Salut voici ma solution: *sin(2x)=2sin(x)cos(x) sin(pi/5) = 2cos(pi/10)sin(pi/10) *sin(x+pi/2)=cos(x) sin(pi/5)=cos(3pi/10) *cos(3x)=4cos(x)^3-3cos(x) cos(3pi/10) = 4cos(pi/10)^3-3cos(pi/10) on pose x = cos(pi/10) ainsi 4x^3-3x = 2xsqrt(1-x^2) 16x^6-20x^4+5x^2=0 16x^4-20x^2+5=0 on pose u = x^2 16u^2-20u+5=0 on résoud pour u et avec une racine carré, on obtiens les 4 solutions de x x ne peut pas être négatif et il ne peut pas être compris entre 0,4 et 0,6 (visible sur le cercle trigo) conclusion: puisque seule l'une des 4 solutions est satisfaisante, on en conclut que cos(pi/10)=sqrt((5+sqrt(5))/8) et ceci marque une fin de résolution.
Hi hi , je suis content. J'ai "appris" la formule de Moivre (qui est très facile à montrer). J'y avais jamais pensé. Je comprends mieux pourquoi on peut calculer certains cos d'angle pi/n. ... Apres y'a le triangle de Pascal. Note que je crois qu'il existe une formule pour les equations de degrés 4 , mais quasi personne ne la connait et elle doit pas être simple.A partir de 5 , y'a plus. Les equations de degrés n qu'on donne en exercices sont "gentilles". Il faut le dire, la plupart des "exos bizarres" sont des cas particuliers qui fonctionnent, ils ne sont pas applicables tout le temps. Par exemple ici , rien ne dit qu'on saura calculer cos(pi/14) (à premiere vue , il pourrait rester un sin(x) pas un sin² et un polynome beaucoup moins gentil).
non on aura que des puissances paires de sin puisque en prenant la partie réelle, on enlève les puissances impaires de i qui multiplie sin. par contre oui pour les équations polynomiales rien ne dit qu'on saura la résoudre
@@adrien497 Merci , j'avais juste survolé le truc. Par contre pour connaitre cos(a+b) et sin (a+b), tu as les formules tout de suite. Le passage par changement de repere c'est galere si t'as oublié la formule. Là , 2 lignes et tu as les 2. Ces formules trigo m' insupportaient, j'avais l'impression de devoir faire de la récitation. J'ai eu 5 en maths au bac S (panique a bord, mais passé juste à l'oral)! Ca m'a pas empêché de faire un DEA de maths même si j'étais une grosse feignasse (sauf 1 mois avant les exam de juin, là j'en chiais et j'étais vidé après les exam). Je suis quand même content d'avoir compris un truc (qui crève les yeux en fait, j'ai compris en voyant cet énoncé.). Quand tu connais la multiplication complexe et sa representation graphique, la trigo tu t'en cognes ( sauf peut être la "reciproque" : cos(a)+cos(b)=... et ses homologues. Faudrait voir). Toutes ces "singeries" sont sans intérêt en fait. Excuse, je raconte ma vie mais j'ai un problème avec l'enseignement des maths avant bac+2. On va pas dire que connaitre cos(a+b) est une finalité, c'est un exercice utile, point (on rappelle la formule si on en a besoin dans un autre exercice) ! Au pire, on demande de le montrer : la question de cours (théorème). Tu dois pouvoir retrouver un fondamental, ce qui n'est pas facile en général, on le sait.
φ le nombre d'or (1+√5)/2 est connu comme égal à 2cos(π/5) soit : cos(π/5) = (1+√5)/4 Sachant que cos(2a) = 2cos²a − 1, on peut écrire : cos(π/5) = 2cos²(π/10) − 1 et donc : cos(π/10) = √( (cos(π/5)+1)/2 ) avec cos(π/5) = (1+√5)/4 on a: cos(π/10) = √( ((1+√5)/4 +1)/2 ) cos(π/10) = √( ((1+√5)/4 +4/4)/2 ) cos(π/10) = √( (5+√5)/8 ) En fait, j'ai rencontré cos(π/5) ou cos(36°) dans une figure nommée "triangle d'argent" qu'on retrouve dans l'architecture. Edit: Ouch, j'ai eu du mal à caler les parenthèses pour la présentation. Existe-t-il une façon élégante de démontrer que cos(π/5)=φ/2 ? Peut-être mais je n'ai pas creusé l'affaire...
@@m.a.t.a.m On trouve φ un peu partout. Mais en l'occurrence cos(π/5)=φ/2 vient je crois d'un problème sur les pentagones, ce qui est logique avec π/5. Quand j'ai vu cos(π/10) je me suis souvenu qu'il existait des formules avec cos2a... voilà ce qui me reste de mon bac passé il y a 40 ans, merci à mes profs sinon je serais obligé de faire des mots fléchés aujourd'hui 😅
Je viens de découvrir votre chaine. J'adore le contenu que vous proposez. N'arrêtez surtout pas !!
Merci beaucoup !
Super interessant , et voix parfaite merci
Merci à toi
Salut voici ma solution:
*sin(2x)=2sin(x)cos(x)
sin(pi/5) = 2cos(pi/10)sin(pi/10)
*sin(x+pi/2)=cos(x)
sin(pi/5)=cos(3pi/10)
*cos(3x)=4cos(x)^3-3cos(x)
cos(3pi/10) = 4cos(pi/10)^3-3cos(pi/10)
on pose x = cos(pi/10)
ainsi 4x^3-3x = 2xsqrt(1-x^2)
16x^6-20x^4+5x^2=0
16x^4-20x^2+5=0
on pose u = x^2
16u^2-20u+5=0
on résoud pour u et avec une racine carré, on obtiens les 4 solutions de x
x ne peut pas être négatif et il ne peut pas être compris entre 0,4 et 0,6 (visible sur le cercle trigo)
conclusion: puisque seule l'une des 4 solutions est satisfaisante, on en conclut que cos(pi/10)=sqrt((5+sqrt(5))/8)
et ceci marque une fin de résolution.
Hi hi , je suis content. J'ai "appris" la formule de Moivre (qui est très facile à montrer).
J'y avais jamais pensé.
Je comprends mieux pourquoi on peut calculer certains cos d'angle pi/n.
... Apres y'a le triangle de Pascal.
Note que je crois qu'il existe une formule pour les equations de degrés 4 , mais quasi personne ne la connait et elle doit pas être simple.A partir de 5 , y'a plus. Les equations de degrés n qu'on donne en exercices sont "gentilles".
Il faut le dire, la plupart des "exos bizarres" sont des cas particuliers qui fonctionnent, ils ne sont pas applicables tout le temps. Par exemple ici , rien ne dit qu'on saura calculer cos(pi/14) (à premiere vue , il pourrait rester un sin(x) pas un sin² et un polynome beaucoup moins gentil).
Oui complétement, les formules de degré 4 sont d'une immondice exceptionnelle ! Merci pour le retour !
non on aura que des puissances paires de sin puisque en prenant la partie réelle, on enlève les puissances impaires de i qui multiplie sin. par contre oui pour les équations polynomiales rien ne dit qu'on saura la résoudre
@@adrien497 Merci , j'avais juste survolé le truc.
Par contre pour connaitre cos(a+b) et sin (a+b), tu as les formules tout de suite.
Le passage par changement de repere c'est galere si t'as oublié la formule.
Là , 2 lignes et tu as les 2.
Ces formules trigo m' insupportaient, j'avais l'impression de devoir faire de la récitation.
J'ai eu 5 en maths au bac S (panique a bord, mais passé juste à l'oral)!
Ca m'a pas empêché de faire un DEA de maths même si j'étais une grosse feignasse (sauf 1 mois avant les exam de juin, là j'en chiais et j'étais vidé après les exam).
Je suis quand même content d'avoir compris un truc (qui crève les yeux en fait, j'ai compris en voyant cet énoncé.).
Quand tu connais la multiplication complexe et sa representation graphique, la trigo tu t'en cognes ( sauf peut être la "reciproque" : cos(a)+cos(b)=... et ses homologues. Faudrait voir).
Toutes ces "singeries" sont sans intérêt en fait.
Excuse, je raconte ma vie mais j'ai un problème avec l'enseignement des maths avant bac+2.
On va pas dire que connaitre cos(a+b) est une finalité, c'est un exercice utile, point (on rappelle la formule si on en a besoin dans un autre exercice) !
Au pire, on demande de le montrer :
la question de cours (théorème). Tu dois pouvoir retrouver un fondamental, ce qui n'est pas facile en général, on le sait.
@Matam j’ai un problème je n’arrive pas à trouver une valeur simplifiée de cos((pi^2)/2)
Peut-être parcequ'il n'y en a pas ?
@@m.a.t.a.m je suis triste de le savoir
Très agréable à regarder et la rigueur est au rendez-vous
Merci beaucoup !
Polynômes de Tchebychev. Je pose ça là, modestement. À vous !😅
Peux tu faire une vidéo sur une intégrale hardcore ?
Bonne vidéo !
Oui c'est plus ou moins prévu, d'ailleurs si tu as des intégrales sympas à proposer je t'en prie, et merci pour le retour !
φ le nombre d'or (1+√5)/2 est connu comme égal à 2cos(π/5) soit : cos(π/5) = (1+√5)/4
Sachant que cos(2a) = 2cos²a − 1, on peut écrire :
cos(π/5) = 2cos²(π/10) − 1 et donc :
cos(π/10) = √( (cos(π/5)+1)/2 ) avec cos(π/5) = (1+√5)/4 on a:
cos(π/10) = √( ((1+√5)/4 +1)/2 )
cos(π/10) = √( ((1+√5)/4 +4/4)/2 )
cos(π/10) = √( (5+√5)/8 )
En fait, j'ai rencontré cos(π/5) ou cos(36°) dans une figure nommée "triangle d'argent" qu'on retrouve dans l'architecture.
Edit: Ouch, j'ai eu du mal à caler les parenthèses pour la présentation.
Existe-t-il une façon élégante de démontrer que cos(π/5)=φ/2 ?
Peut-être mais je n'ai pas creusé l'affaire...
Il faut connaître φ que l'on ne présente jamais comme ça, mais c'est très fort ! J'aime beaucoup !
@@m.a.t.a.m
On trouve φ un peu partout. Mais en l'occurrence cos(π/5)=φ/2 vient je crois d'un problème sur les pentagones, ce qui est logique avec π/5. Quand j'ai vu cos(π/10) je me suis souvenu qu'il existait des formules avec cos2a... voilà ce qui me reste de mon bac passé il y a 40 ans, merci à mes profs sinon je serais obligé de faire des mots fléchés aujourd'hui 😅
Continue 🫡
J'y compte bien ahah merci !
👏👏👏
Ok pour control alt sup
?