Deux (deux ?) minutes pour... Le théorème de Banach-Tarski
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- Опубликовано: 22 авг 2016
- Il est possible de dédoubler une boule juste en la découpant en morceaux. Ce n'est pas moi qui le prétend, c'est Banach et Tarski !
Si vous trouvez les deux minutes trop longues, essayez la version courte ! • Deux (deux !) minutes ...
Cette vidéo ressemble sur pas mal de points à celle de Vsauce sur le même sujet ( • The Banach-Tarski Paradox ), puisque ça reste malgré tout le même théorème, et donc, la même démonstration. J'ai malgré tout privilégié l'approche par l'axiome du choix plutôt que par celle des paradoxes de l'infini.
Transcription + commentaires + bibliographie sur mon blog : eljjdx.canalblog.com/archives/...
Choux Roman&co : eljjdx.canalblog.com/
Musiques : TAM • Tam - The dock of Memo... 
Наука
Devinette : vous connaissez une bonne anagramme de Banach-Tarski ?
Réponse : Banach-Tarski Banach-Tarski.
Pas mal XD
T'as fait ma journée ! 😂😂
Devinette : Que veut dire le B de Benoît B. Mandelbrot ?
Réponse : Benoît B. Mandelbrot.
Pas maaal les gars !!
(Instant chiant : on dit "un" anagramme ;))
@@ahcensoufi9923ben non, c'est bien féminin (je viens de vérifier, parce que ça me choquait aussi).
Ah la la. À chaque fois que j'entends parler de l'axiome du choix je me souviens de mon prof de spé grondant "On utilise le lemme de Zooooorrrrn", à la façon "C'est le noooorrddd" de Galabru.
Superbe vidéo !
À quand la prochaine vidéo Mickaël ? 😊
+Oscar Gk Tout dépend de ce que tu désignes par le mot «loin». ;)
+Oscar Gk Bah du point de vue mathématique, l'ensemble des points entre 0 et 1 à la même taille que celui des points entre 0 et l'infini... Encore mieux, tu peux transformer de manière croissante (donc tu conserves l'ordre des machins) et continue (donc tu conserves les voisinages et trucs dans le genre, les localités si tu veux) les éléments du premier en ceux du deuxième ! Et ça c'est "gratuit" : garanti sans axiome du choix ^^
Moi c'est plus mon prof de sup qui nous dit "On va faire une Zornette" qui m'a marqué
TheMaxtimax encore une fois, cela dépend de la signification donnée au mot «taille»; mais en effet oui, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal)! 😊
quel est l'anagramme de Banach-Tarski?
c'est Banach-Tarski Banach-Tarski!
lol ...
XD
Elle est bonne, je la conaissais pas ^^
J’ai pas compris ...
Frank Danielou regarde la video.
Bravo pour cette explication claire et détaillée. Même si tu passes plus des deux minutes annoncées à l'expliquer, ça vaut le coup. Cela dit, il est probable que Banach et Tarsky auraient sans doute démontré qu'à partir de deux minutes on pouvait confectionner un autre ensemble de deux minutes et que Hilbert nous invitant dans son hôtel aurait facilement étendu tes deux minutes à une infinité....Conclusion, tu as réussi la prouesse inverse de réduire l'infini à 20 minutes....et ça , c'est pas rien!
Très bon commentaire
J'ai une question sur les paradoxes en générale ? que devient le paradoxe de Langevin appliqué au déficit de la france ? Est-ce que si on envoie les banques dans l'espace et qu'elles reviennent on a des taux défiant toute concurrence ?
Marrant j'avais fait le même commentaire ^^
J'éprouve toujours la même satisfaction en re-regardant tes vidéos.
Ce moment ou tu apprends que El Jj est prof de maths en lycée .-. PLEASE, TEACH ME ! Tu fait vraiment de bonnes vidéos c'est génial, si seulement pouvais y'en avoir encore plus c:
Les vrais se souviennent quand les vidéos faisaient vraiment 2 minutes
ca doit faire vraiment longtemps alors xD
Pas pour moi j'etais oblige de faire pause toutes les 2s et la juste pour les definitions xD
La !
Bon, c'est de la vulgarisation, mais il faut au moins un bon niveau de taupe pour comprendre. J'ai cette chance et merci beaucoup, j'avais entendu parler du paradoxe de Banach-Tarski mais enfin aujourd'hui je comprends de quoi il s'agit (enfin j'ai compris en gros, il faudrait que je passe un peu de temps pour les détails). Superbe boulot en tout cas. Les dessins en particulier sont top.
@@csanad28 mdr
Ça dépend
Enfin un nouvel épisode! :)
Super boulot. La présentation est plus formelle que d'habitude, continue comme ça
C'est toujours avec plaisir que je retrouve tes vidéos fascinantes qui me donnent envie de retourner en prépa. :D Continue comme ça !!!
Excellent ! heureux de toujours découvrir de nouvelles choses avec cette chaîne !
J'adore tellement tes vidéos, à chaque fois j'ai envie de mettre un énorme cœur plutôt qu'un pouce !
Ils sont formidables ces matheux quand même 😊
Ha super j’hésitais à le faire celui la, ba maintenant je n’hésite plus c'est déjà très bien fait ici :p
Excellent travail, les 20 minutes sont passés à une vitesse phénoménale et j'ai adoré cette vidéo ! Vivement la prochaine !
Excellente vidéo! Peut être même une de tes meilleures! Technique mais compréhensible, bravo ;) Surtout gros pouce bleu pour avoir réussi à condenser tout ça en 20 min
tjrs un vrai plaisir d'avoir une nouvelle vidéo de toi. le chemin est un peu compliqué mais la balade est belle ^^
Quelque chose de compliqué expliqué simplement. Géniale comme toujours :)
L'inverse est toujours possible....
Ohhh j’adore les paradoxes ! Merci pour cette passionnante et excellente vidéo !
Superbement expliqué ! Faut toujours faire pause assez souvent, mais moins que d'habitude.
Vos vidéos sont comme le gâteau de Jupiter : on n'en mange que rarement, mais on apprécie toujours !
Super vidéo, comme d'habitude !
Et merci pour la FAQ sur le blog.
(en particulier le dernier point !)
Je vais directement commander une glace à 2 boules, ce sera plus simple !!
(sinon super video :) )
Superbe video, merci à toi j'espère te voir ici pour longtemps :p
Waw je trouve ça passionnant de t'écouter parler de mathématiques, continue comme ça !
Je suis vraiment épaté par vos qualités pédagogiques !
Merci 😊
superbe video je te remercie du fond de mon coeur, je n'avais jamais osé touché a ce théorème mais grace a vous je connais le principe, grand merci encore !!!
Merci :)
Du super boulot comme d'habitude
J'adore ce que tu fais c'est juste magnifique !! J'avais jamais compris ce théorème bien que maintenant ceil y ait toujours quelques petites zones d'ombre ça va beaucoup mieux :)
Super épisode ! chapeau !
On se sent presque intelligent, et on se prend même à croire qu'on a tout compris en regardant les VDO d'El Jj (enfin, à condition de regarder les VDO dans l'ordre). C'est vraiment ça l'art de la vulgarisation scientifique. Bravo, et merci :-)
Chapeau ! vous avez été clair, vos explications sont claires comme l'eau de roche.
Merci pour cette vidéo qui est remarquable !
Très bien expliqué ! Beau boulot :)
Tiens à 10:41, voilà qu'apparait un bonbon RATTATA.
Est-ce un hasard?
Je ne crois pas...
Remarquablement expliqué (comme d'hab !), comme ça va vite il est sage de revoir la vidéo en s'arrêtant de temps en temps ! (comme pour Conway ou pour la triangulation des polygones)
deux minute deux minute, la vache, j'ai du regarder la vidéo 2-3 fois pour "comprendre", en tout cas c'est super intéressant. continue comme ça !
En fait, je t'encourage à faire des vidéos de 20 minutes et même plus. Mon niveau en maths (L2) fait que j'y passe une heure avec plaisir en faisant pause de temps en temps et j'y reviens plusieurs fois.
Merci pour tout
J'avais beaucoup aimé la vidéo de Vsauce sur le sujet, mais j'ai apprécié d'avoir ici droit à une explication plus claire du théorème. Après c'est très sympa parce que je trouve vos deux vidéos très complémentaires. Merci pour tout ce travail !
Super vidéo!
J'ai liké parce que comme d'habitude c'est vraiment super bien fait et j'attends toujours la prochaine avec avidité mais cette fois-ci j'ai pas entravé grand chose :p
Très bonne vidéo. Continue ;)
super vidéo, bravo !
Ne serait-il pas plus sage, alors, de limiter l’usage de l’axiome du choix, par exemple, aux ensembles dénombrables ?
le jambon c'est très bon! ardu l'épisode, mais toujours bien expliqué comme toujours.
Enooooooooooooorme ! C'est rapide, entraînant, détaillé et très compréhensible ! Un orgasme pour tout matheux boulimique comme moi
Merci !
j'comprends enfin ( un peu ) l'axiome du choix !
Merci pour cette explication !
J'avais entendu parler de ce théorème en sup, mais je ne m'y étais jamais penché.
Ce n'est pas vraiment un axiome qui "divise" les mathématiciens, cette discussion se limite aux logiciens car les autres l'utilisent. C'est juste qu'on préfère pouvoir exhiber l'objet mais on se contentera largement de l'existence dans les autres cas.
Alors déjà super vidéo, c'est toujours un plaisir de t'écouter :) (tu félicitera aussi ta copine, sa vidéo est complémentaire et très bonne aussi :p)
Pour ce qui est du fait que le découpage soit contre intuitif, si on rappelle que la réalité est composé d'atome (et non pas d'espace plein), on voit bien que ce théorème s'applique uniquement a des objets théoriques, non ?
J'adore ta manière de présenter l'action de groupe paradoxale
Mon problème le jour de l'agrèg...j'avais rien pipé!
Merci El Jj pour cet excellent exposé!
A 13:32, quand on fait tourner les ensembles (par exemple l'ensemble 1 dans la direction S), on voit bien qu'on arrive à former un ensemble qui contient des points de tous les ensembles sauf celui qui correspond au sens dans lequel on a tourné (1, 3, 4, 5). mais qu'est-ce qui permet d'affirmer que cet ensemble contient TOUS les points de ces 4 autres ensembles ?
Passionnant, bravo, vraiment.
J'ai peut-être même compris :-p
Et j'aime bien le ton plus libre (bonbons, choix déterminant de la couleur de la sphère, côté obscur, partir en vrille).
Pas de problème pour le -léger- débordement au-delà des deux minutes.
Vitesse de la voix OK aussi pour moi, mais pause nécessaire pour lire les textes détaillés. C'est très bien comme ça.
Merci pour ce boulot ; parce que dire sur un ton léger "j'ai deux minutes pour en parler" ne cache pas l'énorme travail de conception et de réalisation.
Donc, merci !
Super vidéo. Ces mecs ont inventés le troll mathématique :). Petit typo à 9:18 -> Parmi de qu'il reste. A bientôt !
Personnellement, je trouve cette vidéo bien plus claire que la vidéo de VSauce que plusieurs d'entre vous disent avoir appréciée. Ici au moins les difficultés sont moins éludées. Bravo pour ce super travail.
Question au passage: quel logiciel utilises-tu pour tes anims?
Très bonne vidéo, merci.
On ne peut pas simplement voir le paradoxe de l'axiome du choix comme la limitation de notre intuition (et des objets matériels) aux ensembles discrets ?
17:19 pourquoi l'ensemble infini et ce cercle ? Sans l'ensemble infini, avec simplement le 1er point, on comble le trou avec la rotation de -sqrt(200), non ?
Super vidéo comme d'habitude 😉 j'aimerais bien savoir quelles études tu as fait 😁
Très bien foutue cette vidéo, car le sujet est vachement difficile à vulgariser. Bravo!
Trop intéressant merci beaucoup !
"Pour cela, on va faire un petit tour de passe-passe façon hôtel de Hilbert!!!" El Jj 2016, dit le grand manie-tout!!! nah je rigole super vidéo même si j'ai décrocher sur 2 ou 3 détails.
Excellente vidéo
Vidéo très intéressante!!
si j'ai bien compris, on peut pas dupliquer le gateau sauf si on le coupe avec une aiguille et beaucoup de temps, c'est bien ca ?
C'est bien ça, mais le temps en question doit être infini !
Et qu'il n'y ait pas de physicien un peu aigris dans les parages pour te brûler en place publique au nom du sacro saint sens physique.
bon beh c'est parti alors: recrute une infinité de personnes motivées à sacrifier leur vies et celles de leur déscendant pour faire un gateau rond, le couper avec une aiguille et maintenir les physicien loin du gateau, merci d'avance pour vos réponses.
+MrMopi5000 non, pas une une infinité, juste une poignée suffit sur un temps infini... ou sinon, tu peux demander à un nombre infini de personnes de le faire et ça se passera instantanément, à condition que tout le monde puisse y accéder en même temps (bon, aussi que t'arrive à diviser la matière un nombre de fois infini)
Après dans un gâteau il n’y a qu’un nombre fini d’atomes du coup...
vraiment cool, ce théorème
Super. J'ai enfin compris la problématique de l'axiome du choix. En fait cette vidéo m’intéresse plus pour comprendre pourquoi l'axiome du choix pose problème que pour le sujet lui même.
Super ! Tu es vachement plus convaincant que VSauce :)
Vsauce a quand même passé beaucoup de temps sur la théorie des ensembles de base, ce qui est un désavantage. Jj a déjà traité de ces sujets dans l'autres vidéos (comme l'hôtel de Hilbert)
J'ai du mal à imaginer comment on peut être meilleur que Vsauce, mais je prend ça comme un énorme compliment ! :)
+El Jj J'allais justement te le dire !
J'allais dire justement la même chose et je le pense sincèrement.
En toute objectivité, VSauce a zappé l'axiome du choix qui est à mon sens central dans ce théorème.
Je n'aurai imaginé que cet axiome puisse avoir de telles conséquences.
+El Jj à cause de tes 42 (j"ai perdu) j"ai perdu plein de fois et toi aussi
Oh super ! Moi qui avait du regarder la vidéo de VSauce 3 fois pour comprendre cette histoire ...
Regarder la vidéo au Lycée ne pas comprendre, revenir 4 ans plus tard et comprendre, quel bonheur !
@El Jj 19:21 Le nombre de commentaires possibles est-il l'infini dénombrable ou bien l'infini du continu ? ;)
Le théorème de Banach-Tarski s'applique dans des espaces de dimension 3 ou plus, mais pas dans le plan (dimension 2). D'où vient cette spécificité ? Existe-t'il un équivalent de ce théorème dans le plan ?
Super vidéo ! Plus formel que Vsauce, c'est plutôt bien, bravo !!
4'23" : l'axiome du choix est non évident dès qu'il y a une infinité de tiroirs, on a pas besoin que les tiroirs contiennent eux même une infinité de tiroirs
Mais j ai une question avec ces 2 boules est-ce qu’on peut faire deux autres boules etc...
Bonjour, est ce que vous pouvez mettre l'ensemble des théorèmes sur lesquelles vous vous appuyez en description (ou sur votre blog) pour faire vos explications ? Cordialement. PS: Très bonne chaine !
Bonjour ! Je ne comprends pas en quoi les classes d'équivalence de 1/3 et autres sont dénombrables ? Comment les dénombre-t-on ?
Bonjour, merci pour cette vidéo d’une qualité sans pareil, le contenu est tout simplement excellent.
Cependant, j’aurais une question par rapport à l’utilisation de l’axiome du choix sur des ensembles indénombrables :
Comment dresser une « liste » (9:12) de représentants d’un ensemble indénombrable puisqu’une liste est par nature dénombrable ?
Bonjour,
@ElJj Je me posais la question de la provenance de la casquette visible au minutage 4:13. S'agit-il d'une casquette de société d'étudiant?
Il y a pas mal d'implications philosophiques dans cet axiome du choix.
J'aime bien.
Explorer Kurt Goedel et son incomplétude me semble de mise après cela ^^
Bien joué
merci pour cette vidéo
il faut quand même avoir une imagination hors norme pour mettre au point un tel protocole
est ce qu'a partir de deux boules, on peut n'en former qu'une seule ou pas ? car je ne vois pas comment utiliser le même procédé pour réduire deux boules à une seule :/
Là ca deviens un chouia trop complexe pour mon cerveau
t'es pas sympa avec les daltoniens....
Xavier Bacqué mdr
j'adore tes vidéos, puis-je te demander quelles études as-tu faites ?
L'axiome du choix est souvent utilisé en analyse fonctionnelle qui traite d'espaces de Banach ou de Hilbert de dimension infinie, serait-il possible de faire quelque chose dans ce domaine là sans cet axiome ? Par exemple de démontrer le théorème de l'hyperplan sans l'aide du choix ?
C'est surtout contre-intuitif parce que l'intervalle mathématique est découpable à l'infini, ce qui n'est pas le cas de l'espace physique ... Quand on a admis ça, ça semble moins aberrant (quoique).
Je n'en parle pas dans la vidéo, mais on retrouve l'axiome du choix pour prouver que tout espace vectoriel admet bien une base. Autrement dit, l'analyse fonctionelle repose en très grande partie sur cet axiome ! Je ne connais pas bien le théorème de Hahn-Banach (théorème de l'hyperplan), donc je ne saurais dire à quel point on peut sans passer (Wikipédia à l'air de dire que le lemme des ultrafiltres est suffisant, mais je n'en sais pas plus)
Oh, je vais me renseigner sur ces ultrafiltres, merci bien !
je pense qu'il existe une preuve directe du théorème de Hahn-Banach géométrique dans le cas des espaces normée sans utiliser l'axiom du choix en particulier le théorème d'hyperplan et vrai sans ZFC, mais pour le cas analytique (le théorème de prolongement) le plus important au fait pour l'analyse fonctionnelle il n'existe pas, mais je sais bien qu'ils ont bien voulu démontrer qu'il ne peut être démontrer sans le lemme de zorn , mais ca reste ouvert.
Et pour montrer qu'un espace vectoriel de dimension finie admet une base il faut aussi l'axiome du choix ?
non la preuve est direct dans ce cas
Quel est l'anagramme de Banach Tarski ? Banach Tarski Banach Tarski.
Sinon peut-être l'une de tes meilleures vidéos !
Pet--tu devenir mon prof de maths, c'est fou comment t peux expliquer clairement!
Brillant et imparable
A 14:27 y a pas une erreur ? Dans l’ensemble 1’ il ne devrait pas y avoir NN ou NNN à mon avis
On peut pas mesurer tout les sous ensembles de [0,1] grâce à la mesure de Lebesgue?
Une étude probabiliste le permet apparemment non ? (la probabilité de tirer au hasard un élément de [0,1] est sa mesure de Lebesgue, donc si on peut pas mesurer tous les ensembles de [0,1], cela voudrait dire que la mesure de Lebesque gamma={0,+inf} ?? )
Haha pile quand le dernier xkcd (le n°1724) parle de l'axiome du choix ! :D
Super intéressant, à quand une vidéo sur l'epsilon de Hilbert ?
Moi j'ai rien compris à partir du moment ou il parle de rotations (en même temps, il est 00:20, et après quelques bières, ça aide pas !
Trop bien ! Ça me rappelle la fac, quand je faisais des VRAIES maths...
Un vieux numéro de "pour la science" (Avril 1991??) s'appuyait sur ce paradoxe en déclarant que des scientifiques avaient réussi à découper une vraie boule et de gagner de la matière, qu'ils l'avaient appliqué sur une boule en or et que ça marchait très bien, d'ailleurs le cours de l'or baissait régulièrement à l'époque pour cette raison ;-) . l'article était très bien fait, expliquait très bien le paradoxe et alternait sérieux et canular assez subtilement :)
Simplement parfait (pour autant que je sache: je ne connais pas la démonstration mathématique du théorème: oui j'ai pas fait d'étude de math après la spé en prépa intégré)
Oh que je suis si content
Super vidéo (comme toujours) mais je me demandais si ce théorème (ou un autre équivalent) permettrait de faire la même chose avec n'importe quelle figure (cube, tore, pyramide quelconque, ...) ou si la symétrie qu'offre la sphère (et qui est bien pratique lorsqu'on parle de rotation) rend ce tour de mathématiques propre à la sphère ?
Avec la sphère, 5 morceaux suffisent. Mais le théorème a des variantes qui s'appliquent à n'importe quel solide. Il existe ainsi une façon de découper un petit pois de façon à ce que, une fois les pièces recomposées, on obtiennent quelque chose de la taille du Soleil !
Par contre, cela ne s'applique qu'aux figure 3D (et dimensions supplémentaires), il a été démontré que le paradoxe de Banach-Tarski n'arrive jamais aux figures planes.
Mais du coup, pour être sûr de bien comprendre, il existe un théorème qui permet de dupliquer, à la manière de nos vieux compère Banach-Tarski et Hutch, des cubes, des hyper-tores, ou n'importe quel polyèdre de dimension supérieure à trois (et même plus que des polyèdre puisque la boule n'en est pas un) ?
Mehdi MABED C'est exactement ça !
Fantastique merci et hâte de voir la prochaine vidéo