Deux (deux ?) minutes pour l'hôtel de Hilbert
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- Опубликовано: 30 сен 2024
- Parce que, même si le problème est un peu plus connu, l'hôtel de Hilbert est infiniment cool, et l'argument de la diagonale de Cantor l'est strictement plus !
Choux rom & co : eljjdx.canalblo...
Musique : TAM / @tamdu44
![Cody Johnson - I'm Gonna Love You (with Carrie Underwood) [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/yy9PuYMU29g/mqdefault.jpg)
★☆☆☆☆
Pire hôtel où j'ai passé mon séjour.
Le patron nous demandait tout le temps de changer de chambre pour loger d'autres clients !
HONTEUX !
Aizxiuzh ouais j’ai due marcher de la chambre 3664 à la chambre 13424896 c’est un scandale (en plus les fruits ne sont pas bon quand on me les apporter il était pourris !)
En plus de ça, la femme de ménage est exploitée. C'est un calvaire pour elle.
@@cloudragone3491 rassure moi ils étaient de dimension 3-4 pas plus
Au dela de 7 y a tellement de peau que ça me dégoute
@@ulysse113 Et bah même pas figure toi. Ils sont arriver en dimensions 5, alors que j'avais demander des dimensions 3, c'est honteux
@@Tetra._0 De base l'infini n'a pas de fin, donc on ne peut pas dire que l'on ne s'est pas rendu à la dernière chambre d'un hôtel infini.
1:50 Gros footing pour certain client
Noukkis je plainds "l'infinitième" client qui va devoir se deplacer ... "infinie fois"
Jean Bonbeure linfibitieme client n'existe pas, c'est la toute la subtilité de l'infini
Oui enfin le client qui avait comme numéro de chambre le nombre de graham, va devoir marcher un moment. Et encore cela reste le début de l'hotel.@@cptn_n3m012
@@Bouroski1 oui ça je dis pas le contraire !
@@cptn_n3m012 Et aussi celui qui avait comme numéro g64^g64^g64^........^g64 et tout ça g64 fois au carré avec g64 le nombre de graham. J'ose même pas imaginer ce processus avec celui étant à la chambre g65 ou g(g64).....
Allons nous continuer ce débat sans nous occuper du vrai problème?
ou sont les piles de la télécommande!!!!! :p
N'empêche que le gérant il doit être pété de thunes...
Ou pas. L'entretien de l'hôtel, le salaire des femmes de ménage, etc. doit lui coûter une somme infinie d'argent.
@@danielmarero334 imahine dans ton compte en banque il y a marqué F.I
Sauf si le client de la chambre n lui donne n€
Le patron de l’hôtel est blindé maintenant !
A l'infini alors !!!
Il est tjrs blindé sans jamais s'enrichir. Il a une infinité d'argent
On attend encore cette autre histoire ;)
loupiotable Avec ce fantastique logiciel de dessin vectoriel qu'est... Geogebra !
Mes professeurs de mathématique sont fans de Geogebra.
1:40 Je suis pas sûr de moi, mais ton égalité en haut à droite, si on retire l'infini de N, on a 1=0. C'est pas un peu bizarre?
@@ht2897 Bonne chance pour retirer l'infini...
@@ht2897 Les opérations avec l'"infini" n'obéissent pas aux règles de calcul habituelles. Ce que veut vraiment dire cette égalité c'est que si vous avez un ensemble dénombrable (que vous pouvez mettre en correspondance un à un avec les entiers naturels, en bijection avec N) et que vous ajoutez un élément à cet ensemble, il reste dénombrable.
En fait c'est Jawad le patron de l'hôtel de Hilbert... :o
même chez o>
Et dire qu'on ne comprend toujours pas pourquoi l'équipe de France n'est pas descendu du bus en 2010, comme quoi, la connerie est infinie!
Je me souviens de cela, je l'avais lu étant gamine dans un Science et vie Junior ^^ Et là on se dit : Bon sang, mais c'est bien sûr !
+Entre mes... couvertures Sur l'Hôtel de Hilbert ? Je me souviens d'avoir vaguement compris , mais c'est quand même beaucoup plus clair avec El jj
@@tesseract2144 pareil
ah oui je me rapelle de ce hors série !
Je croyait etre le seul à connaitre Science et Vie Junior !
C'est dans quel numero ?
@@redstocat5455 J'essaierai de retrouver quand je retournerai chez mes parents ;)
Perso, j'aurais logé tout le petit monde des infinis entre 0 et 1 dans une seule chambre sachant qu'ils auront beau faire, ils ne pourront jamais totalement l'occuper.
Et je pourrai dire que je suis le seul hôtel à loger une infinité de clients au prix d'un seul.
Ce qui fera alors de moi, mathématiquement, l'hôtelier le plus honnête possible.
Imbattable.
Tiens, mon cerveau est en train de couler de mes oreilles... il doit avoir fondu.
Sinon super vidéo !
Yes ! J'adore votre pédagogie ! Peut être aurait-on pu dire qu'on évoquer la diagonale de Cantor afin que les curieux puissent aller demander à la Wikibible de quoi il s'agit plus précisément mais bref ce n'est qu'un détail.
Je vous trouve personnellement tout à fait à la hauteur de grands RUclipsr "culturel".
Comme quoi quand on est pédagogue ce job est facile et maintenant où est votre million de dollar ?
Je me suis plongé dans cette théorie pour un oral du bac, bah c’est si complexe 😂😂😂
J'ai vue toute tes vidéo et franchement je m'en lasse pas, vous faîtes un travaille remarquable ! J'aurai aimé avoir un prof comme vous 😊
heuu... si c'est un hotel particulier du genre fractale oui on peut loger tout les clients de 0 à 1 dans des chambres différentes
Avoir un hotel avec un nombre inf de chambre ne peux pas etre complet car les chambres (inf-1)(inf-2)(inf-3)... sont vide . EXPLICATION: si la chambre inf-1 est deja prise il sera impossible a cette personne de se deplacer a la chambre d'acoter car l inf est pas vraiment un chifre en plus la chambre inf+1=(inf-1)+2 donc inf+1 n'existe pas puisqu'il y a pas une chambre inf
(G le droi d'utilliser inf-1 puisque tu a utilliser inf+1)
Si g faux je veux bien que on me corrige
En quoi le fait d'utiliser inf+1 donne le droit d'utiliser inf-1 ?
Oui c'est très intéressant comme résonnement. La démonstration est très ludique. Mais concrètement il démontre une chose fondamentale : le paradoxe entre la conception et la perception même du concept de l'infini en mathématique et de sa réalité physique. L' "infini de n + 1 = infini de n" est vrai et faux en même temps puisque le concept même de l'infini suppose que l'on ne peut lui ajouter ni lui retirer. Si l'on suppose ajouter ou retirer à l'infini, c'est qu'on le suppose fini. C'est tout le mystère de ce paradoxe de l'infini puisque physiquement on peut lui ajouter ou lui retirer...
Ce paradoxe démontre les limites du raisonnement et de la sémantique des valeurs numériques.
"puisque le concept même de l'infini suppose que l'on ne peut lui ajouter ni lui retirer."
Pourquoi cela ?
@@DanielBWilliams tu peux lui retirer mais tu ne poura jamais ariver a un nombre réel et pour lui ajouter c plus compliquer car l inf c la limite des chifres réel on peux pas le franchire (sa si en reste sur la logic des nombre réel ) car inf+1 ne fait pas partie de l'ensemble des réel (je suis sur a 99%)
un vrai problème de compréhension de l'infini, cela me fait penser a mon ami qui me disait ''mais si regarde si deux personne cours a l'infini, un a 5kmh et l'autre a 20khm, tu comprend que dans 5 min, l'un aura couru plus'' ouai mais non, l'infini c'est pas 5 minute, ni même rien de tout cela, et si, les deux pourtant parcours la même chose, l'infini. et cela est un concept totalement différent. on peut rajouter des chambre ou des nombre entier au carré, cela reste l'infini, je sais que cela peut être difficile de comprendre
comme quoi vaut mieux être à l'avant du bus .... :)
Et baaaah ... J'ai pas compris la partie la plus importante ^^' Pourquoi le nombre qu'on fabrique (0.4581072..) ne peut pas se trouver dans la liste des chambres ?
Sinon comme d'habitude c'est structuré et on ne s'y perds pas, on voit où va l'épisode et ce qu'on démontre. Bon épisode !
C'est vrai que je n'ai pas bien détaillé dans la vidéo.
En fait, le nombre 0.4581072..., par construction, a sa première décimale différente de celle 1er nombre de la liste, sa deuxième décimale différente de celle du deuxième nombre de la liste, etc : sa n-ième décimale est différente de celle du n-ième nombre.
Du coup, si 0.4581072... était (par exemple) à la 42e place, alors sa 42é décimale devrait être différente de sa 42e décimale. Et ça, c'est impossible !
Au final, quel que soit la façon dont on liste les nombres, on pourra toujours fabriquer un contre-exemple comme ça.
J'y vois un peu plus clair mais qu'est ce qui nous empêche de ne pas décaller tout le monde dans l'hotel (n -> n+1) et de mettre ce nombre en premier et ainsi de suite pour ceux que l'on construira ! J'ai un bug dans mon raisonnement qui me pousse à penser que c'est en voulant attribuer une chambre spécifique à des invités spécifiques que l'on n'y arrive pas...
Rien ne nous empêche de faire cela.
Ce que l'on dit juste, c'est que si on imagine que l'on a déjà casé tous les gens numérotés sur le segment [0;1] dans l'hôtel, alors il y a un problème, car quelqu'un n'est pas casé dans l'hôtel.
C'est contradictoire: on part du principe que tout le monde est rangé, et on arrive à la conclusion qu'une personne n'est pas rangée.
@@theocapazza4063 parce qu'on passerait un temps infini à faire ça et le but c'est de loger les clients pour la nuit 🙃 ok c'est con comme réponse mais il doit y avoir un axiome du choix dans ta proposition 😂
Salut ! Tes vidéos sont excellentes ! J'ai néanmoins un problème avec un passage de celle-ci. Sur la démonstration de l'impossibilité d'une correspondance un-un entre l'ensemble des entiers naturels et l’ensemble des réels. J'ai appris cette démonstration de façon assez sommaire, et j'ai l'impression que ce que tu dis ne colle pas avec ce que je sais (d'où mon propos, qui a l'air d'une objection, mais est en fait une question : est-ce que ce que tu dis est la même chose que ce que je dis ?). Tu dis "puisque si sa chambre est la chambre numéro n, alors la n-ième décimale posera forcément problème". J'ai l'impression que ce que tu dis veut dire "on ne saurait pas quel chiffre il aurait à la n-ième décimale, on n'aurait plus de technique pour construire notre nombre". Mais ça n'est pas problématique. ça ne montre pas que ce nombre ne peut pas être construit. Si on part de ton exemple, et qu'on considère seulement les 4 premières correspondances que tu donnes (0, 1, 2 et 3).Et disons que le nombre que l'on essaie de construire, "n", est le 4ème sur la liste. Alors n = 0,4581. Et voilà, c'est bon, on a fait correspondre le nombre "n" à 4. Ce n'est pas la n-ième décimale qui pose problème. Ce n'est pas une question de problème dans la construction d'un nombre. Toute la démonstration de Cantor repose sur le fait que l'on peut bel et bien construire ce nombre.
Ce que montre Cantor, c'est que quelle que soit la liste (de correspondance de nombre entre les réels et les naturels) que tu prends, le nombre "n" ne s'y trouvera pas. "n" est un réel qui existe bel et bien, mais dont on peut donner une formule telle qu'il ne sera jamais mis en bijection avec les entiers naturels. Si on prend, comme tu l'expliques très bien, une décimale à chaque nombre réel d'une liste, et qu'on change cette décimale en ajoutant "1", alors le nombre qu'on obtient à la fin est différent de tous les nombres de la liste, que celle-ci soit finie (dans ce cas, "n" est un nombre décimal) ou infinie (dans ce cas, n est un nombre réel, c'est-à-dire un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule, sans qu'il n'y ait de régularité dans leur apparition). Or, cette méthode permet bien de donner un nombre réel existant. Mais ce nombre réel ne sera jamais, par sa définition même, dans la liste de correspondance.
Laisse tomber. Le mec qui fait la vidéo n est pas matheux, ça se voit....il débite ce qu il a lu sur Wikipedia, en faisant de jolis montages...
Bah si c’est bien la n-ieme décimale qui posera problème ! Car le nombre 0,34809…. au la même n-ieme décimal que le n-ieme nombre de la listes ! Sauf que quand on ajoute 1 à chacune de décimales crée ( en passant de 9 à 0) le n-ieme nombre ne sera plus le même ! Alors le nombre qu’on a créé pourrait avoir exactement toutes les mêmes décimal que le n-ieme nombre de la liste ( par un grand hasard) sauf la n-ieme décimale qui serait différent du n-ieme nombre de la liste du fait du procédé précédent ! Je sais pas si ce fut clair ! Mais c’est bel et bien la n-ieme décimale qui posera problème car c’est la seule dont on sera sur qui sera différente de la n-ieme décimale du n-ieme nombre ! J’espère avoir été clair et puis bon répondre 6 ans après je sais pas si tu verras ce commentaire !
j'adore la pseudo phrase de Hortefeux a 1:27
bonne continuation
Le omega-ième abonné. Excellent ! C'est moi ?
Salut, ça fait un bout de temps que cette vidéo est sortie et je ne sais pas si tu verras ce commentaire mais j'aimerais savoir comment tu as fait pour faire les dessins et les animations.
j'avais vu une autre vidéo où le problème de l'infinité de bus de taille infinie était traité avec les nombres premiers : passager du bus n à la place m va dans la chambre p^n où p est le m-ième nombre premier. je trouve que c'est plus compréhensible que votre formule car on comprend tout de suite pourquoi il ne peut y avoir qu'un client par chambre.
super boulot je suis en train de visionner toutes les vidéos de la chaîne.
Vous connaissez le logiciel Géotortue ? Je pense que cela pourait vous intéresser.
Pourquoi ne pas parler d'Achille et la Tortue dans une prochaine vidéo ?
Pas besoin de deplacer toutl meonde de deux fois son nombre puisque certain vont certainement mourir dans le trajet: infinie --> 2infinie
J'ai une question totalement bete, mais qui m’empêche de dormir :c
Entre 0 et 1, il y a une infinité de nombre (si j'ai bien suivi). Entre 1 et 2 aussi. Alors entre 0 et 2, il y a plus de nombre qu'entre 0 et 1 ?
Eh bien... Non, il y en a rigoureusement autant ! En fait, par la fonction x -> 2x, on peut faire correspondre à chaque nombre de l'intervalle [0;1] un nombre de l'intervalle [0;2] (son double). A chaque nombre de [0;1] correspond un nombre de [0;2], c'est donc qu'il y a bien autant de nombre dans chaque intervalle.
Pfiou, j'ai pas compris grand chose mais je vais pouvoir dormir plus tôt, merci !
Très détaillé et très bien expliquer
Mais personnellement j'aime bien ta chaîne car elle présente des problèmes méconnus et la c'est un problème très connu (je trouve)
Mais c'est mon avi , il peut aussi être bien d'apprendre les bases aux gens.
Mais j ai beaucoup aimé bien évidemment
Enorme ! Merci science étonnante pour la découverte de cette chaine ! Ca me donne envie de refaire des maths, et notamment de vraiment étudier cette "théorie" !
J'adore ces vidéos. C'est exactement le genre de vidéos traitant des maths que je cherchais. Bravo!
3:18 et une fois que tout le monde est logé, peut-on leur demander de se regrouper par bus?
Oui
Le dernier décalage de l'histoire que l'on m'avait appris c'était par décomposition par nombre entier: on prend le premier bus on lui associe le premier nombre entier 2, le client de la place n du bus ira dans 2**(n+1) ème chambre, puis le second bus on lui associe le nombre premier suivant, et chacun est logé selon la puissance. Par décomposition en nombre entier la distribution est injective mais il est vrai qu'elle n'est pas surjective ( chambre 6 innocuppée par exemple).
Il fait du fric le gérant de l'hôtel 😂
"Si sa chambre porte le numéro _n_, alors la _n_ e décimale posera problème"
Cela pose encore plus de problème pour le client de la chambre 0 qui n'a toujours pas trouvé la 0e décimale de son siège. ^^
Mais j'adore cette vidéo quand même. ^^
Ca correspond à la partie entière
Cyril Pujol Qui vaut 0 pour chaque nombre car on est dans [ 0 , 1 [
Effectivement, j'ai implicitement changé de convention entre deux phrases, ce qui donne un résultat pas vraiment rigoureux (ou faux, mais c'est une question de point de vue ;) )
Ou la réponse C : "C'est pour voir si vous suiviez". ;-)
on avait dit deux minutes ! Ma classe se sent lésée ! BTW excellente explication ! Merci
L'hôtel de Hilbert est complet, tout comme son espace... XD
On ne sait pas loger tout le monde ? No soucy, on demande à Jawad de dépanner
Sinon, tu peux juste envoyer la personne du bus x place y à la chambre (x+y)²+y !
c'est un grand moment de ma vie, je ne pensais pas que cela allait m'arriver un jour, mais le temps que je prends à taper ce message me porteras surement préjudice , mais bon, allez , je me lance : FirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirst
Mon cerveau vient de griller.
3:20 on peut même en faire une matrice de n lignes et n colonnes
Laisse tomber le mec n est pas matheux...il ne dout rien comprendre aux math....
Soit la suite u(n)=1+2^2+2^4+2^6+!;;;;;;;;;jusqu'à l infini la première observation u(n) tend vers l infini mais par le calcul u(n)=-1/3 quel est l explication est ce l infini est borné est ce il y a le dialecte l infini moin l infini plus soit l intervalle [0;1] cette intervalle possède l infini des nombre 1/X il y a un question d obscurité de ce contexte
Le hotel de hillbert, un vrai calvaire trop de temps piur me rendre a ma chambre qui est la 2031963803016649030717 eme et pour avoir l'une des premieres chambres il faut payer beaucoup trop chere
alors, ce que je vais dire va peut être parraitre bizzarre, mais bon. supposons la suite suivante:
k/(10^n)
où: k
La notion mathématique d'ordinalité s'applique encore aux ensembles infinis, quand la notion de cardinalité ne s'y applique plus.
L'hôtel infini de Hilbert illustre une propriété paradoxale des ensembles infinis en mathématique.
Contrairement à ce qui se passe pour les ensembles finis, une partie stricte d'un ensemble infini peut avoir autant d'éléments que l'ensemble.
Dans l'hôtel de Hilbert, en changeant l'ordre des occupants de l'hôtel, il est toujours possible de trouver une chambre à de nouveaux arrivants.
Mais, du fait de ces changements de chambre, on dort mal dans l'hôtel de Hilbert.
C'est marrant car quand au collège on a appris les grands ensembles de nombres (N, Q, R etc) j'ai dit au prof que du coup R est plus grand que N et il m'a limite pris pour un con en mode "non l'infini c'est l'infini" 😂
Ah c'est dommage...
Bonsoir
Comment peut-on démontrer que l'infini de R vaut (2^aleph0), c'est à dire comment montrer que l'ensemble des parties de N est en bijection avec l'ensemble R ?
On va passer par des intermédiaires.
On a une bijection f entre P(N) et {0;1}^N définie par
f(A) = (u_n) tel que pour tout n€N, u_n = 0 si n n'est pas dans A, et 1 si n est dans A
Puis ensuite, on a une bijection g entre {0;1}^N et [0;1] avec l'écriture en base 2 des réels.
Puis on sait qu'il y a une bijection entre [0;1] et R.
Je ne sais pas si c'est clair.
Mais comment tu connais Beaumont-Pied-De-Boeuf???
Ils devraient investir dans un teleporteur et un robot capable de courber l'espace temps ou les clients auront payé pour un balade infinite
c était une nuit de fou mais le patron nous a remboursé , malheureusement beaucoup ont refusé , ils étaient devenus fous et ceux qui ne l étaient demandèrent a être hébergés à l infini , les autorités ordonnèrent au patron de recaser tous les fous , lisez edgar poe , une certaine nouvelle vous indiquera la solution ,,
1:53 3:30 qqn peux penser a celui qui est a la chambre TREE(G) ?
Belle expérience de pensée. Pourtant, pardon, y a t-il un médiateur de la consommation dans cet hôtel ? C'est abusé quand même de demander plusieurs fois dans la même soirée de changer de chambre au nom de l'infini. Le gérant pourrait prendre les choses par l'autre bout et il ne dérangerait personne. Par ailleurs, dans le cas de l'impossibilité, je ne suis pas sûr qu'il y ait assez de clients pour remplir le nombre de sièges dans le bus et faire le compte des nouvelles chambres d'un bout ou de l'autre de l'hôtel.
Pour aborder ce problème de l'hôtel, il faut faire intervenir +sieurs infinités : celles du nombre de sièges dans le bus qui est préalable à la problématique de l'hôtel. Avant le gérant de l'hôtel, c'est le constructeur du bus qui a rencontré le problème. Par ailleurs, un autre problème est en amont, celui des naissances d'humains... Le problème est fragile dans l'exposé logique de la problématique, il me semble...
Est ou existe
Les deux formes des verbes et sont souvent considérées comme synonymes.
Pourtant, le fait d'être et le fait d'exister ("se manifester en dehors de soi") ne peuvent s'appliquer aux mêmes types d'entités.
Disons, par convention, que :
Super vidéo . Deux minute optimisé ^^
est ce par la diagonalisation que l'on passe de aleph1 à aleph2,puis3,4,5,etc. ?je veux dire que l'on construit aleph2,puis aleph3,4,5etc. ?
Moi je n'ai pas compris le problème qui pose heberger le cilent n-ième du [0,1] formé avec la transformaton du nombre formé par les chiffres decimales i-èmes des clients i=1,...,n.
Pouvez-vous expliquer ce que vous proposez ? Donnez un exemple.
J’ai délibérément cherché cette vidéo sur un problème dont je ne comprends pas l’énoncé. L’hôtel est infini, mis dès le début il est bien dit qu’il est rempli. Donc à quoi bon faire toutes ces démonstrations?
Quel est le problème à ce qu'il soit infini et rempli ?
Je me permet de signaler un léger manque dans la construction du contre exemple, en effet l'écriture décimale n'étant pas unique (exemple 0.99999999... = 1) il faut prendre un peu plus de précautions avant d'affirmer que le nombre ainsi construit n'est pas déjà dans la liste.
on pourrait loger les personne comprise entre 0 et 1 dans un chambre infiniment grande ( tardis ?) et ducoup LA on peut loger une infinité de bus avec des gens infiniment compacté entre 0 et 1 dedans
L’infini c’est fini pour moi
Pourquoi est-ce que le nombre infini de décimales pose problème pour les loger dans l'hôtel alors qu'on peut effectuer le même procédé avec le nombre de chiffres d'un entier ?
Non vous ne pourrez pas effectuer le même procédé avec les chiffres d'un entier, tout simplement car l'objet que vous formerez alors avec l'argument diagonal aura une infinité de chiffres (à gauche de la virgule j'entends), et un tel objet n'est pas un nombre entier.
Après l'infinité de bus contenant chacun une infinité de clients, je m'attendais à ce qu'il sorte une infinité de portes avions contenant chacun une infinité de bus contenant chacun une infinité de clients (ça fait mal à la tête rien que d'imaginer tout ça)
5:20 je comprends plus
il est nul ce gérant, il fait tus ses clients, il n'avait qu'à demander au 1er client d'aller en N+1, ça libère une chambre et ca fait chier personne :)
Qu'appelez-vous N ?
Les anciennes vidéos ,sur ce sujet ont disparue de you tube .Bon certains ,les ont gardé .
alors autant les autres vidéo j'ai compris , autant celle la j'ai pris pipé ! ! même en la regardant 3 fois .
J'adore le "quand y en a un ça va, c'est quand il y en a une infinité qu'il y a des problèmes"
Je ne suis pas tellement d'accord avec la logique, car s'il y a une infinité de chambres, il y en a aura toujours assez dans tous les cas.
Lorsque le deplacement est a comence depuis la chambre 0 , il peut s'effectuer a l'infini puisque chaque client va esperer trouver une chambre au numero n+1 tout au long de la nuit, plus la clientele est nombreuse , plus la permutation va durer.
Je revisionne votre vidéo le jour de l'infirmation de l'hypothèse du continu
Je retiens surtout que le gérant de l'hotel se fait une infinité de fric !
Ci il y a un nombre infiny de chambre il peuvent pas être plein au début psk le mot plein n’est pas infinité
En quoi est-il impossible qu'il soit plein et infini ?
Je suis le w-ième
Putain mais réfléchissez un minimum svp!!! Hilbert est la définition même de l'imposture !!! Posez l équation sur papier si vous ne comprenez pas... Mais n'oubliez surtout pas que l'hôtel est un ensemble différent des clients...................!!!
Hilbert...imposture ? Reprenez-vous, vous divaguez
Ça peut paraître stupide comme réflexion mais si on transforme tout les nombres entier en nombres réel il est possible de placer tout le monde compris dans l'intervalle [0,1] dans l'hôtel nha ?. Suffit de dire à chaque personne que le nombre qui se trouve après la virgule est le numéro de leur chambre. (Ex: 0,1 --> 1) En leurs disant également que si le nombre obtenu après la première opération commence par un ou plusieurs zéros de placer ces zéros à la fin de leurs numéro (Ex: 0,01 --> 10). Par contre il faudra une chambre en plus (disant à gauche de la numéro 0) nommer X pour loger la personne avec le numéro 1.
J'imagine qu'il n'y a pas de formule mathématique qui décrit exactement ce processus :/
Bonjour, je ne comprends pas ce que vous souhaitez faire.
Par exemple ⅓ que devient-il ? Je rappelle que c'est 0,333... avec une infinité de 3 après la virgule.
@@DanielBWilliams Bonne remarque, à première vue j'aurais juste dit qu'on suivant la méthode cela donnerait 333... (avec exactement le même nombre de 3 à l'infini) mais je comprends ou vous voulez en venir. 1/3 n'est pas un nombre décimal du coup ça devient impossible de suivre la méthode ci-dessus avec cette fraction. Je comprends mieux mtn pourquoi il mentionnait π-3 et √2/2 dans la vidéo !
Super comme d'habitude ! Je suis vraiment fan !
J'ai toujours était une bonne grosse brelle en Math, je vais pas vous le cacher, seulement dans le domaine de la science et de la physique, j'accepte chaque concepts issu du domaine de ma compréhension.
J'accepte même que l'univers soit parti de rien et la définition du rien en lui même !
Mais quand j'ai appris qu'un infini est plus grand que l'infini traditionnel je vous avoue que.... j'ai tellement peiné à comprendre que mon cerveau à exploser et j'en reviens toujours pas.
Alors j'espère très vite comprendre cette notion qui me dépasse totalement
+Robin Theulman c'est plus facile de gérer l'infini quand ya pas de virgule en gros, parce que ya des pairs et des impairs ça aide plus que dans les nombres pas entier
J'ai bien aimé ta vidéo par contre j'ai des questions (je note A l'infini):
Il y a une infinité de nombres entiers.Et entre 1 et 2 il y a 10^A nombres:
10^A=10*10*10...*10 = 10 + 90 + 900 + 9000... Et la somme d'une infinité de nombres positifs ne vaut pas A? Ensuite quand tu as dit que A*A = A; Je sais que 0*A = x; x n'importe quel nombre entre -A et A; 0 excepté mais si A*A = A alors 0*A =x =0*A*A = x*A or x*A vaut l'infini, ça voudrait dire que 5 = A...
Si on considère qu'il y a A personnage entassés alors chacun d'entre eux peut trouver une place: A*longueur d'une chambre = A; la longueur de l'hôtel est infinie mais A*épaisseur d'un personnage(dans le cas de l'entassement) = x = 1; c'est cohérent on peut faire entrer une infinité de bonhommes s'ils mesurent 0cm si ils mesurent plus alors il te faut un hôtel infiniment grand.
Thibaut Lescure En espérant que tu me répondra :)
à 2'26 : est-on OK pour dire que si l'hôtel est déjà complet à l'arrivée de l'infinité de bus contenant chacun une infinité de passagers, ça fonctionne quand même ? (il suffit juste de refaire la 1ere bijection effectuée... non ?). / dernière partie : pourquoi ne pas faire une infinité de travaux ? Il suffit que l'hotel s'élève à l'infini, avec une infinité d'étages. Qu'au-dessus de l'étage 1 il y ait l'étage 1,1 puis 1,2 etc.
Pour la première chose que tu dis oui, pour appliquer ce qu'il applique dans la vidéo il suffirait de considérer que tous les clients dans l'hotel actuellement sont en réalité le bus 1 et on décale les indices de tous les autres bus.
Pour le 2 cela ne marchera pas, tant que tu as un infini dénombrable (donc basé sur les nombres entiers) tu ne pourras jamais extraire une partie significative d'un ensemble non dénombre (ici les réels par exemple). Peu importe combien de fois tu feras ta procédure et même une infinité dénombrable de fois il te restera toujours la même taille d'ensemble de base.
Incroyable le splash screen final
l'hotel n'a pas un nombre infini de chambres, mais un nombre "dénombrable" de chambre. Il n'existe simplement pas de bijections entre N et R.
En quoi cela s'oppose ? L'hôtel a un nombre infini dénombrable de chambres, cela ne s'oppose pas.
J'ai de la peine a comprendre (bon en même temps je suis pas une bête en maths). L'infini a la base c'est l'infini ? On a autant de chambre que l'on veut non ? Je comprend bien les premières explication mais je bloque bien sure a l’explication sur les nombres réel. Même si je crois voir de quoi tu parle j'ai l'impression que l'on pourrait loger tout le monde simplement que cela prendrait une infinité de temps. Je vois qu'il y a 2 sortes d'inifni mais théoriquement il y en a pas un plus long que l'autre vu qu'il se finissent pas. Je vois juste cet infini des nombres réel plus "dense". Bref en tout cas c'est cool de voir que beaucoup de scientifiques on pensé a des choses quasi impensable (surtout pour moi). J'aime beaucoup ta chaine même si je viens de la découvrir. Bonne continuation :)
Essaie de voir l'infini de N (l'infini classique) comme un nombre fini très très grand (bon, l'hôtel ne construit pas plus de chambres, donc va falloir soit une ouverture d'esprit, soit de la connaissance mathématique poussée ^^') Dans ce cas là tu peux "numéroter" les chambres, qui auront toutes un numéro avec un nombre fini de chiffres. Or, 1/3 ou encore pi-3, qui ont un nombre infini de décimales, n'auront pas de chambres (si on met 0,1 à la chambre 1; 0,11 dans la chambre 11 etc) et pourtant ils sont venus avec le bus des réels :)
j'me sens super naze je comprend jusqu'à "infini" N X "infini" N, mais après je sèche complet. C'est une démonstration qui me dépasse aujourd'hui... c'est la boudance de l'extrême :'(
+Drannoc Émmonneibel
Même l'exemple sensé nous aider me fait planter, je vois pas pourquoi 0,4581072... pose problème. C'est d'autant plus vexant qu'elle posera "Forcement" problème. Mon dieu que je me sens con aujourd'hui XD
+Drannoc Émmonneibel exactement pareil, j'arrive toujours pas à comprendre qu'un infini peu être plus grand que l'infini N
+Drannoc Émmonneibel Je vais essayer de t'aider. Imagine que tu penses avoir trouvé un liste qui permette d'assigner tous les nombres réels avec les entiers naturels. Alors tu me donnes cette liste (genre le premier nombre c'est tatata (on va l'appeler x1), le deuxième nombre c'est x2 et ca continue jusqu'a "l'infini" des entiers naturels).
Alors je regarde entièrement cette liste, et je crée un nombre composé M de la première decimale du premier nombre (x1), de la deuxième decimale de x2 et ainsi de suite. Superbe. Maintenant à partir de ce nombre M j'ajoute 1 à chaque décimale pour obtenir mon nombre N.
Bon jusque là, je ne t'ai fait que résumer la vidéo. Mais maintenant on s'interesser un peu à ce petit N. Puisque tu me dis que t'as réussi à caser tous les nombres réels dans ta liste et que N est un nombre réel, alors il doit forcément se trouver dans la liste. Logique.
Bon alors on a plus que la chercher. Pour être sûr de pas se planter on va y aller méthodiquement et regarder chaque decimale de chaque nombre de la liste. Si toutes les decimales correspondent alors ce sera notre nombre N et on aura trouvé sa place.
Est-ce que c'est le premier nombre de la liste ? Regardons... Ah bah non la première decimale correspond pas ( puisque qu'on sait que la 1ere decimale de N = (la 1ere decimale de M)+1 = (la 1ere decimale de x1)+1)
Est-ce que c'est le deuxième nombre ? Regardons la première decimale, avec un peu de bol rien n'empeche que ca tombe juste. Passons. Regardons la deuxième décimale... Par contre celle-la elle correspond pas ( de la même manière que la première decimale)
Et en continuant à parcourir la liste, on constatera que la n-ème decimale de N sera toujours differente de la n-eme decimale de xn.
Arrivé à l'infini, on constate que N ne correspond à aucun élément de la liste, donc ta liste ne contient donc pas tous les nombres réels.
Et comme tu l'as constaté, on peut faire cette construction pour n'importe qu'elle liste de nombre (et d'ailleurs c'est pas la seule construction possible, y'en a une infinité, mais on s'en fout un peu).
Du coup qu'elle que soit la manière d'assigner les nombres réels, il en manquera toujours un paquet. Donc les nombres réels ne peuvent pas tous être associés aux nombres entiers. Et en conclusion le nombre de nombres réels est plus que le nombre de nombres entiers.
Voilla, si il y a des trucs que t'as pas compris tu peux toujours poser la question j'essaierai d'y répondre.
G pas compris pk les réel son plus grand
Parce qu'on peut caser les entiers dans R, mais pas les réels dans N.
La diagonale de Cantor :)
Juste je comprends pas pr les nombres réels
Tu dis qu’il y aura tjr un client qui n’aura pas de chambre mais les autres clients n’ont qu’à se décaler non ( comme au début)
Sauf que même s'ils se décalent, il y a toujours quelqu'un à l'extérieur. En gros, on demande à ce que l'on puisse faire un décalage de tous les gens déjà présents dans l'hôtel pour que ça laisse des chambres de libres pour les nouveaux arrivants.
Mais là, peu importe comment on s'y prend, il n'y aura jamais assez de chambres. Peu importe comment on décale.
On peut voir les choses autrement : on suppose par l'absurde qu'il est possible de loger tout le monde, et on montre que malgré ça, il y a quelqu'un qui n'est pas logé. C'est une contradiction.
5:30 C'est la n+1 -ième décimale qui pose problème, pas la n-ième. Bonne continuation
B. L. pourquoi ?
Mais du coup comment les chambres sont toutes occupées ( 0:39 ) s’il y a une infinité de chambres ?
C'est une expérience pensée: l'expérience commence avec l'hôtel rempli. Dans ce cas là, autant s'étonner aussi qu'il y a un lit dans chaque chambre alors que l'hôtel est infini, de même pour le papier peint, les fenêtres, etc.
Je comprends pas au tout début, si toute les chambre sont pleines et que l'on dit à chacun de prendre la chambre n+1 pour laisser la chambre 0 libre alors il y aura toujours un client dehors pour changer de chambre car l'hotel est plein.
Si on fait entrer un client et que l'on en fait sortir un alors on a pas pu ajouter de clients dans l’hôtel.
Etape 1: on demande à tous les clients (sauf le nouveau) de sortir en même temps devant la porte de leur chambre.
Etape 2: on demande à tous les clients (sauf le nouveau) de se déplacer devant la porte de la chambre de droite.
Etape 3: on demande à tous les clients (sauf le nouveau) de rentrer dans chambre devant laquelle ils sont
Et voilà, tout le monde est dans une chambre, et la toute première est libre.
ai je gagné mon concert de Grégoire ?
Enfaite si les chambes sont infini, alors il y a aucune raison qu'on puisse pas logé tout le monde entre 0 et 1. Ceux qui n'ont pas de place ont qu'a aller a la dernière place + 1
Il n'y a pas de dernière place, puisque l'hôtel est infini.
0:31 si cet hôtel possède un nombre infini de chambre, pourquoi est-il complet ?
Pourquoi ne le serait-il pas ?
Il me semble que dans cette représentation, chaque client va dans la chambre n+2 et non 2n...
Euh ben non...
D'ou viens le nom de la chaîne ?
Finalement, le problème est de savoir si tel ou tel ensemble est dénombrable ?
Effectivement, c'est ça. Les premiers ensembles sont en bijection avec N, R ne l'est pas grâce à l'argument de la diagonale de cantor
Pourquoi l'infini des réels c'est 2^ l'infini des entiers
Pourquoi 2 '
En fait c'est une notation, qui provient de quelque chose vrai quand on manipule des ensembles finis.
Pour bien comprendre, il faut commencer par s'intéresser à la notion de sous-ensembles d'un ensemble, vous connaissez ?
Si ce n'est pas le cas, je peux prendre le temps de vous expliquer.
Je vais donc ici partir du principe que vous connaissez : si j'ai E un ensemble fini ayant n éléments, alors P(E) l'ensemble de ses sous-ensembles possède exactement 2^n éléments.
Par exemple, si on prend E={a;b} on a n=2.
Alors P(E)={vide ; {a} ; {b} ; {a;b} }.
Et donc il y a bien 2²=4 éléments.
De cette manière, on peut définir 2^(infini de N) comme étant le cardinal de P(N). Et comme il y a autant de réels que de parties de N, on a donc le résultat. Il faut juste garder à l'esprit que c'est une notation pour généraliser le sens de 2^truc où truc n'est pas forcément fini.
Si ce n'est pas clair dites-moi, je prendrai le temps de mieux expliquer !
@@DanielBWilliams c'est la meilleur réponse que je pouvais espérer, je comprends beaucoup mieux ^^
Les problèmes ne se poseront jamais puisque l'hôtel est toujours en construction et que l'ouverture n'est pas prévu pour tout de suite
C'est une expérience de l'esprit.
@@DanielBWilliams je le sais bien, il s'agit simplement d'une blague sur le fait que l’hôtel infini n'est pas prêt d'être fini de construit puisque que les ouvriers en ont encore pour une infinité de sacs de ciments et de pierres à poser ;) mais dans le monde merveilleux des maths, les entreprises de BTP sont très efficaces !
@@Lukasperon Ah pardon, à force de voir des commentaires premier degré j'ai cru que le votre l'était aussi, au temps pour moi !
Sur la planète des Mathématiques ca marche effectivement.
Sur la planète terre les hôtels infinis n'existe pas. Je vois pas pourquoi les infinis plus petits et plus grand, infini +1 et-1 ca existerai.
C'est sur si on peut inventer ce qu'on veut on peut prouver ce qu'on veut.
C'est une expérience de pensée pour illustrer un phénomène mathématiques. L'idée de l'hôtel n'est pas de prouver quoi que ce soit: elle est là pour essayer de faire comprendre ce qui se passe dans le phénomène mathématique. Donc pas d'inquiétude, on ne prouve ici rien sur les hôtels infinis. C'est seulement une visualisation.
@@DanielBWilliams je pense que c'est la d'où vient le paradoxe.
@@mazou5851 Oui, tout à fait. Dans la réalité, on ne trouve pas ces fameux hôtels infinis avec une infinité de gens.
@@DanielBWilliams c'est comme l'histoire de 0,9999... =1 parce que 1/3 = 0, 3333
C'est n'importe quoi de dire que 1/3 = 0,33333... Ca existe meme pas trois petits points comme ca en maths
@@mazou5851 Ah si, cela existe bel et bien.
Pour comprendre ce que veut dire "0,333...", il faut s'intéresser aux suites.
Nous pouvons considérer la suite
0
0,3
0,33
0,333
et ainsi de suite, en ajoutant un 3 à chaque terme.
Nous pouvons montrer que cette suite se rapproche de plus en plus du nombre 1/3.
C'est ce sens qui est donné à 0,333...: le nombre limite qui est obtenu en plaçant des 3 à la suite de 0,3.
Si jamais vous en doutez, je peux vous fournir une preuve.
Euhhhhh Rien pigé à l'hypothèse du continu.
Si je regarde sur Wikipedia, je comprendrai encore moins (ils sont grave côté vulgarisation :D )
Tu fais une vidéo où je passe mon bac ?
Merci pour ton superbe travail. C'est un réel plaisir.
Arghhh regardé sur Wikipédia. En fait, la "démonstration" fait intervenir Goëdel. Ok, j'atteinds mon niveau (profond) d'incompétence.
Bref, ponds nous vite une vidéo sur le sujet ;)
Oui l'hypothèse du continu est incroyablement compliquée hein, il n'a pas prétendu la résoudre dans cette vidéo, il en donne simplement la solution. Elle faisait partie des problèmes de Hilbert c'est vraiment une question mathématique difficile. Cantor a longtemps cherché à trouver des exemples d'ensembles qui ont un cardinal entre celui des nombres entiers et celui des nombres réels, il s'est par exemple intéressé à ce que l'on appelle "l'ensemble triadique de Cantor" (tu peux chercher sur internet c'est rigolo, je ne sais pas si on trouve des vulgarisations bien expliquées mais cet ensemble a des propriétés étonnantes). Mais finalement cet ensemble bizarre avait aussi le cardinal des nombres réels, et à force de chercher et de ne pas trouver il en a eu marre, et il a proposé son hypothèse du continu.
Si Cantor lui-même n'était pas capable de répondre à cette question ne t'attend pas à pouvoir y répondre facilement !