Une solution qui me paraît plus élégante consiste à commencer par élever (xy=6) au carré ce qui donne (x2y2=36). On fait tout de suite le changement de variable X=x2 et Y=y2. Le système à résoudre devient alors (X-Y=5) et (XY=36). La suite est la même. Cela évite non seulement les racines mais aussi les x4 et la discussion sur les fractions puisqu'on peut ne pas en mettre. En effet (X-Y)=5 donne (X=Y+5) que l'on met dans la deuxième. On a alors l'équation du second degré (Y2+5Y-36=0).
Autre solution : - Élever les 2 égalités au carré pour obtenir x⁴ - 2x²y² + y⁴ = 25 et x²y² = 36 - Faire 4x²y² + x⁴ - 2x²y² + y⁴ ce qui revient à x⁴ + 2x²y² + y⁴ et qui est égal à 4 × 36 + 25 donc 169. - Or, x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x² + y²)² = 169. Donc x² + y² = 13 (pas -13 car la somme de deux carrés ne peut pas être négative). - En additionnant cette égalité avec l'égalité de départ, on a 2x² = 18 donc x = ±3. Ainsi en remplaçant x par ±3 dans la deuxième égalité de départ, on obtient y = ±2 et donc 2 couples de solutions : (3 ; 2) et (-3 ; -2).
Sinon il y a une manière de résoudre en utilisant les complexes en faisant (1)+2i(2) on obtient (x+iy)^2=5+12i et à ce moment il faut trouver les racines carrées d'un nombre complexe, niveau L1, et on trouve bien les bonnes solutions en travaillant les identités Trigo au corps. Puis il faut vérifier les solutions car l'équation que l'on a écrit est une implication des équations de base pas une équivalence.
On peut aller encore plus vite en utilisant la technique de la somme et du produit des racines d'une fonction polynôme du second degré : on pose X=x^2 et Y=-y^2. On a X+Y=9 et XY=-(xy)^2=--36. L'unique couple (X,Y) solution de ce système (on sait qu'il n'y en a qu'un) est évident à trouver de tête : X=9 et Y=-4. Cela donne x^2=9 et y^2=4, ce qui mène aux deux couples solutions en tenant compte du fait que xy=6, à savoir (x,y)=(3,2) ou (x,y)=(-3,-2).
je suis toujours aussi reconnaissante d'avoir parmi mes nombreuses notifications la sortie de vos vidéos, j'essaie à chaque fois de résoudre les problèmes ou calculs proposés dans les miniatures, et je m'amuse encore plus à trouver la solution et suivre la démarche grâce à votre explication, ça fait maintenant un moment que je regarde vos vidéos et elles me passionnent toujours autant, continuez ainsi !! ^^
Oui d'ailleurs la démonstration des racines carrées (x + yi) d'un complexe (a + bi) revient littéralement à résoudre ce genre de système. On a donc comme système : x² - y² = a (partie réelle du complexe) 2xy = b (partie imaginaire du complexe)
Passer par (x-y)(x+y)=5 a un intérêt : trouver la réponse très rapidement de manière intuitive. Comme 5 est un nombre premier, un produit de deux nombres N qui donne 5 est forcément 5*1 (oui, je sais, j'ai aucune preuve que c'est dans N, mais intuitivement ça paraissait plus naturel) Dans la première équation les inconnus sont mis au carré donc osef du signe, dans la deuxième ils sont multipliés et donnent un résultat positif. Donc les réponses sont {|x| ; |y|} OU {-|x| ; -|y|}. Bon, maintenant que tout ça est dégrossi, on tente de résoudre le système x+y=5 x-y=1 (Puisque une des réponses possibles est forcément composée de x et y positifs, il semble plus intuitif que l'addition donne le plus gros résultat) x-y=1 x=y+1 y+1+y=5 2y=4 y=2 x=y+1=2+1=3 On n'oublie pas que le signe n'a aucune importance du moment qu'ils sont identiques, donc on trouve deux solutions : {3 ; 2} et {-3 ; -2} Bon ok, c'était un peu long à écrire, mais dans la réalité ça m'a permis de trouver ces résultats de tête en moins de 30 secondes. Après, bien sûr, ce n'est pas une démonstration rigoureuse, et rien ne me dit que j'ai trouvé toutes les solutions. J'ai donc ensuite appliqué la même méthode de résolution que dans la vidéo, ce qui m'a permis de constater que ma méthode intuitive m'avait fait passer à coté de deux autres solutions : {2i ; -3i} et {-2i ; 3i} (Au passage, ce serait cool de préciser "dans R" dès l'énoncé et non au milieu de la vidéo.)
Une petite erreur que j’ai faite lors de la substitution avec que des racines négatives alors qu’une était bel et bien positive. Merci pour cette vidéo. 😊
(x+y)(x-y) = 5 donc on pourrait avoir x+y = 5 et x-y = 1, et ça donne la solution. Ben si c'est utile. L'équation étant quadratique on s'attend à deux solutions, la deuxième est clairement x → -x et y → -y.
prof. Solution > A) x=2 e Y=3; XY=6. B)> significato geometrico del problema? : si tratta di due tangenti geometriche ottenute sui tre lati nel triangolo pitagorico [3-4-5],il cui cerchio interno determina tre coppie di tangenti geometriche sui lati che valgono >1-2-3; dove 2 e 3 sono le tangenti sull'ipotenusa quindi la loro somma> [2+3)]=5; il prodotto XY = 2*3 = delle due tangenti determina il valore dell'area del triangolo pitagorico. Saluts. [ li, 19 /V/2024]
tu ma bien eu ce coup ci ! g cru ct impossible de tete alors que les solutions etaient evidentes des le debut ! moi qui prend tj des entiers pour me faire une idee mentale ... ceci dit j'aurais bien voulu savoir ce q ca donne dans C ! salut
J'ai trouvé X et Y sans faire les calculs. Juste poser X (ou Y) = 1 ou 2 ou 3 ou 6 car il doivent être dans la table de 6 puis je me suis aidé de X² et Y² et le tour est joué 😊
1) x2 - y2 = 5 2) xy = 6 de là je sors x = 6/y que je ré-injecte dans la première égalité, ce qui donne : (6/y)2 - y2 = 5 je mets tout au même dénominateur et j’obtiens : 36 - y4 = 5y2 => - y4 - 5y2 + 36 = 0 soit Y = y2 alors on obtient la nouvelle équation -Y2 -5Y + 36 = 0 Delta vaut (-5)2 - (-4x36) = -25 + 144 = 119 delta > 0 donc deux solutions : Y = (5 - √119)/(-2) et Y = (5 + √119)/(-2) Or Y =y2 donc y = √[(5 - √119)/(-2)] et -√[(5 - √119)/(-2)] l’autre étant impossible puisque (5 + √119)/(-2) est négatif. De l’égalité 1) en remplaçant y par ses valeurs possibles on obtient : x2 - (5 - √119)/(-2) = 5 autrement dit x2 + (5 - √119)/2 = 5 ET x2 + (5 - √119)/(-2) = 5 (impossible puisque (15 - √119)/2 est négatif D’où x2 = 5 - (5 - √119)/2 = (5 + √119)/2 et x = √[(5 + √119)/2] et - √[(5 + √119)/2] les solutions sont donc pour x { √[(5 + √119)/2]; - √[(5 + √119)/2] } pour y { √[(5 - √119)/(-2)]; -√[(5 - √119)/(-2)] } … Aïe aïe aïe je sens que j’ai dû me planter quelque part les solutions sont trop moches loooooooooool
Beaucoup plus simple : xy=6 et x plus grand que y d'après la première donc 3x2 ou 6X1. 6x1 ne marche pas dans la première donc x=3 et y=2. Comme c'est des carrés, c'est aussi -3 et -2.
Réponse assez simple en soi, sans passer par les calculs et en tâtonnant. La justification du calcul ? "Parce que ça se voit !" (Comment mettre un prof de maths en PLS 😂😂) Même si le passage par le calcul est bigrement sympathique 🙂
Moi j'ai commencé par écrire (xy)²=36 x²y²=36. Ensuite, comme on a x²=y²+5, on peut écrire (y²+5)y²=36 y^4+5y²-36=0. On pose alors Y=y², ce qui donne Y²+5Y-36=0. Δ=169, ce qui donne Y1=4 et Y2=-9. Comme on est dans R, on en déduit que y²=4 y=2 ou - 2, et donc x=6/y=3 ou -3.
Moi, en fait, j’ai utilisé l’identité remarquable du début et en la mettant tout au carre : [(x+y)(x-y)] ²=25, on se retrouve avec (x+y) ²(x-y) ²=25 ….Se qui nous donne (x²+y²+12)(x²+y²-12)=25….. (12 étant 2xy que l’on connait déjà) se qui nous donne (x²+y²)² -144=25……Je passe 25 de l’autre coté et ça devient (x²+y²)²=169…. Donc (x²+y²)=13 ou -13 …. En rajoutant le 2xy (12) ça donne a la fin (x+y) ²=25 ; (13+12) donc √(x+y)= √25 = x+y=5….. et a partir de là, suscitions x=(5-y), donc (y-5)y=6, -y²+5y=6 et par factorisation a la fin on trouve : y=3 ; y=2……j’aurais pu le faire avec - 13 aussi mais je me suis arrêté là… Mais j’ai bien aimé cette autre façon c’est toujours bon de s’entrainer avec des fractions aussi et de connaitre d’autre approches… merci beaucoup pour toutes vos vidéos …
En utilisant seulement la première équation, nous avons la solution : x²-y²=5 (x-y)*(x+y)=5; nous cherchons tous les diviseurs de 5 dans Z (les entiers relatifs) et on obtient [1,5] et [-5,-1] et nous pouvons attribué les valeurs à (x-y) et (x+y) avec (x-y)x=3 et nous substituons 3 dans (eq1) ou (eq2) et nous trouvons y=2 nous vérifions avec x²-y² et nous trouvons bien x²-y²=5, et x*y=6 [(3,2) solution dans N, Z, R et C]. Ensuite la deuxième solution : (x+y)=-5 (eq1) et (x-y)=-1 (eq2) même système de 2 équations à deux inconnues avec une résolution simple : 2x=-6 --> x=-3 et nous substituons -3 dans (x+y)=-5 par exemple et nous obtenons y=-2 [(-3,-2)solution dans Z, R et C] - nous vérifions : x²-y²= (-3)²-(-2)²=5 et (-3)*(-2)=6. Cela évite les systèmes quadratiques et les équations bicarrées (rappelons nous du rasoir d'Ockham). Par contre, pour faire plus compliqué, je ne me souviens plus très bien si l'on peut trouver une solution générale comme équation diophantienne de degré 2. (peut-être un tutoriel sur les solutions d'une équation diophantienne de différents ordres). Dans C il y aura deux autres solutions : (2i, -3i) et (-2i, 3i). Il y a une petite erreur de frappe dans le cadre à développer où il y a le nombre de vues, en dessous de la date du tuto 19 mai 2024, xy=6 et non xy=5. Merci.
Oui mais plus simplement (x-y)(x+y)=5=1*5=(-1)(-5) Et par identification : x-y=1 ou x-y=-1 et x+y=5 ou x+y=-5 Comme xy=6=2*3=(-2)(-3) Il vient x,y : (2,3) ou (-2,-3)
Ha ben pour une fois je ne me suis pas lancé dans les remplacement d'une variable dans une des équations et je suis allé directement aux solutions évidentes : xy = 6 |x| > |y| donc on test x=3 ; y=2 et x=-3 et y=-2 ça fonctionne si on remplace dans l'autre équation donc j'aurais mis ça sur ma copie. Est-ce que ça serait valide pour un prof de math ?
Si on est dans R, c'est un peu dommage (et complétement faux) de dire que (x+y)(x-y)=5 ne mène nul part ! les solutions possibles sont 5*1 et -1*-5 ! Je pense que ça aurait été plus simple et plus rapide !
C'était pas préciser si on était dan R ou C alors j'ai tout fait avant de regarder la vidéo, j'ai fait différemment pour le début : x^2 - y^2 = 5 xy = 6 x^2 = 5 + y^2 x^2y^2 = 36 (5 + y^2)y^2 = 36 Y = y^2 Y^2 + 5Y - 36 = 0 Delta = 25 + 144 = 169 Y = (-5 +- 13) / 2 = {-9 ; 4 } y^2 = {-9 ; 4 } y = {-3i;3i;-2;2} -3ix = 6 3ix = 6 -2x = 6 2x = 6 x = {-2i;2i;-3;3} S = {(2i,-3i),(-2i,3i),(-3,-2),(3,2)}
3 X 2 = 6 , comme x carré - y carré = 5 j'ai vu x carré > y carré donc j'ai essayé x = 3 et y = 2 et ca a marché puis je me suis dit c'est xy qui est positif donc j'essayé x=-3 et y=-2 et ca marche aussi.
Allez, j'y vais aussi de ma petite variante! 😊 Perso j'ai élevé la 2ème équation au carré : x²y² = 36, puis j'ai réécrit le système ainsi: x² + (-y²) = 5 x² × (-y²) = -36 On connait la somme (S) et le produit (P) de x² et -y², ceux-ci sont donc solutions de l'équation X² - S.X + P = 0 (avec notation "grand X" pour ne pas confondre avec la variable x du système). Soit: X² - 5X - 36 = 0. Les solutions sont -4 et 9 comme dit dans la vidéo. x² est positif, -y² est négatif, et comme on est dans R on peut identifier les variables de manière unique: x² = 9 -y² = -4, soit y² = 4 Donc x = 3 ou -3, et y = 2 ou -2. La il faut faire attention, on a 4 couples de valeurs possibles, mais tous ne conviennent pas : il faut vérifier xy = 6. L'équation x² - y² = 5 est toujours vérifiée, donc pas de problème pour celle là. On en déduit les solutions (3, 2) et (-3, -2).
4:52 Pourquoi on nous apprend pas la méthode factorisation /somme plébiscité chez les anglophones? t²-5t-36=0 -36=-9×4 -5=-9+4 Ainsi 0= t²-9t+4t-9×4 0= t(t-9)+4(t-9) 0= (t-9)(t+4) Soit t=9 ou t=-4 Etc...
Perso je suis parti sur (x+iy) ^2=5+12i, du coup on a : x^2+y^2=|x+iy|^2=|(x+iy)^2|=|5+12i|=13 donc x^2=9 et y^2=4, avec xy>0 donc x et y de même signe
Eh bien pour une fois, je ne suis pas d'accord avec le maître. J'ai eu le réflexe de convertir la 1ère équation en (x+y)(x-y) = 5. Or, d'après la 2ème equation, on sait que x et y ne peuvent être indifféremment que 1 et 6 (-1 et-6) ou 2 et 3 (-2 et-3). Or, la première solution n'est pas envisageable dans la 1ere équation. Et la deuxième fonctionne ! On sait que x>y en valeur absolue. Donc S = {(-3;-2) ; (3;2)} sans papier et crayon, en trois minutes peut-être ? Le maître me retorquera peut être que je suis parti du principe que x et y étaient des entiers naturels, alors que l'énoncé ne le spécifiait pas ?
A peu près la même chose de mon coté, sauf que je suis allé sur x+y et x-y sont probablement 5 et 1 (ou -5 et -1) Le point faible de ce raisonnement, c'est que ce n'est pas une démonstration rigoureuse, et du coup on n'a aucun moyen de vérifier si on n'est pas passé à coté d'une solution supplémentaire qui ne serait pas dans Z. La preuve : en faisant la démonstration rigoureuse, j'ai trouvé deux solutions complexes (et à ce moment-là je ne savais pas qu'on devait le résoudre dans R)
j'ai trouvé de manière intuitive avec xy=6 je me suis dit que ça marchait avec 3 et 2 et -3 et -2 et j'ai vérifie que ça marchait pour la première équation.
L'équation est evidante donc pas besoin de changement de variable .il suffit de décomposer cinq x au carré en quatre x au carré moins neuf x au carré et le résultat est imédiat
(x-y)²=x²-2*x*y+y²; (x-y)²-2*x*y ---> x²-4*x*y+y² je ne comprends pas comment vous arriver à (x-y)=17; je trouve uniquement : (x-y)=1 ou (x-y)=-1; de toute manière la solution (x-y)est fausse avec les solutions trouvées par Hedacademy, jamais nous ne trouverons (x-y)=17. Mais je comprends l'idée, excepté que le produit remarquable donnera : (dans le meilleur des cas) : (x-y)²+2*x*y x²+y², mais on ne peut pas le factoriser dans Z ou dans R seulement dans C nous obtiendrons (x+yi)*(x-yi). C'est beaucoup plus bizarre.
Je n'ai pas été jusqu'au bout et ai directement trouvé en testant les nombres entiers. Je vous envoie ce message alors que vous êtes toujours occupé...
J’ai 75 ans et je regarde toujours passionnément toutes tes vidéos. Mais si tu pouvais parler un peu moins vite… Je sais, c’est générationnel , les jeunes parlent très vite, et donc articulent mal et l’ancienne école a un peu de mal à suivre. Bien amicalement.
Une solution qui me paraît plus élégante consiste à commencer par élever (xy=6) au carré ce qui donne (x2y2=36). On fait tout de suite le changement de variable X=x2 et Y=y2. Le système à résoudre devient alors (X-Y=5) et (XY=36). La suite est la même. Cela évite non seulement les racines mais aussi les x4 et la discussion sur les fractions puisqu'on peut ne pas en mettre. En effet (X-Y)=5 donne (X=Y+5) que l'on met dans la deuxième. On a alors l'équation du second degré (Y2+5Y-36=0).
Ah oui, effectivement
Très malin !
J'aurais fait comme ça aussi...
Très intéressant, merci !
J'ai fait un peu différemment :
x^2 - y^2 = 5 => x^2 = (5 + y^2)
xy = 6 => (xy)^2 = 6^2
(xy)^2 - 6^2 = 0
(x^2 * y^2) - 36 = 0
On substitue x^2 :
(5 + y^2) * y^2 -36 = 0
(y^2)^2 + 5*y^2 - 36 = 0
Soit A = y^2 :
A^2 + 5*A - 36 = 0
Delta = b^2 - 4ac = 25 - (4 * -36) = 169
A1 = -b + Rac2(Delta) / 2a = (-5 + 13) / 2 = 4
A2 = -b - Rac2(Delta) / 2a = (-5 -13) / 2 = -9
Donc y^2 = 4 ou -9, la 2ème solution ne va pas, donc y^2 = 4 et donc y1=2 ou y2=-2
Retour au système de l'énoncé :
x * y = 6
x = 6 / y
x1 = 6 / y1 = 6 / 2 = 3
x2 = 6 / y2 = 6 / -2 = -3
Solutions = { 3 ; 2 } ou { -3 ; -2 }
J'avoue n'avoir rien compris mais c'est toujours un plaisir de voir vos vidéos, merci.
excellent exo' avec changement de variable pour trouver les solutions du système. cool ! 😊
explications très claires comme d'hab, je serais juste passé par t=x2 un peu plus tôt pour ne pas faire apparaitre le x4 qui peut faire peur
Comme c'est facile quand c'est bien expliqué..❤
y = 6/x (ou x = 6/y si on veut)
Ne pas oublier de poser que x 0 (y aussi) comme Conditions d'Existence
Ainsi que l’ensemble R 😊
EXELLENTE EXPLICATION C'est genial 🥰
Autre solution :
- Élever les 2 égalités au carré pour obtenir x⁴ - 2x²y² + y⁴ = 25 et x²y² = 36
- Faire 4x²y² + x⁴ - 2x²y² + y⁴ ce qui revient à x⁴ + 2x²y² + y⁴ et qui est égal à 4 × 36 + 25 donc 169.
- Or, x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x² + y²)² = 169. Donc x² + y² = 13 (pas -13 car la somme de deux carrés ne peut pas être négative).
- En additionnant cette égalité avec l'égalité de départ, on a 2x² = 18 donc x = ±3. Ainsi en remplaçant x par ±3 dans la deuxième égalité de départ, on obtient y = ±2 et donc 2 couples de solutions : (3 ; 2) et (-3 ; -2).
Sinon il y a une manière de résoudre en utilisant les complexes en faisant (1)+2i(2) on obtient (x+iy)^2=5+12i et à ce moment il faut trouver les racines carrées d'un nombre complexe, niveau L1, et on trouve bien les bonnes solutions en travaillant les identités Trigo au corps. Puis il faut vérifier les solutions car l'équation que l'on a écrit est une implication des équations de base pas une équivalence.
On peut aussi reconnaitre la série N^2-(N-1)^2 = 2N-1 N entier et arrive à 2 et 3. Avec la multiplication et le carré : -2 et -3 sont aussi solution.
On peut aller encore plus vite en utilisant la technique de la somme et du produit des racines d'une fonction polynôme du second degré : on pose X=x^2 et Y=-y^2. On a X+Y=9 et XY=-(xy)^2=--36. L'unique couple (X,Y) solution de ce système (on sait qu'il n'y en a qu'un) est évident à trouver de tête : X=9 et Y=-4. Cela donne x^2=9 et y^2=4, ce qui mène aux deux couples solutions en tenant compte du fait que xy=6, à savoir (x,y)=(3,2) ou (x,y)=(-3,-2).
je suis toujours aussi reconnaissante d'avoir parmi mes nombreuses notifications la sortie de vos vidéos, j'essaie à chaque fois de résoudre les problèmes ou calculs proposés dans les miniatures, et je m'amuse encore plus à trouver la solution et suivre la démarche grâce à votre explication, ça fait maintenant un moment que je regarde vos vidéos et elles me passionnent toujours autant, continuez ainsi !! ^^
Merci beaucoup pour ce retour si plaisant à lire 😊
Cool, ça permet de voir la résolution d'un systême, le changement de variable et les identités remarquables. C'est du "en même temps"... Hi.😁
😂
super intéressant mais est-ce possible de résoudre ce système avec la méthode de combinaison ?
Plus simple. (x-y)y*(x+y)=5=5*1=1*5
Soit 4 (avec les signes) systèmes de 2eq à 2 inconnues...4 paires de sol dont 2 vérifient x-y=6.
Je crois que ce système revient à trouver les complexes qui au carré valent 12i + 5 (les racines de 12i + 5 en gros)
Oui d'ailleurs la démonstration des racines carrées (x + yi) d'un complexe (a + bi) revient littéralement à résoudre ce genre de système.
On a donc comme système :
x² - y² = a (partie réelle du complexe)
2xy = b (partie imaginaire du complexe)
Passer par (x-y)(x+y)=5 a un intérêt : trouver la réponse très rapidement de manière intuitive.
Comme 5 est un nombre premier, un produit de deux nombres N qui donne 5 est forcément 5*1 (oui, je sais, j'ai aucune preuve que c'est dans N, mais intuitivement ça paraissait plus naturel)
Dans la première équation les inconnus sont mis au carré donc osef du signe, dans la deuxième ils sont multipliés et donnent un résultat positif. Donc les réponses sont {|x| ; |y|} OU {-|x| ; -|y|}.
Bon, maintenant que tout ça est dégrossi, on tente de résoudre le système
x+y=5
x-y=1
(Puisque une des réponses possibles est forcément composée de x et y positifs, il semble plus intuitif que l'addition donne le plus gros résultat)
x-y=1
x=y+1
y+1+y=5
2y=4
y=2
x=y+1=2+1=3
On n'oublie pas que le signe n'a aucune importance du moment qu'ils sont identiques, donc on trouve deux solutions : {3 ; 2} et {-3 ; -2}
Bon ok, c'était un peu long à écrire, mais dans la réalité ça m'a permis de trouver ces résultats de tête en moins de 30 secondes.
Après, bien sûr, ce n'est pas une démonstration rigoureuse, et rien ne me dit que j'ai trouvé toutes les solutions. J'ai donc ensuite appliqué la même méthode de résolution que dans la vidéo, ce qui m'a permis de constater que ma méthode intuitive m'avait fait passer à coté de deux autres solutions : {2i ; -3i} et {-2i ; 3i}
(Au passage, ce serait cool de préciser "dans R" dès l'énoncé et non au milieu de la vidéo.)
excellent ! ! !
Une petite erreur que j’ai faite lors de la substitution avec que des racines négatives alors qu’une était bel et bien positive. Merci pour cette vidéo. 😊
il faudrait indiquer que c'est dans R et x0 / ou resoudre dans R+ :)
(x+y)(x-y) = 5 donc on pourrait avoir x+y = 5 et x-y = 1, et ça donne la solution. Ben si c'est utile. L'équation étant quadratique on s'attend à deux solutions, la deuxième est clairement x → -x et y → -y.
prof. Solution > A) x=2 e Y=3; XY=6.
B)> significato geometrico del problema?
: si tratta di due tangenti geometriche ottenute sui tre lati nel triangolo pitagorico [3-4-5],il cui cerchio interno determina tre coppie di tangenti geometriche sui lati che valgono
>1-2-3; dove 2 e 3 sono le tangenti sull'ipotenusa quindi la loro somma> [2+3)]=5; il prodotto XY = 2*3 = delle due tangenti determina il valore dell'area del triangolo pitagorico.
Saluts. [ li, 19 /V/2024]
tu ma bien eu ce coup ci ! g cru ct impossible de tete alors que les solutions etaient evidentes des le debut ! moi qui prend tj des entiers pour me faire une idee mentale ... ceci dit j'aurais bien voulu savoir ce q ca donne dans C ! salut
Y'a aussi le fait que x² - y² pour y = x+1 qui est égal soit a 1, 3, 5, 7 dépendement de x
Bonjour j'ai pris un raccourci.
En effet j'ai tout de suite vu que 2x3 = 6 et (3)² - (2)² = 5 donc x= -2 / y= -3 OU x= 2 / y= 3
CQFD
Bonne journée !
J'ai trouvé X et Y sans faire les calculs.
Juste poser X (ou Y) = 1 ou 2 ou 3 ou 6 car il doivent être dans la table de 6 puis je me suis aidé de X² et Y² et le tour est joué 😊
Vous avez ainsi trouvé des "solutions évidentes", mais vous n'avez pas prouvé que ce sont les seules solutions du système d'équations.
(-9*4=-36) et (-9+4=-5) d'où (t-9)(t+4)=t²-5t-36, pour éviter de passer par le delta
1) x2 - y2 = 5
2) xy = 6 de là je sors x = 6/y que je ré-injecte dans la première égalité, ce qui donne : (6/y)2 - y2 = 5
je mets tout au même dénominateur et j’obtiens : 36 - y4 = 5y2 => - y4 - 5y2 + 36 = 0 soit Y = y2 alors on obtient la nouvelle équation -Y2 -5Y + 36 = 0 Delta vaut (-5)2 - (-4x36) = -25 + 144 = 119 delta > 0 donc deux solutions : Y = (5 - √119)/(-2) et Y = (5 + √119)/(-2) Or Y =y2 donc y = √[(5 - √119)/(-2)]
et -√[(5 - √119)/(-2)] l’autre étant impossible puisque (5 + √119)/(-2) est négatif.
De l’égalité 1) en remplaçant y par ses valeurs possibles on obtient : x2 - (5 - √119)/(-2) = 5
autrement dit x2 + (5 - √119)/2 = 5
ET x2 + (5 - √119)/(-2) = 5 (impossible puisque (15 - √119)/2 est négatif
D’où x2 = 5 - (5 - √119)/2 = (5 + √119)/2 et x = √[(5 + √119)/2] et - √[(5 + √119)/2] les solutions sont donc
pour x { √[(5 + √119)/2]; - √[(5 + √119)/2] }
pour y { √[(5 - √119)/(-2)]; -√[(5 - √119)/(-2)] } …
Aïe aïe aïe je sens que j’ai dû me planter quelque part les solutions sont trop moches loooooooooool
Flute j'ai loupé ou rajouté un épisode
Beaucoup plus simple : xy=6 et x plus grand que y d'après la première donc 3x2 ou 6X1. 6x1 ne marche pas dans la première donc x=3 et y=2. Comme c'est des carrés, c'est aussi -3 et -2.
Réponse assez simple en soi, sans passer par les calculs et en tâtonnant.
La justification du calcul ? "Parce que ça se voit !" (Comment mettre un prof de maths en PLS 😂😂)
Même si le passage par le calcul est bigrement sympathique 🙂
Oui mais on trouve "une" solution mais rien ne nous assure que ça soit la seule. Et du coup notamment on manque les solutions complexes.
Moi j'ai commencé par écrire (xy)²=36 x²y²=36.
Ensuite, comme on a x²=y²+5, on peut écrire (y²+5)y²=36 y^4+5y²-36=0.
On pose alors Y=y², ce qui donne Y²+5Y-36=0. Δ=169, ce qui donne Y1=4 et Y2=-9. Comme on est dans R, on en déduit que y²=4 y=2 ou - 2, et donc x=6/y=3 ou -3.
Bravo 👌
Bien préciser dans R, car dans C il y a deux autres couples de solution : (-2i, 3i) ; (2i, -3i)
Pas sûr, -2i par 3i donne -6i, donc tu ne réponds pas à la 2ème équation du système.
-2i x 3i donne bien +6 car i x i= -1
Oui, c'est exact dans C il y a 4 solutions comme tu l'indiques, [3,2];[-3;-2];[2i,-3i];[-2i,3i]
@@noskin4400 et si (-2i)*(3i)=6 car (-2)*3=6 et i*i=i²; i²=-1 et (-6)*(-1)=6
Moi, en fait, j’ai utilisé l’identité remarquable du début et en la mettant tout au carre : [(x+y)(x-y)] ²=25, on se retrouve avec (x+y) ²(x-y) ²=25 ….Se qui nous donne (x²+y²+12)(x²+y²-12)=25….. (12 étant 2xy que l’on connait déjà) se qui nous donne (x²+y²)² -144=25……Je passe 25 de l’autre coté et ça devient (x²+y²)²=169…. Donc (x²+y²)=13 ou -13 …. En rajoutant le 2xy (12) ça donne a la fin (x+y) ²=25 ; (13+12) donc √(x+y)= √25 = x+y=5….. et a partir de là, suscitions x=(5-y), donc (y-5)y=6, -y²+5y=6 et par factorisation a la fin on trouve : y=3 ; y=2……j’aurais pu le faire avec - 13 aussi mais je me suis arrêté là… Mais j’ai bien aimé cette autre façon c’est toujours bon de s’entrainer avec des fractions aussi et de connaitre d’autre approches… merci beaucoup pour toutes vos vidéos …
Bien joué 👍
En utilisant seulement la première équation, nous avons la solution : x²-y²=5 (x-y)*(x+y)=5; nous cherchons tous les diviseurs de 5 dans Z (les entiers relatifs) et on obtient [1,5] et [-5,-1] et nous pouvons attribué les valeurs à (x-y) et (x+y) avec (x-y)x=3 et nous substituons 3 dans (eq1) ou (eq2) et nous trouvons y=2 nous vérifions avec x²-y² et nous trouvons bien x²-y²=5, et x*y=6 [(3,2) solution dans N, Z, R et C]. Ensuite la deuxième solution : (x+y)=-5 (eq1) et (x-y)=-1 (eq2) même système de 2 équations à deux inconnues avec une résolution simple : 2x=-6 --> x=-3 et nous substituons -3 dans (x+y)=-5 par exemple et nous obtenons y=-2 [(-3,-2)solution dans Z, R et C] - nous vérifions : x²-y²= (-3)²-(-2)²=5 et (-3)*(-2)=6. Cela évite les systèmes quadratiques et les équations bicarrées (rappelons nous du rasoir d'Ockham). Par contre, pour faire plus compliqué, je ne me souviens plus très bien si l'on peut trouver une solution générale comme équation diophantienne de degré 2. (peut-être un tutoriel sur les solutions d'une équation diophantienne de différents ordres). Dans C il y aura deux autres solutions : (2i, -3i) et (-2i, 3i). Il y a une petite erreur de frappe dans le cadre à développer où il y a le nombre de vues, en dessous de la date du tuto 19 mai 2024, xy=6 et non xy=5. Merci.
Tankiou véri mout'ch !
Oui mais plus simplement (x-y)(x+y)=5=1*5=(-1)(-5)
Et par identification : x-y=1 ou x-y=-1 et x+y=5 ou x+y=-5
Comme xy=6=2*3=(-2)(-3)
Il vient x,y : (2,3) ou (-2,-3)
Ah, ça me rappelle ma jeunesse...
Ha ben pour une fois je ne me suis pas lancé dans les remplacement d'une variable dans une des équations et je suis allé directement aux solutions évidentes :
xy = 6
|x| > |y|
donc on test x=3 ; y=2 et x=-3 et y=-2
ça fonctionne si on remplace dans l'autre équation donc j'aurais mis ça sur ma copie.
Est-ce que ça serait valide pour un prof de math ?
Tu as trouvé deux couples solutions mais tu n'expliques pas pourquoi il n'y en a pas d'autres.
Si on est dans R, c'est un peu dommage (et complétement faux) de dire que (x+y)(x-y)=5 ne mène nul part ! les solutions possibles sont 5*1 et -1*-5 ! Je pense que ça aurait été plus simple et plus rapide !
Si on est dans R, il y a une infinité de couples (x , y ) dont le produit donne 5, donc effectivement c’est inutile d’utiliser (x + y)(x - y) = 5
Avec les "réformes", est-ce que ça peut être sujet de bac Spécialité ou de Grand Oral Blanquer?
grand oral carrément ?
Non, un grand oral n'est pas une séance de calculs, et il s'agit plutôt d'un exercice de première.
Tu pouvais même résoudre le système graphiquement en traçant t'es hyperboles. En plus tu as de la chance, les solutions sont entières.
C'était pas préciser si on était dan R ou C alors j'ai tout fait avant de regarder la vidéo, j'ai fait différemment pour le début :
x^2 - y^2 = 5
xy = 6
x^2 = 5 + y^2
x^2y^2 = 36
(5 + y^2)y^2 = 36
Y = y^2
Y^2 + 5Y - 36 = 0
Delta = 25 + 144 = 169
Y = (-5 +- 13) / 2 = {-9 ; 4 }
y^2 = {-9 ; 4 } y = {-3i;3i;-2;2}
-3ix = 6
3ix = 6
-2x = 6
2x = 6
x = {-2i;2i;-3;3}
S = {(2i,-3i),(-2i,3i),(-3,-2),(3,2)}
3 X 2 = 6 , comme x carré - y carré = 5 j'ai vu x carré > y carré donc j'ai essayé x = 3 et y = 2 et ca a marché puis je me suis dit c'est xy qui est positif donc j'essayé x=-3 et y=-2 et ca marche aussi.
Allez, j'y vais aussi de ma petite variante! 😊
Perso j'ai élevé la 2ème équation au carré : x²y² = 36, puis j'ai réécrit le système ainsi:
x² + (-y²) = 5
x² × (-y²) = -36
On connait la somme (S) et le produit (P) de x² et -y², ceux-ci sont donc solutions de l'équation X² - S.X + P = 0 (avec notation "grand X" pour ne pas confondre avec la variable x du système). Soit:
X² - 5X - 36 = 0.
Les solutions sont -4 et 9 comme dit dans la vidéo. x² est positif, -y² est négatif, et comme on est dans R on peut identifier les variables de manière unique:
x² = 9
-y² = -4, soit y² = 4
Donc x = 3 ou -3, et y = 2 ou -2.
La il faut faire attention, on a 4 couples de valeurs possibles, mais tous ne conviennent pas : il faut vérifier xy = 6. L'équation x² - y² = 5 est toujours vérifiée, donc pas de problème pour celle là.
On en déduit les solutions (3, 2) et (-3, -2).
C'est la meilleure variante 😉
je l'ai fait en secondes !
4:52 Pourquoi on nous apprend pas la méthode factorisation /somme plébiscité chez les anglophones?
t²-5t-36=0
-36=-9×4
-5=-9+4
Ainsi
0= t²-9t+4t-9×4
0= t(t-9)+4(t-9)
0= (t-9)(t+4)
Soit t=9 ou t=-4
Etc...
Pourquoi ne pas utiliser x*2+(-y*2)=S et x*2.y*2=p.ensuite X*2-SX+P=0 sachant que x et y de même sens
Fallait mentionné dans quel domaine de définition , R ou Z
Plutôt R ou C je pense ;)
@@SingeMalicieux tout a fait, je me suis tromper,
Normalement c'est C pas Z
Merci
Perso je suis parti sur (x+iy) ^2=5+12i, du coup on a : x^2+y^2=|x+iy|^2=|(x+iy)^2|=|5+12i|=13 donc x^2=9 et y^2=4, avec xy>0 donc x et y de même signe
Eh bien pour une fois, je ne suis pas d'accord avec le maître. J'ai eu le réflexe de convertir la 1ère équation en (x+y)(x-y) = 5. Or, d'après la 2ème equation, on sait que x et y ne peuvent être indifféremment que 1 et 6 (-1 et-6) ou 2 et 3 (-2 et-3). Or, la première solution n'est pas envisageable dans la 1ere équation. Et la deuxième fonctionne ! On sait que x>y en valeur absolue. Donc S = {(-3;-2) ; (3;2)} sans papier et crayon, en trois minutes peut-être ? Le maître me retorquera peut être que je suis parti du principe que x et y étaient des entiers naturels, alors que l'énoncé ne le spécifiait pas ?
A peu près la même chose de mon coté, sauf que je suis allé sur x+y et x-y sont probablement 5 et 1 (ou -5 et -1)
Le point faible de ce raisonnement, c'est que ce n'est pas une démonstration rigoureuse, et du coup on n'a aucun moyen de vérifier si on n'est pas passé à coté d'une solution supplémentaire qui ne serait pas dans Z. La preuve : en faisant la démonstration rigoureuse, j'ai trouvé deux solutions complexes (et à ce moment-là je ne savais pas qu'on devait le résoudre dans R)
x²(-y²)=-36
x²-y²=5
a²-5a-36=0
(a-9)(a+4)=0
a=9 ou a=-4
x²=9.y²=4
X=±3 ,y=±2
Hamas= Résistance ❤️🖤💚
j'ai trouvé de manière intuitive avec xy=6 je me suis dit que ça marchait avec 3 et 2 et -3 et -2 et j'ai vérifie que ça marchait pour la première équation.
Je voudrais tenter quelque chose (et votre point de vue me serait utile, SVP)🙂:
| x² - y² = 5
|
| xy = 6
| x² + y² = 5
|
| x²y² = 36
soit X = x²
soit Y = -y²
| X + Y = 5
|
| XY = -36
| X + Y = 5 = S (comme Somme)
|
| XY = -36 = P (comme Produit)
rappel:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
les racines de z² - Sz + P = 0 sont X et Y
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
application:
z² - 5z - 36 = 0
Δ = 5² - 4·1·(-36) = 25 + 144 = 169
√Δ = ±√69 ±13
• racine #1: z = X = (-(-5) + 13)/2·1 = 18/2 = 9
• racine #2: z = Y = (-(-5) - 13)/2·1 = -8/2 = -4
----- X = 9 -----
rappel: x² = X
x² = 9
--------------
| x = ±3 |
--------------
----- Y = -4 -----
rappel: -y² = Y
-y² = -4
y² = 4
--------------
| y = ±2 |
--------------
(fin)
x² - y² = 5
xy = 6
(6/y)² - y² = 5
36/y² -y² = 5
36/y² - y4/y² = 5y²/y²
36 - y4 = 5y²
y4 + 5y² - 36 = 0
Soit Y = y²
Y² + 5Y - 36 = 0
D=25+144=169
Y'= (-5 - 13)/2 = -9
Y"= (-5 + 13)/2 = 4
y² = -9 : Impossible
y² = 4 : y = 2 ou -2
x = 6/y
x = 3 si y = 2 ou -3 si y = -2
ainsi on a la solution S={{x=3,y=2},{x=-3,y=-2}}
L'équation est evidante donc pas besoin de changement de variable .il suffit de décomposer cinq x au carré en quatre x au carré moins neuf x au carré et le résultat est imédiat
(x-y)²-2xy=5 x-y=5+2(6)
x-y=17 et xy =6 plus simple
(x-y)²=x²-2*x*y+y²; (x-y)²-2*x*y ---> x²-4*x*y+y² je ne comprends pas comment vous arriver à (x-y)=17; je trouve uniquement : (x-y)=1 ou (x-y)=-1; de toute manière la solution (x-y)est fausse avec les solutions trouvées par Hedacademy, jamais nous ne trouverons (x-y)=17. Mais je comprends l'idée, excepté que le produit remarquable donnera : (dans le meilleur des cas) : (x-y)²+2*x*y x²+y², mais on ne peut pas le factoriser dans Z ou dans R seulement dans C nous obtiendrons (x+yi)*(x-yi). C'est beaucoup plus bizarre.
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Toijours limpides et meme ludiques ses videos !
Je n'ai pas été jusqu'au bout et ai directement trouvé en testant les nombres entiers. Je vous envoie ce message alors que vous êtes toujours occupé...
inutile de passer par une fraction, il suffit de multiplier à gauche et a droite par x carré non nul
S'il vous plait vous pouvez parler plus fort on n'entend pas bien merci 😊😊😊😊😊
Pourtant j’avais l’impression que c’était déjà limite trop fort 😅
j'adore tes videos,mais il faut que tu parle moins vite et que tu articule plus
Oui mais les couples (-2;3) et (2;-3) ne fonctionnent pas.
Roooh fastoche, L1 + 2*L2, et hop on a une identité remarquable et euh... non ok, je sors
Juste à l'intuition je m'étais dit que 6 = 3*2. En remplaçant x par 3 et y par 2 j'avais au moins trouvé une solution 😆
Ça ne garanti pas de trouver l'ensemble des solutions, mais effectivement c'est une belle intuition :)
xy = 6 => y = 6/x
x^2 - y^2 = x^2 - (6/x)^2 = 5
x^4 - 36 = 5x^2
x^4 - 5x^2 - 36 = 0
(x^2 - 9)(x^2 + 4) = 0
x ^2 = 9, x = +/- 3, y = +/- 2
(x, y) = (3, 2), (-3, -2)
x ^2 = - 4, x = +/- 2i, y = -/+ 3i
(x, y) = (2i, -3i), (-2i, 3i)
J’ai 75 ans et je regarde toujours passionnément toutes tes vidéos. Mais si tu pouvais parler un peu moins vite… Je sais, c’est générationnel , les jeunes parlent très vite, et donc articulent mal et l’ancienne école a un peu de mal à suivre.
Bien amicalement.
j'ai pas compris
p
P
M
Mp😊
Wesh, les bots...humm
C’est bon ils ont été neutralisés 😅