3 raisonnements mathématiques qu'on ne vous apprend pas à l'école
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- Опубликовано: 2 авг 2024
- Je vous présente trois raisonnements généraux qu'on ne vous apprend pas en cours et qui sont pourtant très utiles dans la résolution de problèmes mathématiques !
Lien de l'article écrit : mathrais.fr/raisonnements/
Time-Codes :
0:00 Intro
1:32 Principe d'invariance
4:48 Principe des tiroirs
6:46 Descente infinie
10:50 Outro
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Наука
Ce sont des raisonnements utilisées en MPII et MPI. Il sont très utiles dans les preuves de code. Le premier et le dernier raisonnement sont alors nommé recherche d'un invariant et respectivement d'un variant. L'un permet de monter la correction d'un code (que le code renvoie le résultat attendu) l'autre sa terminaison.
Merci pour cette précision, cela montre encore davantage leur utilité ! Même en étant en MP, les élèves ayant choisi l'option SI ne les voient pas. On enseigne par contre aussi ces raisonnements dans les cours de préparation aux Olympiades et autres concours.
effectivement je confirme :)
Très bon cours par l'exemple, tant sur le fond que dans la forme. Merci pour cette publication de valeur.
Merci à vous pour ce beau commentaire =)
C'est excellent ! Merci beaucoup pour ce partage et le montage est vraiment top 👌🏼
Merci !! =)
Je découvre cette chaîne. C’est très intéressant. Merci!
Très content que cette chaîne te plaise, bienvenue :D
Tres intéressant, merci !
À propos de la descente infinie, en quoi une suite positive ne pourrait pas etre décroissante ? Par exemple la suite e^-n est décroissante et pourtant toujours positive ?
Incroyable que je tombe sur cette chaîne je crois reconnaître mon prof de td d algebre linéaire à jussieu ! Je dis ça car c était la période covid et je n ai jamais pu voir son visage à cause du masque 😂. Si c est bien vous vous étiez spécialisé en proba il me semble.
Quoi qu il en soit je vous souhaite bonne continuation pour la chaîne je vais suivre les vidéos avec intérêt.
Haha très marrant ça x) C'est fort probable que ce soit moi oui, j'ai donné des cours en L1 d'algèbre linéaire un moment à Jussieu avant de me mettre à donner des cours en proba/théorie de la mesure qui est en effet ma spécialité.
Bienvenue sur cette chaîne du coup, ce sera moins scolaire que mes TDs, je suis plus libre de faire ce que je veux ^^
Oh, une nouvelle chaîne de maths ! J'approuve.
Bienvenue :D
Ok. Merci.
Cool vidéo! Par contre, pour l'exemple du raisonnement par descente infinie, à 10:35, je pense que tu vas trop vite, tu n'as pas réellement prouvé que c= a^2+b^2 =3(c^2+d^2) >3 x max(c,d)^2.
Par contre, je ne sais pas si je loupe une évidence, mais à partir de là, je bloque un peu (j’ai pas non plus cherché trois ans ^^). Prouver que min(a,b) > min(c,d) ne me semble pas évident ni même envisageable. Si on réussit à prouver tout cela cependant, alors on peut adapter le raisonnement pour prouver que c>a_1 et d>b_1.
Tu peux cependant éviter ce problème. Si tu regardes bien, tu peux prouver que la somme des carrées est strictement décroissante:
a^2+b^2>c^2+d^2>a_1^2+b_1^2
En raisonnant comme pour la descente infinie, ce n’est pas possible.
N'hésite pas à me prévenir si je suis passé à côté d'une évidence ^^
Bah en fait ça dépend de la définition de "solution plus petite". Souvent on utilise une autre quantité qu'on définit pour chaque quadruplet (par exemple ici la somme des 4 entiers semble suffire). On dirait dans ce cas que "(c,d,a1,b1) est plus petite que (a,b,c,d) si a+b+c+d > c+d+a1+b1. Ici c'est bien le cas puisque a1
Oui en fait dans le principe de la descente infinie, je dis à tort que les entiers doivent tous être strictement inférieurs les uns aux autres mais il suffit en fait qu'un seul décroisse strictement pour que le raisonnement reste valide ! Dans l'exercice, on n'a donc pas besoin de montrer qu'ils sont tous strictement inférieurs (ce qui est en effet sans doute faux), il suffit comme tu l'as indiqué de regarder la somme des carrés, ou tout simplement la somme des 4 nombres comme @JokidouPGM l'indique dans sa réponse.
Très sympa la vidéo, je viens juste pinailler sur deux points très légers.
- Dans l'énoncé de l'exercice sur le lemme des tiroirs, il faudrait préciser que n est supérieur ou égal à 2. ;) Sinon c'est intéressant de noter que c'est généralement un exercice donné sur les graphes, le but étant de montrer qu'il n'existe aucun graphe (à au moins 2 sommets donc), dont les sommets ont des degrés distincts. Et petite question supplémentaire pour les gens qui lisent les commentaires, il se passe quoi si on considère que les gens peuvent se connaître ou ne pas se connaître ? Avec 2 personnes P1 et P2, on peut avoir P1 qui connaît P2, et P2 qui connaît P1 et P2. Pour n > 2, on peut également construire des contre-exemples (indice pour passer d'un contre-exemple pour n personnes à un contre-exemple à n + 1 personnes, la parité de n peut aider).
- Un commentaire parle déjà de l'exemple de la descente infinie où la décroissance n'est pas réellement montrée (pour l'ordre considéré). Plutôt dire que c'est ok avec une relation bien fondé qui correspond justement à la condition de chaîne descendante.
Merci ! Tu fais bien de pinailler, c'est toujours bien d'être précis surtout quand on fait des maths !
Concernant la descente infinie, en effet j'ai dit, en expliquant son principe, que chaque entier était strictement inférieur à l'autre alors qu'on n'a pas besoin de quelque chose d'aussi fort pour que le principe marche. Il suffit qu'à chaque étape un des entiers décroisse strictement pour aboutir à une contradiction ! Donc dans l'exercice que je donne, pas besoin de vérifier qu'ils sont tous strictement inférieurs (ce qui n'est d'ailleurs sans doute pas le cas en général).
Moi j'aurais pas mis le principe des tiroirs dans tout ça ! Pour moi le principe des tiroirs c'est plus un outil que t'utilise dans un raisonnement (sans être vraiment un "raisonnement" à part entière). On l'utilise de manière plutôt ponctuelle, rapidement. Les deux autres sont effectivement des raisonnements dans le sens où on peut commencer en disant "on va raisonner par...", puis finir par "par ... on a montré le résultat", avec pas mal de choses entre les deux. D'ailleurs, ça se reflète dans la durée des exercices illustratifs que tu as choisi d'ailleurs !
Bref, je chipote, mais super vidéo ! Tu as participé à des olympiades de maths ou des choses du genre ?
Mmm oui tu as raison pour le principe des tiroirs, il est venu se glisser tel un intrus pour se faire connaître et bon il le mérite alors je l'ai laissé ^^
Je n'étais pas à fond dans les maths avant de faire une prépa. J'ai quand même participé à quelques concours Kangourou en étant top 100 et j'ai fait le concours général mais je n'y étais pas du tout préparé, c'était trop dur pour moi à l'époque même si j'y ai pris beaucoup de plaisir ! Je n'ai pas fait d'olympiades.
Super vidéo le goat , c'est quoi le logiciel que tu utilises pour les animations ? merci !
Merci !
Alors j'utilise Python avec un module, appelé Manim, qui aide à faire plus facilement les animations. Il faut aussi LaTeX d'installer pour pouvoir écrire des mathématiques. Je t'invite à aller voir le tuto (en anglais) de Benjamin Hackl sur l'utilisation de Manim si tu veux t'y mettre.
Je ferai sans doute un moment une vidéo qui expliquera comment je fais plus en détail mais elle n'est pas prévue à court terme.
Les maths. pour les maths. Je laisse cela aux chercheurs de véritables génies….dont ils ne se préoccupent pas de leurs applications…immédiates !
Moi ce qui me fait « flipper »
C’est par exemple trouver la solution d’un problème pas simple et très fastidieux pour trouver l’optimum grâce aux mathématiques !
Un exemple très pratique et extraordinaire…
Comment grâce au calcul différentiel et à la dérivée en particulier…trouver les dimensions d’une boîte cylindrique par exemple d’un litre de capacité pour avoir le minimum de surface employée…donc de matériel utilisé !
Pour un volume d’un litre…
On trouve que le diamètre de la boîte est égal à sa hauteur !
Donc : D = H = 10,84 cm !
On constate par exemple que dans les magasins d’alimentations les boîtes de haricots où de petits pois
où d’autres choses ne suivent pas cette règle sauf l’exception d’un produit intelligent que je ne mange pas la boîte de viande italienne « SIMMENTAL » dont le diamètre est égal à sa hauteur….et de fait ils utilisent pour la même quantité de viande le minimum de métal !
Le volume = 1000,409 cm^3 = 1,000409 litres !
Et sa surface totale =
S = pi x D^2 = 369,1547297 cm^2
V = (pi x D^3)/4
V = (3,14159 x 10,84^3) / 4
= 1000,409318 cm^3
= 1, 000409318 litres !
Monsieur Ferrario il ne faut pas couper les cheveux en quatre ! Ma réponse : Monsieur je prends le 1/4 de votre cheveux et je fais un trou au milieu s’il le faut !
Quand j’ai travaillé chez Tag-Heuer à St.Imier !
Preuve….
D = 2 H
V = 1000 cm^3
D = 13,655 cm
H = 6,827 cm
S tot = pi D(D+2H)/2 =585,756 cm^2
D = H
S tot = 369,154….cm^2
Soit une surface totale
Augmentée de : + 58,6 %
C.Q.F.D
Preuve…
D = H/2 où H = 2 D
V = 1000 cm^3
D = 8,602540138 cm
H = 17,20508028 cm
S tot = pi D(D+2H)/2 = 581,2236757 cm^2
Soit une surface totale
Augmentée de : + 57,44 %
D = H c’est bien le minimum de la surface totale d’une boîte de 1 litre de capacité = 1 dm^3 = 1000 cm^3 ! = 1 kg si c’est de l’eau !
Bonne soirée !
La formule finale :
D = H = ( 4 V / pi )^1/3
Ou la racine cubique de :
(4 x V) / 3,1416 !
V = 1000 cm^3
D = H = (4000 / 3,1416)^1/3
4000/3.141592654 = 1273,239545 racine cubique = 10,8385214 cm !
Petit exercice avec le principe des tiroirs : y a t il un nombre qui s’écrit qu’avec des 1 en base 10 divisible par 47 ?
Indication : étudier la suite 1;11;111;1111;…
Le raisonnement par abandon d'une contrainte (qui mène à faire une analyse/synthèse) est utile pour certaines constructions géométriques.
Par exemple, construire un carré inscrit dans un triangle.
Soit ABC un triangle. Construire un carré MNPQ tel que :
1) M appartient à [AB]
2) N et P appartiennent à [BC]
3) Q appartient à [CA]
Il est facile de construire des solutions satisfaisant 2 et 3 (abandon de la contrainte 1). Construisez-en plusieurs, et je vous laisse terminer.
Je ne sais pas si cette méthode pourrait être utilisée en dehors de la géométrie.
J'avait jamais vraiment vu le raisonnement des tiroirs (j'ai peut etre, sans conscience, vu pour des enigmes, mais jamais vraiment explicité le raisonnement)
Pour le cas de la descente infinie, j'ai déja vu, mais sans y mettre de nom, mais je saurait plus du tout dire dans quelles circonstances
Par contre, le raisonnement par invariants, je connaissait, notamment, je sais que c'est tres utile en théorie des noeuds (même si j'imagine bien qu'il y a bien plus d'application que juste en topologie plus globalement ou pour l'exemple donné en vidéo)
Mais c'est vrai que c'est pas vu (ou a minima jamais expliqué en cours) alors que c'est quand même des raisonnement qui peuvent être utiles (et même s'ils servent "a rien" dans le programme mathématique de college/lycée, je trouve qu'on aurait grandement a y gagner a quand même enseigner ces choses là, ne serait ce que parce que selon moi, c'est plus intéressant de maitriser des raisonnements (même pour la vie de tout les jours, au delà du simple aspect mathématique), que simplement connaitre des formules qui de toute façon, seront oubliés par 95% des eleves, même parmis, les meilleurs a la fin de l'année
En effet en topologie, les invariants sont très présents. Mais de façon plus ludique, ils sont aussi très présents en théorie des jeux ! Je compte faire pas mal de vidéos sur différents jeux amusants et on verra qu'on s'en servira souvent pour montrer qu'il est impossible de gagner à tel ou tel jeu =)
Le principe des tiroirs a des utilisations tellement diverses et variées qu'on ne peut pas le mettre dans un domaine particulier. Il est des fois nettement moins évident à trouver que dans les exemples que j'ai présentés.
Enfin la descente infinie sert en général à résoudre des équations diophantiennes, c'est-à-dire des équations où on cherche des solutions entières. On s'en servira très bientôt ça aussi dans une de mes futures vidéos ^^
Il faut quand même voir des formules et autres, même si on ne s'en sert pas dans son futur, c'est important aussi d'apprendre à manipuler et appliquer des propriétés. Après clairement il y aurait beaucoup de choses à dire sur le programme et l'enseignement des maths en général !
Oui, bien sur, les formules et propriétés, c'est important
Mon problème est pas sur leur apprentissage et leur applications en cours, mais plus le fait que, tel que fait actuellement, on fait presque que ça et ignore le raisonnement (a tel point qu'on demande de raisonner....sans vraiment apprendre a raisonner (hormis le raisonnement par récurrence, j'ai vu aucun de ces raisonnements en cours de maths au lycée, éventuellement évoqués et utilisés, mais jamais explicités) et comprendre d'où viennent les formules (a tel point que maintenant, je crois que les démonstrations de propriétés/formules sont complètements sorties du programme de Lycée, même en équivalent de ce qui était Terminale S Spé maths avant)
(J'ai plus un problème sur l'équilibre entre plusieurs compétences importantes que le fait d'en mettre certaines)
@@yugapillon1343 les démonstrations au lycée ne demande que très peu de raisonnement donc c'est pas important.
Si, c'est important
Parce que le lycée est pas juste sensé t'apprendre des choses au hasard, mais des choses utiles a l'avenir (le raisonnement étant essentiel, déja, même en dehors du simple cadre mathématiques, mais en plus dans le cadre mathématique, le raisonnement aide a mieux comprendre les concepts, a trouver de nouvelles pistes pour certains problemes, etc... c'est donc important d'apprendre a raisonner, même si les démonstrations ne le demandent pas: c'est important pour plein d'autres raisons
4:46 le meilleur nombre qu'on peut obtenir c'est zero ou deux?
J’aime bien ce qu’il se passe ici
Hehe cool, je vais tout faire pour ajouter toujours plus de contenu que je trouve intéressant :D
À quand les hyper-opérateurs?
C'est quoi ?
@@pseudosupprimer8016 Grosso modo, des opérations qui donne des nombres pas possible. Par exemple 10^2 ça fait 100, alors que 10^^2, qui est une tetratation, donne 10^10^10, qui prendrait trop de place à écrire.
Haha le principe des tiroirs je l'avais calé aux olympiades
Oui un très grand classique de ce type d'épreuves ! Bienvenue sur cette chaîne :)
Pour la descente infinie je vois pas trop la différence avec l’absurde.
En effet on a supposé le résultat vrai (il existe a b c d entiers positifs tels que) pour arriver à une absurdité (on trouveras toujours des quadruplés “inférieurs” or le l’ensemble des entiers positifs est minoré donc absurde ) donc on en conclut que le résultat est faux (il n’existe pas a b c d tels que ).
Quelle est vraiment la différence entre les deux raisonnements?
On sert du raisonnement par l'absurde aussi dans le principe d'invariance donc on pourrait aussi le classer simplement dedans. Mais disons qu'on sent que ça apporte un supplément, une piste de réflexion supplémentaire possible. Si jamais tu as le niveau licence/prépa, je t'invite à aller voir ma nouvelle vidéo sur les quatre carrés de Lagrange pour avoir un autre exemple d'application de ce principe de descente infinie.
Merci pour votre réponse ;).
J’ai déjà regardé votre nouvelle vidéo, bonne soirée à vous 😁
4:51 "pigeonhole principle" dans le monde anglo-saxon, car on considère des pigeons qui trouvent chacun leur trou… à moins que le nombre de pigeons et de trous ne soit pas identique.
Il serait plus générique de parler de *"principe d'appairage"* ou de "principe des conteneurs et contenus discrets", mais bon… si vous aimez les tiroirs ou les pigeons, faites comme vous voulez. Le principe, c'est de savoir compter.
En effet, c'est très marrant de voir que ce principe a pris un nom différent suivant les langues. En France on préfère les chaussettes que les pigeons x)
Avant de ranger les gens dans des tiroirs, il faut être certain qu'ils sont assez souples!
Ça m'aurait étonné si la descente infinie ne figurait pas dans cette vidéo
Concernant la descente infinie, c'est dommage d'avoir pris en début de vidéo la démonstration que racine de 2 est irrationnel comme exemple d'un raisonnement par l'absurde.
Le raisonnement par l'absurde qui sert à prouver que racine de 2 est irrationnel, c'est justement une descente infinie.
On suppose qu'on a trouvé a et b positifs les plus petits possibles tels que a/b = racine de 2. Et on démontre que ça entraîne obligatoirement qu'il existe des entiers a' et b' plus petits que a et b qui vérifient aussi a'/b' = racine de 2.
Donc la descente infinie est bien un type de raisonnement qu'on nous apprend à l'école.
Et pour le principe d'invariance, c'est le principe de base de l'arithmétique modulaire et de manière générale de tout ce qui repose sur des classes d'équivalence.
C'est confus, pour moi en tous cas.
TRIPLETS PYTHAGORICIENS
Essayez de résoudre ce problème
Qui n’est pas enseigné dans les écoles techniques !
A = 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21....jusqu'à l'infini !
B = 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
C = 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La solution n’est pas simple !
Bonne Chance !
Pour l'info j'ai regardé,
Mais rien Compris.....!
Les exemples sont mal posés.
Ex : le nombre de connaissances. Qu'est-ce qu'une connaissance ? Les savoirs appris à l'école ?
Ah, des personnes que l'on connaît. D'accord, mais qui sait combien chaque personne connaît de gens.
Ah, des gens uniquement dans la pièce !
C'est bien ce parler d'outils logiques, mais il faudrait peut-être logiquement se montrer plus précis sur l'ensemble des énoncés.