1. 세상에 드디어 퓨리에 변환공식 의미를 알았다. 6:50 2. 이게 궁금했던거다. 도데체 이물건을 어떻게 쓰는것인고!? 말이다. 3. 즉 시간신호 X(t)를 퓨리에 변환공식 에 넣었더니 주파수 신호로 바껴서 나온다는 거였던것이다! 4. 그리고 이 시간신호는 일종의 순시값이었던 것이다. 5. 흔히 전기에서 나오는 순시값은 싸인파나 코사인파만 나오지만 여기서 나오는시간신호 파형은 여러가지 파형이 섞인 그야말로 현실파형인 것이다. 엄연히 진폭이 있고 각속도가 존재하는 순시값인것이다. 일단 여기까지 적어놓고 다시 보러 오자! 23.09.03(일) 6. 도데체 퓨리에 행렬은 왜 알아야 할까? 7. 난 퓨리에 변환공식을 어떻게 유도했는지가 궁금한데 여기서는 한술더떠서 그 퓨리에 변환공식을 갖고 퓨리에행렬을 유도한다 ㅠㅠ 8. 계속 듣고 있기가 힘들구나. 일단 여기까지만 듣고 다시 돌아오자. 23.09.03 (일) 8.5. 중간에 고비가 있었다. 하지만 순간 이런생각이 들었다. 퓨리에 변환식을 자꾸 행렬로 접근하려는 이유가 각각의 시간신호를 다양한 비교기준신호와 비교하려면 행렬이라는 형식이 가장 적합하기 때문에 행렬로 접근하는게 아닐까 말이다. 그래서 어려운데도 꾹꾹참고 들었는데 빛이 들어왔다. 9. 세상에 다 이해했다. 10. 들어오는 시간신호가 행벡터행렬이고 비교기준이 되는 정현파가 열벡터행렬이었던것이다. 11. 나는 퓨리에변환공식에 들어있는 각속도w가 어떻게 들어온건지가 관심사였다. 12. 이제보니 이게 행렬이 될수밖에 없었던 이유가 열벡터행렬이 각속도w를 계속 변하게 하면서 만든 비교기준 주파수인데 이걸 시간신호로 들어온 주파수인 행벡터행렬과 비교를 해야 되기 때문에 행렬형식이 가장 적합했던 것이다. 13. 이렇게해서 내적을 구하면 이둘간의 연관성을 알수있게 되는 것이다. 14. 또한 내가 제일 궁금했던 퓨리에 변환식에 왜 각속도W가 들어가 있는지도 알게됐다. 15. 즉 싸인파와 코싸인파의 결합인 복소수좌표인 복소수형식은 들어오는 시간신호를 싸인파와 코사인파로 한번에 비교할 수 있게 해준다. 16. 그리고 결정적으로 e^(iwt)에서 W를 다르게 하면 무한의 싸인파와 코사인파의 조합을 만들어낼 수 있다. 17. 즉 열벡터행렬은 각속도w를 다르게한 싸인파와 코사인파의 결합이었던 것이다. 18. 그리고 이 각각의 싸인파와 코사인파는 그 각각이 순시값이었던 것이다. 일정한 각속도W를 갖는 순시값말이다.! 19. 드디어 나의 퓨리에 변환식 탐구여행의 피날레가 보이고 있다. 20. 정말 이 영상이 내가 궁금해 하던 바로 핵심을 보여주었다. 21. 싸인파와 코사인파의 원안에서 각속도에 따른 원안의 위치를 이렇게 개별적으로 보여주지 않았다면 아마 나는 이렇게 확신을 얻지는 못했을 것이다. 너무 감사하다. -2ㅠ/8의 위치와 의미까지 말이다! 22. 드디어 삼각함수에서 시작해서 순시값을 거쳐서 퓨리에 변환까지 각속도 여행이 거의 막바지에 이르렀다. 23. 벡터내적의 의미한 좀더 파보자. 24. 왜 도데체 직각이면 내적이 0이 되는지 아직 피부에 와닿지 않기 때문이다 25. 내가 볼땐 이 영상의 퓨리에 변환식 행벡터행렬과 열벡터행렬 풀이과정을 이해하려면 전기에서 순시값과 오일러 공식을 이해한게 큰 도움이 된것같다. 26. 물론 이 영상에서 그걸 기반으로 거의 떠먹여주듯이 그림으로 보여줬기 때문에 이해할수 있었던 것은 두말할 필요없다!23.09.09(토)
좋은 영상 감사합니다. 영상 중에 궁금한 점이 생겨 질문드립니다. 이산 신호의 길이를 N으로 잡았을 때, 주파수 성분의 길이도 N으로 잡는 이유가 뭔가요? 시간 성분의 벡터가 n차원 벡터라고 하더라도 굳이 주파수 성분의 벡터도 n차원으로 표현할 필요는 없다고 느껴집니다. 수집한 신호가 n보다 더 높은 주파수 성분을 포함할 수도 있지 않을까요? 이제 막 푸리에 변환을 공부하느라 맞는 질문인지는 모르겠네요..
1. 궁금한게 있습니다. 2. 푸리에 행렬에 시간신호벡터를 곱해서 주파수 벡터를 만든다고 하셨는데 3. 여기서 푸리에 행렬은 각 값들이 모두 복소수인데 4. 그럼 시간신호벡터와 주파수 벡터값들도 복소수 인가요? 5. 아니면 그냥 실수값이 되나요? 6. 예를 들어서 시간신호를 음파라고 했을때 그 값은 시간에 따른 전압값이 될 것입니다. 7. 그럼 그게 예를 들어서 1V~10V 사이를 왔다 갔다 한다고 했을때 8. 10개시점에서 포착한다고 했을때 1,3,2,4,5,3,6...2V 이런 식으로 될텐데 9. 이런 실수값 예를 들어 어느한시점에서의 시간신호성분 5V하고 퓨리에 행렬 복소수 값을 곱한다는 얘기인가요? 10. 퓨리에 행렬값은 그 내부를 설명해주시니까 이제 이해가 됐는데 11. 그럼 시간신호성분 벡터와 주파수성분벡터는 정체가 뭔지를 모르겠습니다. 23.10.14(토)
시간 도매인 신호는 실수 일 수도 있고 복소수일 수도 있습니다. 어쨌거나 실수 시간 신호에 대해 푸리에행렬을 곱하는 방식으로 푸리에 변환을 하면 주파수 벡터는 복소수 벡터가 나오게 됩니다. 복소벡터가 나오게 되더라도 복소수의 크기만을 분석하거나 phase 만을 분석하므로 마치 실수 벡터를 다루는 것 처럼 분석하게 됩니다. 이 부분은 컴퓨터로 실습해보아야 더 잘 이해할 수 있을 것 같습니다. 기회가 되신다면 FFT 의 예제들을 매트랩 등에서 실습해보시는 걸 추천드립니다.
@@AngeloYeo 이렇게 된거였군요.. 이제야 감이 좀 옵니다. 주파수벡터가 복소수 벡터였군요... 그게 궁금했습니다. 사실 제가 뭘 모르는지 몰라서 물어볼수가 없었는데 제가 모르던것은 그럼 시간신호벡터와 주파수벡터는 복소수냐는 거였습니다. 그리고 말씀하신대로 그다음 질문은 그럼 복소수 주파수벡터를 어떻게 쓰는거냐? 였는데 복소수 크기 또는 위상만을 쓰는거였군요... 그럼 결국 실수값 쓰는것과 똑같은 의미가 되겠네요.. 이것 때문에 너무 답답해서 혼자 아무리 생각해도 답이 안나왔는데 이제야 방향을 잡았습니다. 감사합니다. 그리고 안그래도 "수학을 읽어드립니다"에서 매트랩 강조해서 매트랩 해보려고 합니다. FFT를 정말 돌려봐야 정말 감이 올것 같애요. 매트랩 공부를 어떻게 해야 할지 몰라 저번에 매트랩 사이트가서 공부하는 영상(매트랩 기초 공짜로 배우는 법) 보여주셨는데 그것과 함께 공부할 책 추천할 만한 것 있으면 소개 부탁드려도 될까요? 차근차근 나가는 것도 좋지만 이게 도데체 어떤건지 전체를 볼수 있는 그런 감잡을 수 있는 책같은게 있으면 싶어서요. 어제 질문보내고 컴퓨터 켜자마자 이것부터 확인했는데 답글이 달려있어서 얼마나 행복하던지.. 이젠 한고비 넘어서 또 나가 보겠습니다. 감사합니다. 23.10.15(일)아침
길고도 긴 과정을 거쳐서 푸리에계수의 허수지수표현을 이끌어내는 과정을 책에서 보기는 봤는데 막상 그 허수지수가 기하학적으로 무엇을 의미하는지 이해하기에는 지수표현이 너무 복잡해서 도저히 친근감이 안 갔는데 공돌이님 동영상의 자세한 설명과 단위원과 사인,코사인 그래프 세 개를 동시에 그것도 위에서 아래로 입체적으로 나열한 그림을 보니 감이 잡힙니다 (화면캡처해서 저장했음 ^^) 완전한 이해를 위해서는 더 많은 공부를 해야겠지만 이만큼 친절하게 또 아름다운 디자인으로 설명한 영상이나 책을 다른 곳에서는 못 본 것 같습니다 허수지수 표현유도과정까지 다루려면 오히려 너무 복잡해져서 배우는 사람에게 역효과만 날텐데 (그것까지 이해하려면 많은 과정이 있음) 이라는 말로 오히려 의도적으로 생략하는 설명이 훨씬 좋은 교수법이라는 감이 왔어요 미분도 가르치는 사람은 미분계수의 뜻과 활용에 포인트를 둬야지 처음부터 도함수의 정의에 의한 엄밀한 미분 설명에 너무 포인트를 두면 배우는 사람에게는 도리어 역효과인 경우가 많더라구요 가르치는 사람은 단순함으로 접근해서 배우는 사람의 두뇌부담을 최소화하고 오히려 배우는 사람이 많은 생각을 해야 하는데 가르치는 사람이 처음부터 복잡하게 너무 많은 것을 가르치려 해서 배우는 사람의 두뇌에 과중한 부담을 주고 배우는 사람을 좌절시키는 경우가 많더라구요 이 동영상을 3번 보니 많은 것을 느끼게 됩니다 워낙 어려운 분야라 배우는 사람도 10번 이상 보겠다는 의지와 인내가 있어야 할 것 같고 실제 10번 이상 볼 작정입니다 ^^ 중요한 동영상 감사합니다 ㅎ ~~~~
노성용님 ^^ 저도 푸리에 변환을 너무 어렵게 시작해서 그 마음 백분 이해합니다 ㅎㅎ 저두 여기까지 이해하는데 6년... 정도 걸린 것 같네요 ㅎㅎ 이해한 바가 짧은 영상안에 잘 담겼는지 모르겠습니다. 영상고 캡쳐해가면서 열공하신다니 기분이 좋네요 ㅎㅎ 영상에 들어있는 사진들은 제 블로그에도 다 들어가있는 것들이라 블로그 들어가셔서 참고해보셔도 좋을 것 같습니다😁😁 매번 장문의 댓글 너무 감사드려요 🥰
@@AngeloYeo 몇 가지 느낀 점과 질문할 것을 얘기하고자 합니다 전에 푸리에변환 공부를 하다가 푸리에계수의 허수 지수 표현 유도까지 보고 "이렇게 허수지수로 표현해서 어떤 유익이 있나 ? 기껏 허수지수로 표현을 해 놔도 특별한 실익은 없지 않나 ?" 그게 가장 궁금했는데 나중에 알고 보니 그 허수지수함수와 시간함수를 곱해서 적분한 적분함수가 미분방정식 풀이의 도구인 라플라스변환 , 라플라스역변환에 쓰이는 것을 보고 놀랐습니다 "결국 미분방정식 풀이를 위해서인가 ?" 그런데 "파동에서 원하는 성분을 추출하는 수식이 도대체 어떻게 어떻게 이 분야와 아무 상관도 없는 미분방정식 풀이에 사용이 되나 ? ...." 이 상호관계에 대한 궁금증은 아직 해소가 안 되고 있습니다 (이것이 궁금하고) 그리고 이 의문과는 별도로 FRFT 라고(고속푸리에변환) 푸리에변환에 관한 책 마지막에 있던데 결국 원하는 파동성분 추출은 현실적 계산에 들어 가면 공돌이님 동영상 설명에 나와 있는 수많은 x(t)∙W(t)를 합쳐서 구하는데 이 곱하기 횟수가 너무 많아서 허수 지수 표현법을 잘 활용해서 이 곱하기 횟수를 줄이는 것인데 대체적 개념은 알았는데 세부적인 것 따라가기가 힘들었고 어제 공돌이님 동영상의 허수지수표현법 설명을 보고 다시 FRFT 를 보니 약간은 더 친밀감이 갔습니다 그런데 전에 푸리에변환 허수지수표현식이 미분방정식의 라플라스변환,역변환 적분에 쓰이는 것에 큰 충격을 받아 FRFT 에 관한 의욕은 좀 약해졌습니다 공돌이님 동영상 x(t) , X(f) 가 뭔지 답답했는데 책에 있는 f(t) , G(f) .... ^^ 책마다 표기법이 달라서 ..... ㅎㅎ 어쨌든, x(t) , X(f) 뜻까지 알고 나니 선형대수학으로 푸리에변환을 해석하는 미지의 세계에 대해 눈을 뜨고 중요성도 알게 됩니다 역시 동영상을 한번 더 본 효과가 있군요 푸리에행렬이라는 새로운 세계가 이제 감이 잡힙니다 그리고 전에 올리신 라플라스방정식 동영상 이계편도함수 두개의 합은 0 된다는 라플라스방정식을 만족시는 평면적 공간의 한 지점은 동서남북 네 지점 온도의 평균이 된다 그 증명의 심오함을 보고 너무 놀랐는데 3차원 입체공간에서 이계편도함수 3개의 합은 0된다는 그 라플라스방정식은 동서남북상하 6지점 온도의 평균이라는 그 증명은 어디서 찾을 수 없을까요 ? 공돌이님 증명에 충격받아 그 분야를 확장하고픈 생각이 났어요^^ ~~ 그리고 복소함수로 라플라스방정식을 푸는 분야에 큰 관심을 가졌는데 (실력이 없어서 안으로 들어가지는 못함) 어떤 사이트 설명을 보니 복소함수로 라플라스방정식 푸는 것은 2차원 평면에 한정된 것이고 복소함수 아니라도 라플라스방정식을 푸는 이런저런 다른 방법들이 있다고 하던데 그렇다면 라플라스방정식을 푸는데 있어서 복소함수의 중요성은 그다지 크지는 않은 것인가요 ? 이런저런 궁금증이 생겼습니다 ... ;; ...
껄껄... 정말 장문의 질문 + 느낀점이시군요 ^^ 1. 복소지수로 식을 표현하여 어떤 실익이 있나? 일단 복소수로 식을 표현하면 좋은 점은 허수 i는 90도 회전을 의미한다는 내용에서부터 출발해야합니다. 좀 어려운 내용일 수도 있지만, 허수 i가 90도 회전을 의미하다보니 복소수는 더 자유로운 각도에 대한 회전을 의미하게 됩니다. 그런데, 모든 신호는 정현파의 합으로 표현될 수 있습니다. 그리고, 정현파(사인, 코사인)는 모두 원의 회전에서부터 출발하는 개념입니다. 그래서, 어떤 신호더라도 다양한 속도로 회전하는 원의 회전을 가지고 표현할 수 있다고 푸리에 해석을 다시 한번 생각할 수 있는 것입니다. 그래서, 확장되어 사용되는 개념이 페이저(phasor)입니다. 페이저는 회전 속도(즉, 주파수)가 일정한 신호의 표현에 대해 고민하여 얻은 방법이고, 복소수를 이용해 신호의 회전을 표현해줍니다. 페이저에 대해서는 제 영상 두개가 있으니 참고해보셔도 좋을 것 같습니다. (한마디로 하면 어디서부터 회전한 원으로부터 얻은 신호라고 보면 좋을까?에 대한 해석방법이라고 할 수 있는 것입니다.) 2. 라플라스 변환, 푸리에 변환은 모두 미분방정식의 풀이를 위한 것인가? 그렇다고도 볼 수 있지만, 미분방정식의 풀이에 이용될 수 있다는 것은 두 변환의 이용방법 중 하나입니다. 미분방정식의 풀이를 위해 라플라스 변환이나 푸리에 변환이 사용되는 것은 이 두 변환을 이용하면 domain이 바뀌기 때문입니다. 또, 그러다보니 발생하는 side effect로 미분에 대한 표현이 매우 간단해집니다. 미분방정식이 마치 그냥 기본적인 방정식처럼 바뀌는 것이지요. (이것에 대한 배경은 더 복잡한데, 자세한 배경은 고유함수에 대해 공부하면 더 얻으실 수 있습니다.) 다만 두 변환에 차이가 있다면, 라플라스 변환은 시간에 따라 신호의 amplitude가 커지거나 작아지는 경우에도 적용하기에 무리가 없지만, 푸리에 변환은 신호의 amplitude는 유지되는 경우에만 적용할 수 있습니다. 그래서 둘 다 미분방정식에 쓰일 수 있다는 점에서는 비슷해보이지만 두 변환은 명백한 차이가 있습니다. 3. FRFT(Fractional Fourier Transform)라는 것은 고속푸리에 변환이 아닙니다 ^^; 고속푸리에 변환은 FFT(Fast Fourier Transform)라고 부르고 FRFT는 아래 댓글에서 어떤 분께서 요청하신 것인데 조화해석학이라는 어려운 학문에 등장하는 개념입니다. 이 부분까지는 아직 공부하실 필요는 없을 것 같습니다. 4. 라플라스 방정식을 푸는데에 있어서 복소함수는 크게 중요치 않습니다. 다만, 라플라스 방정식이 편미분방정식이다보니 그것을 풀이하는데 있어 해(solution)로써 복소함수가 이용될 수는 있을 것 같습니다.
@@AngeloYeo 궁금한 점들이 말끔히 다 해소되었습니다 정말 감사합니다 ^^ 공돌이님은 한 차원 높은 수학에 목마른 수많은 사람들을 위해 신이 (God) 보낸 분입니다 열심히 수학지식을 세상사람들에게 전해 주면 우주의 보이지 않는 힘이 큰 축북으로 피드백 보답해 주실 거예요 ^^ ~~~ 세상에 뿌려 놓은 봉사의 씨는 운이라는 불가사의한 축복으로 돌아온다고 주역전문가 김승호씨 책에 나와 있더군요 ㅎ ^-^
신호벡터에 푸리에 행렬을 곱해주는 것이, 어떤 과정으로 인해 "얼마나 닮았는지를 확인(13:50)"할 수 있는 것인지가 궁금하여 질문드렸습니다. 예를 들어서 어떻게 w^(2*n)을 신호벡터에 곱해준 것이, frequency가 2인 것의 크기를 증가시켜주는 건지가 궁금합니다.
추가적인 질문을 드리자면, python 등의 코딩을 할 때 frequency를 N으로 나눠주어 -0.49에서 0.5 사이에 frequency가 존재하도록 만들던데, 이렇게 해주어도 괜찮은 이유를 모르겠습니다. 1Hz라는 것은 1초에 한 번 진동이 일어난다는 물리적인 의미를 가질텐데, 이를 마음대로 N으로 나눠주어, 만약 N이 100이라면 100초에 한 번 진동(1/100Hz)하는 것으로 의미를 바꿔버리는 것이 왜 타당한지 이유를 모르겠습니다. 긴 질문 읽어주셔서 감사합니다.
1. 일단 행렬과 벡터의 곱의 의미에 대해 이해하고 오시는 것이 우선되어야 합니다. 아래의 글에서 벡터의 내적과 연관시킨 행렬, 벡터의 곱에 대해 알아보는 것이 좋을 것 같습니다. angeloyeo.github.io/2020/09/08/matrix_multiplication.html 2. 주파수가 -0.5에서 0.5까지만 표기되는 이유는 그 주파수는 디지털주파수이기 때문입니다. 이렇게 주파수가 -0.5에서 0.5까지만 표시되는 것은 sampling 되는 과정에서 주파수가 f/fs로 바꿔써줄 수 밖에 없기 때문입니다. 자세한 내용은 아래의 제 글을 참조해보시는 것이 좋을 것 같습니다. angeloyeo.github.io/2022/01/14/sampling_CT_to_DT.html
1. 세상에 드디어 퓨리에 변환공식 의미를 알았다. 6:50
2. 이게 궁금했던거다. 도데체 이물건을 어떻게 쓰는것인고!? 말이다.
3. 즉 시간신호 X(t)를 퓨리에 변환공식 에 넣었더니 주파수 신호로 바껴서 나온다는 거였던것이다!
4. 그리고 이 시간신호는 일종의 순시값이었던 것이다.
5. 흔히 전기에서 나오는 순시값은 싸인파나 코사인파만 나오지만 여기서 나오는시간신호 파형은 여러가지 파형이 섞인 그야말로 현실파형인 것이다. 엄연히 진폭이 있고 각속도가 존재하는 순시값인것이다.
일단 여기까지 적어놓고 다시 보러 오자! 23.09.03(일)
6. 도데체 퓨리에 행렬은 왜 알아야 할까?
7. 난 퓨리에 변환공식을 어떻게 유도했는지가 궁금한데 여기서는 한술더떠서 그 퓨리에 변환공식을 갖고 퓨리에행렬을 유도한다 ㅠㅠ
8. 계속 듣고 있기가 힘들구나. 일단 여기까지만 듣고 다시 돌아오자. 23.09.03 (일)
8.5. 중간에 고비가 있었다.
하지만 순간 이런생각이 들었다. 퓨리에 변환식을 자꾸 행렬로 접근하려는 이유가 각각의 시간신호를 다양한 비교기준신호와 비교하려면 행렬이라는 형식이 가장 적합하기 때문에 행렬로 접근하는게 아닐까 말이다.
그래서 어려운데도 꾹꾹참고 들었는데 빛이 들어왔다.
9. 세상에 다 이해했다.
10. 들어오는 시간신호가 행벡터행렬이고 비교기준이 되는 정현파가 열벡터행렬이었던것이다.
11. 나는 퓨리에변환공식에 들어있는 각속도w가 어떻게 들어온건지가 관심사였다.
12. 이제보니 이게 행렬이 될수밖에 없었던 이유가 열벡터행렬이 각속도w를 계속 변하게 하면서 만든 비교기준 주파수인데 이걸 시간신호로 들어온 주파수인 행벡터행렬과 비교를 해야 되기 때문에 행렬형식이 가장 적합했던 것이다.
13. 이렇게해서 내적을 구하면 이둘간의 연관성을 알수있게 되는 것이다.
14. 또한 내가 제일 궁금했던 퓨리에 변환식에 왜 각속도W가 들어가 있는지도 알게됐다.
15. 즉 싸인파와 코싸인파의 결합인 복소수좌표인 복소수형식은 들어오는 시간신호를 싸인파와 코사인파로 한번에 비교할 수 있게 해준다.
16. 그리고 결정적으로 e^(iwt)에서 W를 다르게 하면 무한의 싸인파와 코사인파의 조합을 만들어낼 수 있다.
17. 즉 열벡터행렬은 각속도w를 다르게한 싸인파와 코사인파의 결합이었던 것이다.
18. 그리고 이 각각의 싸인파와 코사인파는 그 각각이 순시값이었던 것이다. 일정한 각속도W를 갖는 순시값말이다.!
19. 드디어 나의 퓨리에 변환식 탐구여행의 피날레가 보이고 있다.
20. 정말 이 영상이 내가 궁금해 하던 바로 핵심을 보여주었다.
21. 싸인파와 코사인파의 원안에서 각속도에 따른 원안의 위치를 이렇게 개별적으로 보여주지 않았다면 아마 나는 이렇게 확신을 얻지는 못했을 것이다. 너무 감사하다. -2ㅠ/8의 위치와 의미까지 말이다!
22. 드디어 삼각함수에서 시작해서 순시값을 거쳐서 퓨리에 변환까지 각속도 여행이 거의 막바지에 이르렀다.
23. 벡터내적의 의미한 좀더 파보자.
24. 왜 도데체 직각이면 내적이 0이 되는지 아직 피부에 와닿지 않기 때문이다
25. 내가 볼땐 이 영상의 퓨리에 변환식 행벡터행렬과 열벡터행렬 풀이과정을 이해하려면 전기에서 순시값과 오일러 공식을 이해한게 큰 도움이 된것같다.
26. 물론 이 영상에서 그걸 기반으로 거의 떠먹여주듯이 그림으로 보여줬기 때문에 이해할수 있었던 것은 두말할 필요없다!23.09.09(토)
오랜만에 유튜브 댓글들을 보는데 감동입니다. 지식 탐구의 여정에 중간 종지부를 찍게 된 것을 축하드립니다 😊
와 이건 진짜 푸리에 변환 공부하시는 분이라면 개꿀인 영상이네요. 학교에서 이미지 프로세싱 수업 들으면서 되게 알듯말듯한 느낌을 계속 받았는데 이 영상을 보고 나니 너무나 명확해졌습니다. 감사합니다!!
와 진짜 탁월한 설명이었습니다 감사합니다. 특히 푸리에 행렬의 요소를 서로다른 주기로 단위원을 회전하는 벡터로 시각화한게 진짜 대박
정말 어디서도 듣기 어려운 내용. 감사하게 잘 들었습니다!
정말감사합니다. 학교과제로 푸리에 급수 연구가있는데 기본을 배우기에 너무나 적합한 영상이였습니다
ㄹㅇ 이렇게까지 정성들여서 설명해주시네 감사합니다
감사합니다!! 문과라서 이런 내용을 배울 수 있는 곳이 많지 않았었는데... 많은 도움 받고 갑니다 ㅎㅎ
도움 되었다면 다행입니다 ^^~
어떤분야든 배움의 끝은 없다
항상 감사드립니다.
재밌게 봐주셔서 감사합니다 😁
감사합니다.
안녕하세요 혹시 ... KJS 님이시군요 ㅎㅎ 들려주셔서 감사합니다 저도 간간히 블로그 참고해서 보고 있습니다 ㅎㅎ
감사합니다~!
좋은 영상 감사합니다. 영상 중에 궁금한 점이 생겨 질문드립니다. 이산 신호의 길이를 N으로 잡았을 때, 주파수 성분의 길이도 N으로 잡는 이유가 뭔가요? 시간 성분의 벡터가 n차원 벡터라고 하더라도 굳이 주파수 성분의 벡터도 n차원으로 표현할 필요는 없다고 느껴집니다. 수집한 신호가 n보다 더 높은 주파수 성분을 포함할 수도 있지 않을까요? 이제 막 푸리에 변환을 공부하느라 맞는 질문인지는 모르겠네요..
추가로, 제가 미적분학이나 해석학에는 약한 반면에, 선형대수학은 자주 공부한터라 이렇게 푸리에 변환을 선형대수학적관점으로 해석해주시니, 이해도 쉽고 정말 도움 많이 됐습니다. 감사합니다.
와!!! 이거 지금 양자에서 나오던데 너무좋다ㅠㅠㅠ
양자역학에서 푸리에 행렬은 필수라고 하더라구요 ~ 저도 푸리에 공부한 김에 양자역학도 한번 공부해보고 싶은데~ 쉬운 교재가 어떤거 있을지 모르겠네요 ㅋㅋ 연구에 직접적인 필요도 없다보니 ㅠ 희망만하고 직접해보진 못하고 있음다... ㅎㅎ
아무튼 영상이 도움되셨다면 다행입니다 ^^~
@@AngeloYeo 저는 교수님 수업 따라가기도 벅찬데, 교재만으로 독학해서 새로운 학문을 이렇게 유튜브에 강의로 올리실 정도로 통달해 오신다는게 진짜 경이로울 따름입니다..!!ㅠㅜㅜ
그래서 해밀토니안은 언제 쯤....? 아앗.. 아닙니다..!! ㅋㅋㅋㅋ
@@김재호-f5i 헤밀토니안 어렵읍니다... ㅠㅠ
1. 궁금한게 있습니다.
2. 푸리에 행렬에 시간신호벡터를 곱해서 주파수 벡터를 만든다고 하셨는데
3. 여기서 푸리에 행렬은 각 값들이 모두 복소수인데
4. 그럼 시간신호벡터와 주파수 벡터값들도 복소수 인가요?
5. 아니면 그냥 실수값이 되나요?
6. 예를 들어서 시간신호를 음파라고 했을때 그 값은 시간에 따른 전압값이 될 것입니다.
7. 그럼 그게 예를 들어서 1V~10V 사이를 왔다 갔다 한다고 했을때
8. 10개시점에서 포착한다고 했을때 1,3,2,4,5,3,6...2V 이런 식으로 될텐데
9. 이런 실수값 예를 들어 어느한시점에서의 시간신호성분 5V하고 퓨리에 행렬 복소수 값을 곱한다는 얘기인가요?
10. 퓨리에 행렬값은 그 내부를 설명해주시니까 이제 이해가 됐는데
11. 그럼 시간신호성분 벡터와 주파수성분벡터는 정체가 뭔지를 모르겠습니다. 23.10.14(토)
시간 도매인 신호는 실수 일 수도 있고 복소수일 수도 있습니다.
어쨌거나 실수 시간 신호에 대해 푸리에행렬을 곱하는 방식으로 푸리에 변환을 하면 주파수 벡터는 복소수 벡터가 나오게 됩니다. 복소벡터가 나오게 되더라도 복소수의 크기만을 분석하거나 phase 만을 분석하므로 마치 실수 벡터를 다루는 것 처럼 분석하게 됩니다.
이 부분은 컴퓨터로 실습해보아야 더 잘 이해할 수 있을 것 같습니다. 기회가 되신다면 FFT 의 예제들을 매트랩 등에서 실습해보시는 걸 추천드립니다.
@@AngeloYeo 이렇게 된거였군요.. 이제야 감이 좀 옵니다. 주파수벡터가 복소수 벡터였군요...
그게 궁금했습니다. 사실 제가 뭘 모르는지 몰라서 물어볼수가 없었는데 제가 모르던것은 그럼 시간신호벡터와 주파수벡터는 복소수냐는 거였습니다.
그리고 말씀하신대로 그다음 질문은 그럼 복소수 주파수벡터를 어떻게 쓰는거냐? 였는데
복소수 크기 또는 위상만을 쓰는거였군요...
그럼 결국 실수값 쓰는것과 똑같은 의미가 되겠네요..
이것 때문에 너무 답답해서 혼자 아무리 생각해도 답이 안나왔는데 이제야 방향을 잡았습니다. 감사합니다.
그리고 안그래도 "수학을 읽어드립니다"에서 매트랩 강조해서 매트랩 해보려고 합니다.
FFT를 정말 돌려봐야 정말 감이 올것 같애요.
매트랩 공부를 어떻게 해야 할지 몰라 저번에 매트랩 사이트가서 공부하는 영상(매트랩 기초 공짜로 배우는 법) 보여주셨는데
그것과 함께 공부할 책 추천할 만한 것 있으면 소개 부탁드려도 될까요? 차근차근 나가는 것도 좋지만
이게 도데체 어떤건지 전체를 볼수 있는 그런 감잡을 수 있는 책같은게 있으면 싶어서요.
어제 질문보내고 컴퓨터 켜자마자 이것부터 확인했는데 답글이 달려있어서 얼마나 행복하던지..
이젠 한고비 넘어서 또 나가 보겠습니다. 감사합니다. 23.10.15(일)아침
길고도 긴 과정을 거쳐서
푸리에계수의
허수지수표현을 이끌어내는 과정을
책에서 보기는 봤는데
막상
그 허수지수가
기하학적으로 무엇을 의미하는지
이해하기에는
지수표현이 너무 복잡해서
도저히 친근감이 안 갔는데
공돌이님 동영상의 자세한 설명과
단위원과 사인,코사인 그래프
세 개를 동시에
그것도 위에서 아래로 입체적으로 나열한
그림을 보니 감이 잡힙니다
(화면캡처해서 저장했음 ^^)
완전한 이해를 위해서는
더 많은 공부를 해야겠지만
이만큼 친절하게 또 아름다운 디자인으로
설명한 영상이나 책을
다른 곳에서는 못 본 것 같습니다
허수지수 표현유도과정까지 다루려면
오히려 너무 복잡해져서
배우는 사람에게 역효과만 날텐데
(그것까지 이해하려면 많은 과정이 있음)
이라는 말로
오히려 의도적으로 생략하는 설명이
훨씬 좋은 교수법이라는 감이 왔어요
미분도
가르치는 사람은
미분계수의 뜻과 활용에 포인트를 둬야지
처음부터
도함수의 정의에 의한 엄밀한 미분 설명에
너무 포인트를 두면
배우는 사람에게는 도리어 역효과인
경우가 많더라구요
가르치는 사람은 단순함으로 접근해서
배우는 사람의 두뇌부담을 최소화하고
오히려
배우는 사람이 많은 생각을 해야 하는데
가르치는 사람이
처음부터 복잡하게 너무 많은 것을
가르치려 해서
배우는 사람의 두뇌에 과중한
부담을 주고
배우는 사람을 좌절시키는 경우가
많더라구요
이 동영상을 3번 보니
많은 것을 느끼게 됩니다
워낙 어려운 분야라
배우는 사람도 10번 이상 보겠다는
의지와 인내가 있어야 할 것 같고
실제 10번 이상 볼 작정입니다 ^^
중요한 동영상 감사합니다 ㅎ ~~~~
노성용님 ^^ 저도 푸리에 변환을 너무 어렵게 시작해서 그 마음 백분 이해합니다 ㅎㅎ
저두 여기까지 이해하는데 6년... 정도 걸린 것 같네요 ㅎㅎ 이해한 바가 짧은 영상안에 잘 담겼는지 모르겠습니다.
영상고 캡쳐해가면서 열공하신다니 기분이 좋네요 ㅎㅎ 영상에 들어있는 사진들은 제 블로그에도 다 들어가있는 것들이라 블로그 들어가셔서 참고해보셔도 좋을 것 같습니다😁😁
매번 장문의 댓글 너무 감사드려요 🥰
@@AngeloYeo 몇 가지
느낀 점과 질문할 것을 얘기하고자 합니다
전에 푸리에변환 공부를 하다가
푸리에계수의 허수 지수 표현 유도까지 보고
"이렇게 허수지수로 표현해서
어떤 유익이 있나 ?
기껏 허수지수로 표현을 해 놔도
특별한 실익은 없지 않나 ?"
그게 가장 궁금했는데
나중에 알고 보니
그 허수지수함수와 시간함수를 곱해서
적분한 적분함수가
미분방정식 풀이의 도구인
라플라스변환 , 라플라스역변환에
쓰이는 것을 보고 놀랐습니다
"결국 미분방정식 풀이를 위해서인가 ?"
그런데
"파동에서 원하는 성분을 추출하는 수식이
도대체 어떻게
어떻게 이 분야와 아무 상관도 없는
미분방정식 풀이에 사용이 되나 ? ...."
이 상호관계에 대한
궁금증은 아직 해소가 안 되고 있습니다
(이것이 궁금하고)
그리고 이 의문과는 별도로
FRFT 라고(고속푸리에변환)
푸리에변환에 관한 책 마지막에 있던데
결국 원하는 파동성분 추출은
현실적 계산에 들어 가면
공돌이님 동영상 설명에 나와 있는
수많은 x(t)∙W(t)를 합쳐서 구하는데
이 곱하기 횟수가 너무 많아서
허수 지수 표현법을 잘 활용해서
이 곱하기 횟수를 줄이는 것인데
대체적 개념은 알았는데
세부적인 것 따라가기가 힘들었고
어제
공돌이님 동영상의 허수지수표현법
설명을 보고 다시 FRFT 를 보니
약간은 더 친밀감이 갔습니다
그런데
전에
푸리에변환 허수지수표현식이
미분방정식의 라플라스변환,역변환
적분에 쓰이는 것에 큰 충격을 받아
FRFT 에 관한 의욕은 좀 약해졌습니다
공돌이님 동영상
x(t) , X(f) 가 뭔지 답답했는데
책에 있는 f(t) , G(f) .... ^^
책마다 표기법이 달라서 ..... ㅎㅎ
어쨌든,
x(t) , X(f) 뜻까지 알고 나니
선형대수학으로 푸리에변환을 해석하는
미지의 세계에 대해
눈을 뜨고 중요성도 알게 됩니다
역시 동영상을 한번 더 본 효과가 있군요
푸리에행렬이라는
새로운 세계가 이제 감이 잡힙니다
그리고
전에 올리신 라플라스방정식 동영상
이계편도함수 두개의 합은 0 된다는
라플라스방정식을 만족시는
평면적 공간의 한 지점은
동서남북 네 지점 온도의 평균이 된다
그 증명의 심오함을 보고 너무 놀랐는데
3차원 입체공간에서
이계편도함수 3개의 합은 0된다는
그 라플라스방정식은
동서남북상하 6지점 온도의 평균이라는
그 증명은 어디서 찾을 수 없을까요 ?
공돌이님 증명에 충격받아
그 분야를 확장하고픈 생각이 났어요^^ ~~
그리고
복소함수로 라플라스방정식을 푸는 분야에
큰 관심을 가졌는데
(실력이 없어서 안으로 들어가지는 못함)
어떤 사이트 설명을 보니
복소함수로 라플라스방정식 푸는 것은
2차원 평면에 한정된 것이고
복소함수 아니라도
라플라스방정식을 푸는
이런저런 다른 방법들이 있다고 하던데
그렇다면
라플라스방정식을 푸는데 있어서
복소함수의 중요성은
그다지 크지는 않은 것인가요 ?
이런저런 궁금증이 생겼습니다 ... ;; ...
껄껄... 정말 장문의 질문 + 느낀점이시군요 ^^
1. 복소지수로 식을 표현하여 어떤 실익이 있나?
일단 복소수로 식을 표현하면 좋은 점은 허수 i는 90도 회전을 의미한다는 내용에서부터
출발해야합니다. 좀 어려운 내용일 수도 있지만, 허수 i가 90도 회전을 의미하다보니
복소수는 더 자유로운 각도에 대한 회전을 의미하게 됩니다.
그런데, 모든 신호는 정현파의 합으로 표현될 수 있습니다.
그리고, 정현파(사인, 코사인)는 모두 원의 회전에서부터 출발하는 개념입니다.
그래서, 어떤 신호더라도 다양한 속도로 회전하는 원의 회전을 가지고 표현할 수 있다고
푸리에 해석을 다시 한번 생각할 수 있는 것입니다.
그래서, 확장되어 사용되는 개념이 페이저(phasor)입니다.
페이저는 회전 속도(즉, 주파수)가 일정한 신호의 표현에 대해 고민하여 얻은
방법이고, 복소수를 이용해 신호의 회전을 표현해줍니다.
페이저에 대해서는 제 영상 두개가 있으니 참고해보셔도 좋을 것 같습니다.
(한마디로 하면 어디서부터 회전한 원으로부터 얻은 신호라고 보면 좋을까?에 대한 해석방법이라고 할 수 있는 것입니다.)
2. 라플라스 변환, 푸리에 변환은 모두 미분방정식의 풀이를 위한 것인가?
그렇다고도 볼 수 있지만, 미분방정식의 풀이에 이용될 수 있다는 것은 두 변환의 이용방법 중 하나입니다.
미분방정식의 풀이를 위해 라플라스 변환이나 푸리에 변환이 사용되는 것은
이 두 변환을 이용하면 domain이 바뀌기 때문입니다. 또, 그러다보니 발생하는
side effect로 미분에 대한 표현이 매우 간단해집니다.
미분방정식이 마치 그냥 기본적인 방정식처럼 바뀌는 것이지요.
(이것에 대한 배경은 더 복잡한데, 자세한 배경은 고유함수에 대해 공부하면 더 얻으실 수 있습니다.)
다만 두 변환에 차이가 있다면, 라플라스 변환은 시간에 따라 신호의 amplitude가 커지거나 작아지는 경우에도 적용하기에 무리가 없지만,
푸리에 변환은 신호의 amplitude는 유지되는 경우에만 적용할 수 있습니다.
그래서 둘 다 미분방정식에 쓰일 수 있다는 점에서는 비슷해보이지만 두 변환은 명백한 차이가 있습니다.
3. FRFT(Fractional Fourier Transform)라는 것은 고속푸리에 변환이 아닙니다 ^^;
고속푸리에 변환은 FFT(Fast Fourier Transform)라고 부르고 FRFT는 아래 댓글에서 어떤 분께서 요청하신 것인데
조화해석학이라는 어려운 학문에 등장하는 개념입니다. 이 부분까지는 아직 공부하실 필요는 없을 것 같습니다.
4. 라플라스 방정식을 푸는데에 있어서 복소함수는 크게 중요치 않습니다.
다만, 라플라스 방정식이 편미분방정식이다보니 그것을 풀이하는데 있어 해(solution)로써 복소함수가 이용될 수는 있을 것 같습니다.
@@AngeloYeo 궁금한 점들이 말끔히 다 해소되었습니다
정말 감사합니다 ^^
공돌이님은
한 차원 높은 수학에 목마른 수많은 사람들을 위해
신이 (God) 보낸 분입니다
열심히
수학지식을 세상사람들에게 전해 주면
우주의 보이지 않는 힘이
큰 축북으로 피드백 보답해 주실 거예요 ^^ ~~~
세상에 뿌려 놓은 봉사의 씨는
운이라는
불가사의한 축복으로 돌아온다고
주역전문가
김승호씨 책에 나와 있더군요 ㅎ ^-^
감사합니다!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
혹시 더 나아가서 부분 푸리에 변환(FRFT)에 대해서도 정리 해 주실수 있을까요
안녕하세요. 와 이런 세계가 있는지는 또 몰랐습니다... 이 부분까지는 공부는 한번 해보고 싶습니다만 ㅠㅠ 제가 정리해드릴 만항 수준이 되려면 시간이 많이 걸릴 것 같아요~ 이런 개념을 알려주셔서 감사합니다 ^^♡ 그래도 이런 개념까지는 정리가 가능할지는 모르겠네요
@@AngeloYeo 네 힘드시면 어쩔수 없죠~ 항상 즐겁게 보고 있습니다. 좋은영상 감사합니다.
좋은 강의 감사드립니다. 마지막에 빙글빙글 돌아가는 원까지 이해가 됐습니다. 그런데 이 원들이 어떻게 real space에서의 값들인 Nx1행렬과 곱해져서 Fourier space에서의 행렬을 나타내는 것일까요?
신호벡터에 푸리에 행렬을 곱해주는 것이, 어떤 과정으로 인해 "얼마나 닮았는지를 확인(13:50)"할 수 있는 것인지가 궁금하여 질문드렸습니다. 예를 들어서 어떻게 w^(2*n)을 신호벡터에 곱해준 것이, frequency가 2인 것의 크기를 증가시켜주는 건지가 궁금합니다.
추가적인 질문을 드리자면, python 등의 코딩을 할 때 frequency를 N으로 나눠주어 -0.49에서 0.5 사이에 frequency가 존재하도록 만들던데, 이렇게 해주어도 괜찮은 이유를 모르겠습니다. 1Hz라는 것은 1초에 한 번 진동이 일어난다는 물리적인 의미를 가질텐데, 이를 마음대로 N으로 나눠주어, 만약 N이 100이라면 100초에 한 번 진동(1/100Hz)하는 것으로 의미를 바꿔버리는 것이 왜 타당한지 이유를 모르겠습니다. 긴 질문 읽어주셔서 감사합니다.
1. 일단 행렬과 벡터의 곱의 의미에 대해 이해하고 오시는 것이 우선되어야 합니다. 아래의 글에서 벡터의 내적과 연관시킨 행렬, 벡터의 곱에 대해 알아보는 것이 좋을 것 같습니다.
angeloyeo.github.io/2020/09/08/matrix_multiplication.html
2. 주파수가 -0.5에서 0.5까지만 표기되는 이유는 그 주파수는 디지털주파수이기 때문입니다. 이렇게 주파수가 -0.5에서 0.5까지만 표시되는 것은 sampling 되는 과정에서 주파수가 f/fs로 바꿔써줄 수 밖에 없기 때문입니다. 자세한 내용은 아래의 제 글을 참조해보시는 것이 좋을 것 같습니다.
angeloyeo.github.io/2022/01/14/sampling_CT_to_DT.html
@@AngeloYeo 답변 감사드립니다. 천천히 이해해보겠습니다.
이런 강의를 공짜로 누구나 볼 수 있게 해주셔서 너무 감사드립니다. 정말 최고입니다.
좋은 말씀 감사합니다 ^^
푸리에 행렬은 어디에 쓰이나요?
어떻게 이용되는지를 알려주세요😢😢
푸리에 변환을 수행할 때 쓰입니다. 푸리에 변환은 주파수 분석할 때 사용되구요~
시그마 합을 무한대까지 안하고 N에서 끊으면 동일한 신호가 아니지 않나요?
네 맞습니다만, DFT는 컴퓨터에서 사용하기 위해 만든 이산 푸리에변환 알고리즘입니다. 따라서 완벽한 신호 분해는 일어나지 못합니다. (가령, 무한히 높은 주파수의 신호 성분은 검출할 수 없습니다.)
@@AngeloYeo 아. 컴퓨터에서 사용하는 수식이었군요. 감사합니다.
감사합니다.
아닛... 한번 더 감사합니다 😊😊