오늘도 아침에도 신선한 기운을 받고 일합니다. 단계별로 들으니 책한권을 순차적으로 보는 것처럼 좋습니다.책은 직관적이해를 한번에 하기 어렵고 보통 동영상은 단편적 주제라 연결이 어려워서 숲을 보기어려운데, 선생님이 해주시는 영상들은 숲과 나무를 다 볼수있어서 참 좋습니다. 평안한 하루 되세요.
alwaysmarine님 안녕하세요 :) 오늘도 영상 재밌게 봐주셔서 감사합니다. 말씀해주신 것이 제가 영상에서 추구하고자 하는 것들이라 굉장히 말씀해주신게 뿌듯합니다. 말씀해주신대로 최대한 쉽게(설명할 때는 쉽게 알려주는 것이 최고의 미덕인 것 같습니다...) 그리고 큰 그림을 놓치지 않게 이 두가지에 초점을 맞추려고 노력하는데, 큰 그림에 대해서 잘 볼 수 있게 해드린 것 같다고 하시니 저로썬 정말 뿌듯합니다 ^^ 오늘도 좋은 하루 되십시오.
행렬과 선형변환 이라는 동영상제목을 보고 행렬로 점을 이동시키는 변환에 관해 약간 알길래 특별한 것은 없으리라 예상했습니다 그런데 5개 정도의 애니메이션을 보고 뭔가 예감이 이상해서 블로그에도 가 보고 집중해서 봤습니다 선형변환이라는 이 행렬변환이 일반상식과는 완전히 다르더군요 보통 변환이라면 특정행렬을 곱해서 한점을 다른 점으로 이동시키는 이동규칙이라고 생각해 왔는데 동영상과 블로그를 자세히 보니 배후에 감추어진 거대한 심층적 세계가 있었습니다 겉으로 보기에는 어떤 점에 행렬을 곱해서 그 점이 다른 곳으로 위치를 이동한 것같지만 근원적인 본질은 행렬을 곱해줌으로서 그 점이 속해 있는 세계 자체가 (좌표계) 완전히 변해 버려서 그 결과로서 (원래의 세계의 관점에서 볼 때) 그 점이 다른 곳으로 이동해 버린 결과가 되는 배후의 원리 법칙이 있었습니다 5개의 애니메이션을 보고 이 기막힌 사실을 알고 나서는 기가 막혀 어안이 벙벙했습니다 원래의 좌표계의 가로 1칸 세로 1칸으로 된 모든정사각형이 변화된 세계에서는 각도도 회전해 있었고 가로 길이도 변하고 세로 길이도 변한 모든 같은 크기의 평행사변형이 되어 있었습니다 원점 옆에 붙어 있는 그 평행사변형 하나만 찾아내면 변화된 세계 좌표계도 알 수 있다는 생각이 들어 곰곰이 생각해 보니 원래의 세계의 (1,0) , (0,1) 이 두 녀석에 행렬을 곱해 이것들이 어디로 갔나만 알아내면 그 평행사변형을 찾아낼 수 있다는 생각이 들어 해 보니까 역시 그 평행사변형도 찾아지고 그 결과 당연히 변화된 세계 좌표축도 찾아지고 원래 세계에 있던 그 점이 변화된 세계에서 저쪽에 가 있는 근본원리가 납득이 되었어요 아 ~~~ 이래서 기저, 기저, 기저 하면서 (1,0) , (0,1) 벡터를 그렇게 강조하고 (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) 벡터를 그렇게 강조하는구나 !!!!! 행렬의 곱에 의해 그 점이 이동했다고 하면 그 점의 이동 하나만 눈에 보이지만 행렬의 곱에 의해 그 점이 속한 세계 자체가 변했다고 하면 무수히 수많은 무한개 점들의 이동이 눈에 보이게 된다 !!!!!! 너무 충격을 받아 다른 것을 할 수가 없었어요 3차원적 사고만 하는 사람은 죽는 순간까지 4차원적 사고를 못한다는 생각이 들었고 선형대수학에 싫증을 느끼게 하는 너무나 관념적이고 재미 없는 기저벡터라는 것에 순식간에 친밀감이 왔습니다 이 동영상에서 느낀 생각을 가지고 텐서라는 세계에 들어갈 수도 있다는 생각이 들었습니다 동영상을 보니 선형변환의 선형연산자에 관해서도 기하학적으로 생각할 수 있었어요 감동이 아니라 충격입니다 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
안녕하세요 ^^ 너무 재밌게 봐주시는 것 같아 제가 정말 기분이 업 업 됩니다 ㅎㅎ 노성용님 같으신 분 덕분에 제가 하나라도 더 가르쳐드리고 싶다는 생각이 계속 들어 영상 하나 올리고 텀을 두지 않고 싶을 정도로 유튜브 작업을 계~속 하고 있네요 ! ^^ 말씀하신대로 행렬이 해주는 일은 사실 벡터(즉, 점) 하나의 변환이 아니라 벡터 공간 사이의 mapping입니다. Gilbert Strang 교수님의 fundamental theorem of linear algebra가 말하는 것이 바로 그것입니다. (물론 이 이론에는 더 넓은 범위의 개념들이 매우매우 많이 추상적으로 녹아들어 가 있지만요...) 앞으로 다루게 될 내용들도 기대해주세요 ^^ 감사합니다.
Lazer님 안녕하세요 ^^ 아마 컴퓨터 그래픽 쪽이나 게임쪽 관련 분야에 계신 것 같습니다 ㅎ 매번 재밌게 봐주셔서 감사합니다. 저도 선형변환이라는 것을 처음 알게 되었을 때 진짜 충격 그 자체였었는데... 이걸 이제 제가 정리해서 영상으로 만든다고 하니 이것 나름대로 또 감동입니다 ^^
@@AngeloYeo 대단하신것 같아요 ㅎㅎ 많이 배워갑니다. 저는 GPU쪽 관련된 일을 하고 있고요. GPU를 가장 잘쓰고 있는 분야가 그래픽스 분야라서 예전에 이쪽을 연구했습니다. 그래픽스 책에서 설명하는 결론적인 행렬 연산으로도 충분하지만, 실제로 자유로운 응용이 가능하기 위해선 오늘 공돌이님이 설명해주신 내용들이 머리속에서 자유자재로 움직여야 하죠 ㅎㅎ. 제가 대학 때 이 분야를 배울때 교수님이 공돌이님처럼 설명해주셨다면 정말 좋았겠다는 생각이 듭니다.
중고시절 수학 혹은 지구과학을 칠판에 수식을 그리며 설명하는 것을 애니메이션으로 볼수 있도록 교육이 진화하면 좋겠다 싶었는데, 이제 이렇게 js로 구현하여 올려 주시니 오랜된 숙제가 풀린것 같습니다. 역시 선행변환의 이해가 10배 이상 명확해 지는 느낌입니다. 올려주신 소스 감사드리며 한번 상세히 살펴 볼려구 합니다.
안녕하세요, 갑자기 문득 떠오른 생각 때문에 찾아와서 댓글을 답니다. 덕분에 행렬이 선형변환이라는 점을 재밌게 이해하고 있었는데, 생각해보니 이는 기저의 갯수와 행렬의 차원이 같을 때만 해당하는 설명이 아닌가 합니다. 동차좌표계(Homogeneous Coordinate)에서는 3x3에선 행렬의 곱 하나로 표현할 수 없던 shifting 즉, 병진운동(Translation)을 차원 하나를 늘려 4x4 행렬로 표현합니다. 즉, Affine Transformation으로 확장되게 됩니다.
지금은 역사속으로 사라진 기하와 벡터의 1차변환(회전파트)의 원리를 명징하게 증명해주는 영상인 것 같습니다. 생각해보면 전전 교육과정까지는 행렬을 가르쳤고, 이과에서는 1차변환까지도 가르쳤더랬죠. 다들 공대 가고 싶어 하는데, 행렬을 도대체 왜 뺀지는 잘 모르겠습니다. 이렇게나 중요하게 쓰이는데 말이죠. 심지어 미적분 과목 선택한 학생들은 벡터마저 배우지 않는다고 하더라구요... 여튼 영상 굉장히 잘 봤습니다. 큰 도움 되고 있어요!
행렬을 왜 뺐는지 모르겠다는 말에 격하게 공감합니다. 요즘 대세가 어려운 공부들은 제하게 해주자 하는 사조인 것 같습니다. 제가 보기엔 필요 과목들을 빼버리는 것이 아니라 줄세우기 식이면서 빠르게 푸는 것만을 강요하는 시대착오적 시험 방식이 바뀌어야 한다고 생각하는데요. 아무튼 벡터와 행렬 부분이 빠져버린다니, 정말 시대착오적인 사고인 것 같습니다. 아무튼 선형대수는 공학 분야를 연구하려면, 아니면 데이터를 다루고자 한다면 무조건 알아야 하는 부분이기에 말씀하신대로 정말 정말 중요하지요.
가볍게 몇번 보고 말 동영상이 아니고 아직도 내가 모르는 그 무엇이 있다는 생각에 다시 봤습니다 벡터에 행렬을 곱하면 벡터가 속한 세계 자체가 변하는 이유 ? 원래 i축, j축 세계에서의 (x, y) 벡터가 행렬로 변화된 New i축 , New j축 세계에서 (New i축으로 x칸 , New j축으로 y칸) 간 위치의 벡터가 되는 이유 ? 처음에는 세계 자체의 변화에 너무 충격 받아 이유와 증명까지는 생각을 못했는데 공돌이님의 동영상과 블로그를 다시 보니 벡터 a , b 숫자 c 벡터에 T라는 행렬을 곱하는 연산 T 에서 T(a+b) = T(a) + T(b) T(ca) = cT(a) 선형연산자라는 이 법칙이 성립함을 증명하는 과정 이 증명과정 속에 (벡터에 행렬을 곱하면 벡터가 속한 세계 자체가 변하는 이유가) 있더군요 증명과정을 자세히 보니 (x,y) 벡터에 행렬을 곱했다고 하지만 (x,y) 벡터 자체가 (1,0)벡터와 (0,1) 벡터의 선형결합으로 이루어져 있다는 벡터의 본성상 (x,y) 벡터에 행렬을 곱했다고 해도 본질적으로는 (1,0)벡터와 (0,1) 벡터에 T행렬을 곱한 것이고 x벡터는 xT(1,0) y벡터는 yT(0,1) 되어서 변화된 세계의 기저벡터라는 배에 올라타 있는 결과로 원래 (x,y) 벡터가 { xT(1,0) , T(0,1)} 이렇게 위치가 변화된 것이다 라는 비밀이 동영상과 블로그의 선형연산자 증명 속에 다 있더군요 세계 자체가 변한다는 비밀이 5개의 애니메이션 속에 있고 그 비밀의 이유는 행렬에서 선형연산자가 성립하는 것을 증명하는 과정 속에 있었습니다 그 증명을 이해하려면 행렬계산에 대한 기본은 있어야겠더라구요 이 동영상과 블로그는 선형대수학 책 1권 이상의 가치같아요 선형대수학의 급소와 심장을 강타한 느낌입니다 행렬에서 T(a+b) = T(a) + T(b) T(ca) = cT(a) 선형연산자가 성립한다는 것의 뜻이 행렬은 단순히 특정벡터를 바꾸는 정도가 아니라 그 벡터가 속한 세계 자체를 바꾼다 엄청난 비밀이 있더라구요 (x,y) 벡터 자체가 (1,0)벡터와 (0,1) 벡터의 선형결합으로 이루어져 있다는 벡터의 본성 그것이 선형연산자 성립 증명에 쓰이던데 선형결합 자체가 중요한 이유도 알았습니다 이 동영상과 블로그는 선형대수학의 고전입니다 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
와우... 정말 제대로 파악하셨네요 ^^~ 선형 변환과 관련된 사소해보이지만 중요한 증명입니다. 특히 선형성은 진짜 공학관련 수학 어디에서라도 정말 정말 널리 쓰이는 성질이고 한번 제대로 알아두게 되면 다른 분야에서도 유용할겁니다 ^^ 말씀하신대로 이 영상들의 분량은 어느정도의 선형대수학 교과서 한 권 정도는 거뜬히 될 것 같습니다. 어느 부분들은 교과서 범위를 훨씬 넘는 것도 있을 것입니다. 제 나름대로 열심히 공부한 것인데 제대로 받아들여 주시니 너무 감사하네요 ^^
블로그에 올라와있는 "기저의 변환" 포스팅을 보고 질문드려요. 새로운 기저 (1, 1), (-1, 1)를 통해서 벡터 (2,2)를 표현하면 (2, 0)이 된다고 설명해주셨는데 여기서 설명해주신대로라면 새로운 기저로 만든 행렬 [ (1, 1)^T (-1, 1)^T ] x [ (2, 2)^T ] 를 통해 = [ (0, 4)^T ] 가 나와야 하는 거 아닌가요? 헷갈리네요..
해당 내용에 대해서는 제 블로그 페이지의 식 (12)가 말해주고 있습니다. 표준좌표계에서 좌표 (2,2)를 새로운 기저로 표현한다면 식 (8)과 같이 k1b1 + k2b2가 되어야 하는데, 우리가 알고 싶은 것은 k1, k2이므로 결국 [ (1, 1)^T (-1, 1)^T ] x [ (2, 2)^T ]가 아니라 inv( [ (1, 1)^T (-1, 1)^T ]) x [ (2, 2)^T ]를 생각해야 합니다. (여기서 inv는 역행렬입니다.) 조금만 생각해봐도 새로운 기저 중 첫 번째 기저벡터 (1,1)에 곱하기 2를 하면 (2,2)가 됩니다. 표준 기저로 표현한 (2,2)를 새로운 기저로 표현한다는 것은 동일한 위치를 표현하기 위해서 새로운 기저가 얼마만큼이나 필요할지를 서술하는 것이라고 보면 될 것 같습니다. 그리고 새로운 기저를 통한 좌표계에서 어디에 위치하는지를 구한다는것이 맞습니다. 기저 변환은 내용이 엄청 헷갈리기 때문에 기하학적으로 잘 생각해보시면 좋을 것 같습니다 ^^~
안녕하세요 ㅎ 블로그에서 사람들이 좀 더 쉼게 시뮬레이션을 했으면 하는 마음에 js까지 손대게 되었네요 ㅎㅎ js좋은 언어인건 맞는 것 같습니다 ㅎ 목적에 따라 어떤 언어를 쓰실지 생각하시면 더 좋을 것 같습니다 ㅎ MATLAB은 그 용도가 또 다르거든요 ㅎ 봐주셔서 감사합니다 ^^
![[#2024MAMA] G-DRAGON - 무제(Untitled, 2014)+POWER+HOME SWEET HOME+뱅뱅뱅+FANTASTIC BABY | Mnet 241123 방송](http://i.ytimg.com/vi/Ox29z5Nf1Uk/mqdefault.jpg)
그래프로 시각화하신 것을 하이라이트로 영상 처음에 살짝 보여주고선 본론에 들어가는 건 어떨까요? ㅎㅎ 늘 응원합니다!
와... 그거 진짜 괜찮은 아이디어인데요...? 그 말씀 듣고보니 그런 편집 방식도 좋을 것 같네요 ~~ 다음번엔 한번 시도해보겠습니다 !! ㅎㅎ
여기 뭐지....?
두분을 한번에 뵙네요ㅎㅎ두 분 다 항상 감사합니다!!
오늘도 아침에도 신선한 기운을 받고 일합니다. 단계별로 들으니 책한권을 순차적으로 보는 것처럼 좋습니다.책은 직관적이해를 한번에 하기 어렵고 보통 동영상은 단편적 주제라 연결이 어려워서 숲을 보기어려운데, 선생님이 해주시는 영상들은 숲과 나무를 다 볼수있어서 참 좋습니다. 평안한 하루 되세요.
alwaysmarine님 안녕하세요 :) 오늘도 영상 재밌게 봐주셔서 감사합니다. 말씀해주신 것이 제가 영상에서 추구하고자 하는 것들이라 굉장히 말씀해주신게 뿌듯합니다. 말씀해주신대로 최대한 쉽게(설명할 때는 쉽게 알려주는 것이 최고의 미덕인 것 같습니다...) 그리고 큰 그림을 놓치지 않게 이 두가지에 초점을 맞추려고 노력하는데, 큰 그림에 대해서 잘 볼 수 있게 해드린 것 같다고 하시니 저로썬 정말 뿌듯합니다 ^^ 오늘도 좋은 하루 되십시오.
머릿속에 흩어져있던 개념들이 한곳으로 정리되는 기분이네요.. 이런 훌륭한 강의를 무료로 볼 수 있게 해주셔서 감사합니다.
감사합니다
기계과 공부하는데 많은 도움이 됩니다
도움 되었다니 다행입니다 ^^~
항상 내용을 깔끔하게 정리해주셔서 감사드립니다~~
아유 ^^~ 감사합니다 ㅎㅎ
항상 찾게되는 채널, 오늘도 감사합니다. 즐거운 하루되세요!
매번 댓글 많이 달아주시니 감사합니다 ^^~
행렬과 선형변환 이라는
동영상제목을 보고
행렬로 점을 이동시키는 변환에 관해
약간 알길래
특별한 것은 없으리라 예상했습니다
그런데
5개 정도의 애니메이션을 보고
뭔가 예감이 이상해서
블로그에도 가 보고 집중해서 봤습니다
선형변환이라는 이 행렬변환이
일반상식과는 완전히 다르더군요
보통
변환이라면 특정행렬을 곱해서
한점을 다른 점으로 이동시키는
이동규칙이라고 생각해 왔는데
동영상과 블로그를 자세히 보니
배후에 감추어진
거대한 심층적 세계가 있었습니다
겉으로 보기에는
어떤 점에 행렬을 곱해서
그 점이
다른 곳으로 위치를 이동한 것같지만
근원적인 본질은
행렬을 곱해줌으로서
그 점이 속해 있는 세계 자체가 (좌표계)
완전히 변해 버려서
그 결과로서
(원래의 세계의 관점에서 볼 때)
그 점이 다른 곳으로 이동해 버린
결과가 되는
배후의 원리 법칙이 있었습니다
5개의 애니메이션을 보고
이 기막힌 사실을 알고 나서는
기가 막혀 어안이 벙벙했습니다
원래의 좌표계의
가로 1칸 세로 1칸으로 된
모든정사각형이
변화된 세계에서는
각도도 회전해 있었고
가로 길이도 변하고 세로 길이도 변한
모든
같은 크기의
평행사변형이 되어 있었습니다
원점 옆에 붙어 있는
그 평행사변형 하나만 찾아내면
변화된 세계 좌표계도 알 수 있다는
생각이 들어
곰곰이 생각해 보니
원래의 세계의
(1,0) , (0,1)
이 두 녀석에 행렬을 곱해 이것들이
어디로 갔나만 알아내면
그 평행사변형을 찾아낼 수 있다는
생각이 들어
해 보니까
역시 그 평행사변형도 찾아지고
그 결과 당연히
변화된 세계 좌표축도 찾아지고
원래 세계에 있던 그 점이
변화된 세계에서 저쪽에 가 있는
근본원리가 납득이 되었어요
아 ~~~
이래서 기저, 기저, 기저 하면서
(1,0) , (0,1) 벡터를 그렇게 강조하고
(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)
벡터를 그렇게 강조하는구나 !!!!!
행렬의 곱에 의해
그 점이 이동했다고 하면
그 점의 이동 하나만 눈에 보이지만
행렬의 곱에 의해
그 점이 속한
세계 자체가 변했다고 하면
무수히 수많은 무한개 점들의 이동이
눈에 보이게 된다 !!!!!!
너무 충격을 받아
다른 것을 할 수가 없었어요
3차원적 사고만 하는 사람은
죽는 순간까지
4차원적 사고를 못한다는 생각이 들었고
선형대수학에 싫증을 느끼게 하는
너무나 관념적이고 재미 없는
기저벡터라는 것에
순식간에 친밀감이 왔습니다
이 동영상에서 느낀 생각을 가지고
텐서라는 세계에
들어갈 수도 있다는 생각이 들었습니다
동영상을 보니
선형변환의 선형연산자에 관해서도
기하학적으로 생각할 수 있었어요
감동이 아니라 충격입니다
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
안녕하세요 ^^ 너무 재밌게 봐주시는 것 같아 제가 정말 기분이 업 업 됩니다 ㅎㅎ
노성용님 같으신 분 덕분에 제가 하나라도 더 가르쳐드리고 싶다는 생각이 계속 들어 영상 하나 올리고 텀을 두지 않고 싶을 정도로 유튜브 작업을 계~속 하고 있네요 ! ^^
말씀하신대로 행렬이 해주는 일은 사실 벡터(즉, 점) 하나의 변환이 아니라 벡터 공간 사이의 mapping입니다. Gilbert Strang 교수님의 fundamental theorem of linear algebra가 말하는 것이 바로 그것입니다. (물론 이 이론에는 더 넓은 범위의 개념들이 매우매우 많이 추상적으로 녹아들어 가 있지만요...)
앞으로 다루게 될 내용들도 기대해주세요 ^^ 감사합니다.
그래픽스를 하는 사람들은 반드시 알아야 하는 내용을 너무 쉽게 설명해주셨네요. 이걸 알기까지 엄청 힘들었는데 이렇게 알기 쉽게 설명하시다니... 복받으실 껍니다.
Lazer님 안녕하세요 ^^ 아마 컴퓨터 그래픽 쪽이나 게임쪽 관련 분야에 계신 것 같습니다 ㅎ 매번 재밌게 봐주셔서 감사합니다. 저도 선형변환이라는 것을 처음 알게 되었을 때 진짜 충격 그 자체였었는데... 이걸 이제 제가 정리해서 영상으로 만든다고 하니 이것 나름대로 또 감동입니다 ^^
@@AngeloYeo 대단하신것 같아요 ㅎㅎ 많이 배워갑니다. 저는 GPU쪽 관련된 일을 하고 있고요. GPU를 가장 잘쓰고 있는 분야가 그래픽스 분야라서 예전에 이쪽을 연구했습니다. 그래픽스 책에서 설명하는 결론적인 행렬 연산으로도 충분하지만, 실제로 자유로운 응용이 가능하기 위해선 오늘 공돌이님이 설명해주신 내용들이 머리속에서 자유자재로 움직여야 하죠 ㅎㅎ. 제가 대학 때 이 분야를 배울때 교수님이 공돌이님처럼 설명해주셨다면 정말 좋았겠다는 생각이 듭니다.
제 채널에 와주시는 분들이 대단하신 분들이 많다는걸 새삼 또 한번 느끼네요 ^^ㅎ 저도 학부때 이렇게만 배웠더라면 하는 마음에 영상을 만들기 시작했던 것도 컸던 것 같습니다 ㅎㅎ 항상 댓글 감사합니다 :)
많은 도움 받고 있습니다. 궁금한게 생기면 채널에 거의 다 있더라구요...설명도 자세하고 직관적인게 진짜 좋습니다
항상 감사합니다!🙏
안녕하세요 :) 제 영상들이 도움이 된다니까 정말 기분 좋네요 ㅎㅎ 다행입니다 ㅎㅎ 댓글 감사드려용 ㅎㅎ 좋은 하루 되세요 ^^~
중고시절 수학 혹은 지구과학을 칠판에 수식을 그리며 설명하는 것을 애니메이션으로 볼수 있도록 교육이 진화하면 좋겠다 싶었는데, 이제 이렇게 js로 구현하여 올려 주시니 오랜된 숙제가 풀린것 같습니다. 역시 선행변환의 이해가 10배 이상 명확해 지는 느낌입니다. 올려주신 소스 감사드리며 한번 상세히 살펴 볼려구 합니다.
감사합니다!
이런 좋은 강의 올려주셔서 정말 감사합니다!!!
감사합니다.
후원을 두 번씩이나... 정말 감사합니다 😊 커피 잘 마시겠습니다 ☕️
오 뭔가 알것같습니다..... 완전히는 아니지만 저한테 필요한 만큼은 이해가 된것같아요!! 그리고 내용을 블로그에 올려주시는것도 완전 도움돼요!!! 출력해서 나름대로 정리하면서 보는데 뭐였지 싶을때 보면 좋더라구용
ㅎㅎ 필요한만큼 이해하시면 충분합니다. 블로그에 글 올리는 것이 글로 정리하려면 상당히 힘들고 지루한데, 그래도 도움 되신다는 분들이 많이 계셔서 다행인 것 같습니다 ^^
안녕하세요, 갑자기 문득 떠오른 생각 때문에 찾아와서 댓글을 답니다. 덕분에 행렬이 선형변환이라는 점을 재밌게 이해하고 있었는데, 생각해보니 이는 기저의 갯수와 행렬의 차원이 같을 때만 해당하는 설명이 아닌가 합니다. 동차좌표계(Homogeneous Coordinate)에서는 3x3에선 행렬의 곱 하나로 표현할 수 없던 shifting 즉, 병진운동(Translation)을 차원 하나를 늘려 4x4 행렬로 표현합니다. 즉, Affine Transformation으로 확장되게 됩니다.
감사합니다~!!
지금은 역사속으로 사라진 기하와 벡터의 1차변환(회전파트)의 원리를 명징하게 증명해주는 영상인 것 같습니다. 생각해보면 전전 교육과정까지는 행렬을 가르쳤고, 이과에서는 1차변환까지도 가르쳤더랬죠. 다들 공대 가고 싶어 하는데, 행렬을 도대체 왜 뺀지는 잘 모르겠습니다. 이렇게나 중요하게 쓰이는데 말이죠. 심지어 미적분 과목 선택한 학생들은 벡터마저 배우지 않는다고 하더라구요... 여튼 영상 굉장히 잘 봤습니다. 큰 도움 되고 있어요!
행렬을 왜 뺐는지 모르겠다는 말에 격하게 공감합니다. 요즘 대세가 어려운 공부들은 제하게 해주자 하는 사조인 것 같습니다. 제가 보기엔 필요 과목들을 빼버리는 것이 아니라 줄세우기 식이면서 빠르게 푸는 것만을 강요하는 시대착오적 시험 방식이 바뀌어야 한다고 생각하는데요. 아무튼 벡터와 행렬 부분이 빠져버린다니, 정말 시대착오적인 사고인 것 같습니다.
아무튼 선형대수는 공학 분야를 연구하려면, 아니면 데이터를 다루고자 한다면 무조건 알아야 하는 부분이기에 말씀하신대로 정말 정말 중요하지요.
와 진짜 도움 많이됐습니다..감사합니다
재밌습니다 감사합니다!
오민택님 ^^ 재밌게 봐주셔서 감사합니다 :)
가볍게 몇번 보고 말 동영상이 아니고
아직도
내가 모르는 그 무엇이 있다는 생각에
다시 봤습니다
벡터에 행렬을 곱하면
벡터가 속한 세계 자체가 변하는 이유 ?
원래 i축, j축 세계에서의
(x, y) 벡터가
행렬로 변화된 New i축 , New j축
세계에서
(New i축으로 x칸 , New j축으로 y칸)
간 위치의 벡터가 되는 이유 ?
처음에는
세계 자체의 변화에 너무 충격 받아
이유와 증명까지는 생각을 못했는데
공돌이님의 동영상과 블로그를 다시 보니
벡터 a , b
숫자 c
벡터에 T라는 행렬을 곱하는 연산 T 에서
T(a+b) = T(a) + T(b)
T(ca) = cT(a)
선형연산자라는 이 법칙이 성립함을
증명하는 과정
이 증명과정 속에
(벡터에 행렬을 곱하면
벡터가 속한 세계 자체가 변하는 이유가)
있더군요
증명과정을 자세히 보니
(x,y) 벡터에 행렬을 곱했다고 하지만
(x,y) 벡터 자체가
(1,0)벡터와 (0,1) 벡터의 선형결합으로
이루어져 있다는 벡터의 본성상
(x,y) 벡터에 행렬을 곱했다고 해도
본질적으로는
(1,0)벡터와 (0,1) 벡터에 T행렬을
곱한 것이고
x벡터는 xT(1,0)
y벡터는 yT(0,1)
되어서
변화된 세계의 기저벡터라는
배에 올라타 있는 결과로
원래 (x,y) 벡터가
{ xT(1,0) , T(0,1)}
이렇게 위치가 변화된 것이다
라는 비밀이
동영상과 블로그의
선형연산자 증명 속에 다 있더군요
세계 자체가 변한다는 비밀이
5개의 애니메이션 속에 있고
그 비밀의 이유는
행렬에서 선형연산자가 성립하는
것을 증명하는 과정 속에 있었습니다
그 증명을 이해하려면
행렬계산에 대한
기본은 있어야겠더라구요
이 동영상과 블로그는
선형대수학 책 1권 이상의 가치같아요
선형대수학의
급소와 심장을 강타한 느낌입니다
행렬에서
T(a+b) = T(a) + T(b)
T(ca) = cT(a)
선형연산자가 성립한다는 것의
뜻이
행렬은
단순히 특정벡터를
바꾸는 정도가 아니라
그 벡터가 속한 세계 자체를 바꾼다
엄청난 비밀이 있더라구요
(x,y) 벡터 자체가
(1,0)벡터와 (0,1) 벡터의 선형결합으로
이루어져 있다는 벡터의 본성
그것이
선형연산자 성립 증명에 쓰이던데
선형결합
자체가 중요한 이유도 알았습니다
이 동영상과 블로그는
선형대수학의 고전입니다
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
와우... 정말 제대로 파악하셨네요 ^^~ 선형 변환과 관련된 사소해보이지만 중요한 증명입니다. 특히 선형성은 진짜 공학관련 수학 어디에서라도 정말 정말 널리 쓰이는 성질이고 한번 제대로 알아두게 되면 다른 분야에서도 유용할겁니다 ^^
말씀하신대로 이 영상들의 분량은 어느정도의 선형대수학 교과서 한 권 정도는 거뜬히 될 것 같습니다. 어느 부분들은 교과서 범위를 훨씬 넘는 것도 있을 것입니다. 제 나름대로 열심히 공부한 것인데 제대로 받아들여 주시니 너무 감사하네요 ^^
@@AngeloYeo 엄청난 충격과 엄청난 실속이었습니다 ^^ !!!!!!
공돌짱 고마워
혹시 궁금한데 3차원 좌표로 이루어진 삼각형넓이는 넓이 공식으로 답이안나오던데 이유가있나요?
너무 잘 배워서 구독누르고 갑니다.^^
도움 되었다면 다행입니다 😁
@@AngeloYeo // 완전 도움되었습니다. 너무 감사합니다.
아 이건못참지
이거 유행어인가요? ㅋㅋㅋ 감사합니다 !!
1. 퓨리에 변환공식 설명할때 하도 벡터 벡터 하고 행렬 행렬 해싸서
2. 도저히 모른채하고는 찜찜해서 안되게ㅛ다.
3. 퓨리에 하는 참에 제대로 한번 짚고 넘어가보자. 23.09.03(일)
블로그에 올라와있는 "기저의 변환" 포스팅을 보고 질문드려요.
새로운 기저 (1, 1), (-1, 1)를 통해서 벡터 (2,2)를 표현하면 (2, 0)이 된다고 설명해주셨는데
여기서 설명해주신대로라면 새로운 기저로 만든 행렬 [ (1, 1)^T (-1, 1)^T ] x [ (2, 2)^T ] 를 통해 = [ (0, 4)^T ] 가 나와야 하는 거 아닌가요?
헷갈리네요..
새로운 기저로 (2,2)를 "표현"한다는 것이지 기존좌표계에서의 (2, 2)벡터가 새로운 기저를 통한 좌표계에서 어디에 위치하는지 즉 선형변환된 위치를 구한다는것이 아니었다는 것이 제가 오해한 부분인가요?
해당 내용에 대해서는 제 블로그 페이지의 식 (12)가 말해주고 있습니다.
표준좌표계에서 좌표 (2,2)를 새로운 기저로 표현한다면 식 (8)과 같이 k1b1 + k2b2가 되어야 하는데, 우리가 알고 싶은 것은 k1, k2이므로 결국 [ (1, 1)^T (-1, 1)^T ] x [ (2, 2)^T ]가 아니라 inv( [ (1, 1)^T (-1, 1)^T ]) x [ (2, 2)^T ]를 생각해야 합니다. (여기서 inv는 역행렬입니다.)
조금만 생각해봐도 새로운 기저 중 첫 번째 기저벡터 (1,1)에 곱하기 2를 하면 (2,2)가 됩니다.
표준 기저로 표현한 (2,2)를 새로운 기저로 표현한다는 것은 동일한 위치를 표현하기 위해서 새로운 기저가 얼마만큼이나 필요할지를 서술하는 것이라고 보면 될 것 같습니다.
그리고 새로운 기저를 통한 좌표계에서 어디에 위치하는지를 구한다는것이 맞습니다.
기저 변환은 내용이 엄청 헷갈리기 때문에 기하학적으로 잘 생각해보시면 좋을 것 같습니다 ^^~
@@AngeloYeo 아 동일한 위치를 나타내기 위한거였군요!! 이해됐습니다 역행렬을 통한 역선형변환도 이해됐습니다.
답변 성의에 다시한번 감사드립니다 ㅠ
예전 영상에서는 맷랩을 쓰셨던 것 같은데 js를 쓰시는거 보니 역시 js가 대세인가 싶네요..ㅎㅎ 강의 감사합니당
안녕하세요 ㅎ 블로그에서 사람들이 좀 더 쉼게 시뮬레이션을 했으면 하는 마음에 js까지 손대게 되었네요 ㅎㅎ js좋은 언어인건 맞는 것 같습니다 ㅎ 목적에 따라 어떤 언어를 쓰실지 생각하시면 더 좋을 것 같습니다 ㅎ MATLAB은 그 용도가 또 다르거든요 ㅎ 봐주셔서 감사합니다 ^^
나중에 텐서곱에 관해 다뤄주실수 있나요?
텐서 요청하시는 분들이 정말 많네요... 제가 텐서에 대해서는 실무에서 쓸 일이 없다보니 저도 추가로 공부를 해야하는데요. 그러다보니 바로 알려드리겠다 이렇게 보장드릴 수 있을만한 지식이 부족하네요 ㅠ.ㅠ
오호 재밌는걸 하고 계시군요.
자바 스크립트입니까??
넵 자바스크립트이고 p5.js로 그렸습니다
@@AngeloYeo 흥미로운걸 하고계시네요.
파이팅입니다 ㅎㅎ
강의 감사합니다~
T(x,y)=(y,x)선형변환 맞는거죠?
네 맞습니다... 어제 달아주셨던 댓글도 오늘 바빠서 아직까지 못달아드렸는데 지우셨네요 ㅠ
해당 경우는 [0, 1; 1 0 ]행렬에 해당합니다. 어제 주셨던 질문도 마찬가지로 3x3행렬을 구해놓고 선형성을 확인하면 되는 문제입니다~
기저가 선형변환되는 것이긴 한데, 기저가 변환된 새로운 것은 서로 orthogonal한 것은 아니기 때문에 기저라고 부르면 안되는 것 아닌가요? 기저가 변환된 새로운 벡터의 선형조합이라는 것이 맞는 얘기 아닌가요?
직교하지 않아도 basis라고 불러도 됩니다
아래의 페이지를 참고해주세요.
angeloyeo.github.io/2020/12/07/change_of_basis.html
@@AngeloYeo 아 빠르게 답변주셔서 감사합니다. 무슨 의미인지 잘 배웠습니다. 감사합니다.
값을 변환한게 아니라 기저를 변환한다고 이해하나요?
네. 정확합니다. 그렇게 이해할 수도 있습니다
죄송한데, 마지막에 (1,1) vector를 (1,2)에 Projection 했는데 화면에서 사라져서요.... (1,2) 라인 어딘가에 찍혀야할거 같은데 아닌가요?
죄송한데 어떤 방식으로 어떤 코드를 사용하셨다는건지 알 수 있을까요^^; 제가 올린 코드를 쓰셨다는 말씀이신건지... 어떤 코드를 쓰신건지 궁금하네요
아 ㅎ 아뇨 코드를 쓴건 아니고
올리신거에서 빨강점이 오른쪽위로 쑥 사라지는걸 보고 말씀드렸어요.
아 물론 그 벡터 연장선 위에 있게 되는데 좌표가 (5, 10)이라 화면 밖으로 벗어나게되서 그렇습니다 ㅠㅠ
(1,1)을 (1,2)에 projection하면 원점에서 (1,2)벡터 사이 어디엔가 점이 찍힐거 같아서 질문드렸어요.
아.... projection 결과가 5,10인가요 ???
제가 공부좀 더 하고 질문드려야겠네요...^^;;;
전 원점에서 1,2벡터라인 사이 어딘가라고 생각했었거든요. 감사합니다
대학교수님인가요? 석사는 따신것같은데 박사도 따셨는지
회사원입니다
@@AngeloYeo 대박 ㅋㅋ교수하시지 아깝다
3Blue1Brown 볼 필요 없네 이게 더좋군
그렇게 까지 말씀해주시니 감사하네요 ^^;
감사합니다.