그런데 고등학교때 Δy/Δx를 평균변화율이라고 설명하면서 dy/dx를 x와 y의 증가량을 매우 작은 값으로 줄였을 때, 순간변화율로 나타냈을 때만 Δ가 아닌 d를 사용하는 것처럼 설명했던 것 같네요.그림으로설명하면서 분수의 개념을 이용했습니다. 실제 책을 읽으면서 저도 그렇게 받아들여서 저걸 그냥 분수처럼 이해하고 있었는데 그게 분수의 개념이 아니다는 이야기를 듣고 오히려 처음엔 납득이 안갔던 기억이 있네요. 정의를 어떻게 내렸든 변화율의 원래 의미를 생각하면 저걸 분수로 사용 못할 이유가 없다고 생각됩니다. 틀린 개념이 아니기 때문에 문제로도 풀리는 것 아닐까요? 수학을 전공하지 않아서 이런 생각을 하는 건지는 모르겠지만
틀렸다고 할 수는 없습니다. 수학은 룰을 정하고 그 룰 안에서 노는 거니까요. 다만 현재 우리가 일반적으로 공유하는 룰과는 위배됩니다. 무한소라는 개념은 극한 개념과 충돌합니다. 0이 아니면서 한없이 작은 수는 존재할 수 없습니다. 아래 글 참고하세요. namu.wiki/w/%EB%AC%B4%ED%95%9C%EC%86%8C
@@김재현-m7r7u 접선의 기울기 = x값의 변화에 따른 y 값의 변화량 순간변화율 = 기준값의 변화에 따른 어떤 특정한 측정값의 변화량정도로 저는 이해하고 있어요. 그러니까 그냥 그냥 수학과 물리학이라는 미분의 사용 용도 차이임 수학은 분모가 뭔지 상관없이 값을 구해야하기 때문에 접선의 기울기인거고 물리는 분모가 C인지,D인지,T인지 중요하기 때문에 순간변화율 인거로 알아요 그리고 공학책에서 d를 아주아주 작은으로 사용했냐면 적분을 하기 위해서는 아주작은 값을 구해야 해서 아주아주작은(미소체적)이라는 용어를 사용하는 걸로 압니다.
선생님 혹시 f''(x)=f'(x) 같은 거도 변수 분리를 활용해 d^2y/dx^2=dy/dx를 d^2y/dy=dx^2/dx로 변형해 해결할 수 있나요? 고등학교 과정에서는 f'(x)=/0일 때 양변을 f'(x)로 나눠 x에 대해 부정적분 하면 lnㅣf'(x)ㅣ=x+C로부터 f'(x)=A*e^x or f'(x)=-A*e^x. 나아가 f(x)=A*e^x+C or f(x)=-A*e^x+C 임을 보일 수 있었는데 미분방정식을 푸는 정석(?)으로는 어떻게 해결할 수 있는지 잘 모르겠습니다
![[ODE Ep.4] 완전미분방정식의 해는 이렇게 생겼습니다.](http://i.ytimg.com/vi/E-27xVwrCXU/mqdefault.jpg)
고등학교 다닐땐 저렇게 안했는데 대학 오자마자 교수님께서 증명하실때 당연하다는듯이 실수취급하시며 사용하셔서 음..? 한적이 있네요ㅋㅋ
신기하네요.
치환적분을 배울 때 저런 식으로 dx, dt를 따로 사용하기도 하는데 이런걸 학교에서 안가르쳐주는게 조금 아쉽긴 하네요. 영상 잘 봤습니다!
고등학교 과정에선 chain rule(합성함수 미분)과 역함수 미분의 사용으로 이해해도 됩니다
dy/dx = y
dy/dk dk/dx = y
1/y dy/dk = dx/dk
∫1/y dy/dk dk = ∫ dx/dk dk
좌변은 k->y 치환
우변은 k->x 치환
∫1/y dy = ∫dx
저 고등학생 때 선생님들은 가르쳐주긴 했었어요 정규 교육과정으로서 가르쳐준건 아니고 계산을 쉽게 하는 방법이라고 로피탈의 정리나 오일러 공식도 그런 예시죠 대학교 교육과정인데 필요하다고 가르쳐주는 고등학교 선생님들 계셨슴..
칼큘러스 책 조금만 읽어봐도 독립변수로의 dx와 Delta x의 정의는 같다만 선형근사 개념으로부터 종속변수 y의 Delta y 가 dy와 같지는 않다고 배웠습니다. 다만 극한을 통한 미소변화량일때는 두개를 같게 취급할 수 있다고 기억하네요
고등학생때 미분방정식 엄청 이해 못 했었는데, 그때 이 영상을 봤으면 좋았을 것 같네요ㅎㅎ 좋은 영상 잘 봤습니다. 감사합니다.
고등학교 과정에선 chain rule(합성함수 미분)과 역함수 미분의 사용으로 이해해도 됩니다
dy/dx = y
dy/dk dk/dx = y
1/y dy/dk = dx/dk
∫1/y dy/dk dk = ∫ dx/dk dk
좌변은 k->y 치환
우변은 k->x 치환
∫1/y dy = ∫dx
그래서 치환적분을 할 수 있는거군요
다음제목:유일할까?
다음제목:?
?
1/y를 적분한 함수가 오직 ln|y|로만 표현이 가능한가요? 예로 삼각함수도 테일러급수를 통해서 다항함수로 나타내는데, 저 로그함수도 다른 형식으로 표현한다 하더라도 똑같은 결과가 나올까요?
적분은 정적분에서 시작하고 적분은 덧셈이기 때문에 정적분의 결과가 다르다면 1+1=3이 받아들여지게 됩니다. 답은 예. 유일합니다.
테일러 급수로 표현된 삼각함수도 결국엔 “근사”일 뿐입니다
하나의 함수로만 정해진다는것을 미분방정식에서 배울 수 있습니다
테일러 급수로 나타낸 다항함수형식은 결국 ln(y)를 근사해서 나타낸 것입니다.
f'(x)/f(x) = 1
이거 어디서 많이 봤다 싶었는데...
미적분 쎈같은거 풀다보면 마주치는 그런거였네요...
그런데 고등학교때 Δy/Δx를 평균변화율이라고 설명하면서 dy/dx를 x와 y의 증가량을 매우 작은 값으로 줄였을 때, 순간변화율로 나타냈을 때만 Δ가 아닌 d를 사용하는 것처럼 설명했던 것 같네요.그림으로설명하면서 분수의 개념을 이용했습니다. 실제 책을 읽으면서 저도 그렇게 받아들여서 저걸 그냥 분수처럼 이해하고 있었는데 그게 분수의 개념이 아니다는 이야기를 듣고 오히려 처음엔 납득이 안갔던 기억이 있네요. 정의를 어떻게 내렸든 변화율의 원래 의미를 생각하면 저걸 분수로 사용 못할 이유가 없다고 생각됩니다. 틀린 개념이 아니기 때문에 문제로도 풀리는 것 아닐까요? 수학을 전공하지 않아서 이런 생각을 하는 건지는 모르겠지만
틀렸다고 할 수는 없습니다. 수학은 룰을 정하고 그 룰 안에서 노는 거니까요. 다만 현재 우리가 일반적으로 공유하는 룰과는 위배됩니다.
무한소라는 개념은 극한 개념과 충돌합니다. 0이 아니면서 한없이 작은 수는 존재할 수 없습니다.
아래 글 참고하세요.
namu.wiki/w/%EB%AC%B4%ED%95%9C%EC%86%8C
나 고등학교때는 델타x가 0으로 갈때 델타x = dx, 그에 대응하는 델타y = dy라고 배웠었는데
물리학책읽어봤을떄는 dy/dx에서 d가 아주아주작은 숫자를 의미한다고 했던것같은데
@@으악이 그게 그소린데 어쩌란겨
물리에서는 미분계수를 접선의 기울기라는 의미보다는 순간변화율이라는 의미에 더 관심을 둬서 그렇게 표현하는 듯?
@@AS-mk6bb 둘이 무슨차이임?
@@김재현-m7r7u 접선의 기울기 = x값의 변화에 따른 y 값의 변화량
순간변화율 = 기준값의 변화에 따른 어떤 특정한 측정값의 변화량정도로 저는 이해하고 있어요. 그러니까 그냥 그냥 수학과 물리학이라는 미분의 사용 용도 차이임 수학은 분모가 뭔지 상관없이 값을 구해야하기 때문에 접선의 기울기인거고 물리는 분모가 C인지,D인지,T인지 중요하기 때문에 순간변화율 인거로 알아요
그리고 공학책에서 d를 아주아주 작은으로 사용했냐면 적분을 하기 위해서는 아주작은 값을 구해야 해서 아주아주작은(미소체적)이라는 용어를 사용하는 걸로 압니다.
@@마오마노 근데 접선의 기울기가 순간변화율 아닌가요?
함수에서 임의의 x값에서의 접선의 기울기가 순간 변화율이잖아요
편미분과 비슷한 개념인가요?
미분형식...
궁금하시다면 미분기하학을 공부하시면 됩니다!
선생님 혹시 f''(x)=f'(x) 같은 거도 변수 분리를 활용해 d^2y/dx^2=dy/dx를 d^2y/dy=dx^2/dx로 변형해 해결할 수 있나요? 고등학교 과정에서는 f'(x)=/0일 때 양변을 f'(x)로 나눠 x에 대해 부정적분 하면 lnㅣf'(x)ㅣ=x+C로부터 f'(x)=A*e^x or f'(x)=-A*e^x. 나아가 f(x)=A*e^x+C or f(x)=-A*e^x+C 임을 보일 수 있었는데 미분방정식을 푸는 정석(?)으로는 어떻게 해결할 수 있는지 잘 모르겠습니다
네 됩니다. 다른 영상에서 다뤄볼게요
y'=py 꼴 이면 다 가능합니다.
2:47
왜 분리해도 되는지 근거도 궁금하네요 ㅠ
근거는 좀 어려운데, 2:50에서 설명하는 "미분형식"에 대한 개념을 배워야 엄밀한 근거를 알 수 있습니다. 대학교 수학과 3,4학년(보통 4학년) 과목 "미분기하학"에서 배웁니다.