Muster finden und begründen
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- Опубликовано: 2 май 2024
- 🧑🏫Heutiges Thema: In diesem Stream haben wir uns mit einem seltsamen Muster in Termen befasst und es visualisiert.
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#mathematik #mathe #lehramt #lehramtstudieren #lehramtsstudium #grundschullehramt #phheidelberg #pädagogischehochschule #meinephhd #twitch #stream #spannagel #live
Geht auch mit der 3. binomischen Formel.
2024 = 44 * 46 = 25² - 1
Schönes Beispiel! :-) (Kleine Korrektur: 45^2-1)
Das ist Stoff im Mathestudium? Sollte man doch schon in der Schule gelernt haben und.
Ich für meinen Teil finde es gut Fundamentales zu reiterieren. Aufzeigen von logischen Dingen, die einem - wenn nie gelernt dann doch vielleicht dem Gedächtnis entglitten sind.
Danke für die Videos!
Die Uni sollte nicht an die Schule anschließen, sondern von Grund auf den Stoff behandeln, auch in abstrakter Form.
Es sollte auch eine Pause liegen zwischen Schule und Uni, damit das auswendig gelernte, "Gestrüpp" mehr oder weniger beseitigt wird durch vergessen, um das Lernen in der Uni zu erleichtern..
Die Lernweise in den Schulen ist K A T A S T R O P H A L. !!!!!!!
Ich denke, es geht mehr darum, wie man Strukturen erkennen und visualisieren kann also den Weg zur Mathematik selbst und weniger um die Formel als inhaltliches Ergebnis.
Es sind Lehramtsstudierende, die selbst solche Inhalte in der Schule vermitteln sollen (wobei sie selbst das in den seltensten Fällen in der Schule gelernt haben)
Erster Gedanke: bzw. erstes erkanntes Muster
1 x 3 +1 = 4: Zwischen der 1 und der 3 aus (1 x 3) liegt immer die Zahl, die ich ² rechne.
Zweiter Gedanke bzw. zweites erkannte Muster: bei (3 + 1), wenn ich nicht +1 rechne, sondern minus 1 dann, erhalte ich wieder die Zahl ich ² rechne.
1 x 3 +1 = 4 zwischen 1 u. 3 liegt 2 und 3 - 1 ist auch 2
2 x 4 + 1 = 9 zwischen 2 u. 4 liegt 3 und 4 - 1 ist auch 3
3 x 5 + 1 = 16 zwischen 3 u. 5 liegt 4 und 5 - 1 ist auch 4
4 x 6 + 1 = 25 zwischen 4 u. 6 liegt 5 und 6 - 1 ist auch 5
5 x 7 + 1 = 36 zwischen 5 u. 7 liegt 6 und 7 - 1 ist auch 6
= ist auf jeden Fall ein bzw. zwei Muster
Dritter Gedanke, bzw. 3. erkanntes Muster:
Subtrahiere ich die hintere Zahl mit der vorderen, dann kommt immer zwei heraus.
Andersherum geht es natürlich auch:
1 x 3 +1 = 4 3-1 =2 bzw. 1-3 = -2
2 x 4 + 1 = 9 4-2 = 2 bzw. 2-4 = -2
3 x 5 + 1 = 16 5-3 = 2 bzw. 3-5 = -2
4 x 6 + 1 = 25 6-4 = 2 bzw. 4-6 = -2
5 x 7 + 1 = 36 7-2 = 2 bzw. 5-7 = -2
= ist auf jeden Fall ein Muster …
4 Gedanke: Wenn ich mich hier schon nicht entfalten kann, dann vielleicht mal die Aufgabe:
1 x 3 +1 = 3 +1 = 4
2 x 4 + 1 = 8 + 1 = 9
3 x 5 + 1 = 15 + 1 = 16
4 x 6 + 1 = 24 + 1 = 25
5 x 7 + 1 = 35 + 1 = 36
5. Gedanke: Ich schaue mir nochmal die Zahlen² an
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
6 x 6 ist 36 ist der Lehrer noch so fleißig, ist der Lehrer dumm, schauen sich die Schüler nur noch um (es ist halt mein Gehirn), also weiter:
6 x 6 = 36
6. Gedanke ich habe gerade „(es ist halt mein Gehirn)“ geschrieben, verdammte Axt!
Ich experimentiere mal etwas mit Klammern!
(1 + 1) x (3 - 1) = 4
(1+ 2) x (4 - 1) = 9
(1+ 3) x (5 - 1) = 16
(1+ 4) x (6 - 1) = 25
(1+ 5) x (7 - 1) = 36
(1 + 1) x (3 - 1) = 2 x 2 = 4
(1+ 2) x (4 - 1) = 3 x 3 = 9
(1+ 3) x (5 - 1) = 4 x 4 = 16
(1+ 4) x (6 - 1) = 5 x 5 = 25
(1+ 5) x (7 - 1) = 6 x 6 = 36
Das ist auch irgendwie für mich erstmal ein Muster.
Das wären erstmal nur die erkennbaren Muster ohne Formel, wenn man mit Mathematik einfach mal so gar nichts am Hut hat …
... das ist genau die Herangehensweise, die ich auch meinen Studis empfehle: Probiert aus! Schreibt euch Tabellen auf, rechnet einfache Beispiele aus, "schaut scharf hin", .... sehr gut! 👍
@@pharithmetik
Guten Morgen Christian,
Das wird jetzt vermutlich die dümmste Frage, die jemals gestellt wurde,
aber ich habe noch ein Muster erkannt:
Das Muster:
1 x 3 + 1 = 4 3-1 =2 bzw. 1-3 = -2
2 x 4 + 1 = 9 4-2 = 2 bzw. 2-4 = -2
3 x 5 + 1 = 16 5-3 = 2 bzw. 3-5 = -2
4 x 6 + 1 = 25 6-4 = 2 bzw. 4-6 = -2
5 x 7 + 1 = 36 7-2 = 2 bzw. 5-7 = -2
Wenn ich mir dieses Muster anschaue, dann entsteht die Differenz von +2/-2
weil ein Q² immer auf zwei Seiten wächst, also etwas zweimal passiert.
und man Quadrat wächst Q x 2+1. +1 passiert aber nur einmal. Damit es zweimal
passiert müsste das nächste Muster Q x 2 +(2 x 0,5) bzw. Q x 2 +(2 x ½) sein.
1 x 3 + 1 = 1 x 2 +(2 x ½) =4
2 x 4 + 1 = 2 x 2 +(2 x ½) =9
3 x 5 + 1 = 3 x 2 +(2 x ½) =16
4 x 6 + 1 = 4 x 2 +(2 x ½) =25
5 x 7 + 1 = 5 x 2 +(2 x ½) =36
Daraus kann ich ja jetzt ableiten, dass mein dazu gekommenes 1² Quadrat aus zwei Teilen besteht. Diese zwei Teile können
zwei Gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke sein.
Die Fläche meines Dreiecks würde ich jetzt mit
Grundseite x Höhe durch 2 rechnen.
a = g x h /2
Jetzt zur dümmsten Frage, die je auf RUclips gestellt wurde: Ist das eine aufgrund des anderen so? Ist das ½ aus dem Muster der Grund, warum die Flächenformel für das Dreieck (a = g x h /2), auch ein ½ enthält? Also so wird ja sichtbar, dass sich Flächen verhalten, wie sie sich verhalten und wir ja die Regeln nicht aufstellen, sondern nur erkennen. Ich meine, man lernt ja, dass man Vierecke in zwei Dreiecke teilen kann. Das ist ja Kindergartenwissen, aber erklärt das, warum es so ist? Ist das so ein Henne/Ei-Ding?
Ich hoffe, dass ich mich jetzt nicht absolut lächerlich mache …
@@pharithmetik
Guten Morgen Christian,
Das wird jetzt vermutlich die dümmste Frage, die jemals gestellt wurde,
aber ich habe noch ein Muster erkannt:
Das Muster:
1 x 3 + 1 = 4 3-1 =2 bzw. 1-3 = -2
2 x 4 + 1 = 9 4-2 = 2 bzw. 2-4 = -2
3 x 5 + 1 = 16 5-3 = 2 bzw. 3-5 = -2
4 x 6 + 1 = 25 6-4 = 2 bzw. 4-6 = -2
5 x 7 + 1 = 36 7-2 = 2 bzw. 5-7 = -2
Wenn ich mir dieses Muster anschaue, dann entsteht die Differenz von +2/-2
weil ein Q² immer auf zwei Seiten wächst, also etwas zweimal passiert.
und man Quadrat wächst Q x 2 + 1. +1 passiert aber nur einmal. Damit es zweimal
passiert müsste das nächste Muster Q x 2 +(2 x 0,5) bzw. Q x 2 +(2 x ½) sein.
1 x 3 + 1 = 1 x 2 +(2 x ½) =4
2 x 4 + 1 = 2 x 4 +(2 x ½) =9
3 x 5 + 1 = 3 x 5 +(2 x ½) =16
4 x 6 + 1 = 4 x 6 +(2 x ½) =25
5 x 7 + 1 = 5 x 7 +(2 x ½) =36
Daraus kann ich ja jetzt ableiten, dass mein dazu gekommenes 1² Quadrat aus zwei Teilen
besteht. Diese zwei Teile können zwei Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreiecke sein.
Die Fläche meines Dreiecks würde ich jetzt mit Grundseite X Höhe durch 2 rechnen.
a = g x h /2
Jetzt zur dümmsten Frage, die je auf RUclips gestellt wurde: Ist das eine aufgrund des anderen so? Ist das ½ aus dem Muster der Grund, warum die Flächenformel für das Dreieck (a = g x h /2), auch ein ½ enthält? Also so wird ja sichtbar, dass sich Flächen verhalten, wie sie sich verhalten und wir ja die Regeln nicht aufstellen, sondern nur erkennen. Ich meine, man lernt ja, dass man Vierecke in zwei Dreiecke teilen kann. Das ist ja Kindergartenwissen, aber erklärt das, warum es so ist? Ist das so ein Henne/Ei-Ding?
Ich hoffe, dass ich mich jetzt nicht absolut lächerlich mache …
@@pharithmetik Hallo Christian,
das wird jetzt vermutlich die dümmste Frage, die jemals gestellt wurde,
aber ich habe noch ein Muster erkannt:
Das 3. Muster aus meinem ersten Kommentar:
1 x 3 + 1 = 4 3-1 =2 bzw. 1-3 = -2
2 x 4 + 1 = 9 4-2 = 2 bzw. 2-4 = -2
3 x 5 + 1 = 16 5-3 = 2 bzw. 3-5 = -2
4 x 6 + 1 = 25 6-4 = 2 bzw. 4-6 = -2
5 x 7 + 1 = 36 7-2 = 2 bzw. 5-7 = -2
Daraus würde mein 7. Gedanke entstehen,
Wenn ich mir dieses Muster anschaue, dann entsteht die Differenz von +2/-2
weil ein Quadrat immer auf zwei Seiten wächst, also etwas zweimal passiert.
Das Quadrat wächst Q x 2 + 1.
+1 passiert aber nur einmal. Damit es zweimal
passiert müsste das nächste Muster Q x 2 +(2 x 0,5) bzw. Q x 2 +(2 x ½) sein.
1 x 3 + 1 = 1 x 2 +(2 x ½) =4
2 x 4 + 1 = 2 x 4 +(2 x ½) =9
3 x 5 + 1 = 3 x 5 +(2 x ½) =16
4 x 6 + 1 = 4 x 6 +(2 x ½) =25
5 x 7 + 1 = 5 x 7 +(2 x ½) =36
Dazu schaue ich mir das mal als Form an:
[ \] [O] [O] [O] [O] [O]
[O] [ \] [O] [O] [O] [O]
[O] [O] [ \] [O] [O] [O]
[O] [O] [O] [ \] [O] [O]
[O] [O] [O] [O] [ \] [O]
[O] [O] [O] [O] [O] [ \] ([ \] = +1)
[ \] [O] [O] [O] [O] [w]
[O] [ \] [O] [O] [O] [w]
[O] [O] [ \] [O] [O] [w]
[O] [O] [O] [ \] [O] [w]
[O] [O] [O] [O] [ \] [w]
[w] [w] [w] [w [w] [ \] [ \] = +1
Wachstum = W x 2 +1
W passiert zweimal
+1 passiert einmal
[ \] [O] [O] [O] [O] [w]
[O] [ \] [O] [O] [O] [w]
[O] [O] [ \] [O] [O] [w]
[O] [O] [O] [ \] [O] [w]
[O] [O] [O] [O] [ \] [w]
[w] [w] [w] [w [w] [%] [%] = 2 x ½ (Jeder der Kreis ist ein ½ bzw. 0,5 )
Wachstum = W x 2 + (2 x ½)
W passiert zweimal
+ ½ passiert zweimal
Damit passiert auf beiden Seiten das gleiche!
Muster, wenn ich +(2 x ½) rechne, dann passiert auf beiden Seiten das Gleiche.
Daraus kann ich ja jetzt ableiten, dass mein dazu gekommenes 1² Quadrat aus zwei Teilen
besteht. Diese zwei Teile können zwei Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreiecke sein.
Die Fläche meines Dreiecks würde ich jetzt mit Grundseite mal Höhe durch 2 rechnen.
a = g x h /2
Jetzt zur dümmsten Frage, die je auf RUclips gestellt wurde: Ist das eine aufgrund des anderen so? Ist das ½ aus dem Muster der Grund, warum die Flächenformel für das Dreieck (a = g x h /2), auch ein ½ enthält? Also so wird ja sichtbar, dass sich Flächen verhalten, wie sie sich verhalten und wir ja die Regeln nicht aufstellen, sondern nur erkennen. Ich meine, man lernt ja, dass man Vierecke in zwei Dreiecke teilen kann. Das ist ja Kindergartenwissen, aber erklärt das, warum es so ist? Ist das so ein Henne/Ei-Ding?
Ich hoffe, dass ich mich jetzt nicht absolut lächerlich mache …
@@chrestomathie7494 Ja genau, deshalb lautet die Formel zur Flächenberechnung des Dreiecks so! Man stelle sich ein Rechteck vor und lege ein Diagonale durch. Dann ergibt dich die Formel für das Dreieck durch Halbierung der Formel für das Rechteck. Und mit Scherung kann man dann begründen, warum alle nicht rechtwinkligen Dreiecke auch diese Formel haben :)
Mir ist da noch
etwas aufgefallen:
0 x10= 0 40 x 40 = 2000
1 x 9 = 9 41 x 49 = 2009
2 x 8 = 16 42 x 48 = 2016
3 x 7 = 21 43 x 47 = 2021
4 x 6 = 24 44 x 46 = 2024
5 x 5 = 25 45 x 45 = 2025
Die Differenz zwischen 25 und 24 ist 1
Die Differenz zwischen 25 und 21 ist 4
Die Differenz zwischen 25 und 16 ist 9
Die Differenz zwischen 25 und 9 ist 16
Die Differenzen sind alles Quadratzahlen.
(1²=1).
25
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O O
24
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O
21
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O
O O O
16
O O O O O
O O O O O
O O
O O
O O
9
O O O O O
O
O
O
O
0
...
38 x 52 = 1976 (Differenz zu 2025 ist 49 / 7²)
39 x 51 = 1989 (Differenz zu 2025 ist 36 / 6²)
40 x 40 = 2000 (Differenz zu 2025 ist 25 / 5²)
41 x 49 = 2009 (Differenz zu 2025 ist 16/ 4²)
42 x 48 = 2016 (Differenz zu 2025 ist 9 / 3²)
43 x 47 = 2021 (Differenz zu 2025 ist 4 / 2²)
44 x 46 = 2024 (Differenz zu 2025 ist 1 / 1²)
45 x 45 = 2025 (Differenz zu 2025 ist 0 )
56 x 34 = 1904 (Differenz zu 2025 ist 121/ 11²) da weiß ich aber noch nicht, ob es die richtige Richtung ist....
Ich weiß jetzt nur nicht, wie ich das beschreiben soll,
Die Differenz zwischen 4 x 6 und 5 x5 ist 1² und es verhält es sich dann weiter,
wenn sich die Abstände (Eine Seite +; andere Seite minus, sonst wären es ja Quadratzahlen)
von den Zahlen dich mal nehme auf beiden Seiten gleich zur Quadratzahl verhalten.
Das sind ja richtig coole Entdeckungen! Wer mag mit einsteigen? :)
@@pharithmetik Vielen Dank für deine Antwort!
Ich glaube, ich habe es jetzt!
34 x 56 = 1904 (Differenz zu 2025 ist 121/ 11²)
(Differenz zu 100 ist 21)
35 x 55 = 1925 (Differenz zu 2025 ist 100/ 10²
(Differenz zu 100 ist 19)
36 x 54 = 1944 (Differenz zu 2025 ist 81/ 9²)
(Differenz zu 81 ist 17)
37 x 53 = 1.961 (Differenz zu 2025 ist 64 / 8²)
(Differenz zu 64 ist 15)
38 x 52 = 1976 (Differenz zu 2025 ist 49 / 7²)
(Differenz zu 49 ist 13)
39 x 51 = 1989 (Differenz zu 2025 ist 36 / 6²)
(Differenz zu 36 ist 11)
40 x 40 = 2000 (Differenz zu 2025 ist 25 / 5²)
(Differenz zu 25 ist 9)
41 x 49 = 2009 (Differenz zu 2025 ist 16/ 4²)
(Differenz zu 16 ist 7)
42 x 48 = 2016 (Differenz zu 2025 ist 9 / 3²)
(Differenz zu 9 ist 5)
43 x 47 = 2021 (Differenz zu 2025 ist 4/ 6²)
(Differenz zu 4 ist 3)
44 x 46 = 2024 (Differenz zu 2025 ist 1 / 6²)
(Differenz zu 0 ist 1)
45 x 45 = 2025 (Differenz zu 2025 ist 0 )
0 ist auch Ende des Musters, so schafft man mit der 45² eine Art Ursprung für ein Quadrat, weil es da mit 0 beginnt.
Wachstum des Quadrats nach der Regel
(n + 1)² - n²
= n² + 2n + 1 - n²
= 2n + 1
=======
gilt hier auch.
Welche Formel man jetzt bauen muss,
um diese Form des Wachstums aufzuzeigen
weiß ich noch nicht.
Ich tendiere zu:
n * (n + 2 * x) + x²
Die Formel n * (n + 2) + 1 funktioniert ja nur bei 1, aber man sieht,
dass die +2 eigentlich ja die Differenz von 1² auf beiden Seiten ist oder 2 x 1.
(n - 1) * (n + 1)+1 bzw. (n-1) * (n + 1) + 1² und das wäre ja auch:
(n - x) * (n + x) + x². Alternativ würde (n - x) * (n + x) + x² auch funktionieren.
Da sieht man besser, dass auf beiden Seiten das Gleiche passiert.
Und (n + x) * (n - x) = n² - x² wäre ja die 3. Binomische Formel.