Hello, hello! N'hésitez pas à mettre la vidéo en pause dès le début pour tenter de faire l'exo ! Dites-moi en commentaire : qui a réussi ? Ou quelles sont vos difficultés ? 👇🏼
Pour la question iii) on considère la suite x_n=Pi/2*(2n+1) on a quelque soit le polynôme P, P(x_n)-cos(x_n)=P(x_n) mais si P est non constant quand n tend vers l'infini, en valeur absolue P(x_n) tend vers l'infini . Il ne reste plus qu'à traiter le cas où P est constant.
Pour la question (iii) , si un polynôme infini est autorisé, nous pouvons utiliser la Serie De Taylor de cos(x) pour l'exprimer en somme de monômes est donc créer le polynome P(x) = cos(x) +10^(-6) qui valiserait la proposition !!
@@richardheiville937 Hoho, détrompez vous : fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor C'est avec ce genre de polynôme qu'on peut travailler sur les formes exponentiels de complexes ! C'est très utile, intérressant et beau.
@@richardheiville937 la définition d'un polynôme est la somme a(n)*x^n où a(n) est le coefficient en n. Peut importe si il est infini, il reste un polynôme. Ou alors je me trompe n'étant pas un expert auquel cas j'aimerai connaître vos arguments merci !
@@reefri260 Il ne faut pas confondre fonction polynomiale et polynôme. Ici, dans cet exercice il s'agissait de fonction polynomiale mais on confond souvent les deux notions. L'expression 1+x+x^2 est un polynôme et on a encore un sens si on remplace x par n'importe quel nombre réel. 1+x+x^2+.... est une série formelle c'est la somme des monômes x^n quand n parcourt l'ensemble des entiers naturels. Maintenant, dites-moi quel sens donner à cette expression si je remplace x par 2, par -2?
Petite précision pour la question 1, il faut ajouter le fait que log est bijective (injective suffit) sur R+* pour pouvoir conclure, sinon l'égalité finale ne démontre rien
Un polynôme de degré « n » a au maximum n racines. On peut s’intéresser à la plus grande racine R et dire qu’au delà de cette valeur R, le cosinus continue à avoir des valeurs qui oscillent de -1 a 1 tandis que le polynôme n’atteint plus jamais 0. Étant continu, le polynôme sera donc soit positif, soit négatif pour les valeurs plus grandes que R donc forcément éloigné d’au moins 1 du cosinus
Pour la question iv) On peut se passer du truc de Sioux utilisé dans cette vidéo. Puisque x>0 x^4+3+x^-4>=5 est équivalent à x^8+3x^4+1>=5x^4 et on fait passer tout à gauche pour obtenir x^8+-2x^4+1>=0 On pose X=x^4 et on étudie le signe du polynôme du second degré en X obtenu pour X>0. Le truc de Sioux dans la vidéo est très utile en calcul intégral.
Pour la (i) vous avez effectué un raisonnement par implication et non par équivalence. Il manque l’argument que l’application ln est bijective. (Car sans cet argument, -3 = 3 car (-3)ˆ2 = 3ˆ2 et bien évidemment x -> xˆ2 n’est pas une bijection sur les réels)
Pour la question 4, on peut multiplier toute l'inégalité par x^4, ce qui donne x^8 -2x^4 + 1 >= 0 en simplifiant le tout, en faisant un changement de variable x^4 = X, on trouve (X-1)² >= 0, ce qui est vrai
Hello ! Par rapoort à la question 3, si on considère que P est une série infinie, et plus exactement la série de Taylor de cosinus, c'est bien possible que l'écart reste sous 10-6 pour tout réel, non ? Dis-mo si je me trompe, ça m'intéresse
alors, c'est sûrement mes reflexes de sup, mais pour la 1 au lieu d'appliquer ln des deux côtés et donc devoir vérifier que les 2 sont st positifs, je trouve plus rapide de dire que a = exp(ln(a)) (comme a est positif selon l'énoncé, todo bem) et ensuite le reste déroule tout seul. ce qui est dommage c'est qu'on voit pas cette astuce en terminale :,)
@@guiguio2nd1er En fait j ai rédigé trop vite c'était les primitives que je cherchais. Tu sais que aln(b) = ln(b^a) soit exp(aln(b)) = exp(ln(b^a)) = b^a. Maintenant tu sais comment écrire b^a sous forme exponentielle et logarithmique. Par contre de mémoire pas sur qu'on sache trouver une expression de x^X malgré tout.
Hello, hello! N'hésitez pas à mettre la vidéo en pause dès le début pour tenter de faire l'exo ! Dites-moi en commentaire : qui a réussi ? Ou quelles sont vos difficultés ? 👇🏼
Pour la question iii) on considère la suite x_n=Pi/2*(2n+1) on a quelque soit le polynôme P, P(x_n)-cos(x_n)=P(x_n) mais si P est non constant quand n tend vers l'infini, en valeur absolue P(x_n) tend vers l'infini . Il ne reste plus qu'à traiter le cas où P est constant.
Pour la question (iii) , si un polynôme infini est autorisé, nous pouvons utiliser la Serie De Taylor de cos(x) pour l'exprimer en somme de monômes est donc créer le polynome P(x) = cos(x) +10^(-6) qui valiserait la proposition !!
Un polynôme infini n'existe pas.
@@richardheiville937 Hoho, détrompez vous : fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor
C'est avec ce genre de polynôme qu'on peut travailler sur les formes exponentiels de complexes ! C'est très utile, intérressant et beau.
@@reefri260 Un développement en série entière n'est pas un polynôme.
@@richardheiville937 la définition d'un polynôme est la somme a(n)*x^n où a(n) est le coefficient en n. Peut importe si il est infini, il reste un polynôme. Ou alors je me trompe n'étant pas un expert auquel cas j'aimerai connaître vos arguments merci !
@@reefri260 Il ne faut pas confondre fonction polynomiale et polynôme. Ici, dans cet exercice il s'agissait de fonction polynomiale mais on confond souvent les deux notions. L'expression 1+x+x^2 est un polynôme et on a encore un sens si on remplace x par n'importe quel nombre réel. 1+x+x^2+.... est une série formelle c'est la somme des monômes x^n quand n parcourt l'ensemble des entiers naturels. Maintenant, dites-moi quel sens donner à cette expression si je remplace x par 2, par -2?
Petite précision pour la question 1, il faut ajouter le fait que log est bijective (injective suffit) sur R+* pour pouvoir conclure, sinon l'égalité finale ne démontre rien
Bien vrai merci de la précision!
Un polynôme de degré « n » a au maximum n racines. On peut s’intéresser à la plus grande racine R et dire qu’au delà de cette valeur R, le cosinus continue à avoir des valeurs qui oscillent de -1 a 1 tandis que le polynôme n’atteint plus jamais 0. Étant continu, le polynôme sera donc soit positif, soit négatif pour les valeurs plus grandes que R donc forcément éloigné d’au moins 1 du cosinus
J’oublie l’essentiel. Merci pour cette excellente chaîne RUclips
Merci trop sympa ! Et merci de ce brillant commentaire !
Préciser : polynôme non constant.
Sinon c'est chiant (P(x) = 0 a combien de "racines"?)
3:27 cos(1)0 car cos(a)=0 ssi a = Pi/2 modulo Pi or 1 modulo Pi est égal à 1 qui est différent de Pi/2.
Pour la question iv) On peut se passer du truc de Sioux utilisé dans cette vidéo. Puisque x>0 x^4+3+x^-4>=5 est équivalent à x^8+3x^4+1>=5x^4 et on fait passer tout à gauche pour obtenir x^8+-2x^4+1>=0 On pose X=x^4 et on étudie le signe du polynôme du second degré en X obtenu pour X>0. Le truc de Sioux dans la vidéo est très utile en calcul intégral.
x^8-2x^4+1=(x^4-1)^2>=0
Pour la (i) vous avez effectué un raisonnement par implication et non par équivalence. Il manque l’argument que l’application ln est bijective. (Car sans cet argument, -3 = 3 car (-3)ˆ2 = 3ˆ2 et bien évidemment x -> xˆ2 n’est pas une bijection sur les réels)
Non, car exp(a)^b=/exp(a^b)
désolé, c'était pas une réponse pour vous
Pour la question 4, on peut multiplier toute l'inégalité par x^4, ce qui donne x^8 -2x^4 + 1 >= 0 en simplifiant le tout, en faisant un changement de variable x^4 = X, on trouve (X-1)² >= 0, ce qui est vrai
Hello ! Par rapoort à la question 3, si on considère que P est une série infinie, et plus exactement la série de Taylor de cosinus, c'est bien possible que l'écart reste sous 10-6 pour tout réel, non ? Dis-mo si je me trompe, ça m'intéresse
Par définition un polynome a un nombre de monome fini
Donc tu peux pas confondre une série à un polynome
@@flutterwondershyyay8255 ok, merci !
J’ai été trop lent à répondre ;)
si tu mets la série de Taylr (qui n'est pas un polynôme alors oui car la différence est nulle !)
Obtenu à partir de l'inégalité triangulaire on a |a-b|>=||a|-|b|| cela aide pour la question iii)
alors, c'est sûrement mes reflexes de sup, mais pour la 1 au lieu d'appliquer ln des deux côtés et donc devoir vérifier que les 2 sont st positifs, je trouve plus rapide de dire que a = exp(ln(a)) (comme a est positif selon l'énoncé, todo bem) et ensuite le reste déroule tout seul. ce qui est dommage c'est qu'on voit pas cette astuce en terminale :,)
Perso y a 3-4 ans je l avais vu en terminale mais c est parce que j'avais demandé comment calculer les primitives de X puissance X
@@gilclifton536 perso c'était l'année dernière, et autant dire qu'on n'apprenait rien de tel x,)
Je vois pas comment tu déroules ça :s
@@guiguio2nd1er En fait j ai rédigé trop vite c'était les primitives que je cherchais. Tu sais que aln(b) = ln(b^a) soit exp(aln(b)) = exp(ln(b^a)) = b^a. Maintenant tu sais comment écrire b^a sous forme exponentielle et logarithmique.
Par contre de mémoire pas sur qu'on sache trouver une expression de x^X malgré tout.
salut, je n’ai pas compris ou tu voulais en venir en passant par a=exp(ln(a))
Pour le (i) on peut aussi revenir à la définition a^b = exp(b*ln(a))
Non, car exp(a)^b=/exp(a^b)
@@reefri260 Si si… Comme a^b= exp(b*ln(a)) on a a^ln(b)= exp(ln(b)*ln(a))= b^ln(a)