на превьюшке в верхнем 3a. Спасибо за видео, сначала попытался раписать через сигма1 сигма 2 из основной теоремы сим. многочленов, но понял, что всё оказалось куда проще!
Хм)) а я бы здесь вообще бы подумал построить графики обоих уравнений) Первое уравнение - это овал, наклоненный влево, второе (типа x^4 + y^4 = n) - это окружность, которую немного прижали к квадрату, вокруг нее описанному. И там из графиков довольно легко видно, что два решения у системы будет тогда, когда первый график касается второго. И это проходит (о, чудо!) по осям симметрии первого графика) А оси симметрии - это y=x и y=-x. В итоге, наша система сводится к двум системам: 1) х^2 + xy + y^2 = 3; y=x, 2) х^2 + xy + y^2 = 3; y=-x. В обеих системах находим х и у, подставляем в нижнее уравнение, находим а)
Ошибка в условии дала лишнее решение а=5. В уравнении на заставке решение только а=1. Кстати, первоначальная система решается в лоб в радикалах 4-й степени от "a", даже не прибегая к симметрии и четности
На заставке ролика в 1-м уравнении справа 3а. Я, не запуская ролик, решил систему и получил ответ а=1. А в самом ролике справа уже 3, "а" пропало. Второй раз решать лень((
Интересно, что систему можно решить для произвольных положительных правых частей уравнений. Пусть x² + xy + y² = A, x⁴ + y⁴ = B, где A, B >=0. Преобразуем второе уравнение системы: x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2(xy)² = B Из первого уравнения выразим x² + y² = A - xy и подставим во второе: (A - xy)² - 2(xy)² = B Решив квадратное уравнение, найдём xy = -A ± sqrt(2A² - B), откуда x² + y² = 2A ∓ sqrt(2A² - B). Ясно, что для существования вещественных решений должно быть выполнено 2A² >= B. Далее (x+y)² = (x²+y²) + 2(xy) = 2A ∓ sqrt(2A² - B) - 2А ± 2sqrt(2A² - B) = ±sqrt(2A² - B) Таким образом, мы можем отбросить те значения, которые приводят к отрицательному знаку при квадрате суммы. Найдём (x-y)²: (x-y)² = (x² + y²) - 2(xy) = 4A - 3sqrt(2A² - B) Правая часть квадрата разности неотрицательна при B
Я немного по-другому решал. Есть смысл записать x²+xy+y²=¾(x+y)²+¼(x-y)²= =3[(x+y)/2]²+[(x-y)/2]², т.к. это положительная квадратная форма. Напрашивается замена u=(x+y)/2, v=(x-y)/2. Т.е. x=u+v, y=u-v. Тогда x⁴+y⁴=(u+v)⁴+(u-v)⁴= =2u⁴+12u²v²+2v⁴. Удваиваются члены разложения бинома Ньютона с чётными степенями, сокращаются с нечётными. Таким образом, получаем систему 3u²+v²=A; u⁴+6u²v²+v⁴=B/2. Во втором уравнении удобно выделить полный квадрат (3u²+v²)²: (3u²+v²)²-8u⁴=B/2. С учётом первого уравнения имеем: A²-8u⁴=B/2. Т.е. u⁴=A²/8 - B/16. (Сразу заметим: B≤2A²). Теперь подставляем выражение для u²: u²=√(A²/8 - B/16) в первое уравнение. Получаем: v²=A - 3√(A²/8 - B/16). Сразу заметим, что выражение справа ≥0, т.е. A≥3√(A²/8 - B/16). Откуда B≥2A²/9. Таким образом, 2A²/9≤B≤2A². Обозначим s=(A²/8 - B/16)^¼ , t=√[A - 3√(A²/8 - B/16)]. Ясно, что s≥0 и t≥0. Тогда u=±s; v=±t. Т.е. x=u+v=±s±t; y=u-v=±s-(±t). Два решения у системы будет только если s=0 или если t=0 (но не одновременно). Т.е. либо при B=2A², либо при B=2A²/9, но не одновременно (когда A=B=0). При нахождении параметра нужно отбрасывать решения, приводящие к отрицательным или нулевым значениям A или B.
можно решить чуть иначе. нижнее преобразуем в (x**2+y**2)**2-2(xy)**2 далее заменяем первую скобку на 3-xy и решаем квадратное относительно xy.потом получаем новую систему где xy= чему то , а x+y = sqrt(3+xy).А далее думаем когда получается 2 решения и в итоге приходим к верному ответу
Надо же закончить решение и объяснить, почему годится только a=1 и a=5. Из того, что ты написал, ясно, что ты не сможешь этого сделать. Не хватает ещё одного уравнения.
@@Alexander_Goosev ну ты хочешь, чтоб всё решение в одном коме тебе написали. Я просто накинул идею. А насчёт того как получить ответ ты уже сам должен догадаться. А=5 получается когда d в уравнении квадратном равен нулю. А =1 когда совпадают уравнения.
@@user-ys7ql8yd2b Надо решить так, чтобы было понятно школьникам здесь и преподавателю там. Из того, что ты написал, нельзя получить правильный ответ. Не хватает ещё одного уравнения. Распальцовывать будешь лохам на дебильных каналах, которых, конечно, большинство. А здесь придётся или закончить решение, или огрести. Нех... соваться в приличные места с распальцовкой. 😀
тут наверное можно было заменить x2 за t и анализ замены тк x^2 даёт два корня нужно чтобы один корень был отрицательным а другой положительный и наоборот
Не очень понял, зачем после нахождения а в обоих случаях заново решать уравнения, ведь можно просто подставить а и х=у, х=-у и прийти к двум решениям. То есть х^2 = 1 из первой системы всегда нам покажет, что решения всего 2 (так как х=у)
А почему вы уверены, что у вашей системы будут ТОЛЬКО решения при которых x=y? Да, мы нашли такие a при которых у вас есть решение х=у, но могут быть и решения отличные от этого. Например, посмотрите на систему x^3+y^3=a и x^2+xy+y^2=3. При каких а будет один корень? Если рассуждать аналогично, то получится, что при а=2, если вы подставите а=2, х=у, то все хорошо вроде бы, но вы честно решите систему x^3+y^3=2 и x^2+xy+y^2=3 (или забейте график в десмосе) и вы поймете, что там будет 3 решения! Поэтому нужно просто подставлять ваше а без каких-то доп условий и честно решать!
U=x^2+y^2 and V=xy substitutions then we get U+V=3 and U^2-2*V^2=4a-2 and so on… We will get equation V^2+6V+4a-11=0 and get 2 solutions 4a-11=9 so a=5…
@@romank.6813 Ну, попробуй свой канал завести. Посмотрим. 😀 К тому же, М.А. с ходу решает, с минимальной подготовкой. В день ЕГЭ он с утра быстро прорешивает дальневосточный вариант. Что ценно.
о, я этот параметр видел в учебнике для дошколят 1935 года
Хаахха
Я его составлял так что он не особо сложный
@@Obitoku8810 Из могилы вещаешь?
Да-да, учебник под редакцией Ягоды. Помню-помню.
@@Obitoku8810 сасагео
именно этим параметром Император Человечества поразил Хоруса в конце Ереси
Эта задача из сборника первого класса при Николае II взята.
на превьюшке в верхнем 3a. Спасибо за видео, сначала попытался раписать через сигма1 сигма 2 из основной теоремы сим. многочленов, но понял, что всё оказалось куда проще!
жиза
Хм)) а я бы здесь вообще бы подумал построить графики обоих уравнений) Первое уравнение - это овал, наклоненный влево, второе (типа x^4 + y^4 = n) - это окружность, которую немного прижали к квадрату, вокруг нее описанному. И там из графиков довольно легко видно, что два решения у системы будет тогда, когда первый график касается второго. И это проходит (о, чудо!) по осям симметрии первого графика) А оси симметрии - это y=x и y=-x. В итоге, наша система сводится к двум системам: 1) х^2 + xy + y^2 = 3; y=x, 2) х^2 + xy + y^2 = 3; y=-x. В обеих системах находим х и у, подставляем в нижнее уравнение, находим а)
Спасибо большое за красивый разбор, как подходить к решению задач.
Михаил Абрамович, большое спасибо, за всё то что вы делаете!
Ошибка в условии дала лишнее решение а=5.
В уравнении на заставке решение только а=1.
Кстати, первоначальная система решается в лоб в радикалах 4-й степени от "a", даже не прибегая к симметрии и четности
На заставке ролика в 1-м уравнении справа 3а.
Я, не запуская ролик, решил систему и получил ответ а=1.
А в самом ролике справа уже 3, "а" пропало.
Второй раз решать лень((
Михаил Абрамыч, на заставке в правой части первого уравнения стоит 3a,
а решали Вы с правой частью 3.
Интересно, что систему можно решить для произвольных положительных правых частей уравнений.
Пусть x² + xy + y² = A, x⁴ + y⁴ = B, где A, B >=0. Преобразуем второе уравнение системы:
x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2(xy)² = B
Из первого уравнения выразим x² + y² = A - xy и подставим во второе:
(A - xy)² - 2(xy)² = B
Решив квадратное уравнение, найдём xy = -A ± sqrt(2A² - B), откуда x² + y² = 2A ∓ sqrt(2A² - B). Ясно, что для существования вещественных решений должно быть выполнено 2A² >= B. Далее
(x+y)² = (x²+y²) + 2(xy) = 2A ∓ sqrt(2A² - B) - 2А ± 2sqrt(2A² - B) = ±sqrt(2A² - B)
Таким образом, мы можем отбросить те значения, которые приводят к отрицательному знаку при квадрате суммы. Найдём (x-y)²:
(x-y)² = (x² + y²) - 2(xy) = 4A - 3sqrt(2A² - B)
Правая часть квадрата разности неотрицательна при B
Я немного по-другому решал.
Есть смысл записать
x²+xy+y²=¾(x+y)²+¼(x-y)²=
=3[(x+y)/2]²+[(x-y)/2]²,
т.к. это положительная квадратная форма.
Напрашивается замена
u=(x+y)/2,
v=(x-y)/2.
Т.е. x=u+v,
y=u-v.
Тогда
x⁴+y⁴=(u+v)⁴+(u-v)⁴=
=2u⁴+12u²v²+2v⁴.
Удваиваются члены разложения бинома Ньютона с чётными степенями, сокращаются с нечётными.
Таким образом, получаем систему
3u²+v²=A;
u⁴+6u²v²+v⁴=B/2.
Во втором уравнении удобно выделить полный квадрат (3u²+v²)²:
(3u²+v²)²-8u⁴=B/2.
С учётом первого уравнения имеем:
A²-8u⁴=B/2.
Т.е.
u⁴=A²/8 - B/16.
(Сразу заметим: B≤2A²).
Теперь подставляем выражение
для u²:
u²=√(A²/8 - B/16)
в первое уравнение.
Получаем:
v²=A - 3√(A²/8 - B/16).
Сразу заметим, что выражение справа ≥0,
т.е. A≥3√(A²/8 - B/16).
Откуда B≥2A²/9.
Таким образом,
2A²/9≤B≤2A².
Обозначим
s=(A²/8 - B/16)^¼ ,
t=√[A - 3√(A²/8 - B/16)].
Ясно, что s≥0 и t≥0.
Тогда
u=±s;
v=±t.
Т.е.
x=u+v=±s±t;
y=u-v=±s-(±t).
Два решения у системы будет только если s=0 или если t=0 (но не одновременно).
Т.е. либо при B=2A²,
либо при B=2A²/9,
но не одновременно (когда A=B=0).
При нахождении параметра нужно отбрасывать решения, приводящие к отрицательным или нулевым значениям A или B.
Здравствуйте, Михаил Абрамович! Подскажите, пожалуйста, в какой программе вы работаете?
можно решить чуть иначе.
нижнее преобразуем в (x**2+y**2)**2-2(xy)**2 далее заменяем первую скобку на 3-xy и решаем квадратное относительно xy.потом получаем новую систему где xy= чему то , а x+y = sqrt(3+xy).А далее думаем когда получается 2 решения и в итоге приходим к верному ответу
Надо же закончить решение и объяснить, почему годится только a=1 и a=5.
Из того, что ты написал, ясно, что ты не сможешь этого сделать. Не хватает ещё одного уравнения.
@@Alexander_Goosev ну ты хочешь, чтоб всё решение в одном коме тебе написали. Я просто накинул идею. А насчёт того как получить ответ ты уже сам должен догадаться.
А=5 получается когда d в уравнении квадратном равен нулю. А =1 когда совпадают уравнения.
@@Alexander_Goosev и вообще так можно решать, после важного замечания о симметрии когда мы получаем 4 возможных пары корней для проверки ашек.
@@user-ys7ql8yd2b Надо решить так, чтобы было понятно школьникам здесь и преподавателю там.
Из того, что ты написал, нельзя получить правильный ответ. Не хватает ещё одного уравнения.
Распальцовывать будешь лохам на дебильных каналах, которых, конечно, большинство. А здесь придётся или закончить решение, или огрести. Нех... соваться в приличные места с распальцовкой. 😀
@@user-ys7ql8yd2b К тому же,
x+y=±√(3+xy).
Уже этого достаточно, чтобы усомниться, понимаешь ли ты, что пишешь.
тут наверное можно было заменить x2 за t и анализ замены тк x^2 даёт два корня нужно чтобы один корень был отрицательным а другой положительный и наоборот
А с формулами нельзя?
Здесь нужно решение для ЕГЭ, а не для дома престарелых.
Видео ещё не смотрел. Предлагаю подстановку x^2+y^2=t, xy=z, и возвести первое уравнение в квадрат, из второго выделить квадрат от x^2+y^2
Не очень понял, зачем после нахождения а в обоих случаях заново решать уравнения, ведь можно просто подставить а и х=у, х=-у и прийти к двум решениям.
То есть х^2 = 1 из первой системы всегда нам покажет, что решения всего 2 (так как х=у)
А почему вы уверены, что у вашей системы будут ТОЛЬКО решения при которых x=y? Да, мы нашли такие a при которых у вас есть решение х=у, но могут быть и решения отличные от этого.
Например, посмотрите на систему x^3+y^3=a и x^2+xy+y^2=3. При каких а будет один корень? Если рассуждать аналогично, то получится, что при а=2, если вы подставите а=2, х=у, то все хорошо вроде бы, но вы честно решите систему x^3+y^3=2 и x^2+xy+y^2=3 (или забейте график в десмосе) и вы поймете, что там будет 3 решения!
Поэтому нужно просто подставлять ваше а без каких-то доп условий и честно решать!
Теперь понял, спасибо за ответ! Туман рассеялся после осознания, что здесь уравнения с двумя переменными) и заново решать всегда обязательно
U=x^2+y^2 and V=xy substitutions then we get U+V=3 and U^2-2*V^2=4a-2 and so on…
We will get equation V^2+6V+4a-11=0 and get 2 solutions 4a-11=9 so a=5…
10:19
А ПОЧЕМУ В СКОБКЕ ЗНАК + ?
ТАМ ВЕДЬ, ПО ИДЕЕ ДОЛЖЕН БЫТЬ ЗНАК -
Ну да ошибся, но так то это не влияет на дальнейшие соображения
@@user-ys7ql8yd2bЗато влияет на итоговую оценку. За такие косяки нам в яслях воспитатели на голову надевали тарелку с манной кашей во время полдника.
@@user-ys7ql8yd2b вопрос был про то, что правильно ли я понял, что там ошибка
я же не говорил, что вон, смотрите, там ошибка, все, расстрел
Да, там просто описка
@@Postupashki Описка, это когда сказал "минус", а написал "плюс". :)
Превью не соответствует задаче 🥲
Заголовок-то: не решит никто!!
Решение: Гы-Гы-Гы! И кто вам такие заголовки сочиняет, неужели сами?
Жалко что ничего не понятно
2x²+2xy+2y²=3x²+3y²-(x-y)²
Да-да, Михал Абрамыч косячит. Нас воспиталка в яслях за такое в угол ставила.
@@romank.6813 Не влияет на ответ. Случайная описка. Квадрат всё равно положителен. 😀
@@Alexander_GoosevНе влияет на ответ, зато влияет на оценку. Михал Абрамычу неуд за невнимательность.
@@romank.6813 Ну, попробуй свой канал завести. Посмотрим. 😀
К тому же, М.А. с ходу решает, с минимальной подготовкой.
В день ЕГЭ он с утра быстро прорешивает дальневосточный вариант. Что ценно.
@@romank.6813 Ты когда последний раз у доски решал?
50 лет назад? 😀
Тут М.А. как раз у доски решает.
как обычно, всё за месяц до экзамена переигрывают(
Я что-то переиграл в прошлом году?!
На замену xx + yy = u, xy = v, дальше все очевидно
Иди в ж...
2×2=4.
Дальше всё очевидно.
Клоун ютубовский.
.
Какая вам от этого выгода? Вы что же хотите быть великим среди дураков? Ведь
Э, а где продолжение? За что я деньги плачу
Ну зачем вы это, так настойчиво делаете? Зачем вы так, уже явно, лжёте? Какя
Сами вы Какя, он, прошу заметить, вас не оскорблял
@@BN43214 Дедушка хотел написать "Какая...". См. его же комментарий выше (продолжение).
Изи задача для первокласников в 1950-ом
Мне интересно, реально люди смотрят на его? Он писимист, настрой точно не на хорошую работу.
Ты маугли?
Ого, ровно такая же задача была на стажировке в Тинькофф прошлым летом!
Серьезно? Там такую халяву дают? Я то думал там чет жесткое... Бляяяя, как же я переоценивал тинькофф