L'erreur est d'appeler S une somme infinie, comme si cette somme convergeait, cad qu'elle était un nombre. Cela revient à manipuler +infini comme si c'était un nombre, ce qui est incorrect
Pour être vraiment exact, tu es autorisé à faire certaines opérations algébriques sur l'infini (que tu supposes être + infini) cf arithmétique sur R+^*, mais en revanche tu n'as pas le droit à priori de retrancher une quantité infinie dans une égalité, car ce n'est pas tout le temps bien défini
je suis d'accord mais mon probleme c'est que il y a une difference entre une serie et une somme partielle, l'erreur ici c'est de vouloir trouver le resultat d'une serie, ce qui est tellement absurde. Pourquoi vouloir la manipuler comme une somme partielle??
Tu dis que c’est une erreur et pourtant cette valeur est utilisée en physique par exemple avec “l’effet Casimir” et a été mesuré expérimentalement. Finalement est-ce que c’est vraiment une erreur ?
@@sebastienlatchman4990 C'est une erreur dans le domaine des mathématiques "traditionnelles", qui interdit de traiter des sommes infinies divergentes comme si c'était des nombres finis. Néanmoins, il peut tout à fait y avoir des domaines d'applications si on étend ce domaine. Ainsi les nombres complexes permettent de gérer les calculs des courants alternatifs avec la même facilité que les courants continus. Pourtant, racine carré de -1 est une erreur dans les nombres réels.
@@ZorbilinusOui mais non! Car le problème n’est pas vraiment là. Ce dont il faut s’assouplir l’esprit c’est de cesser de croire abusivement qu’il n’y a que la « convergence HABITUELLE » au monde! Ce n’est pas le cas, il y a une infinité de types de convergence… Aussi à priori, ce n’est pas parce que cette série diverge manifestement au sens « HABITUEL » de la convergence LA PLUS « USUELLE », qu’elle est condamnée à un tel tombeau pour d’autres types de convergence. Une convergence maintenant classique qui permet de donner du sens à certaines séries divergentes, est par exemple la convergence de Césaro. Mais le problème est ici bien plus vaste et plus profond. Car il ouvre sur le vaste et important chapitre des PROLONGATIONS ANALYTIQUES en Analyse Complexe, massivement initié par Bernard Riemann. Et précisément, ce problème porte sur la fameuse FONCTION ZETA DE RIEMANN…
Oh les faux raisonnements sont très faciles à identifier. Rien n’autorise à priori à faire sur [-♾️,+♾️] des calculs arithmétiques qui n’ont été définis que sur ]-♾️,+♾️[. En d’autres termes, appliquer sans précautions des raisonnements FINIS à L’INFINI, est à priori ILLICITE. Et il faut donc beaucoup plus de prudence, de subtilité, de rigueur et d’innovation pour s’attaquer à l’infini. Avec un cure-dent ça ne le fait pas…
la faute c qu'on ne peut rien faire avec l'infini, ni additionner ni soustraire ni ajouter un nombre ....ni rien, infinie + infini ne vaux pas 2 infini et infini -infini ne vaux pas 0 aussi infini / infini ne vaux pas 1 ... , donc toute manipulation avec l'infini est fausse
Une tentative d'explication : ce qu'on a montré, c'est que si la somme Sn = 1+2+3+4+...+n admet une limite quand n tend vers + l'infini, alors -1/12 est une valeur possible. Or la suite diverge au sens classique, donc n'admet pas de limite au sens classique. C'est un peu comme quand on résout une équation et qu'on trouve plusieurs valeurs possibles pour x, mais que certaines sont interdites. Ici, une valeur candidate de la limite est -1/12 mais est interdite car la limite n'existe pas. Par ailleurs, voici un autre raisonnement qui permet de trouver une autre valeur de limite possible : S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ... S = 1 + (2+3+4) + (5+6+7) + (8+9+10) + ... S = 1 + 9 + 18 + 27 + ... S = 1 + 9*(1+2+3+...) S = 1 + 9*S S - 9*S = 1 -8*S = 1 S = -1/8 Quand on joue avec des sommes infinies qui divergent, on peut leur trouver à peu près n'importe quelle valeur de limite... puisque ces limites n'existent pas au sens classique de la convergence.
Le souci tient au fait qu'on a fait des opérations dans l'ensemble [ -infini ; +infini ], alors qu'elles ne sont possibles que dans R=] infini ; + infini [. Autrement dit : les opérations n'ont de sens qu'avec des nombres finis, ce que n'est pas S.
Non ce résultat est juste ! : ruclips.net/video/xqTWRtNDO3U/видео.html Un mathématicien qui cadre correctement ce calcul et fait une allusion a un autre résultat mathématique encore plus fou. ruclips.net/video/jyQ_hUVI4Gk/видео.html Un physicien qui donne une utilisation concrète (effet Casimir) et une abstraite (théorie des cordes) physique de se résultat et démontre ce résultat en remplaçant l'infinie par une suite fini indéterminé très grande.
@@tiper2107 Non, ce résultat est faux, désolé. Car la démonstration est fausse, à cause de ce qui est mentionné ci dessus. Ce qui est vrai, c'est que l'extension de la fonction Zeta de Riemann en -1 vaut -1/12. On peut donc associer -1/12 à la somme 1+2+3.... mais ce n'est pas une égalité au sens arithmétique du terme, ce qui est évident vu que l'un est toujours positif et l'autre négatif. Et oui, c'est très utile en physique, mais il faut comprendre justement dans quel contexte cette association a un sens.
@@__-1234 Je connais pas la fonction zeta donc je comprend pas ton explication pour moi cette égalité est aussi vrais que 0.999999... = 1 ou que i²=-1. Dans le contexte ou cela a un sens ce n'est pas une association mais une égalité au pire j'accepte que l'on dise que c'est une convention comme √0=0. edit : J'ai cherché un peu, la convention mathématique n'exprime pas ce "contexte" avec une notation différente de = mais une notation différente de ∑ en rajoutant un R au dessus en l'honneur a son découvreur.
@@baptFulbion Je n'est pas de caractère pour écrire ∑R. Le R est au dessus signifie somme de Ramanujan, le mathématicien indien autodidacte de génie ayant appris les mathématique avec un seul livre et connu grâce a un autre mathématicien anglais avec qui il échangeais des lettre alors qu'il était enfant et mourrait de faim.
Il parait qu'un physicien (ou autre scientifique) tentait de démontrer une propriété complexe, dans son domaine, mais qui fût bloqué dans ses calculs, à un moment donnée, par la présence de cette somme infini (1+2+3+4+...) N'ayant plus aucune issue sérieuse, il avait entendu parler de mathématiciens un peu loufoque, qui prétendaient avoir démontré que cette somme était égale à -1/12. Du coup, foutu pour foutu, il tenta d'utiliser ce résultat, en restant dubitatif, pour terminer ses travaux en physique-chimie, et ainsi parvenir à sa formule. Or, il s’avère qu'ensuite, toutes les expériences menée, dans la pratique ont toujours validé sa théorie ! Comme quoi, l'Univers est plus complexe et mystérieux qu'on l'imagine :)
Oui ce résultat est juste ! : ruclips.net/video/xqTWRtNDO3U/видео.html Un mathématicien qui cadre correctement ce calcul et fait une allusion a un autre résultat mathématique encore plus fou. ruclips.net/video/jyQ_hUVI4Gk/видео.html Un physicien qui donne une utilisation concrète (effet Casimir) et une abstraite (théorie des cordes) physique de se résultat et démontre ce résultat en remplaçant l'infinie par une suite fini indéterminé très grande.
rien que la somme A on peut à peu pres lui donner la valeur qu'on veut à partir du moment où on admet que l'associativité et la commutativité de l'addition ne volent pas en éclat au passage à l'infini: A=1-1+1-1+1-1+.... En utilisant l'associativité : A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+.... => A=0+0+0+0+0+... = 0 ou encore A=1 + (-1+1) + (-1 +1) + (-1+1).... => A = 1+0+0+0+0+ => A=1 avec la factorisation on peut avoir A=1/2 comme dans la vidéo, mais en cherchant bien on doit pouvoir faire 1/3, 1/4 ou n'importe quoi d'autre ! Bref comme souvent le passage à l'infini fait sauter les propriétés usuelles et il convient de faire attention et de les redémontrer au cas pas cas
ABSOLUMENT : le passage à l'infini ne permet plus d'utiliser les propriétés de commutativité, d'associativité, de factorisation, qui ne sont valables que pour les ensembles FINIS.
Ramanujan avait évidemment conscience que la somme de tout les entiers naturels est infinies, lui a démontré que la sommation de tout les entiers naturels est égale à -1/12
Mea culpa. Les "sciences" économiques sont basées sur une théorie fausse, en ne comptabilisant pas les ressources, et prétendent pourtant s'occuper du réel.
Pourtant plusieurs mathématiciens comme Euler, Riemann, Ramanujan ont étudié cette égalité comme l’explique Mickael Launay sur sa chaîne Micmath. ruclips.net/video/xqTWRtNDO3U/видео.htmlsi=lfivzpplHnMlv7Ir Malgré le résultat contre intuitif, la démonstration n’en est pas pour autant fausse. Cette particularité est liée à un des plus gros problèmes mathématiques non encore résolus : l’Hypothèse de Riemann. De plus, comme l’explique Mickael Launay, un physicien, dans le cadre d’une étude en mécanique quantique est arrivé à cette somme infinie (1+2+3…). Il l’a remplacé par -1/12 et le résultat est cohérent des mesures expérimentales. Effet Casimir. Étonnant … Pouvez-vous en dire plus ?
Si, cette démonstration est fausse, on peut arriver à montrer que 0=1 avec ce genre de démonstration. Par contre la valeur de la fonction zeta de Rieman en -1 est bien -1/12 Le problème c'est le signe =, ce n'est pas le signe qui convient ici.
@@__-1234 je ne suis pas sur de comprendre. En effet zêta(-1) est bien 1 + 2 + 3… jusqu’à l’infini. Le résultat serait donc bien -1/12 mais la démonstration est fausse ? Hors je ne vois pas d’erreur dans la démonstration. De plus, le signe = ne me choque pas non plus. On écrit bien lim f(x) = 5 par exemple quand x tend vers l’infini. Pourquoi ne pourrions nous pas écrire somme de n de n=1 à plus l’infini = -1/12 avec le même raisonnement ? C’est troublant !
@@didierlesaunier2215 En fait zeta(-1) est une série divergente, car zeta ne converge que pour z dont la partie réelle est > 1. zeta diverge pour tout le reste du demi plan complexe (partie réelle
@@didierlesaunier2215 En fait, la démonstration n'est pas fausse. C'est un peu plus subtil que ça. Mais comme c'est assez fouillé, la plupart de ceux qui ont étudié en maths passent à côté du sens de ces calculs et de cette égalité. Les réponses de 1234 ont du vrai, mais il ne cerne pas totalement le sujet et tire donc des conclusions erronées.
Très belle somme 😂😂 je me souviens d'une démonstration semblable chez micmath où il lui donne une application en physique donc ce n'est pas aussi absurde.
Et pourtant ce résultat fonctionne en physique, notamment pour l'effet Casimir. Mais il est aussi utilisé en physique théorique avec la théorie des cordes (entre autres)
Alors ça fonctionne mais on a d'autre moyens que les additions de sommes infinie de prouver que ce résultat peut avoir du sens. Une façon claire de voir que les additions terme a terme de sommes infinies comme pratiqué dans cette vidéo sont une mauvaise pratique, c'est que ça peut conduire à des résultat inconsistants.
Ah quand meme ça a une application ? ^^ . Mais alors c quoi l'effet Casimir ? Si on admet vraiment de la somme d'entiers positifs vaut -1/12,alors on devient un dynosaure orange ??? ;).
@@vincentdescharmes7897 L'effet Casimir est la force qui attire deux plaques parallèles conductrices de courant (non chargées) et placées dans le vide, l'une vers l'autre. C'est assez étrange comme phénomène. La physique quantique explique ceci par la fluctuation du champ quantique électromagnétique. Pour mieux comprendre, je conseil de se renseigner sur la théorie quantique des champs. Enfin, cette somme infinie que l'on appelle une somme de Ramanujan donne effectivement des résultats cohérents dans le calcul de ladite force. Les mathématiciens n'expliquent pas encore totalement pourquoi ça fonctionne. Plusieurs théorie ont été cependant proposées.
J'ai un problème quand vous ajoutez B à lui même vous ne justifiez pas le décalage de façon logique. Juste " on peut le faire" Pour cette explication je préfère la version de Michel Launay. Mais j'adore vos vidéos qui me permettent de me maintenir en math. Merci
Initialement on prouve que la fonction zeta, sous la forme de somme des 1/n^s (dans la vidéo s = - 1), est définie pour les nombres complexes s de partie réelle strictement plus grande que 1 (et -1 n'en fait pas partie). Cependant, avec des outils d'analyse complexe, on peut montrer qu'il existe une autre formule de la fonction zeta qui coïncide (est égale) avec la somme des 1/n^s pour les s de partie réelle strictement plus grande que 1 (en l'occurence ici on dit qu'on a un prolongement méromorphe de zeta sur C, en gros c'est une fonction qui prend les mêmes valeurs que la somme des 1/n^s quand s est de partie réelle strictement plus grande que 1 et qui est dérivable sur les complexes sauf sur un certain ensemble que je vais pas expliciter ici). L'erreur provient alors du fait que lorsqu'on calcule zeta(-1), il faut avoir en tête que l'on utilise l'autre fonction (celle qu'on appelle prolongement, et ce prolongement de zeta, lorsqu'on l'évalue en s = -1, on trouve bien -1/12) et pas la somme des 1/n^s vue que cette somme a un sens que si s est de partie réelle strictement plus grande que 1 (mdr sorry pour les répétitions). Cette somme dans la vidéo ne vaut donc pas -1/12, on dit elle diverge vers +infini (et oui, votre intuition ne vous jouez pas de tours ici). En fait vue que cette somme diverge, il y a théorème en maths qui nous dit pour ce genre de somme, étant donné n'importe quel nombre que vous prenez au départ, on pourra toujours trouver une manière/un ordre d'en sommer ses termes et dont le résultat final vaut ce nombre préalablement choisi, autant vous dire que cette somme ne vaut vraiment pas -1/12. Après, de ce que je sais (ce n'est pas mon domaine), le fait d'attribuer la valeur -1/12 à cette somme est assez naturel en physique et marche plutôt bien... pourquoi ? comment ? je ne sais pas hahaha...
🙂👍. Moi non plus je ne sais pas. Je me dit qu'il doit y avoir un truc que l'on ne précise pas quant on ramène l'anecdote de l'effet Casimir. Par exemple si j'écris 19=7 sans préciser "modulo 12" et que je dit que c'est vérifier par les maths et l'expérience dans le monde. Ou alors que je dit "la somme des angles d'un triangle ne fait pas forcément 180⁰" en oublient de préciser que je ne parle pas forcément de géométrie plane, mais que j'inclus la géométrie sphérique et/ou hyperbolique. Alors ce qui est vrai dans mon affirmation n'est pas ce que je laisse comprendre de cette affirmation.
Peut être mon commentaire que j'avais écrit à l'occasion de cette vidéo vous intéressra. Je fait donc un copier-coller. On peut prouver que 1+2+4+8+...=-1. pourtant c'est faux. Mais 1+x+x²+x³...+x^n=(x^(n+1)-1)/(x-1). Si |x|
Si je me souviens à peu près de mes cours d'analyse de L2, si on veut essayer de trouver une valeur à A = 1 - 1 + 1 - 1 + ... il faut plutôt écrire A = Σ( ( -1)^n ) et ensuite déterminer si la série converge. C'est une série alternée car on peut l'écrire Σ( (u_n)*( -1)^n ) avec (u_n) de signe constant (u_n = 1 pour tout n). Comme u_n est constant et différent de 0, (u_n) n'est pas décroissante vers 0, donc la série ne converge pas donc on ne peut pas lui attribuer de valeur limite, donc A est une forme indéterminée, et là par contre j'ai un doute mais je crois qu'on peut dire que la série a 1 et -1 pour valeurs d'adhérence car lim u_n = L avec L différent de 0 donc les valeurs d'adhérence sont L et -L (1 et -1).
le problème est surtout dans A = 1-1+1-1... Le résultat est 1 si le dernier terme est +1, 0 si le dernier terme est -1. Or, il n'y a pas de dernier terme (somme infinie), donc A n'a pas de valeur. Donc si on joue sur ça, on peut avoir 1/2 Mais on peut prouver les 3 valeurs (1/2 déjà fait) Pour A = 1 A = 1 + (-1 + 1 -1 + 1...) A = 1 + ( (-1+1) + (-1 + 1) + ...) A = 1 + 0 = 1 Pour A = 0 A = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... A = 0 + 0 + 0 + ... A = 0 A n'a pas de clair valeur, si on fait une limite bah... y en a pas. Car ça alterne entre 0 et 1, on peut dire qu'en moyenne on a 1/2
C'est faux parce que les axiomes utilisés au départ (commutativité, associativité) ne sont pas légaux pour les suites infinies. Ces axiomes produisent des résultats incohérents. Pour obtenir une valeur il faut définir le bon système d'axiomes: Complet et cohérent, ce qui est, de plus, impossible à prouver.
B=1-2+3-4+5-6.... 1-2=-1 3-4=-1 5-6=-1 et ainsi de suite. Donc B est une somme infinie de termes égaux à -1.Donc B; c'est moins l'infini. A=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1... 1-1=0 Donc A est égal à une somme infinie de terme nuls. Donc A=0.
Le plus bizarre c'est que cette égalité semble fonctionner en physique théorique (Effet Casimir ) et permet la résolution d’équation dans le domaine quantique (théorie des cordes).
je crois que c'est ça qui me fume le plus le cerveau ! en "magouillant" tu peux demontrer que 1+1=1 mais là, intuitivement tu te doutes que ça peux pas etre ça mais le -1/12 ressort regulierement comme par magie dans des trucs ou on ne l'attend pas
Mais du coup ne serait-ce pas la même chose que de dire : 1 + 2 + 3 + 4... = 3,14 oh magie, mon opération fausse mène comme par hasard au nombre Pi que l'on retrouve dans tous les cercles de la nature ! Ça veut dire qu'on a le droit de remplacer une somme des i de 1 à n par Pi !
@@julieng5776 mais non pas pi, vas y franchement, prends le nombre d'or, ça vendra du reve ^^ bon, apres, bon courage pour la demonstration qui tient un minimum la route mdr
Cela doit cacher quelque chose de profond (en particulier concernant l'effet Casimir en physique pour ceux qui connaissent) à moins qu'il n'y ait un loup quelque part. Pour ma part, je bug, mon cerveau se refusant à consentir que cette somme ne diverge pas, ne tend pas vers plus l'infini ....
Bonsoir 🙂. J'ai fait une vidéo dans laquelle j'explique pourquoi dans certaines séries divergentes on ne trouve qu'une seule valeur possible(contrairement à 1+2+3+4+... Il y a quelqun qui a fait 2 vidéos ou il trouve -1/8. J'ai fait des vidéos ou je trouve encore autre chose. Je donne le lien de ces différentes vidéo dans la description de ma vidéo). Je précise d'avance que ces séries sont réellement différentes de ces valeurs, malgré que par calcul on arrive pas à trouver autre chose. J'explique tout ça dans ma vidéo. ruclips.net/video/GA08gl6jlD4/видео.htmlsi=FXThuEhNMP1E3kQo
Ne vous arrêtez pas aux 7 première minute de la vidéo. Car la vraie démonstration(celle qui explique pourquoi on arrive pas à trouver autre chose) commence à partir de la 7 ème minute.
Autant j'adore les maths, autant je n'arrive pas à admettre cette absurdité. Comment en ajoutant des entiers positifs on peut concevoir un résultat négatif. Les mathématiciens ont vrillé quelque part à un moment donné
autant cette démonstration peut être contesté dès qu'on va plus loin dans les niveaux de validation (Rémi Peyre en a montré les limites sur le blog de science étonnante il y a quelques années où il avait expliqué pourquoi ça ne marchait pas), autant le -1/12 a une réalité physique et mathématique à plusieurs niveaux. Il y a des théorèmes mathématiques et des lois physiques où -1/12 est la seule valeur possible de la somme 1+2+3+4etc... comme par exemple dans la fonction de Riemann, La supersomme de Ramanujan ou encore dans le calcul de l'énergie du vide par Casimir.
On ne peux pas soustraire 2 séries valant +∞ Explication: prenons: S= 1+2+3+4+5+6+... comme dans la vidéo Et calculons S-2S+S : S= 1+2+3+4+5+6+... -2S= -2 -4 -6 -8-10 -... + S = 1 +2+3+4 +.... En additionnant en "colonne" on obtient donc: S-2S+S = 1+0+0+0+0+... = 1 Or S - 2S + S = 0 (logique c'est comme x-2x+x) Donc 1=0. Autrement dit, il y a une absurdité dans les hypothèses: On a supposé dans la raisonnement qu'on peux manipuler des séries infinies comme on veut, mais ce n'est pas le cas.
A mon avis, c'est vraiment pas bien de faire des vidéos de ce style au niveau lycée ou moins ; cette somme n'est qu'un prolongement par continuité de ζ(-1) et ne correspond à aucune réalité. En effet, avant d'effectuer des calculs, il faut s'assurer du domaine de définition utile c'est comme dire que 1/0 =2. Avant d'utiliser les sommes ∞ il faut au moins s'assurer qu'elles signifient quelque chose. la somme 1+2+3+... ne vérifie pas le critère de convergence donc on ne peut pas la calculer avec les lois d'addition normales, c'est d'abord ça l'important.. faire des calculs à partir de là c'est faire n'importe quoi ! exemple encore plus simple, je vous démontre que 1=0 en deux lignes ! en effet soit N=1+1+1+.....1+1 +....1 jusqu'à l'infini et alors N=1+ (1+1+1+.....1+1 +....1 jusqu'à l'infini). on reconnait N dans la parenthèse, il vient donc que N=1+N soit que 0=1 Pour être complet "l'égalité" par continuité ζ(-1)=-1/12 est utilisée en physique dans l'effet Casimir (non, pas le dinosaure !) pour calculer l'effet d'une somme infinie de fréquences et évaluer la force entre deux plaques métalliques placée dans le vide absolu (une histoire d'E₂PZ)
Même quand ça converge on ne peut pas faire de calculs "normal", par exemple 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... = ln 2 et si on veut juste appliquer l'associativité de l'addition en réarrangeant les termes (1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8... = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 = (1/2) ln 2. Les deux séries sont parfaitement égales à leur résultat mais évidemment 1 n'est pas égal à 2 et donc les séries ne sont pas égales, donc réarranger des termes dans une série infinie, même convergente, ne peut être fait que sous certaines conditions
@@kaviramyead7987 Tout à fait ! On ne peut pas appliquer l'arithmétique de Peano sur de telles sommes. Pour les manipuler il faut d'autres théories dépassant l'arithmétique, qui sont, pour la plupart basées sur la topologie, l'analyse, voire même analyse complexe, ces notions ne sont qu'abordées dans l'enseignement supérieur, ce pourquoi il est assez peu opportun de les traiter à un niveau collège/lycée.... sauf pour rigoler.
Bon divertissement ! mais je suggère de mentioner le terme "paradoxe" dans le titre. Bien sur la sommation par paquet ne peut pas avoir de sens si la serie ne converge pas!
Ce qui me dérange le plus c'est que l'on parte du principe que A = 1/2. Si on groupe les termes différemment, par exemple 2 à 2 en partant du 1er, on obtient que A =(1-1)+(1-1)+(1-1)..... donc A = 0 Et si on groupe les termes 2 à 2 en partant du 2éme, on obtient que A = 1-(1+1)-(1+1)... donc A = - ∞ Dans ces 2 cas, la démonstration ne tient plus. Donc comment peut on se baser sur un choix arbitraire pour décider quelle est la valeur de A
En regroupant les termes à partir du deuxième, ça fait A = 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)... = 1. Pas - ∞ Pour faire simple, le problème de ces regroupements, c'est que tu as besoin de "finir" un regroupement pour que ce soit valable. Donc dans le premier cas tu pars du principe que la somme se fini par "-1", et dans le deuxième cas qu'elle se fini par "+1". Hors, elle ne se fini ni par -1, ni par +1 : elle ne se fini pas, elle est infinie.
Merci pour cette vidéo. Du coup... - Que penser du mathématicien qui a mis cela le premier en avant ? Un charlatan, ou bien juste quelqu'un voulant nous faire une sorte de démonstration par l'absurde ? - Une telle addition (sans parler du résultat) est-elle valide en mathématiques ? - Du coup, quel serait le résultat correct ? Une impossibilité ? Un nombre infini ?
Tu dis que cette somme est fausse. Mais comment se fait-il alors qu'Henrick casimir ai utilisé ce résultat dans une de ses études en mécanique quantique, et que par l'expérience, ce qu'il a démontré par le calcul en remplaçant 1+2+3+...=-1/12 soit entièrement cohérent ? Je pense plutôt que cette somme n'est pas fausse dans tous les domaines des maths. En effet, il y a des personnes qui refusent l'axiome du choix par exemple pour développer certains penchant mathématiques. Pourquoi ici on ne serait tout simplement pas dans une autre branche des maths ?
Je suis fasciné par tous ces experts en mécanique quantique et en théorie des cordes dans les commentaires Nan mais franchement, vous avez vu 1 vidéo de sciences étonnantes et vous parlez comme des doctorants en physique quantique 🤣🤣
Ces expressions sont en réalité ce qu'on appelle des séries numériques divergentes, on ne peut donc déterminer leur valeur. Il est donc absurde de dire qu'elles valent 0, 1 ou 1/2, vu qu'il y'a une infinité de termes, même si les calculs faits sont tout à fait cohérents. Mais bon, je ne m'aventurerais pas trop là-dedans parce que c'est niveau bac+2/bac+3.
Cette somme n'est pas si absurde que ça parce qu'elle ressort exacte dans un phénomène de la physique : l'effet Casimir, l'énergie du vide. Dans l'équation du physicien Casimir apparaît un facteur sous la forme de la sommation de tous les entiers naturels et aboutit à une énergie infinie pour le vide entre deux plaques conductrices sauf si on remplace ce facteur par -1/12. Et le résultat du calcul correspond au résultat obtenu en laboratoire. Pour nous, cette manipulation mathématique ne semble être qu'un jeu de tour de passe-passe mais la nature en a apparemment décidé autrement.
C’est normal que le résultat soit absurde. C’est une série infinie dite divergente et d’ailleurs pour la série 1 - 1 + 1 - 1 .. si on considère qu’il y’a un nombre paire infini de 1-1 la somme donnerait 0 et si il y’a un nombre impair infini de terme tu as 1. Tu obtiens plusieurs résultats différents suivant la façon dont tu attaque la somme
C'est très intéressant ! Cependant j'aurais aimé que tu expliques un peu plus profondément l'erreur et pas simplement dire c'est l'infini donc il faut faire attention à ce type de raisonnement.
Je crois que Mic Maths avait fait la même erreur, en faisant l'opération 1-(1+2+3...) on somme une S(n) avec une S(n+1) @@algebrilleexceller3455 donc on manipule la somme à l'infini avec "à l'infini +1"
Non ce n'est pas ce que je voulais dire. Si on fait des opérations sur des suites, il faut le faire pour la même valeur de n. Par exemple S(10) que l'on va multiplier ou soustraire par B(10) et pas B(9). En ré-écrivant S on arrive à écrire S=S+1 alors qu'en fait ce qu'on a serait plutôt S(10) = 1+S(9) ; donc les sommes S qu'on obtient comme ça ne sont pas "les mêmes". Si on fait le calcul en colonnes, c'est comme additionner deux lignes mais en décalant les colonnes de l'une. @@algebrilleexceller3455
Déjà avec A il y a un problème, le fait de de dire A = 1 - A est faux. Si on extrait un "1" puis on rajoute la suite complète de A, alors l'égalité n'est plus juste, il faut équilibrer et rajouter un 1 aussi de l'autre côté. Avec B, il y aussi un problème, on ne peut pas décaler l'addition sinon on pourrait aussi la décaler de 2 crans, ou de 3... et le résultat serait totalement différent en calculant 2B, on aurait par exemple : 2B = 1 - 2 + 4 - 6 + 8 .... ou 2B = 1 - 2 + 3 - 3 + 3 .... En fait avec ce genre de manipulations on peut arriver à toutes sortes de résultats avec cette suite, S = -1/12, S = 0, S = 349....
Tout le monde est d'accord avec -ou a admis- cette démonstration. Toutefois : d'où proviennent A et B ? Personne ne l''explique jamais, et franchement, dans le genre sorti du chapeau, ça se pose là. « Pourquoi "1-2+3-4…" ? » et « Pourquoi "1-1+1-1+1…" ? » Je n'ai pas encore vu de réponses à ces questions dans les vidéos qui proposent cette démonstration, mais peut-être n'ai-je pas cherché aux bons endroits 🤔🤗
Démonstration par l'absurde : On suppose que la série 1-1+1-1+1-1+.... est convergente et que sa somme A existe. D'après votre démonstration, A=1/2. D'autre part, A=1-1+1-1+1-1+... A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+... A=0+0+0+.... A=0 donc 0=1/2 ==> contradiction. Donc la série 1-1+1-1+1-1+..... ne converge pas, et sa somme n'existe pas. CQFD.
C'est faux. Les séries divergentes ont des valeurs. Mais comme les profs en parlent (ou les connaissent) rarement, les explications ne permettent pas de bien comprendre ce qui se passe.
@@__-1234 Oui cest vrai, meme si par abus, les 2 ont le même sens. On fait pareil pour une série convergente : on parle de "sa" valeur; alors qu'on en lui associe une.
Exactement , c'est impossible C'est pas vrai ... et tu le sais , y a un décallage interdit grace à ( ou dans ) l'infini.... mais qui le sait ? Une somme de positis ne ne peut pas être négative :) Merci à Srinivasa Ramanujan d'avoir fait ce genre de magie , même si il s'abère que ce -1/12 sauve des expériences de physiques , c'est farfelu
2:15 pour moi, on est déjà faux ici. Certes, ça ressemble à 1-S, mais seulement parce qu’on ne considère qu’une partie de la suite. Dans la parenthèse, on a en fait une somme qu’on peut noter X, avec X=-1+1-1+1… En re déroulant : 1+X=S ( et donc implicitement X = S-1) 1-(-X)=S En remplaçant X par S-1 , on obtient 1-(1-S)=S 1-1+S=S Soit S=S. CQFD, ça ne nous apprends donc rien sur S, mais au moins, c’est juste 😂
Explications très limpides .Merci à vous de nous instruire contrairement à certains profs qui sont assez doués pour nous démotiver par des démonstrations alambiquées.
Eh eh… le résultat paraît complètement absurde, mais pourtant dans certain concept en physique où l’on met en jeu la somme des entiers naturels et qu’on utilise le résultat démontré ici, et bien ça marche … cela montre bien que notre façon d’appréhender les concept infinis peuvent quelque fois nous jouer des tours …
"Intuitivement", on sent qu'on se fait arnaquer quand on commence à "décaler" les sommes infinies pour faire du terme à terme qui nous arrange : Pour moi, à 3:10 par exemple, c'est foireux : 2B vaut 2 - 4 + 6 - 8 + 10... et non 1 - 1 + 1 - 1 (donc A) comme indiqué à 4:00 Donc je pense que la bonne question à se poser à ce moment-là c'est : a-t-on le droit de faire ça ??
On ne peut pas manier des infinis comme des réels donc il est impossible par exemple de faire l’opération que tu as fais avec A car un infini n’est pas forcément égal à un autre infini (renseignez vous sur les limites par exemple pour comprendre mieux)
Il me semble que ce résultat a été utilisé dans les travaux de Mr Casimir, travaux portant sur l'energie entre 2 plaques infiniment proches. Du coup résultat valide ou pas ? ^^
Avec les mêmes manipulations, tu peux montrer que ça vaut n'importe quoi comme 1/8 par exemple du coup le raisonnement marche pas. Cependant, si on passe par des calculs avec la fonction zeta, on peut observer qu'il existe un lien entre -1/12 et cette somme mais à aucun moment ils sont égaux. Petite pensé pour Ramanujan qui, malgré son faux raisonnement, a réussi à percevoir qu'il existait tout de même un lien entre cette somme et -1/12. Ce mec était définitivement un génie.
Eh bien justement, son raisonnement n'était pas faux. La preuve dont vous parlez n'utilise pas les "mêmes" manipulations, mais des manipulations analogues supplémentaires, ce qui provoque l'absurdité. Si vous vous en tenez *strictement* aux propriétés visibles de la vidéo, je vous mets au défi de trouver une autre valeur que -1/12
@@algebrilleexceller3455 Les manipulations ne sont pas les mêmes, certes, mais pourquoi la somme des entiers serait-elle différente de 1 + 9 + 27 +... si la commutativité de l'addition est quelque chose de vrai? Je crois plutôt que l'ont parle d'une mathématique différente de l'habituel. Une mathématique ayant ses propres codes. Une mathématique qui accepte que 1-1+1-1+1-1+...=1/2. Cependant, dans le cadre de la mathématique habituelle, cette égalité ne peut pas fonctionner. Pour que ça marche, il faut étendre les fondements. Pas simplement dire que c'est acceptable. Il faut supposer des vérités que les mathématiques habituelles n'accepte pas.
L'explication n'est pas très compliquée, la quasi totalité de ce qui est fait ici s'applique aux séries convergentes, le simple fait d'écrire "A=1+2+3+..." en partant du principe que A a le droit d'être un nombre est déjà faux, avant de faire ça il faut d'abord démontrer que la série est convergente, une fois cela fait on peut appliquer l'algèbre classique par exemple. En d'autres termes, si une série est divergente et qu'on lui applique des théorèmes qui ne s'appliquent qu'aux séries convergentes il n'est pas étonnant d'arriver à des absurdités.
Comme beaucoup, vous confondez "nécessaire" et "suffisant". Il est "suffisant" que la série converge pour donner un sens à certaines manipulations algébriques. Mais ce n'est pas nécessaire. On peut le faire autrement; avec des opérations qui généralisent la limite des sommes partielles. Certaines manipulations sont parfaitement légitimes avec des séries divergentes.
@@algebrilleexceller3455 oui c'est exactement ce que dit mon post 😆 Mais il se concentre plutôt sur l'autre partie de la conclusion qui est la partie pertinente à savoir que certaines de ces manipulations sont parfaitement illégitimes avec des séries divergentes.
@@bbzabstractgames Justement non. Car celles de la vidéo sont en fait parfaitement légitimes sur les séries divergentes. Considérer A ce n'est pas dire que c'est une série convergente. Et il n'y a en fait aucune absurdité...
@@bbzabstractgames Avant de juger superficiellement le niveau d'un "random", il serait bon d'y réfléchir à 2 fois 😉. Imagine que ce random t'apprennes un truc que tu ignorais? Non, ça ne peut pas arriver bien sûr, n'est-ce pas ?
Ce qui me titille quand même, c'est que la valeur d'une série (des entiers naturels) soit plus petite que la série alternée des ces entiers naturels🧐. C'est pas logique. Passons le fait que le résultat soit une fraction.Mais bon, on n'est pas à un paradoxe près quand on touche à l'infini 🥸 Limpide comme toujours, merci 👍
Comment sait-on que les propriétés des opérations restent les mêmes lorsque l'on manipule des infinis ? En particulier avec ce genre de raisonnement il est possible de montrer que cette somme vaut absolument tout est n'importe quoi. Vous voulez surement faire référence au fait que la limite quand x tend vers -1 de ζ(x)=-1/12 ce qui est vrai mais pour cela on suppose que ζ est holomorphe, supposition que vous ne faites pas...
La démonstration est fausse parce que les axiomes de base utilisés sont incohérents pour les suites infinies. Ce n'est pas vraiment un problème de manipulations. Les gens semblent penser que les mathématiques sont "universelles", alors qu'en fait il y a autant de mathématiques que de systèmes d'axiomes posés à la base. Il est impossible de démontrer qu'un système d'axiomes est complet et cohérent, mais ici on voit bien que pour les suites infinies, le système choisi est incohérent: Il pourrait permettre très aisément d'obtenir plusieurs réponses avec la même formulation de départ.
Dans le système axiomatique utilisé, cette somme n'a aucun sens, ce n'est pas pour autant que le système choisi soit incohérent ni inconsistant, le terme correct est plutôt "incomplet". et ce que vous dites "Il est impossible de démontrer qu'un système d'axiomes est complet et cohérent" est faux En effet, on démontre assez facilement que tout système axiomatique "quel qu'il soit" sera TOUJOURS incomplet (voir les théorèmes d'incomplétude de Gödel
@@michelbernard9092 : Le terme n'est pas "incomplet", il est "incohérent": Il ne manque pas des axiomes, c'est au contraire que je jeu d'axiomes choisi, permettant par pur exemple l'associativité et la commutativité permet de trouver des résultats différents à la même série, et donc de "démontrer" que A = B et que A = C avec B différent de C. Pour ce qui est de mon affirmation "fausse et de Gödel, j'ai bien précisé "ET": On peut toujours tenter de compléter un jeu d'axiomes mais on ne pourra jamais démontrer que l'ajout n'a pas rendu ce système incohérent. De toute façon avec les suites infinies on sait assez facilement donner des exemples où l'utilisation de l'associativité et de la commutativité permettent de trouver deux résultats incompatibles pour la même opération: La monstration valide l'incohérence. Le reste, c'est pur débat de verbiage, voire philosophique, le net déborde de débats au sujet de l'interprétation des théorèmes d'incomplétude et de cohérence. Pour le dire de façon plus simple: On ne peut pas se mettre à jouer avec les propriétés des additions finies en les appliquant aux opérations infinies, car ce ne sont pas des additions sur lesquelles les mêmes axiomes s'appliquent, ou qui ne bénéficient pas des mêmes propriétés. Ce ne sont même pas des "additions" au sens strict du terme, car le symbole "+...." n'est PAS un symbole d'addition. C'est ça que mon propos signifie: Soit on dit qu'on a appliqué un jeu d'axiomes sur une addition infinie qui se retrouve incohérent dans ce cas, soit on dit qu'il manque des axiomes spécifiques pour la série infinie, soit on dit que les propriétés de l'addition classique ne s'applique pas aux additions infinies, soit on dit que le symbole "combiné" "+..." n'est pas une addition et donc qu'on ne peut pas en utiliser les propriétés: C'est choux vert et vert choux, c'est limite philosophique, l'important c'est que toutes ces "démonstrations" qui amènent à un résultat sur des séries divergentes infinies sont fantaisistes.
@@claudeBgf Vous écrivez" "mais on ne pourra jamais démontrer que l'ajout n'a pas rendu ce système incohérent" J'ai juste dit que d'après Gödel vous pouvez ajouter le nombre d'axiomes que vous voulez, (sauf peu-être à en écrire un nombre infini) le système sera toujours "incomplet" La notion de cohérence n'a pas lieu d'être en math, c'est la notion de "consistance" que vous devez confondre. Mais bon, on a aussi démontré qu'on ne pouvait pas démontrer la consistance d'une théorie mathématique. Bien à vous.
@@michelbernard9092 : Tu préfères "inconsistant" à "incohérence", ça ne me pose aucun problème mais ça ne change rien, surtout que tout le monde peut comprendre ce que j'ai voulu dire: Avec un système incohérent ou inconsistant, comme tu veux, on peut obtenir deux résultats différents selon la méthode qu'on a utilisée. Dès qu'on se met à utiliser les propriétés de l'addition pour les suites infinies, on peut en réalité obtenir exactement le résultat qu'on veut. Ce qui revient in-fine à "démontrer" que 0 = 1. Pour ce qui est de l'incomplétude, dire que le système sera toujours incomplet (dans le cas spécifique précisé par le théorème) est parfaitement compatible avec le fait qu'on ne saura jamais démontrer qu'il est complet, le premier étant un durcissement du second. Surtout que j'ai associé dans la même phrase les deux concepts. Encore une fois, j'ai dit "complet ET cohérent", dans le sens où, si tu ajoutes des axiomes pour permettre de résoudre un énoncé non démontrable, par exemple, tu ne pourras jamais démontrer que cet ajout n'a pas rendu le système incohérent (ou inconsistant si tu préfères). Si tu regardes la sémantique des énoncés de Gödel, son premier énoncé dit ceci (source: wiki, même si ce n'est pas toujours très pertinent): "Le premier théorème d'incomplétude établit qu'une théorie cohérente suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe des énoncés qui n'y sont ni démontrables, ni réfutables (un énoncé est démontrable si on peut le déduire des axiomes de la théorie" Tu vois bien qu'il est expliqué que le système est incomplet du fait qu'il existe des énoncés qui ne sont ni démontrables ni réfutables. Il est bien dit "au sens où...", donc c'est à lier avec cette notion. Il est dit également "suffisant pour y démontrer les théories de base", ce qui veut dire que si tu as complété ce système d'axiomes pour prendre en compte les autres cas que les théorèmes de base, tu sors du cas où c'est forcément incomplet et tu entres dans la possibilité de l'incohérence. Bref, il n'est pas toujours incomplet dans l'absolu, il est nécessairement incomplet s'il est d'une part cohérent et d'autre part juste suffisant pour y démontrer les théorèmes de base. Donc, si tu analyses ce concept, ça veut dire qu'on va devoir finir forcément trouver des énoncés qui ne sont ni réfutables ni démontrables si tu n'as fait que créer tes axiomes pour résoudre les théorèmes de base. Mais rien ne "prouve" qu'on va trouver de tels énoncés dans un système plus étoffé. Dès lors, ce que ça veut dire en fait, c'est qu'il reste toujours possible le fait qu'on pourra trouver des énoncés non réfutables/démontrables, et donc qu'on ne saura jamais démontrer que le système est complet, ou, inversement, que les ajouts n'auront pas produit d'incohérence. Bref, si tu te limites aux démonstrations des théorèmes de base tu as un système incomplet, mais si tu cherches à résoudre cette incomplétude alors tu te retrouves avec l'impossibilité de démontrer que ton système étoffé est à la fois complet ET cohérent. C'est pour ça que je te dis que ça ouvre à des débats philosophiques sur l'interprétation "fine", mais la réalité c'est que tu dois considérer qu'au minimum il reste possible que le système d'axiomes choisi ne soit pas à la fois complet et cohérent puisque tu ne peux pas le démontrer: Ou "consistant" si tu préfères, mais note que l'énoncé du principe d'incomplétude est repris avec le terme "cohérente": Encore une fois, des débats philosophiques ou référent à l'interprétation des mots. On a écrit carrément des livres sur la façon d'interpréter ça, c'est moins "strict" et "évident" qu'il n'y paraît, c'est juste une porte ouverte sur des notions bien plus vastes. Je me contente juste, moi, de prendre le niveau minimum, à savoir qu'on ne peut pas démontrer qu'un système est à la fois cohérent et complet, c'est en fait le minimum syndical sur lequel tout le monde s'accorde. Mais j'ai juste voulu dire au départ qu'on utilisait des propriétés et des axiomes qui ne fonctionnent pas avec les séries infinies, donc c'est pour ça que la "démonstration" ne fonctionne pas et permet de trouver n'importe quel résultat de son choix. En fait, c'est ce que dit l'auteur de la vidéo, j'ai précisé parce qu'il dit que le résultat invraisemblable est lié à sa façon de manipuler les termes, alors même que ses "manipulations" sont correctes. Je dis qu'en fait l'erreur est plus avant, c'est de considérer ces suites infinies comme une addition. Et j'ai parlé d'axiomes parce qu'on réfère ici à des axiomes sur les réels alors qu'on y fait entrer la notion d'infini. Pour le dire plus clairement (j'espère), je dis que l'erreur ne vient pas des manipulations, l'erreur provient du fait qu'on décide au départ qu'on peut traiter des suites infinies comme des additions classiques sur les réels. Ce n'est pas le cas, dès lors il faut d'autres "règles" pour solutionner ces séries.
on parle d'un résultat concret à partir du facteur "Infini" qui est une valeur fictive. l'infini' à mon sens n'existe pas et si on l'insérer malgré tout dans un calcul, il en résulte une ineptie
A et B ne sont pas convergentes, donc les opérations sur ces séries ne sont pas légales... sauf si on utilise une sommation de Cesaro, auquel cas A = 1/2 et B = 1/4. Mais même avec une sommation de Cesaro, S n'est pas convergente, donc dans tous les cas les opérations sur S (genre S-B=4A) ne sont pas légales
Pour ceux qui se posent la question : la première erreur est qie la valeur A n'existe pas. Ce n'est pas 1 ou -1 ou 0 ou 1/2, ce n'est rien du tout. On peut le démontrer en faisant appel à la définition de la limite et remarquer que peu importe la valeur l réelle, la suite (a_n)_n = (-1)^n n'est jamais contenue dans l +/- 1/4 par exemple. Par conséquent (a_n) diverge et la série somme(a_n) = A diverge aussi. Ceci seul suffit à faire tomber la preuve, mais il y a d'autres arguments fallacieux dedans aussi : notamment le fait qu'on n'a pas commutativité et associativité dès lors qu'une série diverge.
Pourtant votre affirmation est totalement fausse mathématiquement. La valeur A n'est juste pas la limite des sommes partielles. Le fait que la limite des sommes partielles n'existe pas ne signifie pas qu'aucun objet mathématique "raisonnable" ne puisse donner un sens à ces calculs. Or, il se trouve que c'est justement le cas. Cela s'appelle la sommation des séries divergentes.
@@algebrilleexceller3455 C'est ce qu'on appelle le prolongement analytique, mais hélas si l'on se permet de commuter et associer les termes d'une suite divergente, dans la mesure où elle ne converge pas absolument, alors lors de la sommation, on peut se retrouver à dire n'importe quoi (de la même façon, en réarrangeant les termes différemment, on peut démontrer qu'il est possible d'atteindre n'importe quelle limite qu'on souhaite), d'où mon commentaire initial. Vous n'avez pas tort, mais vous ne me donnez pas tort non plus.
@@alexandrezeddam7817 Votre (1er) commentaire est faux sur plusieurs points (avec certaines répétitions d'erreurs ds le dernier): 1) "A n'a pas de valeur". C'est faux. Et ce n'est pas que une histoire de prolongement analytique, c'est un peu plus profond que ça. 2) On a pas utilisé la commutativité, ni l'associativité mais la linéarité et la stabilité (ou translativité) ainsi qu'une simplification particulière de 0. Ce que vs dites sur les 2 premières est correct, mais ça n'a juste rien à voir ici. Et il est facile de démontrer que chaque propriété appliquée à la série comme il le fait est tout à fait légitime. 3) La preuve faite ici n'est donc pas fausse. Elle est correcte; mais comme elle est mal comprise/interprétée, tout le monde dit qu'elle est fausse, alors que non.
Toute la preuve résulte sur le fait que la première série diverge, mais ce qu'il y a d'intéressant c'est les sous-sommes appelées A B qui sont des sommes semi convergentes, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou bien tende vers plus ou moins l'infini. Il en résulte que dans ℝ, toute série inconditionnellement convergente est absolument convergente (autrement dit : toute famille sommable est absolument sommable).
Une infinité de mathématiciens rentre dans un bar ou la bière est à 3euros. Le premier en commande une, le 2eme deux, le 3eme trois etc... Le barman leur dit "Vous payez d'avance" et leur donne 25 centimes.
Oui, très bonne comparaison, ce qui montre bien que cette démonstration est fausse, même si par contre la fonction zeta de Rieman peut être définie en -1.
@@algebrilleexceller3455 En fait si je me souviens bien, i arrive assez facilement comme intermédiaire de calcul dans la résolution des polynômes de degré 3.
@@__-1234 Oui bien sûr. Ce qui en montre la légitimité. Pourtant, si on fabrique une situation réelle (au bar par exemple), on pourra facilement exhiber une absurdité "remettant en question" le sens de i. Alors qu'on sait que c'est plus compliqué qu'une histoire de payer i euros....
J'ai un problème avec cette démonstration : je ne comprends pas d'où sortent A et B. Pendant qu'on y est, pourquoi ne pas avoir ajouté les 24 autres lettres ? Et pourquoi avoir décalé d'un rang plutôt que de 2, 3… ou pas du tout ? Pourquoi ne pas avoir créé une liste baptisée de la lettre que l'on désire avec la liste des nombres premiers jusqu'à l'infini ? En fait, je ne comprends pas la méthode, je la trouve arbitraire et fantaisiste, je ne saisis pas sa légitimité.
Tu oublies de dire qu'on peut tout à fait définir un algèbre dans lequel ces manipulations seraient légales. Et c'est d'autant plus intéressant que ça a des applications pratiques vérifiées dans la nature.
Ça commence plutôt mal votre démonstration.... En mettant à part le premier 1 de la somme A, cela donne A=1+(A-1), c'est à dire, après votre inversion des signes.... A=1-(-A+1), soit A=0; ce qui correspond bien à un des deux résultats intuitifs pour la somme à l'infini A (0 ou 1); ce n'est plus A que vous avez à la droite du 1 puisque vous avez sorti le premier 1 mais A-1!... Et ce qui suit est aussi grotesque (cf votre somme 2B avec 5 éléments en haut et quatre en bas !! si vous aviez fait les choses correctement vous auriez obtenu logiquement 2B = 6 ! ). Et, petite remarque qt au français,... "C'est qui ça ? Tu ne reconnais pas qqu'un de connu ?", "Là, ya personne." etc., etc. !! les objets mathématiques ne st pas des personnes !!... Ce n'est pas étonnant que vous aussi arriviez à confirmer la soi-disant géniale découverte.... somme des n entiers successifs = -1/12 !! Même si vous n'avez peut-être jamais entendu parler du génial Gauss, qui, a 8 ans, a trouvé en qqs secondes et en tte logique la somme des, par ex., 50 entiers successifs ! par quel mystère ce qui marche ici, pour une suite définie, c'est-à-dire la logique, tt simplement ! ne marcherait pas pour une suite infinie ?!! Si les maths permettent de faire de belles trouvailles, ce n'est pas pour autant de la magie, des tours de passe-passe... abracadabrantesques !!....
Ceci dit en utilisant des nombres complexes dans la fonction zêta on peut arriver à ce résultat nn?
2 дня назад
Ce qui est le plus drôle, c'est que cette égalité qui semble intuitivement fausse (la somme de nombres positifs ne peut être négative) a des applications concrètes en physique quantique !
Il est intéressant de faire l' inverse : partir de (moins 1/2) et parvenir aux 3 suites infinies. Et on peut conclure que (moins 1/2) est donc le résultat de ces 3 suites infinies. Et se poser la question d'une démonstration à venir : tous les nombres peuvent-ils être, comme (moins 1/2), le résultat d'addition de suites infinies ? Si oui, combien ? Lesquels ? Y-en-a t-il une infinité ? Et c'est un nouveau problème du siècle à venir. Car si on le résout, on pourrait apporter une explication non négligeable à l'effet Casimir.🤔
Je pensais que le but de cette chaine était de vulgariser les maths. Autant j’ai beaucoup appris sur cette chaine YT, autant ici, j’ai l’impression d’avoir écouté un gourou qui m’a fait la démonstration que dieu existe. 😊
Que les mathématiciens considèrent que ce soit une erreur de faire cela je peux le comprendre par contre tu ne peux pas dire (littéralement) que c'est une absurdité. Cf l'effet Casimir qui prouve que cette relation a un sens même si c'est effectivement très perturbant...
Bonjour hedacademy Vous expliquez des concepts compliqués avec des détails de calcul d'ordre élémentaire (réécriture de la division d'une fraction)... Certainement que votre public n'a pas le niveau. C'est vrai que finalement vous ne donnez pas la raison de ce que vous appelez une "absurdité". En fait la seule absurdité ou incohérence c'est de traiter les membres de ces égalités comme des nombres classiques, que connaissent votre public. Or ce ne sont pas des nombres "classiques ", c'est ça la raison de "l'erreur" , c'est une erreur d'interprétation. Car ces égalités , du moins la somme de tous les entiers égal à -1/12 , marchent en calcul physique puisque cela donnerai le calcul de la force d'attraction dans l'effet Casimir qui est un phénomène de physique quantique. Au sens classique des nombres, les calculs sont faux car, vous le savez sans doute, vous effectuez des regroupements de termes sur des séries infinies qui ne sont valides que si les séries sont uniformément convergentes. Or ces séries ne sont même pas convergentes, le terme général de surcroît ne tendant pas vers zéro. Donc cette "égalité" entre des "nombres" est juste mais elle ne concerne pas les nombres usuels. Elle concerne des entités mathématiques, qu'on appelle des nombres, notamment parce que les calculs, qui sont faux pour les nombres usuels, mais que vous effectuez marchent aussi. C'est en somme une généralisation de la notion de nombre. Voilà ce que vous auriez pu expliquer à votre public même si un sur 10000 y aurait réellement compris quelque chose. On peut aussi parler de prolongement analytique de la fonction zêta et d'hypothèse de Riemann...mais bon là on arrive dans la stratosphère des maths.
il n ya pas le droite que faite des operations dcomme la soustraction avec des objets qui est n e'est pas des nombres , comme arbre et arbre , chaise et chaise , ... et comme finalmenete infini et infinie (l'infini ce n'est pas un nombre)
Mais tu ne l'avais pas déjà fait cette vidéo ? 3:10 Je suis un peu choqué que pour calculer 2B tu décales les valeurs .... ça change tout. Comment on peut se permettre ça ? Édit après réflexion : et bien si, c'est juste, puisque c'est une addition, ça ne change pas le résultat de décaler. Pas évident, il a fallu que je prenne du recul pendant 30 minutes. 😂
Pourtant cette somme valant -1/12 est la logique conséquence de prolongement analytique sur le plan complexe…. résultat vrai, mais raisonnement faux. C’est magique, les maths !
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L'erreur est d'appeler S une somme infinie, comme si cette somme convergeait, cad qu'elle était un nombre. Cela revient à manipuler +infini comme si c'était un nombre, ce qui est incorrect
Pour être vraiment exact, tu es autorisé à faire certaines opérations algébriques sur l'infini (que tu supposes être + infini) cf arithmétique sur R+^*, mais en revanche tu n'as pas le droit à priori de retrancher une quantité infinie dans une égalité, car ce n'est pas tout le temps bien défini
Enfaite la démo ici montre que SI la somme de la série est finie, alors elle vaut -1/12 mais ce n’est pas une équivalence.
je suis d'accord mais mon probleme c'est que il y a une difference entre une serie et une somme partielle, l'erreur ici c'est de vouloir trouver le resultat d'une serie, ce qui est tellement absurde. Pourquoi vouloir la manipuler comme une somme partielle??
Tu dis que c’est une erreur et pourtant cette valeur est utilisée en physique par exemple avec “l’effet Casimir” et a été mesuré expérimentalement. Finalement est-ce que c’est vraiment une erreur ?
@@sebastienlatchman4990 C'est une erreur dans le domaine des mathématiques "traditionnelles", qui interdit de traiter des sommes infinies divergentes comme si c'était des nombres finis. Néanmoins, il peut tout à fait y avoir des domaines d'applications si on étend ce domaine. Ainsi les nombres complexes permettent de gérer les calculs des courants alternatifs avec la même facilité que les courants continus. Pourtant, racine carré de -1 est une erreur dans les nombres réels.
ça serait cool d'avoir la suite avec l'explication des faux raisonnements :)
Tout ce qui repose sur le fait d'utiliser une série qui ne converge pas vers un nombre défini comme s' il s' agissait d'un simple nombre, est biaisé.
@@ZorbilinusOui mais non! Car le problème n’est pas vraiment là. Ce dont il faut s’assouplir l’esprit c’est de cesser de croire abusivement qu’il n’y a que la « convergence HABITUELLE » au monde! Ce n’est pas le cas, il y a une infinité de types de convergence…
Aussi à priori, ce n’est pas parce que cette série diverge manifestement au sens « HABITUEL » de la convergence LA PLUS « USUELLE », qu’elle est condamnée à un tel tombeau pour d’autres types de convergence.
Une convergence maintenant classique qui permet de donner du sens à certaines séries divergentes, est par exemple la convergence de Césaro.
Mais le problème est ici bien plus vaste et plus profond. Car il ouvre sur le vaste et important chapitre des PROLONGATIONS ANALYTIQUES en Analyse Complexe, massivement initié par Bernard Riemann.
Et précisément, ce problème porte sur la fameuse FONCTION ZETA DE RIEMANN…
Oh les faux raisonnements sont très faciles à identifier. Rien n’autorise à priori à faire sur [-♾️,+♾️] des calculs arithmétiques qui n’ont été définis que sur ]-♾️,+♾️[.
En d’autres termes, appliquer sans précautions des raisonnements FINIS à L’INFINI, est à priori ILLICITE. Et il faut donc beaucoup plus de prudence, de subtilité, de rigueur et d’innovation pour s’attaquer à l’infini. Avec un cure-dent ça ne le fait pas…
la faute c qu'on ne peut rien faire avec l'infini, ni additionner ni soustraire ni ajouter un nombre ....ni rien, infinie + infini ne vaux pas 2 infini et infini -infini ne vaux pas 0 aussi infini / infini ne vaux pas 1 ... , donc toute manipulation avec l'infini est fausse
Une tentative d'explication : ce qu'on a montré, c'est que si la somme Sn = 1+2+3+4+...+n admet une limite quand n tend vers + l'infini, alors -1/12 est une valeur possible. Or la suite diverge au sens classique, donc n'admet pas de limite au sens classique. C'est un peu comme quand on résout une équation et qu'on trouve plusieurs valeurs possibles pour x, mais que certaines sont interdites. Ici, une valeur candidate de la limite est -1/12 mais est interdite car la limite n'existe pas. Par ailleurs, voici un autre raisonnement qui permet de trouver une autre valeur de limite possible :
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ...
S = 1 + (2+3+4) + (5+6+7) + (8+9+10) + ...
S = 1 + 9 + 18 + 27 + ...
S = 1 + 9*(1+2+3+...)
S = 1 + 9*S
S - 9*S = 1
-8*S = 1
S = -1/8
Quand on joue avec des sommes infinies qui divergent, on peut leur trouver à peu près n'importe quelle valeur de limite... puisque ces limites n'existent pas au sens classique de la convergence.
Le souci tient au fait qu'on a fait des opérations dans l'ensemble [ -infini ; +infini ], alors qu'elles ne sont possibles que dans R=] infini ; + infini [.
Autrement dit : les opérations n'ont de sens qu'avec des nombres finis, ce que n'est pas S.
Non ce résultat est juste ! :
ruclips.net/video/xqTWRtNDO3U/видео.html Un mathématicien qui cadre correctement ce calcul et fait une allusion a un autre résultat mathématique encore plus fou.
ruclips.net/video/jyQ_hUVI4Gk/видео.html Un physicien qui donne une utilisation concrète (effet Casimir) et une abstraite (théorie des cordes) physique de se résultat et démontre ce résultat en remplaçant l'infinie par une suite fini indéterminé très grande.
@@tiper2107 Non, ce résultat est faux, désolé. Car la démonstration est fausse, à cause de ce qui est mentionné ci dessus. Ce qui est vrai, c'est que l'extension de la fonction Zeta de Riemann en -1 vaut -1/12. On peut donc associer -1/12 à la somme 1+2+3.... mais ce n'est pas une égalité au sens arithmétique du terme, ce qui est évident vu que l'un est toujours positif et l'autre négatif. Et oui, c'est très utile en physique, mais il faut comprendre justement dans quel contexte cette association a un sens.
@@__-1234 Je connais pas la fonction zeta donc je comprend pas ton explication pour moi cette égalité est aussi vrais que 0.999999... = 1 ou que i²=-1.
Dans le contexte ou cela a un sens ce n'est pas une association mais une égalité au pire j'accepte que l'on dise que c'est une convention comme √0=0.
edit : J'ai cherché un peu, la convention mathématique n'exprime pas ce "contexte" avec une notation différente de = mais une notation différente de ∑ en rajoutant un R au dessus en l'honneur a son découvreur.
Je pense qu'il fait les calculs sur R barre : R union {-infini ; +infini}. Mais même avec ça, ça me paraît faux x)
@@baptFulbion Je n'est pas de caractère pour écrire ∑R. Le R est au dessus signifie somme de Ramanujan, le mathématicien indien autodidacte de génie ayant appris les mathématique avec un seul livre et connu grâce a un autre mathématicien anglais avec qui il échangeais des lettre alors qu'il était enfant et mourrait de faim.
Il parait qu'un physicien (ou autre scientifique) tentait de démontrer une propriété complexe, dans son domaine, mais qui fût bloqué dans ses calculs, à un moment donnée, par la présence de cette somme infini (1+2+3+4+...) N'ayant plus aucune issue sérieuse, il avait entendu parler de mathématiciens un peu loufoque, qui prétendaient avoir démontré que cette somme était égale à -1/12.
Du coup, foutu pour foutu, il tenta d'utiliser ce résultat, en restant dubitatif, pour terminer ses travaux en physique-chimie, et ainsi parvenir à sa formule.
Or, il s’avère qu'ensuite, toutes les expériences menée, dans la pratique ont toujours validé sa théorie !
Comme quoi, l'Univers est plus complexe et mystérieux qu'on l'imagine :)
L'effet Casimir ?
Oui ce résultat est juste ! :
ruclips.net/video/xqTWRtNDO3U/видео.html Un mathématicien qui cadre correctement ce calcul et fait une allusion a un autre résultat mathématique encore plus fou.
ruclips.net/video/jyQ_hUVI4Gk/видео.html Un physicien qui donne une utilisation concrète (effet Casimir) et une abstraite (théorie des cordes) physique de se résultat et démontre ce résultat en remplaçant l'infinie par une suite fini indéterminé très grande.
rien que la somme A on peut à peu pres lui donner la valeur qu'on veut à partir du moment où on admet que l'associativité et la commutativité de l'addition ne volent pas en éclat au passage à l'infini:
A=1-1+1-1+1-1+....
En utilisant l'associativité : A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+.... => A=0+0+0+0+0+... = 0
ou encore A=1 + (-1+1) + (-1 +1) + (-1+1).... => A = 1+0+0+0+0+ => A=1
avec la factorisation on peut avoir A=1/2 comme dans la vidéo, mais en cherchant bien on doit pouvoir faire 1/3, 1/4 ou n'importe quoi d'autre !
Bref comme souvent le passage à l'infini fait sauter les propriétés usuelles et il convient de faire attention et de les redémontrer au cas pas cas
ABSOLUMENT : le passage à l'infini ne permet plus d'utiliser les propriétés de commutativité, d'associativité, de factorisation, qui ne sont valables que pour les ensembles FINIS.
J'adore ces vidéos ou on fait des séries et on explique en parallèle comment calculer une fraction 😂
Le prof de maths qu’on aurait tous rêvé d’avoir ❤
Nous oui. Les eleves d'aujourd'hui non. Ils seraient infectes avec lui.
Ce résultat fut déterminé par Ramanujan et est important car il est utilisé dans le calcul de l'effet Casimir et le calcul de l'énergie du vide
Ramanujan avait évidemment conscience que la somme de tout les entiers naturels est infinies, lui a démontré que la sommation de tout les entiers naturels est égale à -1/12
Mais comment peut-on utiliser une théorie fausse pour des choses réelles ?
@@Oxëëëmor Ça s'appelle l'économie... :)
@@kennethshowers9144 je n'ai pas du tout compris ta réponse
Mea culpa. Les "sciences" économiques sont basées sur une théorie fausse, en ne comptabilisant pas les ressources, et prétendent pourtant s'occuper du réel.
Pourtant plusieurs mathématiciens comme Euler, Riemann, Ramanujan ont étudié cette égalité comme l’explique Mickael Launay sur sa chaîne Micmath.
ruclips.net/video/xqTWRtNDO3U/видео.htmlsi=lfivzpplHnMlv7Ir
Malgré le résultat contre intuitif, la démonstration n’en est pas pour autant fausse.
Cette particularité est liée à un des plus gros problèmes mathématiques non encore résolus : l’Hypothèse de Riemann.
De plus, comme l’explique Mickael Launay, un physicien, dans le cadre d’une étude en mécanique quantique est arrivé à cette somme infinie (1+2+3…).
Il l’a remplacé par -1/12 et le résultat est cohérent des mesures expérimentales. Effet Casimir.
Étonnant …
Pouvez-vous en dire plus ?
Si, cette démonstration est fausse, on peut arriver à montrer que 0=1 avec ce genre de démonstration. Par contre la valeur de la fonction zeta de Rieman en -1 est bien -1/12
Le problème c'est le signe =, ce n'est pas le signe qui convient ici.
@@__-1234 je ne suis pas sur de comprendre. En effet zêta(-1) est bien 1 + 2 + 3… jusqu’à l’infini.
Le résultat serait donc bien -1/12 mais la démonstration est fausse ?
Hors je ne vois pas d’erreur dans la démonstration.
De plus, le signe = ne me choque pas non plus. On écrit bien lim f(x) = 5 par exemple quand x tend vers l’infini.
Pourquoi ne pourrions nous pas écrire somme de n de n=1 à plus l’infini = -1/12 avec le même raisonnement ?
C’est troublant !
@@didierlesaunier2215 En fait zeta(-1) est une série divergente, car zeta ne converge que pour z dont la partie réelle est > 1.
zeta diverge pour tout le reste du demi plan complexe (partie réelle
@@__-1234 Merci beaucoup pour votre réponse.
@@didierlesaunier2215 En fait, la démonstration n'est pas fausse. C'est un peu plus subtil que ça. Mais comme c'est assez fouillé, la plupart de ceux qui ont étudié en maths passent à côté du sens de ces calculs et de cette égalité. Les réponses de 1234 ont du vrai, mais il ne cerne pas totalement le sujet et tire donc des conclusions erronées.
Très belle somme 😂😂 je me souviens d'une démonstration semblable chez micmath où il lui donne une application en physique donc ce n'est pas aussi absurde.
Et pourtant ce résultat fonctionne en physique, notamment pour l'effet Casimir. Mais il est aussi utilisé en physique théorique avec la théorie des cordes (entre autres)
J'allais le dire, tu as été plus rapide.
Alors ça fonctionne mais on a d'autre moyens que les additions de sommes infinie de prouver que ce résultat peut avoir du sens.
Une façon claire de voir que les additions terme a terme de sommes infinies comme pratiqué dans cette vidéo sont une mauvaise pratique, c'est que ça peut conduire à des résultat inconsistants.
@@uther2603 Tout dépend des règles qu'on utilise. Rien ne dit que *tout* système de règles est incohérent.
Ah quand meme ça a une application ? ^^ . Mais alors c quoi l'effet Casimir ? Si on admet vraiment de la somme d'entiers positifs vaut -1/12,alors on devient un dynosaure orange ??? ;).
@@vincentdescharmes7897 L'effet Casimir est la force qui attire deux plaques parallèles conductrices de courant (non chargées) et placées dans le vide, l'une vers l'autre. C'est assez étrange comme phénomène.
La physique quantique explique ceci par la fluctuation du champ quantique électromagnétique.
Pour mieux comprendre, je conseil de se renseigner sur la théorie quantique des champs.
Enfin, cette somme infinie que l'on appelle une somme de Ramanujan donne effectivement des résultats cohérents dans le calcul de ladite force. Les mathématiciens n'expliquent pas encore totalement pourquoi ça fonctionne. Plusieurs théorie ont été cependant proposées.
Prolongement analytique de zêta en -1 ?
J'ai un problème quand vous ajoutez B à lui même vous ne justifiez pas le décalage de façon logique.
Juste " on peut le faire"
Pour cette explication je préfère la version de Michel Launay.
Mais j'adore vos vidéos qui me permettent de me maintenir en math. Merci
Ni a Ni B, dans un DS de math il aura 0/20
Initialement on prouve que la fonction zeta, sous la forme de somme des 1/n^s (dans la vidéo s = - 1), est définie pour les nombres complexes s de partie réelle strictement plus grande que 1 (et -1 n'en fait pas partie). Cependant, avec des outils d'analyse complexe, on peut montrer qu'il existe une autre formule de la fonction zeta qui coïncide (est égale) avec la somme des 1/n^s pour les s de partie réelle strictement plus grande que 1 (en l'occurence ici on dit qu'on a un prolongement méromorphe de zeta sur C, en gros c'est une fonction qui prend les mêmes valeurs que la somme des 1/n^s quand s est de partie réelle strictement plus grande que 1 et qui est dérivable sur les complexes sauf sur un certain ensemble que je vais pas expliciter ici). L'erreur provient alors du fait que lorsqu'on calcule zeta(-1), il faut avoir en tête que l'on utilise l'autre fonction (celle qu'on appelle prolongement, et ce prolongement de zeta, lorsqu'on l'évalue en s = -1, on trouve bien -1/12) et pas la somme des 1/n^s vue que cette somme a un sens que si s est de partie réelle strictement plus grande que 1 (mdr sorry pour les répétitions).
Cette somme dans la vidéo ne vaut donc pas -1/12, on dit elle diverge vers +infini (et oui, votre intuition ne vous jouez pas de tours ici). En fait vue que cette somme diverge, il y a théorème en maths qui nous dit pour ce genre de somme, étant donné n'importe quel nombre que vous prenez au départ, on pourra toujours trouver une manière/un ordre d'en sommer ses termes et dont le résultat final vaut ce nombre préalablement choisi, autant vous dire que cette somme ne vaut vraiment pas -1/12. Après, de ce que je sais (ce n'est pas mon domaine), le fait d'attribuer la valeur -1/12 à cette somme est assez naturel en physique et marche plutôt bien... pourquoi ? comment ? je ne sais pas hahaha...
🙂👍. Moi non plus je ne sais pas. Je me dit qu'il doit y avoir un truc que l'on ne précise pas quant on ramène l'anecdote de l'effet Casimir. Par exemple si j'écris 19=7 sans préciser "modulo 12" et que je dit que c'est vérifier par les maths et l'expérience dans le monde. Ou alors que je dit "la somme des angles d'un triangle ne fait pas forcément 180⁰" en oublient de préciser que je ne parle pas forcément de géométrie plane, mais que j'inclus la géométrie sphérique et/ou hyperbolique. Alors ce qui est vrai dans mon affirmation n'est pas ce que je laisse comprendre de cette affirmation.
Peut être mon commentaire que j'avais écrit à l'occasion de cette vidéo vous intéressra. Je fait donc un copier-coller.
On peut prouver que 1+2+4+8+...=-1. pourtant c'est faux. Mais 1+x+x²+x³...+x^n=(x^(n+1)-1)/(x-1). Si |x|
5:00 et si on décide arbitrairement comme pour calculer B à partir de A de décaler vers la gauche ? S - B = 1 + 1 + 5 + 9 + 1 + 13 ... Alors ?
Effet Casimir, quand même ! Pour un raisonnement défaillant, c'est pas si mal.
En effet et même mathématiquement, ce résultat peut se démontrer plus rigoureusement si on s’efforce à vouloir attribuer une valeur à cette somme
@@hedselh6539 Ce n'est qu'un prolongement par continuité, c'est comme dire que sin (0)/0=1 alors que la valeur n'existe pas.
-1/12 est égale à l'intégral (de x=-1 à x=0) de f(x)= x(x+1)/2
Si je me souviens à peu près de mes cours d'analyse de L2, si on veut essayer de trouver une valeur à A = 1 - 1 + 1 - 1 + ... il faut plutôt écrire
A = Σ( ( -1)^n ) et ensuite déterminer si la série converge. C'est une série alternée car on peut l'écrire Σ( (u_n)*( -1)^n ) avec (u_n) de signe constant (u_n = 1 pour tout n). Comme u_n est constant et différent de 0, (u_n) n'est pas décroissante vers 0, donc la série ne converge pas donc on ne peut pas lui attribuer de valeur limite, donc A est une forme indéterminée, et là par contre j'ai un doute mais je crois qu'on peut dire que la série a 1 et -1 pour valeurs d'adhérence car lim u_n = L avec L différent de 0 donc les valeurs d'adhérence sont L et -L (1 et -1).
@anoomage petite erreur, les valeurs d'adhérence sont 1 et 0. Tu peux le remarquer par si n est impair sa va être égal à 1 et 0 si n pair.
@@HououinKyoumaSG oups ! J'ai bien fait de bifurquer en info
Les valeurs d'adhérence de u_n sont bien 1 et -1. Les valeurs d'adhérence de A_n sont 0 et 1 (ou -1 si le 1er terme est (-1)^1)
Mais du coup tu dis pas a quel moment c est faux
À aucun en particulier. C'est plus subtil que ce qu'il a dit en intro
le problème est surtout dans A = 1-1+1-1...
Le résultat est 1 si le dernier terme est +1, 0 si le dernier terme est -1. Or, il n'y a pas de dernier terme (somme infinie), donc A n'a pas de valeur. Donc si on joue sur ça, on peut avoir 1/2
Mais on peut prouver les 3 valeurs (1/2 déjà fait)
Pour A = 1
A = 1 + (-1 + 1 -1 + 1...)
A = 1 + ( (-1+1) + (-1 + 1) + ...)
A = 1 + 0 = 1
Pour A = 0
A = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ...
A = 0 + 0 + 0 + ...
A = 0
A n'a pas de clair valeur, si on fait une limite bah... y en a pas. Car ça alterne entre 0 et 1, on peut dire qu'en moyenne on a 1/2
C'est faux parce que les axiomes utilisés au départ (commutativité, associativité) ne sont pas légaux pour les suites infinies. Ces axiomes produisent des résultats incohérents.
Pour obtenir une valeur il faut définir le bon système d'axiomes: Complet et cohérent, ce qui est, de plus, impossible à prouver.
@@claudeBgf Ce que vous dites est faux sur plusieurs points
@@algebrilleexceller3455 : Développe, qu'on s'instruise!
B=1-2+3-4+5-6....
1-2=-1
3-4=-1
5-6=-1
et ainsi de suite.
Donc B est une somme infinie de termes égaux à -1.Donc B; c'est moins l'infini.
A=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1...
1-1=0
Donc A est égal à une somme infinie de terme nuls. Donc A=0.
Le plus bizarre c'est que cette égalité semble fonctionner en physique théorique (Effet Casimir ) et permet la résolution d’équation dans le domaine quantique (théorie des cordes).
je crois que c'est ça qui me fume le plus le cerveau ! en "magouillant" tu peux demontrer que 1+1=1 mais là, intuitivement tu te doutes que ça peux pas etre ça mais le -1/12 ressort regulierement comme par magie dans des trucs ou on ne l'attend pas
Mais du coup ne serait-ce pas la même chose que de dire : 1 + 2 + 3 + 4... = 3,14 oh magie, mon opération fausse mène comme par hasard au nombre Pi que l'on retrouve dans tous les cercles de la nature ! Ça veut dire qu'on a le droit de remplacer une somme des i de 1 à n par Pi !
@@julieng5776 mais non pas pi, vas y franchement, prends le nombre d'or, ça vendra du reve ^^ bon, apres, bon courage pour la demonstration qui tient un minimum la route mdr
Ce n'est pas une égalité, plutôt une association. Arithmétiquement un nombre positif n'est pas égal à un nombre négatif.
@@__-1234 C'est bien une égalité. Et cette égalité ne dit absolument pas qu'un nombre positif égale un nombre négatif
Cela doit cacher quelque chose de profond (en particulier concernant l'effet Casimir en physique pour ceux qui connaissent) à moins qu'il n'y ait un loup quelque part. Pour ma part, je bug, mon cerveau se refusant à consentir que cette somme ne diverge pas, ne tend pas vers plus l'infini ....
On peut prouver que 1+2+4+8+...=-1. pourtant c'est faux. Mais 1+x+x²+x³...+x^n=(x^(n+1)-1)/(x-1). Si |x|
@@chimondavidnaouri6762
Merci pour ta superbe explication. j'y vois un tantinet plus clair désormais ! 🙏👍
@@fabrice9252 avec plaisir 😊👍
Bonsoir 🙂.
J'ai fait une vidéo dans laquelle j'explique pourquoi dans certaines séries divergentes on ne trouve qu'une seule valeur possible(contrairement à 1+2+3+4+... Il y a quelqun qui a fait 2 vidéos ou il trouve -1/8. J'ai fait des vidéos ou je trouve encore autre chose. Je donne le lien de ces différentes vidéo dans la description de ma vidéo). Je précise d'avance que ces séries sont réellement différentes de ces valeurs, malgré que par calcul on arrive pas à trouver autre chose. J'explique tout ça dans ma vidéo.
ruclips.net/video/GA08gl6jlD4/видео.htmlsi=FXThuEhNMP1E3kQo
Ne vous arrêtez pas aux 7 première minute de la vidéo. Car la vraie démonstration(celle qui explique pourquoi on arrive pas à trouver autre chose) commence à partir de la 7 ème minute.
Autant j'adore les maths, autant je n'arrive pas à admettre cette absurdité.
Comment en ajoutant des entiers positifs on peut concevoir un résultat négatif.
Les mathématiciens ont vrillé quelque part à un moment donné
autant cette démonstration peut être contesté dès qu'on va plus loin dans les niveaux de validation (Rémi Peyre en a montré les limites sur le blog de science étonnante il y a quelques années où il avait expliqué pourquoi ça ne marchait pas), autant le -1/12 a une réalité physique et mathématique à plusieurs niveaux. Il y a des théorèmes mathématiques et des lois physiques où -1/12 est la seule valeur possible de la somme 1+2+3+4etc... comme par exemple dans la fonction de Riemann, La supersomme de Ramanujan ou encore dans le calcul de l'énergie du vide par Casimir.
On ne peux pas soustraire 2 séries valant +∞
Explication: prenons: S= 1+2+3+4+5+6+... comme dans la vidéo
Et calculons S-2S+S :
S= 1+2+3+4+5+6+...
-2S= -2 -4 -6 -8-10 -...
+ S = 1 +2+3+4 +....
En additionnant en "colonne" on obtient donc: S-2S+S = 1+0+0+0+0+... = 1
Or S - 2S + S = 0 (logique c'est comme x-2x+x)
Donc 1=0.
Autrement dit, il y a une absurdité dans les hypothèses: On a supposé dans la raisonnement qu'on peux manipuler des séries infinies comme on veut, mais ce n'est pas le cas.
Nul part, le raisonnement n'a été "on peut manipuler les séries comme on veut"
1-2+1 = 1 ? J'ai du mal à suivre d'où sort ton 1.
De mon côté, en additionnant en "colonne" j'ai bien 0+0+0+0+0+0 ...
je connaissais déjà cette démonstration mais à chaque fois que je la vois mon cerveau explose...
A mon avis, c'est vraiment pas bien de faire des vidéos de ce style au niveau lycée ou moins ; cette somme n'est qu'un prolongement par continuité de ζ(-1) et ne correspond à aucune réalité. En effet, avant d'effectuer des calculs, il faut s'assurer du domaine de définition utile c'est comme dire que 1/0 =2.
Avant d'utiliser les sommes ∞ il faut au moins s'assurer qu'elles signifient quelque chose. la somme 1+2+3+... ne vérifie pas le critère de convergence donc on ne peut pas la calculer avec les lois d'addition normales, c'est d'abord ça l'important.. faire des calculs à partir de là c'est faire n'importe quoi !
exemple encore plus simple, je vous démontre que 1=0 en deux lignes !
en effet soit N=1+1+1+.....1+1 +....1 jusqu'à l'infini
et alors N=1+ (1+1+1+.....1+1 +....1 jusqu'à l'infini). on reconnait N dans la parenthèse, il vient donc que N=1+N soit que 0=1
Pour être complet "l'égalité" par continuité ζ(-1)=-1/12 est utilisée en physique dans l'effet Casimir (non, pas le dinosaure !) pour calculer l'effet d'une somme infinie de fréquences et évaluer la force entre deux plaques métalliques placée dans le vide absolu (une histoire d'E₂PZ)
Même quand ça converge on ne peut pas faire de calculs "normal", par exemple 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... = ln 2 et si on veut juste appliquer l'associativité de l'addition en réarrangeant les termes (1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8... = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 = (1/2) ln 2. Les deux séries sont parfaitement égales à leur résultat mais évidemment 1 n'est pas égal à 2 et donc les séries ne sont pas égales, donc réarranger des termes dans une série infinie, même convergente, ne peut être fait que sous certaines conditions
@@kaviramyead7987 Tout à fait ! On ne peut pas appliquer l'arithmétique de Peano sur de telles sommes. Pour les manipuler il faut d'autres théories dépassant l'arithmétique, qui sont, pour la plupart basées sur la topologie, l'analyse, voire même analyse complexe, ces notions ne sont qu'abordées dans l'enseignement supérieur, ce pourquoi il est assez peu opportun de les traiter à un niveau collège/lycée.... sauf pour rigoler.
Bon divertissement ! mais je suggère de mentioner le terme "paradoxe" dans le titre. Bien sur la sommation par paquet ne peut pas avoir de sens si la serie ne converge pas!
Ce qui me dérange le plus c'est que l'on parte du principe que A = 1/2.
Si on groupe les termes différemment, par exemple 2 à 2 en partant du 1er, on obtient que A =(1-1)+(1-1)+(1-1)..... donc A = 0
Et si on groupe les termes 2 à 2 en partant du 2éme, on obtient que A = 1-(1+1)-(1+1)... donc A = - ∞
Dans ces 2 cas, la démonstration ne tient plus.
Donc comment peut on se baser sur un choix arbitraire pour décider quelle est la valeur de A
En regroupant les termes à partir du deuxième, ça fait A = 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)... = 1. Pas - ∞
Pour faire simple, le problème de ces regroupements, c'est que tu as besoin de "finir" un regroupement pour que ce soit valable. Donc dans le premier cas tu pars du principe que la somme se fini par "-1", et dans le deuxième cas qu'elle se fini par "+1". Hors, elle ne se fini ni par -1, ni par +1 : elle ne se fini pas, elle est infinie.
-1/12 est une valeur mathématique différente de la limite de n(n+1)/2 quand n tend vers +∞ (=+∞).
Très bonne remarque, de plus la somme de nombres positifs ne peut être que positive .... donc le signe - dans son résultat est absurde ...
Merci pour cette vidéo. Du coup...
- Que penser du mathématicien qui a mis cela le premier en avant ? Un charlatan, ou bien juste quelqu'un voulant nous faire une sorte de démonstration par l'absurde ?
- Une telle addition (sans parler du résultat) est-elle valide en mathématiques ?
- Du coup, quel serait le résultat correct ? Une impossibilité ? Un nombre infini ?
Merci pour tes démos passionnantes continue comme ça !!🎉
Tu dis que cette somme est fausse. Mais comment se fait-il alors qu'Henrick casimir ai utilisé ce résultat dans une de ses études en mécanique quantique, et que par l'expérience, ce qu'il a démontré par le calcul en remplaçant 1+2+3+...=-1/12 soit entièrement cohérent ?
Je pense plutôt que cette somme n'est pas fausse dans tous les domaines des maths. En effet, il y a des personnes qui refusent l'axiome du choix par exemple pour développer certains penchant mathématiques. Pourquoi ici on ne serait tout simplement pas dans une autre branche des maths ?
Prochaine vidéo sur le prolongement analytique de la fonction zeta de Riemann... Niveau collège, large !
Je suis fasciné par tous ces experts en mécanique quantique et en théorie des cordes dans les commentaires
Nan mais franchement, vous avez vu 1 vidéo de sciences étonnantes et vous parlez comme des doctorants en physique quantique 🤣🤣
Ces expressions sont en réalité ce qu'on appelle des séries numériques divergentes, on ne peut donc déterminer leur valeur. Il est donc absurde de dire qu'elles valent 0, 1 ou 1/2, vu qu'il y'a une infinité de termes, même si les calculs faits sont tout à fait cohérents. Mais bon, je ne m'aventurerais pas trop là-dedans parce que c'est niveau bac+2/bac+3.
Cette somme n'est pas si absurde que ça parce qu'elle ressort exacte dans un phénomène de la physique : l'effet Casimir, l'énergie du vide. Dans l'équation du physicien Casimir apparaît un facteur sous la forme de la sommation de tous les entiers naturels et aboutit à une énergie infinie pour le vide entre deux plaques conductrices sauf si on remplace ce facteur par -1/12. Et le résultat du calcul correspond au résultat obtenu en laboratoire. Pour nous, cette manipulation mathématique ne semble être qu'un jeu de tour de passe-passe mais la nature en a apparemment décidé autrement.
C’est normal que le résultat soit absurde. C’est une série infinie dite divergente et d’ailleurs pour la série 1 - 1 + 1 - 1 .. si on considère qu’il y’a un nombre paire infini de 1-1 la somme donnerait 0 et si il y’a un nombre impair infini de terme tu as 1. Tu obtiens plusieurs résultats différents suivant la façon dont tu attaque la somme
Oui effectivement même si dire que l'infini est "pair ou impair" n'as pas vraiment de sens puisque c'est même pas un nombre l'infini :/
Ahh ça fait plaisir de le voir sur la chaîne celui là !
C'est très intéressant ! Cependant j'aurais aimé que tu expliques un peu plus profondément l'erreur et pas simplement dire c'est l'infini donc il faut faire attention à ce type de raisonnement.
C'est parce qu'il n'y en a pas vraiment et que c'est plus subtil que la vidéo le laisse paraître
Je crois que Mic Maths avait fait la même erreur, en faisant l'opération 1-(1+2+3...) on somme une S(n) avec une S(n+1) @@algebrilleexceller3455 donc on manipule la somme à l'infini avec "à l'infini +1"
@@stanislasquellec516 L'infini est L'infini +1 sont exactement pareil....ce que vous dites est archi-faux mathématiquement
Non ce n'est pas ce que je voulais dire. Si on fait des opérations sur des suites, il faut le faire pour la même valeur de n. Par exemple S(10) que l'on va multiplier ou soustraire par B(10) et pas B(9).
En ré-écrivant S on arrive à écrire S=S+1
alors qu'en fait ce qu'on a serait plutôt S(10) = 1+S(9) ; donc les sommes S qu'on obtient comme ça ne sont pas "les mêmes". Si on fait le calcul en colonnes, c'est comme additionner deux lignes mais en décalant les colonnes de l'une.
@@algebrilleexceller3455
Alors que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... = +∞
Déjà avec A il y a un problème, le fait de de dire A = 1 - A est faux. Si on extrait un "1" puis on rajoute la suite complète de A, alors l'égalité n'est plus juste, il faut équilibrer et rajouter un 1 aussi de l'autre côté.
Avec B, il y aussi un problème, on ne peut pas décaler l'addition sinon on pourrait aussi la décaler de 2 crans, ou de 3... et le résultat serait totalement différent en calculant 2B, on aurait par exemple : 2B = 1 - 2 + 4 - 6 + 8 .... ou 2B = 1 - 2 + 3 - 3 + 3 ....
En fait avec ce genre de manipulations on peut arriver à toutes sortes de résultats avec cette suite, S = -1/12, S = 0, S = 349....
exquis ! c'était tout simplement un régal ;)
Tout le monde est d'accord avec -ou a admis- cette démonstration.
Toutefois : d'où proviennent A et B ?
Personne ne l''explique jamais, et franchement, dans le genre sorti du chapeau, ça se pose là.
« Pourquoi "1-2+3-4…" ? » et « Pourquoi "1-1+1-1+1…" ? »
Je n'ai pas encore vu de réponses à ces questions dans les vidéos qui proposent cette démonstration, mais peut-être n'ai-je pas cherché aux bons endroits 🤔🤗
Démonstration par l'absurde :
On suppose que la série 1-1+1-1+1-1+.... est convergente et que sa somme A existe.
D'après votre démonstration, A=1/2.
D'autre part,
A=1-1+1-1+1-1+...
A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
A=0+0+0+....
A=0
donc 0=1/2 ==> contradiction.
Donc la série 1-1+1-1+1-1+..... ne converge pas, et sa somme n'existe pas. CQFD.
Une autre manière de voir les choses : ruclips.net/video/jyQ_hUVI4Gk/видео.html
Pourtant la somme des entiers naturels égale à -1/12 trouve un sens physique dans l'effet Casimir.
Les sommes A et B sont divergentes donc pas de valeurs possibles !
C'est faux. Les séries divergentes ont des valeurs. Mais comme les profs en parlent (ou les connaissent) rarement, les explications ne permettent pas de bien comprendre ce qui se passe.
@@algebrilleexceller3455 "ont des valeurs", je dirais plutôt "on peut y associer des valeurs" non ?
@@__-1234 Oui cest vrai, meme si par abus, les 2 ont le même sens.
On fait pareil pour une série convergente : on parle de "sa" valeur; alors qu'on en lui associe une.
@@algebrilleexceller3455 Oui, tout à fait , je n'avais pas pensé à cela
Exactement , c'est impossible
C'est pas vrai ... et tu le sais , y a un décallage interdit grace à ( ou dans ) l'infini.... mais qui le sait ?
Une somme de positis ne ne peut pas être négative :)
Merci à Srinivasa Ramanujan d'avoir fait ce genre de magie , même si il s'abère que ce -1/12 sauve des expériences de physiques , c'est farfelu
2:15 pour moi, on est déjà faux ici.
Certes, ça ressemble à 1-S, mais seulement parce qu’on ne considère qu’une partie de la suite.
Dans la parenthèse, on a en fait une somme qu’on peut noter X, avec X=-1+1-1+1…
En re déroulant :
1+X=S ( et donc implicitement X = S-1)
1-(-X)=S
En remplaçant X par S-1 , on obtient
1-(1-S)=S
1-1+S=S
Soit S=S.
CQFD, ça ne nous apprends donc rien sur S, mais au moins, c’est juste 😂
Explications très limpides .Merci à vous de nous instruire contrairement à certains profs qui sont assez doués pour nous démotiver par des démonstrations alambiquées.
Dans ce type de démonstration, il faudrait à la fin indiquer aussi le raisonnement faux qui amène à l'erreur
Franchement j’ai rien compris pour le coup j’ai juste continué à regarder parce que j’aime bien ton énergie 😂
Je l'attendais celui là ^^
Eh eh… le résultat paraît complètement absurde, mais pourtant dans certain concept en physique où l’on met en jeu la somme des entiers naturels et qu’on utilise le résultat démontré ici, et bien ça marche … cela montre bien que notre façon d’appréhender les concept infinis peuvent quelque fois nous jouer des tours …
"Intuitivement", on sent qu'on se fait arnaquer quand on commence à "décaler" les sommes infinies pour faire du terme à terme qui nous arrange :
Pour moi, à 3:10 par exemple, c'est foireux : 2B vaut 2 - 4 + 6 - 8 + 10... et non 1 - 1 + 1 - 1 (donc A) comme indiqué à 4:00
Donc je pense que la bonne question à se poser à ce moment-là c'est : a-t-on le droit de faire ça ??
Bien explique merci
Paradoxalement ce n’est pas si débile et c’est utile en physique quantique.Bravo d’avoir osé l’île aux enfants et nous avoir présenté ce brave Casimir
Exact. Il y a une vidéo de ScienceÉtonnante à ce sujet.
Mickaël Launay (normalien en maths) avait fait exactement la même démo sur sa chaîne il y a quelques années.
En effet, dommage d'avoir réduit ça a une simple "absurdité"
Le génie Indien Raman a bien démontré cette série et d'ailleur elle porte son nom
On ne peut pas manier des infinis comme des réels donc il est impossible par exemple de faire l’opération que tu as fais avec A car un infini n’est pas forcément égal à un autre infini (renseignez vous sur les limites par exemple pour comprendre mieux)
Très très fort mon prof !
Il me semble que ce résultat a été utilisé dans les travaux de Mr Casimir, travaux portant sur l'energie entre 2 plaques infiniment proches. Du coup résultat valide ou pas ? ^^
L'infini c'est long!!!... surtout vers la fin !!!!
👍😎🏁🐆
Avec les mêmes manipulations, tu peux montrer que ça vaut n'importe quoi comme 1/8 par exemple du coup le raisonnement marche pas. Cependant, si on passe par des calculs avec la fonction zeta, on peut observer qu'il existe un lien entre -1/12 et cette somme mais à aucun moment ils sont égaux. Petite pensé pour Ramanujan qui, malgré son faux raisonnement, a réussi à percevoir qu'il existait tout de même un lien entre cette somme et -1/12. Ce mec était définitivement un génie.
Eh bien justement, son raisonnement n'était pas faux. La preuve dont vous parlez n'utilise pas les "mêmes" manipulations, mais des manipulations analogues supplémentaires, ce qui provoque l'absurdité. Si vous vous en tenez *strictement* aux propriétés visibles de la vidéo, je vous mets au défi de trouver une autre valeur que -1/12
@@algebrilleexceller3455 Les manipulations ne sont pas les mêmes, certes, mais pourquoi la somme des entiers serait-elle différente de 1 + 9 + 27 +... si la commutativité de l'addition est quelque chose de vrai? Je crois plutôt que l'ont parle d'une mathématique différente de l'habituel. Une mathématique ayant ses propres codes. Une mathématique qui accepte que 1-1+1-1+1-1+...=1/2. Cependant, dans le cadre de la mathématique habituelle, cette égalité ne peut pas fonctionner. Pour que ça marche, il faut étendre les fondements. Pas simplement dire que c'est acceptable. Il faut supposer des vérités que les mathématiques habituelles n'accepte pas.
Par Micmaths pour trouver B on a fait B-A qui fait B donc 2B=A
Factoriser par négatif c'est mon conseil préféré. Si on rajoute un emoji coeur ❤❤❤ on peut remplacer N dans somme de N par un coeur
Enfin.... On dévoile l'ineptie....... On m'a toujours dit qu'on ne somme pas les l'infinis comme on veut....
Si je me souviens bien le résultat -1/12 est utilisé en physique dans les calculs du vide quantique et de l'effet Casimir.
L'explication n'est pas très compliquée, la quasi totalité de ce qui est fait ici s'applique aux séries convergentes, le simple fait d'écrire "A=1+2+3+..." en partant du principe que A a le droit d'être un nombre est déjà faux, avant de faire ça il faut d'abord démontrer que la série est convergente, une fois cela fait on peut appliquer l'algèbre classique par exemple. En d'autres termes, si une série est divergente et qu'on lui applique des théorèmes qui ne s'appliquent qu'aux séries convergentes il n'est pas étonnant d'arriver à des absurdités.
Comme beaucoup, vous confondez "nécessaire" et "suffisant".
Il est "suffisant" que la série converge pour donner un sens à certaines manipulations algébriques.
Mais ce n'est pas nécessaire. On peut le faire autrement; avec des opérations qui généralisent la limite des sommes partielles.
Certaines manipulations sont parfaitement légitimes avec des séries divergentes.
@@algebrilleexceller3455 oui c'est exactement ce que dit mon post 😆
Mais il se concentre plutôt sur l'autre partie de la conclusion qui est la partie pertinente à savoir que certaines de ces manipulations sont parfaitement illégitimes avec des séries divergentes.
@@bbzabstractgames Justement non. Car celles de la vidéo sont en fait parfaitement légitimes sur les séries divergentes.
Considérer A ce n'est pas dire que c'est une série convergente.
Et il n'y a en fait aucune absurdité...
@@algebrilleexceller3455 mais pourquoi je viens parler mathématiques avec des randoms sur RUclips, seigneur 😂
@@bbzabstractgames Avant de juger superficiellement le niveau d'un "random", il serait bon d'y réfléchir à 2 fois 😉.
Imagine que ce random t'apprennes un truc que tu ignorais?
Non, ça ne peut pas arriver bien sûr, n'est-ce pas ?
Cette fausse démonstration ne fait pas partie de la rigueur mathématique.
Vas sur Wikipedia et ecrit : nombre p-adique. C'est pas un manque de rigueur, mais plutot un manque de connaissance de ta part.
Ce qui me titille quand même, c'est que la valeur d'une série (des entiers naturels) soit plus petite que la série alternée des ces entiers naturels🧐. C'est pas logique. Passons le fait que le résultat soit une fraction.Mais bon, on n'est pas à un paradoxe près quand on touche à l'infini 🥸 Limpide comme toujours, merci 👍
Comment sait-on que les propriétés des opérations restent les mêmes lorsque l'on manipule des infinis ? En particulier avec ce genre de raisonnement il est possible de montrer que cette somme vaut absolument tout est n'importe quoi. Vous voulez surement faire référence au fait que la limite quand x tend vers -1 de ζ(x)=-1/12 ce qui est vrai mais pour cela on suppose que ζ est holomorphe, supposition que vous ne faites pas...
On peut prouver que 1+2+4+8+...=-1. pourtant c'est faux. Mais 1+x+x²+x³...+x^n=(x^(n+1)-1)/(x-1). Si |x|
La démonstration est fausse parce que les axiomes de base utilisés sont incohérents pour les suites infinies. Ce n'est pas vraiment un problème de manipulations.
Les gens semblent penser que les mathématiques sont "universelles", alors qu'en fait il y a autant de mathématiques que de systèmes d'axiomes posés à la base.
Il est impossible de démontrer qu'un système d'axiomes est complet et cohérent, mais ici on voit bien que pour les suites infinies, le système choisi est incohérent: Il pourrait permettre très aisément d'obtenir plusieurs réponses avec la même formulation de départ.
Dans le système axiomatique utilisé, cette somme n'a aucun sens, ce n'est pas pour autant que le système choisi soit incohérent ni inconsistant, le terme correct est plutôt "incomplet".
et ce que vous dites
"Il est impossible de démontrer qu'un système d'axiomes est complet et cohérent"
est faux
En effet, on démontre assez facilement que tout système axiomatique "quel qu'il soit" sera TOUJOURS incomplet (voir les théorèmes d'incomplétude de Gödel
@@michelbernard9092 : Le terme n'est pas "incomplet", il est "incohérent": Il ne manque pas des axiomes, c'est au contraire que je jeu d'axiomes choisi, permettant par pur exemple l'associativité et la commutativité permet de trouver des résultats différents à la même série, et donc de "démontrer" que A = B et que A = C avec B différent de C.
Pour ce qui est de mon affirmation "fausse et de Gödel, j'ai bien précisé "ET": On peut toujours tenter de compléter un jeu d'axiomes mais on ne pourra jamais démontrer que l'ajout n'a pas rendu ce système incohérent. De toute façon avec les suites infinies on sait assez facilement donner des exemples où l'utilisation de l'associativité et de la commutativité permettent de trouver deux résultats incompatibles pour la même opération: La monstration valide l'incohérence.
Le reste, c'est pur débat de verbiage, voire philosophique, le net déborde de débats au sujet de l'interprétation des théorèmes d'incomplétude et de cohérence.
Pour le dire de façon plus simple: On ne peut pas se mettre à jouer avec les propriétés des additions finies en les appliquant aux opérations infinies, car ce ne sont pas des additions sur lesquelles les mêmes axiomes s'appliquent, ou qui ne bénéficient pas des mêmes propriétés. Ce ne sont même pas des "additions" au sens strict du terme, car le symbole "+...." n'est PAS un symbole d'addition.
C'est ça que mon propos signifie: Soit on dit qu'on a appliqué un jeu d'axiomes sur une addition infinie qui se retrouve incohérent dans ce cas, soit on dit qu'il manque des axiomes spécifiques pour la série infinie, soit on dit que les propriétés de l'addition classique ne s'applique pas aux additions infinies, soit on dit que le symbole "combiné" "+..." n'est pas une addition et donc qu'on ne peut pas en utiliser les propriétés: C'est choux vert et vert choux, c'est limite philosophique, l'important c'est que toutes ces "démonstrations" qui amènent à un résultat sur des séries divergentes infinies sont fantaisistes.
@@claudeBgf Vous écrivez" "mais on ne pourra jamais démontrer que l'ajout n'a pas rendu ce système incohérent"
J'ai juste dit que d'après Gödel vous pouvez ajouter le nombre d'axiomes que vous voulez, (sauf peu-être à en écrire un nombre infini) le système sera toujours "incomplet" La notion de cohérence n'a pas lieu d'être en math, c'est la notion de "consistance" que vous devez confondre.
Mais bon, on a aussi démontré qu'on ne pouvait pas démontrer la consistance d'une théorie mathématique.
Bien à vous.
@@michelbernard9092 : Tu préfères "inconsistant" à "incohérence", ça ne me pose aucun problème mais ça ne change rien, surtout que tout le monde peut comprendre ce que j'ai voulu dire: Avec un système incohérent ou inconsistant, comme tu veux, on peut obtenir deux résultats différents selon la méthode qu'on a utilisée. Dès qu'on se met à utiliser les propriétés de l'addition pour les suites infinies, on peut en réalité obtenir exactement le résultat qu'on veut. Ce qui revient in-fine à "démontrer" que 0 = 1.
Pour ce qui est de l'incomplétude, dire que le système sera toujours incomplet (dans le cas spécifique précisé par le théorème) est parfaitement compatible avec le fait qu'on ne saura jamais démontrer qu'il est complet, le premier étant un durcissement du second. Surtout que j'ai associé dans la même phrase les deux concepts. Encore une fois, j'ai dit "complet ET cohérent", dans le sens où, si tu ajoutes des axiomes pour permettre de résoudre un énoncé non démontrable, par exemple, tu ne pourras jamais démontrer que cet ajout n'a pas rendu le système incohérent (ou inconsistant si tu préfères).
Si tu regardes la sémantique des énoncés de Gödel, son premier énoncé dit ceci (source: wiki, même si ce n'est pas toujours très pertinent):
"Le premier théorème d'incomplétude établit qu'une théorie cohérente suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe des énoncés qui n'y sont ni démontrables, ni réfutables (un énoncé est démontrable si on peut le déduire des axiomes de la théorie"
Tu vois bien qu'il est expliqué que le système est incomplet du fait qu'il existe des énoncés qui ne sont ni démontrables ni réfutables. Il est bien dit "au sens où...", donc c'est à lier avec cette notion. Il est dit également "suffisant pour y démontrer les théories de base", ce qui veut dire que si tu as complété ce système d'axiomes pour prendre en compte les autres cas que les théorèmes de base, tu sors du cas où c'est forcément incomplet et tu entres dans la possibilité de l'incohérence. Bref, il n'est pas toujours incomplet dans l'absolu, il est nécessairement incomplet s'il est d'une part cohérent et d'autre part juste suffisant pour y démontrer les théorèmes de base.
Donc, si tu analyses ce concept, ça veut dire qu'on va devoir finir forcément trouver des énoncés qui ne sont ni réfutables ni démontrables si tu n'as fait que créer tes axiomes pour résoudre les théorèmes de base. Mais rien ne "prouve" qu'on va trouver de tels énoncés dans un système plus étoffé. Dès lors, ce que ça veut dire en fait, c'est qu'il reste toujours possible le fait qu'on pourra trouver des énoncés non réfutables/démontrables, et donc qu'on ne saura jamais démontrer que le système est complet, ou, inversement, que les ajouts n'auront pas produit d'incohérence. Bref, si tu te limites aux démonstrations des théorèmes de base tu as un système incomplet, mais si tu cherches à résoudre cette incomplétude alors tu te retrouves avec l'impossibilité de démontrer que ton système étoffé est à la fois complet ET cohérent.
C'est pour ça que je te dis que ça ouvre à des débats philosophiques sur l'interprétation "fine", mais la réalité c'est que tu dois considérer qu'au minimum il reste possible que le système d'axiomes choisi ne soit pas à la fois complet et cohérent puisque tu ne peux pas le démontrer: Ou "consistant" si tu préfères, mais note que l'énoncé du principe d'incomplétude est repris avec le terme "cohérente": Encore une fois, des débats philosophiques ou référent à l'interprétation des mots. On a écrit carrément des livres sur la façon d'interpréter ça, c'est moins "strict" et "évident" qu'il n'y paraît, c'est juste une porte ouverte sur des notions bien plus vastes. Je me contente juste, moi, de prendre le niveau minimum, à savoir qu'on ne peut pas démontrer qu'un système est à la fois cohérent et complet, c'est en fait le minimum syndical sur lequel tout le monde s'accorde.
Mais j'ai juste voulu dire au départ qu'on utilisait des propriétés et des axiomes qui ne fonctionnent pas avec les séries infinies, donc c'est pour ça que la "démonstration" ne fonctionne pas et permet de trouver n'importe quel résultat de son choix. En fait, c'est ce que dit l'auteur de la vidéo, j'ai précisé parce qu'il dit que le résultat invraisemblable est lié à sa façon de manipuler les termes, alors même que ses "manipulations" sont correctes. Je dis qu'en fait l'erreur est plus avant, c'est de considérer ces suites infinies comme une addition. Et j'ai parlé d'axiomes parce qu'on réfère ici à des axiomes sur les réels alors qu'on y fait entrer la notion d'infini.
Pour le dire plus clairement (j'espère), je dis que l'erreur ne vient pas des manipulations, l'erreur provient du fait qu'on décide au départ qu'on peut traiter des suites infinies comme des additions classiques sur les réels. Ce n'est pas le cas, dès lors il faut d'autres "règles" pour solutionner ces séries.
on parle d'un résultat concret à partir du facteur "Infini" qui est une valeur fictive. l'infini' à mon sens n'existe pas et si on l'insérer malgré tout dans un calcul, il en résulte une ineptie
Regardez effet casimir en physique quantique, cela devrait vous titiller les neurones !
Pourquoi ne pas aborder la vraie démonstration avec le prolongement analytique de la fonction Zeta?
Je la trouvais trop simple, pas assez élaborée ni élégante 😂😂
A et B ne sont pas convergentes, donc les opérations sur ces séries ne sont pas légales... sauf si on utilise une sommation de Cesaro, auquel cas A = 1/2 et B = 1/4.
Mais même avec une sommation de Cesaro, S n'est pas convergente, donc dans tous les cas les opérations sur S (genre S-B=4A) ne sont pas légales
Tu confonds "nécessaire" et "suffisant". Voilà pourquoi ta conclusion est fausse
Pour ceux qui se posent la question : la première erreur est qie la valeur A n'existe pas. Ce n'est pas 1 ou -1 ou 0 ou 1/2, ce n'est rien du tout. On peut le démontrer en faisant appel à la définition de la limite et remarquer que peu importe la valeur l réelle, la suite (a_n)_n = (-1)^n n'est jamais contenue dans l +/- 1/4 par exemple. Par conséquent (a_n) diverge et la série somme(a_n) = A diverge aussi.
Ceci seul suffit à faire tomber la preuve, mais il y a d'autres arguments fallacieux dedans aussi : notamment le fait qu'on n'a pas commutativité et associativité dès lors qu'une série diverge.
Pourtant votre affirmation est totalement fausse mathématiquement.
La valeur A n'est juste pas la limite des sommes partielles. Le fait que la limite des sommes partielles n'existe pas ne signifie pas qu'aucun objet mathématique "raisonnable" ne puisse donner un sens à ces calculs. Or, il se trouve que c'est justement le cas. Cela s'appelle la sommation des séries divergentes.
@@algebrilleexceller3455 C'est ce qu'on appelle le prolongement analytique, mais hélas si l'on se permet de commuter et associer les termes d'une suite divergente, dans la mesure où elle ne converge pas absolument, alors lors de la sommation, on peut se retrouver à dire n'importe quoi (de la même façon, en réarrangeant les termes différemment, on peut démontrer qu'il est possible d'atteindre n'importe quelle limite qu'on souhaite), d'où mon commentaire initial. Vous n'avez pas tort, mais vous ne me donnez pas tort non plus.
@@alexandrezeddam7817 Votre (1er) commentaire est faux sur plusieurs points (avec certaines répétitions d'erreurs ds le dernier):
1) "A n'a pas de valeur". C'est faux. Et ce n'est pas que une histoire de prolongement analytique, c'est un peu plus profond que ça.
2) On a pas utilisé la commutativité, ni l'associativité mais la linéarité et la stabilité (ou translativité) ainsi qu'une simplification particulière de 0. Ce que vs dites sur les 2 premières est correct, mais ça n'a juste rien à voir ici. Et il est facile de démontrer que chaque propriété appliquée à la série comme il le fait est tout à fait légitime.
3) La preuve faite ici n'est donc pas fausse. Elle est correcte; mais comme elle est mal comprise/interprétée, tout le monde dit qu'elle est fausse, alors que non.
Toute la preuve résulte sur le fait que la première série diverge, mais ce qu'il y a d'intéressant c'est les sous-sommes appelées A B qui sont des sommes semi convergentes, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou bien tende vers plus ou moins l'infini.
Il en résulte que dans ℝ, toute série inconditionnellement convergente est absolument convergente (autrement dit : toute famille sommable est absolument sommable).
Et si on prend A = 1 ou A = 0 ? C'est aussi valide ?
Une infinité de mathématiciens rentre dans un bar ou la bière est à 3euros.
Le premier en commande une, le 2eme deux, le 3eme trois etc...
Le barman leur dit "Vous payez d'avance" et leur donne 25 centimes.
Oui, très bonne comparaison, ce qui montre bien que cette démonstration est fausse, même si par contre la fonction zeta de Rieman peut être définie en -1.
@@__-1234Ça ne montre absolument rien 😑 pas plus que compter des pommes ne montre l'absurdité de l'unité imaginaire i
@@algebrilleexceller3455 En fait si je me souviens bien, i arrive assez facilement comme intermédiaire de calcul dans la résolution des polynômes de degré 3.
@@__-1234 Oui bien sûr. Ce qui en montre la légitimité. Pourtant, si on fabrique une situation réelle (au bar par exemple), on pourra facilement exhiber une absurdité "remettant en question" le sens de i. Alors qu'on sait que c'est plus compliqué qu'une histoire de payer i euros....
Si on veut démontrer la véracité de l’hypothèse de Riemann, est-ce qu’on peut se permettre de dire que ce résultat est faux ? 🤔🤔🤔
J'ai un problème avec cette démonstration : je ne comprends pas d'où sortent A et B.
Pendant qu'on y est, pourquoi ne pas avoir ajouté les 24 autres lettres ?
Et pourquoi avoir décalé d'un rang plutôt que de 2, 3… ou pas du tout ?
Pourquoi ne pas avoir créé une liste baptisée de la lettre que l'on désire avec la liste des nombres premiers jusqu'à l'infini ?
En fait, je ne comprends pas la méthode, je la trouve arbitraire et fantaisiste, je ne saisis pas sa légitimité.
On me souffle que la somme diverge et dix verges, c'est énorme ! 😂
On est pas censé parler en limites quand on manie les infinis ?
Tu oublies de dire qu'on peut tout à fait définir un algèbre dans lequel ces manipulations seraient légales. Et c'est d'autant plus intéressant que ça a des applications pratiques vérifiées dans la nature.
Ça commence plutôt mal votre démonstration.... En mettant à part le premier 1 de la somme A, cela donne A=1+(A-1), c'est à dire, après votre inversion des signes.... A=1-(-A+1), soit A=0; ce qui correspond bien à un des deux résultats intuitifs pour la somme à l'infini A (0 ou 1); ce n'est plus A que vous avez à la droite du 1 puisque vous avez sorti le premier 1 mais A-1!... Et ce qui suit est aussi grotesque (cf votre somme 2B avec 5 éléments en haut et quatre en bas !! si vous aviez fait les choses correctement vous auriez obtenu logiquement 2B = 6 ! ). Et, petite remarque qt au français,... "C'est qui ça ? Tu ne reconnais pas qqu'un de connu ?", "Là, ya personne." etc., etc. !! les objets mathématiques ne st pas des personnes !!... Ce n'est pas étonnant que vous aussi arriviez à confirmer la soi-disant géniale découverte.... somme des n entiers successifs = -1/12 !! Même si vous n'avez peut-être jamais entendu parler du génial Gauss, qui, a 8 ans, a trouvé en qqs secondes et en tte logique la somme des, par ex., 50 entiers successifs ! par quel mystère ce qui marche ici, pour une suite définie, c'est-à-dire la logique, tt simplement ! ne marcherait pas pour une suite infinie ?!! Si les maths permettent de faire de belles trouvailles, ce n'est pas pour autant de la magie, des tours de passe-passe... abracadabrantesques !!....
Ceci dit en utilisant des nombres complexes dans la fonction zêta on peut arriver à ce résultat nn?
Ce qui est le plus drôle, c'est que cette égalité qui semble intuitivement fausse (la somme de nombres positifs ne peut être négative) a des applications concrètes en physique quantique !
Il est intéressant de faire l' inverse : partir de (moins 1/2) et parvenir aux 3 suites infinies.
Et on peut conclure que (moins 1/2) est donc le résultat de ces 3 suites infinies. Et se poser la question d'une démonstration à venir : tous les nombres peuvent-ils être, comme (moins 1/2), le résultat d'addition de suites infinies ? Si oui, combien ? Lesquels ? Y-en-a t-il une infinité ?
Et c'est un nouveau problème du siècle à venir. Car si on le résout, on pourrait apporter une explication non négligeable à l'effet Casimir.🤔
Je pensais que le but de cette chaine était de vulgariser les maths.
Autant j’ai beaucoup appris sur cette chaine YT, autant ici, j’ai l’impression d’avoir écouté un gourou qui m’a fait la démonstration que dieu existe. 😊
Ca meriterait d'expliquer les faux raisonnements: comme A = 1/2 alors que A ne converge pas, donc les operations sur A sont indefinies.
A= 0 donc partant de la je ne comprends le reste
Que les mathématiciens considèrent que ce soit une erreur de faire cela je peux le comprendre par contre tu ne peux pas dire (littéralement) que c'est une absurdité. Cf l'effet Casimir qui prouve que cette relation a un sens même si c'est effectivement très perturbant...
Awesome ❤
Bonjour hedacademy
Vous expliquez des concepts compliqués avec des détails de calcul d'ordre élémentaire (réécriture de la division d'une fraction)... Certainement que votre public n'a pas le niveau.
C'est vrai que finalement vous ne donnez pas la raison de ce que vous appelez une "absurdité".
En fait la seule absurdité ou incohérence c'est de traiter les membres de ces égalités comme des nombres classiques, que connaissent votre public.
Or ce ne sont pas des nombres "classiques ", c'est ça la raison de "l'erreur" , c'est une erreur d'interprétation.
Car ces égalités , du moins la somme de tous les entiers égal à -1/12 , marchent en calcul physique puisque cela donnerai le calcul de la force d'attraction dans l'effet Casimir qui est un phénomène de physique quantique.
Au sens classique des nombres, les calculs sont faux car, vous le savez sans doute, vous effectuez des regroupements de termes sur des séries infinies qui ne sont valides que si les séries sont uniformément convergentes. Or ces séries ne sont même pas convergentes, le terme général de surcroît ne tendant pas vers zéro.
Donc cette "égalité" entre des "nombres" est juste mais elle ne concerne pas les nombres usuels. Elle concerne des entités mathématiques, qu'on appelle des nombres, notamment parce que les calculs, qui sont faux pour les nombres usuels, mais que vous effectuez marchent aussi. C'est en somme une généralisation de la notion de nombre.
Voilà ce que vous auriez pu expliquer à votre public même si un sur 10000 y aurait réellement compris quelque chose.
On peut aussi parler de prolongement analytique de la fonction zêta et d'hypothèse de Riemann...mais bon là on arrive dans la stratosphère des maths.
il n ya pas le droite que faite des operations dcomme la soustraction avec des objets qui est n e'est pas des nombres , comme arbre et arbre , chaise et chaise , ... et comme finalmenete infini et infinie (l'infini ce n'est pas un nombre)
Ce sont des sommes d'infinis différents : on ajoute un infini avec 1 + ce même infini, donc ce n'est pareil.
Mais tu ne l'avais pas déjà fait cette vidéo ?
3:10 Je suis un peu choqué que pour calculer 2B tu décales les valeurs .... ça change tout.
Comment on peut se permettre ça ?
Édit après réflexion : et bien si, c'est juste, puisque c'est une addition, ça ne change pas le résultat de décaler.
Pas évident, il a fallu que je prenne du recul pendant 30 minutes. 😂
La somme infinie des nombres positifs et négatifs est egal à zero.
Pourtant cette somme valant -1/12 est la logique conséquence de prolongement analytique sur le plan complexe…. résultat vrai, mais raisonnement faux.
C’est magique, les maths !