Relativité Générale, épisode 1 : Courbure
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- Опубликовано: 26 июл 2024
- Dans ce premier épisode, on parle de la courbure, pour comprendre le membre de gauche de l'équation d'Einstein.
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Plan approximatif :
00:00 Début
2:41 Introduction
5:46 Courbure en 1 dimension
14:28 Courbure en 2 dimensions
32:30 Theorema Egregium
45:51 Courbure et triangles
52:28 Formule de Gauss-Bonnet
1:15:48 Métriques
1:41:00 Connections
2:01:22 Courbure d'une connection
Vraiment, très bien expliqué, vous arrivez à faire comprendre des concepts pointus à des gens qui n'ont pas de grandes notions en mathématiques !
Bravo !
Merci beaucoup pour ce commentaire !
La courbure est-elle un concept pointu? Effectivement, sur un polyedre...
Génial, un grand merci.
Merci beaucoup pour ces cours, c'est extraordinaire de pouvoir avoir accès à ca.
Je vous regarde avec le travail, c'est un loisir :)
Merci, bon visionnage, il y a de quoi faire pour un petit moment normalement!
Super, tes vidéos, je viens de les découvrir, sur ton conseil et je ne le regrette pas. Continue.
Merci ! Pour l'instant je n'ai pas trop le temps de faire des vidéos, mais cela m'encourage à continuer dans le futur !
J’ai adoré la démo sur le ballon de foot que je réserve à mes petits-enfants pour leur faire découvrir la beauté des maths. Cela dit, les fabricants ont mis au point des much more complicated patterns, pour réduire le nombre de pièces. Un bon exo pour refaire le calcul.
En effet s'il y a des nouvelles formes on peut refaire le calcul, ça doit marcher pareil, mais si les polygones utilisés ne sont pas réguliers il peut être difficile de calculer les angles correctement ...
J'apprécie beaucoup votre travail, ainsi que votre approche critique de la vulgarisation. Vous parvenez à nous guider dans les modèles en évitant au maximum les raccourcis et les analogies et il faut un certain courage pour sortir une vidéo de plus de deux heures avec autant d'abstraction, dans un marché dominé par le short et l'opinion.
Comme beaucoup de commentateurs j'ai gouté l'exemple de la pizza et du ballon de football. Ca m'a plutôt inspiré, en appliquant le raisonnement du ballon sur les dés, on parvient facilement à montrer qu'une pyramide (tétraèdre) doit posséder 4 sommets, un cube 8, un dé à base de pentagone (dodécaèdre) 20 et mystérieusement qu'il semble impossible de créer une surface fermée sans trou composée de polygone régulier de plus de 5 sommets ( m = 2n/(6-n) ) avec m le nombre de sommet du dé et n l'ordre du polygone de base.
Merci pour les compliments ! Et en effet, vous avez pu prouver à l'aide de la formule présentée qu'il n'est pas possible de faire des polyèdres avec des hexagones ou des polygones réguliers à plus de côtés, c'est une belle application de la théorie ! En fait, on peut voir que les polygones à 3,4,5 côtés pavent la sphère, ceux à 6 côtés pavent le plan, et ceux à 7 côtés ou plus pavent le plan hyperbolique.
Excellent! C'est vraiment didactique bravo. Pour ceux qu'ils veulent un support papier assez facile à comprendre sur le sujet, je conseille le livre "Relativité Générale" de Moore (avis de Néophyte je me trompe peut-être).
Merci ! Je ne connais pas ce livre, je regarderai à l'occasion.
Super vidéo, ni trop rigoureux, ni trop vulgarisateur. Les belles idées profondes sont mises en avant, comme si elles étaient inventées en temps réel et pas encore lourdement formalisées. C'est vraiment généreux de consacrer autant de temps pour exposer ces concepts. Merci!
Merci beaucoup !
Remarquable cours ! Bravo et merci ! 😊❤
Excellent très pédagogique
Très bonne vidéo, à voir et revoir. Je conseille aussi les vidéos Janus du très décrié et fabuleux Jean Pierre Petit, qui m'a permis de comprendre la Big Picture de l'équation d'Einstein : cette équation est une contrainte sur une métrique. Résoudre l'équitation d'Einstein c'est trouver une métrique qui satisfait l'équation. Il y a plusieurs solutions. La première aurait été trouvée par Karl Schwarzschild quelques jours après que Einstein ait publiée son équation (en coiffant sur le poteau Hilbert, plus doué en maths, qui allait aussi la sortir...). Ironie, Schwarzschild signifie écran noir, quand on pense que sa solution est à l'origine du concept de trou noir !
Merci ! C'était quasiment ma première vidéo :)
Une ois de plus, présentation très claire des concepts
44eme m: c 'est du pipot, j ai connu des pizzas qui violaient les lois de la physique (un serieux problème de K)... Blague à part, très interessant, je découvre cette chaine tardivement, top!
Merci! J'espère que la suite te plaira aussi!
C'est trop cool ces vidéos !! J'ai une petite question : dans la formule qui généralise la somme des trois angles d'un triangle, peut-on remplacer "Triangle" par "∂T", donc la frontière par exemple ? Merci !
Merci ! Oui on peut remplacer par n'importe quelle frontière pas trop dégueu :)
Excellente vidéo ! J'ai hâte de voir la suite (🔔✔)
J'ai cependant une question : d'après la formule du tenseur de Riemann en dimension 3, on calcule (si je ne me suis pas trompé) qu'il y a six variables indépendantes à tout objet de dimension 3, est-ce que ces six variables indépendantes sont toutes des propriétés géométriques intrinsèques à l'objet ou est-ce que ces six variables réunies forment une et une seule propriété intrinsèque à l'objet ?
Merci !
Non il y a bien 6 grandeurs indépendantes pour caractériser la courbure intrinsèque, chacune est une quantité intrinsèque. Mais il y a une subtilité que je n'ai pas mentionnée : comme ces 6 grandeurs sont les composantes d'un tenseur, elles dépendent des coordonnées qu'on a choisies. Du coup, pour avoir des grandeurs indépendantes du choix des coordonnées, on doit former des scalaires, et on peut montrer qu'il y en a 3.
En dimension d, il y a d(d-1)(d-2)(d+3)/12 scalaires de courbures indépendants, pour d supérieur ou égal à 3.
Pour d=3, on trouve bien 3, et pour d=4, on trouve 14.
PS : le prochain stream a lieu dans quelques minutes!
Comment arrive-t'on à theta = 2PI-int(KdA), calotte), dans l'exemple du pendule de Foucault? Il y a un lien avec Gauss-Bonnet ou peut-être le tenseur du Riemann (vu après dans la video)?
Oui en gros c'est la même idée que la formule de Gauss-Bonnet, après pour faire la démonstration de la valeur de l'angle pour le pendule de Foucault je pense qu'il n'y a pas vraiment de moyen plus simple que de faire le calcul et de voir qu'il est transporté parallèlement.
On peut aussi envisager de démontrer la formule infinitésimalement, en enserrant une calotte très petite (mais alors on ne verra pas le cosinus, juste un développement limité).
@@antoinebrgt C'est passionnant, merci beaucoup!
Salut félicitations ! Tu peux m'expliquer pourquoi on peut mettre la métrique de la forme : ds2=adx2 + bdy2 = cdxdy (et idem en dimension plus grande) dans une matrice ? Si t'as pas les nerfs de m'expliquer en une phrase peut être que tu peux m'envoyer un lien qui expliquerait sur le net... Merci beaucoup pour le partage de tes connaissances.
Très bien. Je n'ai jamais vu de jeune de votre âge écrire les majuscules coursives à l'ancienne comme vous.
Une remarque de physicien….. dans la formule de la métrique hyperbolique, ds devient sans dimension, ce qui est un oxymore de métrique..ou en allant plus loin comment peut on caractériser la dimension d’une métrique ?
@@victorlandor354 C'est une bonne remarque, ici il faut imaginer qu'on a fixé une constante dimensionnée à 1, comme si pour le cas sphérique on faisait uniquement les calculs sur une sphère unité (ce qui est d'ailleurs souvent le cas). Si on voulait on pourrait ajouter un paramètre dimensionné global mais ça ne changerait pas le comportement de la métrique.
une question, Si j'ai bien compris,le tenseur de Riemann est l'équivalent de las courbure de Gauss en dimensions supérieures à 2 ?
Oui c'est ça !
@@antoinebrgt merci. Super vidéo je suivrai les autres aussi ;)
remarquable vidéo scientifique: le curseur de « vulgarisation » est mis là où il faut ...et c’est très bien fait.
une question: en quoi l’image du drap (espace-temps)) déformée par une masse n’est pas correcte?
en particulier parcequ’il est plongé dans R3 alors que l’espace temps ,en lui même, ne peut être « plongé »:
- l’ espace temps (je veux dire la trame dans laquelle se produisent les évènements) est donc « absolu » (?)
- comment appliquer ici la notion « d’intrinsèque » pour montrer que l’image du drap est imparfaite?
Bonjour. Pour moi l’image du drap est imparfaite car elle ne tient pas compte du temps. Perso je vois plutôt les lignes courbées du drap comme des vagues qui avancent ( vers la Terre par exemple, au lieu d’être statiques ) . Un objet en chute verticale emprunte l’une de ces vagues pour rejoindre le « rivage » = le sol.
Bonjour Bravo pour votre video, mais quelle est la bibliographie dont vous avez parlé ? Merci
Merci !
Il faudra que j'essaye de me rappeler ce dont je voulais parler à propos de la bibliographie, j'ai oublié depuis le temps !
quourpoi (@23:20) le fait qu''on considère le plan tangent entraîne qu'il n'y a pas de termes linéaires dans le DL de la surface étudiée au point tangent?
@1:13:45 l'intégrale est 2pi ou 4pi? c'est pas clair, mais j'imagine qu'il faut considérer les deux pointes de l'aiguille
Bonjour, desoler d'avance pour ma question un peu idiote mais quand vous dites que plus le rayon du cercle est petit, plus la courbure est grande, vous voulez dire la courbure ressemble le plus a une "ligne droite" ou au contraire elle est très courbé ? Au passage excellente video , une pedagogie et une simplicité incroyable !
Plus le rayon de courbure est petit, plus la ligne est courbée (virage très serré) !
La courbure, c'est juste une variation d'angle par une unité de distance, c'est une notion métrique; si en parcourant 1 cm sur la courbe, vous tournez de pi/4, il y aura moins de courbure que si vous tournez de pi; le rayon de courbure, c'est juste l'inverse de la courbure. Après on peut toujours s'exciter sur le cercle osculateur, etc.
1:58:46 il existe des instruments mécaniques capables de mesurer une surface contournée ça me fait penser à ce qui est dit ici
Question que j'ai oublié de poser la première fois : le ds sur une sphère c'est la longueur d'un arc ou d'une corde ?
Il s'agit bien de l'arc, en fait la corde n'a pas de sens intrinsèque sur la sphère. On pourrait très bien imaginer la sphère "non plongée dans R^3", de la même façon qu'on sait décrire des surfaces qui ne se plongent pas dans R^3 (isométriquement).
@@antoinebrgt Merci pour ta réponse. J'ai pris la décision de prendre des notes sur tes vidéos. J'ai commencé par la topologie algébrique. Puis les différentielles. Puis la RG. J'espère à terme comprendre des rudiments de TQC. Tu as un sacré niveau. Un spectre très large. Tu as dû bosser dur pour en arriver là. Continue. J'attends la cohomologie. Mais tu as commencé la théorie de Lie. Comme j'ai trouvé un moyen de basculer RUclips sur ma télévision c'est plus facile de visionner tes vidéos. Alors je vais pouvoir rattraper mon retard. ^^
@@SefJen Merci ! Il ne faut pas oublier que ce ne sont pas des cours complets mais des aperçus pour donner une vision d'ensemble et l'envie d'aller plus loin ! Pour des cours plus complets (un peu) dans le même genre tu peux regarder la chaîne de Richard Borcherds, c'est vraiment bien.
(et pour les vidéos oui je commence beaucoup de choses mais ai du mal à les terminer, j'ai la série sur la RG et celle sur la topo algébrique qu'il faut que je finisse, c'est sur ma liste mais la liste est longue!)
@@antoinebrgt en tout cas tu fais un sacré boulot. On ne trouve ça nulle part ailleurs sur RUclips. Félicitations !
9:21 : je pense que la notation k vient de Krümmung, courbure en allemand
C'est bien possible !
J'apprends le français et de la physique supérieure simultanément. Merci beaucoup.
Pédagogie fabuleuse. N'étant pas un cador en maths, au moment de l'explication de la métrique 2D avec la surface posée sur un plan, je pense avoir compris pourquoi il n'y a pas de terme constant (pour avoir la nullité de la distance ds quand dx==dy==0) mais je n'ai pas compris pourquoi il ne peut y avoir de termes linéaires comme a.dx, b.dy. Si vous pouvez donner une explication courte en réponse, ou un pointeur qui explique ce point, ce serait top. Salutations respectueuses.
Bonjour Antoine, je n'ai pas pu pour l'instant regarder cette série, mais une question à laquelle je n'ai pas trouvé de réponse dans les ouvrages classiques de relat (Sean Carroll, Straumann, Weinberg) me tarabuste: d'une part, on pose que l'espace est homogène et isotrope sur la base de certains principes et de certaines observations. d'autre part, en réalité, les seules informations auxquelles on peut accéder sont celles issues du cône de lumière partant du point de l'observateur. Or,de point de vue maths, c'est une hypersurface, donc de mesure nulle. Comment justifie t on des résultats généraux à partir d'observations sur une sous variétés de mesure nulle. Je sais que les conditions initiales des équations d'Einstein sont les surfaces de Cauchy, donc des variétés de dim inférieures, mais le problème est assez différent, vu qu'il est de nature observationnelle. Merci beaucoup pour tout
Je pense que l'hypothèse est uniquement que l'espace (pas l'espace-temps) est homogène et isotrope, et ceci est raisonnable d'un point de vue philosophique et semble confirmé par les observations (une fois pris en compte l'effet des changements temporels, contenus dans la métrique FLRW). Donc l'hypothèse / observation est bien à propos d'une tranche 3d dans l'espace-temps 4d, et c'est bien ça qu'on utilise, pas plus.
@@antoinebrgt Merci pour cette réponse ultra rapide qui aurait pu figurer sur un cône de lumière; ce point n'est pas vraiment explicité dans la littérature!
1:45:45 qu'est-ce qu'une droite réponse : ruclips.net/video/1lX3UHwEYlU/видео.html
On utilise Gauss-Bonnet dans le cas de la pointe / cure-dent mais la pointe est une surface avec un bord, non? Donc Gauss-Bonnet n'est pas censé être utilisable...Je me trompe où?
Ah non, c'est une pointe 2D plongée dans un espace 3D! Ma question ci-dessus est donc sans objet, sorry.
@@RockyQui Oui exactement !
Salut, j’ai juste une question sur la définition de la métrique du plan hyperbolique, la formule ds^2 ne me semble pas homogène à longueur carrée car en divisant par y^2 on se retrouve avec un nombre sans dimension.
Donc voilà si tu pouvais m’éclairer sur ça.
Merci
Ps : superbe vidéo
Merci !
Pour l'homogénéité, en effet si x et y sont mesurés en mètres par exemple alors il faut mettre une constante dimensionnée en plus dans la métrique (cette constante correspondra à la courbure du plan hyperbolique !)
Jusqu'aux connexions l'exposé est assez clair et pédagogique, avec de judicieuses trouvailles. Mais à partir des connexions cela devient confus, brouillon et le vocabulaire est imprécis. En particulier à aucun moment on ne me dit que le transport parallèle dépend du chemin suivi! C'est sans doute l'effet de la fatigue suscitée par une longue vidéo. Mais je reconnais que le sujet n'est pas facile à exposer pour des néophytes en la matière. Dommage. L'expérience mérite d’être poursuivie. Merci
Merci pour le commentaire; Avez-vous repéré des endroits précis où le vocabulaire est imprécis? Cela m'intéresse de savoir ce qui n'est pas clair, pour pouvoir améliorer par la suite.
Concernant le transport parallèle, je n'ai peut-être pas dit explicitement que ça ne dépend pas du chemin suivi, mais c'est bien illustré quand je parle du pendule par exemple (en faisant un tour de parallèle sur Terre on obtient un décalage, alors que le chemin qui consiste à ne pas bouger ne donne évidemment pas de décalage).
@@antoinebrgt Tout d'abord une précision: quand je parlais de néophytes il ne s’agissait évidemment pas de vous mais des personnes qui vous écoutent! Si vous revisionnez la vidéo vous allez trouver de vous mème les imprécisions dont je parle. Je n'ai pas le temps moi même de le faire pour vous donner plus de précision. J'ai sans doute été trop sévère (par déformation professionnelle, je n'en dirai pas plus...). Je vous remercie pour les efforts que vous faites pour la diffusion des idées scientifiques. La vulgarisation n'est pas chose aisée. J'ai découvert votre chaîne il y a peu et m'y suis abonné ;-) Je suivrai vos exposés avec intérêt (en particulier ceux relatifs à la TQC). Encore merci
Sur l'interpretation des symboles de Christoffel, j'ai l'impression que + la courbure est élevée, + les bases des espaces tangents sont déformées , et donc les connexions et les symboles de Christoffel de valeur élevée. Cette compréhension empirique est bonne?
Oui c'est ça, dans une certaine mesure. Par exemple pour l'espace plat avec les coordonnées cartésiennes les symboles valent 0. À l'inverse pour un espace courbe ils sont non nuls. Mais attention il peut y avoir des situations un peu contre intuitives d'espaces plats avec coefficients de Christoffel non nuls (par exemple le plan en coordonnées polaires)
@@antoinebrgt Ah c'est donc pour cela que les symboles de Christoffel ne sont pas une lecture directe de la courbure! Très intéressant, merci!
@@RockyQui Oui voilà, pour vraiment lire la courbure, seul le tenseur de Riemann est adapté!
c est un peux difficile à exprimer dans le schéma 1 ce lui de gauche le point de la courbure peux pivoter de droit à gauche en le pivotant est tout en avançant de haut vers bas .et en omettant la valeur du silaindre pour calculer le temps et la vitesse...
L'image du drap tendu est sympa, mais peut etre un peu eloignee dexla réalité non?
Oui, je pense que je montre bien les limites de cette analogie dans cette vidéo!
"le tenseur R encode toutes la notion de courbure" qu'est ce qu'Einstein entend précisément par courbure ?
Quel logiciel graphique utilises-tu ?
Sur cette vidéo j'utilisais Inkscape, maintenant j'utilise Gimp
merci !
peut-on dire qu'une droite est un disque avec une courbure infinie ?
Un cercle avec rayon infini tu veux dire ?
@@antoinebrgtoui vous avez raison donc avec une courbure nulle
@@ghostmantech9622 oui exactement !
1:30:00 l'équation ds2 = (dx2 + dy2)/ y2 c'est pas homogène, si ?
Gagababa bonne question ! Disons qu'ici, je ne me préoccupe pas de questions d'homogénéité (si on veut, toute les grandeurs sont dans unité). Pour rétablir les unités, on peut écrire ds^2=L^2 (dx^2+dy^2)/y^2 où L est une distance, qui est une sorte de "rayon" du plan hyperbolique.
If you're looking for a great introduction to General Relativity you might find something here: ruclips.net/video/z1o32hKx5hI/видео.html
courbure = tenseur de Riemann : Vous dites qu'en fait la courbure est choisi puisque c'est proposé : "une certaine courbure". Donc la théorie est subjective et incomplète. La nature ne choisi aucune courbure dans l'absolu ? Une infinie de déformations existe à la fois de l'espace temps sur la matièregie et inversement (vice versa). La relativité générale semble vraiment des plus incomplète quelque soit sa force et sa légitimité.
vitesse temps egal temps
cercle parallèle est de bas en haut..
un cercle parallèle par face de parallèle
un cercle dans un 🔵
Intéressant mais parfois agaçant par un abus de parler plouc, dommage !
"Du coup" ...."au quai" !
Un drap sur lequel et non "sur laquelle"
La direction dans laquelle et non "dans lequel"
Qu'il y a et non "queuya". Qu'ici et non "que ici".
Il y a quelques approximations en effet, même si je ne suis pas sûr qu'on puisse appeler ça "plouc". Ce sont les inconvénients de l'improvisation en direct !
@@antoinebrgt Plouc ou parler comme à BFM n'est ni important ni valorisant pour qui que ce soit. Ce ne sont pas vos approximations qui sont agaçantes mais bien vos tics de langage inutiles. Croyez-moi, cela se corrige et par là, donnerait tellement plus de clarté, de brio et de poids à vos explications.
Oui j'en suis bien conscient, et par définition il n'est pas toujours facile de se débarrasser de tics de langage, du moins à l'oral (c'est beaucoup plus facile à l'écrit). Mais j'y travaille !
@@quevineuxcrougniard2985 Je n'ai jamais vu quelqu'un d'aussi aigri, ce commentaire est absolument inutile.
@@hazekut1906 Il n'y a aucune aigreur, mon bon, bien au contraire. Je pense que mon commentaire est loin d'être inutile car il peut faire prendre conscience aux jeunes instructeurs respectueux de leur public et bien éduqués à la base qu'ils peuvent finir par agacer ou raser leur auditoire à cause de tics de langage inappropriés. Surtout, en plus de fautes de grammaire, les instructeurs se discréditent beaucoup en usant d'expressions de ce parler plouc exécrable propre aux garçons vachers du Far-West repris à satiété par des bateleurs radiodiffusés et de l'Internet. Il n'y a pas de quoi être fier d'exprimer un sabir éructé avec force hoquets, "en fête, voilà", "scondinous", etc.
Les américains ont seulement utilisés les équations newtoniennes pour aller sur la lune...
Exact. Dans la plupart des cas l’écart relatif entre Newton et EINSTEIN est de 0,000000001 %. !!!! On fait tout 1 foin sur le GPS et la relativité , dans la réalité la correction des horloges se fait « à la main » , sans aucune formule ……
60/(6/2)=20 pentagonez
pas clair du toutr ertres mal expliqué..!!!!
Peux-tu développer ?
???? C'est de l'humour?
Elle est où ton équation ? Enfin, je sais pas moi, ne serait-ce que par politesse, pour le moustachu aux cheveux fous, on publie la formule d'origine, et on soigne le son !
@@bernardjacob3118 quel est le problème exactement ?
des cercle dans d autre cerle
Pénible !
Pouvez-vous développer ?