Woooh! 😀😀😀 Die Konstruktion der Gleichungen ist besonders gut dargestellt; das Problem sprachlich so fein aufzulösen, in passende Worte zu codieren UND dabei niemals den Roten Faden zu verlieren, ist brillant!😊😊😊 Beim Mitdenken ist mir aufgefallen, wie kräftig die Verführung zu größeren Schritten wäre. IHR pädagogisches Können und geballte mathematsche Fähigkeiten treffen sich und machen IHRE Videos außerordentlich sehenswert. Nur ein winziges Häufchen Menschen könnte das auch. (Als Dipl. Psychologe weiß ich, was ich schreibe) 👏👏👏💐💐💐
Sie müssen unbedingt weitermachen mit Ihrem Kanal...so viel Mathematik bzw. Rechnen hatte ich nicht mehr seit Ende der Oberstufe 2005 gemacht😊🎉Continuez s'il vous plaît🙏
Seit Langem mal wieder ein Rechenvideo angeschaut und mitgerechnet - macht einfach so Spaß deinen Rechenschritten zu folgen!! Herzlichen Dank dafür! LG
Danke, junge Frau. Ich hätte nie gedacht, dass mich jemand in die Mathematik zurückbringt. Eigentlich war ich froh, Mathe nicht mehr ertragen zu müssen. Mir wurde früher nicht vermittelt warum ich gewisse mathematische Gesetze kennen muss. Interesse war da. So nett, freundlich und gut gelaunt wurde ich noch nie zum Rechnen aufgefordert.
Du kannst extrem gut erklären, liebe Susanne, und lässt auch keinen Schritt aus. Den Fehler begehen leider viele Lehrer und wundern sich dann, dass Schüler ihren Ausführungen nicht folgen können. Diese Aufgaben sind auch gut dazu geeignet, die eigene Konzentration zu stärken. Ich bin begeistert! ☝🙏☝🙏☝
Hallo Susanne, zunächst Dir, Thomas und allen anderen hier ein super Wochenende. Hier mein Lösungsvorschlag: rk sei der Radius des kleinen weißen Halbkreis dg sei der Durchmesser des großen Kreis rg sei der Radius des großen Kreis Ag sei die Fläche des großen Kreis Ak sei die Fläche des kleinen weißen Kreis (wovon nur der Halbkreis gezeichnet ist.) Arot sei die rot gefärbte Fläche Mg sei der Mittelpunkt des großen Kreis S sei der Schnittpunkt des Radius des kleinen Kreis mit der Kreislinie des großen Kreis rk und dg repräsentieren Strecken, daher ist rk und dg sicher > 0 Ich lasse zunächst die Einheiten weg. Lt. Skizze soll gelten: 1) Arot = Ag - (1/2 * Ak) 2) dg = 2 + rk + 4 = rk + 6 Da allgemein der Durchmesser des Kreises = 2x der Radius des Kreises ist, gilt: 3) 2 * rg = dg 3) in 2) 2.1) 2 * rg = rk + 6 |:2 2.2) rg = 1/2 * rk + 3 Das Dreieck M, Mg, S ist rechtwinklig mit den Katheten rg - 2 und rk, sowie der Hypotenuse rk. Daher kann hier Pythagoras angewendet werden. 4) rg^2 - (rg-2)^2 = rk^2| 4.1) rg^2 - (rg^2 - 4 * rg + 4) = rk^2| 4.2) rg^2 - rg^2 + 4 * rg - 4 = rk^2| 4.3) 4 * (rg - 1) = rk^2| 4.4) 4 * (rg - 1) = rk * rk Man hat nun auf beiden Seiten ein Produkt aus 2 Faktoren. Die Produkte können nur gleich sein, wenn jeweils beide Faktoren gleich sind, also die selbe Primfaktorenzerlegung haben. Bsp.: 8*2 = 4*4... zunächst sind das unterschiedliche Faktoren. Da jedoch 8 = 4 * 2 ist, lässt sich die linke Seite als 4 * 2 * 2 schreiben. Danach kann man links noch 2 * 2 zu 4 zusammenfassen. Somit steht dann links und rechts 4 * 4, also die gleichen Faktoren. Das bedeutet Faktor 1 links ist entweder gleich Faktor 1 rechts oder gleich Faktor 2 rechts Da rechts 2x der gleiche Faktor rk steht, muss der 1. linke Faktor (4) = rk sein also rk = 4 entsprechend muss der 2. linke Faktor (rg - 1) ebenfalls = rk sein. Da bedeutet, da rk = 4 ist, muss rg - 1 ebenfalls 4 sein also rg -1 = 4|+1 rg = 5 Damit lassen sich jetzt alle beteiligten Flächen berechnen: Ak = pi * rk^2 = pi * 4^2 = pi * 16 = 16 * pi Ag = pi * rg^2 = pi * 5^2 = pi * 25 = 25 * pi Arot = Ag - 1/2 * Ak = 25pi - 1/2 * 16pi = 25pi - 8pi = 17pi DIr, Thomas, Sabine und Roger LG aus dem Schwabenland.
5:00 Anstatt den Pythagoras kann man auch den Sehnensatz anwenden: r * r = 2 * (r + 4) r^2 = 2r + 8 r^2 - 2r = 8 Jetzt 1 addieren, um quadratisch zu ergänzen: r^2 - 2r + 1 = 9 Binomische Formel auf linke Seite anwenden: (r - 1)^2 = 3^2 Wurzel ziehen und Doppeldeutigkeit beachten: r - 1 = +3 oder r - 1 = -3 r = 4 oder r = -2 Die negative Lösung ausschließen, wie bei R im Video. Also ist der kleine Radius r = 4. Mit der anderen Gleichung 2R = 6 + r ergibt sich 2R = 6 + 4 2R = 10 R = 5 Und der Rest wie im Video.
Die spannendere Frage war für mich mal wieder nicht, ob ich das ausrechnen, sondern ob ich es in Geogebra so konstruieren kann, dass ich durch Ziehen eines Punktes die gegebenen Werte einstellen und dann die Lösung einfach ablesen kann. Habe es hinbekommen und für den Radius des kleinen Kreises 4 ermittelt (abgelesen). Der Radius des großen Kreises ist also 5, die gesuchte Fläche also 25¶-(16¶)/2=25¶-8¶=17¶ -> Geogebra ist großartig! Susanne natürlich auch.
Danke für dieses Video. Nachdem ich gedanklich bei der Abbildung eine Vierteldrehung gemacht hatte, kam mir der Gedanke, diese Aufgabe mit dem Höhensatz zu lösen. Es gilt hier die Beziehung h² = p * q , weil durch den Satz des Thales über dem Gesamtdurchmesser (2 + r + 4) ein rechter Winkel gegeben ist. Daraus lässt sich dann die folgende quadratische Gleichung ableiten: r² = 2 * (r + 4) => r² = 2r + 8 => r² - 2r - 8 = 0 Hier kann man r mit der pq - Formel ausrechnen und erhält die beiden Lösungen 4 und -2, womit aber die negative Lösung ausscheidet. Dieses r kann man nun verwenden, um R auszurechnen: => R = (2 + 4 + 4)/2 = 5 Der Rest dieser Aufgabe ist dann einfach zu lösen und man erhält als Endergebnis für die markierte Fläche ca. 53,4055 m².
Erstmal danke für die Aufgabe. Die ist wirklich toll. Ich kann mich sehr gut daran erinnern, dass meine Lehrer/Lehrerinnen damals immer drauf bestanden haben die Einheiten mit zu nehmen, insbesondere, wenn es komplizierter wird, würde ich mich freuen, wenn du das auch tätest.
Die Diskussionen gibt's hier öfter. Ich sehe das bei so einfachen Aufgaben entspannt, solange man beim Einsetzen darauf achtet, dass die Einheiten konsistent sind. Hier ist ja überschaubar, man hat m und m². Wenn die Sache allerdings komplexer wird und gemischte Einheiten (als Bauingenieur hat man Spannungen in N/mm² kN/cm² oder MN/m², Querschnittswerte in cm², cm³ und cm^4 oder dasselbe in m², m³, m^4 und Kräfte in N, kN, MN und Momente in Nm, kNm, kNcm etc. pp), dann muss man eigentlich die Einheiten zwangsweise mitnehmen, denn sonst ist man ruckzuck um ein paar Zehnerpotenzen daneben.
Hallo liebe Susanne. Ich habe die zweite gesuchte Gleichung (die mit dem rechtwinkligen Dreieck) einfach nach R und nicht nach r aufgelöst. Dann habe ich diese Gleichung einfach von der ersten abgezogen und es kommt dann direkt eine quadratische Gleichung der Form x²+px+q raus. Man kann also direkt die pq-Formel anwenden und erhält so r=4. r²+(R-2)²=R² r²+(R²-4R+4)=R² r²-4R+4=0 4R=r²+4 Die erste gefundende Gleichung war ja 2R=r+6 , also 4R=2r+12 Diese beiden dann ganz easy voneinander abziehen, also (r²+4) - (2r+12) --> r²-2r-8=0 pq-Formel lässt sich super anwenden , x1,2= 1+- 3 , x1=-2 (unsinnige Lösung, negativer Radius) , x2=4 , also Lösung r=4 Ganz liebe Grüße und vielen Dank für diese tollen Knobelaufgaben. Ich saß da echt lange dran :D
Man kann auch den SATZ DES THALES nutzen. Wenn man als großen Durchmesser 2+4+r nimmt und dann die Enden des Durchmessers mit dem rechten Ende des halbkreis-Durchmessers verbindet So entsteht ein rechter Winkel. Dann hat man ein großes dreieck bzw. zwei Dreiecke die durch den kleinen Radius r halbiert sind. Diese sind „ähnlich“ zueinander sodass man durch r/2=(r+4)/x ein Gleichung mit einer variable erhält. Lösung -2 und 4
War SEHR interessant, danke! Ja, der olle Vieta, der macht hier wirklich alles einfacher. Aber der geriet bei uns damals im Unterricht schon schnell ins Abseits, und bei quadratischen Gleichungen griff jeder beinahe reflexhaft zu pq.
Wow, das wahr wirklich eine harte Nuss! Nein, alleine wäre ich nicht auf die Lösung gekommen. Jetzt, nachdem ich das ganze Video gesehen habe, bin ich erstaunt darüber, wie einfach die Lösung eigentlich ist. Eigentlich ...
Doch gehörig viel Rechenaufwand nötig. Querbeet durch Geometrie, Gleichungssysteme und Binomen. Gut und nachvollziehbar dargestellt. Obwohl ich schon sehr viele Jahre raus bin, aus Mathe, war es eine Freude Dir zuzusehen. Klasse und weiter so.
Ich habe die Aufgabe sehr ähnlich gelöst. Wichtig ich definiere als erstes den Radius des kleinen Kreises als x. Mein Lösungsweg: 0) A= Grosses Kreis - kleiner Halbkreis 1) Radius r grosses Kreis berechnet 2) Satz des Pythagoras. 3) Gleichung gleich Null setzen 4) Mitternachtsformel 5) Radius "ausrechnen" 6) Lösung einsetzen in A= Grosses Kreis - kleiner Halbkreis 1) Idee Durchmesser des grossen Kreises durch 2 r= (4m + x + 2m) :2 = (6m + x) : 2= 3m + x/2 => Radius grosser Kreis = 3m + x/2 2) Satz des Pythagoras: Seitenlängen: Hypothenus = grosser Radius also 3m + x/2 Waagrechte Kathete = Radius Kleiner Kreis = x Senkrechte Kathete = Grosser Radius - 2m = 3m + x/2 - 2m =1m +x/2 Einsetzen in den Satz von Pythagoras: Senkrechte Kathete^2 + Waagrechte Kathete^2 = Hypothenus^2 ( 1m +x/2)^2 + x^2 = (3m + x/2)^2 3) Ausrechnen und gleich Null setzen... x^2 - 2x-8m=0 4) Mitternachtsformel => x_1= -2m , x_2= 4m Der Radius kann nicht negativ sein... => x= 4m 5) Radius grosser und kleiner Kreis: Der Radius vom kleinen Kreis ist 4m, dass wissen wir aus 3. Der Radius vom kleinen Kreis ist 5m, wir setzen x=4m in die Formel aus 1. 6) A= Grosses Kreis - kleiner Halbkreis = (5m)^2 *Pi - (4m)^2 * Pi : 2 = 25m^2*Pi - 8m^2 *Pi = 17Pi m^2
Sagt mal Leute, würde ich gegen irgendwelche Richtlinien stoßen wenn ich gestehe, wie sehr ich mich von dieser schlauen Frau angezogen fühle, gelinde gesagt. Man muss ja höllisch aufpassen heutzutage. Es gibt soviel BS im Netz, dass man sich sehr freut sowas schönes und kluges zu sehen. Schön, dass es Dich gibt ❤
Herzlichen Dank Susanne, für diese Frage am Samstag 🙏 Mein Lösungsvorschlag lautet: Wenn man die Linie weiter zieht ist das dem r gleich, dann wäre das R: 2+r+4= 2R 2R= 6+r (Gl.-1) Das Dreieck für den Phytagoras kann man schon sehen: Wenn man das Zentrum von dem großen Kreis irgendwo zwischen 6+r ankreuzt: wäre der Abstand zu dem linken ( oder rechten berührungspunkt) ebenfalls R, der Abstand zwischen M und diesem berührungspunkt ist r, der Abstand zwischen R und M: R-2 💡 Demnach: R²= r²+(R-2)² von oben: r= 2R-6 R²= (2R-6)²+(R-2)² R²= 4R²-24R+36+R²-4R+4 4R²-28R+40=0 :4 R²-7R+10=0 Δ= 49-4*1*10 Δ= 9 R₁= (7+√9)/2 R₁= 5 m R₂= 2 m Wenn R=2 m ⇒ r= 2R-6 r= 2*2-6 r= -2 < 0 Demnach muss R=5 m sein❗ r= 2R-6 r= 2*5-6 r= 4 m Die rote Fläche, Arot Arot= π*[R²-(r²)/2] = π[5²-4²/2] = π(25-8) = 17π m² Arot ≅ 53,41 m² ist die Antwort ℹ 2. Lösungsvorschlag: Nach dem Sehnensatz gilt: AM*BM= CM*MD AM= r BM= r CM= 2 m MD= (r+4) m ⇒ r*r= 2*(r+4) r²= 2r+8 r²-2r-8=0 Δ= b²-4ac = 4-4*1*(-8) Δ= 36 r₁= (2+√36)/2 r₁= 4 m r₂= (2-6)/2 r₂= -2 m < 0 ❗ Somit r= 4 m 2R= r+2+4 2R= 4+2+4 R= 5 m ⇒ Arot= π*[R²-(r²)/2] = π[5²-4²/2] = π(25-8) = 17π m² Arot ≅ 53,41 m² ℹ
@@d4rknessde833 Erst selbst lösen und dann vergleichen, also das Ergebnis, ich weiss gar nicht was zwischendurch berechnet wurde, nur macht es Spass. Was macht Dich so sicher, dass ich abschreibe ? Und wenn ich eine Aufgabe nicht lösen kann, dann bleibt es halt liegen, bis ich eine Lösung gefunden habe, so mache ich das schon seit Monaten 🙏
Ich hab das soooo kompliziert gelöst, dafür aber nur mit einem Radius r (vom Halbkreis). Ich hab zuerst √(2²+r²) gerechnet (Hypotenuse kleines rechtwinkliges Dreieck oben), dann √((4+r)²+r²) (Hypotenuse großes rechtwinkliges Dreieck). Und weil ja der Satz von Thales gilt, bilden die beiden Hypotenusen zwei Katheten von einem großen rechtwinkligen Dreieck, bei dem der Durchmesser des großen Kreises die Hypotenuse (6+r) ist. Und dann hab ich eine Gleichung: √(√(2²+r²)²+√((4+r)²+r²)²) = 6+x; Wurzeln und ² heben sich auf, alles zusammenfassen, dann hab ich eine quadratische Gleichung bekommen, mit abc-Formel aufgelöst und r = 4 rausbekommen. Dan Flächeninhalt hab ich dann eh ganz einfach ausrechnen können.
@@gelbkehlchen Habs aber nicht gleich gesehen, dann aber fiel es wie Schuppen von den Augen. :-) Bei quadr. Gleichungen mache ich immer die binomische Erweiterung. Wird von kaum jemand erwähnt. Ich war schon in der Schule zu faul, mir die pq- Formel zu merken. :-)
@@ganymed1236 Das ist ja auch okay. Die p-q-Formel wird ja auch mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet. Und ich bin zu faul, mir die abc Formel zu merken. Die ist nämlich noch komplizierter.
wie immer daumen hoch!!!! was mich mal interessieren würde: welche app wird denn da benutzt zum schreiben und zeichnen der Linien (die sich scheinbar von selbst geradeziehen)???
Mein Lösungsweg : Ich hab die Kreise in einem CAD Programm gezeichnet, die Radien rausgemessen und die Fläche berechnet. (Man kann auch die gewünschte Fläche direkt im CAD rausmessen) Lösungsdauer 2 Minuten mit PC hochfahren😂
Ich bin über 25 Jahre aus der schulischen Ausbildung raus und wundere mich selbst, dass ich seit einigen Jahren ein besonderes Interesse an Mathematik habe. Mittlerweile erkenne ich den Lösungsansatz und kann mir Sinn , Zweck und einen Lösungsweg vorstellen. Ich hab die Geduld und auch den Ehrgeiz Aufgaben zu lösen. Aber was ist denn jetzt wichtiger, alle mathematischen Regeln zu kennen oder sich einen fehlerfreien Lösungsweg zu erarbeiten?
Hi bin grade in meinem Bwl Studium und ich finde deine Videos Super! Wir haben aktuell Mengenlehre und Abbildungen und da wollte ich dich fragen ob du dazu ein erklär Video erstellen kannst?
Sehr schön erklärtes Video, ich kenne das nur so von dir. Großes Kompliment Nebenbei: Ist es eigentlich Zufall, dass der kleine Radius mit seinen 4m genauso groß ist wie das Stück unter dem kleinen Halbkreis (also die 4m Breite des "Halbmondes")?
Das die Lösung R=2m nicht sein kann, sieht man schon daran, dass der Durchmesser dann nur 4m wäre. Es sind aber Strecken von 2m und 4m gegeben, die beide im Durchmesser liegen und es fehlt sogar noch ein Stück. Also muss der Durchmesser > 6 sein und damit der Radius > 3. Da kann man sich das Rechnen sparen. Schöne Aufgabe und tolle Lösung!
ich hab einen karton genommen, einen quadratmeter abgeschnitten und auf die waage gelegt. dann den kreis mit dem halbkreis auf einem weiteren gleichwertigen karton konstruiert und ausgeschnitten und ebenfalls auf die waage gelegt. dann einfach die gewichte ins verhältnis gesetzt. und dann kommt fläche in quadratmeter rais.
equilibrium1340 Bitte noch ein paar Fotos davon, wie du mit den riesigen Karton-Scheiben hantierst. Die sind ja mindestens 6 m hoch. Benutzt du dann eine Viehwaage?
Ich habe einen Screenshot vom Video ausgedruckt, die Figur ausgeschnitten, auf eine Styroporplatte geklebt und als Dartscheibe aufgehängt, und dann gezählt wie oft ich ins Rote und wie oft ins Weiße treffe, und das dann ins Verhältnis geschwurbelt.
Das ist schon ganz gut. Aber es ist eine Geometrie Aufgabe. In der Mathematik unterscheidet man zwischen schönen (eleganten) und weniger schönen Lösungen. Ja, man kann die Fläche ausrechnen. Aber eigentlich geht es um die Bestimmung des Mittepunktes des großen Kreises. Lässt sich der Mittelpunkt mit Zirkel und Lineal konstruieren? Die Antwort ist "ja", weil die algebraische Lösung nur Quadratwurzeln enthält. Allerdings habe ich noch keine elegante Lösung einer geometrischen Konstruktion gefunden. Meistens hören Mathematiker auf zu denken, wenn Existenz und Eindeutigkeit bewiesen wurde. Hier ist ein Beispiel für eine schöne geometrische Lösung (nicht dieses Problems). Es soll zeigen, dass Geometrie verblüffende Einsichten gewährt, die durch Algebra verschattet sind. de.wikipedia.org/wiki/Feynmans_verschollene_Vorlesung:_Die_Bewegung_der_Planeten_um_die_Sonne. Gibt es auch hier eine schöne geometrische Konstruktion?
Eine geometrische Lösung des Problems erhält man durch folgende Überlegung. Zunächst vergisst man den kleinen Kreis und beschränkt sich auf den großen. Da man den Radius nicht kennt, nehme ich OBdA R=1 an. Jetzt sieht man, dass die halbe Sehne im Einheitskreis, also r, gerade der Sinus des Winkels am Mittelpunkt ist. Der Cosinus ist gerade das Stück vom Mittelpunkt bis zur Sehne. Auch die konkreten Maße (2cm und 4cm) können der Einfachheit halber zunächst vergessen werden. Sie werden durch die Variablen d und D ersetzt. Das führt zu folgenden Gleichungen, die man einfach abliest: d=1-cos D=2-sin-d (=2R-r-d) unter der Bedingung: D=2d (4cm = 2 x 2cm) In den Formeln habe ich das Winkelargument weggelassen. Es spielt keine Rolle. Jetzt ersetzt man d und D durch Ausdrücke, in denen nur noch sin und cos vorkommen. Unter Anwendung des unvermeidlichen Pythagoras (sin² + cos² = 1) ersetzt man wahlweise den Cosinus durch den Sinus oder umgekeht, so dass in der Gleichung nur noch der Sinus oder Cosinus vorkommt. Jetzt rechnet man einfach los und am Ende weiß man, dass der Sinus 4/5 (oder r/R) beträgt. Aha, wir waren ja im Einheitskreis. Damit alles wieder gut wird, d.h. damit d=2cm und D=4cm wird, müssen wir den Einheitskreis wieder etwas aufpumpen. Der Winkel ändert sich dabei nicht, und der Sinus bleibt daher bei 4/5. So und jetzt kann man mit Zirkel und Lineal das Problem aufmalen. Man kann es zunächst für den Einheitskreis zeichnen und dann das Aufpumpen mittels zentrischer Streckung erledigen. Die eigentlich geforderte Flächenberechnung schenke ich mir an dieser Stelle.
@@walter_kunz Bin extra mit dem Auto rechts rangefahren. Da hatte ich keine Zeit für Einheiten. Susi hat Meter verwendet, also für die Radien m und für die Fläche m^2. Deshalb gebe ich bei meinen Aufgaben keine Einheiten an. Dann kann man sie auch nicht vergessen 🤪 LG Gerald
@@walter_kunz Ich hatte zu kämpfen, dass ich die quadratische Gleichung im Kopf löse, während dem Autofahren. Hab es durchs probieren rausgefunden und dann nach der Autobahnabfahrt auf dem Parkplatz Arena (MA) schnell niedergeschrieben. Da hatte ich keine Zeit auf die Einheiten zu achten. Hab nur die wichtigsten Zahlen aus dem Thumbnail rausgefiltert. Nächstes mal gibt es Einheiten 👍 LG Gerald
Mein Weg war etwas anders: R=3+r/2 eingesetzt in A=R²π-r²π/2 ergibt A=π(9+3r-1/4r²) Jetzt mach' ich mich auf die Suche nach r. Hier stoße ich auf den Kreisabschitt mit R=h/2+s²/(8h) mit h=2m und s=2r ergibt R=1+4r²/16 Weil ich auf der Suche nach r bin ersetze ich R durch 3+r/2 (s.o.) 3+r/2=1+4r²/16 0=r²/4-r/2-2 | *4 0=r²-2r-8 | r=-p/2±√{(p/2)²-q} r=4; r=-2 Mit r=4 eingesetzt in A=π(9+3r-r²/4) folgt A=π(21-16/4) A=π(21-4) A=17π A=53,41 m² Viele Wege führen nach Rom. Hauptsache die Zielkoordinaten stimmen.
Moin Susanne! Kannst du evtl. mehr Videos zu Uni Mathe hochladen? Wir haben im Moment Aussagenlogik und Mengenlehre (erstes Semester angewandte Informatik) z. B. folgende Aufgabe: Wahr o. falsch? 1. (a < b) => (a c) und (c < d)) => (a 20 Vielen lieben Dank im Voraus, falls du das Zeit und Lust zu hast =) Bei dir verstehe ich immer alles sofort... hätte mir damals echt sehr geholfen in der Schule. Na ja, besser zu spät als nie!
Hallo Susanne, es gibt einen YTuber aus USA, der erklärt ebenso wie Du Mathematik. Dem schaue ich öfter zu, um auch die Mathe mit meinen seit der Rente doch nicht mehr so benötigten Englischkenntnissen aufrecht zu erhalten. Nur dieser Gute erklärt mit soviel drum herum, dass ich schon öfters kommentierte „Du hörst Dich wohl gerne selber reden“. Es ist zäh und umständlich. Ganz anders bei Dir. Eindeutig an der Aufgabe und am Lösungsweg orientiert und folgend, auch für mich mit Mathe, stand Mittlere Reife vor 55! Jahren, noch dann in der Abfolge nachvollziehbar. Zugeben muss ich allerdings, bei so mancher Aufgabe, so auch dieser, wüsste ich den Ansatz nicht mehr herzustellen und einige Dinge, so hier die Gleichung mit Null und das herbeiführen der 2 Möglichkeiten für R waren möglicherweise nicht im Lehrplan für die MR. Ich weiß es nicht mehr. Bin schon happy, nach den 55 Jahren überhaupt das Meiste noch zu verstehen.
Ich hätte in der Gleichung (R-2)^2+r^2=R^2 erst das Binom aufgelöst R^2-4R+4+r^2=R^2 und zu r^2-4R+4=0 vereinfacht und dann die Gleichung 2R=6+r nach R aufgelöst. Auf diese Weise muss man nach dem Einsetzen kein weiteres Binom auflösen.
Lösung: r = Radius weißer Kreis R = Radius großer Kreis Hier hilft der Sehnensatz: M ist der Schnittpunkt der Sehnen, daher: r * r = (r + 4) * 2 r² = 2r + 8 |-2r -8 r² - 2r - 8 = 0 r = -(-2)/2 ±√((-2/2)² - (-8)) r = 1 ±√(1 + 8) r = 1 ±√9 r = 1 ± 3 |1-3 = -2 ergibt keinen Sinn, da es ein Radius ist r = 4 R = (2 + r + 4)/2 R = (2 + 4 + 4)/2 R = 10/2 R = 5 Die rote Fläche ist ein voller Kreis mit R minus einen Halbkreis mit r: A = π * R² - (π * r²)/2 A = π * 5² - (π * 4²)/2 A = 25π - 16π/2 A = 25π - 8π A = 17π [m²] A ≅ 53.41 [m²]
Hilfe, habe hier eine Ziege 🐐 und eine Kreisrunde Wiese mit 20 Meter Durchmesser. Die Wiese hat ringsherum einen Zaun. Und jetzt die Frage: Wie lange muss ich die Leine von der Ziege 🐐 machen, wenn die Ziege 🐐 die halbe Wiese abgrasen soll und die Leine am Zaun festgemacht wird? Bin gespannt, kenne die Lösung auch nicht 😮😊
Die Herleitung ist unvollständig. Es fällt o.B.d.A. nicht der Mittelpunkt des roten Kreises in die weiße Fläche. Da der Radius des weißen Kreises nicht in der Skizze angegeben ist, darf Pythagoras so nicht zur Herleitung der zweiten Gleichung verwendet werden. Sollte aber mit Kreissegmenten trotzdem gehen.
@@WK-5775 Bei 5:38 "Hypotenuse zum Quadrat." R (definiert als der Radius des gRoSSeN kReIsEs) ist im Allgemeinen nicht die hYpOtEnUse . Z.B. wenn man 2 m durch 2 mm ersetzt. Aus dem gleichen Grund ist auch die Beschriftung der mit Textmarker grün markierten Seite "2-R" fasch.
@@f.libaax7408 Doch. Das betrachtete rechtwinklige Dreieck ist gerade so definiert, dass eine Ecke der Mittelpunkt des großen Kreises ist. Die Hypothenuse (so heißt das Ding) ist dann genau R. P.S. "Großkreise" sind was anderes.
@@WK-5775 Okay, noch einmal für diesen einen Rechtschreibpolizisten oder Troll. Die Skizze suggeriert, dass das Dreieck immer wohldefiniert ist. Das ist okay für eine Schulaufgabe. So auch die Lösung in diesem Kontext. Im Allgemeinen ist dies aber nur ein Spezialfall (siehe oben ☹), weswegen die Lösung unvollständig ist. Eine Skizze ist ist kein Beweis. Ferner ist schlecht am Video, dass die 2m und 4m eingesetzt werden. Gd9vc3w2h (toller Name btw) hat es nicht geschafft, meinen Kommentar zu verstehen. Okay, kann passieren. Der zweite Kommentar allerdings... Ist es wirklich so schwierig????? P.S. Nach dem GG hat man jeder ein Recht auf Meinung. Typischer AFD Wähler 🤮Bye and out.
Na, dann wollen wir mal: . .. ... .... ..... Hier hilft der Sehnensatz, der Folgendes besagt: Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises in einem Punkt schneiden, dann ist das Produkt der Längen der beiden Teilsehnen für beiden Sehnen gleich groß. Im vorliegenden Fall wird die horizontale Sehne, die dem Durchmesser des weißen Halbkreises entspricht, in zwei gleich große Teilabschnitte geteilt, die jeweils dem Radius r des Halbkreises entsprechen. Die vertikale Sehne, die dem Durchmesser des roten Kreises entspricht, wird in zwei Teilstücke der Länge 2m sowie r+4m geteilt. Das führt zu folgendem Ansatz: r² = (2m)*(r + 4m) = (2m)*r + 8m² r² − (2m)*r − 8m² = 0 r = 1m ± √(1m² + 8m²) = 1m ± √(9m²) = 1m ± 3m Der Fall r=−2m, der natürlich keinen Sinn ergibt, entspräche der Situation, dass der weiße Halbkreis überhaupt nicht existiert; in diesem Fall würden sich der horitontale und vertikale Durchmesser des roten Kreises im Mittelpunkt schneiden. Mit r=4m ergibt sich der Radius R des roten Kreises zu: R = (2m + r + 4m)/2 = (2m + 4m + 4m)/2 = (10m)/2 = 5m Nun kann die rote Fläche berechnet werden: A(rot) = A(Kreis) − A(Halbkreis) = πR² − πr²/2 = π*(25m²) − π*(16m²)/2 = π*(25m²) − π*(8m²) = (17*π)m²
Wie du schreibst handelt es sich von der Form her um einen Kreis. Wir sehen, dass der Kreis mit einer Geraden in zwei Teile getrennt wurden. Das bedeutet, wie du richtig erkannt hast noch nicht automatisch, das dieser halbiert wurde. Entscheidend ist hier, dass der Mittelpunkt M des weissen Kreises auf dieser Gerade liegt. Ziehst du eine Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises so halbierst du diesen, okay?
Es gibt zwei Dinge , die mir nicht gefallen ! Wie kommst du zur Festlegung des Mittelpunktes von dem großen Kreis ? Satz des Vieta : Auch damit kann man die Lösungen exakt ausrechnen ohne Probieren. Du warst bisher immer richtig gut ,aber diesmal war ich etwas enttäuscht .
Hier mal ein kritischer Kommentar: ja, ihre mit dem Freund produzierten Videos sind echt lehrreich. Aber dem Podcast nach zu urteilen hat die Frau echt Probleme und ihre Stimme kann sehr anstrengend werden, besonders ihr "hoch"
![BLACK BAG - Official Trailer [HD] - Only in Theaters March 14](http://i.ytimg.com/vi/Du0Xp8WX_7I/mqdefault.jpg)
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➤ mathematrick.de/mein-equipment
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Woooh! 😀😀😀 Die Konstruktion der Gleichungen ist besonders gut dargestellt; das Problem sprachlich so fein aufzulösen, in passende Worte zu codieren UND dabei niemals den Roten Faden zu verlieren, ist brillant!😊😊😊
Beim Mitdenken ist mir aufgefallen, wie kräftig die Verführung zu größeren Schritten wäre. IHR pädagogisches Können und geballte mathematsche Fähigkeiten treffen sich und machen IHRE Videos außerordentlich sehenswert. Nur ein winziges Häufchen Menschen könnte das auch. (Als Dipl. Psychologe weiß ich, was ich schreibe)
👏👏👏💐💐💐
SOOO eine Mathe-Lehrerin hätt ich mir gewünscht --- eines der sympathischsten Gesichter in RUclips - und dann noch lehrreich - was will man mehr
Wahnsinn! Aus fast keinen Angaben werden fux und fertige Lösungen gezaubert. Bravo, kann ich da nur sagen!
Sie müssen unbedingt weitermachen mit Ihrem Kanal...so viel Mathematik bzw. Rechnen hatte ich nicht mehr seit Ende der Oberstufe 2005 gemacht😊🎉Continuez s'il vous plaît🙏
Seit Langem mal wieder ein Rechenvideo angeschaut und mitgerechnet - macht einfach so Spaß deinen Rechenschritten zu folgen!! Herzlichen Dank dafür! LG
Super, freut mich sehr, dass dir meine Videos gefallen! ☺️
Danke, junge Frau. Ich hätte nie gedacht, dass mich jemand in die Mathematik zurückbringt. Eigentlich war ich froh, Mathe nicht mehr ertragen zu müssen. Mir wurde früher nicht vermittelt warum ich gewisse mathematische Gesetze kennen muss. Interesse war da. So nett, freundlich und gut gelaunt wurde ich noch nie zum Rechnen aufgefordert.
Die Arbeit die du machst ist so unfassbar wichtig. Ich danke dir dafür sehr 😢
Du kannst extrem gut erklären, liebe Susanne, und lässt auch keinen
Schritt aus. Den Fehler begehen leider viele Lehrer und wundern sich
dann, dass Schüler ihren Ausführungen nicht folgen können.
Diese Aufgaben sind auch gut dazu geeignet, die eigene Konzentration
zu stärken.
Ich bin begeistert! ☝🙏☝🙏☝
Sooo cool!!👍🏻👍🏻👍🏻 brillanter Lösungsweg!!! Ganz toll erklärt, mega!
Hallo Susanne,
zunächst Dir, Thomas und allen anderen hier ein super Wochenende.
Hier mein Lösungsvorschlag:
rk sei der Radius des kleinen weißen Halbkreis
dg sei der Durchmesser des großen Kreis
rg sei der Radius des großen Kreis
Ag sei die Fläche des großen Kreis
Ak sei die Fläche des kleinen weißen Kreis (wovon nur der Halbkreis gezeichnet ist.)
Arot sei die rot gefärbte Fläche
Mg sei der Mittelpunkt des großen Kreis
S sei der Schnittpunkt des Radius des kleinen Kreis mit der Kreislinie des großen Kreis
rk und dg repräsentieren Strecken, daher ist rk und dg sicher > 0
Ich lasse zunächst die Einheiten weg.
Lt. Skizze soll gelten:
1) Arot = Ag - (1/2 * Ak)
2) dg = 2 + rk + 4 = rk + 6
Da allgemein der Durchmesser des Kreises = 2x der Radius des Kreises ist, gilt:
3) 2 * rg = dg
3) in 2)
2.1) 2 * rg = rk + 6 |:2
2.2) rg = 1/2 * rk + 3
Das Dreieck M, Mg, S ist rechtwinklig mit den Katheten rg - 2 und rk, sowie der Hypotenuse rk.
Daher kann hier Pythagoras angewendet werden.
4) rg^2 - (rg-2)^2 = rk^2|
4.1) rg^2 - (rg^2 - 4 * rg + 4) = rk^2|
4.2) rg^2 - rg^2 + 4 * rg - 4 = rk^2|
4.3) 4 * (rg - 1) = rk^2|
4.4) 4 * (rg - 1) = rk * rk
Man hat nun auf beiden Seiten ein Produkt aus 2 Faktoren.
Die Produkte können nur gleich sein, wenn jeweils beide Faktoren gleich sind, also die selbe Primfaktorenzerlegung haben.
Bsp.: 8*2 = 4*4... zunächst sind das unterschiedliche Faktoren. Da jedoch 8 = 4 * 2 ist, lässt sich die linke Seite als 4 * 2 * 2 schreiben. Danach kann man links noch 2 * 2 zu 4 zusammenfassen. Somit steht dann links und rechts 4 * 4, also die gleichen Faktoren.
Das bedeutet Faktor 1 links ist entweder gleich Faktor 1 rechts oder gleich Faktor 2 rechts
Da rechts 2x der gleiche Faktor rk steht, muss der 1. linke Faktor (4) = rk sein
also
rk = 4
entsprechend muss der 2. linke Faktor (rg - 1) ebenfalls = rk sein.
Da bedeutet, da rk = 4 ist, muss rg - 1 ebenfalls 4 sein
also
rg -1 = 4|+1
rg = 5
Damit lassen sich jetzt alle beteiligten Flächen berechnen:
Ak = pi * rk^2 = pi * 4^2 = pi * 16 = 16 * pi
Ag = pi * rg^2 = pi * 5^2 = pi * 25 = 25 * pi
Arot = Ag - 1/2 * Ak = 25pi - 1/2 * 16pi = 25pi - 8pi = 17pi
DIr, Thomas, Sabine und Roger LG aus dem Schwabenland.
Immer wieder schöne Aufgaben und wurderbar erklärt!
Habe es mit dem Satz des Thales und Pythagoras gelöst.
Schöne Aufgabe, vielen Dank für das Video!
5:00 Anstatt den Pythagoras kann man auch den Sehnensatz anwenden:
r * r = 2 * (r + 4)
r^2 = 2r + 8
r^2 - 2r = 8
Jetzt 1 addieren, um quadratisch zu ergänzen:
r^2 - 2r + 1 = 9
Binomische Formel auf linke Seite anwenden:
(r - 1)^2 = 3^2
Wurzel ziehen und Doppeldeutigkeit beachten:
r - 1 = +3 oder r - 1 = -3
r = 4 oder r = -2
Die negative Lösung ausschließen, wie bei R im Video.
Also ist der kleine Radius r = 4.
Mit der anderen Gleichung
2R = 6 + r
ergibt sich
2R = 6 + 4
2R = 10
R = 5
Und der Rest wie im Video.
Die spannendere Frage war für mich mal wieder nicht, ob ich das ausrechnen, sondern ob ich es in Geogebra so konstruieren kann, dass ich durch Ziehen eines Punktes die gegebenen Werte einstellen und dann die Lösung einfach ablesen kann. Habe es hinbekommen und für den Radius des kleinen Kreises 4 ermittelt (abgelesen). Der Radius des großen Kreises ist also 5, die gesuchte Fläche also 25¶-(16¶)/2=25¶-8¶=17¶ -> Geogebra ist großartig! Susanne natürlich auch.
Danke für dieses Video.
Nachdem ich gedanklich bei der Abbildung eine Vierteldrehung gemacht hatte, kam mir der Gedanke, diese Aufgabe mit dem Höhensatz zu lösen.
Es gilt hier die Beziehung h² = p * q , weil durch den Satz des Thales über dem Gesamtdurchmesser (2 + r + 4) ein rechter Winkel gegeben ist. Daraus lässt sich dann die folgende quadratische Gleichung ableiten:
r² = 2 * (r + 4) => r² = 2r + 8 => r² - 2r - 8 = 0
Hier kann man r mit der pq - Formel ausrechnen und erhält die beiden Lösungen 4 und -2, womit aber die negative Lösung ausscheidet.
Dieses r kann man nun verwenden, um R auszurechnen: => R = (2 + 4 + 4)/2 = 5
Der Rest dieser Aufgabe ist dann einfach zu lösen und man erhält als Endergebnis für die markierte Fläche ca. 53,4055 m².
Das war auch meine Lösung. Super schriftlich dargelegt...😊
Erstmal danke für die Aufgabe. Die ist wirklich toll. Ich kann mich sehr gut daran erinnern, dass meine Lehrer/Lehrerinnen damals immer drauf bestanden haben die Einheiten mit zu nehmen, insbesondere, wenn es komplizierter wird, würde ich mich freuen, wenn du das auch tätest.
Bei uns wurde das sogar als falsch bewertet, nicht mitzunehmen
Die Diskussionen gibt's hier öfter. Ich sehe das bei so einfachen Aufgaben entspannt, solange man beim Einsetzen darauf achtet, dass die Einheiten konsistent sind. Hier ist ja überschaubar, man hat m und m².
Wenn die Sache allerdings komplexer wird und gemischte Einheiten (als Bauingenieur hat man Spannungen in N/mm² kN/cm² oder MN/m², Querschnittswerte in cm², cm³ und cm^4 oder dasselbe in m², m³, m^4 und Kräfte in N, kN, MN und Momente in Nm, kNm, kNcm etc. pp), dann muss man eigentlich die Einheiten zwangsweise mitnehmen, denn sonst ist man ruckzuck um ein paar Zehnerpotenzen daneben.
Hallo liebe Susanne. Ich habe die zweite gesuchte Gleichung (die mit dem rechtwinkligen Dreieck) einfach nach R und nicht nach r aufgelöst. Dann habe ich diese Gleichung einfach von der ersten abgezogen und es kommt dann direkt eine quadratische Gleichung der Form x²+px+q raus. Man kann also direkt die pq-Formel anwenden und erhält so r=4.
r²+(R-2)²=R²
r²+(R²-4R+4)=R²
r²-4R+4=0
4R=r²+4
Die erste gefundende Gleichung war ja
2R=r+6 , also
4R=2r+12
Diese beiden dann ganz easy voneinander abziehen, also
(r²+4)
- (2r+12) --> r²-2r-8=0
pq-Formel lässt sich super anwenden , x1,2= 1+- 3 , x1=-2 (unsinnige Lösung, negativer Radius) , x2=4 , also Lösung r=4
Ganz liebe Grüße und vielen Dank für diese tollen Knobelaufgaben. Ich saß da echt lange dran :D
Man kann auch den SATZ DES THALES nutzen. Wenn man als großen Durchmesser 2+4+r nimmt und dann die Enden des Durchmessers mit dem rechten Ende des halbkreis-Durchmessers verbindet
So entsteht ein rechter Winkel.
Dann hat man ein großes dreieck bzw. zwei Dreiecke die durch den kleinen Radius r halbiert sind. Diese sind „ähnlich“ zueinander sodass man durch r/2=(r+4)/x ein Gleichung mit einer variable erhält.
Lösung -2 und 4
War SEHR interessant, danke! Ja, der olle Vieta, der macht hier wirklich alles einfacher. Aber der geriet bei uns damals im Unterricht schon schnell ins Abseits, und bei quadratischen Gleichungen griff jeder beinahe reflexhaft zu pq.
Wow, das wahr wirklich eine harte Nuss!
Nein, alleine wäre ich nicht auf die Lösung gekommen.
Jetzt, nachdem ich das ganze Video gesehen habe, bin ich erstaunt darüber, wie einfach die Lösung eigentlich ist. Eigentlich ...
Doch gehörig viel Rechenaufwand nötig. Querbeet durch Geometrie, Gleichungssysteme und Binomen.
Gut und nachvollziehbar dargestellt. Obwohl ich schon sehr viele Jahre raus bin, aus Mathe, war es eine Freude Dir zuzusehen. Klasse und weiter so.
Ich habe die Aufgabe sehr ähnlich gelöst.
Wichtig ich definiere als erstes den Radius des kleinen Kreises als x.
Mein Lösungsweg:
0) A= Grosses Kreis - kleiner Halbkreis
1) Radius r grosses Kreis berechnet
2) Satz des Pythagoras.
3) Gleichung gleich Null setzen
4) Mitternachtsformel
5) Radius "ausrechnen"
6) Lösung einsetzen in A= Grosses Kreis - kleiner Halbkreis
1) Idee Durchmesser des grossen Kreises durch 2
r= (4m + x + 2m) :2 = (6m + x) : 2= 3m + x/2
=> Radius grosser Kreis = 3m + x/2
2) Satz des Pythagoras:
Seitenlängen:
Hypothenus = grosser Radius also 3m + x/2
Waagrechte Kathete = Radius Kleiner Kreis = x
Senkrechte Kathete = Grosser Radius - 2m = 3m + x/2 - 2m =1m +x/2
Einsetzen in den Satz von Pythagoras:
Senkrechte Kathete^2 + Waagrechte Kathete^2 = Hypothenus^2
( 1m +x/2)^2 + x^2 = (3m + x/2)^2
3) Ausrechnen und gleich Null setzen...
x^2 - 2x-8m=0
4) Mitternachtsformel => x_1= -2m , x_2= 4m
Der Radius kann nicht negativ sein... => x= 4m
5) Radius grosser und kleiner Kreis:
Der Radius vom kleinen Kreis ist 4m, dass wissen wir aus 3.
Der Radius vom kleinen Kreis ist 5m, wir setzen x=4m in die Formel aus 1.
6) A= Grosses Kreis - kleiner Halbkreis
= (5m)^2 *Pi - (4m)^2 * Pi : 2
= 25m^2*Pi - 8m^2 *Pi = 17Pi m^2
Sagt mal Leute, würde ich gegen irgendwelche Richtlinien stoßen wenn ich gestehe, wie sehr ich mich von dieser schlauen Frau angezogen fühle, gelinde gesagt. Man muss ja höllisch aufpassen heutzutage. Es gibt soviel BS im Netz, dass man sich sehr freut sowas schönes und kluges zu sehen. Schön, dass es Dich gibt ❤
🥰
Immer wieder ein Genuss Dir bei deinen Aufgaben zuzusehen bzw. zuzuhören. Klasse weiter so!👍
Einfach prima, locker und witzig gelöst ❤👍👍👍
Herzlichen Dank Susanne, für diese Frage am Samstag 🙏
Mein Lösungsvorschlag lautet:
Wenn man die Linie weiter zieht ist das dem r gleich, dann wäre das R:
2+r+4= 2R
2R= 6+r (Gl.-1)
Das Dreieck für den Phytagoras kann man schon sehen:
Wenn man das Zentrum von dem großen Kreis irgendwo zwischen 6+r ankreuzt:
wäre der Abstand zu dem linken ( oder rechten berührungspunkt) ebenfalls R,
der Abstand zwischen M und diesem berührungspunkt ist r,
der Abstand zwischen R und M: R-2 💡
Demnach:
R²= r²+(R-2)²
von oben:
r= 2R-6
R²= (2R-6)²+(R-2)²
R²= 4R²-24R+36+R²-4R+4
4R²-28R+40=0 :4
R²-7R+10=0
Δ= 49-4*1*10
Δ= 9
R₁= (7+√9)/2
R₁= 5 m
R₂= 2 m
Wenn R=2 m
⇒
r= 2R-6
r= 2*2-6
r= -2 < 0
Demnach muss R=5 m sein❗
r= 2R-6
r= 2*5-6
r= 4 m
Die rote Fläche, Arot
Arot= π*[R²-(r²)/2]
= π[5²-4²/2]
= π(25-8)
= 17π m²
Arot ≅ 53,41 m² ist die Antwort ℹ
2. Lösungsvorschlag:
Nach dem Sehnensatz gilt:
AM*BM= CM*MD
AM= r
BM= r
CM= 2 m
MD= (r+4) m
⇒
r*r= 2*(r+4)
r²= 2r+8
r²-2r-8=0
Δ= b²-4ac
= 4-4*1*(-8)
Δ= 36
r₁= (2+√36)/2
r₁= 4 m
r₂= (2-6)/2
r₂= -2 m < 0 ❗
Somit r= 4 m
2R= r+2+4
2R= 4+2+4
R= 5 m
⇒
Arot= π*[R²-(r²)/2]
= π[5²-4²/2]
= π(25-8)
= 17π m²
Arot ≅ 53,41 m² ℹ
Warum genau schreibst du die Lösung ab und danach in Kommentare? Wie unnötig
@@d4rknessde833 Erst selbst lösen und dann vergleichen, also das Ergebnis, ich weiss gar nicht was zwischendurch berechnet wurde, nur macht es Spass. Was macht Dich so sicher, dass ich abschreibe ?
Und wenn ich eine Aufgabe nicht lösen kann, dann bleibt es halt liegen, bis ich eine Lösung gefunden habe, so mache ich das schon seit Monaten 🙏
Danke, dass Du meine Gedanken auf Trab hältst....
Coole Rechnung, den Satz Vieta kannte ich noch gar nicht auch wieder was neues gelernt
Ich hab das soooo kompliziert gelöst, dafür aber nur mit einem Radius r (vom Halbkreis). Ich hab zuerst √(2²+r²) gerechnet (Hypotenuse kleines rechtwinkliges Dreieck oben), dann √((4+r)²+r²) (Hypotenuse großes rechtwinkliges Dreieck). Und weil ja der Satz von Thales gilt, bilden die beiden Hypotenusen zwei Katheten von einem großen rechtwinkligen Dreieck, bei dem der Durchmesser des großen Kreises die Hypotenuse (6+r) ist. Und dann hab ich eine Gleichung: √(√(2²+r²)²+√((4+r)²+r²)²) = 6+x; Wurzeln und ² heben sich auf, alles zusammenfassen, dann hab ich eine quadratische Gleichung bekommen, mit abc-Formel aufgelöst und r = 4 rausbekommen. Dan Flächeninhalt hab ich dann eh ganz einfach ausrechnen können.
Lösung:
R = Radius vom großen Kreis,
r = Radius vom Halbkreis.
Höhensatz von Euklid:
r² = 2*(r+4) = 2r+8 |-2r-8 ⟹
r²-2r-8 = 0 |p-q-Formel ⟹
r1/2 = 1±√(1+8) = 1±3 ⟹
r1 = 1+3 = 4 und r2 = 1-3 = -2 [in der Geometrie unbrauchbar] ⟹
r = 4 ⟹ R = (4+4+2)/2 = 5 ⟹
Rote Fläche = π*R²-π*r²/2 = π*(R²-r²/2) = π*(5²-4²/2) = 17π
Ja genau, so habe ich es auch gemacht und geht schneller😊
@@ganymed1236 Mit dem Höhensatz von Euklid geht es schneller und ist nicht so kompliziert.
@@gelbkehlchen Habs aber nicht gleich gesehen, dann aber fiel es wie Schuppen von den Augen. :-)
Bei quadr. Gleichungen mache ich immer die binomische Erweiterung. Wird von kaum jemand erwähnt. Ich war schon in der Schule zu faul, mir die pq- Formel zu merken. :-)
@@ganymed1236 Das ist ja auch okay. Die p-q-Formel wird ja auch mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet. Und ich bin zu faul, mir die abc Formel zu merken. Die ist nämlich noch komplizierter.
Endlich hab ich die Sache mit drm Satz von Vieta kapiert! Danke!
Das ist eine ganz feine Aufgabe, Mathe und Geometrie werden gleichermassen herausgefordert. Danke und weiter so.
wie immer daumen hoch!!!! was mich mal interessieren würde: welche app wird denn da benutzt zum schreiben und zeichnen der Linien (die sich scheinbar von selbst geradeziehen)???
Mit dem Sehnensatz gehts am einfahsten.
Mein Lösungsweg :
Ich hab die Kreise in einem CAD Programm gezeichnet, die Radien rausgemessen und die Fläche berechnet. (Man kann auch die gewünschte Fläche direkt im CAD rausmessen)
Lösungsdauer 2 Minuten mit PC hochfahren😂
Ganz schön kompliziert! Welche Jahrgangsstufe ist das?
Ich bin über 25 Jahre aus der schulischen Ausbildung raus und wundere mich selbst, dass ich seit einigen Jahren ein besonderes Interesse an Mathematik habe. Mittlerweile erkenne ich den Lösungsansatz und kann mir Sinn , Zweck und einen Lösungsweg vorstellen. Ich hab die Geduld und auch den Ehrgeiz Aufgaben zu lösen. Aber was ist denn jetzt wichtiger, alle mathematischen Regeln zu kennen oder sich einen fehlerfreien Lösungsweg zu erarbeiten?
Ich (71) schaue den Kanal gern. Er belebt das Gehirn und die Langzeiterinnerung.
Süß, das freut mich riesig! 😍 Viel Spaß weiterhin!
5 Uhr in der Früh.... MathemaTrick zum Wachwerden
Danke - dieses mal habe ich echt dazugelernt -
Sehr schöne aufgabe. Das man mit so wenig werten das noch ausrechnen kann.
Hi bin grade in meinem Bwl Studium und ich finde deine Videos Super! Wir haben aktuell Mengenlehre und Abbildungen und da wollte ich dich fragen ob du dazu ein erklär Video erstellen kannst?
Sehr schön erklärtes Video, ich kenne das nur so von dir. Großes Kompliment
Nebenbei: Ist es eigentlich Zufall, dass der kleine Radius mit seinen 4m genauso groß ist wie das Stück unter dem kleinen Halbkreis (also die 4m Breite des "Halbmondes")?
Ich habe den kleinen Radius mit dem Sehnensatz r²=2(r+6) und der pq-Formel zu r=4 bestimmt. Danach die Flächen abgezogen und bin auf 17Pi gekommen.
Super!
Hübsch und schlau
Das die Lösung R=2m nicht sein kann, sieht man schon daran, dass der Durchmesser dann nur 4m wäre. Es sind aber Strecken von 2m und 4m gegeben, die beide im Durchmesser liegen und es fehlt sogar noch ein Stück. Also muss der Durchmesser > 6 sein und damit der Radius > 3. Da kann man sich das Rechnen sparen.
Schöne Aufgabe und tolle Lösung!
Könntest du bitte mal ein Video machen, wie man eine Hyperbel ohne Wertetabelle zeichnet? Habe bald einen Test darüber und wäre sehr froh. 😀
ich hab einen karton genommen, einen quadratmeter abgeschnitten und auf die waage gelegt. dann den kreis mit dem halbkreis auf einem weiteren gleichwertigen karton konstruiert und ausgeschnitten und ebenfalls auf die waage gelegt. dann einfach die gewichte ins verhältnis gesetzt. und dann kommt fläche in quadratmeter rais.
equilibrium1340 Bitte noch ein paar Fotos davon, wie du mit den riesigen Karton-Scheiben hantierst. Die sind ja mindestens 6 m hoch. Benutzt du dann eine Viehwaage?
Ich habe einen Screenshot vom Video ausgedruckt, die Figur ausgeschnitten, auf eine Styroporplatte geklebt und als Dartscheibe aufgehängt, und dann gezählt wie oft ich ins Rote und wie oft ins Weiße treffe, und das dann ins Verhältnis geschwurbelt.
Cool gelöst. 👍👍
Schöne Aufgabe. Über den Höhensatz wäre es einfacher gewesen, oder?
Mit dem Sehnensatz geht das ganz gut:
r * r = 2 * (r + 4)
r² = 2r + 8
r² - 2r = 8
r² - 2r + 1² = 8 + 1² (quadratische Ergänzung)
(r - 1)² = 8 + 1
r - 1 = √9
r = 3 + 1 = 4 (negative Lösung r = -2 interessiert nicht)
R(rot) = (2 + r + 4) / 2 = (2 + 4 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5
A(rot) = R²π - r²π/2
A(rot) = (5² - 4²/2)π
A(rot) = (25 - 8)π
A(rot) = 17π
Das war auch mein erster Gedanke!
Und wer hätte es geahnt? Das kleine Dreieck ist unser alter Freund, das 3,4,5-Dreieck!
Kannst du vllt komplexe Aufgaben von IQB analysis lösen?
Das ist schon ganz gut. Aber es ist eine Geometrie Aufgabe. In der Mathematik unterscheidet man zwischen schönen (eleganten) und weniger schönen Lösungen. Ja, man kann die Fläche ausrechnen. Aber eigentlich geht es um die Bestimmung des Mittepunktes des großen Kreises. Lässt sich der Mittelpunkt mit Zirkel und Lineal konstruieren? Die Antwort ist "ja", weil die algebraische Lösung nur Quadratwurzeln enthält. Allerdings habe ich noch keine elegante Lösung einer geometrischen Konstruktion gefunden. Meistens hören Mathematiker auf zu denken, wenn Existenz und Eindeutigkeit bewiesen wurde. Hier ist ein Beispiel für eine schöne geometrische Lösung (nicht dieses Problems). Es soll zeigen, dass Geometrie verblüffende Einsichten gewährt, die durch Algebra verschattet sind. de.wikipedia.org/wiki/Feynmans_verschollene_Vorlesung:_Die_Bewegung_der_Planeten_um_die_Sonne. Gibt es auch hier eine schöne geometrische Konstruktion?
Eine geometrische Lösung des Problems erhält man durch folgende Überlegung.
Zunächst vergisst man den kleinen Kreis und beschränkt sich auf den großen.
Da man den Radius nicht kennt, nehme ich OBdA R=1 an.
Jetzt sieht man, dass die halbe Sehne im Einheitskreis, also r, gerade der Sinus des Winkels am Mittelpunkt ist.
Der Cosinus ist gerade das Stück vom Mittelpunkt bis zur Sehne.
Auch die konkreten Maße (2cm und 4cm) können der Einfachheit halber zunächst vergessen werden.
Sie werden durch die Variablen d und D ersetzt.
Das führt zu folgenden Gleichungen, die man einfach abliest:
d=1-cos
D=2-sin-d (=2R-r-d)
unter der Bedingung: D=2d (4cm = 2 x 2cm)
In den Formeln habe ich das Winkelargument weggelassen. Es spielt keine Rolle.
Jetzt ersetzt man d und D durch Ausdrücke, in denen nur noch sin und cos vorkommen.
Unter Anwendung des unvermeidlichen Pythagoras (sin² + cos² = 1) ersetzt man wahlweise den Cosinus durch den Sinus oder umgekeht, so dass in der Gleichung nur noch der Sinus oder Cosinus vorkommt.
Jetzt rechnet man einfach los und am Ende weiß man, dass der Sinus 4/5 (oder r/R) beträgt.
Aha, wir waren ja im Einheitskreis. Damit alles wieder gut wird, d.h. damit d=2cm und D=4cm wird, müssen wir den Einheitskreis wieder etwas aufpumpen. Der Winkel ändert sich dabei nicht, und der Sinus bleibt daher bei 4/5.
So und jetzt kann man mit Zirkel und Lineal das Problem aufmalen.
Man kann es zunächst für den Einheitskreis zeichnen und dann das Aufpumpen mittels zentrischer Streckung erledigen.
Die eigentlich geforderte Flächenberechnung schenke ich mir an dieser Stelle.
Sehnensatz hilft weiter.
r^2=(r+4)*2
r^2-2r-8=0
(r-4)*(r+2)=0
r=4 richtig r=-2 nicht möglich, da negativ
R=(4+4+2)/2=5 r=4
A(rot)=R^2*Pi - r^2*Pi/2
A(rot)=25*Pi - 8*Pi
A(rot)=17*Pi
Da war wohl jemand schneller als ich.
Und wie immer ohne Einheiten!
@@walter_kunz Bin extra mit dem Auto rechts rangefahren. Da hatte ich keine Zeit für Einheiten.
Susi hat Meter verwendet, also für die Radien m und für die Fläche m^2.
Deshalb gebe ich bei meinen Aufgaben keine Einheiten an. Dann kann man sie auch nicht vergessen 🤪
LG Gerald
@@GetMatheFit Doch in der Angabe steht m! Dazusagen tut sie es meistens, aber hinschreiben eben nicht.
@@walter_kunz Ich hatte zu kämpfen, dass ich die quadratische Gleichung im Kopf löse, während dem Autofahren. Hab es durchs probieren rausgefunden und dann nach der Autobahnabfahrt auf dem Parkplatz Arena (MA) schnell niedergeschrieben. Da hatte ich keine Zeit auf die Einheiten zu achten. Hab nur die wichtigsten Zahlen aus dem Thumbnail rausgefiltert.
Nächstes mal gibt es Einheiten 👍
LG Gerald
Wieder sehr lehrreich
❤
Mein Weg war etwas anders:
R=3+r/2 eingesetzt in A=R²π-r²π/2 ergibt
A=π(9+3r-1/4r²)
Jetzt mach' ich mich auf die Suche nach r.
Hier stoße ich auf den Kreisabschitt mit
R=h/2+s²/(8h) mit h=2m und s=2r ergibt
R=1+4r²/16
Weil ich auf der Suche nach r bin ersetze ich R durch 3+r/2 (s.o.)
3+r/2=1+4r²/16
0=r²/4-r/2-2 | *4
0=r²-2r-8 | r=-p/2±√{(p/2)²-q}
r=4; r=-2
Mit r=4 eingesetzt in A=π(9+3r-r²/4) folgt
A=π(21-16/4)
A=π(21-4)
A=17π
A=53,41 m²
Viele Wege führen nach Rom. Hauptsache die Zielkoordinaten stimmen.
😎👍🏼
Moin Susanne! Kannst du evtl. mehr Videos zu Uni Mathe hochladen? Wir haben im Moment Aussagenlogik und Mengenlehre (erstes Semester angewandte Informatik) z. B. folgende Aufgabe: Wahr o. falsch? 1. (a < b) => (a c) und (c < d)) => (a 20
Vielen lieben Dank im Voraus, falls du das Zeit und Lust zu hast =) Bei dir verstehe ich immer alles sofort... hätte mir damals echt sehr geholfen in der Schule. Na ja, besser zu spät als nie!
Ich würde die Pytagorasgleichung ausrechnen
Hallo Susanne, es gibt einen YTuber aus USA, der erklärt ebenso wie Du Mathematik. Dem schaue ich öfter zu, um auch die Mathe mit meinen seit der Rente doch nicht mehr so benötigten Englischkenntnissen aufrecht zu erhalten. Nur dieser Gute erklärt mit soviel drum herum, dass ich schon öfters kommentierte „Du hörst Dich wohl gerne selber reden“. Es ist zäh und umständlich. Ganz anders bei Dir. Eindeutig an der Aufgabe und am Lösungsweg orientiert und folgend, auch für mich mit Mathe, stand Mittlere Reife vor 55! Jahren, noch dann in der Abfolge nachvollziehbar. Zugeben muss ich allerdings, bei so mancher Aufgabe, so auch dieser, wüsste ich den Ansatz nicht mehr herzustellen und einige Dinge, so hier die Gleichung mit Null und das herbeiführen der 2 Möglichkeiten für R waren möglicherweise nicht im Lehrplan für die MR. Ich weiß es nicht mehr. Bin schon happy, nach den 55 Jahren überhaupt das Meiste noch zu verstehen.
Ich hätte in der Gleichung (R-2)^2+r^2=R^2 erst das Binom aufgelöst R^2-4R+4+r^2=R^2 und zu r^2-4R+4=0 vereinfacht und dann die Gleichung 2R=6+r nach R aufgelöst. Auf diese Weise muss man nach dem Einsetzen kein weiteres Binom auflösen.
👍
Lösung:
r = Radius weißer Kreis
R = Radius großer Kreis
Hier hilft der Sehnensatz:
M ist der Schnittpunkt der Sehnen, daher:
r * r = (r + 4) * 2
r² = 2r + 8 |-2r -8
r² - 2r - 8 = 0
r = -(-2)/2 ±√((-2/2)² - (-8))
r = 1 ±√(1 + 8)
r = 1 ±√9
r = 1 ± 3 |1-3 = -2 ergibt keinen Sinn, da es ein Radius ist
r = 4
R = (2 + r + 4)/2
R = (2 + 4 + 4)/2
R = 10/2
R = 5
Die rote Fläche ist ein voller Kreis mit R minus einen Halbkreis mit r:
A = π * R² - (π * r²)/2
A = π * 5² - (π * 4²)/2
A = 25π - 16π/2
A = 25π - 8π
A = 17π [m²]
A ≅ 53.41 [m²]
Hilfe, habe hier eine Ziege 🐐 und eine Kreisrunde Wiese mit 20 Meter Durchmesser. Die Wiese hat ringsherum einen Zaun.
Und jetzt die Frage:
Wie lange muss ich die Leine von der Ziege 🐐 machen, wenn die Ziege 🐐 die halbe Wiese abgrasen soll und die Leine am Zaun festgemacht wird?
Bin gespannt, kenne die Lösung auch nicht 😮😊
Unglaublich wie das funktioniert. Ich komme da nie hinterher 😁
Der Durchmesser ist doch angegeben. Den braucht man doch nur durch 2 teilen und hat den großen Radius.
?
Da würde sogar Pythagoras staunen
Wer sagt mir dan dass m genau der Mittelpunkt ist.
Die Herleitung ist unvollständig. Es fällt o.B.d.A. nicht der Mittelpunkt des roten Kreises in die weiße Fläche. Da der Radius des weißen Kreises nicht in der Skizze angegeben ist, darf Pythagoras so nicht zur Herleitung der zweiten Gleichung verwendet werden. Sollte aber mit Kreissegmenten trotzdem gehen.
@f.libbax7408 Ihr Einwand ist unberechtigt. An keiner Stelle wird benutzt, dass der Mittelpunkt des großen Kreises im Inneren des Halbkreises liegt.
@@WK-5775 Bei 5:38 "Hypotenuse zum Quadrat." R (definiert als der Radius des gRoSSeN kReIsEs) ist im Allgemeinen nicht die hYpOtEnUse . Z.B. wenn man 2 m durch 2 mm ersetzt. Aus dem gleichen Grund ist auch die Beschriftung der mit Textmarker grün markierten Seite "2-R" fasch.
@@f.libaax7408 Doch. Das betrachtete rechtwinklige Dreieck ist gerade so definiert, dass eine Ecke der Mittelpunkt des großen Kreises ist. Die Hypothenuse (so heißt das Ding) ist dann genau R.
P.S. "Großkreise" sind was anderes.
@@WK-5775 Okay, noch einmal für diesen einen Rechtschreibpolizisten oder Troll. Die Skizze suggeriert, dass das Dreieck immer wohldefiniert ist. Das ist okay für eine Schulaufgabe. So auch die Lösung in diesem Kontext. Im Allgemeinen ist dies aber nur ein Spezialfall (siehe oben ☹), weswegen die Lösung unvollständig ist. Eine Skizze ist ist kein Beweis. Ferner ist schlecht am Video, dass die 2m und 4m eingesetzt werden.
Gd9vc3w2h (toller Name btw) hat es nicht geschafft, meinen Kommentar zu verstehen. Okay, kann passieren. Der zweite Kommentar allerdings... Ist es wirklich so schwierig?????
P.S. Nach dem GG hat man jeder ein Recht auf Meinung. Typischer AFD Wähler 🤮Bye and out.
Na, dann wollen wir mal:
.
..
...
....
.....
Hier hilft der Sehnensatz, der Folgendes besagt: Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises in einem Punkt schneiden, dann ist das Produkt der Längen der beiden Teilsehnen für beiden Sehnen gleich groß.
Im vorliegenden Fall wird die horizontale Sehne, die dem Durchmesser des weißen Halbkreises entspricht, in zwei gleich große Teilabschnitte geteilt, die jeweils dem Radius r des Halbkreises entsprechen. Die vertikale Sehne, die dem Durchmesser des roten Kreises entspricht, wird in zwei Teilstücke der Länge 2m sowie r+4m geteilt. Das führt zu folgendem Ansatz:
r² = (2m)*(r + 4m) = (2m)*r + 8m²
r² − (2m)*r − 8m² = 0
r = 1m ± √(1m² + 8m²) = 1m ± √(9m²) = 1m ± 3m
Der Fall r=−2m, der natürlich keinen Sinn ergibt, entspräche der Situation, dass der weiße Halbkreis überhaupt nicht existiert; in diesem Fall würden sich der horitontale und vertikale Durchmesser des roten Kreises im Mittelpunkt schneiden.
Mit r=4m ergibt sich der Radius R des roten Kreises zu:
R = (2m + r + 4m)/2 = (2m + 4m + 4m)/2 = (10m)/2 = 5m
Nun kann die rote Fläche berechnet werden:
A(rot) = A(Kreis) − A(Halbkreis) = πR² − πr²/2 = π*(25m²) − π*(16m²)/2 = π*(25m²) − π*(8m²) = (17*π)m²
Endlich jemand, der mit Einheiten rechnet!
@@walter_kunz Muss wohl daran liegen, dass ich kein Mathematiker bin.🙂
Vorbildlich gelöst.
Hut ab 👍👒🎩🎓
LG Gerald
Gern nochmal eine Lösung mit Integral vorstellen
Wie wollen sie wissen das die weiße flache genau ein halber cirkel is…..
Wie du schreibst handelt es sich von der Form her um einen Kreis.
Wir sehen, dass der Kreis mit einer Geraden in zwei Teile getrennt wurden.
Das bedeutet, wie du richtig erkannt hast noch nicht automatisch, das dieser halbiert wurde.
Entscheidend ist hier, dass der Mittelpunkt M des weissen Kreises auf dieser Gerade liegt.
Ziehst du eine Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises so halbierst du diesen, okay?
Es gibt zwei Dinge , die mir nicht gefallen ! Wie kommst du zur Festlegung des Mittelpunktes von dem großen Kreis ?
Satz des Vieta : Auch damit kann man die Lösungen exakt ausrechnen ohne Probieren. Du warst bisher immer richtig gut ,aber diesmal
war ich etwas enttäuscht .
Und ich dachte schon, es kommt eine Aufgabe, wo ma den Satz von Brahmagupta braucht. 😢
Hilfe!
💫
🤪🥊💨 Ich bin doof!!! Dabei ist alles beim Zukucken so einfach…
ich habe die Aufgabe mit einem Deltoid gelöst
Erklären sollte man auch können. Schade.
Bestimmt nicht so.
Warum wird mir diese Spamscheiße angezeigt?
?
Hier mal ein kritischer Kommentar: ja, ihre mit dem Freund produzierten Videos sind echt lehrreich. Aber dem Podcast nach zu urteilen hat die Frau echt Probleme und ihre Stimme kann sehr anstrengend werden, besonders ihr "hoch"