√2の肩に無限に√2を乗せたらなぜ2になるのか
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- Опубликовано: 16 окт 2024
- 無限ってほんとにおもしろいですよね
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RUclipsチャンネル『予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」』の主題歌として書き下ろした一曲。
noto / 2nd single『Telescope』（feat.みきなつみ）
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【noto -『Telescope』】
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/ @mikinatsu_official
1＝0 で収束しないものを、
収束するものとして扱った場合に生じる不具合を簡潔に表現出来ててすごい
コンピュータのない時代にこの課題に興味が持てるオイラーを改めて尊敬しました。
レオンハルト自身の脳神経が「量子コンピュータ」だったのだろう
歴史上、こういう天才は珍しくない
@@ib4950 偉そうやな～ｗ
@@ib4950 今の量子コンピュータの応用力はカス性能やでww
日本だと杉田玄白が解体新書作ってる頃(1774年)だからね。フルヘッヘンドだよね。
@@ib4950
量子のこと、何一つ知らないでしょ
少し細かいことを補足します。
漸化式a_{n+1}=f(a_n)に従う数列{a_n}が極限値αを持つならばα=f(α)が成り立つ、というのは無条件では成り立ちません。
漸化式の両辺をn→∞としているわけですが、このとき(右辺)=f(a_n)→f(α)となるとは限らないからです。つまりはf(x)に対しx=αにおける連続性の仮定が必要だということですね。今回の場合は指数関数の連続性を使っています。
連続性が無い場合の反例：a_{n+1}=(1/2)δ_{0,a_n} (δ_{0,a_n}はa_n=0のとき1でそれ以外0となる関数)
反例として出されている数列は収束しないので、反例になってないと思います
正しい反例は以下です
a_1=1, a_(n+1)=(1/2)*(a_n)+δ_(0,a_n)
収束値:0
収束値を漸化式に代入すると
0=(1/2)*0+1 ∴0=1
一見難しく見える問題も、高校数学の範囲内で説明できてしまうのすごい
1=0をこの世の終わりって表すの好き
そういうのを眼にしたくない程の忌避の表明なのでしょうね。
あいまいや不正義を嫌うの、逆に嫌いじゃないです。
@@smdmsysyho なんかクソ真面目に考えてて草
@@Y16_k9 理系にとって偏屈さやへんなこだわりは強みだからこういうのがいいんだよ
@@0channko_xox5 ワイ理系「この式なんか見た目かっこいい〜」ワイ終了のお知らせ
@@すてーくるオイラーの等式とかなんで美しいのか知らずに｢この式好きなんだよね〜｣とか言ってそう
(√2)ˣ=x の両辺log取って、
xlog(√2)=logx
logx/x=log2/2
f(x)=logx/xは、x=eで極大かつ、0
高2,3年の頃は毎日のようにやってた微分法でしたが、10年以上経って解を求めようとすると忘れていた部分が大きかったです。
解法を書いてくれてありがとうございます。
対数を使っても答えは絞れないのか
期末で出ました！ありがとうございます
「またオイラーか」と思ったらeが出てきて「オイラーか」と納得した
うわー！！！考えたことなかったのですが、、これすごく面白いですね！オイラー凄すぎます。
いつも面白いテーマで、動画アップが楽しみです。
ありがとうございます！
エグい額笑
これが収束する領域があることが不思議に感じる
なんでAnもAn+1も同じXに置き換えちゃうのか、高校の時は意味不明だったのが今わかりました。ありがとうございます。
自分の志望してる大学の数学の最終問題でこの問題出ました！ありがとうございます！！！！！！！！！！
大学時代にモヤったまま終わった特性方程式の正当性も理解できたし、
冒頭の閃きによる解法が数列化⇒収束性の証明⇒特性方程式と手続き的に到達できることに感動した。
頭いいこと言ってんのに、名前が汚いってはっきりわかんだね
これ右から計算するってのが大事ですよね。
左からやったら普通に発散しそう。
面白かったです。
漸化式で極限を取る時、y=xとy=Sqrt[2]^xが点列連続である事を使ってるね．
漸化式は任意の自然数に対して成り立つ等式であって、充分大きい自然数の時にある位相で測った時に近いところにある点(極限点)をいつでも代入できるとは限らないことに注意したい．
有界単調数列の収束定理を使わなくても、an
「a_n が2未満のとき、極限を取るから2以下になることもある」っていうのは、答えが2であると分かっているからでは？2になるかどうかはわからないし、x=sqrt(2)^x の解が2, 4 であるっていうのも、答えありきで導かれているので、論理的に無理があるように思えました。y=xとy=sqrt(2)^x のグラフを描いて、正の数なので第一象限をみると交点はx = 2, 4しかない、とか、2, 4の導出は省略してはいけないと思いました。
オイラーの一般論は、どんでん返しのミステリー小説を読んだような感覚で大変おもしろかったです！
やっぱりオイラーって天才よな
はぉ、内容以前に、、
縦線真っ直ぐ引くのうますぎる。
何年教師しても曲がってしまうのに。😂
「この世の終わりみたいな式が出来る」
というワードが出るセンス好き
数学がスルッと頭に入ってきます
18:00ら辺のオイラーの関数とxの範囲をアプリで図示してみようと思ったんですが冪の数が奇数と偶数でxの範囲内のグラフの形が分かれるのが興味深かったです。(冪の数が奇数だとy=tanxみたいで偶数だとかなり歪なy=x^2みたいな形のグラフ)
何言ってるんですか？
ほんとだ。なんか、フリーハンドで書いたグラフみたいな歪み方してますね。
0につながるか1に繋がるかってことかな
漸化式が使える問題では、x(n+1)=f(x(n))の力学系だと考えて、y=f(x)とy=xのグラフの交点を考えると、x=2,4の2か所で交点を持ち、
今回はx(1)=a(1)=sqrt(2)
力学系の固定点の安定性解析ですね！
収束する領域の上限がe^(1/e)ってのは証明したことあったけど、下限があるのか！しかもそれが(1/e)^eだっていうのも面白い！
どんなに小さくても0より大きければ収束しそうな気がするんだけどね･･･下限だと極限値は1/eかな
たとえば0.05とか0.001だとどういうふうに発散するんだろう？
@@sakakkiedx5052 発散はしないと思いますが、振動するっぽい…？
収束することを証明する説明の②のとき、「an
そこまで難しい考え方じゃないんだなと感じました。
収束する範囲についてもまた興味深いものがありますね。
少し調べてみると、自然数nのn乗根を無限に肩に乗せてもすべて有限の値に収束するようです。
y=x^(1/x)はx=eを境に増加から減少に転ずるためnのn乗根はすべてe^(1/e)未満の値になることから言えますね。
@@忘れられ氏V系ドラマー 怪文マスターおって草
@@でーとる この人いろんな動画で怪文書コメントしてるからマジモンやで
@@忘れられ氏V系ドラマーこの世の終わりで草
大人になっても、日常生活に、ルートなんて、使いません。だから、算数程度の足し算➕引き算➖かけ算✖️➗だけ使う。
数学の難しい所知っていようが、意味がないわ。
オイラー先生はどうやってその範囲を見つけたんだ？！笑
面白かった。数列の初期値を√2から変えると、2が安定な固定点、4が不安定な固定点になっている感じですかね。
帰納法万能かつ最強ですよねぇ、こんなに証明出来ちゃって良いんだろうかと良く思っちゃいます。
9:42 数学的帰納法のイントネーションに違和感を持ったのは自分だけじゃないはず
0
√3の場合にはどうなるんだろうと思ったら、既にオイラーが収束する範囲を証明していたというね。本当にオイラーは天才だわ。
それな、オイラ天才
@@なめたけ-g8i お前じゃねぇよ笑
それを言うなら「レオン」！
オイレル（ドイツ読み）は家名
@@なめたけ-g8i おもしろすぎwww
その場合は√3じゃなくて3の三乗根じゃないと上限を示せなくなるからね、同様に1以上のxのx乗根について示せると考えれば最後のオイラーみたいに上限ももとめられるよ
xが1.44…の場合の収束値はeである。高校の頃関数電卓をいじっていて偶然発見したときは感動した。200年前に知られていたことだったのですね。
ちなみに、ルート3でも同じ方法で証明できそうだが、何故成り立たないかというと、13:06の式の右辺が3にならないから。
3の三乗根なら成り立つで
今日の明治大で出てたなー
このサムネだけ見たことあったから助かった
特性方程式がなんでそんな解法をしていいのかが理解できました。
このチャンネルのおかげで学問は楽しいものだとわかりました。勉強が息抜きや、娯楽になり楽しいです。
話は変わりますが、数学の記述問題でどこまでを解答に書くのかいつも悩んでしまいます。できれば高校文系数学の範囲でいいのでそこにフォーカスを当てたものを作っていただきたいです。
次回は∫x^(x^(x^…))dxの解法とかくるかな
二年生の夢も最近投稿されたしテトレーションの微積、超対数に触れても面白そうですね
関係ないけど、y=x∫xdxの解探して疲れた。
模範解答はxに『1』を代入すること。
積分すれば、線形になるぞ。
興味深い。。。50のおっさんにもなんとなくわかりました！
収束が確定してないものを置くのはngとか例を示してるのもわかりやすいし、誘導が強くて理解しやすかった‼️
19:19について質問。複素数バージョンってどの本に載ってるんですか？ヨビノリホームページにて山本直樹、チャーチル・ブラウン、宮地秀樹の三先生の複素解析の本が紹介されてますが、どれに載っているのでしょうか？
anの上界を2と仮定した帰納法は確かに機能するけれど、anの上界を4と仮定しても、a1は当然4未満だし、akが4未満であればa(k+1)は√2の4乗未満ということで、同じくa(k+1)が4未満になり、帰納法は成立する。上界が4ではいけない理由についてヨビノリは何も説明できていない！
4ではいけない理由は説明されてないけど、2が上界にあるので、4は上限にはなり得ず、ゆえに4でいけないことがすぐ導かれます。
@@yhmv そのロジックはわかるのですが、与式の値をxとおくと、解としては2と4の二つが得られるのに、このいわば幻の解である4はどうして出てくるのか(もしくは何を暗示しているのか、たとえばすべての自然数の和がマイナス1/12に等しいとも(ある意味で)言えるのは背後に解析接続があるように)についても教えてほしかったです。いきなり2を上界として帰納法で抑えに行くのは、とても天下り的だと思った次第です(確かに電卓という文明の利器を以ってすれば10回程度計算を繰り返せば2に収束していくだろうということは見当がつくけれども)。
@@GreatestPhysicistOfAllTime 確かに、その点については同意します。「あの4には何の意味もないのか！？」とは自分も思いますね。
高2生ですが、ここで数列が出てくるとは予想外でした･･･。
やっぱりここらへんの単元は出来ておかないと理系大学に進むときに大変そうですね...。
高3で極限っていうのを習うんだが、そこで数列が出てくるで。なんなら積分でも出てくる。
これって
√2^x=x...＊
が成り立つための条件を
①単調増加
②上に有界
として話しを進めていましたよね。
だとしたら①は当然成り立つとして、②は例えばx
①上に有界な単調増加数列は収束する。
②極限の一意性(つまり、収束先は一意)
もし解が２つ出たとしても、②よりどちらか一方に収束することは保証されています。
@@snackt8617 なるほど、その通りですね。
ありがとうございました
高校入試の学校説明会で試験の例としてちょうどこの問題が紹介されて
夢中になって解いてたら解けたと同時に説明会終わって話なんも聞いてなかったのを思い出した
√2 = (4^(1/2))^1/2 = 4^1/4と変形した後に同じ手順を踏むと極限値が4となるので、解で2と4が出てきちゃうんですかね
実際はeを超えることがないため、2を適用するといった感じでしょうか
同様に3^1/3の時も極限値3と言いたくなりますが、実際は2.478くらい？（3^(1/3) ≒ 2.478^(1/2.478)）になると思うので、
√2→2だったのは奇跡的ですね
a_1が4未満の実数のとき、im[n->∞]a_n=2になる。つまり2は吸引点である。一方、a_1が4より大きい実数のときは発散する。a_1=4のときはim[n->∞]a_n=4になる。つまり4は針の先端のような極めて不安定な点である。
積分サークルに出した積分と初手の発想は似ていますね。勉強になります
これ｢ルート2のルート2のルート2の……乗乗乗｣って言う読み方じゃないんですか？
たしかにそうだねw
2↑↑∞
間違った。√2↑↑∞
@@kousukefujisaka2571
そもそも∞に対しテトレーションは未定義では
じゃあ3^3^3を「さんのさんのさんじょうじょうじょう」って発音するの？
3の3の3乗 ではなくて3の3の3乗乗 が正しい読み方だと思います。
揚げ足取りっぽくなるけど「ルート2のルート2乗のルート2乗の…」だと動画にもあったように左から計算する数にとれる
だから正しくは「ルート2のルート2のルート2の…乗乗乗…」だと思う
おかしな日本語に思えるけどね
収束条件にeが出てくることに感動。しかもそれを証明したのがオイラーだなんて。
高校生の頃、一般化した場合のx^x^x^x…が収束する範囲求めようとして上限だけ求めて挫折してたけど、合ってたんだ！！あの時の俺ナイス！
答え合わせ出来ない環境で答えにたどり着いたオイラーには負けたな
@@アンチから言わせてもらうと 勝てるわけなかろうて！！
2^1/2・2^1/2・2…って考え方も合ってますか？(√2＝2^1/2)
わかりにくくてすみません🙇
結局2^1＝2になるんじゃね？って考え方です
面白い…そして、分かりやすいです。
上に有界を示すときに2でおさえるのは直感ですか？
極限値の候補が2か4なのでより小さい2で試してみたということだと思います
面白かったです。
高三の時、塾の先生が√2^√2^√2^√2は超越数と教えてくれました。
Gel’fond -Schneiderの定理の動画、できたらお願いします。
上に有界であることを示すところでいきなりan
雑に計算した結果2,4が出たので、そこから手を付けているのだと思います。2で無理なら4、4で無理なら「こりゃ難しい問題じゃ」となるかと。
大学の数学の勉強が楽しみになるな
申し上げ忘れておりました。オイラー凄すぎ、まさに天才ですね。
どっかの時点で「2」が肩にのってくれれば数値はバシッと2になるのに・・・、と考えながらルート2の連続を眺めてるイメージ。
あるいは、遥か無限遠にある「2」が、無限に並んだルート2を吸収しながら向かってくるイメージかな。
こっちくんな、の世界観
本動画で覚えた事
3^27=ﾔﾊﾞｲ
y=xとy=√2^xを図示すると有界性は視覚化できますよね。
そこからx^x^x...の収束半径は、y=xとy=a^xが2つの共有点を持つ条件と関係がありそうな気がする？
厳密にやってくれて嬉しいです❤
もしかしてクラロワやってたりする？
qn が上に有限の証明が理解できないです。
例えば、2から3に変えたとしましょう。
・qn < 3 を示す
・q1 = √3 < 3
・仮定: qk < 3
・qk+1 = √3^qk < √3^3 = 3 √3
qn = √3^ √3^ √3^••• の場合収束しないのに、収束する様な証明になっちゃいませんか？
qn = √3^ √3^ √3^•••の場合は3を超えるって手で計算できますが、まずqn < 3という仮定の上でやっているわけで。それともqnを少し計算して、超えなさそうかなって数字を当てはめる感じなんですか？それだとなんか何も証明できてない様な気がするんですけどね。
どこか根本的に抜けている馬鹿な質問だったらごめんなさい。まだ勉強中です。
どこか根本的に抜けている馬鹿な質問だったらごめんなさい。まだ勉強中です。
「√2^√2^…を雑に計算したら2,4になった」ことと、「数列anは単調増加である」ことから、「anが何らかの数で抑えられれば収束を示せる、そして雑に計算した時の答えを見ると、2か4で抑えてみたらいいのでは？」となるわけです。ですから、とりあえず2を使ってやったら、確かに上手く証明ができた、というわけです。
予備のび君。大好き！ハゲないでね！
問題解くだけなら
2^½^2^½^2^½……に変形して
2^1^1^1^1^1^1……と無限に続くから
2に収束する…
のような感じでもいいんですかね？
おもしろい解き方ですね！
べきのべき乗って扱ったことなくて、「今回は」右から左に計算して欲しいって言ってるんですが、いついかなる時もそういうルールというか定義なんですか？（）がついた時のみそっちから先に計算？
コメントを読むと世の中には頭のいい人が多くいることがわかってビビる。俺はヨビさんの話についていくので精一杯、ていうかついていけてない気がする
ちょっと考えるのが面倒なので投げるんですが、2^(1/2^n)として計算できないのでしょうか
高校時代に同級生からどこぞの過去問として、この問題出されて即答した覚えがあります。
答えだけ必要だったので、途中式はどうなのと聞かれた時、√2は2の1/2乗だよね、そこにまた2の1/2乗掛けたら最終的に2の1乗だよねと回答し、困惑させていました。
答えが合っていれば点数はもらえますから、、、
は〜オイラーたんマジ神
√2^√2^√2...をXと置くと指数は無限に続くので
√2^X＝X
とみなしてよい
よって、
X＝2, 4
分からない😢
面白かったです！
積分サークルでキムさんに一瞬で解かれてたやつ
約250年前にもうすでに証明されてるの、凄いなぁ！(オイラーやっぱ凄い！)
「肩にちっちゃいルート乗ってんのかい？！」かと思ったら「肩に一般項が乗ってんのかい？！」だった
オイラー天才
第一感は平均値の定理を使ってf(x)=sqrt(2)^xが縮小写像となる範囲を求めて絶対収束を示す...とか考えたけど，帰納法でよかったのか．
縮小写像 「しゅくそうしゃぞう」って言い間違えがち
この方針で計算したらe^(1/e)出てきたので，丁寧にやれば一般の場合証明できそうです．
これって2以下では抑えられないことを示さなくても十分なんですかね？4以下ってことも同じ方法で示せてその場合は4もokになってしまう気が
思った
ある値に収束することが分かってるから2か4のうち片方が解だよねっていう考え方はあかんのかね
厳密じゃなくないですか…？
ある値が2以下なら、その値は4以下である
っていうのは自明だから、2以下が示せるなら4以下を示せるのも当然で、2か4っていうのは予想された上で、2以下なのが示せるからやっぱり2だね！っていう経路を辿ってるんじゃないですか？
2で抑えられて2未満で抑えられないことを示せれば、それでも十分です。2が上限であること(有界性の不等式に出てきたkの内で最小のもの)ということですので。ただ普通は上限を探すことの方が厄介なので、収束性だけ先に示して、極限値を後から考えるわけです。ただし、そこで出来るだけ有界性の不等式を小さい値で抑えておけば、今のように不適な解を除くことが出来るというわけです。
√2^√2^√2^√2^…は漸化式がa_n+1 = √2^a_nであることは表していますが初項の値が何かは明示されていない（曖昧な表記になっている）のでは？
初項の値によっては4になることもあるというのが最初に√2^x = xの答えが2と4になった理由では？
ちなみに初項が4なら4だし、4より大きければ発散するはずですね。
a_1=√2って事示してないか？
@@izuru2544 どこで示されてますでしょうか？
5:22 からのはたくみさんが勝手に初項が√2だと定義しているだけですよね。
定義するのは自由ですが私はその定義が適切であるとは思いません。
たとえば初項を3として
3, √2^3, √2^√2^3, √2^√2^√2^3, …
という数列にした場合でも無限に続けた場合の値の表記は√2^√2^√2^√2^…になりますよね。
どんな初項でも同じ表記になるのになぜ√2だけが適切だと言えるのでしょうか。
@@malo2793 初項3にしたら無限じゃなくて有限にならないか？√2だからこそ無限が成立すると思うんだが。
@@izuru2544 仰っている意味がよく分かりません…
初項が何であれa_n+1 = √2^a_nを無限に続けていけば√2が無限に続くことになると思いますが…
lim[n→∞]は無限に「する」のであって、ならないとか無いです。
@@malo2793 俺の言い方が悪かったと言うか俺の解釈が間違っていた。それはすまん。
そもそも最初の問題的に初項√2以外の数値を取るのは不適切ってだけじゃ無いかな？
そもそも初項はそこまで重要じゃ無い気もするけど。結局無限に飛ばしたら2に収束するだろうし。
有界とかすげえ久々に聞いた！
②を証明する際、何故2を選んだのでしょうか？1ではダメなのでしょうか？2より大きい数字ではダメなのでしょうか？
近々動画にしようとしていたネタだわ(笑)
直感的な「雑」な計算としては√2^√2^√2^...の一番「上」を2に替える手も。
最後の収束域も下限値は証明してほしかった(難しいけど)
iのテトレーションも面白い。i^iしか実数値とならないことが直感的(雑に)にわかる(けど難しい)
X=√2のX乗につき、X=2又は4のみであると求める方法について教えて欲しいです。どうやってX=2、4と解を求めたのでしょうか？(今回はX=2のみが解となりえることは理解出来ました)
二つの関数のグラフ書いてみな。交点二つ出てくるからx=2,4になるからね。
全然関係ないけど、指数表記の言い方で肩に乗せるっていう表現が好き。
ちっさい数がフクロウみたいに肩に乗ってるのを想像したら2nmくらいは数に愛着わいてきそう
やっぱ数学的帰納法は使いこなせば、一つの武器として使えるから数列が関わると余計大事になってくる。
たくみさんの説明は明解
東大京大目指してる学生さんはギリギリ解きたいくらいの難易度。
類題
福島県立医科大学2019
同志社大学2011(理系)
広島大学2022(理系)(←ちょうど受験して出てきた笑)
横浜市立大学2020(医)
(一橋大学2016後期)
最初のxで置いた時に4が解として出てきてしまったのはなぜなんでしょうか。のちのちxの範囲から4が解にはならないってことは分かるんですけど。
この辺の内容が載った数学書って、ありますか？
2で抑えるっていう発想はどこから出てくるのでしょうか？？
この問題を解く時はまずヨビノリさんが言うところの雑な解き方で2という数字を見つけとかないといけないのでしょうか？？
そういうことです。
anが上に有界であることを示す②の証明で、なぜan
帰納法のn=k→n=k+1の論理で使っているのは、
a_n < a
→ a_{n+1} = sqrt(2)^a_n < sqrt(2)^a
なので、最後の sqrt(2)^a
一つの方法は最初の「厳密でない方法」で極限値のアタリをつけていく方法です。a_nは単調増加数列なので、上に有界であることを示すとき、より小さい値で抑えるのが有利です。もし抑える値の最小値が見つかればそれが極限の値になります。今の場合極限値の候補は2か4なので、より小さい2の場合で試してみたわけです。
答えから逆算するってのが1番わかりやすい答えだと思う。テストを解く上ではそれで十分
ヨビノリさんは動画を見る限り、見た目美しく、才能豊かで、頭脳明晰ないわゆる天才だと思うのですが、多岐にわたる学術を学ぶ上でこれは理解できなかった、挫折したということや、そんな時どうするのか、是非聴いてみたいです(((o(*ﾟ▽ﾟ*)o)))
漸化式、極限 数学的帰納法。。。どれもこれも懐かしい。高校生の時魔法かと思った。今、高校生の子供にギリ教えられないレベル。。
13:20 ここの時に仮定が「絶対に間違えてない」を前提に考えていると思うのですが、akの範囲が本当に2を越えないのかが分からないのにその過程を使ってしまってもいいのでしょうか。
akの範囲を別で出してあげれないのでしょうか
使っていいです。
a1が満たすことを証明してあげれば十分です。
この証明は数学的帰納法を使っています。数学的帰納法とは、まずn=1の場合を証明し、次にn=kのときに成立すると仮定してn=k+1の場合を証明するものです。これによってドミノ倒しのようにn=2,3,4...ときも成立することを示せるので、すべてのnにおいて証明することができます。
漸化式の意味が分かった！！！
ありがとう！！！！
ページの変更の所、実は黒くなるまで全然違う文字あるの好き