16. Ряд обратных квадратов
HTML-код
- Опубликовано: 2 окт 2024
- Российская платформа математических вычислений и динамического моделирования Engee:
сайт: clck.ru/37kCz5
Телеграм канал: clck.ru/37kCww
###############
Еще одно достижение Эйлера - сумма рядов обратных квадратов. Доказательство методом Эйлера.
Мы в соцсетях:
VK ‣ mathworks
Telegram ‣ t.me/exponenta_ru
#Алексей_Савватеев #Леонард_Эйлер #математика #высшая_математика #наука
Алексей Владимирович слегка погорячился, когда преобразовывал члены в скобках в правой части. Была потеряна неизвестная постоянная и некорректно "сокращен" множитель (фокус с делением на π∞ был проделан некорректно, т.к. правая часть равенства была поделена на π∞, а левая часть - нет). Была упущена важная часть доказательства - преобразование членов в скобках в правой части с вынесением π за скобки из каждой скобки и последующая работа с новым множителем, который состоит из бесконечного количества множителей - вынесенных из скобок π с коэффициентами. Но его нельзя просто так взять и «сократить на π∞», а нужно проделать работу, чтобы от него избавиться. Посмотрим, как правильно это сделать. Имеем равенство:
sinx = K1x(x-π) (x+π) (x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)…где К1 - неизвестная постоянная, про которую забыли, но она должна быть в представлении многочлена по первому следствию из основной теоремы алгебры.
Разделим обе части на x:
sinx /x = K1(x-π) (x+π) (x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)…
Перемножим попарно скобки в правой части:
sinx /x = K1(x2-π2) (x2-4π2) (x2-9π2)…
Теперь в правой части вынесем множители за скобки, причем из первой скобки вынесем -π2, из второй скобки вынесем -4π2, из третьей скобки вынесем -9π2 и т.д.
sinx /x = K1(-π2) (-4π2) (-9π2) … (1-x2/π2) (1-x2/4π2) (1-x2/9π2)…
Пусть K2=К1(-π2) (-4π2) (-9π2)….
sinx /x = K2(1-x2/π2) (1-x2/4π2) (1-x2/9π2)…
Мы получили в правой части множитель K2, который содержит бесконечное число множителей с π и имеет порядок π∞. Очевидно, что мы не можем его просто так взять и «сократить». Это был бы произвол. Негоже так поступать с добропорядочными множителями. Сокращать можно только множители, имеющиеся одновременно в обеих частях равенства. Мы должны провести анализ К2, чтобы от него избавиться.
Давайте рассмотрим, чему будут равны выражения в левой и правой части равенства при x→0 (x стремится к 0). Предел выражения в левой части lim(sinx /x) = 1. В правой части в скобках члены вида x2/α2π2 обратятся в 0, а выражения в скобках в 1. Получим:
1 = K2(1)(1)(1)…
K2 = 1
Только после того как мы выяснили, что множитель K2 = 1, мы можем с чистой совестью забыть про него:
sinx /x = (1-x2/π2) (1-x2/4π2) (1-x2/9π2)…
И далее уже как у Алексея Владимировича.
Я тоже заметил в видео ошибку и мне это не давало покоя. Спасибо вам!
Спасибо за уточнение. Всё равно чувство мошенничества осталось.
Самое удивительное, что π "лезет" в такие разделы математики, где окружностью и не "пахнет"!
там же синус используется, а он с окружностью связан
@@TheBoris83 Тема называется «Ряд обратных квадратов». Где изначально в этом ряде синус?
@@servenserovсинус вычисляется точно также как сумма бесконечного ряда, где тоже используется факториал. Значит с помощью некоторых преобразований один ряд можно свести к другому
@@TheBoris83 Вы безусловно правы! Я-то смотрел с точки зрения дилетанта, впервые коснувшегося этой темы. Увидев ряд обратных квадратов, вряд ли придёт в голову, что его сумма как-то связана с π (а почему не с e, или не с золотым сечением, или с √2, в конце концов). Точно также в формуле Эйлера удивительным образом переплетаются π, e, мнимая и вещественная единицы и, конечно, ноль (куда ж без него).
остается верить и восхищаться !
эх.. оч много ошибок. забыть важный коэффициент советую другие видосы посмотреь на эту тему где более подробно и медленно все рассказывают.
Ещё этот факт означает, что четырехмерными кубиками со стороной 1/n^(1/2) можно полностью заполнить четырехмерный шар с радиусом 1/3^(1/4) :)
Интересно раджа раджун (индийский спец по бесконечным суммам) читал ейлера?
Найсу
Гениальный Эйлер
Мно́гоУважаемый, Алексей Владимирович! Решил получить книжку, подписанную Вами! Начну издалека: начал штудировать ваши 66 роликов от 'Экспоненты', чтобы лучше познакомится с известными математиками и их работами. Добрался до 'Конкурса' (ролик #15). Меня он заинтересовал тем, что 1946 (на Единицу больше) - мой год рождения. Предлагаю (Прошу извинения!) вам следующую задачу: 19.46 1946 = Х² + У² [причём запятая в Двойном числе '1946' может быть в любом Месте - если это вам покажется более интересным или "Правильным'!]. Заранее прошу Тысячу извинений за Беспардонность и Наглость. Искренне ваш, Сибирский дед.
А как насчет суммы ряда обратных кубов? Чему она будет равна?
1,20205..
@@fantom9611 А как это доказать?
@@ТатьянаМясникова-у5с Просуммировать😅 Но в таком виде как сумма обратных квадратов не найдено пока что; тоесть не выражено через константы
Кубы посчитаны, но не в явном виде. Зато есть точный результат для всех аналогичных рядов с четными степенями. Можете найти эти результаты по запросу "явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках".
@@simonmatveev спасибо, про четные степени мне все понятно. Просто в одном олимпийском задании надо было доказать, что сумма обратных кубов не превосходит данного числа, и я искала пути доказательства. Нашла. Еще раз спасибо!
не успеваю за Вами !
смотрел лекцию Ахметова. Так тот сказал, что 1+1+...=-0.5 (((
И какой смысл в этом? Просто посчитать что-нибудь в удовольствие?
С помощью дзета-функции Римана исследуют простые числа, что очень много значит для технологий будущего. Почитай если интересно
Это основы математического анализа. Мат анализ - основа всей математики. Математика - основа компьютеров, смартфонов, сотовой связи, gps и всей современной техники. И да, математикам это все приносит удовольствие.
7:42-7 :43 " Сходиться с абсолютной точностью".
Я так понимаю что до бесконечного малой величиньі, обьічно обозначаемой маленькой буквой єпсилон. Но простите, тут Вьі не правьі. Точньіе расчетьі показьівайте что где- то после 20 знака ,начинается биения а потом и сплошной уход от истинньіх значущих цифр. Кстати такое наблюдается и с остальньіми степенями, только сточностью там еще похуже. А со степнью три там вообще определенньіе затруднения, - до сих пор не существует единого мнения чему она более- менее равна хотя бьі приблизительно ( формула).
сходится значит сумма ряда равна какой то величине, что потом слагаемые отличаются меньше чем на ЭТОТ ЕПСИЛОН, то что ряд сходится можно понять заменой на похожий где каждое слагаемое больше, всё здесь правильно!
какакойто подвох. и развод. говорит, заменяет в ряду на мерьшее, а на самом деле заменяет на большее. дядя! ты нас разводишь!!!
Чел, ты видео вообще смотрел? 1/3 если что, она больше 1/4 (как и всё остальное); учи математику.