여러분들의 구독이 저에게 큰 힘이 됩니다! 쑤튜브 구독하기→ bit.ly/Ssootube [목차] 선형 독립(=일차 독립이라고도 합니다.) -직관적인 정의 0:04 -수학적인 정의 0:47 -증명 01:21 thm 영벡터는 모든 벡터와 독립이 아니다 05:24 thm 독립집합의 모든 부분 집합은 독립집합니다 06:19 선형결합 판별법 07:23 선형독립 판별법 08:56 -독립인 n개의 벡터의 span은 n차원을 커버할 수 있다 10:39 -착각하기 쉬운 경우 10:56 -차원보다 많은 벡터는 독립이 아니다 11:31
누구나 이용할 수 있게 이렇게 좋은 강의를 올려주셔서 감사합니다만, 한 가지만 좀 지적을 하지 않을 수가 없네요. 선형 독립, 이 개념은 너무도 명확해서 누구나 쉽게 이해할 수 있는 개념이라고 생각했는데요 너무나 어렵게 설명을 하시는 걸 보고 놀랐습니다. 어떻게 하면 좀 더 알아듣기 어렵게 설명을 할 수 있나 경쟁에 나선 모습이랄까...(죄송..) 그냥 처음에 2차원공간에 각각 벡터 1개, 2개, 3개가 있는 그림 3개를 그려서 각각 스케일러 곱 등을 하는 방식으로 무엇이 독립이고 종속인지 명확하게 설명한 뒤에 님이 하신 대로 증명을 곁들인 엄밀한 수학적인 표현방법을 내놓는 것이 좋지 않나 생각합니다. 다른 댓글을 보니 뭔지 모르는 것 같고, 어려운 설명 그자체의 지엽적인 문제에 부딧쳐 끙끙대는 모습들이 보여 안타깝네요. 개인적인 생각인데요, 항상 개념과 용어에 대한 이해가 선행이 돼야합니다. 수학적인 언어는 그 뒤에 얼마든지 배울 수 있지요. 님의 강의를 절대 폄훼하려는 의도는 없습니다. 격려로 받아들여 주세요.
이해를 하는 데에는 기하학적인 설명이 도움이 될 수 있으나, 앞으로 수학적인 증명을 해 나가는 데에는 명확한 수학적 정의가 필요합니다. 개념을 알더라도 그 알고 있는 개념을 어떤 수식으로 표현해서 증명에 활용해야 할지 갈피를 못 잡는 수학 전공자 친구들이 많아요. 말씀하신 것처럼 어떻게 하면 좀 더 알아듣기 어렵게 설명할 수 있나 경쟁에 나선 모습처럼 보이실 수도 있지만, 쉽게 말하면, 짝수라는 것이 무엇인지 알고 있음에도 불구하고, 어떤 수가 짝수임을 보여달라고 하면 어떻게 보여야 할지를 모르는 친구들이 많아요. 짝수라는 것은 2로 나누었을 때 나머지가 0이라는 것을 보여주면 되는데 말이죠. 즉, 수식적으로 n%2=0임을 보이면 되는 거죠. 개념은 알고 있음에도 그 정의를 수식적으로 나타내지 못해서 증명을 하기 힘든 분들을 위해 오히려 그 부분을 명확히 하고 넘어가자는 강의라고 받아들이시면 어떨까요? 실제로 저는 그 목적으로 강의를 찍었어요! 물론 말씀하신 것처럼 느낌적인 느낌을 먼저 이해시키고 나서 수식으로 넘어가는 것도 좋은 방법이죠!(사실 그것을 0~48초 부분에서 하고 있기는 합니다.) 강의가 10분짜리라서, 어떤 내용을 담아야 할지 더 잘 고민했어야 했는데, 제가 비중을 조금 잘못 두었나 보네요. 하지만 아무래도 수식적인 부분이 시간이 더 걸릴 수 밖에 없어서, 상대적으로 쉽게 설명하는 부분이 많이 줄어든 거 같아요. 조언 감사합니다.
제 강의는 주로 증명이 많이 나오기 때문에 앞으로 나올 증명을 자연스럽게 이해하기 위해서는 선형독립의 정의를 수학적으로 내려드릴 필요가 있겠다 생각해서 만든 강의니까 너그럽게 봐주세요ㅎㅎ아무래도 유튜브는 모든 사람이 보다보니 강의의 대상자를 선정하는 데에 어려움을 겪고 있기도 해요. 개념은 이미 알지만 증명에 어려움을 겪는 수학 전공자, 혹은 증명까지는 필요없고 이해를 필요로 하는 공대생들 다양한 분들이 많아요.
@@ssootube 오래전 댓글이긴 하지만 전 이 댓글에 동의하지 않아요 물론 이 영상만으로 한번에 쉽게 개념을 이해하기는 어려울수있지만 쑤튜브님이 댓글에서 남겨주셨듯이 단순이 개념 이해를 넘어서 증명하는데 쑤튜브님 영상이 많이 도움돼요 아무리 개념을 아는듯 싶어도 막상 증명하려고 하면 어? 이게 왜이런거지? 싶은 부분이 있거든요 증명을 이해하고 스스로 증명하려고 하기 보다 그저 이건 이렇구나 하고 외우고 넘어가면 미래에 남는게 없을거라는 생각이 드네요 그런 의미로 소중한 영상 감사합니다ㅠㅠ
안녕하세요! 강의 잘 듣고있습니다:) 다름이 아니라 귀류법을 사용하신 부분에서 이해가 잘 가지않아 질문드려요 ㅠ 선형독립이 아니라는 가정을 새우고 결과적으로 계수가 0이 아닌게 존재하여서 모순이라고 하셨는데 그 모순이라는 것이 선형독립 정의와 맞지 않다는 의미인게 맞나요?선형독립이 아니라고 가정을 해서 시작을 하니 결과가 선형독립이 아니게 나온것이 모순이 맞는지 이해가 잘 가지 않아요 ㅠ.ㅠ 답변주시면 갑사하겠습니다 :)
그냥 선형결합이다.라고 가정하고 시작하는 게 아니라, c1v1+c2v2+...+cnvn=0가 되게 하는 계수값 c1,c2,...,cn들이 모두 0이더라도, 선형결합이다. 라고 가정한 거에요ㅎㅎ. 그런데 c1,...,cn까지 숫자가 모두 0이 아닌 게 존재해버린다면 모순인거죠!
근데 homogeneous 에서 자명해만을 가지지 않는다는 건 무수히 많은 해를 가지지 않는다는 것과 같은 말이죠? 생각해봤을 때 c1, c2, c3가 어떤 상수로 나온다는 건 전체에 어떤 실수 k를 곱해도 상관없으니까 결국 무한한 해를 가지는 것과 같은 말인 것 같아서요. 이렇게 생각해도 될까요?
@@ssootube 예를 들어, 계산 결과가 [ 1 0 0 0 ] 이런 식이면 이 행렬 전체에 어떤 실수를 곱해도 해가 될 수 있는 거잖아요. [ 2 0 0 0]도 해고, [1.5 0 0 0]도 해고 .. 그러면 자명해만을 가져야 독립이라는 말이 무수히 많은 해를 가지지 않을 때 독립이라는 거라고 생각해도 무방할까요?
@@JiyuKim-sr1mi 전제조건이 A가 정사각행렬 이여야합니다. n*m 행렬에서 n>m 인 경우에도 A의 열벡터들은 일차독립이 될 수 있습니다. 그러나 n=m이 아니기 때문에 가역이라는 말을 할 수 없죠. R^n에서 n개보다 많은 벡터들의 집합은 항상 일차종속이라는 명제를 생각하면 이해하기 편리할 겁니다.
문과생에게 도움을 항상 주시고 있어요..감사합니다... 질문이 있는데 벡터방정식 강의에서 두 2차원 벡터가 평행하면 평면에서 모든 점을 다룰 수 없기 때문에, 종속이 아니고 독립이어야 된다고 하셨는데 여기서는 독립이면 벡터끼리 서로 표현할 수 없는 관계이라고 하셔서..넘 헷갈려요...ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 제가 지금 어디서 헷갈리고 있는지도 모르게 헷갈려요.. 벡터방정식에서 X도 결국 벡터인데 벡터로 표현하고 있으니까 독립이 아니고 종속아닌가요? 그런데 종속하면 평행하다는 건데............ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 답주시면 감사하겠습니다ㅠㅠ
잘생각해보세요~ p→q가 참임을 증명하기 위해서, ~q→~p가 참임을 보이는 방법도 있죠. 혹은 다른 관점으로 본다면, p→~q임을 가정했을 때 모순이 발생한다면, p→q는 참이라고 할 수 있죠! 여기서는 p→~q→~p라는 결과가 나왔으므로, p→~p라는 모순이 나와버리죠!
![linear algebra lesson 26: properties of solution set [ssootube]](http://i.ytimg.com/vi/FxJrfiEBa6A/mqdefault.jpg)
![linear algebra lesson 26: properties of solution set [ssootube]](/img/tr.png)
![Digital Circus Episode 4 [TRAILER]](http://i.ytimg.com/vi/abZtsmMUbJo/mqdefault.jpg)
![ROSÉ(로제) - APT. (Band VER.) (With. 이영지) [더 시즌즈-이영지의 레인보우] | KBS 241129 방송](http://i.ytimg.com/vi/IW8qaemx74g/mqdefault.jpg)
![ROSÉ (로제) - number one girl [더 시즌즈-이영지의 레인보우] | KBS 241129 방송](http://i.ytimg.com/vi/A9oByH9Ci24/mqdefault.jpg)
![linear algebra lesson 45: basis [ssootube]](/img/1.gif)
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[목차]
선형 독립(=일차 독립이라고도 합니다.)
-직관적인 정의 0:04
-수학적인 정의 0:47
-증명 01:21
thm 영벡터는 모든 벡터와 독립이 아니다 05:24
thm 독립집합의 모든 부분 집합은 독립집합니다 06:19
선형결합 판별법 07:23
선형독립 판별법 08:56
-독립인 n개의 벡터의 span은 n차원을 커버할 수 있다 10:39
-착각하기 쉬운 경우 10:56
-차원보다 많은 벡터는 독립이 아니다 11:31
대학교수님 수업듣다가 이해가 안돼서 들었는데 한번에 이해가 되네요.. 갓
감사합니다! 공부했던걸 복습하기 좋은 속도네요
감사합니다
정말 감사합니다. 행렬과 벡터의 관계에 대한 직관이 생겼습니다.
좋은 영상 감사합니다. 시험 기간에 복습하기에 좋은 영상이에요!
4:04
ⅰ) k=n - 1 인 경우
혹시, a n-1 v알파k ------> a k v알파k , 아닌가요?
감사합니다.^^
8:35 캬 여기서 감탄함
설명 개 잘한다...
감사합니다
감사합니다
많이 이용해주세요 ㅋㅋ 감사합니다!!
선형독립 일차독립이 다른건가요..?
안녕하세용~~ >.< 오늘 시험 전날이므로 쭉 깨있을 예정입니다!
화이팅입니다!!!!
@@ssootube 감사합니다아아악
기약 행 사다리꼴 행렬이 무엇인지에 대한 강의도 있을까요?
네네 그럼요! 거의 초반부에 있을거에요
차원>=벡터 인 경우는 직접 확인해봐야 일차독립의 여부를 알 수 있는거죠?
선형독립 증명에서 궁금한데요.. 그냥 선형독립의 정의를 설명하는데 증명이 필요한가요? ~~조건이면 선형독립이다. 를 증명해야 할 필요가 있을까요?
집합에서 임의의 벡터를 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할수 없다(3개로 예를 드신거)랑 아래 수학적 정의랑 같은의미라는걸 증명하시는 거 아닐까요?
마지막 예시는 square matrix여서 trivial solution만을 가지는지로 판단 가능한 거 아닌가요? 만약 square 가 아닌 벡터의 경우엔 어떻게 독립여부를 판단하나요?
복잡하네요 머리나쁜 1인정리해보아요
가역행렬이여야하고 n by n행렬 필수조건인거고
선형결합판별은 컨시스턴트여야 선형결합이고
선형독립은 동차(모든상수항이 0)선형방정식은 자명해만을
가진다
용어들이 어려운1인ㅋㅋ
수학쪽은 노력보다는 타고나야하는것 같아요
논리적사고력 없어서 힘든1인
누구나 이용할 수 있게 이렇게 좋은 강의를 올려주셔서 감사합니다만,
한 가지만 좀 지적을 하지 않을 수가 없네요.
선형 독립, 이 개념은 너무도 명확해서 누구나 쉽게 이해할 수 있는 개념이라고 생각했는데요
너무나 어렵게 설명을 하시는 걸 보고 놀랐습니다.
어떻게 하면 좀 더 알아듣기 어렵게 설명을 할 수 있나 경쟁에 나선 모습이랄까...(죄송..)
그냥 처음에 2차원공간에 각각 벡터 1개, 2개, 3개가 있는 그림 3개를 그려서
각각 스케일러 곱 등을 하는 방식으로 무엇이 독립이고 종속인지 명확하게 설명한 뒤에
님이 하신 대로 증명을 곁들인 엄밀한 수학적인 표현방법을 내놓는 것이
좋지 않나 생각합니다.
다른 댓글을 보니 뭔지 모르는 것 같고, 어려운 설명 그자체의 지엽적인 문제에 부딧쳐
끙끙대는 모습들이 보여 안타깝네요.
개인적인 생각인데요, 항상 개념과 용어에 대한 이해가 선행이 돼야합니다.
수학적인 언어는 그 뒤에 얼마든지 배울 수 있지요.
님의 강의를 절대 폄훼하려는 의도는 없습니다. 격려로 받아들여 주세요.
이해를 하는 데에는 기하학적인 설명이 도움이 될 수 있으나,
앞으로 수학적인 증명을 해 나가는 데에는
명확한 수학적 정의가 필요합니다.
개념을 알더라도 그 알고 있는 개념을 어떤 수식으로 표현해서
증명에 활용해야 할지 갈피를 못 잡는 수학 전공자 친구들이 많아요.
말씀하신 것처럼 어떻게 하면 좀 더 알아듣기 어렵게 설명할 수 있나 경쟁에 나선 모습처럼 보이실 수도 있지만,
쉽게 말하면, 짝수라는 것이 무엇인지 알고 있음에도 불구하고, 어떤 수가 짝수임을 보여달라고 하면 어떻게 보여야 할지를 모르는 친구들이 많아요. 짝수라는 것은 2로 나누었을 때 나머지가 0이라는 것을 보여주면 되는데 말이죠. 즉, 수식적으로 n%2=0임을 보이면 되는 거죠.
개념은 알고 있음에도 그 정의를 수식적으로 나타내지 못해서 증명을 하기 힘든 분들을 위해 오히려 그 부분을 명확히 하고 넘어가자는 강의라고 받아들이시면 어떨까요? 실제로 저는 그 목적으로 강의를 찍었어요!
물론 말씀하신 것처럼 느낌적인 느낌을 먼저 이해시키고 나서 수식으로 넘어가는 것도 좋은 방법이죠!(사실 그것을 0~48초 부분에서 하고 있기는 합니다.)
강의가 10분짜리라서, 어떤 내용을 담아야 할지 더 잘 고민했어야 했는데, 제가 비중을 조금 잘못 두었나 보네요. 하지만 아무래도 수식적인 부분이 시간이 더 걸릴 수 밖에 없어서, 상대적으로 쉽게 설명하는 부분이 많이 줄어든 거 같아요. 조언 감사합니다.
제 강의는 주로 증명이 많이 나오기 때문에 앞으로 나올 증명을 자연스럽게 이해하기 위해서는 선형독립의 정의를 수학적으로 내려드릴 필요가 있겠다 생각해서 만든 강의니까 너그럽게 봐주세요ㅎㅎ아무래도 유튜브는 모든 사람이 보다보니 강의의 대상자를 선정하는 데에 어려움을 겪고 있기도 해요. 개념은 이미 알지만 증명에 어려움을 겪는 수학 전공자, 혹은 증명까지는 필요없고 이해를 필요로 하는 공대생들 다양한 분들이 많아요.
답변 감사합니다.
항상 응원하겠습니다!
@@ssootube 오래전 댓글이긴 하지만 전 이 댓글에 동의하지 않아요 물론 이 영상만으로 한번에 쉽게 개념을 이해하기는 어려울수있지만 쑤튜브님이 댓글에서 남겨주셨듯이 단순이 개념 이해를 넘어서 증명하는데 쑤튜브님 영상이 많이 도움돼요 아무리 개념을 아는듯 싶어도 막상 증명하려고 하면 어? 이게 왜이런거지? 싶은 부분이 있거든요 증명을 이해하고 스스로 증명하려고 하기 보다 그저 이건 이렇구나 하고 외우고 넘어가면 미래에 남는게 없을거라는 생각이 드네요 그런 의미로 소중한 영상 감사합니다ㅠㅠ
감사합니다
쓰앵님 선형독립 증명할때 왜 계수가 0이 아니면 모순인가요 ㅠㅠㅠㅠ
선형독립의 정의를 생각해보세요!!벡터들의 선형결합이 0이 되게 하는 계수값들이 0이외에는 존재하지 않을 때 선형독립이라고 합니다!!
@@ssootube 아아 그렇게 접근하면 되네요 !! 감사합니다 ㅋㅋㅋ 순간 탁 막혀버렸어용 ㅠㅠ
안녕하세요! 강의 잘 듣고있습니다:) 다름이 아니라 귀류법을 사용하신 부분에서 이해가 잘 가지않아 질문드려요 ㅠ 선형독립이 아니라는 가정을 새우고 결과적으로 계수가 0이 아닌게 존재하여서 모순이라고 하셨는데 그 모순이라는 것이 선형독립 정의와 맞지 않다는 의미인게 맞나요?선형독립이 아니라고 가정을 해서 시작을 하니 결과가 선형독립이 아니게 나온것이 모순이 맞는지 이해가 잘 가지 않아요 ㅠ.ㅠ 답변주시면 갑사하겠습니다 :)
그냥 선형결합이다.라고 가정하고 시작하는 게 아니라, c1v1+c2v2+...+cnvn=0가 되게 하는 계수값 c1,c2,...,cn들이 모두 0이더라도, 선형결합이다. 라고 가정한 거에요ㅎㅎ. 그런데 c1,...,cn까지 숫자가 모두 0이 아닌 게 존재해버린다면 모순인거죠!
쑤튜브 오!! 너무감사드려요 ㅎㅎ 강의 잘듣고있습니다 대학강의 너무 어려워서 이것저것 찾아보다 알게되었는데 너무 도움돼요 매우매우 감사드려요~~~~~😁😁
근데 homogeneous 에서 자명해만을 가지지 않는다는 건 무수히 많은 해를 가지지 않는다는 것과 같은 말이죠? 생각해봤을 때 c1, c2, c3가 어떤 상수로 나온다는 건 전체에 어떤 실수 k를 곱해도 상관없으니까 결국 무한한 해를 가지는 것과 같은 말인 것 같아서요. 이렇게 생각해도 될까요?
무슨 말인지 모르겠어요
@@ssootube 예를 들어, 계산 결과가 [ 1 0 0 0 ] 이런 식이면 이 행렬 전체에 어떤 실수를 곱해도 해가 될 수 있는 거잖아요. [ 2 0 0 0]도 해고, [1.5 0 0 0]도 해고 .. 그러면 자명해만을 가져야 독립이라는 말이 무수히 많은 해를 가지지 않을 때 독립이라는 거라고 생각해도 무방할까요?
그렇죠 결국 동차연립선형방정식에서 유한 개의 해를 가진다는건 자명해만을 가진다는 것과 같은 말이니까요. 어차피 자명해 이외의 다른 해를 가지는 순간 무한한 해를 가지게 되니까요
@@ssootube 정말 친절하시네요. 감사합니다!
8:34에서 3열에 0011이 왜 유일한 해가 존재하는건가요??
열이나 행보다는 기약행사다리꼴이 단위행렬이기에 유일해가 존재하는 거에요 !
Ax=0에서 A가 가역행렬이 아니어도 A의 열벡터들이 선형독립일 수 있나요?
A가 정사각행렬이면 그럴 수 없어요.ㅎㅎ
@@ssootube 근데 강의에서 A의 열벡터들이 선형독립이라는 말이 A가 역행렬을 갖는다는 말과 동치라고 하셨는데 열벡터들이 선형독립이지만 역행렬을 갖지 않는 경우는 어떻게 해석해야 되나요!?
A가 정사각행렬일 경우로만 한정지어서 생각하셔도 돼요!!ㅎㅎ
@@JiyuKim-sr1mi 전제조건이 A가 정사각행렬 이여야합니다. n*m 행렬에서 n>m 인 경우에도 A의 열벡터들은 일차독립이 될 수 있습니다. 그러나 n=m이 아니기 때문에 가역이라는 말을 할 수 없죠. R^n에서 n개보다 많은 벡터들의 집합은 항상 일차종속이라는 명제를 생각하면 이해하기 편리할 겁니다.
대학 강의보다 낫다
감사합니다
문과생에게 도움을 항상 주시고 있어요..감사합니다...
질문이 있는데
벡터방정식 강의에서 두 2차원 벡터가 평행하면 평면에서 모든 점을 다룰 수 없기 때문에,
종속이 아니고 독립이어야 된다고 하셨는데
여기서는 독립이면 벡터끼리 서로 표현할 수 없는 관계이라고 하셔서..넘 헷갈려요...ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
제가 지금 어디서 헷갈리고 있는지도 모르게 헷갈려요..
벡터방정식에서 X도 결국 벡터인데 벡터로 표현하고 있으니까 독립이 아니고 종속아닌가요?
그런데 종속하면 평행하다는 건데............ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
답주시면 감사하겠습니다ㅠㅠ
서로 표현할 수 없는 관계 이므로, 이 둘이 힘을 합치면 혼자서는 표현할 수 없는 무언가를 표현할 수 있는 거 겠죠? 서로가 서로를 표현할 수 있다면, 어차피 혼자서도 할 수 있는 일이니까요.
@@ssootube 아.. 독립이면 서로를 표현을 못한다는 의미군요!!!!!!! 합쳐서 다른 벡터를 표현가능하나 서로가 서로를 표현 못한다는 거..맞죠? 감사합니다!!!
집합의 벡터들의 선형결합을 0이라고 놓고 방정식을 풀어서 계수가 모두 0인지 판별해 0이면 선형독립이고 0이 아니면 선형종속인가요 ??
계수가 모두 0이면 당연히 선형독립이든 아니든 어차피 더해서 0 이 나오겠죠?. 0을 곱하면 무엇이든 다 0이 되니까요. 따라서 계수가 0인걸 곱하는게 중요한게 아니라, '그 방법말고는' 더해서 0이 되게하는 계수값이 없어야 독립이에요!
@@ssootube 선형 독립과 선형 종속을 판단하는 방법이 뭔가요 ㅠㅠㅠㅠ? ..
귀류법부분 ㅠㅠ
0이외에 존재하지 않음 -> 선형독립
~선형독립 -> 0이외의것 존재 (설명의 -1)
모순이 아닌갓 같은데 ㅠㅠ
어렵네여 ㅠㅠ
선형독립이 아니라고 가정했으니
계수에 -1이 등장해도 되는거 아닌가여 ㅠㅠ
-1이등장해서 모순이라고하는부분이 이해가 안되는데 도와주시면 감사드리겠습니다 ㅠㅠ
잘생각해보세요~
p→q가 참임을 증명하기 위해서, ~q→~p가 참임을 보이는 방법도 있죠.
혹은 다른 관점으로 본다면, p→~q임을 가정했을 때 모순이 발생한다면, p→q는 참이라고 할 수 있죠!
여기서는 p→~q→~p라는 결과가 나왔으므로, p→~p라는 모순이 나와버리죠!
저도 아무리 생각해도 이 댓글이 맞는것 같습니다
증명의 의도를 잘 보세요!
선형적으로 독립인 집합은, 모든 원소가 서로에 대해서 선형적으로 독립이어야 한다는 의미이죠.
이와 동치인 명제가 0을 만들기 위한 계수값이 0말고는 없다.임을 증명하는 겁니다~
귀류법을 사용하실때 대우명제를 사용하신거 맞나요? 선형 종속일때 모든 계수가 0인 것 외의 근이 존재한다.
23-04-07 금
차원보다 벡터가 많이 존재할때에는 자유변수가 생길 수 밖에 없으니 선형종속이라고 해석해도 문제가 없을까요?