Решил через подобие и кучу теорем Пифагора. Ну, что могу сказать 🤔 Для меня так решать - классика :) А вам спасибо за такое красивое решение! Есть куда стремиться)
Из верхней точки опускаем перпендикуляр на продолжение стороны квадрата влево. Нижний катет в 2 раза меньше второго катета. А второй катет в 2 раза меньше катета в длинном треугольнике. Вычисляем, верхний катет = 2/3 стороны квадрата, а это высота верхнего треугольника. Площадь = 1/2 + 1/3 = 5/6 площади квадрата
Маленький треугольник, очевидно, подобен внешнему треугольнику по 2 углам с коэффициентом подобия 2. Значит его площадь - это 1/4 этого внешнего треугольника, значит 9 = 3/4 его площади. А значит его площадь 12.
Есть решение в три раза короче и проще и ничего чертить не надо, только продлить сторону квадрата. Верхний треугольник подобен маленькому треугольничку с коэффициентом 2. Значит его площадь в 4 раза меьше и составляет треть от площади прямоугольного треугольника. Тоесть 3.
Я решила по другому. Для площади зеленого треугольника нужны катеты - означаю короткий a и длинный b. В желтом прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора а.а= 6.6+3.3= 45, а=3.√5. Так как стороны прямоугольного треугольника относятся 3:4:5, то другой катет b= 4.√5 S= a.b./2 = 3.√5. 4√5 /2 = 3.2.5 = 30
Рисуя задачу на бумаге в клетку, исключительно по клеткам без линейки и угольника, обнаружил интересную особенность которая позволяет решить задачу почти без построений, с помощью сходящегося ряда. Повторяем шаг на 2:30 продолжая сторону квадрата. На бумаге в клетку видно что можно провести перпендикуляр к только что проведенной линии и получить прямоугольный треугольник подобный тому что лежит на квадрате. Его катет лежащий на продолжении квадрата в 2 раза меньше стороны квадрата, а значит его площадь в 4 раза меньше. Получился маленький треугольник сверху, рисуем перпендикуляр к перпендикуляру к продолженной стороне и получаем новый прямоугольный треугольник который уже в 4 раза меньше маленького прямоугольного и так далее. Получаем сходимый ряд. Возьмем для удобства прямоугольный треугольник лежащий на квадрате за единичный. Тогда треугольник левее него будет состоять из прямоугольных треугольников уменьшающийся по площади каждый раз в 4 раза. Сумма N от n=1 для 1/4^n = 1/3. Треугольник слева равен трети треугольника лежащего на квадрате. Задача решена. Так долго расписывал но на тетрадке в клетку решение очевидное
я тоже увидел это решение, что можно отрезать от треугольника последовательно уменьшаясь, и каждый следующий имеет стороны вдвое меньше предыдущего. Но я формулы забыл и просто в экселе последовательно посчитал 18+9+9/4+9/4/4+... и на пятом шаге уже вышло 30 с достаточной точностью.
@@reptotv6398 подобия большого тупоугольного малому. коэффициент подобия у них 2 (а значит, площади отличаются в 4 раза), а разность площадей - 9. тут сразу становится понятно, что площадь малого - 3 :)
@@reptotv6398 на видео на 3:06 чертёж; в верхней части у него большой тупоугольный треугольник; и в него вложен второй тупоугольный, поменьше; у них общий острый угол; но кроме того, второй острый угол у них тоже одинаковый (у маленького треугольника он накрест лежащий с соответствующим углом прямоугольного треугольника (того, который s=9). и вот эти два тупоугольных получаются подобны (с коэффициентом 2, потому что напротив общего угла у них лежат отрезки, отличающиеся в 2 раза)
Гораздо проще решается ... в одну строчку. Маленький тупоуг треуг подобен большому по двум углам с коефф 1/2 .. Значит его площадь равна 1/4 большого т е 1/3 от 9 = 3.
до просмотра ответа решил по-другому: пусть точка С - левая верхняя точка квадрата, D - правая верхняя. из левой верхней точки искомого треугольника (точка A) опускаем перпендикуляр на продолжение верхней стороны квадрата (точка B). получаем прямоугольный треугольник ABC. прямоугольные треугольники ABC и ABD подобны (и подобны треугольникам внутри квадрата) и имеют соотношения катетов 1 к 2. дальше всё решается в пару арифметических действий: пусть BC = x, тогда AB = 2x, BD = 6 + x. и для треугольника ABD можем записать 2 * 2x = 6 + x. отсюда x = 2, площадь ACD = AB * CD / 2 = 12. 12 + 18 = 30. p.s. кстати, пожелание к подобным роликам - расставляйте буквы на точки, чтобы было удобнее писать своё решение.
1.Находим стороны маленького вписанного треугольника, 6 и 3корня из 5. 2.Проводим высоту из угла 90°. Она равна 12/корень из 5. 3.Смотрим подобные треугольники откуда гипотенуза искомого треугольника/катет=5/4 4.Пишем теорему Пифагора для искомого треугольника Получаем 25/16x^2=9*5+x^2 Где x=4корня из 5, это катет искомого треугольника. 5.Площадь искомого треугольника равна 1/2*(4корня из 5)*(3корня из 5)=30
Есть гораздо более простое построение. Сторону квадрата, являющуюся стороной тупого треугольника - продолжаем до пересечения с прямой, проведенной через свободную его вершину параллельно соседним сторонам квадрата. Получается, достроили тупой треугольник до прямоугольного, прицепив к нему еще маленький прямоугольный. Большой прямоугольный треугольник подобен тем двум, которые мы от квадрата отсекли, и мелкий тоже подобен (у него меньший угол вертикален меньшему углу треугольника). У всех у них катеты относятся друг к другу как 2 к 1. Далее - обозначим малый и большой катеты мелкого треугольника как х и у. у/х =2, отсюда у=2х, а из большого треугольника (х+6)/у = 2. х+6=4х, отсюда х=2, у=4. Это стороны малого, стороны большого - 4 и х+6, т.е. 4 и 8. Площадь тупого треугольника равна разности площадей большого и малого, 16-4=12. А тот, который в квадрате целиком - тот 18, мы это уже знаем. Искомая площадь равна их сумме - 30.
ИМХО сие решение "красиво" лишь в контексте простоты вычислений, но по сути оно буквоедское. Как минимум куча надстроек смотрится слишком неэлегантно. Можно взять формулу тангенса двойного угла, тангенс которого на этом рисунке равен 3/6=1/2, тогда получим ((1/2)*2)/(1-(1/4))=1/(3/4)=4/3. Разумеется этот двойной угол является одним из углов треугольника, площадь которого мы ищем и меньший катет которого равен корень(36+9)=корень(45). Второй катет равен 4/3*корень(45) , а площадь выходит (45*4/3)/2=30. Только проблема в том что формула двойного угла это такое же "буквоедство" как и деление на шесть одинаковых площадей. И потому на словосочетание "элегантное решение" никак не тянет.
Скажу по опыту не вдаваясь в логику арифметических спекуляций слов - чтоб научить считать важна больше не соображалка , а хороший находящий успешный подход к любому ученику учитель математики
18 without pen and paper. Just I try to imagine several triangles possible by moving the lowest angle horizontally. They are possible (infinity of them) and by virtue of your question they have to have the same area. One of them, the extreem case, is half of the square.
К сожалению, первой пришла мысль в голову о сумме геометрической прогрессии. Ведь вверху треугольники площадью 9, 9/4, 9/16 и так далее. А значит их сумма равна 9/(1-1/4)=12. Значит искомая площадь 18+12=30. Дальше думать интерес пропал =(.
@@mrgoodpeople там какой-то ужас. Там говорят, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета. Как это может быть? То есть две гипотенузы равны двум парам катетов?🤔
из сказанного вами, я к сожалению, ничего не понял. Кто говорит, где говорит? О каких двух гипотенузах речь? Может вы картинку нарисуете? Так было бы понятнее.
@@mrgoodpeople ruclips.net/video/edknVqkxQW4/видео.html вот она говорит, что теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
А не простіше побачити подібність верхньої частини зеленого трикутника і Вашого малого трикутничка з коефіцієнтом подібності 2, отже, й з відношенням площ 4:1?
@@user-mf4nx8sh2x тогда это уже не квадрат, а прямоугольник. Ширина которого больше чем высота. Я говорю о квадрате. У треугольника вписанного в квадрат высший, верхний угол меньше, острее нижних.
Добрый день! Скажите, куда вам можно написать. Хотел предложить несколько своих задач. В данных канала эл.почты нет, а ссылка на ВК не рабочая. Куда написать?
Красотища! Аж слёзы потекли от радости :)
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
Решил через подобие и кучу теорем Пифагора. Ну, что могу сказать 🤔
Для меня так решать - классика :)
А вам спасибо за такое красивое решение! Есть куда стремиться)
Из верхней точки опускаем перпендикуляр на продолжение стороны квадрата влево. Нижний катет в 2 раза меньше второго катета. А второй катет в 2 раза меньше катета в длинном треугольнике. Вычисляем, верхний катет = 2/3 стороны квадрата, а это высота верхнего треугольника. Площадь = 1/2 + 1/3 = 5/6 площади квадрата
Начал чертить подобные треугольники - и ушёл в фракталы.
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
Здорово!
@@Kopan-uy67iih тригонометрия
Маленький треугольник, очевидно, подобен внешнему треугольнику по 2 углам с коэффициентом подобия 2. Значит его площадь - это 1/4 этого внешнего треугольника, значит 9 = 3/4 его площади. А значит его площадь 12.
Есть решение в три раза короче и проще и ничего чертить не надо, только продлить сторону квадрата. Верхний треугольник подобен маленькому треугольничку с коэффициентом 2. Значит его площадь в 4 раза меьше и составляет треть от площади прямоугольного треугольника. Тоесть 3.
Я решила по другому. Для площади зеленого треугольника нужны катеты - означаю короткий a и длинный b. В желтом прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора а.а= 6.6+3.3= 45, а=3.√5. Так как стороны прямоугольного треугольника относятся 3:4:5, то другой катет b= 4.√5 S= a.b./2 = 3.√5. 4√5 /2 = 3.2.5 = 30
Гениальное решение! Но как Вы догадались, что соотношение сторон треугольника равно 3:4:5?
Рисуя задачу на бумаге в клетку, исключительно по клеткам без линейки и угольника, обнаружил интересную особенность которая позволяет решить задачу почти без построений, с помощью сходящегося ряда.
Повторяем шаг на 2:30 продолжая сторону квадрата. На бумаге в клетку видно что можно провести перпендикуляр к только что проведенной линии и получить прямоугольный треугольник подобный тому что лежит на квадрате. Его катет лежащий на продолжении квадрата в 2 раза меньше стороны квадрата, а значит его площадь в 4 раза меньше. Получился маленький треугольник сверху, рисуем перпендикуляр к перпендикуляру к продолженной стороне и получаем новый прямоугольный треугольник который уже в 4 раза меньше маленького прямоугольного и так далее. Получаем сходимый ряд. Возьмем для удобства прямоугольный треугольник лежащий на квадрате за единичный. Тогда треугольник левее него будет состоять из прямоугольных треугольников уменьшающийся по площади каждый раз в 4 раза.
Сумма N от n=1 для 1/4^n = 1/3. Треугольник слева равен трети треугольника лежащего на квадрате. Задача решена.
Так долго расписывал но на тетрадке в клетку решение очевидное
я тоже увидел это решение, что можно отрезать от треугольника последовательно уменьшаясь, и каждый следующий имеет стороны вдвое меньше предыдущего. Но я формулы забыл и просто в экселе последовательно посчитал 18+9+9/4+9/4/4+... и на пятом шаге уже вышло 30 с достаточной точностью.
@@AndreyVms Не надо ничего до посинения резать. Если, после отрезания четверти, получили 9, то отрезали 3.
@@AndreyVms тоже!
Здорово наверное быть умным.
Только ум и воля паралельно развиты быть должны. Иначе не хватит сил реализовать задуманное.
tg α=1/2
tg 2α=4/3
Площадь прямоугольного тр. произведение катетов на 1/2
S=(1/2)*(4/3)*(3^2+6^2)=30
Задачу быстро решил с помощью подобных треугольников. Предложенное Вами построение действительно красивое, но не очевидное.
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
Из подобия сразу видно, что недостающая площадь равна 9/3, никакой "гениальный" дополнительный квадрат не нужен.
Подобия чего чему?
@@reptotv6398 подобия большого тупоугольного малому. коэффициент подобия у них 2 (а значит, площади отличаются в 4 раза), а разность площадей - 9. тут сразу становится понятно, что площадь малого - 3 :)
@@hereisanickname, как доказать подобие? Или мы про разные треугольники говорим?
@@reptotv6398 на видео на 3:06 чертёж; в верхней части у него большой тупоугольный треугольник; и в него вложен второй тупоугольный, поменьше; у них общий острый угол; но кроме того, второй острый угол у них тоже одинаковый (у маленького треугольника он накрест лежащий с соответствующим углом прямоугольного треугольника (того, который s=9). и вот эти два тупоугольных получаются подобны (с коэффициентом 2, потому что напротив общего угла у них лежат отрезки, отличающиеся в 2 раза)
Наикрасивейшее решение.
Гораздо проще решается ... в одну строчку. Маленький тупоуг треуг подобен большому по двум углам с коефф 1/2 .. Значит его площадь равна 1/4 большого т е 1/3 от 9 = 3.
Не, ну вот до такого бы я не додумался!
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
до просмотра ответа решил по-другому:
пусть точка С - левая верхняя точка квадрата, D - правая верхняя.
из левой верхней точки искомого треугольника (точка A) опускаем перпендикуляр на продолжение верхней стороны квадрата (точка B). получаем прямоугольный треугольник ABC. прямоугольные треугольники ABC и ABD подобны (и подобны треугольникам внутри квадрата) и имеют соотношения катетов 1 к 2.
дальше всё решается в пару арифметических действий:
пусть BC = x, тогда AB = 2x, BD = 6 + x.
и для треугольника ABD можем записать 2 * 2x = 6 + x. отсюда x = 2, площадь ACD = AB * CD / 2 = 12. 12 + 18 = 30.
p.s. кстати, пожелание к подобным роликам - расставляйте буквы на точки, чтобы было удобнее писать своё решение.
Тоже нашел за минуту. Потом удивлялся, а нафига такие сложные построения.
Я так же решил, потом прочитал Ваше решение. Это решение самое простое.
1.Находим стороны маленького вписанного треугольника, 6 и 3корня из 5.
2.Проводим высоту из угла 90°.
Она равна 12/корень из 5.
3.Смотрим подобные треугольники откуда гипотенуза искомого треугольника/катет=5/4
4.Пишем теорему Пифагора для искомого треугольника
Получаем 25/16x^2=9*5+x^2
Где x=4корня из 5, это катет искомого треугольника.
5.Площадь искомого треугольника равна 1/2*(4корня из 5)*(3корня из 5)=30
красиво!
Молодец, математик!
3 корня из 5, умножить на 4 корня из 5 и разделить на 2.
Сперва нашёл пределом, а когда понял какой ответ, нашёл таки красивое решение через подобие треугольников:)
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
как нашли пределом,поделитесь пж
Задачка с подвохом. Решается в два действия. Построения не нужны, только интуиция и логика. Смотреть liliya kaloyanova. Блестящее решение!
класс!!!
Есть гораздо более простое построение.
Сторону квадрата, являющуюся стороной тупого треугольника - продолжаем до пересечения с прямой, проведенной через свободную его вершину параллельно соседним сторонам квадрата. Получается, достроили тупой треугольник до прямоугольного, прицепив к нему еще маленький прямоугольный. Большой прямоугольный треугольник подобен тем двум, которые мы от квадрата отсекли, и мелкий тоже подобен (у него меньший угол вертикален меньшему углу треугольника).
У всех у них катеты относятся друг к другу как 2 к 1.
Далее - обозначим малый и большой катеты мелкого треугольника как х и у.
у/х =2, отсюда у=2х, а из большого треугольника (х+6)/у = 2.
х+6=4х, отсюда х=2, у=4. Это стороны малого, стороны большого - 4 и х+6, т.е. 4 и 8.
Площадь тупого треугольника равна разности площадей большого и малого, 16-4=12. А тот, который в квадрате целиком - тот 18, мы это уже знаем.
Искомая площадь равна их сумме - 30.
Я решал координатным методом и получил, что этот треугольник египетский
ИМХО сие решение "красиво" лишь в контексте простоты вычислений, но по сути оно буквоедское. Как минимум куча надстроек смотрится слишком неэлегантно. Можно взять формулу тангенса двойного угла, тангенс которого на этом рисунке равен 3/6=1/2, тогда получим ((1/2)*2)/(1-(1/4))=1/(3/4)=4/3. Разумеется этот двойной угол является одним из углов треугольника, площадь которого мы ищем и меньший катет которого равен корень(36+9)=корень(45). Второй катет равен 4/3*корень(45) , а площадь выходит (45*4/3)/2=30. Только проблема в том что формула двойного угла это такое же "буквоедство" как и деление на шесть одинаковых площадей. И потому на словосочетание "элегантное решение" никак не тянет.
Скажу по опыту не вдаваясь в логику арифметических спекуляций слов - чтоб научить считать важна больше не соображалка , а хороший находящий успешный подход к любому ученику учитель математики
18 without pen and paper. Just I try to imagine several triangles possible by moving the lowest angle horizontally. They are possible (infinity of them) and by virtue of your question they have to have the same area. One of them, the extreem case, is half of the square.
К сожалению, первой пришла мысль в голову о сумме геометрической прогрессии. Ведь вверху треугольники площадью 9, 9/4, 9/16 и так далее. А значит их сумма равна 9/(1-1/4)=12. Значит искомая площадь 18+12=30. Дальше думать интерес пропал =(.
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
Тригонометрией =). Например как 2*арктангенс(1/2) = 53.13... градусов [приблизительно]
@@mrgoodpeople там какой-то ужас. Там говорят, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета. Как это может быть? То есть две гипотенузы равны двум парам катетов?🤔
из сказанного вами, я к сожалению, ничего не понял. Кто говорит, где говорит? О каких двух гипотенузах речь? Может вы картинку нарисуете? Так было бы понятнее.
@@mrgoodpeople ruclips.net/video/edknVqkxQW4/видео.html вот она говорит, что теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
А не простіше побачити подібність верхньої частини зеленого трикутника і Вашого малого трикутничка з коефіцієнтом подібності 2, отже, й з відношенням площ 4:1?
На рисунке все показано
👋👍😉
*Мои аплодисменты!* А что я?:
S=0,5×(√(6²+3²))×(√(6²+3²))×
×tg(180-2×arcSin(6/3√5))=30
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
@@Kopan-uy67iih это равносторонний, у него углы по 60°
@@user-mf4nx8sh2x тогда это уже не квадрат, а прямоугольник. Ширина которого больше чем высота. Я говорю о квадрате. У треугольника вписанного в квадрат высший, верхний угол меньше, острее нижних.
Единственное адекватное решение (имхо)
Всё таки как доказать, что прямые пройдут через середину и вершину?
достройте еще один квадрат под основным и увидите подобие
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
Добрый день! Скажите, куда вам можно написать. Хотел предложить несколько своих задач. В данных канала эл.почты нет, а ссылка на ВК не рабочая. Куда написать?
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔
Получилось, после долгих построений.
Что за музыка в конце?
Кто знает, как найти угол равнобедренного треугольника вписанного в квадрат?🤔