Интересная задачка,решал по другому и в одно действие,продолжил перпендекуляр MK, и доказал,что треугольник с гипотенузой AM и катетом который является продолжением KM является подобным к треугольнику ADP, нашел этот катет и от 25 отнял его значение, сам через площадь как то не додумался,спасибо
Хорошая задача. И именно, что вписанный треугольник в квадрат имеет площадь половину квадрата. Знание теории полезно . И что точка в квадрате делит на треугольники . Это главное.
Решил в уме за 5 минут. Проще, чем здесь. Продлил отрезок КМ до пересечения с АД. Точка пересечения "О". ТРЕУГОЛЬНИК ADP подобен MAO. По двум углам (один прямой, а вторые равны, так как стороны взаимно перпендикулярны.) Соствив пропорцию АР:АД=МО:АМ или 20:25=МО:20 Отсюда МО=20*20:25=16. Отсюда МК=ОК-ОМ=9, Виктор (76 лет)
Вы,, Валерий, очень хороший, не нужно на себя наговаривать. В отличие от икса, вы центровой, то есть на десятку, высшая оценка попадания в центр мишени во всех стрелковых дисциплинах. Я был победителем в спартакиаде по пулевой стрельбе среди юниоров в 1965 году, сохранилась только грамота, медаль друзья позаимствовали, для памяти обо мне. Тогда мне не было ещё 16 лет.
@@SB-7423 Проблемы такие: целые 3 месяца не давал набрать 20 000 подписчиков. При наборе 19 998 сбрасывал на 19 950. Я набираю 19 998 жду кгода будет 20 000 - а через 2 ч у меня 19 934 и т.д. Число иностранных просмотром уменьшилось с 42% до 3%, то есть не предлагает ролики для зарабужки. Некторые зрители пишут, что жутко тормозиит просмотр.
Устное решение. Продлеваем КМ до пересечения с AD в точkе L. Треугольники AML и ADP подобны (острые углы равны, как углы с соответественно перепендикулярными сторонами), откуда ML/AM = AP/AD. Поэтому ML = AM * AP / AD = 20 * 20 / 25 = 16, KM = KL-ML=25-16=9.
Благодарю. В прямоугольном тр АРД найдем катет РД (он равен 15) и высоту РН1 (из т Р на АД. Она равна 12). Продлим вправо АД, и вправо и вниз МN. Их точку пересечения обозначим Е. Из подобия треугольников АДР и ЕАМ найдем высоту треугольника ЕАМ ( из т М на сторону АЕ) - обозначим МН2. Она равна 16. Теперь можно найти МК: МК=АВ-МН2= 25-16=9.
Дз. Треугольники АВМ и АДР равны по 1му признаку, значит равны и их высоты: РН1= МН3 ( высоте, опущенной из т М на сторону АВ) = 12. МН3=ВК - это и есть высота трапеции АВКМ. Значит площадь трапеции АВКМ=((АВ+КМ)/2)*ВК= ((25+9)/2)*12=17*12=170+34=204.
Треугольник APD - египетский с гипотенузой 25 и катером 20. Отсюда второй катет равен 15. Теперь продлим AD и MN до пересечения в точке F. Треугольник AMF подобен треугольнику APD. Найдём высоту, проведённую из P и AD. Она равна произведению катетов, делённому на гипотенузу, т.е. 20•15/25 = 12. Найдём аналогичную высоту в AMF, для чего запишем соотношение подобия: высота к высоте как меньший катет к меньшему: h:12 = 20:15, h = 12•20/15 = 16. Отсюда искомый отрезок равен 25 - 16 = 9.
Точку М соединили со всеми углами квадрата. Класс! Предлагаю соединить точку М со всеми сторонами квадрата!!! Получите удовольствие. // - У лебедя шея красивая? - Красивая. - А вот если бы у тебя такая шея, это красиво? Ха-Ха-Ха //
первое действие - великолепно!! А вот вторым действием я бы вычислил бы высоту треугольника АМД, что составит 200*2/25=16 И третье действие - для первоклассников: 25-16 = 9 Исковый отрезок МК равен 9.
Да, можно. Моя цель - не решить задачу, а повторить важные св-ва. Дело так: я закрываю глаза в кинотеатре, думаю, что нужно прокачать два свойства площади (в ролике), и придумываю сюжет. ВСЕ! Кроме того, в общем виде получим h=(a^2-b^2)/a. Красиво.
Когда площадь треугольника AMD нашли, меня сразу озарило : можно было сразу его высоту найти и из стороны квадрата ABCD вычесть. Расту в собственных глазах.
Хорошее решение для развития. Как еще вариант более простой в уме: Из М опускаем высоту на АД. Получаем треугольник подобный АДР, и из подобия эта высота равна Н=25/(20×20)=16 > КМ=25-16=9
Здравствуйте! Пока решала своим способом нашла длины всех отрезков для Д/з. Решала поворотом малого квадрата из исходного положения, когда АМ лежит на стороне АВ. Получила два равнобедренных подобных треугольника с коэф.подобия 4/5. Применяла т.Пифагора и подобие. Нашла МК=9, ВК=12, площадь 204.
Проведём перпендикуляр с точки М на сторону АВ, точку пересечения обозначим Т. Треугольник МТА подобен треугольнику АДР., так как оба прямоугольные и их углы ТАМ и ДАР равны (оба этлх угла с углом МАД образуют прямой угол). Из подобия треугольников МТА и ДАР: МА/АД=ТА/АР; 20/25=ТА/20, отсюда ТА=(20*20)/25=16, то есть ТА=16. Поскольку МТ является перпендикуляром к АВ, то КМ+ТА=АВ, значит КМ=АВ-ТА, подставим значения: КМ=25-16, Ответ: КМ=9
Здравствуйте, Валерий Владимирович! Если из точки M опустить перпендикуляр MH на AD, то ΔAMH~ΔDAP (∠MAH=∠ADP). Отсюда MH/AM=AP/AD или MH/20=20/25 и MH=16. Тогда MK=KH-MH=25-16=9. Вижу, что подписчиков уже 20000. Желаю, чтобы добавилось еще не меньше 20000!
@@GeometriaValeriyKazakov Валерий Владимирович! Мы с Вами в неравных условиях. Вы трудитесь и устаёте, и получается, как в книге и в фильме братьев Вайнеров "Место встречи изменить нельзя". Там Володя Шарапов говорил, что у опытного разведчика "замыливается глаз от усталости", и тогда ему помогает напарник. Я хотел бы стать Вашим напарником, но я пенсионер с 2009 года, что греха таить, иногда просто развлекаюсь математикой, но в целом - хочу хоть чем-то быть полезным.
1. Тр-ки AMB и APD равны по двум сторонам и углу между ними. След-но, угол AMB - прямой. Тогда по теореме Пифагора BM=15 2. Находим высоту MH тр-ка AMB по ф-ле, которую Вы показывали на канале: MH= BM*MA/AB = 12 3. Для высоты в прям-м тр-ке, проведённой из вершины прямого угла, справедливо соотношение: h^2 = x*(25 - x), где x=BH. Получаем квадратное ур-е x^2-25x+144=0, корни которого x1=9, x2=16. Так как BH
Для (BH) есть другое уравнение, если посчитаны длины сторон ∆ABM: (BH)*(BA)=(BM) ^2, из 2-х выражений для cos(B), или из подобия ∆∆ (BH)*25=15^2, (BH)=9
Меня сразу потянуло опустить перпендикуляр из М на АD в точку, скажем, О. Легко просматриваются два египетских треугольника АМО и АDР с коэффициентом подобия 4/5. Отсюда МО=16, MK=9
Через площади конечно интересно, но можно и через тригонометрию, треугольник APD - прямоугольный и в нём нам известно целых две стороны, а значит известен и угол PАD, так же треугольник AMB, нам там известны 2 стороны и угол между ними, а значит можно найти BM, ну а из прямого треугольника BKM, уже находим КМ, зная BM и угол МВК.
Обалденно симпатичная задача! Гармония когнитивной асимметрии! Кажется, у меня получилось весьма просто и оригинально... Итак, продлим MN и AD до тчк Н. Углы МНА =НАР(внутр.накрест.), cos нар=20/25=4/5=cos мна. sin^2=1--cos^2. Сл-но, sin мна=3/5. Те, тр-ник АМН--египет(прямоугол., синус остр.угла=3/5)(!) АМ=60/3, МН=80/3, АН=100/3. Sамн=800/3. Высота = 16, МК=9
К 3:04 - если остановиться на этом моменте, то далее можно рассуждать так: S треугольника АМД = 200, его основание АД = 25, значит высота треугольника будет 200 ÷ 25 х 2 = 16 Тогда КМ = 25 - 16 = 9
Шикарная задача! Об этом свидетельствует количество комментариев… от разнообразия решений зрителей разбегаются глаза) Основной посыл автора понятен, отработать важные свойства… и первый шаг - великолепен(!), второй, на мой взгляд, уже «притянут за уши», поскольку человеческий мозг ищет, прежде всего, самые короткие пути решения… и они таки есть) Но вот на что я обратил внимание, и хотел бы сделать акцент. Автор заложил изначально в условие задачи «Египет». Отсюда и «фонтан» устных решений. Но есть важные нюансы, которые отмечу дополнительными комментами… кому интересно - читайте)
Я пошел другим путем, и решал задачу с другими исходными данными: желтый квадрат оставил таким же, а сторону зеленого взял 24, тоже красивое число, но тогда рушится Египет, и приходится считать… Сделал расчет и по способу автора, и по своему (кстати, в предложенных зрителями решениях, такого варианта я не увидел): 1) поворот тр-ка АDР (на 90 пр.ч.с.), чтобы доказать прямоугольность тр-ка АМВ; 2) далее - вытекающие из этого факта последствия (т.Пифагора или же тригонометрические соотношения в пр.тр-ке) + подобие тр-ков на чертеже. По сути получается то же, но смотрим под другим ракурсом) Что получилось? МК = 22/3; S(трап) = (470/9)*√11 ≈ 173,2.
Дальше я пошел еще дальше… и взял сторону зеленого 30 (почему бы и нет?), сохраняя размеры желтого… Применив алгоритмы автора и свои/зрителей получил результат, когда решение по способу автора и зрителей не совпадает(.. в чем же причина?.. Вот тут, на мой взгляд, важным является условие задачи и соотношение сторон квадратов. Решение, предложенное автором, работает, когда вершина D зеленого квадрата (со стороной «a») принадлежит стороне PN желтого (со стороной «b») при повороте последнего вокруг общей вершины А (что, кстати, отмечено условием!). Это возможно лишь тогда, когда b ≤ a ≤ b*√2…
При условии, что a > b*√2 нужно накладывать дополнительное условие, чтобы сохранить однозначность, например, что т.D принадлежит продолжению стороны PN, тогда решения зрителей «сработают», а автору нужно предложить другую геометрию, основанную на площадях…
Отжиматься в темпе, предложенным тренером, не успеваю, возраст(… Буду очень рад, если мои рассуждения помогут автору сформулировать новые интересные условия задач… но, может я просто туплю? Хотя, любая реакция на ролик должна его продвигать, продвигаем! Еще раз, «спасибо» за очень содержательный/полезный контент!
BM=DP=15, т.к. треугольники АВМ и ADP равны по двум сторонам и углу между ними. Углы APD и АМВ прямые. Углы КВМ и МАВ равны 30 градусов. КМ/МВ=МВ/ВА. КМ=9.
Забыл про эти свойства площадей, поэтому решил другим способом))) Треугольник ADP египетский, поэтому DP=15. Развернём его влево по точке А на 90° и получим, что BM=DP=15. В треугольнике AMB (который тоже оказался египетским) проводим высоту ME и вычисляем её. ½(AB×ME)=½(BM×AM) ½(25×ME)=½(15×20)=150 ME=150×2÷25=12. Высота ME равна BK, значит BK=12. Получается, что треугольник BKM тоже египетский. Т.к. BM=15, а BK=12, то MK=9. Ответ: 9.
Иначе решил. Всё через теорему Пифагора. Сперва нашёл треугольники APD, MDN и AMD. PD=15, ВТ=5, MD=√425. Провёл высоту, соединив точку M с основанием AD. Получил два прямоугольных треугольника с общим катетом (высотой) и меньшими катетами Х и 25-Х. Решив их, как систему, получил высоту, равную 16. Всё. 25-16=9 Ни разу не так красиво, как у автора. По рабоче-крестьянски, я бы сказал, но результат тот же :)
Если из точки М опустить перпендикуляр на АВ, пусть ММ1, то из подобия М1МА и APD получаем М1А/АМ = АР/AD все значения кроме М1А известны, откуда М1А =16, а М1В соответственно = 9, а КМ=М1В=9
Опустим перпендикуляр на сторону АД из М в точке Т, и из Р в точке Е В треугольнике АДР по Пифагору РД=√25кв-20кв=15 (Египет) Из равенства треугольников АМТ и АЕТ, АЕ =АТ Из подобия треугольников АМТ и АРД, АЕ/20=20/25, или АЕ = 16 Значит и МТ=16, а МК=25-16=9
А я решил подобием) ∆ADP - египетский: AD=25, AP=20, DP=15. ∆ABM=∆ADP (по 2 сторонам и углу между ними). AB=25, AM=20, BM=15. уг.ABM=уг.BMK (внутр.накр.леж.) → ∆ABM~∆BMK (по уг.) → AB:AM:BM=BM:BK:MK 25:20:15=15:12:9 Ответ: MK=9 И отсюда решение ДЗ сразу: S(ABKM) = (AB+MK)÷2×BK = (25+9)÷2×12 = 204
Треугольник ДПА египетский. Отсюда ДР = 15. Он равен треугольнику ВМА по гипотенузе, длинному катету и углу между ними. А также подобен треугольнику МКВ в соотношении ДА : МВ = 3 / 5. Умножая этот коэффициент на ДР = 15 получаем КМ = 9. Просто...
Вы свойства а) и в) начинали объяснять, как подходящими для квадрата, прямоуг. и пар-ма, а заканчивали, как выполняющимися для квадратов. А как же прямоуг, и пар-мы? Для них они тоже выполняются, но не всем просмотрщикам это понятно. Мне кажется для решения задачи достаточно 1-го св-ва. Вы нашли Sамд, осноания АД задано, мгновенно находится высота МН = 16 и КМ = 25 - 16 = 9. Хотя в учебных целях хорошо протестдрайвить и 2-ое св-во. А так можно обойтись без обоих свойств. Из треуг АРД РД = 15, тогда ДN = 5. Из треуг. ДМN МД² = 425. В треуг АМД проводим высоту МН. Составляем ур-ие: АМ² - х² = МД² - (АД - х)², 400 - х² = 425 - (25 - х)², откуда х = 12. Находим МН из треуг АМН: МН = \/(20² - 12²) = 16. КМ = 25 - 16 = 9.
Двумя штришками вы облегчили и так нетрудную задачку. а) вместо 4 и 5 дали 20 и 25, чем избавили (пр кр меня) от дробей б) нарисовали египету в явном виде, хоть бы линии или угла не хватало. Опускаем перпендикуляр МЕ на АВ. Треугольники АМЕ и АДР подобны (углы ВАМ и ДАР равны, как дополняющие ДАМ до пряиого) с лин коэффициентом 4/5. Откуда ВЕ=25-16=9. В прчмоугольнике ВКМЕ КМ=ВЕ=9. Ответ:9. . ДЗ. Вот и пригодилось мое излишество -- перпендикуляр МЕ ))). МЕ=12, АВ=25, МК=9. Ответ:204.
Теперь все верно. НИкто не подумал, какеи соотношегния критические а и b у сторон квдрата и этого расстояния. Может ли быть a=25, b=4? Или a=4, c=1 (MK)?
та и дз заняло один шаг - составить пропорцию. ML - перпендикуляр к cd. ml/16.25 = 5/6.25 . ml = 13= kc ( kmlc параллелограмм, mk - перпендикулярно BC от того и параллельно сl, ml аналогично)
Такое экстравагантное решение может предложить только В.В. Я же решал по рабоче - крестьянски ( думаю, как и большинство): два Пифагора - и дело в ш̶л̶я̶п̶е ушанке😄.
Очень ведь красиво: S1=(a^2-b^2)|2. И как всегда, я шел от идеи при составлении задачи, я построил задачу на этой идее и остальные решения уже - побочка (хотя могут быть очень красивые. Так что побочка как раз эстравагантна для меня. Думаю над стереометрическим вариантом.
Когда вы проводили линию, соединяющую точку М с углом В, вы упустили важную деталь, что образовали, два подобных прямоугольных треугольника, АВМ, у которого гипотенузы равна 25, а больший катетов равен 20, а, ему подобный ВМК, с меньшим катером, равным 9 и гипотенузой, равной 15, которая для первого треугольника является меньшим катетом. Высота трапеции равна 12, так как оба треугольника, родились в древнем Египте, и носят имя Египетские. Почему египетские? Так как они заложены в формулу по которой строились пирамиды фараонов!
Почему ∆ египетский, а не плотницкий? Способ сделать прямой угол на местности: 12м шнура, узлы через 1м, вяжем в кольцо, колышки через 3+4+5м Старинная задача на построения пр. угла у края листа..
Новый канал: www.youtube.com/@kazakovgeom/videos
Интересно, на заставке видоса - у чувака в руке, что за штука? Телескоп? Системы Максутова? А что за надпись на корпусе?
Интересная задачка,решал по другому и в одно действие,продолжил перпендекуляр MK, и доказал,что треугольник с гипотенузой AM и катетом который является продолжением KM является подобным к треугольнику ADP, нашел этот катет и от 25 отнял его значение, сам через площадь как то не додумался,спасибо
Рад, чято оценили
Хорошая задача. И именно, что вписанный треугольник в квадрат имеет площадь половину квадрата. Знание теории полезно . И что точка в квадрате делит на треугольники . Это главное.
Рад, что оценили.
Решил в уме за 5 минут. Проще, чем здесь. Продлил отрезок КМ до пересечения с АД. Точка пересечения "О". ТРЕУГОЛЬНИК ADP подобен MAO. По двум углам (один прямой, а вторые равны, так как стороны взаимно перпендикулярны.) Соствив пропорцию АР:АД=МО:АМ или 20:25=МО:20 Отсюда МО=20*20:25=16. Отсюда МК=ОК-ОМ=9, Виктор (76 лет)
Да, это самое простое решение.
Вы,, Валерий, очень хороший, не нужно на себя наговаривать. В отличие от икса, вы центровой, то есть на десятку, высшая оценка попадания в центр мишени во всех стрелковых дисциплинах. Я был победителем в спартакиаде по пулевой стрельбе среди юниоров в 1965 году, сохранилась только грамота, медаль друзья позаимствовали, для памяти обо мне. Тогда мне не было ещё 16 лет.
Спасибо за хорошие слова.
@@GeometriaValeriyKazakov А какие проблемы с каналом? У меня всё прекрасно работает, как всегда. Оба Ваших канала.
@@SB-7423 Проблемы такие: целые 3 месяца не давал набрать 20 000 подписчиков. При наборе 19 998 сбрасывал на 19 950. Я набираю 19 998 жду кгода будет 20 000 - а через 2 ч у меня 19 934 и т.д. Число иностранных просмотром уменьшилось с 42% до 3%, то есть не предлагает ролики для зарабужки. Некторые зрители пишут, что жутко тормозиит просмотр.
@@GeometriaValeriyKazakov Странно, я живу в США, у меня нет проблем, ничего не тормозит.
@@SB-7423 Вас Маск прикрывает. А наши локации банят по-черному.
Устное решение. Продлеваем КМ до пересечения с AD в точkе L. Треугольники AML и ADP подобны (острые углы равны, как углы с соответественно перепендикулярными сторонами), откуда ML/AM = AP/AD. Поэтому ML = AM * AP / AD = 20 * 20 / 25 = 16, KM = KL-ML=25-16=9.
Так а после нахождения площади AMD, можно найти его высоту к основанию AD, и вычесть из 25-ти.
Можно!
Благодарю.
В прямоугольном тр АРД найдем катет РД (он равен 15) и высоту РН1 (из т Р на АД. Она равна 12).
Продлим вправо АД, и вправо и вниз МN. Их точку пересечения обозначим Е.
Из подобия треугольников АДР и ЕАМ найдем высоту треугольника ЕАМ ( из т М на сторону АЕ) - обозначим МН2. Она равна 16.
Теперь можно найти МК:
МК=АВ-МН2= 25-16=9.
Дз.
Треугольники АВМ и АДР равны по 1му признаку, значит равны и их высоты:
РН1= МН3 ( высоте, опущенной из т М на сторону АВ) = 12.
МН3=ВК - это и есть высота трапеции АВКМ.
Значит площадь трапеции АВКМ=((АВ+КМ)/2)*ВК= ((25+9)/2)*12=17*12=170+34=204.
Треугольник APD - египетский с гипотенузой 25 и катером 20. Отсюда второй катет равен 15. Теперь продлим AD и MN до пересечения в точке F. Треугольник AMF подобен треугольнику APD. Найдём высоту, проведённую из P и AD. Она равна произведению катетов, делённому на гипотенузу, т.е. 20•15/25 = 12. Найдём аналогичную высоту в AMF, для чего запишем соотношение подобия: высота к высоте как меньший катет к меньшему: h:12 = 20:15, h = 12•20/15 = 16. Отсюда искомый отрезок равен 25 - 16 = 9.
Отлично.
Высота тр.АМД=16,АВ=25 , ВЫСОТА ТР.ВМС=9
Точку М соединили со всеми углами квадрата.
Класс!
Предлагаю соединить точку М со всеми сторонами квадрата!!!
Получите удовольствие.
//
- У лебедя шея красивая?
- Красивая.
- А вот если бы у тебя такая шея, это красиво?
Ха-Ха-Ха
//
первое действие - великолепно!!
А вот вторым действием я бы вычислил бы высоту треугольника АМД, что составит 200*2/25=16
И третье действие - для первоклассников: 25-16 = 9
Исковый отрезок МК равен 9.
Да, можно. Моя цель - не решить задачу, а повторить важные св-ва. Дело так: я закрываю глаза в кинотеатре, думаю, что нужно прокачать два свойства площади (в ролике), и придумываю сюжет. ВСЕ! Кроме того, в общем виде получим h=(a^2-b^2)/a. Красиво.
@@GeometriaValeriyKazakov ясно, благодарю за ответ
Когда площадь треугольника AMD нашли, меня сразу озарило : можно было сразу его высоту найти и из стороны квадрата ABCD вычесть. Расту в собственных глазах.
здорово! тогда и ролик можно сократить наполовину)... но согласитесь, что первый шаг - гениальный
@@sergeybezhenov7174, согласен на все 100%
Хорошее решение для развития. Как еще вариант более простой в уме: Из М опускаем высоту на АД. Получаем треугольник подобный АДР, и из подобия эта высота равна Н=25/(20×20)=16 > КМ=25-16=9
Да, это отличное решение.
Здравствуйте! Пока решала своим способом нашла длины всех отрезков для Д/з. Решала поворотом малого квадрата из исходного положения, когда АМ лежит на стороне АВ. Получила два равнобедренных подобных треугольника с коэф.подобия 4/5. Применяла т.Пифагора и подобие. Нашла МК=9, ВК=12, площадь 204.
Супер!
СПАСИБО!😁
Проведём перпендикуляр с точки М на сторону АВ, точку пересечения обозначим Т.
Треугольник МТА подобен треугольнику АДР., так как оба прямоугольные и их углы ТАМ и ДАР равны (оба этлх угла с углом МАД образуют прямой угол). Из подобия треугольников МТА и ДАР: МА/АД=ТА/АР; 20/25=ТА/20, отсюда ТА=(20*20)/25=16, то есть ТА=16.
Поскольку МТ является перпендикуляром к АВ, то КМ+ТА=АВ, значит КМ=АВ-ТА, подставим значения: КМ=25-16, Ответ: КМ=9
Здравствуйте, Валерий Владимирович! Если из точки M опустить перпендикуляр MH на AD, то ΔAMH~ΔDAP (∠MAH=∠ADP). Отсюда MH/AM=AP/AD или MH/20=20/25 и MH=16. Тогда MK=KH-MH=25-16=9. Вижу, что подписчиков уже 20000. Желаю, чтобы добавилось еще не меньше 20000!
Привет, отлично.
@@GeometriaValeriyKazakov Валерий Владимирович! Мы с Вами в неравных условиях. Вы трудитесь и устаёте, и получается, как в книге и в фильме братьев Вайнеров "Место встречи изменить нельзя". Там Володя Шарапов говорил, что у опытного разведчика "замыливается глаз от усталости", и тогда ему помогает напарник. Я хотел бы стать Вашим напарником, но я пенсионер с 2009 года, что греха таить, иногда просто развлекаюсь математикой, но в целом - хочу хоть чем-то быть полезным.
@@СергейАйкашев-д9э Спасибо. Пишите красивые решения.
1. Тр-ки AMB и APD равны по двум сторонам и углу между ними. След-но, угол AMB - прямой. Тогда по теореме Пифагора BM=15
2. Находим высоту MH тр-ка AMB по ф-ле, которую Вы показывали на канале: MH= BM*MA/AB = 12
3. Для высоты в прям-м тр-ке, проведённой из вершины прямого угла, справедливо соотношение: h^2 = x*(25 - x), где x=BH. Получаем квадратное ур-е x^2-25x+144=0, корни которого x1=9, x2=16. Так как BH
Супер!
Для (BH) есть другое уравнение, если посчитаны длины сторон ∆ABM:
(BH)*(BA)=(BM) ^2,
из 2-х выражений для cos(B), или из подобия ∆∆
(BH)*25=15^2, (BH)=9
Меня сразу потянуло опустить перпендикуляр из М на АD в точку, скажем, О. Легко просматриваются два египетских треугольника АМО и АDР с коэффициентом подобия 4/5. Отсюда МО=16, MK=9
Отлично.
Через площади конечно интересно, но можно и через тригонометрию, треугольник APD - прямоугольный и в нём нам известно целых две стороны, а значит известен и угол PАD, так же треугольник AMB, нам там известны 2 стороны и угол между ними, а значит можно найти BM, ну а из прямого треугольника BKM, уже находим КМ, зная BM и угол МВК.
Можно. ОТлично.
Да, интересная задача, мне понравилось. Незря вы сходили на Гадкий я. Мы с внучкой ходили, смотрели с замиранием. Спасибо
Обалденно симпатичная задача! Гармония когнитивной асимметрии! Кажется, у меня получилось весьма просто и оригинально... Итак, продлим MN и AD до тчк Н. Углы МНА =НАР(внутр.накрест.), cos нар=20/25=4/5=cos мна. sin^2=1--cos^2. Сл-но, sin мна=3/5.
Те, тр-ник АМН--египет(прямоугол., синус остр.угла=3/5)(!) АМ=60/3, МН=80/3, АН=100/3. Sамн=800/3. Высота = 16, МК=9
Отлично.
Маэстро, Вы - круты. Но можно было и проще. Продлить КМ до пересечения с АD пусть это будет точка Н. ∆АМН ~∆ APD. Из подобия МН=16, КМ= АВ-МН=25-16=9
К 3:04 - если остановиться на этом моменте, то далее можно рассуждать так:
S треугольника АМД = 200, его основание АД = 25, значит высота треугольника будет
200 ÷ 25 х 2 = 16
Тогда
КМ = 25 - 16 = 9
Шикарная задача! Об этом свидетельствует количество комментариев… от разнообразия решений зрителей разбегаются глаза)
Основной посыл автора понятен, отработать важные свойства… и первый шаг - великолепен(!), второй, на мой взгляд, уже «притянут за уши», поскольку человеческий мозг ищет, прежде всего, самые короткие пути решения… и они таки есть)
Но вот на что я обратил внимание, и хотел бы сделать акцент. Автор заложил изначально в условие задачи «Египет». Отсюда и «фонтан» устных решений. Но есть важные нюансы, которые отмечу дополнительными комментами… кому интересно - читайте)
Я пошел другим путем, и решал задачу с другими исходными данными: желтый квадрат оставил таким же, а сторону зеленого взял 24, тоже красивое число, но тогда рушится Египет, и приходится считать…
Сделал расчет и по способу автора, и по своему (кстати, в предложенных зрителями решениях, такого варианта я не увидел): 1) поворот тр-ка АDР (на 90 пр.ч.с.), чтобы доказать прямоугольность тр-ка АМВ; 2) далее - вытекающие из этого факта последствия (т.Пифагора или же тригонометрические соотношения в пр.тр-ке) + подобие тр-ков на чертеже. По сути получается то же, но смотрим под другим ракурсом) Что получилось? МК = 22/3; S(трап) = (470/9)*√11 ≈ 173,2.
Дальше я пошел еще дальше… и взял сторону зеленого 30 (почему бы и нет?), сохраняя размеры желтого… Применив алгоритмы автора и свои/зрителей получил результат, когда решение по способу автора и зрителей не совпадает(.. в чем же причина?..
Вот тут, на мой взгляд, важным является условие задачи и соотношение сторон квадратов. Решение, предложенное автором, работает, когда вершина D зеленого квадрата (со стороной «a») принадлежит стороне PN желтого (со стороной «b») при повороте последнего вокруг общей вершины А (что, кстати, отмечено условием!). Это возможно лишь тогда, когда b ≤ a ≤ b*√2…
При условии, что a > b*√2 нужно накладывать дополнительное условие, чтобы сохранить однозначность, например, что т.D принадлежит продолжению стороны PN, тогда решения зрителей «сработают», а автору нужно предложить другую геометрию, основанную на площадях…
Отжиматься в темпе, предложенным тренером, не успеваю, возраст(… Буду очень рад, если мои рассуждения помогут автору сформулировать новые интересные условия задач… но, может я просто туплю?
Хотя, любая реакция на ролик должна его продвигать, продвигаем! Еще раз, «спасибо» за очень содержательный/полезный контент!
BM=DP=15, т.к. треугольники АВМ и ADP равны по двум сторонам и углу между ними. Углы APD и АМВ прямые. Углы КВМ и МАВ равны 30 градусов. КМ/МВ=МВ/ВА. КМ=9.
Гениально! (честно)
Площадь треугольника AMD это половина жёлтого квадрата S=20×20/2=200 или S=25h/2=200, откуда h=16, тогда KM=25-16=9.
//
КМ=АВ-АМ*cosa
cosa=AP/AD=4/5
KM=25-20*4/5=9
//
сп
Забыл про эти свойства площадей, поэтому решил другим способом)))
Треугольник ADP египетский, поэтому DP=15.
Развернём его влево по точке А на 90° и получим, что BM=DP=15.
В треугольнике AMB (который тоже оказался египетским) проводим высоту ME и вычисляем её.
½(AB×ME)=½(BM×AM)
½(25×ME)=½(15×20)=150
ME=150×2÷25=12.
Высота ME равна BK, значит BK=12.
Получается, что треугольник BKM тоже египетский.
Т.к. BM=15, а BK=12, то MK=9.
Ответ: 9.
Отлично.
Иначе решил. Всё через теорему Пифагора. Сперва нашёл треугольники APD, MDN и AMD. PD=15, ВТ=5, MD=√425. Провёл высоту, соединив точку M с основанием AD. Получил два прямоугольных треугольника с общим катетом (высотой) и меньшими катетами Х и 25-Х. Решив их, как систему, получил высоту, равную 16. Всё. 25-16=9
Ни разу не так красиво, как у автора. По рабоче-крестьянски, я бы сказал, но результат тот же :)
Отлично.
Перпендикуляр от М к АВ, пусть точка на АВ будет Е.
АЕМ и АРД подобны по углу и прямому углу АЕ/АМ=АР/АД
Из этого АЕ=16, соответственно КМ=25-16=9
Отлично.
Если из точки М опустить перпендикуляр на АВ, пусть ММ1, то из подобия М1МА и APD получаем М1А/АМ = АР/AD все значения кроме М1А известны, откуда М1А =16, а М1В соответственно = 9, а КМ=М1В=9
Именно! Всё проще, Валерий! Подобные треугольники. 25/20=20/16.
Я так же решил)
Алгеброическое решение.
∆MBK подобен ∆ABM; BM=15, KM/BM=BM/BA, отсюда: KM=225/25=9.
Отлично. Именно так.
Опустим перпендикуляр на сторону АД из М в точке Т, и из Р в точке Е
В треугольнике АДР по Пифагору РД=√25кв-20кв=15 (Египет)
Из равенства треугольников АМТ и АЕТ, АЕ =АТ
Из подобия треугольников АМТ и АРД, АЕ/20=20/25, или АЕ = 16
Значит и МТ=16, а МК=25-16=9
Отлично.
Зачем так длинно. Площадь АМД 200. Высота 16, МК 25-16.
Да, можно так, главное придумать MD! А моя цель прокрутить сво-ва, ваш - решить покороче. Все при своих!
Продлим КМ до пересечения с АД в т. М1. Треуг. АММ1подобен треуг.АРД => ММ1=25-х=20×20/25=> х=9.
Ищем КэЦэ.
S не нужно, родной.
//
КС=ВС-АМ*sina
sina=PD/AD=3/5
KС=25-20*3/5=13
//
Ты пацак и он пацак, а я чатланин.
PD=15... из тчк М перп на AD, тчк О... из подобия AMO и ADP, 20/MO=25/20...MO=16... KM=9
А я решил подобием)
∆ADP - египетский: AD=25, AP=20, DP=15.
∆ABM=∆ADP (по 2 сторонам и углу между ними). AB=25, AM=20, BM=15.
уг.ABM=уг.BMK (внутр.накр.леж.)
→ ∆ABM~∆BMK (по уг.)
→ AB:AM:BM=BM:BK:MK
25:20:15=15:12:9
Ответ: MK=9
И отсюда решение ДЗ сразу:
S(ABKM) = (AB+MK)÷2×BK = (25+9)÷2×12 = 204
А мы еще поодобие непроходили, оно в 3-й четверти.
Треугольник ДПА египетский. Отсюда ДР = 15. Он равен треугольнику ВМА по гипотенузе, длинному катету и углу между ними. А также подобен треугольнику МКВ в соотношении ДА : МВ = 3 / 5.
Умножая этот коэффициент на ДР = 15 получаем КМ = 9.
Просто...
Отлчино.
ДЗ фактич. продолжение задачи. МТ=высота тр-ка АМН. АТ--катет тр-ка АМТ=АМ*cos мат=20*3/5=12(cos--sin из того же египта). Sabkm=204
Решается в уме: PD=15=BM, BK=12, KM=9 :)
У нас все в уме!
Вы свойства а) и в) начинали объяснять, как подходящими для квадрата, прямоуг. и пар-ма, а заканчивали, как выполняющимися для квадратов. А как же прямоуг, и пар-мы? Для них они тоже выполняются, но не всем просмотрщикам это понятно. Мне кажется для решения задачи достаточно 1-го св-ва. Вы нашли Sамд, осноания АД задано, мгновенно находится высота МН = 16 и КМ = 25 - 16 = 9. Хотя в учебных целях хорошо протестдрайвить и 2-ое св-во. А так можно обойтись без обоих свойств. Из треуг АРД РД = 15, тогда ДN = 5. Из треуг. ДМN МД² = 425. В треуг АМД проводим высоту МН. Составляем ур-ие: АМ² - х² = МД² - (АД - х)², 400 - х² = 425 - (25 - х)², откуда х = 12. Находим МН из треуг АМН:
МН = \/(20² - 12²) = 16. КМ = 25 - 16 = 9.
Спасибо. да, достаточно. Но красивее так: S1+S2=a^2|2, S2=b^2|2, S1+b^2|2=a^2|2, S1=(a^2-b^2)|2. Красотища какая!!!
Двумя штришками вы облегчили и так нетрудную задачку. а) вместо 4 и 5 дали 20 и 25, чем избавили (пр кр меня) от дробей б) нарисовали египету в явном виде, хоть бы линии или угла не хватало.
Опускаем перпендикуляр МЕ на АВ. Треугольники АМЕ и АДР подобны (углы ВАМ и ДАР равны, как дополняющие ДАМ до пряиого) с лин коэффициентом 4/5. Откуда ВЕ=25-16=9. В прчмоугольнике ВКМЕ КМ=ВЕ=9.
Ответ:9.
.
ДЗ. Вот и пригодилось мое излишество -- перпендикуляр МЕ ))). МЕ=12, АВ=25, МК=9.
Ответ:204.
Теперь все верно. НИкто не подумал, какеи соотношегния критические а и b у сторон квдрата и этого расстояния. Может ли быть a=25, b=4? Или a=4, c=1 (MK)?
сама задача и дз легко решаются подобием и пифогором,еслм из точки M провести перпендикуляр к CD
та и дз заняло один шаг - составить пропорцию. ML - перпендикуляр к cd. ml/16.25 = 5/6.25 . ml = 13= kc ( kmlc параллелограмм, mk - перпендикулярно BC от того и параллельно сl, ml аналогично)
но про площади позновательно
@@lonwyislusty Да, это самое короткое.
В.К. должен быть в ВК, ящетаю... Грех такое совпадение пропускать
Вы, который щетает, сколько будет, если к 1 прибавить 1?. Считайте.
Мало друзей - гений-одиночка
△ABM = △ADP по катету и гипотенузе
⇒ BM = DP = 15.
△BKM ~ △AMB по острому углу
⇒ MK = ⅗·BM = 9.
ДЗ. S[ABKM] = S[ABM]+S[BKM] = ½·20·15+½·12·9 = 150+54 = 204.
Супер. Соотношение a и b забыл попросить найти.
△ABM = △ADP ? Почему △ABM прямоугольный напишите для зрителя.
@@GeometriaValeriyKazakov ∠DAP = ∠BAM (они в сумме с ∠DAM дают прямой), стороны равны как стороны квадратов.
У вас лучшее решение!!!
@@-wx-78- Спасибо. Круто получается, я даже не предполагал.
Решил довольно быстро, но не так красиво.
Норм. ДЗ?
APD - Египет * 5
Слева от АМ - Египет *4
Ответ 25-16=9
ДЗ (25+9)/2*12=216
204. Арифметику надо бы подучить 😂😅
@@adept7474
Считал в уме, неправильно сложил :(
50++++++++ "сколько ему осталось..."
Мне так ошибаться можно :)
@@ОлегКозловский-о8е А я подумал: калькулятор глючит.
Ну и ну!!
Да, дела!
Треугольник АМД египетский, следовательно и АМ(точка высоты на сторону АД) тоже египетский по 3-м углам . Стороны 20, 16, 12. КМ = 25-16=9.Все.
Отлично. А ДЗ?
А с какого перепугу треугольник АМД египетский???
МК=9.
сп, а BK?
@@GeometriaValeriyKazakov12.
Такое экстравагантное решение может предложить только В.В.
Я же решал по рабоче - крестьянски ( думаю, как и большинство):
два Пифагора - и дело в ш̶л̶я̶п̶е ушанке😄.
Очень ведь красиво: S1=(a^2-b^2)|2. И как всегда, я шел от идеи при составлении задачи, я построил задачу на этой идее и остальные решения уже - побочка (хотя могут быть очень красивые. Так что побочка как раз эстравагантна для меня. Думаю над стереометрическим вариантом.
@@GeometriaValeriyKazakov 👍
А в Телеге вы когда появитесь?
Нужно опросить, нужно ли. В чем плюс?
@@GeometriaValeriyKazakov плюс не вам , а нам -- ответы как в школьной тетрадке можно писать-чертить
Решаю Д/З. Площадь трапеции АВКМ равна произведению полусуммы оснований на высоту, (25+9)×12/2=204, а это значит, что в неё нельзя вписать окружность.
Отлично.
Как квадратик не крути, не уйдёшь от девяти!
Гениально!
Когда вы проводили линию, соединяющую точку М с углом В, вы упустили важную деталь, что образовали, два подобных прямоугольных треугольника, АВМ, у которого гипотенузы равна 25, а больший катетов равен 20, а, ему подобный ВМК, с меньшим катером, равным 9 и гипотенузой, равной 15, которая для первого треугольника является меньшим катетом. Высота трапеции равна 12, так как оба треугольника, родились в древнем Египте, и носят имя Египетские. Почему египетские? Так как они заложены в формулу по которой строились пирамиды фараонов!
Спасибо. Можно и так. У меня просто другое решение (жаль, что вы упустили): a^2=S1+S2, b^2=2S2, S1=a^2-S2=a^2-b^2/2 .
Почему ∆ египетский, а не плотницкий? Способ сделать прямой угол на местности:
12м шнура, узлы через 1м, вяжем в кольцо, колышки через 3+4+5м
Старинная задача на построения пр. угла у края листа..
@@Alexander-Ufa Потому, что его придумали египетские плотники😄
@@Alexander-Ufa В этой задаче все треугольники египетские, с коэффициентами подобия 3, 4, и 5, в чём проблема, плотник?
Высота тр.АМД=16,АВ=25 , ВЫСОТА ТР.ВМС=9