コーシーの関数方程式

[@koro_plus]

位相群から位相群への群準同型は単位元で連続ならどこでも連続という事実を知っているとほぼ一発ですよね〜

[@もちもちのもち-o1z]

鮮やか！

[@mikanakaoka9325]

懐かしすぎて涙が出てきます（いい意味で）。
数学科卒なのに今やもう解けません。
是非思い出したい（また自力で出来るようになりたい）です。
一点だけ、稠密（ちゅうみつ）のアナウンス？が「しゅうみつ」に聞こえなりませんでした…歳とって耳悪くなったのかなぁ。。。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

コメント有難うございます。「しゅうみつ」と読んでいました。お恥ずかしい。。。

[@study_math]

「しゅうみつ」と言ってます。
字幕をONにするとわかります。
音声合成ソフトの誤読だと思いますが、動画作成時の確認不足もありますね。

[@サンシャインイグニス]

マル先生、声ステキ😊

[@ShiratoriAoi]

最後が分からなかったので調べました。
任意の実数aに対して、aに収束する有理数の列{q_n}がとれます。(稠密性を使った)
f(a)=lim(f(q_n))=lim(c q_n)=c*lim(q_n)=ca (最初の等式でfの連続性を使った)

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

補足解説有難うございます！

[@novelright]

有理数が不連続であるという表現は完備ではないという意味で用いてるということですか？

[@ゴミ罵倒歓迎]

ある一点で連続？
「各点で」と同じ意味なんですか？

[@indigotom8969]

違います。例えばx=1で連続だからといって、そのほかのすべての点でも連続であるとは限りません。ただし今回の場合にはx=1でもx=πでもなんでもいいですが一つの点で連続であればすべての点で連続であると示すことができるわけです。

[@ゴミ罵倒歓迎]

あぁ、それでわざわざそのような条件を付けてたんですね。
全域の連続性の説明を飛ばしてみていたようです。ありがとうございました。

[@MS-gq4gx]

おそらく、どこかで誤解しているのだと思いますが、
連続性を外した方程式の、ハメル規定を用いた解はx=0で連続な気がします。
どこがおかしいのでしょうか？

[@indigotom8969]

xをf(x)≠f(1)xとなる無理数だとして、差をd=f(x)-f(1)x≠0、{q_n}をxに収束する有理点列とします。このときx-q_n→0ですがf(x-q_n)=f(x)-f(q_n)=f(1)x+d-f(1)q_n=f(1)(x-q_n)+d→dとなりf(x-q_n)は0には収束しません。つまり、fが比例でないなら原点では連続になりません。
おそらく、このような誤解はf(qx)=qf(x)(q∈ℚ)という性質からグラフをy=±cxで囲まれた蝶のような形のようにイメージしてしまうことが原因かと思います。しかし実際にはy=f(x)のグラフは(x,y)↦(x,y)+(r,f(r))(r∈ℝ)の変換の下で不変でなければならないという制約もあり、したがって原点付近までも非有界な形状とならざるを得ません。

[@MS-gq4gx]

@@indigotom8969 ありがとうございます。指摘の通りの勘違いをしていたと思います。納得出来ました

[@vacuumcarexpo]

何かムズいゾ❗

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

稠密や連続は概念が分かりにくいんですよね。

[@自由律俳句とかいう無法地]

9:03これはどういう意味ですか？

[@ぐりぐりザウルス]

直線(連続)ではないが隙間らしい隙間もない点の集合は描けない、という意味ではないでしょうか

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

@@ぐりぐりザウルス その通りです！

[@9cmParabellum]

しゅうみつ？
ちゅうみつじゃなくて？

[@user-suga0]

5:53や9:19の部分の厳密性を突き詰めると大変なことになりますねｗ

[@自由律俳句とかいう無法地]

アルキメデスの原理は、公理として認めるものでは無いのか？
証明すべき命題なの？

[@MS-gq4gx]

​@@自由律俳句とかいう無法地
一応、順序体の公理と実数の連続性で示せる。(杉浦解析入門を参照)

[@sgrjoachim4046]

いつもと違う雰囲気、、、たまには良いと思います！

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

有難うございます。いろんなタイプの問題を取り扱っていきたいと思ってます。