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【✅数学アプリ作りました！】『数学図鑑』高校数学や大学数学をビジュアルで楽しむアプリです!apps.apple.com/jp/app/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9B%B3%E9%91%91-%E3%83%93%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%81%A7%E7%90%86%E8%A7%A3%E3%81%99%E3%82%8B%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%AA/id6499109813『素数マージ』スイカゲームの素数バージョンです!apps.apple.com/jp/app/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%B8/id6503350877
解の公式が便利なことだけが分かった
二次方程式の解の公式を覚えるのがめんどくさいって人は，四次方程式の解の公式を見てみ。
何の解決にもなってなくて草
解決するとは言ってないからなぁ
三次方程式の解の公式ですら手に負えないと言うのに。
@@ユキ-i3n二次方程式の解の公式がめんどくさくなくなる
@@basakmiこっちが合ってるんだよなぁ..
２次の解の公式は凄くシンプルなんだよ…３次と４次は発狂するよ。
解が２つあるとき連分数の解の公式では片方しか求めることができないのはA+ｘで割ったときの解しかなく、ｘで割ったときの解がないからじゃないか？もう一つの解は A+x = -B/x ⇒ x = -B/x -A
なんかニュートン法で解いてるみたいだな
中高大院、一体何年間2次方程式とその解の公式を扱ってきたことか…確かに数学は道具でしかなかったけども、今日までこれを自力で見つけ出せなかったことが悔しくて仕方ない
8:06x＝-1＋√2iがx＝-√2i-1になる理由を教えてください。4月から高一になる者です。
これは2番目の式を3番目の式に変形しているわけではなくて、2つの虚数解を並べています。解の公式で考えると、x=-1±√(1-3)=-1±√2iという解が出てきますね。これを分けて書いたのがこのシーンでの2,3番目の式です。なんで実部と虚部を入れ替えて分かりにくくしたのかは謎です。
三次方程式も連分数で解けるなら使えそうだけど、二次方程式は解の公式で計算した方が早い
そもそも普通に言う「解を求める」事ができないわけですから。
2つ解がある二次方程式を連分数にしたとき、どちらの数が解として出るかは最初から分かるのでしょうか？何か法則があるのか知りたいです🙌
実数の重解を持つときにしか使えないじゃん…どのあたりが既存の解の公式より有能なんだ？
解の公式を覚えない→ax^2+bx+c=0を「平方かんせい」を使ってx=〜の形にするんだけど、、、、、試験中にわざわざやる訳にいかないんだなぁ、、、、、あとそれが出来る人は大抵、解の公式は暗記できてしまう、、、、、
ちなみに、「解の公式」＝「有限回の加減乗除と冪根を使用して厳密解が得られる手順」なので、たとえこの方法がうまく使えたとしても、連分数を使っている時点で解の公式ではない点にも注意しましょう。この「解の公式」がもし完璧なら、n次方程式はn-1次方程式の「解の公式」を使って部分分数分解するなどして解けてしまうことになりますから、「5次方程式以上は解の公式が存在しない」というこの手の動画あるあるネタが意味不明になってしまいます。
@@あぴ-o7m 確かに「代数的な解の公式」が正しい表現ですね。n次方程式がn-1次方程式の解の公式を使って…というのは、「もしこの動画で紹介されている解の公式が完璧なら」という前提で書いています。もしこの動画の方法がすべての解を仮に導出してくれるのならば(実際はもちろん全部の解が出てくることはありません)n次方程式の定数項を動画内の方法と同様に右辺に移行し、左辺をx×(xのn-1次式)と因数分解した上で、x=-(定数項)/(n-1次式)と表せます。ここで仮に動画の解の公式がn-1次式のすべての解を導出するならば右辺の分母は因数分解できて、そこから部分分数分解するとx=Σp_k/(x-q_k)という分数関数の和で表現できます。最後に右辺のxにこのxの表現を順次代入していけば、複雑にはなりますがxを連分数と同様の表現で表せます。しかし、この議論はそもそもこの動画内での「解の公式」が解をすべては教えてくれない十分性に欠けた方法に過ぎないので、前提からして意味をなしていません。
解の公式に十分性を無視した手法や収束するかわからない無限回の操作を許すならば、別にこんな複雑なことをしなくてもニュートン法なんかを解の公式と主張してしまえばいいだけです。
楕円関数やモジュラー演算といった方法の解の公式はもちろん意味があります。我々が普段使う実数表示がΣa_k×10^kといった冪と和による表現なので、どうしても加減乗除くらいしか簡単に計算する方法がありません。加減乗除と相性の良い解の公式が代数的な解の公式、といったところでしょうか。この動画内の方法も連分数という表現が他の分野で便利に活用できるなら、連分数が基本的な表示に用いられる枠組みでの解の公式として有用だと思います。
連分数と数列の漸化式の極限には関連性があり、それとプログラミングの再帰は相性がいい
その辺りの話を詳しく伺いたいですね
確かにそんな気がする
これPCに計算させるのに便利だな、ルートの計算も自動で行うただ、xがある値に収束することを証明しないと使えないのと、解が2つある場合、計算結果どうなるんだ、これ？
ランダムなら乱数生成とかに使えんかな
最後のランダムになってしまう連分数は本当にランダムなの？ 何か規則性がある複素数列の実部だけを表しているとかでもなく？
n個の連分数とその時の値をグラフにしたらどういう形になるんだろう
ルート2の連分数はニュートンラプソン近似の方法だよ。
2次はまだキメラレベル。それすらあるか怪しい。3次4次はヤバそう
平方完成ってこうやってできたんだな 初めて知った
虚数の連分数、掘れば面白いものが出てくるかも知れませんね。音楽にも活かせるかも知れません。
面白い！
まあ、二次方程式なら、平方完成すれば…………
シンプルで←確かにシンプルな形！超面白い←本当に超面白かった！二次方程式の解き方←解けないじゃん！！！！！
なお本当に解こうとすると1. 漸化式 x_{n+1}=-B/(A+x_n) が収束することを示す2. 収束する値を求めるという段階を踏まないといけなくて、その過程で『方程式 x=-B/(A+x) を解く』というプロセスが発生するので、死ぬほどめんどくさいことをした挙句に結局は元の問題に戻ってくる羽目になるでしょう。見て楽しむだけにするのが賢い遣り方。
@_KZTPP_それな(σ･ω･)σ
全然解らんけど、面白い。
これ、グラフ書いたらなぜうまくいく場合とうまくいかない場合があるのか普通に分かりますよ。実数解が二つのときの議論は、y=-6/(x-5)とy=xのグラフを重ねて書いて、適当な値から出発して数式の代入と同様に点をジグザグと移動させてみて下さい。言葉だと分かりにくいですが、数学を少し分かっている方なら意図はわかると思います。すると、x3のときは無限大へと発散していくのがわかると思います。これがx=2のみ値が出る理由です。おそらく計算の初期値として「打ち切る」と言っていますが、無意識にx=0を代入したのでしょう。これはx
ルート2とかπが連分数とはいえ分数の形であらわされるから有理数やん！！
「分数の形に表す」と言うのは「連分数でない有限の形に表す」と言う意味かと。連分数では定義によって分数の形に表した事にはならないのでしょう。
ちゃんと解の公式を導けるようになりましょう(笑)
結局重解じゃない時の実数解はどっちに収束するんだ？むしろ五次以上の方程式の解がどの解でもいいから収束すれば非常にありがたいのだが、はたして。
別に連分数展開にするのは良いけど、新しいわけではないだろ。😅
連分数はおもしろい。漸化式と深い関係がある。漸化式から一般項を求め、二次方程式が実数解を持つ時は、そのの一般項のn→±∞の極限は収束し二次方程式の２つの解になり、それがそれぞれの連分数の値になる。nが負の場合の連分数展開は、x^2+Ax+B=0としたきx=-A-B/xからx=-A-B/(-A-B/(-A-...と展開した場合に相当する。一方、虚数解の場合は、その一般項のn→±i∞の極限は収束し、二次方程式の２つの解になるが、n→±∞の極限は収束しない。また、虚数解のときの連分数の計算を途中で打ち切った値はランダムではなく、n項目で計算を打ち切った値はB/|α|*sin(nθ)/sin((n+1)θ)で与えられる。αは虚数解でその虚部の大きさが正の方、θはαの偏角。例えば動画内の二次方程式x^2+2x+3=0の場合、α=-1+i√2θ=π-arctan(√2)なので、n=1で打ち切ったとき、3/√3*sin(θ)/sin(2θ)=-3/2n=16で打ち切ったとき、3/√3*sin(16θ)/sin(17θ)=5712/4079≒1.4003432214n=31で打ち切ったとき3/√3*sin(31θ)/sin(32θ)=-51329121/22783264≒-2.2529309672n=101で打ち切ったとき3/√3*sin(101θ)/sin(102θ)≒25.6972520698になる。
全然意味がない公式だね、数式のお遊びでしょうか。 無理数πやｅのようにランダムでいつまでも続く数じゃあどこかで見切りをつけないと。
解析接続みたいに何か発展できませんかね？
@@shikaishik さん 対数関数の微分から eがでてきた （１＋１／ｋ）ｋ乗でｋを限り無く大きくすると無理数2.718・・・になってこれを自然対数ｅとしていろいろな計算が楽になるようです。 根の公式も結局これが一番楽になる公式のようです。 余計なことでした。
x^2+x+1=0 で同じことをやると、変なことになります。
😠😠😠😠😠😠😠😠実数解がないからです😠😠😠😠😠😠😠😠
(ご存知のようですので失礼なこと非常に申し訳ございませんでした)
【✅数学アプリ作りました！】
『数学図鑑』
高校数学や大学数学をビジュアルで楽しむアプリです!
apps.apple.com/jp/app/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9B%B3%E9%91%91-%E3%83%93%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%81%A7%E7%90%86%E8%A7%A3%E3%81%99%E3%82%8B%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%AA/id6499109813
『素数マージ』
スイカゲームの素数バージョンです!
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解の公式が便利なことだけが分かった
二次方程式の解の公式を覚えるのがめんどくさいって人は，四次方程式の解の公式を見てみ。
何の解決にもなってなくて草
解決するとは言ってないからなぁ
三次方程式の解の公式ですら手に負えないと言うのに。
@@ユキ-i3n二次方程式の解の公式がめんどくさくなくなる
@@basakmiこっちが合ってるんだよなぁ..
２次の解の公式は凄くシンプルなんだよ…３次と４次は発狂するよ。
解が２つあるとき連分数の解の公式では片方しか求めることができないのは
A+ｘで割ったときの解しかなく、ｘで割ったときの解がないからじゃないか？
もう一つの解は A+x = -B/x ⇒ x = -B/x -A
なんかニュートン法で解いてるみたいだな
中高大院、一体何年間2次方程式とその解の公式を扱ってきたことか…確かに数学は道具でしかなかったけども、今日までこれを自力で見つけ出せなかったことが悔しくて仕方ない
8:06
x＝-1＋√2iが
x＝-√2i-1になる理由を教えてください。4月から高一になる者です。
これは2番目の式を3番目の式に変形しているわけではなくて、2つの虚数解を並べています。
解の公式で考えると、
x=-1±√(1-3)=-1±√2i
という解が出てきますね。これを分けて書いたのがこのシーンでの2,3番目の式です。
なんで実部と虚部を入れ替えて分かりにくくしたのかは謎です。
三次方程式も連分数で解けるなら使えそうだけど、二次方程式は解の公式で計算した方が早い
そもそも普通に言う「解を求める」事ができないわけですから。
2つ解がある二次方程式を連分数にしたとき、どちらの数が解として出るかは最初から分かるのでしょうか？何か法則があるのか知りたいです🙌
実数の重解を持つときにしか使えないじゃん…どのあたりが既存の解の公式より有能なんだ？
解の公式を覚えない→ax^2+bx+c=0を「平方かんせい」を使ってx=〜の形にするんだけど、、、、、試験中にわざわざやる訳にいかないんだなぁ、、、、、あとそれが出来る人は大抵、解の公式は暗記できてしまう、、、、、
ちなみに、「解の公式」＝「有限回の加減乗除と冪根を使用して厳密解が得られる手順」なので、たとえこの方法がうまく使えたとしても、連分数を使っている時点で解の公式ではない点にも注意しましょう。
この「解の公式」がもし完璧なら、n次方程式はn-1次方程式の「解の公式」を使って部分分数分解するなどして解けてしまうことになりますから、「5次方程式以上は解の公式が存在しない」というこの手の動画あるあるネタが意味不明になってしまいます。
@@あぴ-o7m 確かに「代数的な解の公式」が正しい表現ですね。n次方程式がn-1次方程式の解の公式を使って…というのは、「もしこの動画で紹介されている解の公式が完璧なら」という前提で書いています。もしこの動画の方法がすべての解を仮に導出してくれるのならば(実際はもちろん全部の解が出てくることはありません)n次方程式の定数項を動画内の方法と同様に右辺に移行し、左辺をx×(xのn-1次式)と因数分解した上で、x=-(定数項)/(n-1次式)と表せます。ここで仮に動画の解の公式がn-1次式のすべての解を導出するならば右辺の分母は因数分解できて、そこから部分分数分解するとx=Σp_k/(x-q_k)という分数関数の和で表現できます。最後に右辺のxにこのxの表現を順次代入していけば、複雑にはなりますがxを連分数と同様の表現で表せます。
しかし、この議論はそもそもこの動画内での「解の公式」が解をすべては教えてくれない十分性に欠けた方法に過ぎないので、前提からして意味をなしていません。
解の公式に十分性を無視した手法や収束するかわからない無限回の操作を許すならば、別にこんな複雑なことをしなくてもニュートン法なんかを解の公式と主張してしまえばいいだけです。
楕円関数やモジュラー演算といった方法の解の公式はもちろん意味があります。
我々が普段使う実数表示がΣa_k×10^kといった冪と和による表現なので、どうしても加減乗除くらいしか簡単に計算する方法がありません。加減乗除と相性の良い解の公式が代数的な解の公式、といったところでしょうか。
この動画内の方法も連分数という表現が他の分野で便利に活用できるなら、連分数が基本的な表示に用いられる枠組みでの解の公式として有用だと思います。
連分数と数列の漸化式の極限には関連性があり、それとプログラミングの再帰は相性がいい
その辺りの話を詳しく伺いたいですね
確かにそんな気がする
これPCに計算させるのに便利だな、ルートの計算も自動で行う
ただ、xがある値に収束することを証明しないと使えないのと、解が2つある場合、計算結果どうなるんだ、これ？
ランダムなら乱数生成とかに使えんかな
最後のランダムになってしまう連分数は本当にランダムなの？ 何か規則性がある複素数列の実部だけを表しているとかでもなく？
n個の連分数とその時の値をグラフにしたらどういう形になるんだろう
ルート2の連分数はニュートンラプソン近似の方法だよ。
2次はまだキメラレベル。それすらあるか怪しい。3次4次はヤバそう
平方完成ってこうやってできたんだな 初めて知った
虚数の連分数、掘れば面白いものが出てくるかも知れませんね。
音楽にも活かせるかも知れません。
面白い！
まあ、二次方程式なら、平方完成すれば…………
シンプルで←確かにシンプルな形！
超面白い←本当に超面白かった！
二次方程式の
解き方←解けないじゃん！！！！！
なお本当に解こうとすると
1. 漸化式 x_{n+1}=-B/(A+x_n) が収束することを示す
2. 収束する値を求める
という段階を踏まないといけなくて、その過程で『方程式 x=-B/(A+x) を解く』というプロセスが発生するので、死ぬほどめんどくさいことをした挙句に結局は元の問題に戻ってくる羽目になるでしょう。見て楽しむだけにするのが賢い遣り方。
@_KZTPP_それな(σ･ω･)σ
全然解らんけど、面白い。
これ、グラフ書いたらなぜうまくいく場合とうまくいかない場合があるのか普通に分かりますよ。
実数解が二つのときの議論は、
y=-6/(x-5)とy=xのグラフを重ねて書いて、適当な値から出発して数式の代入と同様に点をジグザグと移動させてみて下さい。言葉だと分かりにくいですが、数学を少し分かっている方なら意図はわかると思います。すると、x3のときは無限大へと発散していくのがわかると思います。これがx=2のみ値が出る理由です。おそらく計算の初期値として「打ち切る」と言っていますが、無意識にx=0を代入したのでしょう。これはx
ルート2とかπが連分数とはいえ分数の形であらわされるから有理数やん！！
「分数の形に表す」と言うのは「連分数でない有限の形に表す」と言う意味かと。連分数では定義によって分数の形に表した事にはならないのでしょう。
ちゃんと解の公式を導けるようになりましょう(笑)
結局重解じゃない時の実数解はどっちに収束するんだ？
むしろ五次以上の方程式の解がどの解でもいいから収束すれば非常にありがたいのだが、はたして。
別に連分数展開にするのは良いけど、新しいわけではないだろ。😅
連分数はおもしろい。漸化式と深い関係がある。
漸化式から一般項を求め、二次方程式が実数解を持つ時は、
そのの一般項のn→±∞の極限は収束し二次方程式の２つの解になり、
それがそれぞれの連分数の値になる。
nが負の場合の連分数展開は、x^2+Ax+B=0としたき
x=-A-B/x
から
x=-A-B/(-A-B/(-A-...
と展開した場合に相当する。
一方、虚数解の場合は、その一般項のn→±i∞の極限は収束し、
二次方程式の２つの解になるが、n→±∞の極限は収束しない。
また、虚数解のときの連分数の計算を途中で打ち切った値はランダムではなく、
n項目で計算を打ち切った値は
B/|α|*sin(nθ)/sin((n+1)θ)
で与えられる。αは虚数解でその虚部の大きさが正の方、θはαの偏角。
例えば動画内の二次方程式x^2+2x+3=0の場合、
α=-1+i√2
θ=π-arctan(√2)
なので、
n=1で打ち切ったとき、
3/√3*sin(θ)/sin(2θ)=-3/2
n=16で打ち切ったとき、
3/√3*sin(16θ)/sin(17θ)=5712/4079≒1.4003432214
n=31で打ち切ったとき
3/√3*sin(31θ)/sin(32θ)=-51329121/22783264≒-2.2529309672
n=101で打ち切ったとき
3/√3*sin(101θ)/sin(102θ)≒25.6972520698
になる。
全然意味がない公式だね、数式のお遊びでしょうか。 無理数πやｅのようにランダムでいつまでも続く数じゃあどこかで見切りをつけないと。
解析接続みたいに何か発展できませんかね？
@@shikaishik さん 対数関数の微分から eがでてきた （１＋１／ｋ）ｋ乗でｋを限り無く大きくすると無理数2.718・・・になってこれを自然対数ｅとしていろいろな計算が楽になるようです。 根の公式も結局これが一番楽になる公式のようです。 余計なことでした。
x^2+x+1=0 で同じことをやると、変なことになります。
😠😠😠😠😠😠😠😠
実数解がないからです
😠😠😠😠😠😠😠😠
(ご存知のようですので失礼なこと非常に申し訳ございませんでした)