Falls ihr mich ein wenig unterstützen möchtet, schaut doch mal bei meinem Wunschzettel vorbei! ➤ mathematrick.de/wunschzettel Ich danke euch von ganzem Herzen, ihr seid die Besten!
Ich ziehe meinen Hut vor deiner Leistung und dass du wirklich jeden noch so kleinen Schritt deiner Beispiele umsetzt. Das ist nur konsequent und für Lernende mit Sicherheit von unschätzbarem Wert. Ich wünsche dir einen guten Rutsch ins Neue Jahr, bleib gesund und beglücke uns weiterhin mit deinen tollen Videos. 🥰
Naja, wenn sie bei der Berechnung der ersten Quadrat-Diagonalen mit Pythagoras direkt herausgearbeitet hätte, dass die Diagonalenlänge eines Quadrats immer dessen Seitenlänge mal √2 ist, und dies bei den nächsten beiden Diagonalenberechnungen dann einfach verwendet hätte, wäre der Wert für die Lernenden noch wesentlich größer gewesen, und es hätte das Video locker um 2-3 Minuten verkürzt.
Wäre m. E. etwas einfacher und übersichtlicher gewesen, für die erste Gleichung nur die Hälfte der Diagonale (also x+r nach Benennung im Video) zu nehmen, da auch dafür ja ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlägen 2 unmittelbar aus der Skizze zu entnehmen ist.
"muss" ist immer ein hartes Wort - wieso muss der Nenner rationalisiert werden? Was spricht dagegen, das Ergebnis so stehen zu lassen? Ich kenne keine Regel, die einen Wurzelausdruck im Nenner verbietet. Aber ich gebe dir Recht, dass "4 - 2√2" im Vergleich zu dem Bruch ein schöneres Ergebnis ist.
r + r*cos(45°) = 2 glaub ich, ist die schnellste Lösung, r geht von Kreis-MP waagerecht nach links und der Rest waagerecht vom Kreis-MP bis zur Mitte Quadrat.🙂 wünsche auch einen guten Rutsch ins neue Jahr
Durch Betrachtung des Abstands vom Kreismittelpunkt zum Quadratmittelpunkt kam ich auf die Gleichung 2*(r-2)^2 = r^2 bzw. r^2 - 8r + 8 = 0. Mittels pq-Formel ergeben sich die Lösungen r_12 = 4 +- Wurzel(8). Die geometrisch sinnvolle Lösung ist r = 4 - Wurzel(8)
Das ergibt sich ja mit Pythagoras auch sofort - finde auch, dass sie das beim ersten Mal hätte herausarbeiten und bei den folgenden Diagonalenberechnungen verwenden sollen.
@@synhegola Auch wenn da was dran ist, wollte ich so weit nun nicht gehen, da Susannes Videos ja in erster Linie Nachhilfe für schwächere Schüler sein sollen. Andererseits sind es gerade diese Schüler, die in der Prüfungssituation jede Minute brauchen, die sie kriegen können. Genau deshalb ist mein Hauptkritikpunkt an Susannes Videos, dass ihre Lösungswege so oft unnötig lang und umständlich sind.
Zum einen war die Berechnung der Diagonalen des großen Quadrats überhaupt nicht notwendig; du hättest auch direkt "x + r" als Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 2 identifizieren und die Gleichung "x + r = 2√2" aufstellen können. Zum anderen ergibt sich aus Pythagoras direkt, dass die Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge a die Länge a√2 haben. Das hättest du mal herausarbeiten und für die Ermittlung des Zusammenhangs "x = r√2" dann gleich benutzen können. Dann wäre das Video locker 3 min kürzer bei deutlich höherem Lerneffekt geworden.
Dachte ich mir auch. Es liegt daran, dass das kleine Dreieck gebildet aus Kreismittelpunkt, Berührpunkt und Schnittpunkt der Mittellinie des Quadrats mit der roten Radiuslinie gleichschenklig und rechtwinklig ist. Die Katheten sind jeweils 2-r lang. Damit hat man aber auch gleich die Lösung über die Gleichung sin45° = (2-r)/r ohne die Diagonale berechnen zu müssen.
stimmt, die Begründung fehlt. Der Kreismittelpunkt liegt auf (r,r). gleichzeitig berührt der Kreis (2,2). der Abstand zwischen den Punkten ist r. Das folgt direkt aus dem Aufgabentext.
5:33 mir kam die Frage auf, ob es uns hilft, dass wir wissen "x+r = 2 Wurzel von 2". Denn x & r zusammen gesetzt ergibt ja die andere Hälfte der Diagonale.
Nicht wirklich, da x in diesem Fall auch aus r besteht. Wenn x=r+Rest ist, müsste man den Rest immer noch ermitteln. Und r ist zu diesem Zeitpunkt unbekannt.
Ich bin anders vorgegangen: Ziehe eine Gerade von A nach C und dann ist der Kreis der Inkreis eines bekannten Dreiecks. A des Dreiecks ist dann 4*4/2 = 8. Der Radius des Inkreises ist dann r= 2A/(a+b+c) = 2*8 / (4+4+4*Wurzel2) = 1.17157... / Oder exakt r = 4/(2+Wurzel2) / Damit kann man auf alle quadratischen Gleichungen verzichten :)
Ist halt ein anderer Lösungsweg: Radius des Innenkreises des Dreiecks das entsteht wenn man die Tangente des Kreises als Diagonale des großen Quadrats einzeichnet.
Also ehrlich, die anfängliche Herangehensweise war für mich deshalb verwirrend, weil ich gleich auf den ersten Blick mit dem Lösungsansatz ab Min. 8:00 eingestiegen bin. Mag sein, dass ich voraussetze, es sei allgemein bekannt, dass die Diagonale eines Quadrats bzw. die Hypotenuse eines gleichschenkeligen Dreiecks Schenkellänge x Wurzel 2 oder 1,414…. ist.
Hätte nie gedacht, dass ich mal freiwillig an einem Samstagnachmittag Matheaufgaben lösen würde und nun kann ichs jeweils kaum erwarten, nach einer neuen MathemaTrick Aufgabe zu sehen jeden Sa:) 💜
Ich bin nicht ganz sicher was die ganze Rechnerei soll: 4²+4²=2⋅4², d.h. die positive Wurzel is (oh Wunder) 4⋅√2. Darüber hinaus sollte man die Länge der Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge a auswendig wissen (a⋅√2). Das benutzt man zweimal fertig. Am Ende noch die dritte binomische Formel, dann kriegt man in Deiner Version 2(2-√2) als Ergebnis. Ein Schüler sollte auch wissen, dass √2 ~ 1.4 ist, dann kommt man OHNE TASCHENRECHNER auf 1,2. Insgesamt sehr umständlich erklärt... Übrigens wäre die Aufgabe schöner, wenn man das Quadrat mit Seitenlänge 2 nimmt. Dann kommt einfach r=2-√2 raus.
Man hätte sich aber auch gleich auf das kleine Quadrat unten links mit der Seitenlänge 2 konzentrieren können. Dessen Diagonale ist 2√2. Ab da dann deinen Weg, da sich diese Diagonale aus r+x zusammensetzt.
Ich habe hier mal etwas weiter probiert und das wird es bestimmt schon geben und falls ich mich doch irre, wäre es schön, wenn man mir das sagt. Bei dieser Konstellation, also ein Quadrat, wo sich ein kleineres Quadrat und ein Kreis in der Mitte so treffen soll, ist der Mittel-Punkt für den Kreis, wenn das große Quadrat Seitenlänge a hat bei den Koordinaten (x,y) = (a*Wurzel(1/2)/1+Wurzel(2) , a*Wurzel(1/2)/1+Wurzel(2))
Ich habe mit dem kleinen Dreieck gerechnet, also 2²+2²=d² folglich ist der Durchmesser die Wurzel aus 8. Und das wäre dann ein Radius von 1,4142... Ist durch den anderen weg so eine Rundungsdifferenz oder ist mein weg falsch?
Da x die Diagonale des Quadrates ist, das r als Seitenlänge hat, weiß man ja gleich, dass x=r*sqrt(2). Daher ist 2*sqrt(2)=r*sqrt(2)+r bzw r=(2*sqrt(2)/(sqrt(2)+1) Wem fas ist, der kann jetzt noch den Nenner rationalisieren: r=(2*sqrt(2))*(sqrt(2)-1)/(2-1) bzw 2*sqrt(2)*(sqrt(2)-1).
Die Strecke bis zur Mitte des großen Quadrats (=2) setzt sich zusammen aus der Strecke vom Rand bis zum Mittelpunkt des Kreises (=Radius r) plus dem Anteil auf der "X-Achse" vom Mittelpunkt des Kreises zum Mittelpunkt des großen Quadrats (=cos(45°) * r). 2 = r + r * cos(45°) r = 2 / (1+cos(45°)) ~= 1.17
Den Kreismittelpunkt nenne ich M. Den linken unteren Eckpunkt des Quadrats nenne ich E. Zuerst zeichne ich auch das Quadrat links unten, ziehe also von E die Waagerechte nach links und die Senkrechte nach unten. Dieses Quadrat hat natürlich die Kantenlänge 2. Jetzt ziehe ich die Waagerechte und die Senkrechte durch M, wobei links unter M ein Quadrat mit der Seitenlänge r und rechts über M ein Quadrat mit der Diagonalen M entsteht. Die Seitenlänge dieses kleinen Quadrats nenne ich s. s^2+s^2=r^2 2s^2=r^2 s^2=r^2/2 s=r/√2 2=r+r/√2 2=r*(1+1/√2) r=2/(1+1/√2) r=1,17157287525381... (genauer gibt es mein Schätzeisen nicht her)
Die Formel für die Diagonale eines Quadrates hilft hier weiter. Dann erspart man sich den Pythagoras. d = a * √2 Die Diagonale des kleinen Quadrates ist somit: dk = 2 * √2 In das kleine Quadrat könnte man jetzt ein weiteres Quadrat mit Radius r einzeichnen mit der Diagonalen dr = r * √2 dk = r + dr 2*√2 = r + r*√2 2*√2 = r * (1 + √2) /*(1 - √2) 2*√2*(1 - √2) = r * (1 + √2) * (1 - √2) /3. bin. Formel 2*√2 - 2*√2*√2 = r * (1 - 2) 2*√2 - 2*2 = -r /*(-1) r = 4 - 2*√2 r = 1,17 LG Gerald
@@tobiasgrodde9736 Korrekt. Also in das kleine Quadrat mit der Seitenlänge 2, zeichnet man ein weiteres Quadrat mit der Seitenlänge des Radius r ein. LG Gerald
So habe ich es auch gemacht. Was mir bei Susanne vor allem noch fehlt, ist die Rationalisierung des Nenners. Sie lässt einfach die Wurzel im Nenner stehen, dabei kann man noch weiter vereinfachen.
Mir ist nicht ganz klar, warum der Mittelpunkt des Kreises auf der großen Diagonalen liegen soll, und nicht etwas daneben. Wenn er auf der Diagonalen liegt, ist die Lösung trivial. Aber warum ist das so? Gibt es dafür eine Herleitung oder einen Beweis?
Der Abstand vom linken und unteren Rand des großen Quadrates zum Mittelpunkt des Kreises ist beides der Radius r. Die Gerade, die durch die untere, linke Ecke es großen Quadrats und durch den Mittelpunkt des Kreises geht, steigt also auf einer Strecke von r um r. Diese Gerade hat also eine Steigung von r/r=1, bzw. einen Winkel zum unteren Rand von 45°. Die Gerade, die durch die untere, linke Ecke und obere, rechte Ecke des Quadrats geht (also die Diagonale durch das Quadrat), steigt auf einer Strecke von 4 um 4, hat also eine Steigung von 4/4=1, also dieselbe Steigung wie die Gerade zuvor. Die beiden Geraden haben also einen gemeinsamen Punkt (die untere, linke Ecke des Quadrats) und dieselbe Steigung. Also liegen sie übereinander und damit liegt der Mittelpunkt des Kreises auch auf der Diagonalen des Quadrats.
@@TenorDennis Danke! Das war wohl ZU einfach. :) Wenn ich die Zeichnung ansehe, habe ich immer den Eindruck, der Kreismittelpunkt läge etwas links von der gedachten Diagonale des großen Rechteckes. Muss wohl eine optische Täuschung sein. 😵💫
'denke, die Lösung ist auch 1/2 x Wurzel (8).Die Hypotenuse des kleinen Dreiecks ist Wurzel( 8), oder ? ( 2²+2² = c² , 4+4=8,==> c= Hypotenuse = Wurzel (8)) Die Hypotenuse entspricht 2r, d.h. r= 1/2xWurzel (8)
Dann mal los: . .. ... .... ..... Wir können annehmen, dass die beiden unteren Eckpunkte des äußeren Quadrates die Koordinaten (0 ; 0) und (4 ; 0) haben. Der Mittelpunkt des Kreises hat dann die Koordinaten (r ; r), während der untere linke Punkt des kleines Quadrates die Koordinaten (2 ; 2) hat. Damit ergibt sich der gesuchte Radius aus folgender Gleichung: (2 - r)² + (2 - r)² = r² 2*(2 - r)² = r² √2*(2 - r) = r 2√2 - √2r = r 2√2 = r(√2 + 1) 2√2(√2 - 1) = r(√2 + 1)(√2 - 1) r = 4 - 2√2
Ich habe ein Problem Ich verstehe noch nicht, warum wir mit Sicherheit davon ausgehen können, dass der Mittelpunkt des Kreises auf der Diagonalen des großen Quadrats liegt... Wir haben ja nur die Angaben im Text, mit denen wir arbeiten können. Die Zeichnung könnte ja nicht maßstabsgerecht sein. Oder?
Der Abstand vom linken und unteren Rand des großen Quadrates zum Mittelpunkt des Kreises ist beides der Radius r. Die Gerade, die durch die untere, linke Ecke es großen Quadrats und durch den Mittelpunkt des Kreises geht, steigt also auf einer Strecke von r um r. Diese Gerade hat also eine Steigung von r/r=1, bzw. einen Winkel zum unteren Rand von 45°. Die Gerade, die durch die untere, linke Ecke und obere, rechte Ecke des Quadrats geht (also die Diagonale durch das Quadrat), steigt auf einer Strecke von 4 um 4, hat also eine Steigung von 4/4=1, also dieselbe Steigung wie die Gerade zuvor. Die beiden Geraden haben also einen gemeinsamen Punkt (die untere, linke Ecke des Quadrats) und dieselbe Steigung. Also liegen sie übereinander und damit liegt der Mittelpunkt des Kreises auch auf der Diagonalen des Quadrats.
Gute Frage. Ich versuche es mal: Wenn ein Kreis die Bedingungen der Aufgabe erfüllen soll, also den Mittelpunkt des Qudrates berührt, dann muss der Radius des Kreises einem Viertel der Diagonalen des Quadrates entsprechen, mithin der Durchmesser des Kreises der Hälfte der Diagonalen. Damit liegt der Kreismittelpnkt immer auf der Diagonalen des Kreises. (Für die Lösung der Aufgabe ist da ebenfalls angegebene kleine Quadrat völlig unerheblich. Die Angabe der Seitenlänge des Qudrates genügt völlig.) Ich hoffe, das dies stimmt und es Ihnen hilft.
@@friedhelm5344 Nein, das stimmt nicht. Sie sehen ja in der Skizze ab 2:12, dass der Durchmesser des Kreises nicht so lang ist wie die Hälfte der Diagonale.
Lösung: Dank Pythagoras haben wir eine ganz einfache Gleichung: r = 2√2/(√2 + 1) |erweitere mit (√2 - 1), um (√2² - 1²) im Nenner zu erhalten r = (4 - 2√2)/(2 - 1) r = 4 - 2√2 r ≅ 1,172 [LE] Kurze Erläuterung: Die Diagonale eines Quadrats ist dank Pythagoras immer x√2, wobei x die Seitenlänge ist. Die Diagonale des oberen rechten Quadrats ist daher 2√2. Die äquivalente Diagonale unten links setzt sich aus einem Radius und einer Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge r zusammen, daher ist es r + r√2 = r(1 + √2) Um den Radius zu erhalten, muss man also nur die beiden Diagonalen gleichsetzen und dann beide Seiten durch (√2 + 1) teilen.
Nach dem Video: Finde es Schade, das Susanne nicht mal versucht hat die Lösung zu vereinfachen. Eine Wurzel im Bruch stehen zu haben ist unschön und bei vielen Lehrern unerwünscht! (Führt in Extremfällen sogar zu Punkteabzug.) "Tippt es in den Taschenrechner ein" fördert nur Faulheit...
Weil 2 falsch ist. Oder was für eine Antwort erwartest du darauf? Wenn du es genauer wissen willst, müsstest du erst einmal sagen, wie du auf 2 kommst.
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Ich ziehe meinen Hut vor deiner Leistung und dass du wirklich jeden noch so kleinen Schritt deiner Beispiele umsetzt. Das ist nur konsequent und für Lernende mit Sicherheit von unschätzbarem Wert. Ich wünsche dir einen guten Rutsch ins Neue Jahr, bleib gesund und beglücke uns weiterhin mit deinen tollen Videos. 🥰
Naja, wenn sie bei der Berechnung der ersten Quadrat-Diagonalen mit Pythagoras direkt herausgearbeitet hätte, dass die Diagonalenlänge eines Quadrats immer dessen Seitenlänge mal √2 ist, und dies bei den nächsten beiden Diagonalenberechnungen dann einfach verwendet hätte, wäre der Wert für die Lernenden noch wesentlich größer gewesen, und es hätte das Video locker um 2-3 Minuten verkürzt.
Wäre m. E. etwas einfacher und übersichtlicher gewesen, für die erste Gleichung nur die Hälfte der Diagonale (also x+r nach Benennung im Video) zu nehmen, da auch dafür ja ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlägen 2 unmittelbar aus der Skizze zu entnehmen ist.
9:36: Da ist die Aufgabe aber noch nicht zu Ende! Es muss noch der Nenner rationalisiert werden:
r 2√2 / (√2+1)
Erweitern mit √2−1:
r = 2√2 ⋅ (√2−1) / [(√2+1) ⋅ (√2−1)]
3. binomische Formel anwenden:
r = 2√2 ⋅ (√2−1) / [√2² −1²]
= 2√2 ⋅ (√2−1) / [2 −1]
= 2√2 ⋅ (√2−1) / 1
= 2√2 ⋅ (√2−1)
Klammer auflösen:
r = 2√2 ⋅ √2 − 2√2 ⋅ 1
= 2 ⋅ 2 − 2√2
= 4 − 2√2
≈ 1,17
"muss" ist immer ein hartes Wort - wieso muss der Nenner rationalisiert werden? Was spricht dagegen, das Ergebnis so stehen zu lassen? Ich kenne keine Regel, die einen Wurzelausdruck im Nenner verbietet. Aber ich gebe dir Recht, dass "4 - 2√2" im Vergleich zu dem Bruch ein schöneres Ergebnis ist.
r + r*cos(45°) = 2 glaub ich, ist die schnellste Lösung, r geht von Kreis-MP waagerecht nach links und der Rest waagerecht vom Kreis-MP bis zur Mitte Quadrat.🙂
wünsche auch einen guten Rutsch ins neue Jahr
Durch Betrachtung des Abstands vom Kreismittelpunkt zum Quadratmittelpunkt kam ich auf die Gleichung 2*(r-2)^2 = r^2 bzw. r^2 - 8r + 8 = 0. Mittels pq-Formel ergeben sich die Lösungen
r_12 = 4 +- Wurzel(8). Die geometrisch sinnvolle Lösung ist r = 4 - Wurzel(8)
Das kann man noch zu r=2(2-√2) vereinfachen...
Die Diagonale des Quadrats ist doch immer a√2. Kann man sich doch einfach merken. 3:45min rechnen ohne Problemfortschritt.
Das ergibt sich ja mit Pythagoras auch sofort - finde auch, dass sie das beim ersten Mal hätte herausarbeiten und bei den folgenden Diagonalenberechnungen verwenden sollen.
@@teejay7578 Wenn man das noch nicht weiß, wenn man solche Aufgaben vorgesetzt bekommt hat man eh schon verloren.
@@synhegola Auch wenn da was dran ist, wollte ich so weit nun nicht gehen, da Susannes Videos ja in erster Linie Nachhilfe für schwächere Schüler sein sollen. Andererseits sind es gerade diese Schüler, die in der Prüfungssituation jede Minute brauchen, die sie kriegen können. Genau deshalb ist mein Hauptkritikpunkt an Susannes Videos, dass ihre Lösungswege so oft unnötig lang und umständlich sind.
@@teejay7578 Dem schließe ich mich vollumfänglich an.
Zum einen war die Berechnung der Diagonalen des großen Quadrats überhaupt nicht notwendig; du hättest auch direkt "x + r" als Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 2 identifizieren und die Gleichung "x + r = 2√2" aufstellen können. Zum anderen ergibt sich aus Pythagoras direkt, dass die Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge a die Länge a√2 haben. Das hättest du mal herausarbeiten und für die Ermittlung des Zusammenhangs "x = r√2" dann gleich benutzen können. Dann wäre das Video locker 3 min kürzer bei deutlich höherem Lerneffekt geworden.
Tolle aufgabe 😊
Warum geht die Diagonale durch den Kreis Mittelpunkt?
Dachte ich mir auch. Es liegt daran, dass das kleine Dreieck gebildet aus Kreismittelpunkt, Berührpunkt und Schnittpunkt der Mittellinie des Quadrats mit der roten Radiuslinie gleichschenklig und rechtwinklig ist. Die Katheten sind jeweils 2-r lang. Damit hat man aber auch gleich die Lösung über die Gleichung sin45° = (2-r)/r ohne die Diagonale berechnen zu müssen.
stimmt, die Begründung fehlt. Der Kreismittelpunkt liegt auf (r,r). gleichzeitig berührt der Kreis (2,2). der Abstand zwischen den Punkten ist r. Das folgt direkt aus dem Aufgabentext.
5:33 mir kam die Frage auf, ob es uns hilft, dass wir wissen "x+r = 2 Wurzel von 2". Denn x & r zusammen gesetzt ergibt ja die andere Hälfte der Diagonale.
Nicht wirklich, da x in diesem Fall auch aus r besteht. Wenn x=r+Rest ist, müsste man den Rest immer noch ermitteln. Und r ist zu diesem Zeitpunkt unbekannt.
@N7OmniTool Ja, das ist nachvollziehbar. Danke!
Es hätte aber in der Tat genügt, sofort mit "x + r = 2√2" anzufangen; die Berechnung der großen Diagonalen konnte man sich sparen.
Ich bin anders vorgegangen: Ziehe eine Gerade von A nach C und dann ist der Kreis der Inkreis eines bekannten Dreiecks. A des Dreiecks ist dann 4*4/2 = 8. Der Radius des Inkreises ist dann r= 2A/(a+b+c) = 2*8 / (4+4+4*Wurzel2) = 1.17157... / Oder exakt r = 4/(2+Wurzel2) / Damit kann man auf alle quadratischen Gleichungen verzichten :)
Strahlensatz bzw. Vierstreckensatz:
2√2/2 = (2√2 + r)/(4 - r)
Ist halt ein anderer Lösungsweg:
Radius des Innenkreises des Dreiecks das entsteht wenn man die Tangente des Kreises als Diagonale des großen Quadrats einzeichnet.
Hallo, Susanne, wie kann ich eine Kanalmitgliedschaft bei dir abschließen?
Also ehrlich, die anfängliche Herangehensweise war für mich deshalb verwirrend, weil ich gleich auf den ersten Blick mit dem Lösungsansatz ab Min. 8:00 eingestiegen bin. Mag sein, dass ich voraussetze, es sei allgemein bekannt, dass die Diagonale eines Quadrats bzw. die Hypotenuse eines gleichschenkeligen Dreiecks Schenkellänge x Wurzel 2 oder 1,414…. ist.
Hätte nie gedacht, dass ich mal freiwillig an einem Samstagnachmittag Matheaufgaben lösen würde und nun kann ichs jeweils kaum erwarten, nach einer neuen MathemaTrick Aufgabe zu sehen jeden Sa:) 💜
Ich bin nicht ganz sicher was die ganze Rechnerei soll: 4²+4²=2⋅4², d.h. die positive Wurzel is (oh Wunder) 4⋅√2. Darüber hinaus sollte man die Länge der Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge a auswendig wissen (a⋅√2). Das benutzt man zweimal fertig. Am Ende noch die dritte binomische Formel, dann kriegt man in Deiner Version 2(2-√2) als Ergebnis. Ein Schüler sollte auch wissen, dass √2 ~ 1.4 ist, dann kommt man OHNE TASCHENRECHNER auf 1,2.
Insgesamt sehr umständlich erklärt... Übrigens wäre die Aufgabe schöner, wenn man das Quadrat mit Seitenlänge 2 nimmt. Dann kommt einfach r=2-√2 raus.
Man hätte sich aber auch gleich auf das kleine Quadrat unten links mit der Seitenlänge 2 konzentrieren können. Dessen Diagonale ist 2√2. Ab da dann deinen Weg, da sich diese Diagonale aus r+x zusammensetzt.
Ich habe hier mal etwas weiter probiert und das wird es bestimmt schon geben und falls ich mich doch irre, wäre es schön, wenn man mir das sagt. Bei dieser Konstellation, also ein Quadrat, wo sich ein kleineres Quadrat und ein Kreis in der Mitte so treffen soll, ist der Mittel-Punkt für den Kreis, wenn das große Quadrat Seitenlänge a hat bei den Koordinaten (x,y) = (a*Wurzel(1/2)/1+Wurzel(2) , a*Wurzel(1/2)/1+Wurzel(2))
Der radius ist doch exakt die Hälfte der Hypothese vom Dreieck oben rechts, also 1/2 * Wurzel(2^2+2^2=8), also 1/2*W8
Ich habe mit dem kleinen Dreieck gerechnet, also 2²+2²=d² folglich ist der Durchmesser die Wurzel aus 8. Und das wäre dann ein Radius von 1,4142...
Ist durch den anderen weg so eine Rundungsdifferenz oder ist mein weg falsch?
Da x die Diagonale des Quadrates ist, das r als Seitenlänge hat, weiß man ja gleich, dass x=r*sqrt(2). Daher ist 2*sqrt(2)=r*sqrt(2)+r bzw r=(2*sqrt(2)/(sqrt(2)+1) Wem fas ist, der kann jetzt noch den Nenner rationalisieren: r=(2*sqrt(2))*(sqrt(2)-1)/(2-1) bzw 2*sqrt(2)*(sqrt(2)-1).
Bin ich froh, dass ich auch die richtige Lösung gefunden habe. Ist nicht immer so, aber immer öfter.😊
Die Strecke bis zur Mitte des großen Quadrats (=2) setzt sich zusammen aus der Strecke vom Rand bis zum Mittelpunkt des Kreises (=Radius r) plus dem Anteil auf der "X-Achse" vom Mittelpunkt des Kreises zum Mittelpunkt des großen Quadrats (=cos(45°) * r).
2 = r + r * cos(45°) r = 2 / (1+cos(45°)) ~= 1.17
(√2+1) ⋅ r = 2√2
r = 2√2 / (√2+1)
r = 2√2 ⋅ (√2−1)
r = 4 − 2√2 ≈ 1,17
sehr schön
Den Kreismittelpunkt nenne ich M. Den linken unteren Eckpunkt des Quadrats nenne ich E.
Zuerst zeichne ich auch das Quadrat links unten, ziehe also von E die Waagerechte nach links und die Senkrechte nach unten. Dieses Quadrat hat natürlich die Kantenlänge 2.
Jetzt ziehe ich die Waagerechte und die Senkrechte durch M, wobei links unter M ein Quadrat mit der Seitenlänge r und rechts über M ein Quadrat mit der Diagonalen M entsteht. Die Seitenlänge dieses kleinen Quadrats nenne ich s.
s^2+s^2=r^2
2s^2=r^2
s^2=r^2/2
s=r/√2
2=r+r/√2
2=r*(1+1/√2)
r=2/(1+1/√2)
r=1,17157287525381... (genauer gibt es mein Schätzeisen nicht her)
Viva Susanne! Viva Pythagoras! 👍 🙂
Die Formel für die Diagonale eines Quadrates hilft hier weiter. Dann erspart man sich den Pythagoras.
d = a * √2
Die Diagonale des kleinen Quadrates ist somit:
dk = 2 * √2
In das kleine Quadrat könnte man jetzt ein weiteres Quadrat mit Radius r einzeichnen mit der Diagonalen dr = r * √2
dk = r + dr
2*√2 = r + r*√2
2*√2 = r * (1 + √2) /*(1 - √2)
2*√2*(1 - √2) = r * (1 + √2) * (1 - √2) /3. bin. Formel
2*√2 - 2*√2*√2 = r * (1 - 2)
2*√2 - 2*2 = -r /*(-1)
r = 4 - 2*√2
r = 1,17
LG Gerald
@GetMatheFit: "In das kleine Quadrat könnte man jetzt ein weiteres Quadrat mit Radius r einzeichnen..." Du meinst wahrscheinlich die Seitenlänge😊
@@tobiasgrodde9736 Korrekt. Also in das kleine Quadrat mit der Seitenlänge 2, zeichnet man ein weiteres Quadrat mit der Seitenlänge des Radius r ein.
LG Gerald
So habe ich es auch gemacht. Was mir bei Susanne vor allem noch fehlt, ist die Rationalisierung des Nenners. Sie lässt einfach die Wurzel im Nenner stehen, dabei kann man noch weiter vereinfachen.
@@Nikioko Stimmt. Den letzten Schritt hat sie ausgelassen. Das geht ja gar nicht 😂🤪
LG Gerald
Mir ist nicht ganz klar, warum der Mittelpunkt des Kreises auf der großen Diagonalen liegen soll, und nicht etwas daneben. Wenn er auf der Diagonalen liegt, ist die Lösung trivial. Aber warum ist das so? Gibt es dafür eine Herleitung oder einen Beweis?
Der Abstand vom linken und unteren Rand des großen Quadrates zum Mittelpunkt des Kreises ist beides der Radius r.
Die Gerade, die durch die untere, linke Ecke es großen Quadrats und durch den Mittelpunkt des Kreises geht, steigt also auf einer Strecke von r um r. Diese Gerade hat also eine Steigung von r/r=1, bzw. einen Winkel zum unteren Rand von 45°.
Die Gerade, die durch die untere, linke Ecke und obere, rechte Ecke des Quadrats geht (also die Diagonale durch das Quadrat), steigt auf einer Strecke von 4 um 4, hat also eine Steigung von 4/4=1, also dieselbe Steigung wie die Gerade zuvor.
Die beiden Geraden haben also einen gemeinsamen Punkt (die untere, linke Ecke des Quadrats) und dieselbe Steigung. Also liegen sie übereinander und damit liegt der Mittelpunkt des Kreises auch auf der Diagonalen des Quadrats.
@@TenorDennis Danke! Das war wohl ZU einfach. :) Wenn ich die Zeichnung ansehe, habe ich immer den Eindruck, der Kreismittelpunkt läge etwas links von der gedachten Diagonale des großen Rechteckes. Muss wohl eine optische Täuschung sein. 😵💫
sqrt(2)?
'denke, die Lösung ist auch 1/2 x Wurzel (8).Die Hypotenuse des kleinen Dreiecks ist Wurzel( 8), oder ? ( 2²+2² = c² , 4+4=8,==> c= Hypotenuse = Wurzel (8)) Die Hypotenuse entspricht 2r, d.h. r= 1/2xWurzel (8)
2r² = ( 2√2 - r )²
r = 1.17
Rechtwinklig, 4 +/- 2 sqrt2, 2 Lösungen.
Wurzel aus 2=1,414
Dann mal los:
.
..
...
....
.....
Wir können annehmen, dass die beiden unteren Eckpunkte des äußeren Quadrates die Koordinaten (0 ; 0) und (4 ; 0) haben. Der Mittelpunkt des Kreises hat dann die Koordinaten (r ; r), während der untere linke Punkt des kleines Quadrates die Koordinaten (2 ; 2) hat. Damit ergibt sich der gesuchte Radius aus folgender Gleichung:
(2 - r)² + (2 - r)² = r²
2*(2 - r)² = r²
√2*(2 - r) = r
2√2 - √2r = r
2√2 = r(√2 + 1)
2√2(√2 - 1) = r(√2 + 1)(√2 - 1)
r = 4 - 2√2
Cooles Video
Zeichnungswert: R=1,17 und der von mir berechnete Wert liegt 0,09 darunter.
Wurzeln aus 2
Ich habe ein Problem Ich verstehe noch nicht, warum wir mit Sicherheit davon ausgehen können, dass der Mittelpunkt des Kreises auf der Diagonalen des großen Quadrats liegt... Wir haben ja nur die Angaben im Text, mit denen wir arbeiten können. Die Zeichnung könnte ja nicht maßstabsgerecht sein. Oder?
Der Abstand vom linken und unteren Rand des großen Quadrates zum Mittelpunkt des Kreises ist beides der Radius r.
Die Gerade, die durch die untere, linke Ecke es großen Quadrats und durch den Mittelpunkt des Kreises geht, steigt also auf einer Strecke von r um r. Diese Gerade hat also eine Steigung von r/r=1, bzw. einen Winkel zum unteren Rand von 45°.
Die Gerade, die durch die untere, linke Ecke und obere, rechte Ecke des Quadrats geht (also die Diagonale durch das Quadrat), steigt auf einer Strecke von 4 um 4, hat also eine Steigung von 4/4=1, also dieselbe Steigung wie die Gerade zuvor.
Die beiden Geraden haben also einen gemeinsamen Punkt (die untere, linke Ecke des Quadrats) und dieselbe Steigung. Also liegen sie übereinander und damit liegt der Mittelpunkt des Kreises auch auf der Diagonalen des Quadrats.
Gute Frage. Ich versuche es mal: Wenn ein Kreis die Bedingungen der Aufgabe erfüllen soll, also den Mittelpunkt des Qudrates berührt, dann muss der Radius des Kreises einem Viertel der Diagonalen des Quadrates entsprechen, mithin der Durchmesser des Kreises der Hälfte der Diagonalen. Damit liegt der Kreismittelpnkt immer auf der Diagonalen des Kreises. (Für die Lösung der Aufgabe ist da ebenfalls angegebene kleine Quadrat völlig unerheblich. Die Angabe der Seitenlänge des Qudrates genügt völlig.)
Ich hoffe, das dies stimmt und es Ihnen hilft.
Recht hat er!
@@TenorDennis Danke sehr! Das leuchtet mir ein!
@@friedhelm5344 Nein, das stimmt nicht. Sie sehen ja in der Skizze ab 2:12, dass der Durchmesser des Kreises nicht so lang ist wie die Hälfte der Diagonale.
Danke
Wer sich gemerkt hat, dass die Diagonale eines Quadrats immer- a*wurzel2 ist, ist fein raus. Mit freundlichen Grüßen
Großartig - Danke und Dir einen guten Rutsch nach 2025!
r=1.414
ruclips.net/user/shorts_BLC83XNuH4
Lösung:
Dank Pythagoras haben wir eine ganz einfache Gleichung:
r = 2√2/(√2 + 1) |erweitere mit (√2 - 1), um (√2² - 1²) im Nenner zu erhalten
r = (4 - 2√2)/(2 - 1)
r = 4 - 2√2
r ≅ 1,172 [LE]
Kurze Erläuterung:
Die Diagonale eines Quadrats ist dank Pythagoras immer x√2, wobei x die Seitenlänge ist.
Die Diagonale des oberen rechten Quadrats ist daher 2√2.
Die äquivalente Diagonale unten links setzt sich aus einem Radius und einer Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge r zusammen, daher ist es
r + r√2 = r(1 + √2)
Um den Radius zu erhalten, muss man also nur die beiden Diagonalen gleichsetzen und dann beide Seiten durch (√2 + 1) teilen.
Nach dem Video: Finde es Schade, das Susanne nicht mal versucht hat die Lösung zu vereinfachen. Eine Wurzel im Bruch stehen zu haben ist unschön und bei vielen Lehrern unerwünscht! (Führt in Extremfällen sogar zu Punkteabzug.)
"Tippt es in den Taschenrechner ein" fördert nur Faulheit...
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√2
Nö.
Warum nicht 2?
Ich verstehe die Frage nicht. Was sollte denn 2 werden ?
Da stehen nur 2er, dann kann man nur an 2 denken. 😂 Zumindest sagt mein Pendel das. 😝
Weil 2 falsch ist. Oder was für eine Antwort erwartest du darauf? Wenn du es genauer wissen willst, müsstest du erst einmal sagen, wie du auf 2 kommst.
Zwei Gründe:
Man sieht auf einen Blick dass der DURCHMESSER des Kreises größer als 2 ist. Und es wurde nach dem RADIUS gefragt.
4×4=16×2=32squr=5.6568÷2=2.8284÷2.412135625=1.171572r
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oder auch:
√(2r²)+r=√8 |T²
2r²+2√(2r²)r+r²=8
3r²+2r²√2=8
r²(3+2√2)=8
r=√{8/(3+2√2)}
r=1,171572875253