1, constante à 1 si a=1 et décroissante et minorée par a si a
1:45 T'es un magicien. Je regarde la suite mais déjà là la complexité apparente dévoile son élégante simplicité. (Enfin c'est toi qui la dévoile mais on s'entend).
Soit ✓a le terme u₁=✓a d'une suite uₙ telle que uₙ₊₁ = ✓(a × uₙ) Par récurrence, on démontre (ci-après) que si uₙ = k alors a = k^(2ⁿ/(2ⁿ−1)) Quand n tend vers l'infini, alors (2ⁿ/(2ⁿ−1)) tend vers 1 et donc k tend vers a Et donc quand a=k=x on a: ✓x✓x✓x✓x✓...=x EDIT: Démonstration par récurrence à revoir et démonstration de la convergence de la suite manquante. Démonstration par récurrence : Initialisation (n = 1): Lorsque n = 1, u₁ = √a = k. Et donc a = k². Hypothèse de récurrence: Soit pour un entier n = m, si uₘ = k, alors a = k^(2ᵐ/(2ᵐ-1)). Étape de récurrence (n = m + 1): Nous devons montrer que si uₘ₊₁ = k, alors a = k^(2^(m+1)/(2^(m+1)-1)). Nous avons : uₘ₊₁ = √(a * uₘ) = k Donc, √(a * k) = k En élevant au carré des deux côtés, on obtient a * k = k² Ainsi, a = k^(2/(2-1)) = k² Par conséquent, la relation a = k^(2^(m+1)/(2^(m+1)-1)) est vérifiée. Conclusion, par récurrence, si uₙ = k, alors a = k^(2ⁿ/(2ⁿ-1)).
La récurrence n’est pas démontrée. Si a=9 par exemple, la formule ne marche déjà plus pour n=2. Et si a*k = k^2, a = k (dans N) et non k^2 comme conclu.
@@michellaboureur7651 Je suis d'accord. Je retravaille sur une nouvelle version rigoureuse de la démonstration par récurrence De plus, je dois aussi montrer que la suite converge. Le principe est bon car il fait le lien avec l'exercice posé il y a 9 jours.
@@Ctrl_Alt_Sup bonne démarche, on sait bien que pour trouver il faut tâtonner et ne pas se décourager. Pour ce problème il faut en effet démontrer la convergence pour pouvoir appliquer l’unicité de la limite.
Une vidéo très ludique comme toujours, mais attention, encore des problèmes de rigueur ! La première démonstration n'est valable qu'en démontrant la convergence. Et pourquoi exclure le 0 ? L'argument « est ce que tu pense que ça fait 0 ? non, moi non plus » est pour moi complètement contre-productif pour ceux qui étudient les maths, car dans d'autres cas, ce genre de conclusion serait fausse (je râle, je râle, mais je me 'bats' sans arrêt avec mes élèves qui ont des résultats faux à cause de ce genre de naïveté). D'ailleurs, en définissant une suite Un+1 = sqrt(7 Un) on tombe bien sur lim Un = 7 si U0 > 0 mais lim (Un) = 0 si U0 = 0... Pour exclure le 0, Il faut bien définir l'écriture du x de la racine infinie.
Wouhaouuuuuuu merciiiiiiiiii J'ai presque envie de dire que c'est trop beau pour être vrai 😅😍 Du coup j'aimerais te poser une question, peut-être tres stupide, mais, si tu devais jouer l'avocat du diable et prouver que ces raisonnements sont faux (au pire ça aboutirait à la validation de ta vidéo avec un raisonnement par l'absurde), comment t'y prendrais tu ? Merci encore, c'est le pied ! ❤
Je ne suis pas convaincu. Pourquoi ça ne ferait pas 0? Après tout, si x = 0, vous pouvez bien écrire que x = rac(7*rac(7*rac(7*rac(7*x)))) autant de fois que vous voulez.
Ce genre de truc n'a rien à voir avec le collège, même en math sup certains auraient du mal à démontrer rigoureusement. par ailleurs, x n'existe même pas ! x= lim, (pour n->∞) de [√7√7√....)] ou le signe √ apparait n fois.
Toujours aussi enthousiaste.👍 j'ai été intrigué par ton titre et je crains qu'il n'y ait un petit problème d'erreur de raisonnement dans la méthode. Quand tu écris l'équation x² = 7x, qui offre deux solutions 0 ou 7, tu démontres que si la limite existe, alors elle est égale à l'une de ces deux valeurs. Si la LIMITE EXISTE . Par exemple, ta conclusion est fausse si ton nombre x tend vers l'infini. Il est donc NÉCESSAIRE de PROUVER L'EXISTENCE de cette LIMITE pour pouvoir affirmer que l'expression x est égale à 7. Rassure-toi c'est une erreur de raisonnement qui est fréquente. Du coup, cette démonstration est un peu moins belle et un peu moins inédite, pardonne-moi. Je te propose une démonstration directe et courte utilisant une recurrence. Si x1 = sqr(7) = 7^(1/2), alors x2 = 7^(3/4) et si on suppose que xn = 7^((2ⁿ-1)/2ⁿ), on constate facilement que l'hérédité est verifiée. La limite quand n tend vers l'infini de (2ⁿ-1)/2ⁿ est 1 donc la limite de xn est égal à 7^1 = 7. On constate que cette limite vérifie bien la condition que tu avais calculée.
Ouf ! Heureusement que le chiffre sept existe. Imaginez ce conte qui aurait eu pour titre : "Blanche neige et les racine de sept fois racine de sept fois racine de sept fois racine de sept [...] nains !! 😂
rien de bien compliqué on peut voir que c'est une suite de la forme Un+1 = racine(7.Un) avec Uo=racine(7) , cette suite recurente converge vers une limite L ,si f(L)=L , ici L ² = 7.L soit L(L-7)=0 et donc L = 7
"Vous sonnez au domicile d'une famille de deux enfants. La porte s'ouvre. Un des enfants, un garçon, vous salue. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?"
Option1 : Il y a 4 cas : GF FG GG FF. Ici, un garçon ouvre. On est donc dans GF FG GG. Il y a donc 2 chances sur 3 pour que l'autre soit une fille. Option 2 : Il y a 3 cas : GF GG FF (ici, GF=FG) Le garçon ouvre. On est donc dans GF GG. Il y a donc 1 chance sur 2 pour que l'autre soit une fille. Je ne sais pas quelle est la bonne réponse.
1/2. avec la supposition que la probabilité que c'est le garçon qui ouvre dans une famille avec un garçon et une fille est 1/2. Y'a deux fois plus de famille GF que de GG. Mais chez les GG c'est sur que le garçon ouvre, chez les GF c'est une fois sur deux donc 1/2 que l'autre soit une fille
Oui mais à 3:50 pourquoi ne remplacer QUE le second x ? Pourquoi on ne prend pas en compte aussi le premier ? Auquel cas on aurait : Racine de [(racine de x)(racine x)]
Oui mais,on veut construire un truc qui a la même tronche que notre nombre de départ donc pour faire ça il,faut juste transformer le deuxième x à chaque fois.
Bonne remarque ! calculer x tel que : x=1+1+1+1+1+....1+..... donc x=1+(1+1+1+.....) on reconnait dans la parenthèse la valeur de x (c'est exactement ce que fait le prof avec les √7√7√.......) donc x=1+x et en soustrayant x des deux côtés 0=1 C'est beau les math comme ça, sauf que c'est vraiment n'importe quoi.
ça serait génial si on pouvait demontrer par recursion avec deux trois termes successif et s'arreter. Inédite ou pas ta demonstration n'en est pas une!
2:41 tu peux pas dire que cest pas egal a 0 simplement parce que tu " penses " que cest pas egal a 0 parce que daussi loin que je sache ce produit infini pourrait etre egal a 0 vu que tu las pas prouve attention je dis pas que cest egal a 0 mais je dis simplement que tu peux pzs simplement dire que cest pas egal a 0 parce que tu penses pas
"UNE DÉMONSTRATION À LA FOIS BELLE ET INÉDITE" ouais, mais surtout TRÈS FAUSSE ! (un peu comme lorsqu'on démontre que 1=0) 1) Dans le premier chapitre de la capsule, comment prouvez-vous que x existe avant de faire des calculs dessus ? 2) Dans le second chapitre, qu'est-ce qui vous dit que vous avez le droit d'itérer les racines un nombre ∞ de fois ? Bon, la propriété est vraie, mais ce n'est pas ainsi qu'on la démontre.. à la limite (si j'ose dire) dans le premier chapitre, on peut dire que SI x existe, alors x=7 ce qui n'est pas suffisant (juste nécessaire)
Bonjour Michel Bernard, Il y a 8 jours, Hedacademy nous proposait de résoudre √x√x√x√x√x = 5 Le résultat était x=5^32/31 En posant √x√x√x√x√x comme le terme u₅ d'une suite uₙ telle que uₙ₊₁ = ✓(x * uₙ) avec u₁=✓x Et en remarquant que 2^5=32 (5 occurrences de x) Je proposais alors l'hypothèse générale suivante... Soit ✓x le terme u₁=✓x d'une suite uₙ telle que uₙ₊₁ = ✓(x * uₙ) Si pour u₅ = ✓x✓x✓x✓x✓x = k alors x = k^(2⁵/(2⁵−1)) Il doit être possible de démontrer par récurrence que : Si uₙ = k alors x = k^(2ⁿ/(2ⁿ−1)) (je propose une démonstration par récurrence à la fin) Pour l'exercice d'aujourd'hui, je reprends mon hypothèse, de plus en généralisant, Pour démontrer que uₙ=✓x✓x✓x✓x✓...=x quand n tend vers l'infini. uₙ=✓x✓x✓x✓x✓...=x^(2ⁿ/(2ⁿ−1)) Quand n tend vers l'infini, alors 2ⁿ/(2ⁿ−1) tend vers 1 Et donc uₙ=✓x✓x✓x✓x✓... tend vers x^1 soit x Que pensez-vous de cette approche? Ai-je commis des erreurs? ///////////////////////// Démonstration par récurrence : Initialisation (n = 1): Lorsque n = 1, u₁ = √x = k. k^(2¹/(2¹-1))=k^(2/1)=k² Et donc x = k² Hypothèse de récurrence: Soit pour un entier n = m, si uₘ = k, alors x = k^(2ᵐ/(2ᵐ-1)). Étape de récurrence (n = m + 1): Nous devons montrer que si uₘ₊₁ = k, alors x = k^(2^(m+1)/(2^(m+1)-1)). Nous avons : uₘ₊₁ = √(x * uₘ) = k Donc, √(x * k) = k En élevant au carré des deux côtés, on obtient x * k = k² Ainsi, x = k^(2/(2-1)) = k² Par conséquent, la relation x = k^(2^(m+1)/(2^(m+1)-1)) est vérifiée. Conclusion, par récurrence, si uₙ = k, alors x = k^(2ⁿ/(2ⁿ-1)). Edit: la dernière fois j'ai utilisé la variable "a" plutôt que "x"
@@Ctrl_Alt_Sup OUI ! C'est le principe classique : 1) On crée une suite ou une série 2) On montre que celle-ci converge (très important), par croissance et majoration ou par décroissance et minoration.. ou par d'autres moyens si nécessaire 3) si 2) est montré, alors la suite a une limite, celle-ci est solution de Un+1=Un par exemple, ou autres méthode. En lisant votre proposition, vous n'avez jamais montré que votre suite Un convergeait. Il suffit pour ce faire de montrer que un est décroissante, et qu'elle est trivialement minorée (par 0 par exemple) et le tour est joué.
@@michelbernard9092 Merci, je me doutais que ma démonstration manquait de rigueur. Mais je trouvais élégant de passer par une suite pour désigner le ✓x✓x✓x✓x✓... Je dois travailler encore un peu la rédaction de ma démonstration par récurrence aussi pour qu'elle soit plus claire.... bref, je bosse un peu des trucs que j'ai fait il y a 37 ans :)
@@Ctrl_Alt_Sup Je vous suggère, si vous ne le connaissez pas, le YT "Ayoub et les maths" sympa sans prise de tête, mais c'est du niveau bac ou post bac. J'apprécie beaucoup sa rigueur !
@@iriondalcor les français soit disant de souche ne savent pas faire la différence entre un bon et un mauvais français d'origine algérienne, bardella generalise moi aussi je suis prof de physique d'origine algérienne
@@ht7332 Si la France d'aujourd'hui ne te plait pas, rien ne te force à y rester. Respecte la démocratie. Un "professeur" qui vient déverser sa haine sur youtube... Dire que ce monsieur enseigne à des enfants... Je comprends mieux que les Français ne veulent plus de ça.
L'empilage de racines peut aussi s'écrire 7^(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). La somme d'exposants tend vers 1 et le résultat tend donc vers 7^1 donc 7.
C’est nettement plus rigoureux, merci.
Merci pour la véritable démonstration, c'est beaucoup plus clair, rigoureux et parlant.
Il manque un petit argument de continuité mais visiblement oui ça marche comme preuve
Excellent 👍 ❤
Démonstration intéressante et elle évite le cas x=0 dont il faut expliquer que ce n’est pas une solution valable.
Un excellent professeur, passionné par les mathématiques et l'enseignement.
Super vidéo, le raisonnement est beau et simple ! Cela dit, on passe sous le tapis le fait que x est une quantité finie (important pour ne pas aboutir à des absurdités), ce qui n'est pas si évident que ça.
J'adore les maths et j'aime bien retomber sur un principe aussi simple que je n'avais jamais remarqué. Merci Prof.
Merci Prof !
Il faut faire super attention avec les sommes, produits et puissances (dont les racines carrées) à l’infini, parfois trop vites simplifiées et conclusions fausses.
Tu nous a convaincu. Bien démontré.
😉👏
J'aime bien le " *Racine de x* , *Racine de* x, *racine* de x , racine de x ..."
Bravo l'écho :)
Elle est très sympa, cette démonstration, merci :)
Résolution d'une exceptionnelle élégance...c'est toute la beauté des mathématiques... Quand je comparais les mathématiques à de la poésie, au lycée, les camarades me regardaient avec des yeux inquiets, me prenant pour un grand malade ! moi, j'aime les deux, la vraie poésie, et les mathématiques. Merci pour cette belle démonstration
Merci beaucoup pour ce message 😊
4:12 Waaaaaa. J'étais pas prêt. Démonstration d'un élégance qui n'a d'égale que sa simplicité. 🤩
La vidéo suggère que le membre de gauche vaut 7, mais ce n'est pas une démonstration !!
En effet il faut écrire les racines tout temps... dès qu'on s'arrête d'écrire on n'a pas l'égalité (=7)
La vraie démonstration est suivante:
1) C'est une suite récurrente u_(n+1) = f(u_n) avec f(x) = rac(7x) dans ]0, infini[
u_(n+1) = rac(7u_n)
u_0 = rac(7)
2) la fonction f est strictement croissante ==> u_n est monotone
3) u_1 > u_0 ==> u_n est croissante
4) u_n < 7 (raisonement par récurrence) ==> u_n est convergente vers l (point fixe de f)
5) l=f(l) ; car f est continue ==> l=7
finalement u_n tend vers 7
Merci encore pour tes vidéos, c'est toujours un plaisir. Tes élèves ont vraiment de la chance d'avoir un prof passionné et passionnant comme toi: bravo !
Je me permets une petite suggestion, une potentielle idée pour une future vidéo. J'ai découvert sur le tard la vérité sur les prêts immobiliers: j'ai longtemps et naïvement cru qu'un taux à 2% sur 100 000€ (par exemple) coûtait en réalité 2 000€ (en plus du remboursement de la somme initiale bien sûr). On aurait fait, comme l'énoncé de la phrase "Je te fais un prêt à 2%" le suggère, 100 000€ x 2% pour calculer la somme totale des intérêts dûs.
Or la vérité est bien plus tordue (et surtout coûteuse), puisqu'en réalité le taux est quelque part appliqué à chaque mensualité.
Je trouve que faire une vidéo sur le sujet serait instructif et éclairerait peut-être quelques lanternes (dont la mienne 😉).
J'espère que cette idée te plait. Dans tous les cas, continue comme ça ! 👏
Tes vidéos sont une très grande source d’inspiration merci 🤩.
J’ai essayé avec la méthode du point fixe., c’est tout aussi élégant …
Tu peux faire une vidéo avec cette méthode ? ;-)
Merci beaucoup oie ces gentils mots. Je vais essayer d’autant que ça à été pas mal plébiscité 😉
Si j'avais eu un prof comme toi,!! Tu es genial
J'adore ! 😍
Même si intuitivement j'aurais répondu 7 dès le début, je ne sais pas si j'aurais réussi à le démontrer comme ça ! 😊👍
Bonjour,
Il y a de grosses approximations je trouve:
Dans la 1ere partie, après avoir élevé au carré, dire que x² = 7x revient à dire que la suite infinie de racines de 7 (donc x) est égale à une suite infinie de racines mais avec une racine de 7 en moins (que tu identifies aussi à x).
Dans la 2e partie, tu oublies le x * x sous la racine. même si c'est infini, ça se termine toujours par racine de x * x et pas racine de x. Donc on ne retrouve pas la suite infinie de départ, dans laquelle on ne voit pas le 7 * 7 à la fin.
N'hésite pas à argumenter, je ne demande qu'à apprendre, comme tous tes viewers :)
Sa démonstration est jolie pour intéresser aux mathématiques sous-jacentes. Maintenant il ne cherche pas à approfondir la question d'infini, d'où les approximations que tu relèves. C'est toujours le problème de la vulgarisation : cela va éblouir ceux à qui c'est destiné, et c'est cela l'important, donner envie, montrer un aspect ludique. Mais cela frustrera ceux qui s'y intéressent déjà plus. Sa façon de faire est simple sans se soucier de simplifier le concept d'infini, une approche par 7 puissance la limite de la somme des 1/2^n quand n va de 1 à +l'infini évite les questionnements sauvages mais demande de comprendre des principes mathématiques certes simples pour l'averti mais plus compliqués pour le néophyte. J'approuve cette vidéo pour l'enthousiasme et parce qu'elle est destinée à un public plus jeune ou moins averti à mon humble avis.
Attention:
- Dans la première preuve il manque la preuve que ce nombre existe (tu n'a fais que la partie analyse d'une preuve par analyse-synthèse si tu veux).
Encore dit autrement, il faudrait montrer que la suite Un=sqrt(7.sqrt(7.sqrt(7)...) converge.
- Dans la deuxième preuve il manque la justification finale pour le passage à la limite. Ce n'est pas parce qu'une propriété est vraie à chaque fois que l'on ajoute des termes qu'elle est vraie "à la limite". Il faut pour cela un argument de continuité (facile ici, étant donné que l'application sqrt(x) est continue).
Montrer que la suite est sqrt(7) convergente
En toute rigueur, il faudrait prouver que le nombre existe car c'est une limite.
Tout à fait ! x n'existe pas
Attention cependant à la convergence, ici c'est bon, mais dans d'autres cas assez similaire, avec le même raisonnement, on pourrait démontrer des choses nettement plus suspectes
Ce manque de rigueur chez hedac est certainement ∞ Un étudiant qui m'aurait fait ça en kholle repartait avec un 0 et un coup de pied où je pense.... Même si ces petits exercices sont intéressant, la moindre des chose serait, pour le moins de prévenir sur la rigueur.
2:35 : il faudrait dire que comme racine(7) est supérieur à 1 : multiplier à l'infini donnera plus de 0 - sinon si 0< racine(x) < 1 alors racine(x) multiplié par lui même à l'infini tend vers 0.
Avec x=0,1, ça marche aussi. On n'est pas en train de regarder x^n, ici.
À faire aimer les maths ! Merci pour votre jovialité communicative !
C'est très sympa pour le collège et la seconde, mais la principale chose qui me manque est la définition propre de l'énoncé. 😁 Il faudrait introduire une suite récurrente : Pour tout n de N, u(n+1)=sqrt(a*u(n)), et u(0)=sqrt(a) où a>0 (à noter qu'on peut aussi définir cette suite si a=0, et elle est alors constante à 0, sans grande surprise ! 😂). Le nombre cherché est la limite de la suite u. On constate que la fonction f vérifiant que pour tout n de N, u(n+1)=f(u(n)) n'a que 2 points fixes : 0 et a. Il suffit ensuite de montrer que la suite est croissante et majorée par a si a>1, constante à 1 si a=1 et décroissante et minorée par a si a
Magnifique ❤
1:45 T'es un magicien. Je regarde la suite mais déjà là la complexité apparente dévoile son élégante simplicité. (Enfin c'est toi qui la dévoile mais on s'entend).
🤩 merci
Toujours intéressant.
Soit ✓a le terme u₁=✓a d'une suite uₙ telle que uₙ₊₁ = ✓(a × uₙ)
Par récurrence, on démontre (ci-après) que si uₙ = k alors a = k^(2ⁿ/(2ⁿ−1))
Quand n tend vers l'infini, alors (2ⁿ/(2ⁿ−1)) tend vers 1 et donc k tend vers a
Et donc quand a=k=x on a: ✓x✓x✓x✓x✓...=x
EDIT: Démonstration par récurrence à revoir et démonstration de la convergence de la suite manquante.
Démonstration par récurrence :
Initialisation (n = 1):
Lorsque n = 1, u₁ = √a = k. Et donc a = k².
Hypothèse de récurrence:
Soit pour un entier n = m, si uₘ = k, alors a = k^(2ᵐ/(2ᵐ-1)).
Étape de récurrence (n = m + 1):
Nous devons montrer que si uₘ₊₁ = k, alors a = k^(2^(m+1)/(2^(m+1)-1)).
Nous avons :
uₘ₊₁ = √(a * uₘ) = k
Donc, √(a * k) = k
En élevant au carré des deux côtés, on obtient a * k = k²
Ainsi, a = k^(2/(2-1)) = k²
Par conséquent, la relation a = k^(2^(m+1)/(2^(m+1)-1)) est vérifiée.
Conclusion, par récurrence, si uₙ = k, alors a = k^(2ⁿ/(2ⁿ-1)).
La version magistrale et exacte !
La récurrence n’est pas démontrée.
Si a=9 par exemple, la formule ne marche déjà plus pour n=2.
Et si a*k = k^2, a = k (dans N) et non k^2 comme conclu.
@@michellaboureur7651
Je suis d'accord.
Je retravaille sur une nouvelle version rigoureuse de la démonstration par récurrence
De plus, je dois aussi montrer que la suite converge.
Le principe est bon car il fait le lien avec l'exercice posé il y a 9 jours.
Balèze !
Mais ce qui m'épate le plus, c'est comment tu arrives à écrire les exposants et les indices avec le clavier ;-)
2ᵐ uₘ₊₁
@@Ctrl_Alt_Sup bonne démarche, on sait bien que pour trouver il faut tâtonner et ne pas se décourager. Pour ce problème il faut en effet démontrer la convergence pour pouvoir appliquer l’unicité de la limite.
Génial!!
Hoooooo j’aime bien celle là ! Dommage que ces vidéos n’existaient pas il y a une 30aine d’années (ça file…) j’aurais pris goût aux maths 😎
Bon exercice.😊
Une vidéo très ludique comme toujours, mais attention, encore des problèmes de rigueur ! La première démonstration n'est valable qu'en démontrant la convergence. Et pourquoi exclure le 0 ? L'argument « est ce que tu pense que ça fait 0 ? non, moi non plus » est pour moi complètement contre-productif pour ceux qui étudient les maths, car dans d'autres cas, ce genre de conclusion serait fausse (je râle, je râle, mais je me 'bats' sans arrêt avec mes élèves qui ont des résultats faux à cause de ce genre de naïveté). D'ailleurs, en définissant une suite Un+1 = sqrt(7 Un) on tombe bien sur lim Un = 7 si U0 > 0 mais lim (Un) = 0 si U0 = 0... Pour exclure le 0, Il faut bien définir l'écriture du x de la racine infinie.
Oui,et en plus j'ai 8ans
Je sais pas si c’est inédit … mais ça m’a plu 😊
Vous êtes trop fort !
Bonne vidéo, quand l'école est finie les gens partent 😂
Merci beaucoup 👍
sympa
Wouhaouuuuuuu merciiiiiiiiii
J'ai presque envie de dire que c'est trop beau pour être vrai 😅😍
Du coup j'aimerais te poser une question, peut-être tres stupide, mais, si tu devais jouer l'avocat du diable et prouver que ces raisonnements sont faux (au pire ça aboutirait à la validation de ta vidéo avec un raisonnement par l'absurde), comment t'y prendrais tu ?
Merci encore, c'est le pied ! ❤
Je ne suis pas convaincu. Pourquoi ça ne ferait pas 0? Après tout, si x = 0, vous pouvez bien écrire que x = rac(7*rac(7*rac(7*rac(7*x)))) autant de fois que vous voulez.
On peut faire cet exercice et comprendre la démonstration dans quelle classe des collèges?
Oui si ils sont pas bête
Si ils ne sont pas…
Il faut avoir abordé les racines carrées, donc- 3ème ou seconde, je dirais.
Ce genre de truc n'a rien à voir avec le collège, même en math sup certains auraient du mal à démontrer rigoureusement. par ailleurs, x n'existe même pas ! x= lim, (pour n->∞) de [√7√7√....)] ou le signe √ apparait n fois.
Toujours aussi enthousiaste.👍
j'ai été intrigué par ton titre et je crains qu'il n'y ait un petit problème d'erreur de raisonnement dans la méthode.
Quand tu écris l'équation x² = 7x, qui offre deux solutions 0 ou 7, tu démontres que si la limite existe, alors elle est égale à l'une de ces deux valeurs. Si la LIMITE EXISTE . Par exemple, ta conclusion est fausse si ton nombre x tend vers l'infini. Il est donc NÉCESSAIRE de PROUVER L'EXISTENCE de cette LIMITE pour pouvoir affirmer que l'expression x est égale à 7. Rassure-toi c'est une erreur de raisonnement qui est fréquente. Du coup, cette démonstration est un peu moins belle et un peu moins inédite, pardonne-moi.
Je te propose une démonstration directe et courte utilisant une recurrence.
Si x1 = sqr(7) = 7^(1/2), alors x2 = 7^(3/4)
et si on suppose que xn = 7^((2ⁿ-1)/2ⁿ), on constate facilement que l'hérédité est verifiée.
La limite quand n tend vers l'infini de (2ⁿ-1)/2ⁿ est 1
donc la limite de xn est égal à 7^1 = 7.
On constate que cette limite vérifie bien la condition que tu avais calculée.
En fait elle est posé je crois,
car au final il faut multiplier par 7 ?
🤔 Pas certain si au moment où on pose une limite la valeur entière ne sera jamais atteinte.
The maths master !
Ouf ! Heureusement que le chiffre sept existe. Imaginez ce conte qui aurait eu pour titre : "Blanche neige et les racine de sept fois racine de sept fois racine de sept fois racine de sept [...] nains !!
😂
Pour bien comrpendre, il aurait fallu faire les racines une vingtaine de fois. 3-4 fois ça suffit pas ;).
rien de bien compliqué on peut voir que c'est une suite de la forme Un+1 = racine(7.Un) avec Uo=racine(7) , cette suite recurente converge vers une limite L ,si f(L)=L , ici L ² = 7.L soit L(L-7)=0
et donc L = 7
j'aime
Super propriété, dommage que la démonstration ne soit pas rigoureuse
"Vous sonnez au domicile d'une famille de deux enfants. La porte s'ouvre. Un des enfants, un garçon, vous salue. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?"
Option1 : Il y a 4 cas : GF FG GG FF.
Ici, un garçon ouvre. On est donc dans GF FG GG.
Il y a donc 2 chances sur 3 pour que l'autre soit une fille.
Option 2 : Il y a 3 cas : GF GG FF (ici, GF=FG)
Le garçon ouvre. On est donc dans GF GG.
Il y a donc 1 chance sur 2 pour que l'autre soit une fille.
Je ne sais pas quelle est la bonne réponse.
1/2. avec la supposition que la probabilité que c'est le garçon qui ouvre dans une famille avec un garçon et une fille est 1/2. Y'a deux fois plus de famille GF que de GG. Mais chez les GG c'est sur que le garçon ouvre, chez les GF c'est une fois sur deux donc 1/2 que l'autre soit une fille
Pas inédite et bien présentée
Mérssi métre ❤
Oui mais à 3:50 pourquoi ne remplacer QUE le second x ?
Pourquoi on ne prend pas en compte aussi le premier ?
Auquel cas on aurait :
Racine de [(racine de x)(racine x)]
Oui mais,on veut construire un truc qui a la même tronche que notre nombre de départ donc pour faire ça il,faut juste transformer le deuxième x à chaque fois.
@@voltirussk4608 Merci, oui c'est ce que je me suis dit après avoir écrit.
On prend ce qui nous arrange tant que cela reste juste.
Bonne remarque ! calculer x tel que :
x=1+1+1+1+1+....1+.....
donc x=1+(1+1+1+.....) on reconnait dans la parenthèse la valeur de x (c'est exactement ce que fait le prof avec les √7√7√.......)
donc x=1+x et en soustrayant x des deux côtés 0=1
C'est beau les math comme ça, sauf que c'est vraiment n'importe quoi.
@@michelbernard9092 dans ce cas la réponse est assez immédiate, x n'est pas bien défini, ça ne vaut pas un nombre réel
Formid'!
Il faut d’abord vérifier que ça converge
ça serait génial si on pouvait demontrer par recursion avec deux trois termes successif et s'arreter. Inédite ou pas ta demonstration n'en est pas une!
du moins elle n'est pas rigoureuse
Oulah dans la 2eme preuve il manque une grosse precision sur les limites quand même là c'est un peu foireux
C'est à la fois complètement évident et extrêmement contre-intuitif.
Entièrement d’accord 😆
Met des implication
2:41 tu peux pas dire que cest pas egal a 0 simplement parce que tu " penses " que cest pas egal a 0 parce que daussi loin que je sache ce produit infini pourrait etre egal a 0 vu que tu las pas prouve attention je dis pas que cest egal a 0 mais je dis simplement que tu peux pzs simplement dire que cest pas egal a 0 parce que tu penses pas
"UNE DÉMONSTRATION À LA FOIS BELLE ET INÉDITE" ouais, mais surtout TRÈS FAUSSE ! (un peu comme lorsqu'on démontre que 1=0)
1) Dans le premier chapitre de la capsule, comment prouvez-vous que x existe avant de faire des calculs dessus ?
2) Dans le second chapitre, qu'est-ce qui vous dit que vous avez le droit d'itérer les racines un nombre ∞ de fois ?
Bon, la propriété est vraie, mais ce n'est pas ainsi qu'on la démontre.. à la limite (si j'ose dire) dans le premier chapitre, on peut dire que SI x existe, alors x=7 ce qui n'est pas suffisant (juste nécessaire)
Bonjour Michel Bernard,
Il y a 8 jours, Hedacademy nous proposait de résoudre √x√x√x√x√x = 5
Le résultat était x=5^32/31
En posant √x√x√x√x√x comme le terme u₅
d'une suite uₙ telle que uₙ₊₁ = ✓(x * uₙ) avec u₁=✓x
Et en remarquant que 2^5=32 (5 occurrences de x)
Je proposais alors l'hypothèse générale suivante...
Soit ✓x le terme u₁=✓x d'une suite uₙ telle que uₙ₊₁ = ✓(x * uₙ)
Si pour u₅ = ✓x✓x✓x✓x✓x = k alors x = k^(2⁵/(2⁵−1))
Il doit être possible de démontrer par récurrence que :
Si uₙ = k alors x = k^(2ⁿ/(2ⁿ−1))
(je propose une démonstration par récurrence à la fin)
Pour l'exercice d'aujourd'hui, je reprends mon hypothèse, de plus en généralisant,
Pour démontrer que uₙ=✓x✓x✓x✓x✓...=x quand n tend vers l'infini.
uₙ=✓x✓x✓x✓x✓...=x^(2ⁿ/(2ⁿ−1))
Quand n tend vers l'infini, alors 2ⁿ/(2ⁿ−1) tend vers 1
Et donc uₙ=✓x✓x✓x✓x✓... tend vers x^1 soit x
Que pensez-vous de cette approche?
Ai-je commis des erreurs?
/////////////////////////
Démonstration par récurrence :
Initialisation (n = 1):
Lorsque n = 1, u₁ = √x = k.
k^(2¹/(2¹-1))=k^(2/1)=k²
Et donc x = k²
Hypothèse de récurrence:
Soit pour un entier n = m, si uₘ = k, alors x = k^(2ᵐ/(2ᵐ-1)).
Étape de récurrence (n = m + 1):
Nous devons montrer que si uₘ₊₁ = k, alors x = k^(2^(m+1)/(2^(m+1)-1)).
Nous avons :
uₘ₊₁ = √(x * uₘ) = k
Donc, √(x * k) = k
En élevant au carré des deux côtés, on obtient x * k = k²
Ainsi, x = k^(2/(2-1)) = k²
Par conséquent, la relation x = k^(2^(m+1)/(2^(m+1)-1)) est vérifiée.
Conclusion, par récurrence, si uₙ = k, alors x = k^(2ⁿ/(2ⁿ-1)).
Edit: la dernière fois j'ai utilisé la variable "a" plutôt que "x"
@@Ctrl_Alt_Sup OUI ! C'est le principe classique :
1) On crée une suite ou une série
2) On montre que celle-ci converge (très important), par croissance et majoration ou par décroissance et minoration.. ou par d'autres moyens si nécessaire
3) si 2) est montré, alors la suite a une limite, celle-ci est solution de Un+1=Un par exemple, ou autres méthode.
En lisant votre proposition, vous n'avez jamais montré que votre suite Un convergeait. Il suffit pour ce faire de montrer que un est décroissante, et qu'elle est trivialement minorée (par 0 par exemple) et le tour est joué.
@@michelbernard9092
Merci, je me doutais que ma démonstration manquait de rigueur. Mais je trouvais élégant de passer par une suite pour désigner le ✓x✓x✓x✓x✓...
Je dois travailler encore un peu la rédaction de ma démonstration par récurrence aussi pour qu'elle soit plus claire.... bref, je bosse un peu des trucs que j'ai fait il y a 37 ans :)
@@Ctrl_Alt_Sup Je vous suggère, si vous ne le connaissez pas, le YT "Ayoub et les maths" sympa sans prise de tête, mais c'est du niveau bac ou post bac. J'apprécie beaucoup sa rigueur !
@@michelbernard9092
J'irai voir "Ayoub et les maths", c'est ce qu'il me faut pour me "dérouiller"
Encore merci
C'etais trop simple ça
L'orthographe moins 😅
@@Arnaud_Dvt L'orthographe, moins.
@@iantaiob 💀
Notons X = 7√(7√...) .
X = 7√X .
√X = X^(1/2) .
X¹ / X^(1/2) = 7 .
X ^ (2/2 - 1/2) = 7 .
X^(1/2) = 7 .
√X = 7 .
X = (√X)² .
X = 7² .
√7² = 7 .
La réponse est donc sept.
si X = 7 * racine(X) alors X ne vaut pas 7
@@_Ytreza_ , sauf que rien dans ma démonstration ne dit que X vaut 7 .
Ça dit que X vaut 7² .
@@komunist431 Oups j'avais mal lu comment tu avais défini X, tu as raison
✓7✓7✓7 ... = x
7x = x^2
x = 7
Je sais pas pourquoi mais je sens un truc foireux
Attention prof avec bardella au pouvoir plus de cours
Ferme la
Le mec qui croit valider un anti fascisme , mais coupable d'un racisme crasse. Félicitations !
@@iriondalcor les français soit disant de souche ne savent pas faire la différence entre un bon et un mauvais français d'origine algérienne, bardella generalise moi aussi je suis prof de physique d'origine algérienne
@@ht7332 Si la France d'aujourd'hui ne te plait pas, rien ne te force à y rester. Respecte la démocratie.
Un "professeur" qui vient déverser sa haine sur youtube... Dire que ce monsieur enseigne à des enfants... Je comprends mieux que les Français ne veulent plus de ça.
12h d'enseignement par jour pour mieux muscler les élèves en mathématiques. 🙂