세상을 바꾼 알고리즘
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- Опубликовано: 20 авг 2024
- 푸리에 변환! 배울 땐 정말 싫었지만 이제는 제가 정말 좋아하는 수식 중에 하나입니다. 이 영상을 보시면 왜 제가 좋아하는지 조금은 공감해 주실수 있으실지도...?
A huge thank you to Dr. Richard Garwin for taking the time to speak with us.
Thanks to Dr. Steve Brunton of the University of Washington for his help with understanding the Fast Fourier Transform.
Thanks to Dr. Cliff Thurber of the University of Wisconsin-Madison, Dr. Paul Richards of Columbia University, and Dr. Steven Gibbons of the Norwegian Geotechnical Institute for their expertise.
Thanks to Grant Sanderson of 3Blue1Brown for his helpful feedback on the script. His great video on the Fourier Transform is here - • But what is the Fourie...
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References:
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Written by Derek Muller & Felicity Nelson
Filmed by Derek Muller & Raquel Nuno
Animation by Ivy Tello, Jakub Misiek, Alex Drakoulis, and Fabio Albertelli
Edited by Albert Leung & Derek Muller
Research Assistant: Katie Barnshaw
Additional video/photos supplied by Pond5 and Getty Images
Music from Epidemic Sound
Produced by Derek Muller, Petr Lebedev, and Emily Zhang
Additional Edited by JH, Jung
Produced&Dubbed by Mingi Kwon
Supported by Yuna Lee
영어로 볼 때는 제가 뭘 이해하고 뭘 모르는지 알 수가 없었는데
한국어로 보니까 다 모른다는 걸 알 수 있었습니다! 감사합니다
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
공자선생님께서는 지지위지지 부지위부지 라고 말씀하셨어요 그게 곧 아는 겁니다 ㅎ
덕분이 24분의 영상을 고속으로 변환해서 1분만에 시청했습니다. 감사합니다.
숛숛멍빠빠싼싼산뱐뺘뉴뭏
벊뿌따또볔번벐석떠쇇볏
숟멓묳쑤써순떠뿌처모두샊
빠뿌몽쉐쎼뿌솨쀄토더북무
쑦써뫃멍솎써쏘썪밣봇투무
삭빠쒺섈뷐벳타대뽀숟슏셜
무차쇡뼤썎살밪박토받반투
희토되벅뱷쐬쏶뺴뺴뻐번뎌
가우스가 생각한 걸 다시 또 다른 머리 좋은 사람들이 고안해 내기까지 150여년이 걸린게...ㄷㄷ 진짜 어마어마한 천재긴 하구나
공과대 커리큘럼에서 일반수학 때 푸리에 급수까지 접하고, 공업수학 때 라플라스/푸리에 변환을 거쳐 DFT/FFT까지 본 다음, 멀티미디어 수업 때 JPEG/MPEG의 압축 알고리즘에 이게 쓰이는 걸 보고 이런 게 공학이구나 하는 깨달음을 얻었습니다.
성적은 안 좋았지만 우울한 대학 학부 생활에서 유일한 즐거움이었습니다.
DFFT를 빠르게 해주는 Cooley-Tukey 알고리즘을 다항식 곱셈과 관련해서만 이해하고 있었는데 이산적이지 않은 FFT와 어떤 관계인지를 어느 정도 이해 하게 되었네요. 과학이나 수학 공부를 할 때이런 motivation이 참 중요한 것 같습니다.
교수님...?
이번 학기에 파이썬 FFT 알고리즘에 대해 배웠는데 이렇게 영상으로 내막과 과정을 보니까 훨씬 도움 되네요. 단순한 넘파이 라이브러리 한줄 외울거라고 생각했는데 굉장한 물건이었군요
이런 세기의 알고리즘을 라이브러리로 자유자재로 쓸 수 있다니
새삼 놀랍네요
보이지 않는 곳에서 연구하고 일하는 분들 덕분에 살아간다는 것에 감사를 느낍니다
대학생일때 연속에 비해 이산푸리에변환은 뭔가 찝찝하게 이해 못한부분이 있었는데 이렇게 쉽게...
공대 학부생 대학원생이라면 20분동안 이걸 보는게 본인 인생에 진짜 시간에 비해 존나 중대한 영향을 끼칠수 있을것이라는걸 확신함
근들갑 지리농
@@brunolee2550FFT만 놓고 보면 그정도 가치이긴함ㅋㅋㅋ
뭐 있어보이는척 ㅋㅋㅋ
푸리에변환 ㅈㄴ 튀어나오긴함 ㅋㅋㅋ
ㄹㅇ FFT 존나 중요함
많이 압축된 음원으로 음악을 들으면 음(주파수)이 맞지 않은 이유를 대략 짐작은 했지만 자신있게 설명 할 수가 없었는데 Ve는 정말 대단하다
당신은 절대음감입니까?
나도 같은 짐작을 하고있었던게
실제 성악전공자가 노래를 부르는걸 듣고 영상에 녹화된 것을 들었는데 음질도 안좋았지만 심지어 음이 심하게 처지기까지 하더군요
음악용이 아닌 일반CCTV 수준의 영상저장매체이다보니 압축율이 높은 음원이었음
아마추어 합창을 하다보니 음이 처지는건 인지할정도로 단련되었음
ㅋㅋㅋ 말도 안되는 소리를 음원의 압축은 인간이 인지 못하는 소리를 날려버리는건데 애초에 듣지 못한걸 들었단 말인건지 어이가 읎네😂
도대체 음이 쳐진다는게 무슨말인지 모르겠다만 특정 음이 안들릴수는 있어도 변형되지는 않음
변형이 됐다는건 푸리에 변환해서 특정 주파수 성분을 지웠더니 다른 주파수 성분들도 변했다는 말이랑 같은 소리임
Tukey는 통계학자시기도 했고 현재 인기있는 분야인 data science의 founder로도 알려 지신분입니다. 데이터분석쪽으로 정말 훌륭하신 학자에요~
FFT 진심 인류 전자기 문명의 가장 핵심 알고리즘이다...
학창시절에는 무슨 얘긴지 몰랐는데 지금 들어도 똑같네요 교양삼아 계속 복기하며 보겠습니다 ㅠ
난 이채널 조회수를 보면 너무 암담하면서도 그래도 있다는데에 대해 희망을 느낌
가우스 수학자 한명이 세상을 도대체 얼마나 바꾼건지 상상도 안됨.
진짜 보면서 그 생각부터 들엇네요 진짜 인류는 몇 명의 천재가 바꾸나 봅니다
하지만 결국 당장의 실효성이 안보여 묻혀졌다가 나중에서야 재평가가 된... 역사란게 참 묘하네요...
공부하다가 가우스 이름 나오면 또 너야? 소리가 절로 나옴 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
17민수야 고맙다~
'만약 가우스가 그의 연구 업적을 조금이라도 더 적극적으로 발표했다면 현제 기술은 수백년은 앞서간 상태일 것이다.'
대학다닐때 3시간짜리 전공수업대신에 이런 근본적인 얘기를 한 번 해줬으면 평생 잊지 않았을텐데
학술적으로 정의된 내용을 이해보단 암기 그리고 활용법만을 알고 졸업했다
가스분석기 취급하는 회사 운영하는데 FT알고리즘은 분석 화학이나 천문학에서도 적외선을 분석하는 FTIR로 많이 사용됩니다. 저는 얼마 전 까지고 FT가 적외선 분광 분석에만 쓰이는 줄 알고 살았는데, 생각해보니 세상의 모든 복합 파동을 분석하는데 FT가 사용되겠구나 라는 생각을 했습니다. 근대 마침 이런 영상을 보게 됐네요.. 신기하다
이걸 이용한다면...음성을 녹음했을 때 목소리에 섞인 침소리, 장비 소리와 같은 잡소리를 잡아내어 없앨 수 있는 알고리즘을 만들 수도 있겠군요...!
항상 보컬 녹음할 때마다 침소리같은 거 있으면 일일이 그거 찾아내서 삭제하고 그랬는데...이걸 이제야 알았네 ㅠㅠ
그런거 보정하는 vst 들이 이런식으로 만들어지는거예요
근데 경험상 잡소리들이 주파수 범위가 곂쳐서 있어서 차라리 일일히 삭제하는게 더 효율적이라 느낌.
@@DrumTimes_아닙니다. 잡소리만의 FFT 즉, 주파수 분포(주파수별 음의크기들)를 구한다음 혼합된 원음의 주파수 분포로부터 통째로 빼버리면 됩니다.
@@kussciencechannel7794 근데 완벽하게 뺄 수는 없지 않나요? 결국 노이즈만 푸리에 변화해도 주파수별 성분이 시간에 따라 게속 변화할텐데, 어떤 시점에서에 주파수 성분을 빼도, 결국 노이즈는 변화하기 때문에 흔적이 남는거 아닌가요? 게속 같은 값을 빼면 결국 게속 변하는 노이즈는 드러나야 되는거 아니냐는 거죠.
걍 궁금해서요. 전문가 아님
@@DrumTimes_ 노이즈도 패턴이 있다고 보는 것이죠. 에를 들면 버스가 내는 소음과 승옹차가 내는 소음이 다르게 느껴지면 주파수 분포가 다르게 나타납니다. 버스는 저음을 주로 내니까 낮은 주파수 피크가 많이 보일 것입니다. 주파수 피크 자체가 시간에 따라 변하지는 않습니다. 버스가 승용차로 변신하지않는 이상요. 주파수가 아닌 소음 자체는 소리가 그렇듯이 시간에 따라 변할겁니다. 특별히, 아주 낮은수준에 저변에 깔리면서 어디에든 존재하는 '화이트 노이즈'라는 것이 있습니다. 이건 모든 주파수에 일정한 작은 수준으로 골고루 분포하면서 끊임없이 변하는 수많은 작은 피크들로 구성되어 있습니다. 이를테면 라디오 방송 주파수가 안맞을 때 저변에 들리는 쉬~하는 소리가 그런 겁니다. 이건 예외로 두죠.
dsp시험 fft부분 조지고나니까 기적처럼 알고리즘에 등장한,,,
푸리에를 상관관계로 해석하는 건 처음 봤는데 생각해보니 엄청 유익한 해석방법이네요
덕분에 좋은 통찰 얻고 갑니다.
가우스.. 그는 도덕책..
나름 최근(?)의 수학적 발견이라 아직 살아계신 수학자랑 줌으로 질문할 수도 있는 게 좋네요
양자역학이 아니라 오히려 푸리에 변환이 "세상은 파동으로 이루어졌다" 라는걸 알려줌.. 나한테는 거의 이정도 혁명이엇음
비슷한 방법으로 큰 수의 곱셈을 O(N^2)이 아닌 O(NlogN)의 속도로 할 수도 있죠
콘볼루션
퓨리에 급수 겁나게 외우고 배워왔지만 왜 이 영상에서 설명한거 같은 수학적 원리를 설명들은적이 없을까요 ㅠㅠ 우리나라 대학교에서 이렇게 가르쳐야 할텐데..
외국 대학도 이정도 수준 별로 없어요
그리고 신호가 주파수로 구성되었다는 것만 알아도 대단한데, 진짜 잘 만든 자료예요
필요성을 설명하는건 좋지만 저 원리를 다 알려면 수학과에 있어야하지 않을까요...
신호처리를 위해서 복소수에 대한 개념부터 죄다 설명한다면 배보다 배꼽이 더 커질테니까요
신호처리 공학하는 사람도 복소수 개념정도는 다 배워요 ㅎㅎ
사실 이정도 교육은 어느 대학교에서도 잘 안합니다ㅋㅋ...
수학과에선 하겠네요...
대학교가 너무 많다 보니 가르치는 방식도 다양하겠죠
존나 어려워보이지만 걍 현상 정리방식임 이해할필요없음. 과학자 할거 아니면 알고만있어도 일상생활에 도움이 많이 됩니다.
영상 감사합니다 이해는 안되지만 꿀잠에 도움이 되네요
다른 수면 주파수 영상들보다 이게 나은듯
와... 정말 감동적인 영상입니다. 고맙습니다.
정말 정말 좋은 영상 감사합니다. 신호및 시스템을 전공수업으로 배우면서 DFT 에 대한 직관적인 이해도가 확실히 더 늘은 것 같습니다
감명깊게 잘 봤습니다 지리네요..
23분짜린데 4분뒤 답글을??
ㄷㄷㄷㄷ
@@user-vx5cg3xi8m 보나 안보나 똑같기때문
이거 영어버전으로 보다가 너무 어려워서 5분정도 보다가 안봤는데 한국어버전으로 보니까 5분 더 볼수 있었습니다. 감사합니다!
나머지 13분은...
제가 고속 푸리에 변환이란 게 뭔지 모른다는 걸 알려주셔서 감사합니다.
퓨리에 변환 matlab과 함께라면…
세상에 만약은 없다곤 하지만 진짜로 상상만 하면 가능한 일들은 너무나 많고 그 위대함은 무궁무진한 것 같다.
시험 보기 전에 이 영상을 알았더라면..
100%이해는 못했지만 굉장한 자료네요. 두고두고 더 봐야겠습니다
와 환상적이네요.. 좋은 영상 감사합니다!
진도 III(Intensity III)이 아니고 규모 3.0(Magnitude 3.0)입니다. 혹시나 했는 데 영어에서 Magnitude라고 하시네요
진도는 측정지의 떨림이고, 규모는 방출된 에너지의 총량입니다
로마자(III)가 아니고 정수형 표기(3)도 되나, 규모의 소수점 아래 한 자리 표기법(3.0)과 헷갈리기 쉬우니 헷갈리지 않도록 로마자를 추천드립니다
또한 한국의 기상청은 릭터 규모(Ml), 미국의 지질조사국(United States Geological Survey)은 모멘트 규모 중 하나(Mww)를 씁니다.
한국에서 화씨, 마일 등을 쓰면 못 알아듣습니다. 이점을 반영해주셨으면 합니다
양질의 번역에 감사드립니다
Ftt + 뽀글이 코인영상인줄알고 눌렀네 아ㅋㅋ
공업수학 c+받고 보는 수학영상 너무 재밌고
와... 저희 기타잡대 학부에서 공수 과목조차 없었다ㄴ...
Computer vision공부하면서 FFT가 나왔을때 뭔지 잘 몰랐는데 덕분에 도움이 되었습니다!!
fft는 선형대수 mit 18.6을 보세요 내공 그자체 사인파 하나 하나가 기저가 되고 기저 중에도 서로 곱하면 0이 되는 orthgonal한 것이고 기저 하나 하나의 계수 붙어서
선형결합이 되고
좋은 기저의 조합을 구하면 효율적 활용이 가능 gilbert strang mit 강의
내공이 수소폭탄급
뭔지는 모르겠는데 여튼 유익한 영상이네요 ^^
헐 가우스가 이미 알고 있었다니... 천재가 왜 천재인지 알겠네요...
이 영상을 대학교 다닐 때 봤다면 좀 더 신호 처리 수업을 들을 때 무엇이 중요한 지 알았을텐데 정말 아쉽고 대단하네요
신호및시스템 공부하면서 DTFT CTFT가 대체 뭐 어떻게 쓰인다는 건지 감도 안 잡혔는데... 바로 이해가 되네요 ㅎㅎㅎ 감사합니다
가우스 ㄹㅇ 얼마나 천재였던 거야....
좋은 영상 감사합니다
컴퓨터비전과 오디오 신호처리를 공부하다 보니까 FFT가 내내 쓰이더라고요.
정말 마법 같은 시간 복잡도 n log n ㅋㅋㅋ
지금도 여러 알고리즘이 탄생하는데 많이 기여하는 메모이제이션, 분할 정복 등은 쓰임새가 정말 많아서
컴퓨터 과학에서 다른 부분은 몰라도 알고리즘 만큼은 학생들이 필수로 배울 수 있게 되었으면 좋겠습니다.
아 자료구조론도요.
그 왜... 여자가 결혼할 때 몇 번째에 인연맺는 남자를 고르는게 가장 이득일까 하는 알고리즘 있잖아여... 그거 원리 아세요..?
대충 4번째라는데, 원리는 모르겠네요 ㅠㅠ. 무슨 근거로 4번째라는지...
@@Snowflake_tv아무 근거없는 인터넷 낭설입니다. 그러므로 그닥 진지하게 받아들일 이유는 없습니다.
@@dakakimasao -- 알고리즘 있는데요--. 제가 원리를 몰라서 물어본건데요.
알고리즘을 공부해야 하는 이유가 바로 댓글에 달리네요 ㅋㅋ
@@dakakimasao최적 정지 이론에 따르면 앞으로 만나볼 수 있는 남자의 36% 정도를 그냥 만나기만 하고, 그 다음에 만나는 남자가 이전에 만났던 남자보다 나으면 거기서 스탑하는게 제일 최적의 전략이라고 하네요~~
이미지 압축을 위해 변환을 가로세로 두번할때 와 소리가 절로나옴
진짜 머리좋은 사람들 많다 와
FFT 설명을 이렇게 쉽게 하다니
고맙소 아주 명확하게 이해했소
그런데 세월이 이미 너무 흘러
늙어버렸으니... 좀 있으면 가려나?
한글로 봐도 뭔소린지 모르겠지만
가우스가 알고있는 것보다 더 개씹 천재라는건 잘 알겠다
어떻게 보면 인류중 가장 천재는 가우스가 아니었을까...
fft는 아니지만 비슷한 dct를 사용하는 방법이 우리가 잘 알고 있는 jpg 포맷이죠. dct를 수행하면 왼쪽 상단에 고주파 부분의 값이 대부분의 값이 크고 대부분은 작습니다. 그래서 대부분을 0이라고 가정하고 지워버리는거죠. 물론 지게되면 원본과 동일하진 않습니다. 그냥 사람의 눈은 고주파 성분에 민감하기 때문에 원본인것 처럼 보이는거죠.
ㅋㅋㅋ 분명 10년전에 배웠는데 이런 내용이었구나
수식만 가지고 문제풀이만했으니 ...
22:55 maxpooling이나 polling 진행해서 shape 축소되었을 때 날라가는 손실된 값이 많을 텐데
Decoder에서 복원한 이미지가 그대로 손실이 없게 나오는 것을 보고 놀랬는데 참 신기하네요
가우스 또 당신입니까..GOAT
스펙트럼분석기 SA의 원리 그자체라 재밌게 봤습니다.
진짜 놀랍다.... 마지막에 나오는 분석 알고리즘 더 공부해보고싶다 직접 구현해보고싶다
고속퓨리에변환이 등장한 배경만 알아도 얻어가는게 있네요. 면적부분은 이해가 안가서 두고두고 봐야겠습니다. DFT는 처음보는데 이해가 잘되네요.
와 많이 배우고 갑니다 감사합니다.
영상 잘 봤습니다. Detection Theory 도 영상으로 만들어 주면 좋을 꺼 같아요
21:25 진도(x) 규모(o)
음.. 아무튼 가우스 행님 대단하시네요
(다들 이해 하신건지)
정말 유용한 영상이었습니다. 감사합니다.
패스트 푸리에 변환 올만이고
대통령 주제 회의 시간에 심심한 과학자는 낙서하며 FFT를 만들어 버리는 플렉스 이게 간지폭풍이지
전자기학 시험 망치고 보는 푸리에 변환이라...
fft를 알고 봐도 어질어질 한데 모르는 사람이 보면 상당히 어지러웠을듯한 영상
디지털신호처리 배우고 있는디 이영상이 뜨네 잘보고 가요
앞에서 곱해진 파형 중 주기가 가장 긴게 신호의 전체 지속 시간을 주기로 갖는 거라고 했으니까 15:46에서 X8까지 찍어야 되는거 아닌가요...?
일반적으로 360도 이미지가 아니라면,
8개의 셈플링, 경우라면,
평균, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4,
성분으로 분할해요..
싸인 성분은 안써요...
코싸인 성분만 쓰여요.
세상은 다른 시각으로 보는 것으로부터 시작된다. 느껴지네요
영상 요약: 과학자를 심심하게 하면 위대한 앨거리즘이 탄생한다
Fft룰
1. 모든 신호는 규칙성을 가진다.
2. 신호는 개별 정현파의 공집합요소가 규칙성 내에서 동작한다
3.
가우스 그는 대체;;
공업수학 배울때 푸리에 변환 뭔지도 모르고 외웠는데 이거보니 이해가잘되네요
1:15 저런 순진한 소리가 정말 실현됐으면 우린 이미 세계대전을 최소 한번은 더 겪었을거다.
솔직히 어 영상으로만 판단하기는 어렵긴 한데 가지고 있는 핵무기를 폐기한다 해도, 새 핵무기를 만든다거나, 핵무기 생산 시설을 유지한다거나, 핵무기라 칭하지 않는 핵무기급 무기를 만들다는 등 조항을 어기지 않으면서 회피법은 많음.
가우스 또 너야?
다음세대 인류에게는
모든것은 원자로 되어있다 라는 말보다
가장 중요한 알고리즘은 FFT다
라고 전해야 할것같아요 😢
F=ma
fft라는걸 알려줘도 컴퓨터를 만들기 위해 트랜지스터를 만드는게 더 빡셀듯 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
가우스하면 등차수열 합공식밖에 생각안나는 1인..하지만가우스는 이걸 잼민이때 만들어냄 ..ㅠㅠ
수학을 알아야 하는 첫번째 이유를 알게되었다.
사실 첫번째는 ‘롯데타워에서 동전을 떨어트리면 얼마나 위험할까?’ 영상에서 눈치 챘지만.
감동적이고 아름답네요.. 소름..
분명 대학교 내내 배웠고 배우고 있는건데 봐도봐도 새롭네 ㅋㅋ
영상 잘 보았습니다
근데 15:58 에 '정현파' (sinusoidal wave)가 '정형파'로 잘못 나와있어요
항상 좋은 영상 감사합니다
주기를 가진 모든 데이터가 퓨리에 변환을 디폴트로 적용해봄. Anomaly detection, wavelet gan etc.
최고의 영상
13:30 이산 푸리에 변환
오 설명을 되게 잘하시네요
why did youtube recommend this video?
21:40 활용
학부과정에서 배우는 신호및시스템 자료구조 컴퓨터네트워크개론 공학수학이 전부 합쳐지니 ㄹㅇ 소름돋네요
사랑합니다 고백을 받아주세요
배운 것
1. A를 견제하기 위해 B가 나오는구나!!
2. 식[알고리즘, 라이브러리, 프레임워크]하나로 시간, 효율성을 극대화 할 수 있다.
아나학교다닐때 뭔 개소리야햇는데...
유투브의 순기능..굿..
진짜 미쳤다.
이공계 학생으로서 많은 생각을 하게 하는 영상이네요
지나가던 수학과 학생입니다. 계속 지나가겠습니다.
수학과가 FFT가 이해가 안되서 지나가면 어쩌냐...나같이 수학 조금 맛만 본 전자공학과 학사 석사도 FFT는 잘아는데..
@@tjgure001학년일 수도 있는데 무슨 뭘 그렇게까지 말하냐
@@tjgure00 수학과는 푸리에 해석에서 여러 정리(푸리에급수의 수렴성이나 Parseval's thm 등)나 혹은 그것이 요구하는 함수의 공간(Schwartz space 등) 자체를 엄밀히 다뤄야하는 경우가 많고 더 효율적으로 계산하기 위한 알고리즘에는 소홀할 수 있으니까요. 실제로 저도 수학과에서 푸리에 해석 수업을 들었지만 FFT는 마치 고교수학 교과서의 단원 마지막에 있는 더 알아보기 정도로 책에 살짝 언급되고 넘어갔습니다. 그 부분에 대해서는 신호처리에 실제 FFT를 사용하는 전자공학과가 더 능숙할 수 있죠. 하지만 결국 그 알고리즘이 충분히 타당하냐는 것은 결국 수학자들이 그렇게 만들어놓은 수학적 framework에서의 증명으로 설명하니 이에 대해서 수학과 학생한테 FFT를 모른다고 비난하는 것은 별로 좋지 못하다 생각되네요. 전자공학과에서 맥스웰 방정식을 매번 써먹지만 그 이면에 있는 특수상대성이론이나 U(1)게이지대칭성을 잘 모른다고 비난하지 않는 것처럼요.
케네디 대통령이 그 회의를 소집하기를 잘 했네요.
학생시절에 이것을 먼저 알았다면 더 열심히 했을 수도 있었는데. 왜 하는지는 모르고 그냥 따라한 경우가 많겠죠.
연산 횟수가 n의 제곱에서 nlogn로 변화한다는 부분에서 서로 다른 주파수를 가지는 cos함수 8개의 각 sampling point에서 교점을 이용하여 연산 횟수를 줄여, 24개가 나온다고 하시는데, 맨 첫 번째 sampling point인 X0 지점, 그리고 주파수가 0을 가지는 cos함수(1)가 교점을 가지지 않는 부분은 왜 동그라미를 치지 않고 연산 횟수에 추가를 안하는지 궁금합니다.