muito muito boa solução, esse Critério de divisibilidade por 11 eu não conhecia, de onde o senhor pegou ? professor mais uma vez obrigado , o senhor é show !
@@erlison Capítulo 5, página 22, critério número 10, o objetivo dele não é necessariamente saber se um número é divisivel por 11, na verdade é descobrir o resto de uma divisão por 11, mas consequentemente serve para descobrimos a divisibilidade, pois se o nosso resto resultar em um natural não nulo e não múltiplo de 11, concluímos que o mesmo não era divisivel por 11, agora se resultar em um número natural múltiplo de 11, sim, podemos afirmar que aquele era divisível por 11.
Eu pensei parecido com o critério de divisibilidade por 9: Um número _abcdef_ tem resto a+b+c+d+e+f quando dividido por 9. Da mesma forma um número _abcdef_ terá resto ab+cd+ef quando dividido por 99. Logo o resto de _ab2016_ por 99 será ab+20+16 = ab+36. Este deve ser um múltiplo de 99, e como _a_ e _b_ são algarismos, a única possibilidade é a=6 e b=3.
@@aefikalol obrigado. Eu fui meio preguiçoso na hora de digitar. Eu falei que o resto da divisão por 9 é a soma dos algarismos, mas isso não é verdade. O correto seria dizer que um número é congruente à soma dos seus algarismos na aritmética módulo 9. Algo similar acontece na aritmética módulo 99.
Uma outra forma de pensar sem usar Aritmética Modular e Congruência: ab2016 = 11k Critério de Divisibilidade pro 11: Soma das ordens ímpares menos a soma das ordens pares, a diferença tem que ser divisivel por 11. 6 + 0 + b - (1 + 2 + a) = 11k 6 + b - 3 - a = 11k b - a + 3 = 11k Critério de Divisibilidade pro 9: A soma das ordens tem que formar um número divisível por 9. a + b + 2 + 0 + 1 + 6 = 11k a + b + 9 = 9k Pensando um pouco nos possíveis valores, chegamos a conclusão que a única possibilidade é de que a seja 6 e b 3 pois: 3 - 6 + 3 = 11k -3 + 3 = 11k 0 = 11k k = 0 ; Divide sem deixar resto 6 + 3 + 9 = 9k 9 + 9 = 9k 18 = 9k ; 18 é um múltiplo de 9 Gab: Letra D
Muito bom! Outra solução: ab2016=10000ab+2000+16=(9999ab+ab)+(1980+20)+16. Como 9999 e 1980 são divisíveis por 99, para que ab2016 seja divisível por 99 deve-se ter ab+20+16 divisível por 99, isto é, ab+36 múltiplo de 99. Supondo ab+36=99, obtém-se ab=63. Observe que qualquer outro múltiplo de 99 não convém, pois é evidente que ab é um número positivo de 2 algarismos .
Achei sua solução mais elegante, e mais aderente à circunstância de uma olimpiada....só uma ressalva: seria mais adequado declarar ab = X ? Da forma como ficou no desenvolvimento, por vezes da a entender que ab é uma multiplicacao, e nao uma representação numerica de 2 algarismos
muito muito boa solução, esse Critério de divisibilidade por 11 eu não conhecia, de onde o senhor pegou ? professor mais uma vez obrigado , o senhor é show !
Tem no TQM
Excelente
@@materazzi77 não tem não, eu olhei hoje e não tem lá critérios de divisibilidade
@@erlison Capítulo 5, página 22, critério número 10, o objetivo dele não é necessariamente saber se um número é divisivel por 11, na verdade é descobrir o resto de uma divisão por 11, mas consequentemente serve para descobrimos a divisibilidade, pois se o nosso resto resultar em um natural não nulo e não múltiplo de 11, concluímos que o mesmo não era divisivel por 11, agora se resultar em um número natural múltiplo de 11, sim, podemos afirmar que aquele era divisível por 11.
@@materazzi77 OBRIGADO ENCONTREI
muito bom gostei, treina bastante o raciocínio.
Eu pensei parecido com o critério de divisibilidade por 9:
Um número _abcdef_ tem resto a+b+c+d+e+f quando dividido por 9.
Da mesma forma um número _abcdef_ terá resto ab+cd+ef quando dividido por 99.
Logo o resto de _ab2016_ por 99 será ab+20+16 = ab+36. Este deve ser um múltiplo de 99, e como _a_ e _b_ são algarismos, a única possibilidade é a=6 e b=3.
Que raciocínio simplista e interessante, parabéns pela forma de solução do problema
@@aefikalol obrigado. Eu fui meio preguiçoso na hora de digitar. Eu falei que o resto da divisão por 9 é a soma dos algarismos, mas isso não é verdade. O correto seria dizer que um número é congruente à soma dos seus algarismos na aritmética módulo 9.
Algo similar acontece na aritmética módulo 99.
Muito legal !!!
Uma outra forma de pensar sem usar Aritmética Modular e Congruência:
ab2016 = 11k
Critério de Divisibilidade pro 11: Soma das ordens ímpares menos a soma das ordens pares, a diferença tem que ser divisivel por 11.
6 + 0 + b - (1 + 2 + a) = 11k
6 + b - 3 - a = 11k
b - a + 3 = 11k
Critério de Divisibilidade pro 9: A soma das ordens tem que formar um número divisível por 9.
a + b + 2 + 0 + 1 + 6 = 11k
a + b + 9 = 9k
Pensando um pouco nos possíveis valores, chegamos a conclusão que a única possibilidade é de que a seja 6 e b 3 pois:
3 - 6 + 3 = 11k
-3 + 3 = 11k
0 = 11k
k = 0 ; Divide sem deixar resto
6 + 3 + 9 = 9k
9 + 9 = 9k
18 = 9k ; 18 é um múltiplo de 9
Gab: Letra D
Muito bom! Outra solução: ab2016=10000ab+2000+16=(9999ab+ab)+(1980+20)+16. Como 9999 e 1980 são divisíveis por 99, para que ab2016 seja divisível por 99 deve-se ter ab+20+16 divisível por 99, isto é, ab+36 múltiplo de 99. Supondo ab+36=99, obtém-se ab=63. Observe que qualquer outro múltiplo de 99 não convém, pois é evidente que ab é um número positivo de 2 algarismos .
Achei sua solução mais elegante, e mais aderente à circunstância de uma olimpiada....só uma ressalva: seria mais adequado declarar ab = X ? Da forma como ficou no desenvolvimento, por vezes da a entender que ab é uma multiplicacao, e nao uma representação numerica de 2 algarismos
@@danielmiranda9396 Sim, mas ao escrever, logo no início, ab2016=10000ab+2000+16, creio que fica evidenciado que ab é um número de 2 algarismos.
Olá! Sim, fica evidenciado, de fato, que ab é um número de 2 (dois) algarismos, no qual ab = 10•a+b.