En réalité, mathématiquement parlant, ce n'est pas une erreur, la variable d'intégration étant muette, mais cela prête à confusion. Vous avez raison de le souligner !!!
En ce qui concerne le problème avec une variation sur la hauteur, en réalité, la parabole solution à la distance maximale franchie est toujours la parabole présentant un angle de 45°. La particularité c'est qu'elle présente cet angle à l'arrivée et non au départ. Tout se passe comme s'il s'agissait d'une parabole type qui aurait été tronquée dans sa partie ascendante. C'est la raison pour laquelle l'angle de départ est aplati. A l'inverse, si vous aviez présenté une trajectoire faisant apparaître une hauteur négative au départ (en imaginant tirer vers un plateau se situant à une hauteur H depuis un point plus bas ), la parabole solution pour une distance maximale franchie (toujours la même) aurait conservé son angle de 45° au départ, mais cette fois-ci, c'est l'angle d'arrivée qui aurait été aplati. En fait, la parabole solution présente toujours un angle de 45° dans sa branche la plus longue. Très bonne vidéo au demeurant.
Oui, tout cela est fort bien… mais on peut faire un calcul plus « physique » et aussi beaucoup plus simple. (NB : je note l’angle a et non alpha…) La balle est en situation de chute libre dans un champ de gravitation vertical g, dont les équations en fonction du temps sont : x = V t cos a y = - 1/2 g t^2 + V t sin a La vitesse verticale dy/dt s’annule si g t = V sin a, soit t = V sin a / g. En cet instant t, y est maximal et l’abscisse est X = V^2 cos a sin a / g Par symétrie, la portée est double : 2 X = V^2 sin 2a / g, elle est maximale lorsque sin 2a = 1, soit a = π / 4. On peut aussi raisonner sur l’énergie de la balle, qui à l’origine vaut 1/2 m V^2, et au point culminant vaut 1/2 m V^2 (cos a)^2 + m g h (avec h = 1/2 g t^2). Ces deux énergies étant égales, un calcul assez simple mène au même résultat. Merci pour vos videos !
Très juste! En raisonnant avec l’énergie on peut aussi calculer la hauteur max atteignable en fonction de Vo , si on néglige la résistance de l’air et la diminution de g avec l’altitude.
En réalité, si on ajoute la résistance de la pénétration dans l’air, c’est-à-dire un diminution progressive de la vitesse en fonction de la distance parcourue par le projectile, on constate qu’un angle plus fermé est préférable pour augmenter la portée. Exemple le drive au golf. Intégrer ce paramètre semble augmenter sensiblement la complexité des équations!
Distribution de la vitesse initiale :Lorsque l'objet est lancé, la vitesse initiale ( v_0 ) se divise en deux composantes : Une composante horizontale ( v_{0x} = v_0 \cos(\theta) )Une composante verticale ( v_{0y} = v_0 \sin(\theta) ) La composante horizontale ( v_{0x} ) est responsable de la distance parcourue, tandis que la composante verticale ( v_{0y} ) détermine combien de temps l'objet reste en l'air. Optimisation par symétrie : Pour maximiser la portée, il faut un équilibre optimal entre ces deux composantes : ni trop de vitesse verticale (qui augmenterait la hauteur mais diminuerait la portée), ni trop de vitesse horizontale (qui diminuerait le temps passé en l'air). Cet équilibre est atteint lorsque les deux composantes sont égales. Cela se produit lorsque ( \cos(\theta) = \sin(\theta) ). Donc 45°.
10:26 sans dériver et faire tout un tas de calcul on vois que x(a) est maximum pour 2a = pi/2 soit a = pi/4 mais (max pour sin(2a) = 1)... mais bon, ça permet de réviser les dérivées de sin(x)...
Très vrai, j'ai trop pris l'habitude de calculer des dérivées pour des fonctions qui s'étudient sans...C'est un peu bête mais cela a au moins le mérite de fonctionner.
Moi je dirais que si elle reste en hauteur elle auras une énergie potentiel de pesanteur égal à -mgy qui va influencer le mouvement de l'objet dès le départ. Tandis que si on tire au sol cette énergie n'est pas présente au début.
4:57 Vous écrivez v_x=... + v_{x0} et de même pour la composante y. Au lieu de v_{x0}, il me semble plus correct d'écrire v_{0x} : il s'agit de la composante x du vecteur v_0, vecteur introduit dans la ligne précédente. Or votre écriture fait plutôt référence à la valeur initiale de la composante x du vecteur v, Le lien avec la ligne précédente où apparaît le vecteur v_0 est moins évident.
Somptueux ! Gamin, je m'étais essayé cent fois à évaluer l'angle le plus performant en tirant avec mon arc de fabrication rudimentaire, et j'en avais conclu qu'effectivement 45° était cet angle à tirer sur un plan horizontal. Et, chose amusante, hier en arrosant au plus loin que mon tuyau d'arrosage le permettait, je postulai encore les 45° de mon enfance ... Question accessoire : ne tenant pas compte des frottements de l'air, serait-ce vrai que le projectile puisse arriver plus vite qu'il n'est parti dès lors qu'il accélère lors de sa chute grâce à la gravité ? Question annexe : la durée de temps passé en phase descendante expose le projectile à la gravité ; donc, sur un plan horizontal, quel angle offre au projectile le temps de vol le plus long, c-à-d une descente plus longue, donc une accélération plus soutenue ... donc un impact plus fort. Non ?
Sauf erreur : Question accessoire : La vitesse de lancement initiale est identique à celle au moment de l'atterrissage. Question annexe : Je ne suis pas sûr d'avoir compris, mais l'accélération est constante ici. Attention, en Physique, la notion d'accélération n'est pas tout à fait la même que celle que l'on emploie couramment. Merci beaucoup du retour en tout cas !
@@m.a.t.a.m Question annexe : le temps-de-vol est-il toujours égal ? Je devine volontiers qu'en-deça d'un angle de 45°, le temps-de-vol diminue progressivement, jusqu'à atteindre zéro pour un angle zéro°. Mais entre 45° et 90°, mon intuition se dissipe ... Une idée ?
Salut, bonne vidéo, en vrai je m'étais jamais posé la question de la hauteur du lancer. Je voulais savoir avec quoi tu fais tes vidéos, quel logiciel tu utilises pour les équations affichées à l'écran, comment tu fais le schéma du cercle trigo parce que c'est vraiment propre. Ah oui et à la fin comment tu affiches une par une les trajectoires sur ton graphe en Python ?
Les équations sont faites avec latex. Les petits schémas sont faits avec Adobe Illustrator. Le montage est fait essentiellement avec Powerpoint et adobe première pro dans une moindre mesure 👍
Trés bien pour une terre plate, sans rotation, dans un champ de gravité constant et sans atmosphère. Ça fait beaucoup d’approximations qui ne sont licites que pour une très faible portée. Le calcul d’une trajectoire d’artillerie, ou même d’une balle de fusil est infiniment plus complexe et la trajectoire n’à strictement rien à voir avec une parabole.
Ba oui c’est pas la question ici c’est un problème d’introduction et qui ce veux plus math que physique Mais je t’en prie donne nous la solution sans AUCUNE approximation
Tu aurais pu avoir directement le résultat, apres avoir integré l'accélération (en résolvant vx(t) et vy(t) ), sans avoir besoin de continuer avec la position pour rederiver...!
@@m.a.t.a.m Rapidement. En integrant deux fois tu doit utiliser les positions finales/initiales...Mais il y a un point qui connu, et qui a une vitesse vy nulle (le point haut de la parabole), les deux points extremes ayant une vx égale, du coup tu peux calculer ton angle, et ce sans avoir a descendre jusqu'a la trajectoire. Est-ce plus clair ? (Si tant est que je ne fait pas erreur )
@@philippeillinger6287 Je comprend l'idée mais je ne vois toujours pas comment conclure, en fait, je vois bien une manière qui utilise le fait que vy soit nulle à mi-distance mais elle utilise le t qu'on trouve en intégrant i.e : tm =x/(2V0cos(alpha)) avec tm le temps à mi-distance.
Il n'y a pas besoin de dériver à la fin. Sur [0,Pi/2] 2*alpha est sur [0,pi] or sur cet intervalle on sait que le maximum est pour 2*alpha = PI/2 donc alpha= PI/4.
Très vrai, j'ai trop pris l'habitude de calculer des dérivées pour des fonctions qui s'étudient sans...C'est un peu bête mais cela a au moins le mérite de fonctionner.
Le problème est déjà un peu plus amusant avec une atmosphère homogène calme et un projectile rigoureusement sphérique. L’intégration n’est guère plus compliquée.
Une erreur dans la notation, t est utilisé à la fois comme borne et comme variable d'intégration. Il aurait été avisé d'utiliser z, u ou w comme variable d'intégration.
En réalité, mathématiquement parlant, ce n'est pas une erreur, la variable d'intégration étant muette, mais cela prête à confusion. Vous avez raison de le souligner !!!
En terminale, avec mon professeur, la notion d'intégrale n'était pas vue tout de suite, donc nous faisions des primitives, puis nous utilisions les conditions initiales "à la main" (ce dont tu parles j'imagine). L'intégration rend le tout plus rapide, selon moi.
@@m.a.t.a.m Après intuitivement, ça se comprend...les mortiers tirent en cloche, pas très loin, si on tire à 90 degrés, on se prend l'obus sur la tête ! Et si on tire en tir tendu, (zéro degrés) comme les chars, la pesanteur fait tomber l'obus assez vite...le compromis, c'est la moyenne : 45 degrés.
@@DomenicoScarlatti895 J'ai toujours un peu de mal avec ce genre de raisonnement ultra-empirique. Avec ce genre de raisonnement, on peut dire à peu près tout et son contraire : On veut vider le plus vite possible une baignoire : S'il y a peu d'eau, il y a peu de pression -> débit faible -> l'évacuation est assez lente même avec peu d'eau S'il y a beaucoup d'eau, il y a beaucoup de pression -> débit élevé -> l'évacuation reste lente car il y a trop d'eau Donc le mieux, c'est la moyenne ? L'exemple est un peu alambiqué, mais on voit bien l'idée.
Aahah, le grand débat, disons que les deux camps ont des arguments. Ceci dit, la physique sans les maths c'est le drame, l'inverse est beaucoup moins vrai.
@@m.a.t.a.m Pas foncièrement d’accord avec l’inégalité que vous décrivez, puisque à mon avis l’un requiert fondamentalement l’autre, même en théorie. Pour que les maths (memes abstraites et entièrement théoriques ) soient pensées, on aurait forcément besoin de physique. Autrement dit l’existence de l’un implique l’existence de l’autre. C’est possible que je me trompe après
Bon tu fais de la physique mais la variable d'intégration au borne cest chaud
La boulette 🥶🥶🥶
En réalité, mathématiquement parlant, ce n'est pas une erreur, la variable d'intégration étant muette, mais cela prête à confusion. Vous avez raison de le souligner !!!
Saperlipopette !! Supprime vite la vidéo c’est impardonnable 😱
Vidéo impeccable comme toujours un grand merci à toi pour le temps que tu y conssacres.
Hérésie mathématique mais en physique, rien à foutre.
Heureusement que l'on ne se trimbale pas des variables concrètement inutiles tout le temps.
En ce qui concerne le problème avec une variation sur la hauteur, en réalité, la parabole solution à la distance maximale franchie est toujours la parabole présentant un angle de 45°. La particularité c'est qu'elle présente cet angle à l'arrivée et non au départ. Tout se passe comme s'il s'agissait d'une parabole type qui aurait été tronquée dans sa partie ascendante. C'est la raison pour laquelle l'angle de départ est aplati.
A l'inverse, si vous aviez présenté une trajectoire faisant apparaître une hauteur négative au départ (en imaginant tirer vers un plateau se situant à une hauteur H depuis un point plus bas ), la parabole solution pour une distance maximale franchie (toujours la même) aurait conservé son angle de 45° au départ, mais cette fois-ci, c'est l'angle d'arrivée qui aurait été aplati.
En fait, la parabole solution présente toujours un angle de 45° dans sa branche la plus longue.
Très bonne vidéo au demeurant.
Très intéressant ! Merci beaucoup pour ce commentaire !
Oui, tout cela est fort bien… mais on peut faire un calcul plus « physique » et aussi beaucoup plus simple. (NB : je note l’angle a et non alpha…)
La balle est en situation de chute libre dans un champ de gravitation vertical g, dont les équations en fonction du temps sont :
x = V t cos a
y = - 1/2 g t^2 + V t sin a
La vitesse verticale dy/dt s’annule si g t = V sin a, soit t = V sin a / g.
En cet instant t, y est maximal et l’abscisse est X = V^2 cos a sin a / g
Par symétrie, la portée est double : 2 X = V^2 sin 2a / g, elle est maximale lorsque sin 2a = 1, soit a = π / 4.
On peut aussi raisonner sur l’énergie de la balle, qui à l’origine vaut 1/2 m V^2, et au point culminant vaut 1/2 m V^2 (cos a)^2 + m g h (avec h = 1/2 g t^2).
Ces deux énergies étant égales, un calcul assez simple mène au même résultat.
Merci pour vos videos !
Très fort !
@@m.a.t.a.m Merci ! (Et aussi merci pour vos très bonnes videos...) 🙂
Très juste! En raisonnant avec l’énergie on peut aussi calculer la hauteur max atteignable en fonction de Vo , si on néglige la résistance de l’air et la diminution de g avec l’altitude.
En réalité, si on ajoute la résistance de la pénétration dans l’air, c’est-à-dire un diminution progressive de la vitesse en fonction de la distance parcourue par le projectile, on constate qu’un angle plus fermé est préférable pour augmenter la portée. Exemple le drive au golf.
Intégrer ce paramètre semble augmenter sensiblement la complexité des équations!
Peut-être qu'un jour je ferais une vidéo là-dessus, mais le problème c'est que l'objet qu'on lance devient important ducoup...
@@m.a.t.a.m Merci! ça serait vraiment très intéressant!
Distribution de la vitesse initiale :Lorsque l'objet est lancé, la vitesse initiale ( v_0 ) se divise en deux composantes :
Une composante horizontale ( v_{0x} = v_0 \cos(\theta) )Une composante verticale ( v_{0y} = v_0 \sin(\theta) )
La composante horizontale ( v_{0x} ) est responsable de la distance parcourue, tandis que la composante verticale ( v_{0y} ) détermine combien de temps l'objet reste en l'air.
Optimisation par symétrie :
Pour maximiser la portée, il faut un équilibre optimal entre ces deux composantes : ni trop de vitesse verticale (qui augmenterait la hauteur mais diminuerait la portée), ni trop de vitesse horizontale (qui diminuerait le temps passé en l'air).
Cet équilibre est atteint lorsque les deux composantes sont égales.
Cela se produit lorsque ( \cos(\theta) = \sin(\theta) ).
Donc 45°.
Je ne suis pas certains que ce raisonnement soit très rigoureux...
10:26 sans dériver et faire tout un tas de calcul on vois que x(a) est maximum pour 2a = pi/2 soit a = pi/4 mais (max pour sin(2a) = 1)... mais bon, ça permet de réviser les dérivées de sin(x)...
Très vrai, j'ai trop pris l'habitude de calculer des dérivées pour des fonctions qui s'étudient sans...C'est un peu bête mais cela a au moins le mérite de fonctionner.
Excellent
Merci !
Moi je dirais que si elle reste en hauteur elle auras une énergie potentiel de pesanteur égal à -mgy qui va influencer le mouvement de l'objet dès le départ. Tandis que si on tire au sol cette énergie n'est pas présente au début.
Mhmhm, intéressant de voir le problème d'un point de vue énergétique, mais quelle conclusion veux-tu en tirer ?
4:57 Vous écrivez v_x=... + v_{x0} et de même pour la composante y. Au lieu de v_{x0}, il me semble plus correct d'écrire v_{0x} : il s'agit de la composante x du vecteur v_0, vecteur introduit dans la ligne précédente. Or votre écriture fait plutôt référence à la valeur initiale de la composante x du vecteur v, Le lien avec la ligne précédente où apparaît le vecteur v_0 est moins évident.
Exact !
Somptueux !
Gamin, je m'étais essayé cent fois à évaluer l'angle le plus performant en tirant avec mon arc de fabrication rudimentaire, et j'en avais conclu qu'effectivement 45° était cet angle à tirer sur un plan horizontal.
Et, chose amusante, hier en arrosant au plus loin que mon tuyau d'arrosage le permettait, je postulai encore les 45° de mon enfance ...
Question accessoire : ne tenant pas compte des frottements de l'air, serait-ce vrai que le projectile puisse arriver plus vite qu'il n'est parti dès lors qu'il accélère lors de sa chute grâce à la gravité ?
Question annexe : la durée de temps passé en phase descendante expose le projectile à la gravité ; donc, sur un plan horizontal, quel angle offre au projectile le temps de vol le plus long, c-à-d une descente plus longue, donc une accélération plus soutenue ... donc un impact plus fort. Non ?
La méthode ingénieur
Sauf erreur :
Question accessoire : La vitesse de lancement initiale est identique à celle au moment de l'atterrissage.
Question annexe : Je ne suis pas sûr d'avoir compris, mais l'accélération est constante ici. Attention, en Physique, la notion d'accélération n'est pas tout à fait la même que celle que l'on emploie couramment.
Merci beaucoup du retour en tout cas !
@@m.a.t.a.m
Question annexe : le temps-de-vol est-il toujours égal ?
Je devine volontiers qu'en-deça d'un angle de 45°, le temps-de-vol diminue progressivement, jusqu'à atteindre zéro pour un angle zéro°. Mais entre 45° et 90°, mon intuition se dissipe ...
Une idée ?
Salut, bonne vidéo, en vrai je m'étais jamais posé la question de la hauteur du lancer. Je voulais savoir avec quoi tu fais tes vidéos, quel logiciel tu utilises pour les équations affichées à l'écran, comment tu fais le schéma du cercle trigo parce que c'est vraiment propre. Ah oui et à la fin comment tu affiches une par une les trajectoires sur ton graphe en Python ?
Les équations sont faites avec latex. Les petits schémas sont faits avec Adobe Illustrator. Le montage est fait essentiellement avec Powerpoint et adobe première pro dans une moindre mesure 👍
Trés bien pour une terre plate, sans rotation, dans un champ de gravité constant et sans atmosphère. Ça fait beaucoup d’approximations qui ne sont licites que pour une très faible portée. Le calcul d’une trajectoire d’artillerie, ou même d’une balle de fusil est infiniment plus complexe et la trajectoire n’à strictement rien à voir avec une parabole.
Ba oui c’est pas la question ici c’est un problème d’introduction et qui ce veux plus math que physique
Mais je t’en prie donne nous la solution sans AUCUNE approximation
Tu aurais pu avoir directement le résultat, apres avoir integré l'accélération (en résolvant vx(t) et vy(t) ), sans avoir besoin de continuer avec la position pour rederiver...!
? Je n'ai pas compris, pouvez-vous détailler ?
@@m.a.t.a.m Rapidement. En integrant deux fois tu doit utiliser les positions finales/initiales...Mais il y a un point qui connu, et qui a une vitesse vy nulle (le point haut de la parabole), les deux points extremes ayant une vx égale, du coup tu peux calculer ton angle, et ce sans avoir a descendre jusqu'a la trajectoire. Est-ce plus clair ? (Si tant est que je ne fait pas erreur )
@@philippeillinger6287 Je comprend l'idée mais je ne vois toujours pas comment conclure, en fait, je vois bien une manière qui utilise le fait que vy soit nulle à mi-distance mais elle utilise le t qu'on trouve en intégrant i.e : tm =x/(2V0cos(alpha)) avec tm le temps à mi-distance.
@@m.a.t.a.m alpha est indépendant du temps...ainsi que de v0...et en relisant les commentaires, @jpl569 il y a 2 mois...
Il n'y a pas besoin de dériver à la fin. Sur [0,Pi/2] 2*alpha est sur [0,pi] or sur cet intervalle on sait que le maximum est pour 2*alpha = PI/2 donc alpha= PI/4.
Très vrai, j'ai trop pris l'habitude de calculer des dérivées pour des fonctions qui s'étudient sans...C'est un peu bête mais cela a au moins le mérite de fonctionner.
Salut fais aussi des vidéos sur la physique ce sera sympa, merci
C'est prévu !
Excllent
Merci !
Fait plus de mécanique stp ca m'intéresse
Si t'as des idées pas trop complexe et interessante why not !
Sympa ! J'avais jamais eu l'intuition qu'avec une hauteur de tir l'angle max n'est pas 45 degrés...
Moi de même !
Le problème est déjà un peu plus amusant avec une atmosphère homogène calme et un projectile rigoureusement sphérique. L’intégration n’est guère plus compliquée.
Amusant je ne sais pas ahah, mais l'intégration ne doit pas être aussi simple si je ne m'abuse ?
Une erreur dans la notation, t est utilisé à la fois comme borne et comme variable d'intégration.
Il aurait été avisé d'utiliser z, u ou w comme variable d'intégration.
En réalité, mathématiquement parlant, ce n'est pas une erreur, la variable d'intégration étant muette, mais cela prête à confusion. Vous avez raison de le souligner !!!
Il manque la résistance a l'air ;)
Le calcul est bon sur la lune, pas sur terre :D
mon gazo j'ai l'impression que c"est juste ce que tu fais au premier cours de méca en terminale mais en rajoutant des intégrales aux bornes chelou
En terminale, avec mon professeur, la notion d'intégrale n'était pas vue tout de suite, donc nous faisions des primitives, puis nous utilisions les conditions initiales "à la main" (ce dont tu parles j'imagine). L'intégration rend le tout plus rapide, selon moi.
@@m.a.t.a.m la mala est ganx...
Mon prof ajoutait à la fin : 'Allez l'OM'
45 degrés ? C'est ça en artillerie, en tout cas...
La théorie rejoint la pratique !
@@m.a.t.a.m
Après intuitivement, ça se comprend...les mortiers tirent en cloche, pas très loin, si on tire à 90 degrés, on se prend l'obus sur la tête ! Et si on tire en tir tendu, (zéro degrés) comme les chars, la pesanteur fait tomber l'obus assez vite...le compromis, c'est la moyenne : 45 degrés.
@@DomenicoScarlatti895 J'ai toujours un peu de mal avec ce genre de raisonnement ultra-empirique. Avec ce genre de raisonnement, on peut dire à peu près tout et son contraire :
On veut vider le plus vite possible une baignoire :
S'il y a peu d'eau, il y a peu de pression -> débit faible -> l'évacuation est assez lente même avec peu d'eau
S'il y a beaucoup d'eau, il y a beaucoup de pression -> débit élevé -> l'évacuation reste lente car il y a trop d'eau
Donc le mieux, c'est la moyenne ?
L'exemple est un peu alambiqué, mais on voit bien l'idée.
@@m.a.t.a.m
C'est vous le boss...moi, je suis un littéraire !
@@DomenicoScarlatti895 Très content d'avoir pu intéresser un littéraire alors, ça fais plaisir !
C'est marrant, j'ai écrit un cours sur ce sujet il y a une douzaine d'années 😅
C'est classique comme exo !
Désolé, trop de physique pour moi j'ai pas tenu la vidéo 😅
Je peux comprendre
Moi,je préfère la physique que les maths
oui
Aahah, le grand débat, disons que les deux camps ont des arguments. Ceci dit, la physique sans les maths c'est le drame, l'inverse est beaucoup moins vrai.
@@m.a.t.a.m Pas foncièrement d’accord avec l’inégalité que vous décrivez, puisque à mon avis l’un requiert fondamentalement l’autre, même en théorie. Pour que les maths (memes abstraites et entièrement théoriques ) soient pensées, on aurait forcément besoin de physique. Autrement dit l’existence de l’un implique l’existence de l’autre. C’est possible que je me trompe après