Ah la la. À chaque fois que j'entends parler de l'axiome du choix je me souviens de mon prof de spé grondant "On utilise le lemme de Zooooorrrrn", à la façon "C'est le noooorrddd" de Galabru. Superbe vidéo !
+Oscar Gk Bah du point de vue mathématique, l'ensemble des points entre 0 et 1 à la même taille que celui des points entre 0 et l'infini... Encore mieux, tu peux transformer de manière croissante (donc tu conserves l'ordre des machins) et continue (donc tu conserves les voisinages et trucs dans le genre, les localités si tu veux) les éléments du premier en ceux du deuxième ! Et ça c'est "gratuit" : garanti sans axiome du choix ^^
TheMaxtimax encore une fois, cela dépend de la signification donnée au mot «taille»; mais en effet oui, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal)! 😊
Ce moment ou tu apprends que El Jj est prof de maths en lycée .-. PLEASE, TEACH ME ! Tu fait vraiment de bonnes vidéos c'est génial, si seulement pouvais y'en avoir encore plus c:
Bravo pour cette explication claire et détaillée. Même si tu passes plus des deux minutes annoncées à l'expliquer, ça vaut le coup. Cela dit, il est probable que Banach et Tarsky auraient sans doute démontré qu'à partir de deux minutes on pouvait confectionner un autre ensemble de deux minutes et que Hilbert nous invitant dans son hôtel aurait facilement étendu tes deux minutes à une infinité....Conclusion, tu as réussi la prouesse inverse de réduire l'infini à 20 minutes....et ça , c'est pas rien!
J'ai une question sur les paradoxes en générale ? que devient le paradoxe de Langevin appliqué au déficit de la france ? Est-ce que si on envoie les banques dans l'espace et qu'elles reviennent on a des taux défiant toute concurrence ?
On se sent presque intelligent, et on se prend même à croire qu'on a tout compris en regardant les VDO d'El Jj (enfin, à condition de regarder les VDO dans l'ordre). C'est vraiment ça l'art de la vulgarisation scientifique. Bravo, et merci :-)
Superbement expliqué ! Faut toujours faire pause assez souvent, mais moins que d'habitude. Vos vidéos sont comme le gâteau de Jupiter : on n'en mange que rarement, mais on apprécie toujours !
Bon, c'est de la vulgarisation, mais il faut au moins un bon niveau de taupe pour comprendre. J'ai cette chance et merci beaucoup, j'avais entendu parler du paradoxe de Banach-Tarski mais enfin aujourd'hui je comprends de quoi il s'agit (enfin j'ai compris en gros, il faudrait que je passe un peu de temps pour les détails). Superbe boulot en tout cas. Les dessins en particulier sont top.
En fait, je t'encourage à faire des vidéos de 20 minutes et même plus. Mon niveau en maths (L2) fait que j'y passe une heure avec plaisir en faisant pause de temps en temps et j'y reviens plusieurs fois. Merci pour tout
superbe video je te remercie du fond de mon coeur, je n'avais jamais osé touché a ce théorème mais grace a vous je connais le principe, grand merci encore !!!
Excellente vidéo! Peut être même une de tes meilleures! Technique mais compréhensible, bravo ;) Surtout gros pouce bleu pour avoir réussi à condenser tout ça en 20 min
J'avais beaucoup aimé la vidéo de Vsauce sur le sujet, mais j'ai apprécié d'avoir ici droit à une explication plus claire du théorème. Après c'est très sympa parce que je trouve vos deux vidéos très complémentaires. Merci pour tout ce travail !
Remarquablement expliqué (comme d'hab !), comme ça va vite il est sage de revoir la vidéo en s'arrêtant de temps en temps ! (comme pour Conway ou pour la triangulation des polygones)
Passionnant, bravo, vraiment. J'ai peut-être même compris :-p Et j'aime bien le ton plus libre (bonbons, choix déterminant de la couleur de la sphère, côté obscur, partir en vrille). Pas de problème pour le -léger- débordement au-delà des deux minutes. Vitesse de la voix OK aussi pour moi, mais pause nécessaire pour lire les textes détaillés. C'est très bien comme ça. Merci pour ce boulot ; parce que dire sur un ton léger "j'ai deux minutes pour en parler" ne cache pas l'énorme travail de conception et de réalisation. Donc, merci !
J'adore ce que tu fais c'est juste magnifique !! J'avais jamais compris ce théorème bien que maintenant ceil y ait toujours quelques petites zones d'ombre ça va beaucoup mieux :)
Super. J'ai enfin compris la problématique de l'axiome du choix. En fait cette vidéo m’intéresse plus pour comprendre pourquoi l'axiome du choix pose problème que pour le sujet lui même.
C'est une suite de nombres rationnels qui se rapproche de plus en plus de √2. C'est une façon de définir ce nombre. Ainsi, π sera aussi défini comme une suite de nombres rationnels qui se rapproche de plus en plus de π.
@@DanielBWilliams La fameuse densité des nombres rationnels sur R qui dit que pour tout réel x , il existe une suite de nombre rationnel qui converge vers x.
bon beh c'est parti alors: recrute une infinité de personnes motivées à sacrifier leur vies et celles de leur déscendant pour faire un gateau rond, le couper avec une aiguille et maintenir les physicien loin du gateau, merci d'avance pour vos réponses.
+MrMopi5000 non, pas une une infinité, juste une poignée suffit sur un temps infini... ou sinon, tu peux demander à un nombre infini de personnes de le faire et ça se passera instantanément, à condition que tout le monde puisse y accéder en même temps (bon, aussi que t'arrive à diviser la matière un nombre de fois infini)
Magnifique explication. A mentionner toute fois que sans l'axiome de choix les maths modernes (en particulier l'analyse) ne vaudraient pratiquement rien. Sans l'axiome de choix, on a pas le fameux théorème de Hahn-Banach, qui est le fondement même de l'analyse fonctionnelle "Banachique": Theorème de Krein-Milman, la topologie faible, l'existence de Bases Hilbertienne dans des espaces de Hilbert non séparables...etc. Par conséquent, l'application des ces notions aux EDP serait remise en question. On aurait pas non plus le théorème de Tychonov sur le produit des compacts ce qui nous ramènerait à l'Age de pierre. Et là je ne parle pas des théorèmes classiques tels que le théorème de Cantor-Bernstein (sa preuve utilise l'axiome de choix), l'existence d'ensembles et de fonctions non-mesurables (remarquablement expliqué dans la vidéo), l'existence de supplémentaires d'un sous-espace vectoriel...
A 13:32, quand on fait tourner les ensembles (par exemple l'ensemble 1 dans la direction S), on voit bien qu'on arrive à former un ensemble qui contient des points de tous les ensembles sauf celui qui correspond au sens dans lequel on a tourné (1, 3, 4, 5). mais qu'est-ce qui permet d'affirmer que cet ensemble contient TOUS les points de ces 4 autres ensembles ?
Il y a pas mal d'implications philosophiques dans cet axiome du choix. J'aime bien. Explorer Kurt Goedel et son incomplétude me semble de mise après cela ^^
Merci, superbe vidéo. Il me semble qu’en 14:27 il y a une petite erreur. Un point « NN » (et d’autres séquences de NNN…) apparaît dans la liste en 3e position de l’ensemble « 1+S », ce qui n’est pas possible. Ce n’est que cosmétique…
"Pour cela, on va faire un petit tour de passe-passe façon hôtel de Hilbert!!!" El Jj 2016, dit le grand manie-tout!!! nah je rigole super vidéo même si j'ai décrocher sur 2 ou 3 détails.
Vsauce a quand même passé beaucoup de temps sur la théorie des ensembles de base, ce qui est un désavantage. Jj a déjà traité de ces sujets dans l'autres vidéos (comme l'hôtel de Hilbert)
J'allais dire justement la même chose et je le pense sincèrement. En toute objectivité, VSauce a zappé l'axiome du choix qui est à mon sens central dans ce théorème. Je n'aurai imaginé que cet axiome puisse avoir de telles conséquences.
J'ai liké parce que comme d'habitude c'est vraiment super bien fait et j'attends toujours la prochaine avec avidité mais cette fois-ci j'ai pas entravé grand chose :p
On ne peut pas simplement voir le paradoxe de l'axiome du choix comme la limitation de notre intuition (et des objets matériels) aux ensembles discrets ?
Simplement parfait (pour autant que je sache: je ne connais pas la démonstration mathématique du théorème: oui j'ai pas fait d'étude de math après la spé en prépa intégré)
Personnellement, je trouve cette vidéo bien plus claire que la vidéo de VSauce que plusieurs d'entre vous disent avoir appréciée. Ici au moins les difficultés sont moins éludées. Bravo pour ce super travail. Question au passage: quel logiciel utilises-tu pour tes anims?
Dans la démonstration à 9:48 , de quelle mesure est-il question ? Si mu est la mesure de comptage (on compte le nombre d'élément de l'ensemble), alors V à une mesure infini, mais [-1;2] aussi puis qu'il y a une infinité non dénombrable d'élément contenue dans un segment "continue". Et si mu est la mesure de Lebesgue (longueur d'un segment), alors V est de mesure nulle puisque c'est une union de singleton.. Quelqu'un pourrait m'expliquer où je coince ?
Si quelqu'un peut m'expliquer, je ne comprends pas pourquoi à 7:53 de la vidéo il dit que les autres nombres (donc non decimaux) ne peuvent pas être dénombrable ?
@@teteloomSalut Ce que tu dis est vrai uniquement pour les rationnels Ici quand il parle d'une infinité de chiffres derrière la virgule il parle en réalité des irrationnels, qui est un ensemble infini non dénombrable ;
Pour que tout ça paraisse un peu moins paradoxal on a qu'à se dire que ça marche pour des objets mathématiques ''continues'' qui ne possèdent pas réellement de briques élémentaires puisque les points n'ont pas de mesure. Ceci est donc par essence différent de notre monde physique à partir duquel nous forgeons notre intuition et, qui, jusqu'à preuve du contraire est construit à partir de particules élémentaires et non pas de points mathématiques...
L'axiome du choix est souvent utilisé en analyse fonctionnelle qui traite d'espaces de Banach ou de Hilbert de dimension infinie, serait-il possible de faire quelque chose dans ce domaine là sans cet axiome ? Par exemple de démontrer le théorème de l'hyperplan sans l'aide du choix ? C'est surtout contre-intuitif parce que l'intervalle mathématique est découpable à l'infini, ce qui n'est pas le cas de l'espace physique ... Quand on a admis ça, ça semble moins aberrant (quoique).
Je n'en parle pas dans la vidéo, mais on retrouve l'axiome du choix pour prouver que tout espace vectoriel admet bien une base. Autrement dit, l'analyse fonctionelle repose en très grande partie sur cet axiome ! Je ne connais pas bien le théorème de Hahn-Banach (théorème de l'hyperplan), donc je ne saurais dire à quel point on peut sans passer (Wikipédia à l'air de dire que le lemme des ultrafiltres est suffisant, mais je n'en sais pas plus)
je pense qu'il existe une preuve directe du théorème de Hahn-Banach géométrique dans le cas des espaces normée sans utiliser l'axiom du choix en particulier le théorème d'hyperplan et vrai sans ZFC, mais pour le cas analytique (le théorème de prolongement) le plus important au fait pour l'analyse fonctionnelle il n'existe pas, mais je sais bien qu'ils ont bien voulu démontrer qu'il ne peut être démontrer sans le lemme de zorn , mais ca reste ouvert.
Je comprends enfin mieux pourquoi je ne comprenais pas ce théorème. Merci pour cette explication. Après perso si ça me permet dans la vraie vie d'avoir d'avoir 2 boules de glace à partir d'une seule, je me dis que c'est la que se limite les maths.
Un vieux numéro de "pour la science" (Avril 1991??) s'appuyait sur ce paradoxe en déclarant que des scientifiques avaient réussi à découper une vraie boule et de gagner de la matière, qu'ils l'avaient appliqué sur une boule en or et que ça marchait très bien, d'ailleurs le cours de l'or baissait régulièrement à l'époque pour cette raison ;-) . l'article était très bien fait, expliquait très bien le paradoxe et alternait sérieux et canular assez subtilement :)
A 0:37, vous dites que "la décomposition ne fait intervenir que des isométries, c'est-à-dire des déplacements et des rotations". Mais une rotation est un déplacement.
17:19 pourquoi l'ensemble infini et ce cercle ? Sans l'ensemble infini, avec simplement le 1er point, on comble le trou avec la rotation de -sqrt(200), non ?
Alors déjà super vidéo, c'est toujours un plaisir de t'écouter :) (tu félicitera aussi ta copine, sa vidéo est complémentaire et très bonne aussi :p) Pour ce qui est du fait que le découpage soit contre intuitif, si on rappelle que la réalité est composé d'atome (et non pas d'espace plein), on voit bien que ce théorème s'applique uniquement a des objets théoriques, non ?
Ce n'est pas vraiment un axiome qui "divise" les mathématiciens, cette discussion se limite aux logiciens car les autres l'utilisent. C'est juste qu'on préfère pouvoir exhiber l'objet mais on se contentera largement de l'existence dans les autres cas.
Merci beaucoup pour ces explications précieuses. Un point que je ne suis pas sûr de comprendre, le point fixe, évoqué : 17:25. Pouvez-vous expliquer géométriquement que la rotation N suivie de la rotation O ramène au point A car je n'arrive pas à m'en convaincre ? En effet voici ce que j'obtiens en calculant la position finale en coordonnées cartésiennes après ces déplacements sur la sphère : On considère un point de coordonnées cartésiennes initiales (x0, y0, z0) Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques se fait par: x = cos(φ)cos(θ) y = cos(φ)sin(θ) z = sin(φ) Après le déplacement α vers l'ouest, les nouvelles coordonnées sphériques sont (θ1, φ1) avec : θ1 = θ0 - α φ1 = φ0 D'où les nouvelles coordonnées cartésiennes (x1, y1, z1): x1 = cos(φ1)cos(θ1) = cos(φ0)cos(θ0 - α) y1 = cos(φ1)sin(θ1) = cos(φ0)sin(θ0 - α) z1 = sin(φ1) = sin(φ0) Puis après le déplacement α vers le nord, les coordonnées sphériques finales sont (θ2, φ2) avec: θ2 = θ1 φ2 = φ1 + α Les coordonnées cartésiennes finales (x2, y2, z2) sont donc: x2 = cos(φ2)cos(θ2) = cos(φ0 + α)cos(θ0 - α) y2 = cos(φ2)sin(θ2) = cos(φ0 + α)sin(θ0 - α) z2 = sin(φ2) = sin(φ0 + α) On retrouve bien que (x2, y2, z2) ≠ (x0, y0, z0), le point n'est pas revenu à sa position initiale. Où est mon erreur ?
@El Jj Deux petites questions : 11:22 "Cela marcherait tout aussi bien en prenant n'importe quel autre nombre irrationnel" Dans la vidéo, on peut avoir l'impression qu'avec n'importe quel irrationnel, il est impossible de revenir au même endroit. Pourtant, pi est irrationnel, or avec un angle de pi rad, tu peux revenir au même endroit en faisant un nombre pair de fois. Mais avec un angle de pi degré, c'est à dire pi^2/180 rad que ce passe-t-il ? Bref, est-ce tu veux dire qu'il existe certains irrationnels qui ne permettent pas de revenir au même endroit ? 0:42 Je n'ai pas vu les translations à l'oeuvre. Où sont-elles ?
1) Attention, on travaille ici en degrés ! En degré, aucun nombre irrationnel, même pas π, ne permet de revenir au même endroit. 2) Quand on fait les fameuses rotations, à partir de 10:41
@@DanielBWilliams 2) Désolé, je ne les vois toujours pas. Je ne vois que la composée de rotations. Or il est impossible d'obtenir une translation en composant des rotations de même centre car il n'y a pas de point fixe dans une translation (non identité), alors qu'il y en a un avec la composée de rotations de même centre. Qu'en penses-tu?
est ce qu'a partir de deux boules, on peut n'en former qu'une seule ou pas ? car je ne vois pas comment utiliser le même procédé pour réduire deux boules à une seule :/
4'23" : l'axiome du choix est non évident dès qu'il y a une infinité de tiroirs, on a pas besoin que les tiroirs contiennent eux même une infinité de tiroirs
A 9:50 , de quoi est constitué la liste des représentants pour que tous les représentants +x couvrent tout l'intervalle [0;1] ? Sinon refuser la démonstration par l'absurde ça découle de refuser le tiers exclu et ça semble logique. Un énoncé pourrai être ni vrai ni faux s'il ne colle pas avec le reste des mathématiques ?
"de quoi est constitué la liste des représentants pour que tous les représentants +x couvrent tout l'intervalle [0;1]". C'est justement là où l'axiome du choix est nécessaire : on peut donner des éléments, mais il est impossible de dire exactement à quoi ressemble cette liste (il est même rigoureusement impossible de trouver une formule qui donnerait tous les éléments de cette "liste") "refuser la démonstration par l'absurde ça découle de refuser le tiers exclu et ça semble logique". C'est un peu plus compliqué que ça dans le détail, les logiciens étant sont des gens très à cheval sur les détails. Dans le cadre d'une théorie (=un ensemble d'axiomes) donné, un énoncé tout comme son contraire peuvent ne pas être démontrable. Il en résulte un énoncé qui ne serait ni "vrai", ni "faux" (la définition en logique de "vrai" et de "faux" est elle aussi assez compliquée à expliquer en quelque mots". J'effleure un peu cette question à la fin de ma vidéo sur l'hydre, et j'en reparlerai surement un jour si je fais une vidéo sur les théorèmes de Gödel.
Dacc merci el jj, cependant y'a des trucs que j'ai pas compris, à toi de voir si t'as la patience de me guider dans le droit chemin Est-ce que la liste des représentants est infinie ? Si oui, pourquoi ne pas directement créer une liste infinie de tous les nombres entre 0 et 1 ? Pourquoi un l'ensemble [0;1] a pour mesure 1 car ce n'est qu'un ensemble de points et les points eux n'ont pas de mesure ? Imaginons une sphère qu'on va composer d'un nombre finis de points, pourquoi la démonstration marchera pas ? Pour finir, la démonstration pour les matheux est superbe j'imagine mais y'en a-t-il vraiment besoin ? Une boule = infinité de points or infinité de point = deux boules donc une boule = deux boules d'accord mais à quoi ça sert de garder des axiomes de maths qui donnent des théorèmes pas du tout en accord avec notre réalité ?
"la liste des représentants est infinie ?" Oui. Dans le cas contraire, les "trous" dans le segment [0,1] ne suffisent pas à diminuer sa mesure. "Si oui, pourquoi ne pas directement créer une liste infinie de tous les nombres entre 0 et 1 ?" Dans cette liste de représentants, il ne faut pas qu'il y en ait deux de la même classe. A partir du moment où 1/3 est un représentant, 1/3+0.1 ne peut plus l'être. L'intervalle [0;1] est beaucoup trop grand pour être une liste de représentants. "Pourquoi un l'ensemble [0;1] a pour mesure 1 car ce n'est qu'un ensemble de points et les points eux n'ont pas de mesure ?" Tout objet géométrique est un ensemble de points. En suivant ton raisonnement, rien ne peut avoir de mesure? Et si rien ne peut avoir de mesure, c'est que ta définition de "mesure" n'est pas intéressante. En fait, on définit les mesures de façon à ce qu'un objet mathématique ait une mesure à partir d'une "densité" suffisamment "grande" de points. "Imaginons une sphère qu'on va composer d'un nombre finis de points, pourquoi la démonstration marchera pas ?" Une sphère est forcément composée d'un nombre infini de points. Sinon, ce n'est plus une sphère et, du coup, le théorème ne s'y applique pas. "à quoi ça sert de garder des axiomes de maths qui donnent des théorèmes pas du tout en accord avec notre réalité ?" Les mathématiques ne servent pas à décrire la réalité (c'est plutôt le boulot de la physique), mais plutôt à créer des outils qui permettront entre autres à la physique d'étudier cette réalité. Il se trouve que la théorie de la mesure dans lequel se place ce théorème est à la base de l'analyse fonctionelle, qui étudie entre autres les équations différentielles, au coeur de la physique !
Le théorème de Banach-Tarski s'applique dans des espaces de dimension 3 ou plus, mais pas dans le plan (dimension 2). D'où vient cette spécificité ? Existe-t'il un équivalent de ce théorème dans le plan ?
Bonjour, merci pour cette vidéo d’une qualité sans pareil, le contenu est tout simplement excellent. Cependant, j’aurais une question par rapport à l’utilisation de l’axiome du choix sur des ensembles indénombrables : Comment dresser une « liste » (9:12) de représentants d’un ensemble indénombrable puisqu’une liste est par nature dénombrable ?
Ah la la. À chaque fois que j'entends parler de l'axiome du choix je me souviens de mon prof de spé grondant "On utilise le lemme de Zooooorrrrn", à la façon "C'est le noooorrddd" de Galabru.
Superbe vidéo !
À quand la prochaine vidéo Mickaël ? 😊
+Oscar Gk Tout dépend de ce que tu désignes par le mot «loin». ;)
+Oscar Gk Bah du point de vue mathématique, l'ensemble des points entre 0 et 1 à la même taille que celui des points entre 0 et l'infini... Encore mieux, tu peux transformer de manière croissante (donc tu conserves l'ordre des machins) et continue (donc tu conserves les voisinages et trucs dans le genre, les localités si tu veux) les éléments du premier en ceux du deuxième ! Et ça c'est "gratuit" : garanti sans axiome du choix ^^
Moi c'est plus mon prof de sup qui nous dit "On va faire une Zornette" qui m'a marqué
TheMaxtimax encore une fois, cela dépend de la signification donnée au mot «taille»; mais en effet oui, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal)! 😊
Devinette : vous connaissez une bonne anagramme de Banach-Tarski ?
Réponse : Banach-Tarski Banach-Tarski.
Pas mal XD
T'as fait ma journée ! 😂😂
Devinette : Que veut dire le B de Benoît B. Mandelbrot ?
Réponse : Benoît B. Mandelbrot.
Pas maaal les gars !!
(Instant chiant : on dit "un" anagramme ;))
@@ahcensoufi9923ben non, c'est bien féminin (je viens de vérifier, parce que ça me choquait aussi).
Ce moment ou tu apprends que El Jj est prof de maths en lycée .-. PLEASE, TEACH ME ! Tu fait vraiment de bonnes vidéos c'est génial, si seulement pouvais y'en avoir encore plus c:
Bravo pour cette explication claire et détaillée. Même si tu passes plus des deux minutes annoncées à l'expliquer, ça vaut le coup. Cela dit, il est probable que Banach et Tarsky auraient sans doute démontré qu'à partir de deux minutes on pouvait confectionner un autre ensemble de deux minutes et que Hilbert nous invitant dans son hôtel aurait facilement étendu tes deux minutes à une infinité....Conclusion, tu as réussi la prouesse inverse de réduire l'infini à 20 minutes....et ça , c'est pas rien!
Très bon commentaire
J'ai une question sur les paradoxes en générale ? que devient le paradoxe de Langevin appliqué au déficit de la france ? Est-ce que si on envoie les banques dans l'espace et qu'elles reviennent on a des taux défiant toute concurrence ?
Marrant j'avais fait le même commentaire ^^
@@philippepetit4008 J'ai entendu parler d'un basilic qui m'a autant pourri ma destinée
J'éprouve toujours la même satisfaction en re-regardant tes vidéos.
En la découpant en 5 et en la recombinant en 2 vidéos c'est pas mal non plus 🤤
quel est l'anagramme de Banach-Tarski?
c'est Banach-Tarski Banach-Tarski!
lol ...
XD
Elle est bonne, je la conaissais pas ^^
J’ai pas compris ...
Frank Danielou regarde la video.
On se sent presque intelligent, et on se prend même à croire qu'on a tout compris en regardant les VDO d'El Jj (enfin, à condition de regarder les VDO dans l'ordre). C'est vraiment ça l'art de la vulgarisation scientifique. Bravo, et merci :-)
Superbement expliqué ! Faut toujours faire pause assez souvent, mais moins que d'habitude.
Vos vidéos sont comme le gâteau de Jupiter : on n'en mange que rarement, mais on apprécie toujours !
Bon, c'est de la vulgarisation, mais il faut au moins un bon niveau de taupe pour comprendre. J'ai cette chance et merci beaucoup, j'avais entendu parler du paradoxe de Banach-Tarski mais enfin aujourd'hui je comprends de quoi il s'agit (enfin j'ai compris en gros, il faudrait que je passe un peu de temps pour les détails). Superbe boulot en tout cas. Les dessins en particulier sont top.
@@csanad28 mdr
Ça dépend
Quelque chose de compliqué expliqué simplement. Géniale comme toujours :)
L'inverse est toujours possible....
En fait, je t'encourage à faire des vidéos de 20 minutes et même plus. Mon niveau en maths (L2) fait que j'y passe une heure avec plaisir en faisant pause de temps en temps et j'y reviens plusieurs fois.
Merci pour tout
Les vrais se souviennent quand les vidéos faisaient vraiment 2 minutes
ca doit faire vraiment longtemps alors xD
Pas pour moi j'etais oblige de faire pause toutes les 2s et la juste pour les definitions xD
La !
Ha super j’hésitais à le faire celui la, ba maintenant je n’hésite plus c'est déjà très bien fait ici :p
C'est toujours avec plaisir que je retrouve tes vidéos fascinantes qui me donnent envie de retourner en prépa. :D Continue comme ça !!!
superbe video je te remercie du fond de mon coeur, je n'avais jamais osé touché a ce théorème mais grace a vous je connais le principe, grand merci encore !!!
Excellent travail, les 20 minutes sont passés à une vitesse phénoménale et j'ai adoré cette vidéo ! Vivement la prochaine !
Je vais directement commander une glace à 2 boules, ce sera plus simple !!
(sinon super video :) )
Excellent ! heureux de toujours découvrir de nouvelles choses avec cette chaîne !
J'adore tellement tes vidéos, à chaque fois j'ai envie de mettre un énorme cœur plutôt qu'un pouce !
Ils sont formidables ces matheux quand même 😊
Je suis vraiment épaté par vos qualités pédagogiques !
Merci 😊
deux minute deux minute, la vache, j'ai du regarder la vidéo 2-3 fois pour "comprendre", en tout cas c'est super intéressant. continue comme ça !
Excellente vidéo! Peut être même une de tes meilleures! Technique mais compréhensible, bravo ;) Surtout gros pouce bleu pour avoir réussi à condenser tout ça en 20 min
J'avais beaucoup aimé la vidéo de Vsauce sur le sujet, mais j'ai apprécié d'avoir ici droit à une explication plus claire du théorème. Après c'est très sympa parce que je trouve vos deux vidéos très complémentaires. Merci pour tout ce travail !
Enfin un nouvel épisode! :)
Super boulot. La présentation est plus formelle que d'habitude, continue comme ça
tjrs un vrai plaisir d'avoir une nouvelle vidéo de toi. le chemin est un peu compliqué mais la balade est belle ^^
Enooooooooooooorme ! C'est rapide, entraînant, détaillé et très compréhensible ! Un orgasme pour tout matheux boulimique comme moi
Et merci pour la FAQ sur le blog.
(en particulier le dernier point !)
Remarquablement expliqué (comme d'hab !), comme ça va vite il est sage de revoir la vidéo en s'arrêtant de temps en temps ! (comme pour Conway ou pour la triangulation des polygones)
Waw je trouve ça passionnant de t'écouter parler de mathématiques, continue comme ça !
Ohhh j’adore les paradoxes ! Merci pour cette passionnante et excellente vidéo !
Chapeau ! vous avez été clair, vos explications sont claires comme l'eau de roche.
vraiment cool, ce théorème
Passionnant, bravo, vraiment.
J'ai peut-être même compris :-p
Et j'aime bien le ton plus libre (bonbons, choix déterminant de la couleur de la sphère, côté obscur, partir en vrille).
Pas de problème pour le -léger- débordement au-delà des deux minutes.
Vitesse de la voix OK aussi pour moi, mais pause nécessaire pour lire les textes détaillés. C'est très bien comme ça.
Merci pour ce boulot ; parce que dire sur un ton léger "j'ai deux minutes pour en parler" ne cache pas l'énorme travail de conception et de réalisation.
Donc, merci !
J'adore ce que tu fais c'est juste magnifique !! J'avais jamais compris ce théorème bien que maintenant ceil y ait toujours quelques petites zones d'ombre ça va beaucoup mieux :)
Mon problème le jour de l'agrèg...j'avais rien pipé!
Merci El Jj pour cet excellent exposé!
Super vidéo, comme d'habitude !
3:44 un théorème vraiment cool
Super. J'ai enfin compris la problématique de l'axiome du choix. En fait cette vidéo m’intéresse plus pour comprendre pourquoi l'axiome du choix pose problème que pour le sujet lui même.
J'adore ta manière de présenter l'action de groupe paradoxale
Je comprends pas l'équation √2= (1, 2/3, 7/5, 17/12) qui est mentionnée vers 3:30
Qqun peut m'expliquer ? Merci 😊✌
C'est une suite de nombres rationnels qui se rapproche de plus en plus de √2. C'est une façon de définir ce nombre. Ainsi, π sera aussi défini comme une suite de nombres rationnels qui se rapproche de plus en plus de π.
@@DanielBWilliams La fameuse densité des nombres rationnels sur R qui dit que pour tout réel x , il existe une suite de nombre rationnel qui converge vers x.
Très bien foutue cette vidéo, car le sujet est vachement difficile à vulgariser. Bravo!
Regarder la vidéo au Lycée ne pas comprendre, revenir 4 ans plus tard et comprendre, quel bonheur !
si j'ai bien compris, on peut pas dupliquer le gateau sauf si on le coupe avec une aiguille et beaucoup de temps, c'est bien ca ?
C'est bien ça, mais le temps en question doit être infini !
Et qu'il n'y ait pas de physicien un peu aigris dans les parages pour te brûler en place publique au nom du sacro saint sens physique.
bon beh c'est parti alors: recrute une infinité de personnes motivées à sacrifier leur vies et celles de leur déscendant pour faire un gateau rond, le couper avec une aiguille et maintenir les physicien loin du gateau, merci d'avance pour vos réponses.
+MrMopi5000 non, pas une une infinité, juste une poignée suffit sur un temps infini... ou sinon, tu peux demander à un nombre infini de personnes de le faire et ça se passera instantanément, à condition que tout le monde puisse y accéder en même temps (bon, aussi que t'arrive à diviser la matière un nombre de fois infini)
Après dans un gâteau il n’y a qu’un nombre fini d’atomes du coup...
Merci pour cette vidéo qui est remarquable !
Merci pour cette explication !
J'avais entendu parler de ce théorème en sup, mais je ne m'y étais jamais penché.
Bonjour,
@ElJj Je me posais la question de la provenance de la casquette visible au minutage 4:13. S'agit-il d'une casquette de société d'étudiant?
Superbe video, merci à toi j'espère te voir ici pour longtemps :p
Merci :)
Du super boulot comme d'habitude
Moi j'ai rien compris à partir du moment ou il parle de rotations (en même temps, il est 00:20, et après quelques bières, ça aide pas !
le jambon c'est très bon! ardu l'épisode, mais toujours bien expliqué comme toujours.
Super épisode ! chapeau !
merci pour cette vidéo
il faut quand même avoir une imagination hors norme pour mettre au point un tel protocole
Magnifique explication. A mentionner toute fois que sans l'axiome de choix les maths modernes (en particulier l'analyse) ne vaudraient pratiquement rien. Sans l'axiome de choix, on a pas le fameux théorème de Hahn-Banach, qui est le fondement même de l'analyse fonctionnelle "Banachique": Theorème de Krein-Milman, la topologie faible, l'existence de Bases Hilbertienne dans des espaces de Hilbert non séparables...etc. Par conséquent, l'application des ces notions aux EDP serait remise en question. On aurait pas non plus le théorème de Tychonov sur le produit des compacts ce qui nous ramènerait à l'Age de pierre. Et là je ne parle pas des théorèmes classiques tels que le théorème de Cantor-Bernstein (sa preuve utilise l'axiome de choix), l'existence d'ensembles et de fonctions non-mesurables (remarquablement expliqué dans la vidéo), l'existence de supplémentaires d'un sous-espace vectoriel...
Cantor-Bernstein peut se démontrer sans l'axiome du choix. 😉
A 13:32, quand on fait tourner les ensembles (par exemple l'ensemble 1 dans la direction S), on voit bien qu'on arrive à former un ensemble qui contient des points de tous les ensembles sauf celui qui correspond au sens dans lequel on a tourné (1, 3, 4, 5). mais qu'est-ce qui permet d'affirmer que cet ensemble contient TOUS les points de ces 4 autres ensembles ?
Il y a pas mal d'implications philosophiques dans cet axiome du choix.
J'aime bien.
Explorer Kurt Goedel et son incomplétude me semble de mise après cela ^^
@El Jj 19:21 Le nombre de commentaires possibles est-il l'infini dénombrable ou bien l'infini du continu ? ;)
Merci, superbe vidéo. Il me semble qu’en 14:27 il y a une petite erreur. Un point « NN » (et d’autres séquences de NNN…) apparaît dans la liste en 3e position de l’ensemble « 1+S », ce qui n’est pas possible. Ce n’est que cosmétique…
Tiens à 10:41, voilà qu'apparait un bonbon RATTATA.
Est-ce un hasard?
Je ne crois pas...
"Pour cela, on va faire un petit tour de passe-passe façon hôtel de Hilbert!!!" El Jj 2016, dit le grand manie-tout!!! nah je rigole super vidéo même si j'ai décrocher sur 2 ou 3 détails.
Super ! Tu es vachement plus convaincant que VSauce :)
Vsauce a quand même passé beaucoup de temps sur la théorie des ensembles de base, ce qui est un désavantage. Jj a déjà traité de ces sujets dans l'autres vidéos (comme l'hôtel de Hilbert)
J'ai du mal à imaginer comment on peut être meilleur que Vsauce, mais je prend ça comme un énorme compliment ! :)
+El Jj J'allais justement te le dire !
J'allais dire justement la même chose et je le pense sincèrement.
En toute objectivité, VSauce a zappé l'axiome du choix qui est à mon sens central dans ce théorème.
Je n'aurai imaginé que cet axiome puisse avoir de telles conséquences.
+El Jj à cause de tes 42 (j"ai perdu) j"ai perdu plein de fois et toi aussi
J'ai liké parce que comme d'habitude c'est vraiment super bien fait et j'attends toujours la prochaine avec avidité mais cette fois-ci j'ai pas entravé grand chose :p
On ne peut pas simplement voir le paradoxe de l'axiome du choix comme la limitation de notre intuition (et des objets matériels) aux ensembles discrets ?
Simplement parfait (pour autant que je sache: je ne connais pas la démonstration mathématique du théorème: oui j'ai pas fait d'étude de math après la spé en prépa intégré)
Très bien expliqué ! Beau boulot :)
Personnellement, je trouve cette vidéo bien plus claire que la vidéo de VSauce que plusieurs d'entre vous disent avoir appréciée. Ici au moins les difficultés sont moins éludées. Bravo pour ce super travail.
Question au passage: quel logiciel utilises-tu pour tes anims?
Dans la démonstration à 9:48 , de quelle mesure est-il question ? Si mu est la mesure de comptage (on compte le nombre d'élément de l'ensemble), alors V à une mesure infini, mais [-1;2] aussi puis qu'il y a une infinité non dénombrable d'élément contenue dans un segment "continue". Et si mu est la mesure de Lebesgue (longueur d'un segment), alors V est de mesure nulle puisque c'est une union de singleton.. Quelqu'un pourrait m'expliquer où je coince ?
Il s'agit d'une mesure de Lebesgue. V est une réunion de singletons, mais pas une réunion dénombrable. Donc on ne peut pas conclure comme ça.
Si quelqu'un peut m'expliquer, je ne comprends pas pourquoi à 7:53 de la vidéo il dit que les autres nombres (donc non decimaux) ne peuvent pas être dénombrable ?
Parce que même si les décimales sont infinies, il y en a toujours un plus grand ou petit qu'un autre donc tu peux forcément les lister... 🤔
@@teteloomSalut
Ce que tu dis est vrai uniquement pour les rationnels
Ici quand il parle d'une infinité de chiffres derrière la virgule il parle en réalité des irrationnels, qui est un ensemble infini non dénombrable ;
@@Matt_ctn Je te remercie pour ta réponse :)
Si vous voulez , je crois que la théorie des ensembles de Georges Cantor peut aider a se faire une idée de comment 2 infinis peuvent être différents
Super vidéo. Ces mecs ont inventés le troll mathématique :). Petit typo à 9:18 -> Parmi de qu'il reste. A bientôt !
Pour que tout ça paraisse un peu moins paradoxal on a qu'à se dire que ça marche pour des objets mathématiques ''continues'' qui ne possèdent pas réellement de briques élémentaires puisque les points n'ont pas de mesure. Ceci est donc par essence différent de notre monde physique à partir duquel nous forgeons notre intuition et, qui, jusqu'à preuve du contraire est construit à partir de particules élémentaires et non pas de points mathématiques...
Mais j ai une question avec ces 2 boules est-ce qu’on peut faire deux autres boules etc...
L'axiome du choix est souvent utilisé en analyse fonctionnelle qui traite d'espaces de Banach ou de Hilbert de dimension infinie, serait-il possible de faire quelque chose dans ce domaine là sans cet axiome ? Par exemple de démontrer le théorème de l'hyperplan sans l'aide du choix ?
C'est surtout contre-intuitif parce que l'intervalle mathématique est découpable à l'infini, ce qui n'est pas le cas de l'espace physique ... Quand on a admis ça, ça semble moins aberrant (quoique).
Je n'en parle pas dans la vidéo, mais on retrouve l'axiome du choix pour prouver que tout espace vectoriel admet bien une base. Autrement dit, l'analyse fonctionelle repose en très grande partie sur cet axiome ! Je ne connais pas bien le théorème de Hahn-Banach (théorème de l'hyperplan), donc je ne saurais dire à quel point on peut sans passer (Wikipédia à l'air de dire que le lemme des ultrafiltres est suffisant, mais je n'en sais pas plus)
Oh, je vais me renseigner sur ces ultrafiltres, merci bien !
je pense qu'il existe une preuve directe du théorème de Hahn-Banach géométrique dans le cas des espaces normée sans utiliser l'axiom du choix en particulier le théorème d'hyperplan et vrai sans ZFC, mais pour le cas analytique (le théorème de prolongement) le plus important au fait pour l'analyse fonctionnelle il n'existe pas, mais je sais bien qu'ils ont bien voulu démontrer qu'il ne peut être démontrer sans le lemme de zorn , mais ca reste ouvert.
Et pour montrer qu'un espace vectoriel de dimension finie admet une base il faut aussi l'axiome du choix ?
non la preuve est direct dans ce cas
Trop intéressant merci beaucoup !
Je comprends enfin mieux pourquoi je ne comprenais pas ce théorème.
Merci pour cette explication.
Après perso si ça me permet dans la vraie vie d'avoir d'avoir 2 boules de glace à partir d'une seule, je me dis que c'est la que se limite les maths.
Pet--tu devenir mon prof de maths, c'est fou comment t peux expliquer clairement!
Merci !
j'comprends enfin ( un peu ) l'axiome du choix !
Un vieux numéro de "pour la science" (Avril 1991??) s'appuyait sur ce paradoxe en déclarant que des scientifiques avaient réussi à découper une vraie boule et de gagner de la matière, qu'ils l'avaient appliqué sur une boule en or et que ça marchait très bien, d'ailleurs le cours de l'or baissait régulièrement à l'époque pour cette raison ;-) . l'article était très bien fait, expliquait très bien le paradoxe et alternait sérieux et canular assez subtilement :)
5:02 ou alors on peut toujours prendre la chaussette quil y a à gauche ou en bas si yen a pas a gauche par exemple
A 0:37, vous dites que "la décomposition ne fait intervenir que des isométries, c'est-à-dire des déplacements et des rotations". Mais une rotation est un déplacement.
non, un déplacement est en fait ici une translation
17:19 pourquoi l'ensemble infini et ce cercle ? Sans l'ensemble infini, avec simplement le 1er point, on comble le trou avec la rotation de -sqrt(200), non ?
Alors déjà super vidéo, c'est toujours un plaisir de t'écouter :) (tu félicitera aussi ta copine, sa vidéo est complémentaire et très bonne aussi :p)
Pour ce qui est du fait que le découpage soit contre intuitif, si on rappelle que la réalité est composé d'atome (et non pas d'espace plein), on voit bien que ce théorème s'applique uniquement a des objets théoriques, non ?
Ce n'est pas vraiment un axiome qui "divise" les mathématiciens, cette discussion se limite aux logiciens car les autres l'utilisent. C'est juste qu'on préfère pouvoir exhiber l'objet mais on se contentera largement de l'existence dans les autres cas.
Merci beaucoup pour ces explications précieuses. Un point que je ne suis pas sûr de comprendre, le point fixe, évoqué : 17:25. Pouvez-vous expliquer géométriquement que la rotation N suivie de la rotation O ramène au point A car je n'arrive pas à m'en convaincre ?
En effet voici ce que j'obtiens en calculant la position finale en coordonnées cartésiennes après ces déplacements sur la sphère :
On considère un point de coordonnées cartésiennes initiales (x0, y0, z0)
Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques se fait par:
x = cos(φ)cos(θ)
y = cos(φ)sin(θ)
z = sin(φ)
Après le déplacement α vers l'ouest, les nouvelles coordonnées sphériques sont (θ1, φ1) avec :
θ1 = θ0 - α
φ1 = φ0
D'où les nouvelles coordonnées cartésiennes (x1, y1, z1):
x1 = cos(φ1)cos(θ1) = cos(φ0)cos(θ0 - α)
y1 = cos(φ1)sin(θ1) = cos(φ0)sin(θ0 - α)
z1 = sin(φ1) = sin(φ0)
Puis après le déplacement α vers le nord, les coordonnées sphériques finales sont (θ2, φ2) avec:
θ2 = θ1
φ2 = φ1 + α
Les coordonnées cartésiennes finales (x2, y2, z2) sont donc:
x2 = cos(φ2)cos(θ2) = cos(φ0 + α)cos(θ0 - α)
y2 = cos(φ2)sin(θ2) = cos(φ0 + α)sin(θ0 - α)
z2 = sin(φ2) = sin(φ0 + α)
On retrouve bien que (x2, y2, z2) ≠ (x0, y0, z0), le point n'est pas revenu à sa position initiale.
Où est mon erreur ?
Très bonne vidéo, merci.
@El Jj Deux petites questions :
11:22 "Cela marcherait tout aussi bien en prenant n'importe quel autre nombre irrationnel" Dans la vidéo, on peut avoir l'impression qu'avec n'importe quel irrationnel, il est impossible de revenir au même endroit. Pourtant, pi est irrationnel, or avec un angle de pi rad, tu peux revenir au même endroit en faisant un nombre pair de fois. Mais avec un angle de pi degré, c'est à dire pi^2/180 rad que ce passe-t-il ? Bref, est-ce tu veux dire qu'il existe certains irrationnels qui ne permettent pas de revenir au même endroit ?
0:42 Je n'ai pas vu les translations à l'oeuvre. Où sont-elles ?
1) Attention, on travaille ici en degrés ! En degré, aucun nombre irrationnel, même pas π, ne permet de revenir au même endroit.
2) Quand on fait les fameuses rotations, à partir de 10:41
@@DanielBWilliams 2) Désolé, je ne les vois toujours pas. Je ne vois que la composée de rotations. Or il est impossible d'obtenir une translation en composant des rotations de même centre car il n'y a pas de point fixe dans une translation (non identité), alors qu'il y en a un avec la composée de rotations de même centre. Qu'en penses-tu?
Quel est l'anagramme de Banach Tarski ? Banach Tarski Banach Tarski.
Sinon peut-être l'une de tes meilleures vidéos !
Là ca deviens un chouia trop complexe pour mon cerveau
A 14:27 y a pas une erreur ? Dans l’ensemble 1’ il ne devrait pas y avoir NN ou NNN à mon avis
Très bonne vidéo. Continue ;)
Oh super ! Moi qui avait du regarder la vidéo de VSauce 3 fois pour comprendre cette histoire ...
est ce qu'a partir de deux boules, on peut n'en former qu'une seule ou pas ? car je ne vois pas comment utiliser le même procédé pour réduire deux boules à une seule :/
Trop bien ! Ça me rappelle la fac, quand je faisais des VRAIES maths...
4'23" : l'axiome du choix est non évident dès qu'il y a une infinité de tiroirs, on a pas besoin que les tiroirs contiennent eux même une infinité de tiroirs
A 9:50 , de quoi est constitué la liste des représentants pour que tous les représentants +x couvrent tout l'intervalle [0;1] ?
Sinon refuser la démonstration par l'absurde ça découle de refuser le tiers exclu et ça semble logique.
Un énoncé pourrai être ni vrai ni faux s'il ne colle pas avec le reste des mathématiques ?
"de quoi est constitué la liste des représentants pour que tous les représentants +x couvrent tout l'intervalle [0;1]". C'est justement là où l'axiome du choix est nécessaire : on peut donner des éléments, mais il est impossible de dire exactement à quoi ressemble cette liste (il est même rigoureusement impossible de trouver une formule qui donnerait tous les éléments de cette "liste")
"refuser la démonstration par l'absurde ça découle de refuser le tiers exclu et ça semble logique". C'est un peu plus compliqué que ça dans le détail, les logiciens étant sont des gens très à cheval sur les détails. Dans le cadre d'une théorie (=un ensemble d'axiomes) donné, un énoncé tout comme son contraire peuvent ne pas être démontrable. Il en résulte un énoncé qui ne serait ni "vrai", ni "faux" (la définition en logique de "vrai" et de "faux" est elle aussi assez compliquée à expliquer en quelque mots". J'effleure un peu cette question à la fin de ma vidéo sur l'hydre, et j'en reparlerai surement un jour si je fais une vidéo sur les théorèmes de Gödel.
Dacc merci el jj, cependant y'a des trucs que j'ai pas compris, à toi de voir si t'as la patience de me guider dans le droit chemin
Est-ce que la liste des représentants est infinie ?
Si oui, pourquoi ne pas directement créer une liste infinie de tous les nombres entre 0 et 1 ?
Pourquoi un l'ensemble [0;1] a pour mesure 1 car ce n'est qu'un ensemble de points et les points eux n'ont pas de mesure ?
Imaginons une sphère qu'on va composer d'un nombre finis de points, pourquoi la démonstration marchera pas ?
Pour finir, la démonstration pour les matheux est superbe j'imagine mais y'en a-t-il vraiment besoin ? Une boule = infinité de points or infinité de point = deux boules donc une boule = deux boules d'accord mais à quoi ça sert de garder des axiomes de maths qui donnent des théorèmes pas du tout en accord avec notre réalité ?
"la liste des représentants est infinie ?"
Oui. Dans le cas contraire, les "trous" dans le segment [0,1] ne suffisent pas à diminuer sa mesure.
"Si oui, pourquoi ne pas directement créer une liste infinie de tous les nombres entre 0 et 1 ?"
Dans cette liste de représentants, il ne faut pas qu'il y en ait deux de la même classe. A partir du moment où 1/3 est un représentant, 1/3+0.1 ne peut plus l'être. L'intervalle [0;1] est beaucoup trop grand pour être une liste de représentants.
"Pourquoi un l'ensemble [0;1] a pour mesure 1 car ce n'est qu'un ensemble de points et les points eux n'ont pas de mesure ?"
Tout objet géométrique est un ensemble de points. En suivant ton raisonnement, rien ne peut avoir de mesure? Et si rien ne peut avoir de mesure, c'est que ta définition de "mesure" n'est pas intéressante. En fait, on définit les mesures de façon à ce qu'un objet mathématique ait une mesure à partir d'une "densité" suffisamment "grande" de points.
"Imaginons une sphère qu'on va composer d'un nombre finis de points, pourquoi la démonstration marchera pas ?"
Une sphère est forcément composée d'un nombre infini de points. Sinon, ce n'est plus une sphère et, du coup, le théorème ne s'y applique pas.
"à quoi ça sert de garder des axiomes de maths qui donnent des théorèmes pas du tout en accord avec notre réalité ?"
Les mathématiques ne servent pas à décrire la réalité (c'est plutôt le boulot de la physique), mais plutôt à créer des outils qui permettront entre autres à la physique d'étudier cette réalité. Il se trouve que la théorie de la mesure dans lequel se place ce théorème est à la base de l'analyse fonctionelle, qui étudie entre autres les équations différentielles, au coeur de la physique !
"ça tombe bien j'ai 20 minutes pour en parler"
Super vidéo !
Le théorème de Banach-Tarski s'applique dans des espaces de dimension 3 ou plus, mais pas dans le plan (dimension 2). D'où vient cette spécificité ? Existe-t'il un équivalent de ce théorème dans le plan ?
Bonjour ! Je ne comprends pas en quoi les classes d'équivalence de 1/3 et autres sont dénombrables ? Comment les dénombre-t-on ?
Bonjour, merci pour cette vidéo d’une qualité sans pareil, le contenu est tout simplement excellent.
Cependant, j’aurais une question par rapport à l’utilisation de l’axiome du choix sur des ensembles indénombrables :
Comment dresser une « liste » (9:12) de représentants d’un ensemble indénombrable puisqu’une liste est par nature dénombrable ?
super vidéo, bravo !
Brillant et imparable