余弦定理を通して数学の考え方を学ぶ授業
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- Опубликовано: 18 сен 2024
- 余弦定理を形だけ覚えた人にならないために
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/ @user-nn7ne5ib6b
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一度聞いたら忘れない余弦定理の授業
• 一度聞いたら忘れない余弦定理の授業
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いわゆる「公式」の主張を読み取れるか、ですね。ただ代入して答えを出すだけではなく、「この公式が言っていることは何か？」を考えることの重要性を改めて感じました。
数学できる人は計算がすごい得意というわけではなく、いかに計算を楽にできるかを考えているということですね。でも楽をするにも理解が必要だからそこがまた難しいところですな。
逆に言えば理解するだけで後は使ってれば覚えるから授業をちゃんと聞くだけでできるんだよね。
「“走るのが速い子”というのは運動神経だけでなく、疲れるから体を楽にして走る」という話を思い出しました。手抜きと最適化は表裏一体ということですね。
通ってた塾の先生が「三平方の定理(と余弦定理)は三角形の辺の"比"に関する定理だ。長さに関する定理ではない」って口酸っぱく言ってたのが懐かしい
@@rinka4762 どういうことですか？
シミズショウマ そのままです
芯をとらえてます
* LiliDra どのように芯をとらえているのですか？
buro ra-yu 比に関する定理だから割ってもかけても大丈夫ってことだよ。
みんなこの動画ちゃんと見てないんか...？
私はRUclipsで「プログラミング」を教えていますが、ヨビノリ先生の圧倒的にわかりやすさと、絶妙なタイトルの付け方と、聞いたあとの感動。勉強になります。
フォーカスゴールドのマスター編をマスターした者の解法
（解答）
「 cos∠ABCを求めよ」ではなく「∠ABCを求めよ」より有名角。
図より60度.
いったい何を学んだのか
Y Une nishi 受験数学の最適な解法
センターの覇者
加法定理「デデドン!(絶望)」
ぉぉぉーーー！笑
意味を理解して道具の組み合わせでシンプルにするセンスがスマートでカッコ良かったです！
高校数学やってくれるのは本当にありがたいです！！
余弦定理は拡張された三平方の定理と知ってから理解度が深まった。
角度が90度ならcos90°（0）になるので、
『-2bc cos∠AB』の部分が消えて『a² =b²+c²』だけになるわけですね。
そこに気付けると凄いです！
何でって自分で余弦定理導いてみればそうなりますよ
高二の教科書なら例外なく載ってるはずです
@@アワはエノコログサの一種 クローバーあさんが言ってるのは2bccosθの必然性の話ではないでしょうか。でもヨビノリさんが解説した「余弦定理に色がついて見える授業」を見ればそれもなんとなく納得しそうですね。
どうでもいいけどbc cosθって内積みたいですね
@@nisio240 この余弦定理はベクトル分かれば導けますよ！BC=AC-ABの両辺絶対値の2乗とって、右辺展開してあげれば余弦定理になります。だから内積が出てくるんです！
式書いた時に割ってたけど相似の段階で割っちゃえばいいと新たな発見。さすがアンパンマン。
すなおに褒めれねぇのか！
@@yobinori さながらアンパンチのような痛快な解法。さすがです。
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
反応？！ありがとうございます！！
12月も終わるというのに勉強に対してのやる気というやる気がもはやマイナス値なんです助けてくださいアンパンマン先生。(受験生)(´._.`)
@@mnt____kzh9559 センター近いのによくRUclips見れるなwww
@@user-qy9gd7ii8j 対策授業で開くことあるやろ
逆にRUclips見ること＝遊びになるっていうけじめつけられないお前と一緒にするのは、ナンセンス
cosは相似比を求めている
ということを利用した
わかりやすい解法ですね...
まるい頭なだけあって考え方が柔軟ですね
普通にディスってて草
さりげなくディスっててわろた
よく考えたら、丸い頭で考え方が柔軟ってのは良くわからん笑
@@tl795 四角いあたまをまるくする
ガチで草
わいアホやから気づかんかった。
ゴリゴリ計算してもうた。こういうのを基礎をしっかり理解し応用できると言うのか、、。
三角比を使いこなせるようになる大きな鍵は「三角比は辺の比である」ということをイメージできるかだと思います。
ちがうから
papa3 では納得できる言葉で説明お願い致します。
papa3 いや、合ってると思うよ
papa3 君は何を知っているんだい？
papa3 では詳しく
センスのある解答って結局教科書レベルの基礎をどれだけ深く理解してるかっていうことが関係してますよね。
07oq 07oq それを中々理解できない人はセンスが無いってことじゃない？数学の教科書に対して理解力がある人は、そもそも数学のセンスがある。
後藤学 違いますか……
@@しかしか-j1w 俺はなんかわかるかも
@@しかしか-j1w 多分教科書の基礎をどれだけ理解して応用できるかってことじゃないですかね…
余弦定理は3つあるって聞いて第一余弦定理と第二余弦定理と僕の知らない第三余弦定理の話をするのかと思った
いやそれ、加法定理
講義のは第二余弦定理ですねー
第一余弦定理が必要になったことないわ
意外と高校の定期で出たりします。
1:59で首振ってるのがなんか可愛い笑
1:58 ここ、ここ、ここワロタw
前半の3つのうち1つしか覚えなくて良い
公式や定理の意味が分かれば良いというのを聞いて共感して即高評価ボタンを押したが、
後半の相似を使って計算を楽にする方法は
当たり前なのにやった事なかった斬新な方法だったので
二回分高評価押したくなったけど我慢しました笑
この動画が今までの数学の動画の中で一番好きです
うれしー！
この動画は余弦定理に限らず
中学高校数学全体の
苦手な人が得意な人とのギャップを失くすキッカケになれば良いなと思いました。
2階高評価ボタン押してみ？
取り消しになっちゃうんだよね
この人数学得意そうだな
現在高2ですが、目から鱗でした。定理の理屈や導出の理解だけでは到達し得ない『本質的な学習』って、こういうことなんですね。演習の出来が良いとつい調子に乗りがちなこのお年頃、背筋を正してくれるようなヨビノリさんの動画に、日々感銘を受けています。
また、後半になって「そういうことだったのか！！」と驚く瞬間、とても心地良いです。是非とも、自分の力でこうした定理の見方を発見できるようになりたい……でもどうしたら数学的センスを養えるのか。ふむ。
自分は完全に前者でした…w
数学は大好きなのに、バカ真面目にデカい数同士計算したりしてました…w
こういう発想が出来るようになりたい！
i と 有機 だけが友達さ
つまり本当の愛は存在しない
わろた
ジャンル遠すぎて草
甘い！！(iは虚数単位)って入れなきゃ！！
iは加速するとマイナスになるんやで（iは虚数単位）
初等幾何勢ワイ
相似比2：1の三角形までは良かったものの、AからBCに垂線を下ろし√3と1と２が見えたので60°即答の巻
一番イケメン
角度を求めよ。なので有名角になるのは検討つきますしね。
@@田中太郎-z2l2j さん
感覚的なところですね。
どこに1と2と√3あるのかわからん
もう少し詳しく教えてくれたもう
@@うえ-q7u さん
頂点AからBCに垂線を下ろしたとき、左側の直角三角形の斜辺が2だなと思う
→BCが3だよな。じゃあこれが1と2に分けられたら気持ちいいなと考える
→もし1ならば、左側の三角形が1:
2:√3だな、あ、右側の直角三角形も2と√3と√7でうまくいくわ
→60°とわかる
こんな思考の流れですかね…。
正弦定理・余弦定理は三角形の合同条件・相似条件と合わせて理解すると使いどころがわかっていいですね。
考えてみれば当たり前なのにやったことなかったなあ…
cos出す問題も多いから左辺が角度の式覚えとくのもありよね、すぐ変形できるけど
カッコつけて頭ん中でやったけど正負間違ってたのは良い思い出
sinuture かわいい
実際に三つ覚えている学生を見た事はありませんが、では何故教科書に３つ並列されているかと問われるといい質問であると同時に厳しいですよね。その心をきちんと伝えられるような授業が全国各地で展開されるような教育者の教育を望んでいます。
以下は私の個人的な考えです。
なぜ教科書に3つ並列されてるかというと、それ以外に書きようがないからだと考えています。
余弦定理で言いたいことは「頂点とそれを挟む辺と対辺の関係」ではありますが、それをどうやって教科書に文章化しようかと考えると、すごく難しいことに気づきました。そういう意味で、この単元は話し言葉や動き、指示語を使って伝えられる授業形式の強みが出やすい範囲だと言えます。
一方で教科書形式には圧倒的な情報量があったり、学習事項の相関関係がわかりやすかったりといった強みもありますよね。
それぞれの強みを活かして授業作りをしていきたいです(誰
圏論難しい 共通点を見つけるって重要だよね〜
Soufflehツ 書いていますよ。三角形のふたつの辺とその間のsinθが分かれば面積求められますが。これも3つ書いてます。
最近センター試験にむけて基礎対策してくれててうれちい
無意識にしてたなー余弦定理の公式をそのまま覚えずに「2辺とその間の角」に関する公式って覚えてるなー
似たような感じなんですけど、僕は公式をそのまま覚えるのが苦手だったのでこれで何がわかるかを覚えてました
塾講してて生徒にはその心の部分も相似の使い方もしっかり教えてます！
分かりやすい…！
ネクタイの結び目でかい笑
顔が小さい…？
もっと計算しづらい数字だったら一気に楽になりそう、さすが藤原聡
その主張の根本はなんなのか
そして最短距離でいかにしてゴールへと辿り着くのか
これを考え抜いた人が数学を楽しめるようになるんだなぁ…
結局、「余弦定理」や「S=1/2•AB•ACsinθ」とか「ヘロンの公式」やってて学んでて思ったのは、三角形の2辺の長さとその間の角さえ決まれば、または3つの辺が決まれば、三角形の形、大きさは一意に決まるから、その感覚さえあれば残りの一つの辺を求めたり、面積を求めれたりするこの公式たちって自明だよなってこと。その感覚さえあれば必然的にこれって三角形の形は決まってるから後はこれらの公式使えば辺なり、角なり面積なり求められるなって直感的にいけると思う。
結局重要なのは相似条件や合同条件から
導けるってことなんでしょうね
導けると言うか一意に定まるのほうが近いですね
たしかに。これから使うわ！
これは教わらずとも、自然に身についてたから嬉しいな
何の要素が三角形の形・大きさを決定しているかという見方が大事だと思います。中学に入ってまず作図や合同・相似の勉強をするのは理にかなってる。センスは共有が難しいからこういう動画は価値がありますね。
学校で友達に勉強を教える経験がめちゃくちゃ多いので、高校範囲であれば最初の板書見たらだいたいたくみさんが今回何を伝えたいのかわかるようになってきました笑
余弦定理よく計算ミスしてたのでマジで助かります！
タクミさんのおかげで数学のおもしろさが少しずつ分かってきました。
ありがとうございます！
今になって理解できた。受験時代全く数学ができなかったけど、これ見たら簡単すぎて泣けてきた。もっと早く会いたかったな
最近はもうヨビノリの動画を理解するのが楽しみで学校の授業受けてるまである
僕は余弦定理を三角コーナーを磨く時に使ってます。
🤔？
背中が痒い時に使うと便利だよ
ドアが風で動きそうな時に使うとマジ便利
そうか相似で小さい三角形にすればいいのか。なんで今まで気づかなかったんだろ。面白かった！ありがとうございます！
8:47 新しい顔に小麦粉じゃなくて違う白い粉練り込んじゃったのかしら...？
この楽な計算方法知ってたよ😊
ピタゴラスの定理(a²=b²+c²)がベースで、直角の部分が鋭角だとb²+c²の部分が少し大きくなる。
その大きな部分をちょっと調整したものと認識しています。
そういう動画もあげてるのでぜひ見てみてください！
似た話で、
平面の方程式を求める時に、外積で法線ベクトルを求めるんですが、たくさんある法線ベクトルのうち"一つ"が分かれば良いので、外積で求まったベクトルが2(-1,1,-2)などの場合、それと平行な(-1,1,-2)も法線ベクトルで、これを使うと計算が楽です
すごい、こんなの学校で習わないから余計面白いし今は数弱だけどこういう姿勢大事にしよ
学生時代の私は余弦定理の意味を知るどころか”余弦ってなんやねん”みたいな、用語の意味すら忘れて途方に
くれてしまうありさまでした。かなり低レベルの話ですが、でもそういう人はけっこう多そうな気がします。
ほかの人のコメントを見ていて思うのは、レベル高すぎです（笑）
このあんぱん怒ったらまじで怖そう
あーその発想
なるほど
センス良い
本当に当たり前のことなのに気づいてない自分に落胆した。。。
基本って本気で大切だな実感した。
なるほど、これから相似使うようにするわ
なるほど！センスというより真に理解しているかどうか確認する意味で格好の視点ですね。さらに三角比の理解が進んだような気がします。
余弦定理を飼ってるんですけど今日はどことなく悲しそうな雰囲気がありました
気持ちを考えられていなかったんですかね
大事にしていこうと思います
余弦派ですか？僕正弦派で余弦と正弦を同時に飼いたいと思ってるんですが、、、やはり専門家に相談した方がいいですかね？？
正弦定理は飼っていないので詳しくは分からないのですが余弦定理は意外と繊細なところがありますので...
一緒に飼ってしまうと嫉妬などの感情から喧嘩が起きるかもしれません
個人的には三角関数の加法定理から倍角やら半角やらいろいろ導けるかどうかで決まると思ってる
1:56 このとき完全に数学的センスを身につけたと思う。頭がくるくる回ってるのを見て理解ってこういうことなんだと思った。ライブで見たらもっとすごいと思う。
授業全く聞いてなくて三角比が角度によって変化するってこと知らず、辺の長さが変われば角度同じでも変わると思ってた一年前のわい、苦労して自力で解決したがこの動画去年上がってたらすぐに解決できたのにな
30過ぎてから医学部再受験のために勉強はじめました。医学物理を大学院までやっていましたが一般企業就職後、内容は全て抜け…。チャート式とヨビノリ先生の動画合わせ技で頑張ります！
ヨビノリさんの腕は右：左＝1:2で常に60°開いてるから三平方だけでいける
fivefouronesix たくみさんはシオマネキだったのか
流石に今回は易しかったですが、こういう教科書的じゃない着眼点をテーマにした動画これからもお願いします。
3:50 赤ちゃんの泣き声？！
わかりやすいです。63才で、勉強してますが、目に鱗です。
楽しいです。🙆♂️
三角関数の大前提は比ですよね。
この切り口は大好きですし、私センスありました😊
改めて去年ホリエモンにわっかりわすい数学を教えていたんだと感じる動画です
私は７６歳じーさん、今の最大関心事は認知症防止！
特効薬は「ＮＨＫＢＳドキュメント」と「youtubeのヨビノリたくみ」の２つ。
特にヨビノリは難解な主題をいつも「短く・簡単に・美しく・その本質」を語るのです。
やすさんの編集センスも素晴らしいと思いますね(^^)
自分も同じやり方です！各辺が同じ数で割る時に使っています！
算数・数学って理解だけが重要だと思ってたけど、知識の定着がないと辿り着けない方法もあるんだなぁ。
記憶力が悪い私だと、まず式を書いて2^2で割れるからという理屈で同じ式にはたどり着くけど、こういう考え方はしたことなかった。
数学の公理・定理や、解法を縦横無尽に繋げられる人を尊敬します。
もういっそ高校数学の全単元ごとにこういう話をして欲しい。
コメント欄でいろんな人の意見も見れるから面白い。
cos∠ABC=a^2+c^2-b^2/2ac を使おうねって話かと思いました（笑）
あるいは、必死に手動かして丸暗記しようとしなくても、単なる三平方の定理の拡張だよって話かと思いました（笑）
拡張の話はすでにやってるので！
失礼しました(/. .\)
cos∠ABC = (a^2 + c^2 - b^2)/2ac です。
またまた失礼m(*_ _)m
数学って、本当に人生のあらゆる側面と関連してますよね。こういう余弦定理的考え方も、結局は仕事の効率化とかそういうのに結びついてくる…。
感動！！
この考え方は無かった…
中３のうちにしれといて良かったです！！
ありがとうございます！！
計算楽にできますって言われたタイミングで気づけた、(多分)相似を利用するんだって
これは勉強になります！
なんかコメ欄の方々が壮大な話をしてらっしゃってすごいと思いました
「余弦定理の公式３つ覚える」はセンスがないのではない。個性である（白目
塾で教えるときに使わせてもらいます！
3:28あれ、馬鹿正直にって言ったから求めたい角＝から始めるやつかと思った。
そっか…公式で各辺を２乗してるから、式の上では両辺を４で割らないといけなくなるのですね。
となると、確かに図形的な説明に置き換えた方が認識しやすいですね。
たしかになぁ。
教科書に載ってる当たり前のアイテムも、ひと工夫して簡単にできるんだなぁ実感しました、感動😭
1:58 いい覚え方ですね
おぉ..さすが数学の魔術師...
自分に最低限のセンスは身についてみたいでホッとしました。
ちなみに記述式試験だったら相似が云々を丁寧に論じるのが面倒なので（僕の日本語力が弱いだけかも）、とりあえず余弦定理からっていってそのまま立式して、計算用紙で縮小版の三角形で計算しちゃいます。
途中計算も書けってうるさく言われたら、解答用紙上では方程式立てたあとに両辺４で割ったことにしちゃうかも。
1:59 角A＝円 ！？
はぁ～バカ正直に値代入して計算してました。相変わらずセンスないなぁ～。
今回学べばok
正弦定理に色のつく講義も聞いてみたいです！！
2:00 ちょっと拡大したねっ。見逃さないよっ！
かっこよくなってる❗️
高校生の頃にこの動画を見たかった
やはりセンスの有無がその人の人生に大きく関わってくると思う。スポーツにしろファッションにしろ個人の感覚、でも基礎知識がとても大事だと思う。いかに義務教育の大切さを今切実に思う。還暦男より。
こういう早い方法思いついてもさ、計算過程かくときになんて書いていいか分からなくて、結局公式どうりにやっちゃう…笑
結局暗算とかの意味なくなっちゃうの悔しいしもったいないよね…😢
数学って「何によって定まってるか(=本質)」がとても大事だと思う
三角形の内角もよく考えれば当たり前だけど長さではなく長さの'比'で定まってるんだよな
大胆なことをしてますね。頭のいい人の頭の中というのはこうなってるんですね
強調するところがほかの先生と違うなあ流石や
この姿勢は身につけたいですね
1年生の総まとめで余弦定理がいまいち理解できてなかったけれどこれみて超理解出来た…
余弦定理使う時はbc cosθをベクトルの内積に直すようにしてる
もし記述のときは、下書きで相似な小さい△の話をやっておいて、
解答用紙には、1行目に元数字で余弦の式をかき、次行に、あたかも約分したかのように、小さい数字の式を書くといいかもしれないですね！