교수님, 공짜로 이런 큰 깨달음을 주셔서 너무나도 감사합니다. 복많이 받으세요. 왜 학교다닐땐 이런걸 알려주지 않았을까요, 그냥 "이건 분수가 아니야~" 이러고 땡이였는데, 분수가 아닌데 어떻게 치환적분이라던가 할때 dy dx가 따로 노는지 의문을 가졌었는데, 이제야 깨달음을 얻습니다요 ㅜㅜ
함수 형식에 따라 어려워질수 있는 미/적분에 대한 최고의 개념설명 너무 좋습니다. 어떤 함수에 대한 미분은 평균 변화율 함수이고 적분은 평균 누적율 함수이다. 특이한건 어떤 함수를 적분후에 미분하면 원래 함수로 정확히 복귀되지만 반대로 먼저 미분후 적분할때는 원래값이 복귀되지 않음.
역학과 엮어서 생각해보면 애시당초에 미적분이란 개념이 연속적인 변화에 대한 해석을 목적으로 고안된 개념이다 보니.. dx, dy에 대한 기본적인 정의 자체가 한순간의 증분인 건 어찌보면 당연한 거라고 항상 생각했었습니다. 그렇기 때문에 라이프니츠의 연쇄법칙도 단순히 관례적으로 그렇게 하는 것이 아닌 당연한 이치라고 생각했는데, 고등학교 때 이 얘기를 친구들에게 하면서 중요한 건 미분한다는 행위가 아닌 dy/dx의 의미가 변화율이고 이는 어찌보면 분수랑 별 다를 바가 없다는 말을 하니 대부분은 이해하려고도 하지 않더군요. 오랜만에 통찰이 담긴 영상을 봐서 공감도 되고 좋았습니다 교수님. 좋은 영상이 더 올라오길 기대합니다^^
유익한 영상 감사합니다! 이렇게 이해해도 될까요? 함수 y=f(x)가 있을때 서로 다른 함수 위의 두점 A(x1,y1) B(x2,y2)를 잡고 A에서 접선의 방정식은 y=f'(x1)(x-x1)+y1 이고 dy는 x2일때 함숫값과 y1의 차이이니 dy=f(x1)(x2-x1) 또 x2-x1는 델타x인데 dy는 작은 y값이기에 델타x가 dx가 되고 x1도 임의의 수인 x로 바꾸면 dy=f'(x)dx가 되고 나눗셈으로 이해해도 됩니다.
델타x말고 디퍼런셜x는 x값을 오롯이 나타내는 방법 아닐까요? 함수 y는 이를 확장한 개념이고 이때 좌표상으로는 미세한 기울기 직선 그러니까 디퍼런셜x인 함수y값이 형성되겠죠 예를 들어 여기 길이를 재는 10센티 자가 있습니다 5센티 지점의 값을 나타내려면 어떻게 할까요? 5라고 표현하면 0~5까지 값이 되겠죠 이렇게 해서는 5의 값이 오롯이 표현되지 않습니다 그런데 디퍼런셜 x로 표현하면 0~5까지 구간값이 아니라 5의 위치값을 표현할수 있겠죠 그래서 단순하지만 엄청난 아이디어라고 생각합니다 사물의 찰라값을 표현할수 있게 됐으니까요 왜 학교에서는 함수로 확장하기 전의 이 근본적 개념을 안가르치는지 의문이 듭니다 그래서 미분의 뉴튼식 표현방법에 숫자위에 아무런 점도 찍히지 않으면 0~5의 구간값이고 5위에 점을 찍으면 미분값이라고 표현하는게 아닌가 합니다 미분은 기울기다가 아니고 미분이 함수로 확장됐을때 프라임fx의 값은 접선에 대한 기울기다라고 말하는것이 옳지 않은가 생각합니다 제가 패러데이도 아닌데 짧은 학문으로 아는체 해서 죄송합니다
교수님 궁금한점 생겨 질문드립니다. 치환적분에서는 dx를 양변에 곱하는 등 분수처럼, 독립인 항처럼 다루고, 일변수함수에서의 연쇄법칙에서도 소거해서 사용하는데, 이변수함수의 연쇄법칙이나 음함수 미분법을 보면 똑같이 같은 부분을 약분했을때 오류가 발생을 하더라구요. 이건 단순히 이변수이상에서는 소거법칙이 성립하지 않기 때문일까요?
dy와 델y가 영상에서처럼 x0=0 x1=0.1인 상황이라면 dy와 델y의 차이가 꽤 클텐데 0.1은 이해를 위해 살짝 크게 쓰신거고 dx도 0에 가까우니까 x1=0.0000…1같은 상황에서 dy와 델y가 거의 같게 되었을 때 dy를 구하는게 도움이 된다는 말씀이신가요? lim x1이 0+로 갈 때 dy를 구하는 것이 lim x1이 0+로 갈 때 실제 x1을 대입한 값인(물론 x1이 값이 아니니까 표현이 애매하지만)델y를 구하는 것보다 쉽다는 뜻인지 궁금해요 ㅜㅜ
dy/dx라는 하나의 수학기호가 어떻게 분수처럼 사용될 수 있는가? 에 대한 질문을 델타y의 근사값을 dy로 표현해서 사용하면 그 의미를 이해할 수 있다고 파악했습니다. 다른분들 댓글을 보면 교수님께서 그리신 그림에 dy가 델타y보다 크기에 사람들이 혼동하는 것 같은데 애초에 델타x자체를 dx라고 생각하면 되는 건가요?
선형근사를 통해 dy를 보여주시는 부분에 대해 질문이있습니다. dy와 델y가 다르다는걸 보여주시려고 일부러 그림을 과장해서 그리신건가요? 실제로는 dx와 dy모두 극소하다고 생각하면 될까요 그리고 설명을 생략하신거겠지만 당연히 델x 델y는 매우 작은 경우를 의미하는 중이죠?
"극소하다"는 의미의 정리가 필요할 것 같아요. 원래부터 극소인 것은 없고, 무언가가 어디로 향할 때 극한이 0으로 가는 식이나 값을 말하는 것이죠. 델x 또는 dx는 x의 차이이고, 델y나 dy는 델x나 dx에 대한 함수에요. 델x, dx, 델y, dy는 그 자체로는 식이나 값이지만, 델x나 dx가 0으로 갈 때 0으로 가는 것이에요. 그림은 과장한 것이 아니고 델x나 dx가 크다면 델y, dy도 큰 값이겠죠.
@@manmanmath 아 제가 그럼 적분의dx때문에 개념을 크게 착각했나보네요. 인테그랄 안의 dx는 극소하다고 이미 정의가 된 상황이니까.. 라고 생각하면 되나요? 그리고 극소한 델x = dx 라고 생각했었는데 교수님의 설명대로라면 y와는 다르게 둘의 차이는 없고 dx는 dy를 위해 만들어진 기호? 라고 보는게 맞나요?
5:35 함수의 근사값을 모를때 기울기의 근사값을 사용한다는 것은 결국 함수의 근사값을 구하려는 노력이라는 알듯 말 듯한 수학의 밀당입니다.. 여러번 더 들어 봐야 좀 더 그림이 잡힐 듯 합니다. 그래도 좋은 강의들 덕분에 고등학교 시절보다는 수학을 사용(..?)할 수 있는 영역이 조금씩 넓어지는것 같습니다. 진정한 이해를 바탕으로 한 사용 단계까지 가려면....
@@manmanmath ㅎㅎ 감사합니다.. 그래도 아직 질문할 만한 부분들이 많습니다.. dy/dx가 다른 댓글들을 읽어보니 결국은 나눗셈의 비율의 개념을 적용하여도 될 듯 한데.. 그러려면 dy와 dx가 같은 성격의 값이어야 직관적으로 단순한 나눗셈과 거의 동격으로 볼 수 있을텐데.. dy는 기울기이고 dx는 미소한 x축의 간격이라면... 비율적 개념에서 분수와 맥을 공용할 수 있겠지만 dy와 dx가 서로 다른 값들이라는 점에서는 유의하여야 할 부분이겠네요...
@@manmanmath 그러면 교수님, (d / dx) * (dy / dx) = (d^2 * y) / (d^2 * x^2) 이렇게 되지 않나요? 분자는 이해가 가는데 분모 부분이 이계도함수 쓸 때 위의 (d^2 * x^2)이 아니라 (d * x^2) 이렇게 돼서 맞는 것 같지 않습니다.
음. .아닙니다..저게 저자에 따라, 상황에 따라 기호로도 쓰고, 나누기로도 쓰기 때문에 다들 혼동하네요..즉 책에서 저자가 기호로 정의한 것인지, 나누기로 정의한 것인지 혹은 서술하는 내용에 따라 구별해야 합니다..가령 책을 베낄 때 두책에서 같은 기호로 쓴 것으로 착각하고 책을 써서 그렇고, 그렇게 가르치기 때문입니다.. 배우는 사람들도 같은 것으로 착각하고...총 3가지로 사용되기 때문에...최소 2~3가지 여러 책을 동시에 펼치고 공부하면 알 수 있습니다..이런 것들이 곳곳에 도사리고 있어서 주의해야 합니다..다른 기호를 쓰는 토마스와 스튜어트 책을 짬뽕해서 미적분을 쓰면 엉터리 수학 교과서와 정석 같은 것들이 등장하지요..
@@비보존력 미분을 표현하는 기호 dy/dx 자체가 함수 y의 순간 변화량을 나타내는 것처럼 부정적분은 어느 한 점 (밑끝) 을 기준으로 순간적인 x증분(dx)에 대한 함수의 밑넓이를 전부다 합해준다는 의미로 이해하면 되지 않나 싶습니다. 다만 만약에 밑끝이 설정이 안되어 있다면 정의역 기준 어느 시점에서 측정을 시작했는지에 대한 지표가 없으므로 적분상수 c가 미지수가 된다는 식으로 설명이 가능하겠죠. 만약에 밑끝이 a라면 정의역의 좌표가 a인 시점에서부터 측정을 한다는 의미가 된다는 것일 거고, 윗끝이 a보다 크다면 x=a를 기점으로 앞으로 어느정도의 밑면적이 더해’질’ 지에 대한 논리일 것이고, 윗끝이 a보다 작다면 그 어느 한 시점에서 x=a에 도달하기까지 어느정도의 밑면적이 더해’진’ 지에 대한 논리일 것이므로 반대로 그만큼 빼줘야 하는 것일 겁니다. 굳이 따지면 동영상을 역재생하는 꼴이 되겠네요. 여튼 dx라는 것 자체가 독립변수 x의 순간적인 증분을 의미하는 것이므로 미분은 순간변화율의 개념이, 적분은 반대로 순간의 변동들을 모두 축적한 결과가 되는 것이라고 이해하면 될 것 같네요
dy/dx를 분수로 볼 수 없지 않을까요.. 찾아보면 반례도 쉽게 나오던데.. 사람들은 미분에서 dy/dx가 성립하는 이유는 체인룰이 성립하기 때문이라고 하더라구요. 선대 수학자들이 미분기호를 dy/dx라고 써서 후대들이 고통받는데 차라리 용어를 새롭게 정의하는게 좋지않을까 생각되기도 하네요.
@@manmanmath f(x, y) = 0를 전미분 하면 ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy = 0가 되는데 이 때 dy/dx를 분수로 보면 dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) 형태로 만들 수 있는데 이것이 dy/dx = -dy/dx라는 모순이 된다는 주장도 있고.. dy/dx가 분수이면 dy/dx + du/dv = (dydv + dxdu) / dxdv가 되는게 말이 되냐는 주장도 있구요.
@@YT-ll8ns영상에서는 일변수함수를 다뤘는데 반례라고 한 첫번째 예는 이변수함수이니 다른 경우죠네요. 일변수함수에서의 내용을 이변수로 확장할 수 있는가를 생각해 봐야죠. 더 쉽게 얘기하면 일변수 미분이 분수로 이해 가능하다면 편미분도 분수로 이해 가능하냐는 고민을 해야겠죠. 안되는 이유를 생각해보기 바래요. 그러면 편미분도 분수로 이해하도록 기호를 바꾸는 것도 고려할 수 있는데 그러면 기호가 복잡해져서 단점도 발생하게 되요. 그래서 간결하게 쓰는 것이죠. 두번째 반례는 영상의 내용처럼 각 기호를 이해하면 식을 이해할 수 있다고 생각해요. 단 한가지 고민해야 하는 것은 dxdv가 보통 두번 미분으로 쓰이기 때문에 기호가 좋지 않네요
영상 맨 처음에 교수님께서 질문했죠. dy/dx라는 기호를 보면 나누기로 보이는데, dy라는 것 자체로 의미가 있나? 하고 질문을 던지고 시작했죠. 결국 교수님은 여기에 접선의 기울기를 갖고 근사한 아주 작은 y의 차이라고 답을 했습니다. 결국 원래 질문으로 돌아가보면 dy라는 것도 의미가 있는 것이고, dy/dx는 나누기로 볼 수도 있다는 것입니다.
좋은 설명입니다만 수업 대상이 미분 이제 막 시작하는 고등학생인가여? 영상 마지막에 고등학교때 안배운것도 응용이된다고 하신거 보면 성인이나 대학생들이 대상인거 같기도 한데 설마 대학 이공계 전공자들이 저걸 모르나여? 아니 그리고 조교가 저걸 모른다구여?? 어떻게 그럴 수가 있지 -_- 단순히 주입식 교육 탓하기에는 말이 안되는게 대학까지 왔으면 고등학생때 처럼 생각안하고 문제풀이만 할 수는 없었을텐데, 조교가 되고도 모른다는건 주입식 문풀 습관이 대학까지 이어졌기 때문일까요. 이거야 말로 세기의 난제인데....
@@manmanmath 아무리 그래도 저건 정도가 너무 심합니다. 수학적 모델링에 능숙한 대학원생이 자주 쓸일이 없어서 앱실론 델타 논법 까먹는거랑은 전혀 다른 차원의 문제입니다 이거는. 기본 개념에 대한 깊은 숙지를 바탕으로 지식의 확장이 일어나는건데요. 조교가 저 의미를 몰랐다는건 덧셈 뺼셈 배우고 이제 나눗셈 곱셉 배우게된 초등학생이 구구단은 외우고 곱셈은 할 줄아는데 곱셈이 덧셈에서 기인한다는걸 모르는거랑 똑같은 수준입니다. 대학에 와서도 과정중에 저 부분이 해결이 안되었다는건 대학에와서도 배우는 내용에 대해 의문을 제기하며 자발적으로 학습하는 능력이 심각하게 결여되었기에 그런것 이죠. 단 1명의 사례를 가지고 뭐라고 할건 아니지만 한국인들의 주입식 학습방식과 사고방식이 기초학문과 상극인건 뭐 어제 오늘일이 아니긴 합니다.
@@logicaltracing 영상의 내용은 조교가 나중가면 다 알게되니 지금은 몰라도 된다고 넘어간게 아니라 조교임에도 몰라서 얼버무렸다는 이야기 같은데요. 그리고 미분소는 단순히 극한값이 맞긴 하죠. 단순하다는 기준이 뭐냐에 따라 다르겠지만 대학 미적분학책 1챕터 앱실론 델타 논법에서 이미 엄밀하게 극한을 이해하는 과정이 들어가 있고 1학년 1학기에 배우게되는 부분인데 엄밀하게 개념정리를 안하고 어영부영 넘어가니 나중에 문제가 많이 생깁니다.
강의 영상에도 나왔는데 좌표상에 두 점 (x1, y1), (x2, y2)이 있고 그 두 점을 통과하는 직선이 있다고 할때 그 직선의 기울기 구하는 방법은 당연히 아시죠? y2-y1/x2-x1 이거 자나여? 그런데 이거 분수 맞죠? dy/dx도 별개 아니라 위 두 점간의 간격을 매우 작게 좁혔다는 합의된 기호일 뿐입니다. 즉, y2와 y1, x2와 x1의 거리를 매우 작게 좁혔다는 의미가 dy, dx임. 좁혔다고 뭐가 달라지나여? 안달라짐. 걍 분수임.
![만만한 수학TV [이상준 경희대 수학과 교수]](http://yt3.ggpht.com/LO7wgWs10_svkUHX-QTZxsWgm9rtWlGGLncpvB7nMIKlQhuLlUtGb5qmbzqa33QqWmXMeTVGiQ=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
![[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?](http://i.ytimg.com/vi/K4rw5HqS7Kk/mqdefault.jpg)
교수님, 공짜로 이런 큰 깨달음을 주셔서 너무나도 감사합니다. 복많이 받으세요.
왜 학교다닐땐 이런걸 알려주지 않았을까요, 그냥 "이건 분수가 아니야~" 이러고 땡이였는데, 분수가 아닌데 어떻게 치환적분이라던가 할때 dy dx가 따로 노는지 의문을 가졌었는데, 이제야 깨달음을 얻습니다요 ㅜㅜ
함수 형식에 따라 어려워질수 있는 미/적분에 대한 최고의 개념설명 너무 좋습니다.
어떤 함수에 대한 미분은 평균 변화율 함수이고 적분은 평균 누적율 함수이다.
특이한건 어떤 함수를 적분후에 미분하면 원래 함수로 정확히 복귀되지만
반대로 먼저 미분후 적분할때는 원래값이 복귀되지 않음.
미국에서 수학가르치는데 학생 대부분이 이민자자녀들이라 calc 도입부분 설명하기가 힘들었어요 영상보고 많은 아이디어 받아 갑니다
Multivariable calculus 할때도 저거 나만 궁금한건가 싶었는데...수학은 정말 호기심 가지기 시작하면 정말 아는만큼 더 보이는것같습니다..
미적분 제대로 안 배운 30대 문과 출신 회사원인데, 결국 경제학이든 통계학이든 배우려면 기초 수학을 알아야 하더라구요. 큰 도움 됐습니다
명강의네요. 감사합니다~
역학과 엮어서 생각해보면 애시당초에 미적분이란 개념이 연속적인 변화에 대한 해석을 목적으로 고안된 개념이다 보니.. dx, dy에 대한 기본적인 정의 자체가 한순간의 증분인 건 어찌보면 당연한 거라고 항상 생각했었습니다. 그렇기 때문에 라이프니츠의 연쇄법칙도 단순히 관례적으로 그렇게 하는 것이 아닌 당연한 이치라고 생각했는데, 고등학교 때 이 얘기를 친구들에게 하면서 중요한 건 미분한다는 행위가 아닌 dy/dx의 의미가 변화율이고 이는 어찌보면 분수랑 별 다를 바가 없다는 말을 하니 대부분은 이해하려고도 하지 않더군요. 오랜만에 통찰이 담긴 영상을 봐서 공감도 되고 좋았습니다 교수님. 좋은 영상이 더 올라오길 기대합니다^^
좋은 댓글 감사합니다.
교수님 감사합니다. 구독과 좋아요도 누르고 갑니다. 타대생인데 정말 큰 도움이 되네요 항상 건강하시길
정말 더할 나위없이 훌륭한 강의입니다. 이렇게 미적분 기호와 그 의미에 대해서 잘 알려준 사람이 없었습니다.
정~~~말 이해하기 쉽게, 친절하게 설명해주시네요!! 초등학생도 이해할 수 있을 것 같아요 ㅎㅎ 감사합니다~~^^
너무 좋은 설명에 구독이 저절로 눌러지네요. ㅎㅎ 매일 갖고 있던 의문이 많이 해결됐어요. 감사합니다.
감사의 댓글을 드리려 보니까 제가 하고 싶은 말을 이미 다른 많은 분들께서 하셨네요 좋은 강의 감사합니다 다시 학부생이 된다면 교수님께 배우고 싶어요
와 진짜 쩌내요! 지금까지 제대로 알지 못해 답답했던 감정이 싹 사라지는 느낌입니다!! 멋진 강의 해주셔서 너무 감사드려요!😉😉
정말 궁금한 부분이었는데,
감사합니다
우와.. 학부생인데 드디어 의문이 풀렸습니다.
원리 하나하나가 궁금해서 다시 기초부터 공부하고 있는데, 정말 큰 도움이 되었습니다!
어디서도 들을 수 없는 명강의네요. 감사합니다.
@@김지윤-g1t 감사합니다!
알수없는. 알고리즘이 여기로 오게 만드네요. 진짜 설명 잘 하신다
좋게 봐주셔서 감사해요!
수십년 미적분을 사용하면서 의문은 있었지만 간과한 개념을 설명해 주시네요
이해하였읍니다
감사합니다
마침 궁금했던 내용인데 감사합니다!
항상 가져온 고민인데 덕분에 쉽게 이해했습니다 감사합니다!
유익한 영상 감사합니다!
이렇게 이해해도 될까요?
함수 y=f(x)가 있을때 서로 다른 함수 위의 두점 A(x1,y1) B(x2,y2)를 잡고 A에서 접선의 방정식은 y=f'(x1)(x-x1)+y1 이고 dy는 x2일때 함숫값과 y1의 차이이니 dy=f(x1)(x2-x1) 또 x2-x1는 델타x인데 dy는 작은 y값이기에 델타x가 dx가 되고 x1도 임의의 수인 x로 바꾸면 dy=f'(x)dx가 되고 나눗셈으로 이해해도 됩니다.
네 맞습니다! 요약 감사합니다 ^^
델타x말고 디퍼런셜x는 x값을 오롯이 나타내는 방법 아닐까요? 함수 y는 이를 확장한 개념이고 이때 좌표상으로는 미세한 기울기 직선 그러니까 디퍼런셜x인 함수y값이 형성되겠죠 예를 들어 여기 길이를 재는 10센티 자가 있습니다 5센티 지점의 값을 나타내려면 어떻게 할까요? 5라고 표현하면 0~5까지 값이 되겠죠 이렇게 해서는 5의 값이 오롯이 표현되지 않습니다 그런데 디퍼런셜 x로 표현하면 0~5까지 구간값이 아니라 5의 위치값을 표현할수 있겠죠 그래서 단순하지만 엄청난 아이디어라고 생각합니다 사물의 찰라값을 표현할수 있게 됐으니까요 왜 학교에서는 함수로 확장하기 전의 이 근본적 개념을 안가르치는지 의문이 듭니다 그래서 미분의 뉴튼식 표현방법에 숫자위에 아무런 점도 찍히지 않으면 0~5의 구간값이고 5위에 점을 찍으면 미분값이라고 표현하는게 아닌가 합니다
미분은 기울기다가 아니고 미분이 함수로 확장됐을때 프라임fx의 값은 접선에 대한 기울기다라고 말하는것이 옳지 않은가 생각합니다 제가 패러데이도 아닌데
짧은 학문으로 아는체 해서 죄송합니다
교수님 궁금한점 생겨 질문드립니다.
치환적분에서는 dx를 양변에 곱하는 등 분수처럼, 독립인 항처럼 다루고, 일변수함수에서의 연쇄법칙에서도 소거해서 사용하는데, 이변수함수의 연쇄법칙이나 음함수 미분법을 보면 똑같이 같은 부분을 약분했을때 오류가 발생을 하더라구요. 이건 단순히 이변수이상에서는 소거법칙이 성립하지 않기 때문일까요?
dx와 편미분에 쓰이는 “라운드 dx”는 글씨 부터가 다르고 의미도 다르죠. dy/dx를 분수로 보는 것과 (라운드 dy)/(라운드 dx)를 분수로 보는 것은 구별해야 하는 것 같아요.
@@manmanmath 감사합니다.
어떻게 하면 수학을 쉽게 가르칠까 하는 고민을 많이 하시는 것 같아요
영상 유익하게 잘 봤습니다
감사합니다^^
dy와 델y가 영상에서처럼 x0=0 x1=0.1인 상황이라면 dy와 델y의 차이가 꽤 클텐데 0.1은 이해를 위해 살짝 크게 쓰신거고 dx도 0에 가까우니까 x1=0.0000…1같은 상황에서 dy와 델y가 거의 같게 되었을 때 dy를 구하는게 도움이 된다는 말씀이신가요? lim x1이 0+로 갈 때 dy를 구하는 것이 lim x1이 0+로 갈 때 실제 x1을 대입한 값인(물론 x1이 값이 아니니까 표현이 애매하지만)델y를 구하는 것보다 쉽다는 뜻인지 궁금해요 ㅜㅜ
0.1인 경우에는 dy는 델타y의 쉽게 계산할 수 있는 근사값을 주는 것이구요, 0.00001의 경우에는 두 값이 거의 같겠죠. 근사값은 꼭 같아야만 의미가 있는 건 아니에요. 쉽게 계산할 수 있으면서 내가 원하는 오차 이내의 비슷한 값을 얻는 것도 중요한 것이죠.
dy/dx라는 하나의 수학기호가 어떻게 분수처럼 사용될 수 있는가? 에 대한 질문을 델타y의 근사값을 dy로 표현해서 사용하면 그 의미를 이해할 수 있다고 파악했습니다. 다른분들 댓글을 보면 교수님께서 그리신 그림에 dy가 델타y보다 크기에 사람들이 혼동하는 것 같은데 애초에 델타x자체를 dx라고 생각하면 되는 건가요?
네 맞아요!
@@manmanmath답변 감사합니다. ㅎㅎ
선형근사를 통해 dy를 보여주시는 부분에 대해 질문이있습니다. dy와 델y가 다르다는걸 보여주시려고 일부러 그림을 과장해서 그리신건가요? 실제로는 dx와 dy모두 극소하다고 생각하면 될까요 그리고 설명을 생략하신거겠지만 당연히 델x 델y는 매우 작은 경우를 의미하는 중이죠?
"극소하다"는 의미의 정리가 필요할 것 같아요. 원래부터 극소인 것은 없고, 무언가가 어디로 향할 때 극한이 0으로 가는 식이나 값을 말하는 것이죠. 델x 또는 dx는 x의 차이이고, 델y나 dy는 델x나 dx에 대한 함수에요. 델x, dx, 델y, dy는 그 자체로는 식이나 값이지만, 델x나 dx가 0으로 갈 때 0으로 가는 것이에요.
그림은 과장한 것이 아니고 델x나 dx가 크다면 델y, dy도 큰 값이겠죠.
@@manmanmath 아 제가 그럼 적분의dx때문에 개념을 크게 착각했나보네요. 인테그랄 안의 dx는 극소하다고 이미 정의가 된 상황이니까.. 라고 생각하면 되나요? 그리고 극소한 델x = dx 라고 생각했었는데 교수님의 설명대로라면 y와는 다르게 둘의 차이는 없고 dx는 dy를 위해 만들어진 기호? 라고 보는게 맞나요?
5:35
함수의 근사값을 모를때 기울기의 근사값을 사용한다는 것은 결국 함수의 근사값을 구하려는 노력이라는 알듯 말 듯한 수학의 밀당입니다..
여러번 더 들어 봐야 좀 더 그림이 잡힐 듯 합니다.
그래도 좋은 강의들 덕분에 고등학교 시절보다는 수학을 사용(..?)할 수 있는 영역이 조금씩 넓어지는것 같습니다.
진정한 이해를 바탕으로 한 사용 단계까지 가려면....
함수의 근사값을 모를 때 기울기의 근사값을 이용하는 것이 아니구요… 함수값을 모를 때 기울기를 이용한 함수값의 근사값을 구해서 사용한다는 말이에요^^
@@manmanmath
ㅎㅎ
감사합니다..
그래도 아직 질문할 만한 부분들이 많습니다..
dy/dx가 다른 댓글들을 읽어보니 결국은 나눗셈의 비율의 개념을 적용하여도 될 듯 한데..
그러려면 dy와 dx가 같은 성격의 값이어야 직관적으로 단순한 나눗셈과 거의 동격으로 볼 수 있을텐데..
dy는 기울기이고 dx는 미소한 x축의 간격이라면... 비율적 개념에서 분수와 맥을 공용할 수 있겠지만 dy와 dx가 서로 다른 값들이라는 점에서는 유의하여야 할 부분이겠네요...
이상준 교수님 국민대로 와주세요. 설명이 아주 맛있는데 저희 공업수학 강의좀 해주세요
그저 GOAT
안녕하십니까, 교수님. 명쾌한 설명 감사드립니다. 그런데 왜 이계도함수를 쓸 때 d^2y/dx^2 이렇게 쓰는지는 잘 이해가 안 갑니다. 혹시 알려주실 수 있나요? 감사합니다.
@@sjg4388 d/dx(dy/dx)를 줄여 쓴 것이지요.
@@manmanmath 그러면 교수님, (d / dx) * (dy / dx) = (d^2 * y) / (d^2 * x^2) 이렇게 되지 않나요? 분자는 이해가 가는데 분모 부분이 이계도함수 쓸 때 위의 (d^2 * x^2)이 아니라 (d * x^2) 이렇게 돼서 맞는 것 같지 않습니다.
@sjg4388 dx를 덩어리로 보고 싶은 거지요. 아니면 그냥 기호로 생각해 주세요.
@@manmanmath 아, 이해했습니다. 감사합니다, 교수님. 그런데 그러면 dy는 덩어리로 안 보면서 dx는 덩어리로 보는 게 약간 일관성이 없는 것 같습니다. dx에 괄호라도 씌우면 이해하기 더 쉬웠을 것 같습니다.
선생님 짱
음. .아닙니다..저게 저자에 따라, 상황에 따라 기호로도 쓰고, 나누기로도 쓰기 때문에 다들 혼동하네요..즉 책에서 저자가 기호로 정의한 것인지, 나누기로 정의한 것인지 혹은 서술하는 내용에 따라 구별해야 합니다..가령 책을 베낄 때 두책에서 같은 기호로 쓴 것으로 착각하고 책을 써서 그렇고, 그렇게 가르치기 때문입니다.. 배우는 사람들도 같은 것으로 착각하고...총 3가지로 사용되기 때문에...최소 2~3가지 여러 책을 동시에 펼치고 공부하면 알 수 있습니다..이런 것들이 곳곳에 도사리고 있어서 주의해야 합니다..다른 기호를 쓰는 토마스와 스튜어트 책을 짬뽕해서 미적분을 쓰면 엉터리 수학 교과서와 정석 같은 것들이 등장하지요..
교수님 질문하나 드려도 될까요? 결국 Lim (x의증분)이 dx 라고 받아들여지는데, 강의를 잘 이해한것일까요 ?
아니요, lim (x의증분)=0 이죠. 그냥 x와 x+h 의 차이를 delta x라고 하는 데 이것을 dx라고 보자는 거예요. 중요한 건 dy인데 실제 y값의 차이가 아니고 접선의 기울기에서의 y값의 차이에요.
고2 인데 많은 도움 받고 갑니다 감사합니다
dy 부분을 함수그래프로 기울기를 확인하였는데요. 극소 y값이라 이해했는데, 어째 기울기값이 델타y보다 크게보이네요. 개념대로라면 dy가 훨씬 작아야할것같은데 제가 좀 잘못 이해한 걸까요?...
각 개념들을 잘 이해하지 못한 것 같아요. 다시 정리하면 좋겠네요~^^
경희대 넣을껄... 내년에 경희대 지원할게요 재밌었습니다!
미방에서 1.dy/dx=f(x)로부터 양변에 dx를 곱하여 2.dy=f(x)dx를 얻은 후 양변에 3.인테그랄을 취하는 과정이.. 미심쩍어요.
양변에 dx 혹은 dy를 자유자재로 곱하고 더하고 빼도 되는건가요? 너무 당연한거로 치부된 채로 넘어가는것 같네요
핵심을 언급하셨네요. 그게 가능하다는 것을 알려드리는 영상입니다.
재밌네요^^
dy dx 에서 d가 무엇의 약자인지찾다가 여기까지 와서 difference 라는걸 알고 너무 기뻐요 감사합니다~~
엄밀히는 differential이 맞아요~^^
아 이게 내 고등학생때 제일 궁금했던건데 이제 뜨네
집에서 천천히 정독해야지
d difference 차이
따봉
그럼 dy/dx는 왜 도함수가 되는 건가요??
적분에서 dx는 극한으로 작은 x범위를 뜻해서 고정값으로 이해되는데, 도함수에서 dx는 변동값처럼 보여서 뭐가 다른지 이해가 잘 안 됩니다.
와
부정적분의 경우 ∫ f(x) dx 에서 dx는 똑같이 매우 작은 차이가 되나요??
부정적분은 정적분과 연결되고 정적분에서 dx 도 x의 작은 차이에요
@@manmanmath 부정적분과 정적분의 관계중 어떤게 dx가 작은 변화량임을 말해줄까요..?
@@비보존력 부정적분은 애초에 적분 구간이 설정되어 있지 않은데 dx랑은 관련이 없지 않을까요?
@@비보존력 미분을 표현하는 기호 dy/dx 자체가 함수 y의 순간 변화량을 나타내는 것처럼 부정적분은 어느 한 점 (밑끝) 을 기준으로 순간적인 x증분(dx)에 대한 함수의 밑넓이를 전부다 합해준다는 의미로 이해하면 되지 않나 싶습니다. 다만 만약에 밑끝이 설정이 안되어 있다면 정의역 기준 어느 시점에서 측정을 시작했는지에 대한 지표가 없으므로 적분상수 c가 미지수가 된다는 식으로 설명이 가능하겠죠. 만약에 밑끝이 a라면 정의역의 좌표가 a인 시점에서부터 측정을 한다는 의미가 된다는 것일 거고, 윗끝이 a보다 크다면 x=a를 기점으로 앞으로 어느정도의 밑면적이 더해’질’ 지에 대한 논리일 것이고, 윗끝이 a보다 작다면 그 어느 한 시점에서 x=a에 도달하기까지 어느정도의 밑면적이 더해’진’ 지에 대한 논리일 것이므로 반대로 그만큼 빼줘야 하는 것일 겁니다. 굳이 따지면 동영상을 역재생하는 꼴이 되겠네요. 여튼 dx라는 것 자체가 독립변수 x의 순간적인 증분을 의미하는 것이므로 미분은 순간변화율의 개념이, 적분은 반대로 순간의 변동들을 모두 축적한 결과가 되는 것이라고 이해하면 될 것 같네요
@@샤워하기전에포징 수식에서 쓰이는 기호는 그 자체로 하나의 언어입니다. 의미가 없다고 얘기하긴 힘들겠죠. 바로 위의 답글에 개인적인 해석을 기술했습니다. 어느정도 도움이 될 수 있을 거라고 기대합니다.
dy/dx를 분수로 볼 수 없지 않을까요.. 찾아보면 반례도 쉽게 나오던데..
사람들은 미분에서 dy/dx가 성립하는 이유는 체인룰이 성립하기 때문이라고 하더라구요.
선대 수학자들이 미분기호를 dy/dx라고 써서 후대들이 고통받는데
차라리 용어를 새롭게 정의하는게 좋지않을까 생각되기도 하네요.
이 영상에서 말하고자 하는 바는 dy, dx를 잘 정의하면 미분을 분수로 볼 수 있다는 거예요. 반례가 무엇인지, 후대들이 어떤 고통을 받는 지 알려주세요~
@@manmanmath f(x, y) = 0를 전미분 하면 ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy = 0가 되는데 이 때 dy/dx를 분수로 보면 dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) 형태로 만들 수 있는데 이것이 dy/dx = -dy/dx라는 모순이 된다는 주장도 있고.. dy/dx가 분수이면 dy/dx + du/dv = (dydv + dxdu) / dxdv가 되는게 말이 되냐는 주장도 있구요.
@@YT-ll8ns영상에서는 일변수함수를 다뤘는데 반례라고 한 첫번째 예는 이변수함수이니 다른 경우죠네요. 일변수함수에서의 내용을 이변수로 확장할 수 있는가를 생각해 봐야죠. 더 쉽게 얘기하면 일변수 미분이 분수로 이해 가능하다면 편미분도 분수로 이해 가능하냐는 고민을 해야겠죠. 안되는 이유를 생각해보기 바래요. 그러면 편미분도 분수로 이해하도록 기호를 바꾸는 것도 고려할 수 있는데 그러면 기호가 복잡해져서 단점도 발생하게 되요. 그래서 간결하게 쓰는 것이죠.
두번째 반례는 영상의 내용처럼 각 기호를 이해하면 식을 이해할 수 있다고 생각해요. 단 한가지 고민해야 하는 것은 dxdv가 보통 두번 미분으로 쓰이기 때문에 기호가 좋지 않네요
@@manmanmath 아직 교수님이 말씀하신 개념을 받아들이기에는 저의 수학실력이 너무 부족하네요. 일단 제가 배운 범주에서 dy/dx의 정의는 극한으로 된 식이기 때문에 dy, dx를 분리한다는 생각에 접근 할 수가 없네요.
@@YT-ll8ns 음함수 f(x,y)=0에 대하여 dy/dx=-fx/fy는 모순이 아니며, 참인 등식입니다. 음함수 정리를 배우면 자연스럽게 유도됩니다. 예를 들어 x^2+y^2=1에 대하여 dy/dx=-2x/2y=-x/y로 구할 수 있습니다.
와 이거 설명보고 구독하고 멤버쉽 바로 가입했습니다 ㅎㅎ 대박이다.
감사합니다^^
결론은 dy나누기 dx로 이해할 수 있는건가요?
저듀 귱굼. 전 맞다고 생각함
영상 맨 처음에 교수님께서 질문했죠. dy/dx라는 기호를 보면 나누기로 보이는데, dy라는 것 자체로 의미가 있나? 하고 질문을 던지고 시작했죠. 결국 교수님은 여기에 접선의 기울기를 갖고 근사한 아주 작은 y의 차이라고 답을 했습니다. 결국 원래 질문으로 돌아가보면 dy라는 것도 의미가 있는 것이고, dy/dx는 나누기로 볼 수도 있다는 것입니다.
1:47
😊
나누기로 이해 yes .or no. ❓❓❓
- -;;
@@manmanmath기울기를 분수빼고 생각할수 있나요?
분수를 나타내는 짝대기 기호인 줄 여지껏 알고있었어요..
6:10
좋은 설명입니다만 수업 대상이 미분 이제 막 시작하는 고등학생인가여? 영상 마지막에 고등학교때 안배운것도 응용이된다고 하신거 보면 성인이나 대학생들이 대상인거 같기도 한데 설마 대학 이공계 전공자들이 저걸 모르나여? 아니 그리고 조교가 저걸 모른다구여?? 어떻게 그럴 수가 있지 -_- 단순히 주입식 교육 탓하기에는 말이 안되는게 대학까지 왔으면 고등학생때 처럼 생각안하고 문제풀이만 할 수는 없었을텐데, 조교가 되고도 모른다는건 주입식 문풀 습관이 대학까지 이어졌기 때문일까요. 이거야 말로 세기의 난제인데....
이 강연은 대상이 고1이에요. 그리고 언급한 조교는 제가 대학을 다닐 때 조교이니 20여년 전 조교에요. 수학에서 더 어려운 내용을 공부한다고 해서 그 이전의 모든 개념들에 대해 엄밀하게 아는 건 아니니까 조교라도 모를 수 있겠죠.
@@manmanmath
아무리 그래도 저건 정도가 너무 심합니다. 수학적 모델링에 능숙한 대학원생이 자주 쓸일이 없어서 앱실론 델타 논법 까먹는거랑은 전혀 다른 차원의 문제입니다 이거는. 기본 개념에 대한 깊은 숙지를 바탕으로 지식의 확장이 일어나는건데요. 조교가 저 의미를 몰랐다는건 덧셈 뺼셈 배우고 이제 나눗셈 곱셉 배우게된 초등학생이 구구단은 외우고 곱셈은 할 줄아는데 곱셈이 덧셈에서 기인한다는걸 모르는거랑 똑같은 수준입니다. 대학에 와서도 과정중에 저 부분이 해결이 안되었다는건 대학에와서도 배우는 내용에 대해 의문을 제기하며 자발적으로 학습하는 능력이 심각하게 결여되었기에 그런것 이죠. 단 1명의 사례를 가지고 뭐라고 할건 아니지만 한국인들의 주입식 학습방식과 사고방식이 기초학문과 상극인건 뭐 어제 오늘일이 아니긴 합니다.
서울대학교 공과대학, 치과대학 다녀봤는데 공과대학 3학년 수치해석 강의 전까지 그 어떤 교수/조교도 미분소를 단순한 극한값으로만 여기더라고요. 충분히 가능한 일입니다
@@logicaltracing
영상의 내용은 조교가 나중가면 다 알게되니 지금은 몰라도 된다고 넘어간게 아니라 조교임에도 몰라서 얼버무렸다는 이야기 같은데요. 그리고 미분소는 단순히 극한값이 맞긴 하죠. 단순하다는 기준이 뭐냐에 따라 다르겠지만 대학 미적분학책 1챕터 앱실론 델타 논법에서 이미 엄밀하게 극한을 이해하는 과정이 들어가 있고 1학년 1학기에 배우게되는 부분인데 엄밀하게 개념정리를 안하고 어영부영 넘어가니 나중에 문제가 많이 생깁니다.
나누기가 아니라 기울기인건 알고 있었는 데 설명이 쉽고 재밌네요^^
dy 나누기 dx 의미인지 아닌지 ? 그래서 결론은 ?
- -;;
dy변화는 dx의 변화의 몇배냐
몇배가 미분
@@jjungle5982거의 깨봉수학인데요
강의 영상에도 나왔는데 좌표상에 두 점 (x1, y1), (x2, y2)이 있고 그 두 점을 통과하는 직선이 있다고 할때 그 직선의 기울기 구하는 방법은 당연히 아시죠? y2-y1/x2-x1 이거 자나여? 그런데 이거 분수 맞죠? dy/dx도 별개 아니라 위 두 점간의 간격을 매우 작게 좁혔다는 합의된 기호일 뿐입니다. 즉, y2와 y1, x2와 x1의 거리를 매우 작게 좁혔다는 의미가 dy, dx임. 좁혔다고 뭐가 달라지나여? 안달라짐. 걍 분수임.
그래서 정적분이 넓이를 의미하는거였구나ㅣ.
인터넷을 표류하고 있었는대 감사합,ㄴ다
나누기같기만 나누기는아닌 dy/dx ....
dy=0 아닙니까......