ESSA CAIU EM OLIMPÍADA
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- Опубликовано: 14 мар 2024
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• Desafios: • DESAFIO MATEMÁTICO
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Se 3ⁿ - 2ⁿ = 65, então n = ?
Opa, bom dia a todos! Gostaria de primeiramente aplaudir o trabalho do mestre Felipe, em trazer uma matemática sempre divertida e interessante aos seus inscritos. Precisamos de mais canais assim, que incentivem o bom uso do raciocínio, do modo mais simples e direto possível. Minha discussão aqui será tão e unicamente sobre a matemática apresentada, não devendo ser levada como crítica ao professor. Tratarei apenas da lógica matemática. Vamos lá.
Vou começar dizendo que, infelizmente, a solução proposta no vídeo não é uma solução sempre válida, ela SOMENTE FUNCIONARÁ em alguns casos em que n é par (especificamente quando n for uma potência de 2, mas não é o mérito aqui). Temos de tomar muito cuidado.
Repito: a solução apresentada no vídeo NÃO FUNCIONA sempre. Vou me explicar aqui.
Primeiro, vou demonstrar que o método não funciona para n = 5 e n = 7, por exemplos. Suponhamos que a questão fosse assim:
"Se 3ⁿ - 2ⁿ = 211, então n = ?"
Veja que n = 5 é uma solução, mas vamos primeiro checar o que é feito no vídeo.
Fazendo da forma que o autor do vídeo propôs, ficaríamos com (a + b)(a - b) = 211, com a = 3^(n/2) e b = 2^(n/2).
Mas daí, como 211 é primo, a + b = 211 e a - b = 1. Resolvendo o sistema obteríamos a = 106 e b = 105, absurdo.
"Se 3ⁿ - 2ⁿ = 2059, então n = ?"
Veja que n = 7 é uma solução, mas vamos primeiro checar o que é feito no vídeo.
Fazendo da forma que o autor do vídeo propôs, ficaríamos com (a + b)(a - b) = 2059, com a = 3^(n/2) e b = 2^(n/2).
Mas daí, como 2059 = 71 · 29, a + b = 71 e a - b = 29. Resolvendo o sistema obteríamos a = 50 e b = 21, novamente absurdo.
Generalizando um pouco, considere uma solução n para "3ⁿ - 2ⁿ = k", onde k é um inteiro positivo.
Tentando resolver do modo proposto, eventualmente obteríamos novamente:
(a + b)(a - b) = k, com a = 3^(n/2) e b = 2^(n/2).
Para n par, a solução conferirá, de fato.
Mas para n ímpar, não.
Seja por exemplo n = 2p + 1 um número ímpar, onde p é um inteiro positivo. Dessa forma, n/2 = (2p + 1)/2 = p + 1/2. Então:
a = 3^(p + 1/2) = 3ᵖ · √3
b = 2^(p + 1/2) = 2ᵖ · √2
Visto que a + b e a - b são ambos irracionais (por conterem fatores √3 e √2), nunca poderiam vir a ser divisores quaisquer de k, invalidando assim a resolução proposta pelo autor do vídeo.
Grandes abraços e bons estudos a todos!
Só funciona para n igual a 2, 4, 8, 16, 32.... , ou seja, PG onde a1= 2 e a razão também é 2😅.
Alguns números pares também não funciona. Por exemplo, n igual a 6 não daria certo.
Mesmo com essas ressalvas a solução do professor foi genial.👏👏👏
@@canal5musicas Justo, justo! Eu foquei em mostrar que não funciona para quaisquer ímpares, nem cheguei a argumentar sobre os pares. Adicionei na minha explanação o que você afirmou, só como detalhe para quem vier a ler.
Abraços, amigo!
@@exatasmilitarentão nesse caso, é melhor resolver como a primeira solução? Ir tentando?
É por comentários como o teu que eu ainda acesso conteúdo de Matemática no RUclips. Incrível!
@@nunopereira526 com certeza.
Existem umas "jogadas" matemáticas que nem anotando vou lembrar. Esse lance de usar fração na potência é complicado demais, confuso não dá para ter segurança
kkk! pois é, o difícil é a gente ter essa jogada em mente. Eu nunca que iria pensar dessa forma, tanto que nem consegui fazer sozinho.
É preciso ter costume com esses problemas. Esse problema é bem comum quando você estuda teoria dos números.
É dos expoentes fracionados que surge a radiação. Depois que pegas a manha, você nunca mais vais querer fazer radiciação normalmente!
Tem que tentar estudar a base da matemática, aquele universo narrado tem um curso bem bom sobre
Entendi foi nada. Melhor ir na tentativa e erro até descobrir.
NOSSA QUE TOP!! Gostei muito da segunda dica, trabalha várias propriedades e isso é muito bom de praticar.
Se você conseguir ficar bom no malabarismo algébrico ninguém não há problema que te segura
Aquelas questões bizarras de combinatória rindo no escuro:
Não é bem assim. Manipulação algébrica é um habilidade importantíssima, mas tem outras habilidade de outras áreas como provar teoremas de análise real. As vezes não existe algebrismo que prove teoremas de análise.
@@gilsonandrade2767 Olá amigo, poderia me ajudar a melhorar em álgebra, me dou MT bem com algumas questões algébricas porém tenho dificuldade em interpretar questões e montar a equação algebrica, como posso melhorar, indica algum livro, aula
@@gilsonandrade2767 exemplos?
Manda link parça obg
A matemática é LINDA! Parabéns mestre!
tentei o segundo método com 55 em vez de 65: não funciona! Isso porque quando (a+b)(a-b) = n.m só vale dizer que (a+b) = m e (a-b) = n no domínio dos números inteiros, e se n e m forem primos. Não funciona no conjunto dos números reais. E, normalmente, equações com funções exponenciais se resolvem no domínio dos Reais. (Assim, por exemplo, para 3^n - 2^n = 55, a solução é n= 3,861023... que eu só consegui por tentativa e erro -- no Excel...)
A própria resolução por tentativa e erro (1o método mostrado) demonstra que esse procedimento de elevar o minuendo (3) e o subtraendo (2) ao mesmo expoente, fere a igualdade! Quando se passa da subtração entre 3 ao quadrado menos 2 ao quadrado (=5) para 3 à quarta menos 2 à quarta (=65), fica claro que ao se elevar os expoentes da subtração à mesma potência, isso altera a igualdade...não? 🤔
Hahahahahahahahaha. Mas é claro que não ia funcionar!
@@GustavoLGNobre "demonstra que esse procedimento de elevar o minuendo (3) e o subtraendo (2) ao mesmo expoente, fere a igualdade!"
Maninho ... que? Isso que tu falou NÃO faz sentido.
@@samueldeandrade8535 Não entendi o raciocínio desses caras também. Utilizaram termos técnicos, mas não falaram nada com nada.
@@Edward-Nichols hahahahaha. Enfim, cada um com suas idéias, mano. A gente encotnra todo tipo de pessoa nesse mundo.
Amei sua explicação. Parabéns professor, arrasou!!!!!
Percebi que a outra forma de resolver é vc olhar a equação como uma equação diofantina do tipo 3x - 2y=65. Ja que x e y são inteiros. E o maximo divisor de 3 e 2 divide 65, entao tem solução inteiros.
E considera x=3^(n-1) e y=2^(n-1).
Acredito que dessa forma dar para resolver. Mas logico por tentativa erro sai mais rapido
Legal, mas é a primeira vez que leio esta palavra: diofantina. Não faço a menor idéia do que é isso.
@@Jomar_Alves Não tem no ensino médio, é só pra quem estuda pra vestibular militar ou olimpíada
@@S.O- mestrado Profmat também tem... Foi lá onde eu vi... Ahh, e também em Álgebra no ensino superior
@@Jomar_Alves Equação diofantina á aquela que só admite solução em NÚMEROS INTEIROS. ("Diofantina" vem de Diofantes, matemátco grego)
Muito obrigado! Deus abençoe
Muito legal. Explicou bem. A matematica é incrivel.
Parabéns pela explicação! Muito feliz vendo sua aula: ganhou mais um inscrito.
Acho muito divertido relembrar essas coisas da época da escola e brincar com elas. Adoro os vídeos 😊
Excelente exemplo!
Excelente professor, parabéns.
A certeza de que a+b é 13 vem da expressão 3 elevado a n sobre 2 = 13, isso impossibilita "a" de ser um número negativo e de modo análogo b também não é negativo. Gostei da aula professor. Deus te abençoe.
Linda questão e ótima explicação!
Excelente. Parabéns.
Eu gostei ! E os produtos notáveis são de grande importância , preciso praticar mais sobre isso .
SHOW DE BOLA!!!
Top professor! Show! Obrigado! E olha que sou matemático!
Eu vi uma indiana fazendo essa mesma questão faz um tempinho! E muito interessante esse típico de questão. Manipulação algébrica e diferença de quadrados depois da substituição, achei legal!
Shooow!!! Muito bom professor continue seus vídeos
Muito legal a segunda resolução!!
Perfeito. Didática pura, muito bacana.
Excelente explicação professor.
A forma mais fácil é mais simples e rápida, ao menos para mim. Estou estudando para concurso e acompanho exercícios de raciocínio lógico
Intuição, força bruta funciona se os números forem pequenos. Lembro que já cai numa questão dessa em que o expoente era na casa dos milhares. Resolvi com logaritmo, fatoração e sistema. Como eu fiz eu nem lembro.
Como eu vim parar nesse vídeo, tmb não sei. Kkkkkkkk
A vida tem caminhos estranhos.
Consegui da forma "não tão rápida" filhão 😂. Abraço, valeu pela questão, indiquei uma questão bacana em comentário de outro vídeo, quando der manda ela aí no canal.
Boa dedução. Obrigado
Você é fera professor.
Muitolegal
Obrigado.
Sensacional.
Bem passo a passo professor Felipe.
Resolvi apenas tendo em mente que a potência de 3 não poderia ser menor que 65, assim só podendo ser 81. Questão pra ser feita em segundos
Isso se o N estiver restrito aos inteiros. Em outros casos, poderia facilmente ser uma fração
A segunda forma serve para todas as vezes que ficar complicado de fazer de cabeça, mas vamos falar a verdade, esse dá para fazer MENTALMENTE.
Não. A segunda forma funciona bem quando o expoente procurado é par. Um cara nos comentários mostrou isso com detalhe.
Isso será muito útil no Largados e pelados.
aproveita que hoje com 21 anos to estudando pra concurso :'D
Muito bom mestre😊
Cara, essa questao daria pra resolver de cabeça. Sendo n equivalente em ambas as bases, era do pensar num numero que que menos outro qure resultaria em 65. 3^4-2^4=65.
Sim. Mas ele fez isso no início.
Sensacional!
Se for uma Questão onde vc apenas precisa da resposta e não uma demonstração...
Fica mais fácil fazer por substituição ( tentativas)
N=1
N=2
N=3
E
N=4
Que vai ser a verdadeira
Rapidinho chega na resposta...
Claro .. se o intuito for utilizar outro método... Então né.... Use ele 😁👍
# Professor, o valor de " N " é 4, com certeza! Pois, o 3 estando elevado a potência 4 = 3 X 3 x 3 X 3 = 81 subtraindo o 2 elevado a potência 4 = 2 X 2 X 2 X 2 = 16, resulta em 81 - 16 = 65
Excelente
O que eu fico de cara foi com o primeiro cara( matemático) que teve esse raciocínio pra chegar nessa fórmula, eu já com as fórmulas prontas tenho dificuldade imagina fazer um racicínio deste.
No caso de (a+B)*(a-B)=x*y, sendo x>y, sempre (a+B)=X e (a-B)=y??? Fiquei refletindo sobre isso. A afirmação acima é verdadeira sempre?
também queria saber
Não. É válido para a e b positivos.
Depois de alguns testes e de perguntar para outras pessoas, acabei chegando à conclusão que nem sempre isso é uma verdade. Na realidade, x e y precisariam ser números primos.
Além disso, muito provavelmente, essa questão foi elaborada com o pensamento de utilizar esse artifício. Se trocarmos o 65 da questão por outro valor semiprimo, como o 21, por exemplo, encontraremos a = 5 e b = 2 ao realizar o mesmo cálculo do vídeo. Mas, ao igualar às expressões, encontraremos que n = 2 em "b" e 3^n/2= 5 em "a", o que é um absurdo, dado que "n" só possui um valor. Talvez, se mudássemos as bases '"2" e "3" por outros valores ao igualar ao 21, isso funcionaria.
Finalmente, acredito que seja uma boa ferramenta, mas não é uma propriedade generalista; portanto, é importante que se verifique as soluções, a fim de concluir que elas são, de fato, corretas.
@@iheureux Boa explicação, fiquei curioso neste detalhe também, pois nunca tinha visto, levando em consideração de ser número primo, deu certo.
Claro que não.
Resolvi meio que por intuição rs. Sabia que seria um número baixo, aí estimei que seria o 4 e fiz o teste.
Eu faço por confronto, comparando a 81 - 16 e tres elevado a n é igual a 81 e dois elevado a n é igual a 16. Logo n= 4
65=3^4 - 2^4
X=4
Parabéns
Muito bom!
GÊNIO!!!
Valeu!
Vc consegue resolver essa equação utilizando de uma observação um pouco mais avançada, nesse caso, sabendo que 65 pode ser escrito como 9² - 4², então, sabendo que 9 e 4 são múltiplos de 3 e 2 respectivamente, escreve-se (3²)² - (2²)², como propriedade da potenciação temos que essa fatoração é igual a 3⁴ - 2⁴, com isso, chegamos exatamente na igualdade de potência n do problema resultando em n = 4
Eu elevem o número a 4a. Potência entao::: 3⁴ = 81 e 2⁴= 16. Então... 81-16= 65. Descobri o valor de n assim. 😂😂😂😂
n=4. Na hora me veio isso, só vendo a thumb. Porque a única coisa que eu tinha que achar, era algum número que fizesse 3^n > 65, então bastava apenas eu testar 3,4 e 5, já que 3^3=27 e 3^4 = 81, então eu sabia que a resposta começava a partir de n >= 4, quando eu fiz 2^4, dando 16, eu só fiz a subtração e e deu certo.
Para mim, esse é um dos métodos eficientes, já que eu fui obrigado a aprender as potências de todos os 10 primeiros números até o expoente 7. Eu fui obrigado porque estava pra participar de um campeonato de fazer contas.
Complicou! tem modo muito mais simples, mas valeu o vídeo!
Tive um professor que dizia que matemática se resume a atenção, exercício e paciência. Atenção para não errar coisas bestas, exercício para o cérebro começar a entender a lógica dos cálculos e paciência para não desistir e conseguir fazer muitos exercícios.
Uma questão muito interessante.
Otima aula professor, sempre achei que produtos notáveis fosse difícil, mas com sua aula vejo que não é aquele bicho de 7 cabeças ou 3(10-8)+1 cabeças kkkkkk
KKKKKKKKKKKKKKKKKKK muito bom a piada com a expressão numérica!
Realmente não é um bicho de 2^4 - 3(2+1)
Aos 50 anos idade, este vídeo me fez lembrar porque nunca fui bom aluno em matemática. kkkk
Por isso eu só faço olimpíada de história kjkkjkkjjkk mas explicou muito bem e eu fui capaz de compreender, redundante dizer que é um questão de prática, mas é exatamente assim, pois no meu nível é o tipo de coisa da qual me esqueço facilmente quando a hora chega.
Vc teria que testar o outro produto de 65 (65x1) para validar se haveria outra alternativa para n, não é?
Boa tarde meu nome é Rafael sou vaqueiro abençoado por Deus e por nossa senhora de Anguera , eu moro com a minha tia Maria José dos Santos no sítio que fica localizado no povoado Serra dos homens aqui no município de Porto da Folha-sergipe à capital dos vaqueiros e rainha das vaquejadas também sou aposentado porquê sou autista ; sou formando em Gestão Pública pelo polo da Unit - ead daqui do município de Porto da Folha-sergipe à capital dos vaqueiros e rainha das vaquejadas concertesa à resposta dessa questão n=9.6.7 n= 400.
Esse homem é o CRAQUE dos craques!!! ⚽️
A diferença entre eles é 65. Então 3n tem que ser maior que 65.Testei ,cheguei no 81.Ai 81 menos 65 deu 16 ,então 2n é igual a 16. O n portanto é 4
Muito bom...
Para uma questão simples como essa, com certeza o correto é fazer da primeira maneira, mesmo porque se você estiver em uma prova você vai ganhar mais tempo resolvendo de uma forma mais lógica possível. Já a segunda maneira é interessante sim, de repente para tirar prova depois fora de um contexto de exame de prova.
Mano, tá doid0? Pra tirar prova? Pra que tirar prova de 3⁴-2⁴=65? Tu tira prova de 10-4=6???
Gostei dos dois parênteses conectos representado a multiplicação.
baita sacada!
Show!
sabe, e só fazer multiplicação normal que chega nesse resultado, não precisa de meia dúzia de contas
O primeiro exemplo é mais fácil o segundo é só pra complicar. Francisco Diniz de Juazeirinho PB.
Com números maiores N será possível ficar testando
Fica aí testando infinitamente quando 3 elevado a N - 2 elevado a N for igual a 2059
A questão pede o número que corresponde ao n, logo entende-se que são expoentes iguais.
Diante disso, só apliquei propriedades de potência:
3⁴ - 2⁴ = 65
81 - 16 = 65
Logo, n é igual a 4.
Exatamente!
Os expoentes serem iguais se deve, simplesmente, ao fato da expressão dada ser
3ⁿ-2ⁿ
Ué.
@@samueldeandrade8535 ué o quê? E daí? Eu apenas expliquei. Tem gente que não sabe, que não deduz.
@@willalves98 não tem o que deduzir. É como se a questão fosse
"Se n+n=6, n=?"
e tu tá dizendo que o que diz que as parcelas são iguais é a parte
"n=?"
quando, na verdade, é simplesmente o fato das parcelas serem iguais,
"n+n=6"
Não tem o que explicar.
@@samueldeandrade8535 tem, sim. Mas tá bom, Einstein. Descansa, matemático. Calma, hipotenuso.
Fiz da maneira rápida, mas gostei muito da divertida!
Existe alguma bibliografia que seja boa em trabalhar equações dessa maneira?
Essa tua pergunta é beeeeem interessante. Tow aqui pensando em escrever um livro sobre isso.
Muito bom
Caramba muito legal professor resolução Top parabéns show
Muito bom.
Dando aulas em uma escola pública, a noite, em uma favela, após dois meses, a diretora da escola, chamou-me, e perguntou se eu estava oferecendo drogas aos alunos, pois a média de presença, nas demais disciplinas era de 25 a 30%, e na minha, entre 60 e 65%. Fiquei aborrecido, e disse-lhe. Ao invés de ser elogiado, estou sendo julgado? Clato, que depois das aulas, eu levava a meninada, para descontrair, no centro da cidade. Mas não sou um criminoso, jamais lhes ofereceria drogas ou bebidas alcoólicas.
Questão linda 🎉🎉
Caiu em olimpíada no exterior. Já havia visto essa questão resolvida.
Será que poderia resolver, jogando o logaritmo nos foi-se lados da igualdade?!
Está com 1 mês que essa questão foi respondida em canal de matemática gringo de uma mulher.
Kkk con certeza a mais rápida em relação ao tempo
Questão top
brabo dms
Dá mais trabalho MAS, é na sombra e com água fresca! 😊
Gracias
4 4
3 - 2 = 81 - 16
n = 65
a cabeça de quem entende matematica é outro nivel kkkkk nunca pensaria nada assim tistreza
O que achei mais interessante foi assumir que (a+b) é maior que (a-b) , se o b for negativo nao seria o contrario?
Pois ai inverteria o sinal
Po mestre... Fui de cabeça 3^n= 65+2^n ... Pensei no mais proximo quw seria 3^4= 81... 65+2^4=8> 2^4=16> 16=16... Então blz Kkkkkk
Muito bom! Mas tá mais prá "matemágica" que prá matemática kkkkk
Consegui rapidamente!
Pelas tentativas eu cheguei ao n.
3 elv n - 2 elv n = 65
Tentei n= 1, 2, 3, nada!
n=4, 3 elv 4 = 81, 2 elv 4 = 16, 81 - 16 = 65
É só ir na tentativa, tenta com n=3, ficou baixo, tenta n=4. Se tiver alternativas, mais fácil ainda.
A importância de aprender o método é pq o "n" nem sempre será tão obvio como nesse exemplo...
Bom demais
Vou ficar com a primeira resolução, gabarito letra 4
Faltou falar da restrição "pertence aos inteiros". Se não, afirmar que a+b=13 e a-b=5 é uma decisão arbitrária. Por que não poderia ser por exemplo a+b=2,5 e a-b=26? A questão foi feita com a resposta já definida. Delimite melhor as questões.
Ele já sabia! Também não sou muito fã desse arbítrio, não!
Tentativa é a melhor forma. Kkkkk
A mais rápida e a mais complicada 😂. Acho q é melhor entrar na política 😂😂😂😂 . Q nem precisa estudar e vira presidente!!
Complicado!